Tko zna cijeli broj pi. Izračunavanje vrijednosti pi

Omjer opsega kruga i njegova promjera jednak je za sve krugove. Ovaj omjer obično se označava grčkim slovom ("pi" - početno slovo grčke riječi , što je značilo "krug").

Arhimed je u svom djelu "Mjerenje kruga" izračunao omjer opsega i promjera (broj) i utvrdio da je između 3 10/71 i 3 1/7.

Dugo se kao približna vrijednost koristio broj 22/7, iako je već u 5. stoljeću u Kini pronađena aproksimacija 355/113 = 3,1415929... koja je u Europi ponovno otkrivena tek u 16. stoljeću.

U staroj Indiji se smatralo jednakim = 3,1622….

Francuski matematičar F. Viète izračunao je 1579. s 9 znamenki.

Nizozemski matematičar Ludolf Van Zeijlen 1596. godine objavio je rezultat svog desetogodišnjeg rada - broj izračunat s 32 znamenke.

Ali sva ta pojašnjenja značenja broja provedena su metodama koje je naznačio Arhimed: krug je zamijenjen poligonom sa sve većim brojem strana. Opseg upisanog mnogokuta bio je manji od opsega kruga, a opseg opisanog mnogokuta bio je veći. No, pritom je ostalo nejasno je li broj racionalan, odnosno omjer dva cijela broja, ili je iracionalan.

Tek 1767. godine njemački matematičar I.G. Lambert je dokazao da je broj iracionalan.

A više od stotinu godina kasnije, 1882. godine, drugi njemački matematičar, F. Lindemann, dokazao je njegovu transcendentnost, što je značilo nemogućnost konstruiranja kvadrata jednake veličine zadanoj kružnici pomoću šestara i ravnala.

Najjednostavnije mjerenje

Na debelom kartonu nacrtajte krug promjera d(=15 cm), izrežite dobiveni krug i omotajte ga tankim koncem. Mjerenje duljine l(=46,5 cm) jedan puni okret konca, razdijelite l po dužini promjera d krugovi. Rezultirajući kvocijent bit će približna vrijednost broja, tj. = l/ d= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Ova prilično gruba metoda daje, pod normalnim uvjetima, približnu vrijednost broja točnu do 1.

Mjerenje vaganjem

Nacrtajte kvadrat na komadu kartona. Upišimo krug u njega. Izrežemo kvadrat. Odredimo masu kartonskog kvadrata pomoću školske vage. Izrežimo krug iz kvadrata. Izvagajmo i njega. Poznavajući mase kvadrata m četvornih (=10 g) i u njega upisanu kružnicu m cr (=7,8 g) poslužimo se formulama

gdje je p i h– gustoća i debljina kartona, S– područje figure. Razmotrimo jednakosti:

Naravno, u ovom slučaju približna vrijednost ovisi o točnosti vaganja. Ako su kartonske figure koje se važu prilično velike, tada je čak i na običnim vagama moguće dobiti takve vrijednosti mase koje će osigurati aproksimaciju broja s točnošću od 0,1.

Zbrajanje površina pravokutnika upisanih u polukrug

Slika 1

Neka je A (a; 0), B (b; 0). Opišimo polukružnicu na AB kao promjer. Podijelimo dužinu AB na n jednakih dijelova točkama x 1, x 2, ..., x n-1 i iz njih vratimo okomice na sjecište s polukružnicom. Duljina svake takve okomice je vrijednost funkcije f(x)=. Sa slike 1 jasno je da se površina S polukruga može izračunati pomoću formule

S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.

U našem slučaju b=1, a=-1. Zatim = 2 S.

Što je više točaka podjele na segmentu AB, to će vrijednosti biti točnije. Da bi se olakšao monoton računalni rad, pomoći će računalo, za koje je program 1, sastavljen u BASIC-u, dan u nastavku.

Program 1

REM "Pi izračun"
REM "Metoda pravokutnika"
INPUT "Unesite broj pravokutnika", n
dx = 1/n
ZA i = 0 DO n - 1
f = SQR(1 - x^2)
x = x + dx
a = a + f
DALJE i
p = 4 * dx * a
ISPIS "Vrijednost pi je ", str
KRAJ

Program je upisan i pokrenut s različitim vrijednostima parametara n. Dobivene vrijednosti brojeva zapisane su u tablici:

Monte Carlo metoda

Ovo je zapravo statistička metoda testiranja. Egzotično ime dobio je po gradu Monte Carlo u kneževini Monako, poznatom po svojim kockarnicama. Činjenica je da metoda zahtijeva korištenje slučajnih brojeva, a jedan od najjednostavnijih uređaja koji generira slučajne brojeve je rulet. Međutim, možete dobiti nasumične brojeve koristeći... kišu.

Za pokus pripremimo komad kartona, na njemu nacrtajmo kvadrat i u kvadrat upiši četvrtinu kruga. Ako se takav crtež neko vrijeme drži na kiši, na njegovoj će površini ostati tragovi kapljica. Izbrojimo broj staza unutar kvadrata i unutar četvrtine kruga. Očito je da će njihov omjer biti približno jednak omjeru površina ovih figura, jer će kapi pasti na različita mjesta na crtežu s jednakom vjerojatnošću. Neka N kr– broj kapi u krugu, N četvornih je broj kapi na kvadrat, dakle

4 N cr / N sq.

Slika 2

Kiša se može zamijeniti tablicom slučajnih brojeva, koja se sastavlja pomoću računala pomoću posebnog programa. Dodijelimo dva nasumična broja svakom tragu kapi, karakterizirajući njegov položaj duž osi Oh I OU. Nasumični brojevi mogu se odabrati iz tablice bilo kojim redoslijedom, na primjer, u nizu. Neka prvi četveroznamenkasti broj u tablici 3265 . Iz njega možete pripremiti par brojeva, od kojih je svaki veći od nule i manji od jedan: x=0,32, y=0,65. Te ćemo brojeve smatrati koordinatama pada, tj. čini se da je pad pogodio točku (0,32; 0,65). Isto radimo sa svim odabranim slučajnim brojevima. Ako se pokaže da za točku (x;y) Ako nejednakost vrijedi, ona se nalazi izvan kruga. Ako x + y = 1, tada se točka nalazi unutar kruga.

Za izračun vrijednosti ponovno koristimo formulu (1). Pogreška izračuna primjenom ove metode obično je proporcionalna , gdje je D konstanta, a N broj testova. U našem slučaju N = N sq. Iz ove formule je jasno: da biste smanjili pogrešku za 10 puta (drugim riječima, da biste dobili još jedno točno decimalno mjesto u odgovoru), trebate povećati N, tj. količinu rada, za 100 puta. Jasno je da je korištenje metode Monte Carlo omogućeno samo zahvaljujući računalima. Program 2 implementira opisanu metodu na računalu.

Program 2

REM "Pi izračun"
REM "Monte Carlo metoda"
INPUT "Unesite broj kapi", n
m = 0
ZA i = 1 DO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
AKO je x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
DALJE i
p=4*m/n

KRAJ

Program je upisan i pokrenut s različitim vrijednostima parametra n. Dobivene vrijednosti brojeva zapisane su u tablici:

n
n

Metoda ispuštanja igle

Uzmimo običnu iglu za šivanje i list papira. Na listu ćemo nacrtati nekoliko paralelnih linija tako da su udaljenosti između njih jednake i premašuju duljinu igle. Crtež mora biti dovoljno velik da slučajno bačena igla ne padne izvan njegovih granica. Uvedimo sljedeću oznaku: A- razmak između linija, l– duljina igle.

Slika 3

Položaj igle nasumično bačene na crtež (vidi sl. 3) određen je udaljenošću X od njezine sredine do najbliže ravne crte i kutom j koji igla čini s okomicom spuštenom od sredine igle do najbliža ravna linija (vidi sliku 4). Jasno je da

Slika 4

Na sl. 5 grafički predstavimo funkciju y=0.5cos. Sve moguće lokacije igle karakteriziraju točke s koordinatama (; y), koji se nalazi na odsječku ABCD. Zasjenjeno područje AED-a su točke koje odgovaraju slučaju kada igla siječe ravnu liniju. Vjerojatnost događaja a– “igla je prešla ravnu liniju” – izračunava se po formuli:

Slika 5

Vjerojatnost godišnje) može se približno odrediti uzastopnim bacanjem igle. Neka igla bude bačena na crtež c jednom i str budući da je pao dok je prelazio jednu od ravnih linija, tada s dovoljno velikim c imamo p(a) = p/c. Odavde = 2 l s / a k.

Komentar. Predstavljena metoda je varijacija metode statističkog ispitivanja. Zanimljiv je s didaktičke točke gledišta, jer pomaže u kombinaciji jednostavnog iskustva sa stvaranjem prilično složenog matematičkog modela.

Izračun pomoću Taylorovog niza

Prijeđimo na razmatranje proizvoljne funkcije f(x). Pretpostavimo to za nju u ovom trenutku x 0 postoje izvedenice svih redova do n th uključivo. Zatim za funkciju f(x) možemo napisati Taylorov niz:

Izračuni pomoću ovog niza bit će točniji što je više članova niza uključeno. Ovu metodu je, naravno, najbolje implementirati na računalu, za što možete koristiti program 3.

Program 3

REM "Pi izračun"
REM "Proširenje serije Taylor"
ULAZ br
a = 1
ZA i = 1 DO n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * d
a = a + f
DALJE i
p = 4 * a
PRINT "vrijednost pi jednako"; str
KRAJ

Program je upisan i pokrenut za različite vrijednosti parametra n. Dobivene vrijednosti brojeva zapisane su u tablici:

Postoje vrlo jednostavna mnemotehnička pravila za pamćenje značenja broja:

Ljubitelji matematike diljem svijeta svake godine četrnaestog ožujka pojedu komad pite – uostalom, to je dan broja Pi, najpoznatijeg iracionalnog broja. Ovaj je datum izravno povezan s brojem čije su prve znamenke 3,14. Pi je omjer opsega kruga i njegovog promjera. Budući da je iracionalan, nemoguće ga je napisati kao razlomak. Ovo je beskonačno dug broj. Otkriven je prije više tisuća godina i od tada se stalno proučava, ali ima li Pi još uvijek nekih tajni? Od drevnih početaka do neizvjesne budućnosti, evo nekih od najzanimljivijih činjenica o Piju.

Memoriranje broja Pi

Rekord u pamćenju decimalnih brojeva pripada Rajviru Meeni iz Indije koji je uspio zapamtiti 70.000 znamenki – rekord je postavio 21. ožujka 2015. godine. Prethodno je rekorder bio Chao Lu iz Kine, koji je uspio zapamtiti 67.890 znamenki - ovaj rekord postavljen je 2005. godine. Neslužbeni rekorder je Akira Haraguchi, koji se 2005. godine snimio na videu kako ponavlja 100.000 znamenki, a nedavno je objavio video u kojemu uspijeva zapamtiti 117.000 znamenki. Rekord bi postao službeni samo ako bi ovaj video bio snimljen u prisustvu predstavnika Guinnessove knjige rekorda, a bez potvrde ostaje samo impresivna činjenica, ali se ne smatra postignućem. Ljubitelji matematike vole pamtiti broj Pi. Mnogi ljudi koriste različite mnemotehničke tehnike, na primjer poeziju, gdje broj slova u svakoj riječi odgovara znamenkama Pi. Svaki jezik ima svoje verzije sličnih fraza koje vam pomažu da zapamtite nekoliko prvih brojeva i cijelu stotinu.

Postoji Pi jezik

Matematičari, strastveni prema književnosti, izmislili su dijalekt u kojem broj slova u svim riječima odgovara znamenkama broja Pi točnim redoslijedom. Pisac Mike Keith čak je napisao knjigu, Not a Wake, koja je u potpunosti napisana u Pi. Entuzijasti takve kreativnosti pišu svoje radove u potpunom skladu s brojem slova i značenjem brojeva. Ovo nema praktičnu primjenu, ali je prilično česta i dobro poznata pojava u krugovima znanstvenika entuzijasta.

Eksponencijalni rast

Pi je beskonačan broj, tako da po definiciji ljudi nikada neće moći utvrditi točne znamenke ovog broja. Međutim, broj decimalnih mjesta uvelike se povećao otkad je Pi prvi put korišten. Koristili su ga i Babilonci, ali njima je bio dovoljan razlomak od tri cijela i jedna osmina. Kinezi i tvorci Starog zavjeta bili su potpuno ograničeni na tri. Do 1665. Sir Isaac Newton je izračunao 16 znamenki broja Pi. Do 1719. francuski matematičar Tom Fante de Lagny izračunao je 127 znamenki. Pojava računala radikalno je poboljšala ljudsko znanje o Piju. Od 1949. do 1967. broj znamenki poznatih čovjeku skočio je s 2 037 na 500 000. Nedavno je Peter Trueb, znanstvenik iz Švicarske, uspio izračunati 2,24 trilijuna znamenki broja Pi! Trajalo je 105 dana. Naravno, ovo nije granica. Vjerojatno će s razvojem tehnologije biti moguće utvrditi još točniju brojku - budući da je Pi beskonačan, ograničenja točnosti jednostavno nema, a mogu je ograničiti samo tehničke karakteristike računalne tehnologije.

Ručno izračunavanje Pi

Želite li sami pronaći broj, možete se poslužiti staromodnom tehnikom - trebat će vam ravnalo, staklenka i špaga, a možete i kutomjer i olovku. Loša strana korištenja limenke je ta što mora biti okrugla, a točnost će ovisiti o tome koliko dobro osoba može omotati uže oko nje. Možete nacrtati krug kutomjerom, ali to također zahtijeva vještinu i preciznost, jer neravni krug može ozbiljno iskriviti vaša mjerenja. Točnija metoda uključuje korištenje geometrije. Podijelite krug na mnoge segmente, kao pizzu na kriške, a zatim izračunajte duljinu ravne crte koja bi svaki segment pretvorila u jednakokračni trokut. Zbroj stranica dat će približan broj Pi. Što više segmenata koristite, broj će biti točniji. Naravno, u svojim izračunima nećete se moći približiti rezultatima računala, međutim, ovi jednostavni eksperimenti omogućuju vam da detaljnije shvatite što je broj Pi i kako se koristi u matematici.

Otkriće Pija

Stari Babilonci znali su za postojanje broja Pi već prije četiri tisuće godina. Babilonske ploče izračunavaju Pi kao 3,125, a egipatski matematički papirus pokazuje broj 3,1605. U Bibliji je Pi dan u zastarjeloj duljini lakata, a grčki matematičar Arhimed koristio se Pitagorinim teoremom, geometrijskim odnosom između duljine stranica trokuta i površine figura unutar i izvan krugova, opisati Pi. Stoga možemo sa sigurnošću reći da je Pi jedan od najstarijih matematičkih pojmova, iako se točan naziv ovog broja pojavio relativno nedavno.

Novi pogled na Pi

Čak i prije nego što se broj Pi počeo povezivati ​​s krugovima, matematičari su već imali mnogo načina da čak i imenuju ovaj broj. Na primjer, u starim udžbenicima matematike može se pronaći izraz na latinskom koji se može grubo prevesti kao "količina koja pokazuje duljinu kada se promjer pomnoži s njom." Iracionalni broj postao je poznat kada ga je švicarski znanstvenik Leonhard Euler upotrijebio u svom radu o trigonometriji 1737. godine. Međutim, grčki simbol za Pi još uvijek nije korišten - to se dogodilo samo u knjizi manje poznatog matematičara Williama Jonesa. Koristio ga je već 1706. godine, ali je dugo ostao nezapažen. S vremenom su znanstvenici usvojili ovaj naziv, a sada je to najpoznatija verzija naziva, iako se prije nazivao i Ludolfov broj.

Je li Pi normalan broj?

Pi je definitivno čudan broj, ali koliko slijedi normalne matematičke zakone? Znanstvenici su već riješili mnoga pitanja vezana uz ovaj iracionalni broj, ali neke misterije ostaju. Na primjer, nije poznato koliko se često koriste svi brojevi - brojevi od 0 do 9 trebali bi se koristiti u jednakom omjeru. Međutim, statistika se može pratiti od prvih trilijuna znamenki, ali zbog činjenice da je broj beskonačan, nemoguće je išta sa sigurnošću dokazati. Postoje i drugi problemi koji još uvijek izmiču znanstvenicima. Moguće je da će daljnji razvoj znanosti pomoći u njihovom rasvjetljavanju, ali to trenutno ostaje izvan dosega ljudske inteligencije.

Pi zvuči božanstveno

Znanstvenici ne mogu odgovoriti na neka pitanja o broju Pi, no svake godine sve bolje shvaćaju njegovu bit. Već u osamnaestom stoljeću dokazana je iracionalnost ovog broja. Osim toga, broj je dokazano transcendentalan. To znači da ne postoji posebna formula koja vam omogućuje izračunavanje Pi pomoću racionalnih brojeva.

Nezadovoljstvo brojem Pi

Mnogi matematičari jednostavno su zaljubljeni u Pi, ali ima i onih koji smatraju da ti brojevi nisu posebno značajni. Osim toga, tvrde da je Tau, koji je dvostruko veći od broja Pi, prikladnije koristiti kao iracionalan broj. Tau pokazuje odnos između opsega i radijusa, za koji neki vjeruju da predstavlja logičniju metodu izračuna. Međutim, nemoguće je jednoznačno odrediti bilo što u ovom pitanju, a jedan i drugi broj uvijek će imati pristaše, obje metode imaju pravo na život, tako da je ovo samo zanimljiva činjenica, a ne razlog da mislite da ne biste trebali koristite broj Pi.

Stoljećima i čak, čudno, tisućljećima, ljudi su shvaćali važnost i vrijednost za znanost matematičke konstante koja je jednaka omjeru opsega kruga i njegovog promjera. broj Pi još uvijek nije poznat, ali su se njime bavili najbolji matematičari kroz našu povijest. Većina ih je to htjela izraziti kao racionalan broj.

1. Istraživači i istinski ljubitelji broja Pi organizirali su klub, da biste se pridružili, morate znati napamet prilično velik broj njegovih znakova.

2. Od 1988. godine obilježava se “Pi dan” koji pada 14. ožujka. S njegovim likom pripremaju salate, kolače, kolače i peciva.

3. Broj Pi je već uglazbljen i zvuči sasvim dobro. Čak mu je u Seattleu u Americi podignut spomenik ispred gradskog Muzeja umjetnosti.

U to daleko vrijeme pokušavali su pomoću geometrije izračunati broj Pi. Da je taj broj konstantan za najrazličitije krugove, znali su geometri u Starom Egiptu, Babilonu, Indiji i Staroj Grčkoj, koji su u svojim radovima navodili da je on tek nešto veći od tri.

U jednoj od svetih knjiga džainizma (drevne indijske religije nastale u 6. stoljeću prije Krista) spominje se da se tada broj Pi smatrao jednakim kvadratnom korijenu iz deset, što u konačnici daje 3,162... .

Starogrčki matematičari mjerili su krug konstruiranjem segmenta, ali da bi izmjerili krug, morali su konstruirati jednak kvadrat, odnosno lik jednake površine njemu.

Kada decimalni razlomci još nisu bili poznati, veliki Arhimed je pronašao vrijednost Pi s točnošću od 99,9%. Otkrio je metodu koja je postala osnova za mnoga kasnija izračunavanja, upisujući pravilne poligone u krug i opisujući ga oko njega. Kao rezultat toga, Arhimed je izračunao vrijednost Pi kao omjer 22 / 7 ≈ 3,142857142857143.

U Kini, matematičar i dvorski astronom, Zu Chongzhi u 5. st. pr. e. odredio je precizniju vrijednost za Pi, izračunavši je na sedam decimalnih mjesta i odredio njegovu vrijednost između brojeva 3, 1415926 i 3,1415927. Znanstvenicima je trebalo više od 900 godina da nastave ovu digitalnu seriju.

Srednji vijek

Slavni indijski znanstvenik Madhava, koji je živio na prijelazu iz 14. u 15. stoljeće i postao utemeljitelj keralske škole astronomije i matematike, prvi put u povijesti počeo je raditi na rastavljanju trigonometrijskih funkcija u nizove. Istina, sačuvana su samo dva njegova djela, a za ostala su poznata samo spominjanja i citati njegovih učenika. U znanstvenoj raspravi "Mahajyanayana", koja se pripisuje Madhavi, stoji da je broj Pi 3,14159265359. A u raspravi “Sadratnamala” broj je dan s još točnijim decimalnim mjestima: 3.14159265358979324. U navedenim brojevima zadnje znamenke ne odgovaraju točnoj vrijednosti.

Samarkandski matematičar i astronom Al-Kashi je u 15. stoljeću izračunao broj Pi sa šesnaest decimalnih mjesta. Njegov se rezultat smatrao najtočnijim sljedećih 250 godina.

W. Johnson, matematičar iz Engleske, jedan je od prvih koji je omjer opsega kruga i njegovog promjera označio slovom π. Pi je prvo slovo grčke riječi "περιφέρεια" - krug. No ova je oznaka uspjela postati općeprihvaćena tek nakon što ju je 1736. godine upotrijebio poznatiji znanstvenik L. Euler.

Zaključak

Moderni znanstvenici nastavljaju raditi na daljnjim izračunima vrijednosti Pi. Za to se već koriste superračunala. Godine 2011. znanstvenik iz Shigeru Kondoa, u suradnji s američkim studentom Alexanderom Yijem, točno je izračunao niz od 10 trilijuna znamenki. Ali još uvijek nije jasno tko je otkrio broj Pi, tko je prvi razmišljao o ovom problemu i napravio prve izračune ovog zaista mističnog broja.

Nedavno su na Habréu u jednom članku spomenuli pitanje “Što bi se dogodilo sa svijetom da je broj Pi jednak 4?” Odlučio sam malo razmisliti o ovoj temi, koristeći neka (iako ne najopsežnija) znanja iz relevantnih područja matematike. Ako nekoga zanima neka pogleda kat.

Da biste zamislili takav svijet, trebate matematički realizirati prostor s različitim omjerom opsega kruga i njegovog promjera. Ovo sam pokušao učiniti.

Pokušaj br.1.

Recimo odmah da ću uzeti u obzir samo dvodimenzionalne prostore. Zašto? Budući da je kružnica, zapravo, definirana u dvodimenzionalnom prostoru (ako uzmemo u obzir dimenziju n>2, tada omjer mjere (n-1)-dimenzionalne kružnice i njezinog polumjera neće biti niti konstanta) .
Dakle, za početak, pokušao sam smisliti barem neki prostor gdje Pi nije jednak 3,1415... Da bih to učinio, uzeo sam metrički prostor s metrikom u kojoj je udaljenost između dvije točke jednaka maksimalnoj među modulima koordinatne razlike (tj. Čebiševljeve udaljenosti).

Kakav će oblik imati jedinična kružnica u tom prostoru? Uzmimo točku s koordinatama (0,0) kao središte ove kružnice. Tada je skup točaka, čija je udaljenost (u smislu dane metrike) do središta 1, 4 segmenta paralelna s koordinatnim osima, koji tvore kvadrat sa stranom 2 i središtem u nuli.

Da, u nekoj metrici to je krug!

Izračunajmo Pi ovdje. Polumjer je jednak 1, tada je promjer, prema tome, jednak 2. Definiciju promjera možete smatrati i najvećom udaljenošću između dviju točaka, ali čak i tako je jednaka 2. Ostaje pronaći duljinu naš "krug" u ovoj metrici. Ovo je zbroj duljina sva četiri segmenta, koji u ovoj metrici imaju duljinu max(0,2)=2. To znači da je opseg 4*2=8. Pa, onda je Pi ovdje jednak 8/2=4. Dogodilo se! Ali trebamo li biti jako sretni? Ovaj rezultat je praktički beskoristan, jer je prostor u pitanju apsolutno apstraktan, u njemu čak nisu definirani kutovi i zavoji. Možete li zamisliti svijet u kojem rotacija zapravo nije definirana i u kojem je krug kvadrat? Trudila sam se, iskreno, ali nisam imala dovoljno mašte.

Polumjer je 1, ali postoje neke poteškoće u pronalaženju duljine ovog "kruga". Nakon malo traženja na internetu, došao sam do zaključka da se u pseudoeuklidskom prostoru pojam kao što je "Pi" uopće ne može definirati, što je svakako loše.

Ako mi netko u komentarima kaže kako formalno izračunati duljinu krivulje u pseudoeuklidskom prostoru, bit će mi jako drago, jer moje poznavanje diferencijalne geometrije, topologije (kao i marljivo guglanje) nije bilo dovoljno za to.

Zaključci:

Ne znam je li moguće pisati o zaključcima nakon takvih kratkotrajnih studija, ali nešto se može reći. Prvo, kad sam pokušao zamisliti prostor s različitim brojem pi, shvatio sam da bi to bilo previše apstraktno da bude model stvarnog svijeta. Drugo, kada pokušate osmisliti uspješniji model (sličan našem stvarnom svijetu), ispostavi se da će broj Pi ostati nepromijenjen. Ako uzmemo zdravo za gotovo mogućnost negativnog kvadrata udaljenosti (što je za običnog čovjeka jednostavno apsurdno), tada Pi uopće neće biti definiran! Sve ovo sugerira da možda svijet s drugačijim brojem Pi uopće ne bi mogao postojati? Nije uzalud svemir upravo takav kakav jest. Ili je ovo možda stvarno, ali obična matematika, fizika i ljudska mašta nisu dovoljni za ovo. Što misliš?

Ažurirano Saznao sam sigurno. Duljina krivulje u pseudoeuklidskom prostoru može se odrediti samo na nekim njegovim euklidskim podprostorima. To jest, posebno za "opseg" dobiven u pokušaju N3, takav pojam kao što je "duljina" uopće nije definiran. Sukladno tome, ni tamo se ne može izračunati Pi.

Čemu je Pi jednako? znamo i sjećamo se iz škole. Jednak je 3,1415926 i tako dalje... Običnom čovjeku dovoljno je znati da se taj broj dobije dijeljenjem opsega kruga s njegovim promjerom. Ali mnogi ljudi znaju da se broj Pi pojavljuje u neočekivanim područjima ne samo matematike i geometrije, već iu fizici. Pa, ako udubite u detalje prirode ovog broja, primijetit ćete mnoge iznenađujuće stvari među beskrajnim nizovima brojeva. Je li moguće da Pi krije najdublje tajne svemira?

Beskonačan broj

Sam broj Pi pojavljuje se u našem svijetu kao duljina kruga čiji je promjer jednak jedinici. No, unatoč činjenici da je segment jednak Pi prilično konačan, broj Pi počinje kao 3,1415926 i ide do beskonačnosti u nizovima brojeva koji se nikada ne ponavljaju. Prva iznenađujuća činjenica je da se ovaj broj, koji se koristi u geometriji, ne može izraziti kao razlomak cijelih brojeva. Drugim riječima, ne možete to napisati kao omjer dva broja a/b. Osim toga, broj Pi je transcendentalan. To znači da ne postoji jednadžba (polinom) s cjelobrojnim koeficijentima čije bi rješenje bio broj Pi.

Da je broj Pi transcendentalan dokazao je 1882. njemački matematičar von Lindemann. Upravo je ovaj dokaz postao odgovor na pitanje je li moguće pomoću šestara i ravnala nacrtati kvadrat čija je površina jednaka površini zadanog kruga. Ovaj problem poznat je kao potraga za kvadraturom kruga, koji brine čovječanstvo od davnina. Činilo se da ovaj problem ima jednostavno rješenje i da će biti riješen. No, upravo je neshvatljivo svojstvo broja Pi pokazalo da ne postoji rješenje problema kvadrature kruga.

Najmanje četiri i pol tisućljeća čovječanstvo je pokušavalo dobiti sve točniju vrijednost broja Pi. Na primjer, u Bibliji u Trećoj knjizi o kraljevima (7:23), broj Pi se uzima kao 3.

Vrijednost Pi izvanredne točnosti može se pronaći u piramidama u Gizi: omjer opsega i visine piramida je 22/7. Ovaj razlomak daje približnu vrijednost Pi jednaku 3,142... Osim, naravno, ako Egipćani nisu slučajno postavili ovaj omjer. Istu vrijednost već je dobio u odnosu na izračun broja Pi u 3. stoljeću prije Krista od strane velikog Arhimeda.

U Ahmesovom papirusu, staroegipatskom udžbeniku matematike koji datira iz 1650. godine prije Krista, Pi se izračunava kao 3,160493827.

U staroindijskim tekstovima oko 9. stoljeća prije Krista najtočnija vrijednost bila je izražena brojem 339/108, što je bilo jednako 3,1388...

Gotovo dvije tisuće godina nakon Arhimeda ljudi su pokušavali pronaći načine za izračunavanje broja Pi. Među njima je bilo poznatih i nepoznatih matematičara. Na primjer, rimski arhitekt Marcus Vitruvius Pollio, egipatski astronom Claudius Ptolemy, kineski matematičar Liu Hui, indijski mudrac Aryabhata, srednjovjekovni matematičar Leonardo iz Pise, poznat kao Fibonacci, arapski znanstvenik Al-Khwarizmi, iz čijeg imena potječe riječ pojavio se “algoritam”. Svi oni i mnogi drugi ljudi tražili su najtočnije metode za izračunavanje Pi, ali sve do 15. stoljeća nikada nisu dobili više od 10 decimala zbog složenosti izračuna.

Naposljetku, 1400. godine indijski matematičar Madhava iz Sangamagrama izračunao je Pi s točnošću od 13 znamenki (iako je u posljednje dvije još bio u zabludi).

Broj znakova

U 17. stoljeću Leibniz i Newton otkrili su analizu infinitezimalnih veličina, što je omogućilo progresivnije izračunavanje Pi - putem potencijskih redova i integrala. Newton je sam izračunao 16 decimalnih mjesta, ali to nije spomenuo u svojim knjigama - to je postalo poznato nakon njegove smrti. Newton je tvrdio da je Pi izračunao čisto iz dosade.

Otprilike u isto vrijeme javili su se i drugi manje poznati matematičari i predložili nove formule za izračunavanje broja Pi pomoću trigonometrijskih funkcija.

Na primjer, ovo je formula koju je 1706. učitelj astronomije John Machin koristio za izračunavanje Pi: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Koristeći se analitičkim metodama, Machin je iz ove formule izveo broj Pi na sto decimala.

Usput, iste 1706. broj Pi dobio je službenu oznaku u obliku grčkog slova: William Jones ga je koristio u svom radu na matematici, uzimajući prvo slovo grčke riječi "periferija", što znači "krug". .” Veliki Leonhard Euler, rođen 1707., popularizirao je ovu oznaku, sada poznatu svakom školarcu.

Prije ere računala, matematičari su se usredotočili na izračunavanje što je moguće više znakova. U tom smislu, ponekad su se pojavile smiješne stvari. Matematičar amater W. Shanks izračunao je 707 znamenki broja Pi 1875. godine. Ovih sedam stotina znakova ovjekovječeno je na zidu Palais des Discovery u Parizu 1937. godine. Međutim, devet godina kasnije, pažljivi matematičari otkrili su da je samo prvih 527 znakova ispravno izračunato. Muzej je morao imati značajne troškove kako bi ispravio pogrešku - sada su sve brojke točne.

Kada su se pojavila računala, broj znamenki broja Pi počeo se računati potpuno nezamislivim redoslijedom.

Jedno od prvih elektroničkih računala, ENIAC, stvoreno 1946., bilo je golemih dimenzija i stvaralo je toliko topline da se soba zagrijavala do 50 stupnjeva Celzija, izračunalo je prvih 2037 znamenki broja Pi. Za ovaj izračun stroju je trebalo 70 sati.

Kako su se računala poboljšavala, naše znanje o Piju pomicalo se sve dalje i dalje u beskonačnost. Godine 1958. izračunato je 10 tisuća znamenki broja. Godine 1987. Japanci su izračunali 10.013.395 znakova. Godine 2011. japanski istraživač Shigeru Hondo premašio je granicu od 10 bilijuna znakova.

Gdje još možete upoznati Pi?

Dakle, često naše znanje o broju Pi ostaje na školskoj razini, a pouzdano znamo da je taj broj nezamjenjiv prije svega u geometriji.

Osim formula za duljinu i površinu kruga, broj Pi se koristi u formulama za elipse, sfere, stošce, cilindre, elipsoide i tako dalje: na nekim mjestima formule su jednostavne i lako se pamte, ali u drugima sadrže vrlo složene integrale.

Zatim broj Pi možemo sresti u matematičkim formulama, gdje se na prvi pogled ne vidi geometrija. Na primjer, neodređeni integral od 1/(1-x^2) jednak je Pi.

Pi se često koristi u analizi serija. Na primjer, ovdje je jednostavan niz koji konvergira u Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Među nizovima, Pi se najneočekivanije pojavljuje u poznatoj Riemannovoj zeta funkciji. Nemoguće je o tome govoriti ukratko, recimo samo da će jednog dana broj Pi pomoći u pronalaženju formule za izračunavanje prostih brojeva.

I posve iznenađujuće: Pi se pojavljuje u dvije najljepše "kraljevske" formule matematike - Stirlingovoj formuli (koja pomaže u pronalaženju približne vrijednosti faktorijela i gama funkcije) i Eulerovoj formuli (koja povezuje čak pet matematičkih konstanti).

Međutim, najneočekivanije otkriće čekalo je matematičare u teoriji vjerojatnosti. Tu je i broj Pi.

Na primjer, vjerojatnost da će dva broja biti relativno prosta je 6/PI^2.

Pi se pojavljuje u Buffonovom problemu bacanja igle, formuliranom u 18. stoljeću: koja je vjerojatnost da će igla bačena na obrubljeni papir prijeći jednu od linija. Ako je duljina igle L, a razmak između crta L, a r > L, tada možemo približno izračunati vrijednost Pi pomoću formule vjerojatnosti 2L/rPI. Zamislite samo - Pi možemo dobiti iz slučajnih događaja. I usput, Pi je prisutan u normalnoj distribuciji vjerojatnosti, pojavljuje se u jednadžbi poznate Gaussove krivulje. Znači li to da je Pi još temeljniji od jednostavnog omjera opsega i promjera?

Pi možemo sresti i u fizici. Pi se pojavljuje u Coulombovom zakonu, koji opisuje silu međudjelovanja između dva naboja, u trećem Keplerovom zakonu, koji pokazuje period revolucije planeta oko Sunca, a pojavljuje se čak i u rasporedu elektronskih orbitala atoma vodika. A ono što je opet najnevjerojatnije jest da se broj Pi krije u formuli Heisenbergovog principa neodređenosti - temeljnog zakona kvantne fizike.

Tajne Pija

U romanu Kontakt Carla Sagana, po kojem je snimljen i istoimeni film, izvanzemaljci govore junakinji da se među znakovima Pi nalazi tajna poruka od Boga. Iz određene pozicije brojevi u broju prestaju biti slučajni i predstavljaju šifru u kojoj su zapisane sve tajne Svemira.

Ovaj roman zapravo je odraz misterija koji je zaokupio umove matematičara diljem svijeta: je li Pi normalan broj u kojem su znamenke jednako učestalo raspoređene ili nešto nije u redu s ovim brojem? I iako su znanstvenici skloni prvoj opciji (ali to ne mogu dokazati), broj Pi izgleda vrlo misteriozno. Japanac je jednom izračunao koliko se puta brojevi od 0 do 9 pojavljuju u prvih trilijun znamenki broja Pi. I vidio sam da su brojevi 2, 4 i 8 češći od ostalih. Ovo može biti jedan od nagovještaja da Pi nije posve normalan, a brojevi u njemu doista nisu nasumični.

Sjetimo se svega što smo gore pročitali i zapitajmo se, koji se još iracionalni i transcendentalni broj tako često nalazi u stvarnom svijetu?

A sprema se još neobičnosti. Na primjer, zbroj prvih dvadeset znamenki broja Pi je 20, a zbroj prvih 144 znamenke jednak je "broju zvijeri" 666.

Glavni lik američke TV serije “Osumnjičeni”, profesor Finch, rekao je studentima da se zbog beskonačnosti broja Pi u njemu može naći bilo koja kombinacija brojeva, od brojeva vašeg datuma rođenja do složenijih brojeva . Na primjer, na poziciji 762 nalazi se niz od šest devetki. Taj se položaj naziva Feynmanova točka po poznatom fizičaru koji je uočio ovu zanimljivu kombinaciju.

Također znamo da broj Pi sadrži niz 0123456789, ali se nalazi na 17.387.594.880.

Sve to znači da se u beskonačnosti broja Pi mogu naći ne samo zanimljive kombinacije brojeva, već i kodirani tekst “Rata i mira”, Biblija pa čak i Glavna tajna svemira, ako takva postoji.

Usput, o Bibliji. Slavni popularizator matematike Martin Gardner 1966. godine je izjavio da bi milijunta znamenka broja Pi (tada još nepoznata) bila broj 5. Svoje izračune objasnio je činjenicom da je u engleskoj verziji Biblije, u 3. knjiga, 14. poglavlje, 16 stih (3-14-16) sedma riječ sadrži pet slova. Milijunta brojka dosegnuta je osam godina kasnije. Bio je to broj pet.

Vrijedi li nakon ovoga tvrditi da je broj Pi slučajan?