Pravilo otvaranja zagrada u množenju. Otvaranje zagrade: pravila i primjeri (7. razred)

U ovoj lekciji naučit ćete kako transformirati izraz koji sadrži zagrade u izraz koji ne sadrži zagrade. Naučit ćete kako otvoriti zagrade ispred kojih stoje znak plus i znak minus. Sjetit ćemo se kako otvoriti zagrade koristeći distributivni zakon množenja. Razmatrani primjeri omogućit će povezivanje novog i prethodno proučenog materijala u jedinstvenu cjelinu.

Tema: Rješavanje jednadžbi

Lekcija: Proširivanje zagrada

Kako otvoriti zagrade ispred kojih stoji znak "+". Upotreba asocijativnog zakona zbrajanja.

Ako nekom broju trebate zbrojiti zbroj dvaju brojeva, tom broju možete dodati prvi član, a zatim drugi.

Lijevo od znaka jednakosti je izraz sa zagradama, a desno izraz bez zagrada. To znači da su se prilikom prijelaza s lijeve strane jednakosti na desnu otvorile zagrade.

Razmotrite primjere.

Primjer 1

Proširujući zagrade, promijenili smo redoslijed operacija. Brojanje je postalo praktičnije.

Primjer 2

Primjer 3

Imajte na umu da smo u sva tri primjera jednostavno uklonili zagrade. Formulirajmo pravilo:

Komentar.

Ako je prvi član u zagradama nepotpisan, onda se mora napisati sa znakom plus.

Možete slijediti primjer korak po korak. Prvo dodajte 445 na 889. Ova mentalna radnja se može izvesti, ali nije baš lako. Otvorimo zagrade i vidimo da će promijenjeni redoslijed operacija uvelike pojednostaviti izračune.

Ako slijedite naznačeni redoslijed radnji, tada morate prvo oduzeti 345 od 512, a zatim rezultatu dodati 1345. Proširenjem zagrada promijenit ćemo redoslijed radnji i uvelike pojednostaviti izračune.

Ilustrativan primjer i pravilo.

Razmotrimo primjer: . Vrijednost izraza možete pronaći tako da zbrojite 2 i 5, a zatim uzmete rezultirajući broj s suprotnim predznakom. Dobivamo -7.

S druge strane, isti se rezultat može dobiti zbrajanjem suprotnih brojeva.

Formulirajmo pravilo:

Primjer 1

Primjer 2

Pravilo se ne mijenja ako u zagradama nisu dva, već tri ili više pojmova.

Primjer 3

Komentar. Znakovi su obrnuti samo ispred pojmova.

Kako bismo otvorili zagrade, u ovom slučaju, moramo se prisjetiti distributivnog svojstva.

Prvo pomnožite prvu zagradu s 2, a drugu s 3.

Prvoj zagradi prethodi znak "+", što znači da se znakovi moraju ostaviti nepromijenjeni. Drugom prethodi znak "-", dakle, svi znakovi moraju biti obrnuti

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006. (monografija).
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - Prosvjeta, 1989. (monografija).
4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za kolegij matematike 5-6 razred - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Sugovornik udžbenik za 5.-6. razred Srednja škola. Knjižnica nastavnika matematike. - Prosvjeta, 1989. (monografija).

1. Online testovi iz matematike ().
2. Možete preuzeti one navedene u točki 1.2. knjige().

Domaća zadaća

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (vidi poveznicu 1.2)
2. Domaća zadaća: br. 1254, br. 1255, br. 1256 (b, d)
3. Ostali zadaci: br. 1258 (c), br. 1248

sažetak ostalih prezentacija

"Graf funkcija 7. stupanj" -). 1. Konstruirajte graf funkcije po točkama: 2. (. Primjeri koji dovode do pojma funkcije. Pomnožite monome: Funkcijski graf funkcije. 7. razred. Predstavite izraze kao monom standardni pogled: Grafikon funkcije. zavisna varijabla. Neovisna varijabla.

"Polinom u algebri" - Što se naziva redukcijom sličnih članova? 2a5a2 + a2 + a3 – 3a2. 4x6y3 + 2x2y2 + x. 3ax - 6ax + 9a2x. Odgovorite na pitanja: 17a4 + 8a5 + 3a - a3. Sat algebre u 7. razredu. usmeni rad. 1. Odaberite polinome napisane u standardnom obliku: 12a2b - 18ab2 - 30ab3. nastavnik matematike, MOU "Srednja škola br. 2" Tokareva Yu.I. Objasniti kako polinom dovesti u standardni oblik.

“Polinomi 7. razreda” - 1. 6. Kao rezultat množenja polinoma s polinomom, dobiva se polinom. 9. Doslovni množitelj monoma zapisan u standardnom obliku naziva se koeficijent monoma. 4. Kao rezultat množenja polinoma s monomom, dobiva se monom. 5. 5. Algebarski zbroj nekoliko monoma naziva se polinom. - + + - + + - + +. 3. Usmeni rad. 2.

“Smanjenje algebarskih razlomaka” - 3. Glavno svojstvo razlomka može se napisati na sljedeći način: , gdje je b? 0, m? 0. 7. (a-b)?=(a-b) (a+b). Sat algebre u 7. razredu “Algebarski razlomci. 1. Izraz oblika naziva se algebarski razlomak. „Putovanje u svijet algebarski razlomci". Putovanje u svijet algebarskih razlomaka. 2. U algebarskom razlomku brojnik i nazivnik su algebarski izrazi. "Putovanje u svijet algebarskih razlomaka." Smanjenje razlomaka ”Učiteljica srednje škole Stepninskaya Zhusupova A.B. Postignuća za velike ljude nikada nisu bila laka!

"Otvaranje zagrada" - Otvaranje zagrada. c. Matematika. a. 7. razred. b. S = a b + a c.

"Koordinate ravnine" - Pravokutnu mrežu koristili su i renesansni umjetnici. Sadržaj Kratka bilješka II. Kod igranja šaha također se koristi koordinatna metoda. Zaključak V. Literatura VI. Y-os je y-ordinata. Descartesov cilj bio je opisati prirodu u terminima matematički zakoni. Uz pomoć koordinatne mreže, piloti i mornari određuju lokaciju objekata. Pravokutni koordinatni sustav. Kratka napomena. Aplikacija Zbirka zadataka. Polje za igru ​​određivale su dvije koordinate - slovo i broj. Uvod Relevantnost teme.

Glavna funkcija zagrada je promjena redoslijeda radnji prilikom izračunavanja vrijednosti. na primjer, u brojevnom izrazu \(5 3+7\) prvo će se izračunati množenje, a zatim zbrajanje: \(5 3+7 =15+7=22\). Ali u izrazu \(5·(3+7)\) prvo će se izračunati zbrajanje u zagradama, a tek onda množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Primjer. Proširite zagradu: \(-(4m+3)\).
Odluka : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Primjer. Proširite zagradu i dajte slične pojmove \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Odluka : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Primjer. Proširite zagrade \(5(3-x)\).
Odluka : Imamo \(3\) i \(-x\) u zagradi, a pet ispred zagrade. To znači da se svaki član zagrade množi s \ (5 \) - podsjećam vas na to znak množenja između broja i zagrade u matematici nije napisan kako bi se smanjila veličina zapisa.

Primjer. Proširite zagrade \(-2(-3x+5)\).
Odluka : Kao i u prethodnom primjeru, zagrade \(-3x\) i \(5\) se množe s \(-2\).

Primjer. Pojednostavite izraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Odluka : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Ostaje razmotriti posljednju situaciju.

Kada se zagrada množi zagradom, svaki član prve zagrade množi se sa svakim članom druge:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Primjer. Proširite zagrade \((2-x)(3x-1)\).
Odluka : Imamo proizvod zagrada i može se odmah otvoriti koristeći gornju formulu. No, da se ne bismo zbunili, napravimo sve korak po korak.
Korak 1. Uklonite prvu zagradu - svaki od njegovih članova se množi s drugom zagradom:

Korak 2. Proširite proizvode nosača za faktor kao što je gore opisano:
-prvo prvo...

Zatim drugi.

Korak 3. Sada množimo i donosimo slične pojmove:

Nije potrebno detaljno slikati sve transformacije, možete odmah pomnožiti. Ali ako tek učite otvarati zagrade – pišite detaljno, bit će manje šanse da pogriješite.

Napomena za cijeli odjeljak. Zapravo, ne morate pamtiti sva četiri pravila, trebate zapamtiti samo jedno, ovo: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zašto? Jer ako zamijenimo jedan umjesto c, dobivamo pravilo \((a-b)=a-b\) . A ako zamijenimo minus jedan, dobivamo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.

zagrada unutar zagrade

Ponekad u praksi postoje problemi sa zagradama ugniježđenim unutar drugih zagrada. Evo primjera takvog zadatka: pojednostaviti izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Da biste bili uspješni u ovim zadacima, trebate:
- pažljivo razumjeti ugniježđenje zagrada - koja je u kojoj;
- otvorite zagrade uzastopno, počevši, na primjer, od najnutarnje.

Važno je prilikom otvaranja jedne od zagrada ne dirajte ostatak izraza, samo prepisujem kako jest.
Uzmimo gornji zadatak kao primjer.

Primjer. Otvorite zagrade i navedite slične pojmove \(7x+2(5-(3x+y))\).
Odluka:

Primjer. Proširite zagrade i dajte slične pojmove \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Odluka :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Ovo je trostruko ugniježđenje zagrada. Počinjemo s najnutarnjim (označenim zelenom bojom). Ispred zagrade je plus, pa se jednostavno uklanja.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Sada morate otvoriti drugi zagrada, srednji. Ali prije toga, pojednostavit ćemo izraz tako što ćemo u ovoj drugoj zagradi ubaciti slične pojmove.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Sada otvaramo drugu zagradu (označeno plavom bojom). Ispred zagrade je množitelj – pa se svaki pojam u zagradi množi njime.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		I otvori posljednju zagradu. Prije zagrade minus - dakle svi su znakovi obrnuti.

Otvaranje zagrade je osnovna vještina u matematici. Bez ove vještine nemoguće je imati ocjenu iznad tri u 8. i 9. razredu. Stoga preporučujem dobro razumijevanje ove teme.

A + (b + c) može se napisati bez zagrada: a + (b + c) \u003d a + b + c. Ova operacija se naziva proširenje zagrada.

Primjer 1 Otvorimo zagrade u izrazu a + (- b + c).

Odluka. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.

Ako se ispred zagrada nalazi znak “+”, tada možete izostaviti zagrade i ovaj znak “+”, zadržavajući znakove pojmova u zagradama. Ako je prvi pojam u zagradama napisan bez znaka, onda se mora napisati sa znakom “+”.

Primjer 2 Nađimo vrijednost izraza -2,87+ (2,87-7,639).

Odluka. Otvarajući zagrade, dobivamo - 2,87 + (2,87 - 7,639) \u003d - - 2,87 + 2,87 - 7,639 \u003d 0 - 7,639 \u003d - 7,639.

Da biste pronašli vrijednost izraza - (- 9 + 5), trebate zbrojiti brojevima-9 i 5 i pronađite broj suprotan primljenom iznosu: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Ista vrijednost može se dobiti na drugačiji način: prvo zapišite brojeve suprotne ovim pojmovima (tj. promijenite njihove predznake), a zatim dodajte: 9 + (- 5) = 4. Dakle, - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

Da bismo zapisali zbroj suprotan zbroju nekoliko članova, potrebno je promijeniti predznake tih članova.

Dakle - (a + b) \u003d - a - b.

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza 16 - (10 -18 + 12).

Odluka. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Da biste otvorili zagrade ispred kojih stoji znak "-", trebate ovaj znak zamijeniti s "+", mijenjajući predznake svih pojmova u zagradama u suprotne, a zatim otvoriti zagrade.

Primjer 4 Nađimo vrijednost izraza 9,36-(9,36 - 5,48).

Odluka. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) == 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.

Otvaranje zagrade i korištenje komutativnih i asocijativnih svojstava dodaci olakšati izračune.

Primjer 5 Pronađite vrijednost izraza (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Odluka. Prvo otvaramo zagrade, a zatim zasebno nalazimo zbroj svih pozitivnih i zasebno zbroj svih negativnih brojeva i, na kraju, zbrajamo rezultate:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Primjer 6 Pronađite vrijednost izraza

Odluka. Najprije svaki pojam predstavljamo kao zbroj njihovih cjelobrojnih i razlomaka, zatim otvaramo zagrade, zatim dodajemo cjelinu i zasebno razlomka dijelove i na kraju zbrojimo rezultate:

Kako otvoriti zagrade kojima prethodi znak "+"? Kako možete pronaći vrijednost izraza koji je suprotan zbroju nekoliko brojeva? Kako otvoriti zagrade ispred kojih stoji znak "-"?

1218. Proširi zagrade:

a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);

b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).

1219. Pronađite vrijednost izraza:

1220. Proširi zagrade:

a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17) + 7,5; e) -a + (m-2,6); h) - (a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Proširite zagrade i pronađite vrijednost izraza:

1222. Pojednostavite izraz:

1223. Napiši iznos dva izraza i pojednostavi ga:

a) - 4 - m i m + 6,4; d) a + b i p - b
b) 1,1+a i -26-a; e) - m + n i -k - n;
c) a + 13 i -13 + b; e)m - n i n - m.

1224. Napiši razliku dvaju izraza i pojednostavi je:

1226. Pomoću jednadžbe riješite problem:

a) Na jednoj polici su 42 knjige, a na drugoj 34. S druge police skinuto je nekoliko knjiga, a na drugoj je ostalo onoliko koliko je ostalo na prvoj. Nakon toga na prvoj polici ostalo je 12 knjiga. Koliko je knjiga skinuto s druge police?

b) U prvom razredu ima 42 učenika, u drugom 3 učenika manje nego u trećem. Koliko je učenika u trećem razredu ako u ova tri razreda ima 125 učenika?

1227. Pronađite vrijednost izraza:

1228. Izračunaj usmeno:

1229. Nađi najviša vrijednost izrazi:

1230. Unesite 4 uzastopna cijela broja ako:

a) manji od njih jednak je -12; c) manji od njih jednak je n;
b) veći od njih jednak je -18; d) veći od njih jednak je k.

Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir predavanja prezentacija akceleratorske metode interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe samoispitivanje radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća rasprava pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječke i multimediju fotografije, slike grafike, tablice, sheme humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za znatiželjne cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje pogrešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice raspravni programi Integrirane lekcije

Među raznim izrazima koji se razmatraju u algebri, zbroji monoma zauzimaju važno mjesto. Evo primjera takvih izraza:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Zbroj monoma naziva se polinom. Članovi polinoma nazivaju se članovima polinoma. Mononomi se također nazivaju polinomima, smatrajući monom polinomom koji se sastoji od jednog člana.

Na primjer, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
može se pojednostaviti.

Sve pojmove predstavljamo kao monome standardnog oblika:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Dajemo slične pojmove u rezultirajućem polinomu:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika, a među njima nema sličnih. Takvi polinomi se nazivaju polinomi standardnog oblika.

Iza polinomski stupanj standardni oblik preuzimaju najveće ovlasti svojih članova. Dakle, binom \(12a^2b - 7b \) ima treći stupanj, a trinom \(2b^2 -7b + 6 \) ima drugi.

Obično su pojmovi polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu poredani silaznim redoslijedom njegovih eksponenata. Na primjer:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Zbroj nekoliko polinoma može se pretvoriti (pojednostaviti) u polinom standardnog oblika.

Ponekad je potrebno članove polinoma podijeliti u grupe, stavljajući svaku grupu u zagrade. Budući da su zagrade suprotne od zagrada, lako ih je formulirati pravila otvaranja zagrada:

Ako se ispred zagrada stavi znak +, tada se pojmovi u zagradi pišu istim znakovima.

Ako se ispred zagrada stavi znak "-", tada se izrazi u zagradi pišu sa suprotnim predznacima.

Transformacija (pojednostavljenje) umnoška monoma i polinoma

Koristeći distributivno svojstvo množenja, može se transformirati (pojednostaviti) umnožak monoma i polinoma u polinom. Na primjer:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Umnožak monoma i polinoma identično je jednak zbroju umnožaka ovog monoma i svakog od članova polinoma.

Taj se rezultat obično formulira u pravilu.

Da bi se monom pomnožio s polinomom, potrebno je ovaj monom pomnožiti sa svakim od članova polinoma.

Ovo pravilo smo više puta koristili za množenje sa zbrojem.

Umnožak polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) umnoška dvaju polinoma

Općenito, umnožak dvaju polinoma identično je jednak zbroju umnoška svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog polinoma.

Obično koristite sljedeće pravilo.

Da biste polinom pomnožili polinomom, trebate svaki član jednog polinoma pomnožiti sa svakim članom drugog i zbrojiti rezultirajuće proizvode.

Skraćene formule za množenje. Zbroj, razlika i kvadrati razlike

Neki izrazi u algebarskim transformacijama moraju se obraditi češće od drugih. Možda su najčešći izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), odnosno kvadrat zbroja, kvadrat razlike i kvadrat razlike. Primijetili ste da se čini da su nazivi naznačenih izraza nepotpuni, pa, na primjer, \((a + b)^2 \) nije, naravno, samo kvadrat zbroja, već kvadrat zbroja a i b. Međutim, kvadrat zbroja a i b nije tako čest, u pravilu umjesto slova a i b sadrži razne, ponekad prilično složene izraze.

Izraze \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) je lako pretvoriti (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika, zapravo ste se već susreli s takvim zadatkom prilikom množenja polinoma :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Rezultirajuće identitete korisno je zapamtiti i primijeniti bez srednjih izračuna. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadrat zbroja jednak je zbroju kvadrata i dvostrukog umnoška.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadrat razlike je zbroj kvadrata bez udvostručenja umnoška.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - razlika kvadrata jednaka je umnošku razlike i zbroja.

Ova tri identiteta dopuštaju u transformacijama da se njihovi lijevi dijelovi zamijene desnima i obrnuto – desni dijelovi lijevim. Najteže je u ovom slučaju vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti koje su varijable a i b u njima zamijenjene. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja skraćenih formula za množenje.