Összenyomott rudak stabilitása kritikus feszültség Euler-képlet. Euler képlete a kritikus erőhöz

7. előadás

AZ ÖSSZEMÉRTETT RUDAK STABILITÁSA

Az összenyomott rúd stabilitásának fogalma. Euler képlet. A kritikus erő függése a rúd rögzítésének módjától. Az Euler-képlet alkalmazhatóságának korlátai. Yasinsky-képlet. Fenntarthatósági számítás.

Az összenyomott rúd stabilitásának fogalma

Tekintsünk egy egyenes tengelyű, F hosszirányú nyomóerővel terhelt rudat. Az erő nagyságától és a rúd paramétereitől (anyaga, hossza, alakja és a keresztmetszet méretei) függően egyenes vonalú egyensúlyi alakja lehet. stabil vagy instabil.

A rúd egyensúlyi állapotának meghatározásához egy kis Q keresztirányú terheléssel hatjunk rá. Ennek eredményeként a rúd egy görbe tengelyű új egyensúlyi helyzetbe kerül. Ha a keresztirányú terhelés megszűnése után a rúd visszatér eredeti (egyenes) helyzetébe, akkor az egyensúly egyenes alakja stabil (7.1a ábra). Abban az esetben, ha a Q keresztirányú erő hatásának megszűnése után a rúd nem tér vissza eredeti helyzetébe, az egyenes vonalú egyensúlyi forma instabil (7.1b. ábra).

A stabilitás tehát a rúd azon képessége, hogy miután valamilyen zavaró terhelés hatására az eredeti helyzetétől némileg eltér, a terhelés megszűnésekor spontán visszatér eredeti helyzetébe. Kritikus erőnek nevezzük azt a legkisebb hosszirányú nyomóerőt, amelynél a rúd egyenes vonalú egyensúlyi alakja instabillá válik.

A központi összenyomott rúd figyelembe vett működési sémája elméleti. A gyakorlatban a nyomóerő bizonyos excentricitással hathat, és a rúdnak lehet némi (bár kicsi) kezdeti görbülete. Ezért a rúd hosszirányú terhelésének legelejétől megfigyelhető a hajlítása. A kutatások azt mutatják, hogy amíg a nyomóerő kisebb, mint a kritikus erő, addig a rúd elhajlása kicsi lesz. Amikor az erő megközelíti a kritikus értéket, az elhajlások korlátlanul növekedni kezdenek. Ezt a kritériumot (az elhajlás korlátlan növekedése a nyomóerő korlátozott növekedése mellett) tekintik a kihajlás kritériumának.

A rugalmas egyensúly stabilitásának elvesztése nemcsak a rúd összenyomásakor, hanem csavarodása, hajlítása és bonyolultabb alakváltozásai során is bekövetkezik.

Euler képlet

Vegyünk egy egyenes tengelyű rudat, amelyet két csuklós támasztékkal rögzítenek (7.2. ábra). Tegyük fel, hogy a rúdra ható hosszirányú nyomóerő elérte a kritikus értéket, és a rúd a legkisebb merevség síkjában meg van hajlítva. A legkisebb merevségű sík a metszet azon fő központi tengelyére merőlegesen helyezkedik el, amelyhez képest a szelvény tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka minimális.

(7.1)

ahol M a hajlítónyomaték; I min a szakasz minimális tehetetlenségi nyomatéka.

ábrából 7.2 keresse meg a hajlítási nyomatékot

(7.2)

ábrán 7.2 a kritikus erő hatására a hajlítónyomaték pozitív, az elhajlás negatív. Az elfogadott előjelek megegyezése érdekében mínusz jelet teszünk a függőségbe (7.2).

A (7.2)-t (7.1)-re behelyettesítve az eltérítési függvény meghatározásához megkapjuk a differenciálegyenletet

(7.3)

(7.4)

A felsőbb matematika során ismeretes, hogy a (7.3) egyenlet megoldásának alakja

ahol A, B integrációs állandók.

Az integráció állandóinak meghatározásához (7.5) a peremfeltételeket használjuk

Hajlított rúd esetén az A és B együttható nem lehet egyidejűleg nulla (különben a rúd nem hajlik meg). Így

A (7.6) és a (7.4) egyenletet megadva azt találjuk

(7.7)

Gyakorlati jelentőségű a kritikus erő legkisebb nullától eltérő értéke. Ezért, ha n=1-et (7.7) behelyettesítünk, végül megvan

(7.8)

A függőséget (7.8) Euler-képletnek nevezzük.

Kritikus erőfüggőség

a rúd rögzítésének módszerétől

A (7.8) képletet arra az esetre kaptuk, amikor egy rudat a szélein elhelyezett két csuklós támasztékkal rögzítettek. A rúd egyéb rögzítési módszereinél az általánosított Euler-képletet használják a kritikus erő meghatározására

(7.9)

ahol μ a hosszcsökkentési tényező, figyelembe véve a rúd rögzítésének módját.

A rúd rögzítésének legáltalánosabb módjait és a megfelelő hosszcsökkentési együtthatókat az ábra mutatja. 7.3.

Az Euler-képlet alkalmazhatóságának korlátai. Yasinsky képlete

P Az Euler-képlet levezetésénél azt a feltételt használtuk, hogy a Hooke-törvény teljesüljön a stabilitásvesztés pillanatában. A rúd feszültsége a kihajlás pillanatában egyenlő

ahol
- bot rugalmassága; A a rúd keresztmetszete.

A stabilitás elvesztésének pillanatában a Hooke-törvény teljesül a feltétellel

ahol σpc a rúd anyagának arányossági határa;
- a bot első végső rugalmassága. St3 acél esetén λ pr1 = 100.

Így az Euler-képlet akkor érvényes, ha a (7.10) feltétel teljesül.

Ha a rúd rugalmassága az intervallumban van
akkor a rúd elveszíti stabilitását a rugalmas-plasztikus deformációk területén, és az Euler-képlet nem használható. Ebben az esetben a kritikus erőt Yasinsky kísérleti képlete határozza meg

ahol a, b kísérleti együtthatók. St3 acél esetén a = 310 MPa, b = 1,14 MPa.

A bot második végső rugalmasságát a képlet határozza meg

ahol σ t a rúd anyagának folyáshatára. St3 acélhoz λ pr2 = 60.

Ha a λ ≤ λ pr2 feltétel teljesül, a kritikus feszültség (Jasinsky szerint) meghaladja a rúd anyagának folyáshatárát. Ezért ebben az esetben a kritikus erő meghatározásához a relációt használjuk

(7.12)

NÁL NÉL ábrán látható példaként. A 7.4 ábra a kritikus feszültség függését mutatja az St3 acél rúdjának rugalmasságától.

Fenntarthatósági számítás

A stabilitáselemzés a stabilitási feltétel segítségével történik

(7.13)

Megengedett feszültség a stabilitás kiszámításakor;

- stabilitási tényező.

A stabilitás számításánál a megengedett feszültség a kompresszió számításánál megengedett feszültségen alapul

(7.14)

ahol φ a kihajlási együttható (vagy a megengedett fő feszültség csökkentése). Ez az együttható 0 ≤ φ ≤ 1 között változik.

Tekintettel arra, hogy a műanyagok esetében

a (7.13) és (7.14) képletek azt jelentik

(7.15)

A kihajlási együttható értékeit a rúd anyagától és hajlékonyságától függően a referencia irodalom tartalmazza.

A legérdekesebb a tervezési számítás a stabilitási állapotból. Ennél a számítási típusnál a következők ismertek: a tervezési séma (μ együttható), az F külső nyomóerő, a rúd anyaga (megengedett feszültség [σ]) és l hossza, keresztmetszetének alakja. Meg kell határozni a keresztmetszet méreteit.

A nehézség abban rejlik, hogy nem ismert, hogy melyik képlettel kell meghatározni a kritikus feszültséget, mert keresztmetszeti méretek nélkül lehetetlen meghatározni a rúd rugalmasságát. Ezért a számítást az egymást követő közelítések módszerével végezzük:

1) Elfogadjuk a kezdeti értéket = 0,5. Határozza meg a keresztmetszeti területet

2) Területenként találjuk meg a keresztmetszet méreteit.

3) A kapott keresztmetszeti méretek felhasználásával kiszámítjuk a rúd hajlékonyságát, a hajlékonyság alapján pedig a kihajlási együttható végső értékét. .

4) Ha az értékek nem egyeznek és hajtsa végre a második közelítést. φ kezdeti értékét a második közelítésben egyenlőnek vesszük
. Stb.

A számításokat addig ismételjük, amíg a φ együttható kezdeti és végső értéke legfeljebb 5% -kal eltér. Válaszként elfogadjuk az utolsó közelítésben kapott méretek értékeit.

A kritikus feszültségek meghatározásához ki kell számítani a kritikus erőt, vagyis azt a legkisebb tengelyirányú nyomóerőt, amely egy enyhén ívelt összenyomott rudat egyensúlyban tud tartani.

Ezt a problémát először L. Euler, a Szentpétervári Tudományos Akadémia akadémikusa oldotta meg 1744-ben.

Megjegyzendő, hogy a probléma megfogalmazása más, mint a kurzus összes korábban vizsgált szakaszában. Ha korábban meghatároztuk a rúd deformációját adott külső terhelések mellett, akkor itt az inverz problémát vetjük fel: az összenyomott rúd tengelyének görbületét figyelembe véve meg kell határozni, hogy az axiális nyomóerő mekkora értékénél. R ilyen torzítás lehetséges.

Vegyünk egy állandó keresztmetszetű egyenes rudat, amely a végén csuklósan van rögzítve; az egyik támasz lehetővé teszi a rúd megfelelő végének hosszirányú mozgását (3. ábra). A bot önsúlyát figyelmen kívül hagyjuk.

3. ábra. Számítási séma az "Euler-feladatban"

A rudat központilag kifejtett hosszanti nyomóerőkkel terheljük, és nagyon enyhe görbületet adunk neki a legkisebb merevség síkjában; a rudat hajlított állapotban tartják, ami azért lehetséges, mert .

A rúd hajlítási alakváltozását nagyon kicsinek feltételezzük, ezért a probléma megoldásához a rúd hajlított tengelyére vonatkozó közelítő differenciálegyenletet használhatjuk. A koordináták origójának kiválasztása egy pontban DEés a koordinátatengelyek iránya, amint azt a 3. ábra mutatja:

(1)

Vegyen egy szakaszt távolabbról x az eredettől; az íves tengely ordinátája ebben a szakaszban az lesz nál nél, és a hajlítási nyomaték az

Az eredeti séma szerint a hajlítónyomaték negatívnak bizonyul, míg a választott tengelyirány ordinátái nál nél pozitívnak bizonyulnak. (Ha a rúd dudorral lefelé ívelne, akkor a nyomaték pozitív lenne, és nál nél- negatív és.)

Az imént megadott differenciálegyenlet a következőképpen alakul:

az egyenlet mindkét oldalát elosztva ezzel EJés a törtet jelölve a következő alakba hozzuk:

Ennek az egyenletnek az általános integrálja a következő:

Ez a megoldás három ismeretlent tartalmaz: az integráció állandóit aés bés érték , mivel a kritikus erő nagysága számunkra ismeretlen.

A rúd végein lévő peremfeltételek két egyenletet adnak:

az A pontban at x = 0 elhajlás nál nél = 0,

NÁL NÉL x= 1 nál nél = 0.

Az első feltételből következik (mivel a cos kx =1)

Tehát a hajlított tengely egy szinuszos az egyenlettel

(2)

A második feltételt alkalmazva behelyettesítjük ebbe az egyenletbe

nál nél= 0 és x = l

kapunk:

Ebből az következik, hogy akár a vagy kl egyenlők nullával.

Ha egy a egyenlő nullával, akkor a (2) egyenletből az következik, hogy a rúd bármely szakaszában az elhajlás egyenlő nullával, azaz a rúd egyenes maradt. Ez ellentmond következtetésünk kezdeti premisszáinak. Ezért a bűn kl= 0, és az értéknek a következő végtelen sorozatai lehetnek:

hol van bármely egész szám.

Ezért, és azóta is

Más szóval, annak a terhelésnek, amely egy enyhén ívelt rudat egyensúlyban tud tartani, elméletileg számos értéke lehet. De mivel azt keresik, és gyakorlati szempontból érdekes, hogy az axiális nyomóerő legkisebb értéke, amelynél a kihajlás lehetségessé válik, ezt kell venni.

Az első gyök =0 megköveteli, hogy egyenlő legyen nullával, ami nem felel meg a probléma kezdeti adatainak; így ezt a gyökért el kell vetni, és az értéket a legkisebb gyökérnek kell venni. Ekkor megkapjuk a kritikus erő kifejezését:

Így minél több inflexiós pontja van a rúd szinuszosan ívelt tengelyének, annál nagyobbnak kell lennie a kritikus erőnek. A teljesebb tanulmányok azt mutatják, hogy az (1) képletekkel meghatározott egyensúlyi formák instabilak; csak a pontokon köztes támaszok jelenlétében mennek át stabil formákba NÁL NÉLés Val vel(1. ábra).

1. ábra

Így a feladat megoldva; rúdunknál a legkisebb kritikus erőt a képlet határozza meg

a görbe tengelye pedig szinuszost ábrázol

Az integrációs állandó értéke a meghatározatlan maradt; a fizikai jelentését megtudjuk, ha betesszük a szinuszos egyenletet; akkor (azaz a rúd hosszának közepén) a következő értéket kapja:

Eszközök, a- ez a rúd kihajlása a hosszának közepén lévő szakaszon. Mivel az erő kritikus értékénél R az ívelt rúd egyensúlya az egyenes alakjától való különböző eltérésekkel lehetséges, ha csak ezek az eltérések kicsik lennének, akkor természetes, hogy az elhajlás f meghatározatlan maradt.

Ugyanakkor olyan kicsinek kell lennie, hogy jogunk legyen a görbe tengely közelítő differenciálegyenletét használni, vagyis hogy az egységhez képest még kicsi legyen.

Miután megkaptuk a kritikus erő értékét, azonnal megtalálhatjuk a kritikus feszültség értékét, ha elosztjuk az erőt a rúd keresztmetszeti területével F; mivel a kritikus erő értékét a rúd deformációinak figyelembevételével határoztuk meg, amelyekre a keresztmetszeti terület helyi gyengülése rendkívül gyengén hat, akkor a képlet tartalmazza a tehetetlenségi nyomatékot, ezért szokásos a kritikus feszültségek kiszámításakor, valamint a stabilitási feltétel összeállításakor a rúd teljes, és nem gyengített keresztmetszeti területét kell bevenni a számításba. Akkor egyenlő lesz

Így, ha egy ilyen rugalmasságú összenyomott rúd területét csak a szilárdsági feltételnek megfelelően választják ki, akkor a rúd összeesik az egyenes alak stabilitásának elvesztése miatt.

Első alkalommal vetődött fel az összenyomott rudak stabilitásának problémája. Euler levezette a kritikus erő számítási képletét, és kimutatta, hogy értéke jelentősen függ a rúd rögzítésének módjától. Az Euler-módszer ötlete, hogy meghatározza azokat a feltételeket, amelyek mellett az egyenes vonalú mellett a rúd szomszédos (azaz az eredetihez tetszőlegesen közeli) görbe egyensúlyi formája is lehetséges állandó terhelés mellett.

Tegyük fel, hogy egy egyenes rúd csuklósan csuklósan van a végén, erő hatására összenyomva P= Pk, valamilyen vízszintes erő hatására kikerült az egyenes vonalú egyensúlyból, és a vízszintes erő eltávolítása után hajlított maradt (13.4. ábra). Ha a rúd elhajlása kicsi, akkor tengelyének hozzávetőleges differenciálegyenlete ugyanaz lesz, mint a gerenda keresztirányú hajlítása esetén:

A koordináták origóját az alsó szakasz középpontjával kombinálva irányítjuk a tengelyt nál nél a rúd kihajlásai és a tengely felé x- a rúd tengelye mentén.

A kihajlás elméletében a nyomóerőt pozitívnak szokás tekinteni. Ezért, meghatározva a hajlítónyomatékot a vizsgált rúd aktuális szakaszában, megkapjuk

Ám amint az az ábrából következik. 13.4, a tengelyek kiválasztott irányával nál nél // <0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси nál nél az ellenkezőjére, akkor a jelek egyszerre változnak nál nélés nál nél// és a (13.2) egyenlet jobb oldalán lévő mínuszjel megmarad.

Ezért a rúd rugalmas vonalának egyenlete alakja

.

Feltételezve α 2 =Rk/EI, lineáris homogén differenciálegyenletet kapunk

,

amelynek általános integrálja

Itt Aés B- a rúd rögzítésének feltételeiből meghatározott integrálási állandók, az úgynevezett perem- vagy peremfeltételek.

A rúd alsó végének vízszintes elmozdulása az ábrán látható módon. 13,4, egyenlő nullával, azaz amikor x=0 elhajlás nál nél=0. Ez a feltétel teljesül, ha B=0. Ezért a rúd hajlított tengelye szinuszos

.

A rúd felső végének vízszintes elmozdulása is nulla, tehát

.

Állandó A, ami a rúd maximális kihajlása, nem lehet egyenlő nullával, mióta A=0, az egyensúlynak csak egyenes vonalú formája lehetséges, és olyan feltételt keresünk, amely mellett egy görbe vonalú egyensúlyi forma is lehetséges. Ezért annak lennie kell bűnα l=0. Ebből következik, hogy a rúd görbe vonalú egyensúlyi formái létezhetnek, ha α lértékeket vesz fel π ,2π ,.nπ . Érték α l nem lehet egyenlő nullával, mivel ez a megoldás az esetnek felel meg

Egyenlítés α l= nπ és helyettesítve

kapunk

.

A (13.5) kifejezést Euler-képletnek nevezzük. Használható a kritikus erő kiszámítására Rk amikor a rúd a két fősíkja egyikében meghajlik, mivel csak ezen feltétel mellett érvényes a (13.2) egyenlet és ebből a (13.5) képlet.

A rúd kihajlása a legkisebb merevség irányában történik, ha nincsenek speciális eszközök, amelyek megakadályozzák a rúd ebbe az irányba való elhajlását. Ezért az Euler-képletben helyettesíteni kell énmin- a rúd keresztmetszetének fő központi tehetetlenségi nyomatékai közül a legkisebb.

A rúd legnagyobb kihajlásának értéke A az adott megoldásban definiálatlan marad, tetszőlegesnek vettük, de kicsinek tételezzük fel.

A kritikus erő (13.5) képlettel meghatározott értéke az együtthatótól függ n. Nézzük meg ennek az együtthatónak a geometriai jelentését.

Fentebb megállapítottuk, hogy a rúd hajlított tengelye szinuszos, melynek egyenlete a helyettesítés után α =π n/l kifejezésbe (13.4) a formát veszi fel

.

Szinuszoidok számára n=1, nábrán =2 láthatók. 13.5. Könnyen belátható, hogy az érték n a szinusz azon félhullámainak számát jelöli, amelyek mentén a rúd elhajlik. Nyilvánvaló, hogy a rúd mindig a tartószerkezetei által megengedett legkisebb számú félhullámnak megfelelően hajlik meg, mivel a (13.5) szerint a legkisebb. n a legkisebb kritikus erőnek felel meg. Csak ennek az első kritikus erőnek van valódi fizikai jelentése.

Például egy csuklós végű rúd meghajlik, amint eléri a kritikus erő legkisebb értékét, ami megfelel n=1, mivel ennek a rúdnak a tartóeszközei lehetővé teszik, hogy egy szinuszos félhullám mentén elhajoljon. A kritikus erők megfelelőek n=2, n\u003d 3 és több, csak akkor érhető el, ha vannak közbenső támasztékok (13.6. ábra). A közbenső rögzítések nélküli csuklós végtámaszokkal rendelkező rúdnál az első kritikus erőnek van valódi jelentése

.

A (13.5) képlet a származtatásából következően nemcsak csuklós végű rúdra érvényes, hanem minden olyan rúdra is, amely egész számú félhullám mentén kihajlik. Alkalmazzuk ezt a képletet például egy olyan rúd kritikus erőjének meghatározásakor, amelynek tartószerkezetei csak a végeinek hosszirányú elmozdulását teszik lehetővé (beágyazott végű állvány). Amint a 13.7. ábrán látható, az íves tengely félhullámainak száma ebben az esetben n=2, és ebből következően a rúdra ható kritikus erő adott támasztóeszközökkel

.

Tegyük fel, hogy egy olyan fogaslécet, amelynek egyik vége beszorult, a másik szabad vége (13.8. ábra), erő összenyomja R.

Ha erőt P= Pk, akkor az egyenes vonalú mellett létezhet a fogasléc egyensúlyának görbe alakja is (szaggatott vonal a 13.8. ábrán).

ábrán látható rack hajlított tengelyének differenciálegyenlete. 13.8 a koordináta tengelyek rendszere azonos alakú.

Ennek az egyenletnek az általános megoldása a következő:

A megoldást alárendelve a nyilvánvaló peremfeltételeknek: y=0 at x=0 és y/ =0 at x= l, kapunk B=0, Aα kötözősalátaα l= 0.

Feltételeztük, hogy az oszlop ívelt, tehát az érték A nem lehet egyenlő nullával. Ennélfogva, kötözősalátaα l= 0. Ennek az egyenletnek a legkisebb nem nulla gyöke α l= π /2 határozza meg az első kritikus erőt

,

ami a rúd szinuszos mentén történő meghajlásának felel meg

.

Értékek α l=3π /2, α l=5π A /2 stb., mint fentebb látható, nagy értékeknek felel meg Pkés a fogasléc ívelt tengelyének bonyolultabb formái, amelyek gyakorlatilag csak közbenső támasztékok jelenlétében létezhetnek.

Második példaként vegyünk egy olyan állványt, amelynek egyik beszorult és egy második csuklós vége van (13.9. ábra). A rúd tengelyének görbülete miatt at P= Pk a csuklós támasz oldaláról vízszintes reaktív erő keletkezik R. Ezért a hajlítónyomaték a rúd aktuális szakaszában

.α :

Ennek az egyenletnek a legkisebb gyöke határozza meg az első kritikus erőt. Ezt az egyenletet a kiválasztási módszerrel oldjuk meg. Könnyű elhinni, hogy ennek az egyenletnek a legkisebb nem nulla gyöke α l= 4.493=1.43 π .

Fogadás α l= 1.43 π , a következő kifejezést kapjuk a kritikus erőre:

Itt μ =1/n- a félhullámok számának reciproka n szinuszos, amely mentén a rúd elhajlik. Állandó μ hosszcsökkentési tényezőnek nevezzük, és a szorzatot μ l- csökkentett bot hossza. A csökkentett hossz a szinusz félhullámhossza, amely mentén ez a rúd meg van hajlítva.

A rúdvégek csuklós rögzítésének esetét fő toknak nevezzük. A fentiekből következik, hogy a kritikus erő a rúd rögzítésének bármely esetére kiszámítható a fő esetre vonatkozó képlettel, amikor a rúd tényleges hosszát a csökkentett hosszával helyettesítjük. μ l.

Redukciós együtthatók μ egyes állványok esetében a 2. ábrán látható. 17.10.

A stabilitás és a kritikus erő fogalma. Tervezési és hitelesítési számítások.

Szerkezetekben, szerkezetekben nagy hasznát veszik azok az alkatrészek, amelyek viszonylag hosszú és vékony rudak, amelyekben egy-két keresztmetszeti méret kicsi a rúd hosszához képest. Az ilyen rudak viselkedése axiális nyomó terhelés hatására alapvetően más, mint a rövid rudak összenyomásakor: amikor az F nyomóerő elér egy bizonyos kritikus értéket, amely megegyezik az Fcr értékkel, a hosszú rúd egyensúlyának egyenes vonalú alakja. instabilnak bizonyul, és az Fcr túllépése esetén a rúd intenzíven hajlik (kidudorodik). Ebben az esetben a rugalmas hosszú új (pillanatnyi) egyensúlyi állapota valamilyen új, már görbe vonalú formává válik. Ezt a jelenséget stabilitásvesztésnek nevezzük.

Rizs. 37. Stabilitásvesztés

Stabilitás - a test azon képessége, hogy külső hatások hatására egyensúlyban tartsa helyzetét vagy alakját.

Kritikus erő (Fcr) - terhelés, amelynek túllépése a test eredeti alakjának (helyzetének) stabilitásának elvesztését okozza. Stabilitási állapot:

Fmax ≤ Fcr, (25)

Összenyomott rúd stabilitása. Euler probléma.

Az összenyomott rúd kihajlását okozó kritikus erő meghatározásakor abból indulunk ki, hogy a rúd tökéletesen egyenes, és az F erő szigorúan központilag érvényesül. Az összenyomott rúd kritikus terhelésének problémáját, figyelembe véve annak lehetőségét, hogy azonos erőérték mellett két egyensúlyi forma létezhet, L. Euler 1744-ben oldotta meg.

Rizs. 38. Összenyomott rúd

Tekintsünk egy, a végein elfordíthatóan megtámasztott rudat, amelyet F hosszirányú erő nyomott össze. Tegyük fel, hogy a rúd valamilyen okból kis tengelygörbületet kapott, aminek következtében M hajlítónyomaték jelent meg benne:

ahol y a rúd elhajlása egy tetszőleges szakaszban az x koordinátával.

A kritikus erő meghatározásához egy rugalmas egyenes közelítő differenciálegyenletét használhatja:

(26)

Az átalakítások elvégzése után látható, hogy a kritikus erő minimális értéket vesz fel n = 1 (a szinusz egy félhulláma illeszkedik a rúd hosszára) és J = Jmin (a rúd kb. a legkisebb tehetetlenségi nyomatékkal rendelkező tengely)

(27)

Ez a kifejezés az Euler-képlet.

A kritikus erő függése a rúd rögzítésének feltételeitől.

Az Euler-képletet az úgynevezett alapesetre kaptuk - feltételezve a rúd csuklós támasztását a végén. A gyakorlatban a rúd rögzítésének más esetei is vannak. Ebben az esetben mindegyik esetre egy képletet kaphatunk a kritikus erő meghatározására, ha az előző bekezdéshez hasonlóan megoldjuk a gerenda hajlított tengelyének differenciálegyenletét a megfelelő peremfeltételekkel. De használhat egy egyszerűbb technikát is, ha emlékszik arra, hogy stabilitásvesztés esetén egy szinusz félhullámának el kell illeszkednie a rúd hosszában.

Tekintsünk néhány jellemző esetet a rúd rögzítésének a végén, és kapjunk egy általános képletet a különféle rögzítési típusokhoz.

Rizs. 39. A rúd rögzítésének különböző esetei

Euler általános képlete:

(28)

ahol μ·l = l pr - a rúd csökkentett hossza; l a rúd tényleges hossza; μ a csökkentett hossz együtthatója, amely megmutatja, hogy hányszor kell megváltoztatni a rúd hosszát, hogy az erre a rúdra ható kritikus erő egyenlő legyen a csuklós gerenda kritikus erejével. (A csökkentett hosszegyüttható másik értelmezése: μ megmutatja, hogy a rúd hosszának egy adott típusú rögzítésnél melyik részére fér el kihajlás esetén a szinusz egy félhulláma.)

Így a végső stabilitási feltétel formát ölt

(29)

Tekintsünk kétféle számítást az összenyomott rudak stabilitására - az ellenőrzést és a tervezést.

Ellenőrizze a számítást

A stabilitás-ellenőrzési eljárás így néz ki:

A keresztmetszet ismert méretei és alakja, valamint a rúd rögzítésének feltételei alapján kiszámítjuk a rugalmasságot;

A referencia táblázat szerint megkeressük a megengedett feszültség redukciós tényezőjét, majd meghatározzuk a stabilitásra megengedett feszültséget;

Hasonlítsa össze a maximális feszültséget a megengedett stabilitási feszültséggel.

Tervezési számítás

A tervezési számításnál (adott terheléshez tartozó szakasz kiválasztásához) két ismeretlen mennyiség szerepel a számítási képletben - a kívánt A keresztmetszeti terület és az ismeretlen φ együttható (mivel φ a rúd rugalmasságától függ, és így az ismeretlen területen A). Ezért egy szakasz kiválasztásakor általában az egymást követő közelítések módszerét kell használni:

Általában az első kísérletben φ 1 \u003d 0,5 ... 0,6 értéket veszünk, és a keresztmetszeti területet az első közelítésben határozzuk meg.

A talált A1 terület szerint kiválasztjuk a szakaszt és kiszámítjuk a rúd rugalmasságát az első λ1 közelítésben. λ ismeretében keress egy új φ′1 értéket;

Az anyagválasztás és a szelvény racionális formája.

Anyagválasztás. Mivel az összes mechanikai jellemző Euler-képletében csak a Young-modulus szerepel, nem tanácsos nagy szilárdságú anyagokat használni a rendkívül rugalmas rudak stabilitásának növelésére, mivel a Young-modulus megközelítőleg minden acélminőségre azonos.

Alacsony hajlékonyságú rudaknál a kiváló minőségű acélok használata indokolt, mivel az ilyen acélok folyáshatárának növekedésével a kritikus feszültségek és ezáltal a stabilitási ráhagyás nő.

Irkutszki Állami Közlekedési Egyetem

16. labor

fegyelem szerint "Az anyagok szilárdsága"

A KRITIKUS ERŐK KÍSÉRLETI MEGHATÁROZÁSA

HOSSZÚ HAJLÍTÁSRA

PM osztály

16. labor

Kritikus erők kísérleti meghatározása kihajlásban

Célkitűzés: az összenyomott acélrúd elasztikus kihajlási jelenségének vizsgálata

szakasz. Az összenyomott kritikus terhelések értékeinek kísérleti meghatározása

rudak különféle rögzítési módszerekkel és összehasonlításuk elméleti

értékeket.

Általános rendelkezések

Az összenyomott rudak nem elegendőek a szilárdság teszteléséhez a jól ismert állapot szerint:

,

ahol [σ] a rúd anyagának megengedett feszültsége, P - nyomóerő F - keresztmetszeti terület.

A gyakorlatban a mérnökök összenyomódásnak kitett hajlékony rudakkal, vékony összenyomott lemezekkel, vékony falú szerkezetekkel foglalkoznak, amelyek meghibásodását nem a teherbírás, hanem a stabilitás elvesztése okozza.

A stabilitás elvesztése alatt az egyensúly eredeti formájának elvesztését értjük.

Az anyagok ellenállása a tömörítésben dolgozó szerkezeti elemek stabilitását veszi figyelembe.

Vegyünk egy hosszú vékony rudat (1. ábra), amely tengelyirányú nyomóerővel van megterhelve P .

P< P kr P > P kr

Rizs. egy. Axiális nyomóerővel terhelt rúd P .

Kis erőértékekhez F a rúd összenyomódik, miközben egyenes marad. Ezen túlmenően, ha a rudat kis keresztirányú terhelés eltéríti ebből a helyzetből, akkor meghajlik, de amikor eltávolítják, a rúd visszatér egyenes vonalú állapotba. Ez azt jelenti, hogy adott erőre P a rúd egyenes vonalú egyensúlyi formája stabil.

Ha tovább növeljük a nyomóerőt P , akkor bizonyos értékénél az egyensúly egyenes vonalú formája instabillá válik, és a rúd egyensúlyának új formája jön létre - görbe vonalú (1. ábra, b) . A rúd hajlítása miatt a szakaszain hajlítónyomaték jelenik meg, ami további feszültségeket okoz, és a rúd hirtelen összeeshet.

A hosszanti erő hatására összenyomott hosszú rúd görbületét ún hosszirányú kihajlás .

A nyomóerő azon legnagyobb értékét, amelynél a rúd egyenes vonalú egyensúlyi alakja stabil, ún. kritikai - P kr.

A kritikus terhelés elérésekor éles minőségi változás következik be az eredeti egyensúlyi formában, ami a szerkezet meghibásodásához vezet. Ezért a kritikus erőt törési terhelésnek tekintjük.

Euler és Yasinsky képletek

Az összenyomott rúd kritikus erejének meghatározásának problémáját először a Szentpétervári Tudományos Akadémia egyik tagja, L. Euler oldotta meg 1744-ben. Az Euler-képletnek a következő a formája:

(1)

ahol E – a rúd anyagának rugalmassági modulusa; J min- a rúd keresztmetszetének legkisebb tehetetlenségi nyomatéka (mivel a rúd kihajlás közbeni meghajlása a legkisebb merevség síkjában történik, azaz a rúd keresztmetszete a tengely körül forog, amelyhez képest a tehetetlenségi nyomaték minimális, azaz vagy a tengely körül x , vagy a tengely körül y );

(μ· l ) a rúd csökkentett hossza, ez a rúd hosszának szorzata l μ együtthatóval, amely a rúdvégek rögzítésének módszereitől függ.

Együttható μ hívott hosszcsökkentési tényező ábrán látható az értéke a rúdvégek rögzítésének leggyakoribb eseteire. 2:

a- a rúd mindkét vége csuklós és megközelíthető;

b- az egyik vége mereven befogott, a másik szabad;

ban ben- az egyik vége csuklós, a másik "keresztbe úszó tömítéssel" van ellátva;

G - az egyik vége mereven szorított, a másik "keresztbe úszó tömítéssel" van ellátva;

d- egyik vége mereven rögzítve, a másikon csuklósan mozgatható támaszték van;

e- mindkét vége mereven rögzítve van, de megközelíthetik egymást.

Ezekből a példákból látható, hogy az együttható μ a rúd rugalmas vonala félhullámainak számának reciproka a kihajlás során.

Rizs. 2. Együttható μ a leggyakrabban

a rúdvégek rögzítésének előforduló esetei.

Az összenyomott rúd keresztmetszetében kialakuló normál feszültséget, amely megfelel a nyomóerő kritikus értékének, kritikusnak is nevezik.

Az Euler-képlet alapján határozzuk meg:

(2)

A metszet geometriai jellemzői én min képlet határozza meg

hívott a szakasz forgási sugara (a c tengelyhez képest J min). Téglalap alakú részhez

A (3) pont figyelembevételével a (2) képlet a következőképpen alakul:

(4)

A rúd csökkentett hosszának és a keresztmetszete minimális forgási sugarának aránya a Szentpétervári Vasútmérnöki Intézet professzorának javaslatára F.S. Yasinsky (1856-1899) ún rúd rugalmassága és a betűvel jelöljük λ :

Ez a méret nélküli mennyiség egyszerre tükrözi a következő paramétereket: a rúd hosszát, rögzítésének módját és a keresztmetszet jellemzőit.

Végül behelyettesítve (5)-et a (4) képletbe, megkapjuk

Az Euler-képlet levezetésénél azt feltételezték, hogy a rúd anyaga rugalmas és követi a Hooke-törvényt. Ezért az Euler-képlet csak a σ arányossági határnál kisebb feszültségeknél alkalmazható hc, azaz mikor

Ez a feltétel határozza meg az Euler-képlet alkalmazhatósági határát:

Ennek az egyenlőtlenségnek a jobb oldalán lévő mennyiséget ún végső rugalmasság :

értéke a rúd anyagának fizikai és mechanikai tulajdonságaitól függ.

Lágyacélhoz St. 3, amelyre σ hc= 200 MPa, E = 2· 10 5 MPa:

Hasonlóképpen kiszámíthatja a végső rugalmasság értékét más anyagok esetében is: öntöttvas esetében λ előtt= 80, fenyő esetében λ előtt = 110.

Így az Euler-képlet azokra a botrakra alkalmazható, amelyek rugalmassága nagyobb vagy egyenlő, mint a végső hajlékonyság, pl.

λ ≥ λ előtt

Ezt a következőképpen kell érteni: ha a rúd hajlékonysága nagyobb, mint a korlátozó hajlékonyság, akkor a kritikus erőt az Euler-képlettel kell meghatározni.

Nál nél λ < λ előtt Az Euler-képlet a rudak esetében nem alkalmazható. Ezekben az esetekben, amikor a rudak rugalmassága kisebb, mint a korlátozó, az empirikus Yasinsky képlete :

σ kr = a – b λ , (7)

ahol a és b - kísérletileg meghatározott együtthatók, amelyek egy adott anyagra állandók; megvan a stressz dimenziója.

A rugalmasság bizonyos értékéért λ ról ről feszültség σ kr A (7) képlettel kiszámított érték egyenlő lesz a végső nyomófeszültséggel, azaz a σ folyáshatárral t képlékeny anyagokra vagy nyomószilárdságra σ nap- törékeny anyagokhoz. Alacsony rugalmasságú rudak ( λ < λ ról ről) nem a stabilitásra, hanem az egyszerű tömörítés melletti szilárdságra számítanak.

Így a rugalmasságtól függően az összenyomott rudak stabilitásának kiszámítása eltérően történik.