Solution de tâches typiques. L'étendue des fonctions dans les tâches d'examen Comment rechercher un ensemble de valeurs de fonction

La fonction est le modèle. Définissons X comme un ensemble de valeurs d'une variable indépendante // indépendant signifie quelconque.

Une fonction est une règle par laquelle, pour chaque valeur de la variable indépendante de l'ensemble X, on peut trouver la seule valeur de la variable dépendante. // c'est à dire. pour chaque x il y a un y.

Il découle de la définition qu'il existe deux concepts - une variable indépendante (que nous désignons par x et qui peut prendre n'importe quelle valeur) et une variable dépendante (que nous désignons par y ou f (x) et qui est calculée à partir de la fonction lorsque on substitue x).

PAR EXEMPLE y=5+x

1. Independent est x, donc nous prenons n'importe quelle valeur, soit x = 3

2. et maintenant nous calculons y, donc y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y dépend de x, car ce que nous substituons par x, nous obtenons un tel y)

On dit que la variable y est fonctionnellement dépendante de la variable x et cela se note comme suit : y = f (x).

PAR EXEMPLE.

1.y=1/x. (appelé hyperbole)

2. y=x^2. (appelée parabole)

3.y=3x+7. (appelée droite)

4. y \u003d √ x. (appelée la branche de la parabole)

La variable indépendante (que nous notons x) est appelée l'argument de la fonction.

Portée de la fonction

L'ensemble de toutes les valeurs prises par un argument de fonction est appelé le domaine de la fonction et est noté D(f) ou D(y).

Considérons D(y) pour 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) et (0;+∞) //l'ensemble des nombres réels sauf zéro.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / tous les nombreux nombres réels

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / tous les nombreux nombres réels

4. D (y) \u003d. Trouvez la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur ce segment.

La dérivée est positive pour tout X de l'intervalle (-1; 1) , c'est-à-dire que la fonction arc sinus augmente sur tout le domaine de définition. Par conséquent, il prend la plus petite valeur à x=-1, et le plus grand à x=1.

Nous avons obtenu la plage de la fonction arc sinus .

Trouver l'ensemble des valeurs de la fonction sur la tranche .

Décision.

Trouver la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur le segment donné.

Déterminons les points extrêmes appartenant au segment :

De nombreuses tâches nous amènent à rechercher un ensemble de valeurs de fonctions sur un certain segment ou sur tout le domaine de définition. Ces tâches comprennent diverses évaluations d'expressions, la résolution d'inégalités.

Dans cet article, nous allons définir la plage d'une fonction, envisager des méthodes pour la trouver et analyser en détail la solution d'exemples du plus simple au plus complexe. Tout le matériel sera fourni avec des illustrations graphiques pour plus de clarté. Cet article est donc une réponse détaillée à la question de savoir comment trouver la plage d'une fonction.

Définition.

L'ensemble des valeurs de la fonction y = f(x) sur l'intervalle X appelé l'ensemble de toutes les valeurs de la fonction qu'il prend lors de l'itération sur tous .

Définition.

La plage de la fonction y = f(x) est appelé l'ensemble de toutes les valeurs de la fonction qu'elle prend lors de l'itération sur tous les x du domaine de définition.

La plage de la fonction est notée E(f) .

La plage d'une fonction et l'ensemble des valeurs d'une fonction ne sont pas la même chose. Ces concepts seront considérés comme équivalents si l'intervalle X lors de la recherche de l'ensemble des valeurs de la fonction y = f(x) coïncide avec le domaine de la fonction.

Aussi, ne confondez pas la plage de la fonction avec la variable x pour l'expression du côté droit de l'équation y=f(x) . L'aire des valeurs autorisées de la variable x pour l'expression f(x) est l'aire de la définition de la fonction y=f(x) .

La figure montre quelques exemples.

Les graphiques de fonction sont représentés par des lignes bleues en gras, les lignes rouges fines sont des asymptotes, les points rouges et les lignes sur l'axe Oy indiquent la plage de la fonction correspondante.

Comme vous pouvez le voir, la plage de la fonction est obtenue en projetant le graphique de la fonction sur l'axe des ordonnées. Il peut s'agir d'un nombre unique (premier cas), d'un ensemble de nombres (deuxième cas), d'un segment (troisième cas), d'un intervalle (quatrième cas), d'un rayon ouvert (cinquième cas), d'une union (sixième cas), etc. .

Alors, que devez-vous faire pour trouver la plage de la fonction.

Commençons par le cas le plus simple : nous allons montrer comment déterminer l'ensemble des valeurs d'une fonction continue y = f(x) sur l'intervalle .

On sait qu'une fonction continue sur un segment atteint ses valeurs maximale et minimale sur celui-ci. Ainsi, l'ensemble des valeurs de la fonction d'origine sur le segment sera le segment . Par conséquent, notre tâche se réduit à trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction sur l'intervalle .

Par exemple, trouvons la plage de la fonction arc sinus.

Exemple.

Spécifiez la plage de la fonction y = arcsinx .

Décision.

Le domaine de définition de l'arc sinus est le segment [-1 ; une] . Trouvez la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur ce segment.

La dérivée est positive pour tout x de l'intervalle (-1; 1) , c'est-à-dire que la fonction arcsinus augmente sur tout le domaine de définition. Par conséquent, il prend la plus petite valeur à x = -1 et la plus grande à x = 1.

Nous avons obtenu la plage de la fonction arc sinus .

Exemple.

Trouver l'ensemble des valeurs de la fonction sur la tranche.

Décision.

Trouver la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur le segment donné.

Définissons les points extrêmes appartenant au segment :

Nous calculons les valeurs de la fonction d'origine aux extrémités du segment et aux points :

Par conséquent, l'ensemble des valeurs de la fonction sur le segment est le segment .

Nous allons maintenant montrer comment trouver l'ensemble des valeurs d'une fonction continue y = f(x) dans les intervalles (a; b) , .

Premièrement, nous déterminons les points extremum, les extrema de la fonction, les intervalles de croissance et de diminution de la fonction sur un intervalle donné. Ensuite, on calcule aux extrémités de l'intervalle et (ou) les bornes à l'infini (c'est-à-dire qu'on étudie le comportement de la fonction aux bornes de l'intervalle ou à l'infini). Cette information est suffisante pour trouver l'ensemble des valeurs de fonction sur de tels intervalles.

Exemple.

Déterminez l'ensemble des valeurs de fonction sur l'intervalle (-2; 2) .

Décision.

Trouvons les points extrêmes de la fonction tombant sur l'intervalle (-2; 2) :

Point x = 0 est le point maximum, puisque la dérivée change de signe de plus à moins en la traversant, et le graphique de la fonction va de croissant à décroissant.

est le maximum correspondant de la fonction.

Découvrons le comportement de la fonction lorsque x tend vers -2 à droite et lorsque x tend vers 2 à gauche, c'est-à-dire que nous trouvons des limites unilatérales :

Ce que nous avons : lorsque l'argument passe de -2 à zéro, les valeurs de la fonction augmentent de moins l'infini à moins un quart (le maximum de la fonction à x = 0 ), lorsque l'argument passe de zéro à 2, la fonction les valeurs diminuent jusqu'à moins l'infini. Ainsi, l'ensemble des valeurs de fonction sur l'intervalle (-2 ; 2) est .

Exemple.

Spécifiez l'ensemble des valeurs de la fonction tangente y = tgx sur l'intervalle .

Décision.

La dérivée de la fonction tangente sur l'intervalle est positive , ce qui indique une augmentation de la fonction. Nous étudions le comportement de la fonction sur les bornes de l'intervalle :

Ainsi, lorsque l'argument passe de à, les valeurs de la fonction augmentent de moins l'infini à plus l'infini, c'est-à-dire que l'ensemble des valeurs tangentes dans cet intervalle est l'ensemble de tous les nombres réels.

Exemple.

Trouvez la plage de la fonction logarithme naturel y = lnx .

Décision.

La fonction logarithme naturel est définie pour les valeurs positives de l'argument . Sur cet intervalle la dérivée est positive , cela indique une augmentation de la fonction sur celui-ci. Trouvons la limite unilatérale de la fonction lorsque l'argument tend vers zéro à partir de la droite, et la limite lorsque x tend vers plus l'infini :

Nous voyons que lorsque x passe de zéro à plus l'infini, les valeurs de la fonction augmentent de moins l'infini à plus l'infini. Par conséquent, la plage de la fonction logarithme naturel est l'ensemble complet des nombres réels.

Exemple.

Décision.

Cette fonction est définie pour toutes les valeurs x réelles. Déterminons les points extrêmes, ainsi que les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction.

Par conséquent, la fonction diminue à , augmente à , x = 0 est le point maximum, le maximum correspondant de la fonction.

Regardons le comportement de la fonction à l'infini :

Ainsi, à l'infini, les valeurs de la fonction tendent asymptotiquement vers zéro.

Nous avons constaté que lorsque l'argument passe de moins l'infini à zéro (point maximum), les valeurs de la fonction augmentent de zéro à neuf (jusqu'au maximum de la fonction), et lorsque x passe de zéro à plus l'infini, le les valeurs de la fonction diminuent de neuf à zéro.

Regardez le dessin schématique.

Maintenant, on voit clairement que la plage de la fonction est .

Trouver l'ensemble des valeurs de la fonction y = f(x) sur des intervalles nécessite des études similaires. Nous ne nous attarderons pas maintenant sur ces cas en détail. Nous les verrons dans les exemples ci-dessous.

Soit le domaine de la fonction y = f(x) la réunion de plusieurs intervalles. Lors de la recherche de la plage d'une telle fonction, les ensembles de valeurs sur chaque intervalle sont déterminés et leur union est prise.

Exemple.

Trouver la plage de la fonction .

Décision.

Le dénominateur de notre fonction ne doit pas aller à zéro, c'est-à-dire .

Trouvons d'abord l'ensemble des valeurs de la fonction sur le rayon ouvert .

Fonction dérivée est négatif sur cet intervalle, c'est-à-dire que la fonction y est décroissante.

Nous avons constaté que lorsque l'argument tend vers moins l'infini, les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de l'unité. Lorsque x passe de moins l'infini à deux, les valeurs de la fonction diminuent de un à moins l'infini, c'est-à-dire que sur l'intervalle considéré, la fonction prend un ensemble de valeurs. Nous n'incluons pas l'unité, car les valeurs de la fonction ne l'atteignent pas, mais tendent asymptotiquement vers elle à moins l'infini.

On agit de même pour une poutre ouverte.

La fonction décroît également sur cet intervalle.

L'ensemble des valeurs de fonction sur cet intervalle est l'ensemble .

Ainsi, la plage de valeurs de fonction souhaitée est l'union des ensembles et .

Illustration graphique.

Séparément, nous devrions nous attarder sur les fonctions périodiques. La plage des fonctions périodiques coïncide avec l'ensemble des valeurs sur l'intervalle correspondant à la période de cette fonction.

Exemple.

Trouvez la plage de la fonction sinus y = sinx .

Décision.

Cette fonction est périodique avec une période de deux pi. Prenons un segment et définissons l'ensemble de valeurs sur celui-ci.

Le segment contient deux points extrêmes et .

Nous calculons les valeurs de la fonction en ces points et sur les limites du segment, choisissons les valeurs les plus petites et les plus grandes :

Ainsi, .

Exemple.

Trouver la plage d'une fonction .

Décision.

Nous savons que la plage de l'arc cosinus est le segment de zéro à pi, c'est-à-dire ou dans un autre poste. Une fonction peut être obtenu à partir d'arccosx en déplaçant et en étirant le long de l'axe des x. De telles transformations n'affectent pas la gamme, par conséquent, . Une fonction vient de s'étendant trois fois le long de l'axe Oy, c'est-à-dire . Et la dernière étape des transformations est un décalage de quatre unités vers le bas le long de l'axe des ordonnées. Cela nous conduit à une double inégalité

Ainsi, la plage de valeurs souhaitée est .

Donnons une solution à un autre exemple, mais sans explications (elles ne sont pas nécessaires, car elles sont complètement similaires).

Exemple.

Définir la plage de fonctions .

Décision.

On écrit la fonction originale sous la forme . La plage de la fonction exponentielle est l'intervalle . C'est à dire, . Puis

Ainsi, .

Pour compléter le tableau, nous devrions parler de trouver la plage d'une fonction qui n'est pas continue sur le domaine de définition. Dans ce cas, le domaine de définition est divisé par des points de rupture en intervalles, et on retrouve les ensembles de valeurs sur chacun d'eux. En combinant les ensembles de valeurs obtenus, nous obtenons la plage de valeurs de la fonction d'origine. Nous recommandons de retenir 3 à gauche, les valeurs de la fonction tendent vers moins un, et lorsque x tend vers 3 à droite, les valeurs de la fonction tendent vers plus l'infini.

Ainsi, le domaine de définition de la fonction est divisé en trois intervalles.

Sur l'intervalle on a la fonction . Depuis

Ainsi, l'ensemble des valeurs de la fonction d'origine sur l'intervalle est [-6;2] .

Sur le demi-intervalle nous avons une fonction constante y = -1 . C'est-à-dire que l'ensemble des valeurs de la fonction d'origine sur l'intervalle est constitué d'un seul élément .

La fonction est définie pour toutes les valeurs valides de l'argument. Découvrez les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.

La dérivée s'annule en x=-1 et x=3 . Nous marquons ces points sur l'axe réel et déterminons les signes de la dérivée sur les intervalles obtenus.

La fonction diminue de , augmente de [-1 ; 3] , x=-1 point minimum, x=3 point maximum.

On calcule les fonctions minimum et maximum correspondantes :

Vérifions le comportement de la fonction à l'infini :

La deuxième limite a été calculée à partir de .

Faisons un dessin schématique.

Lorsque l'argument passe de moins l'infini à -1, les valeurs de la fonction diminuent de plus l'infini à -2e , lorsque l'argument passe de -1 à 3, les valeurs de la fonction augmentent de -2e à , lorsque l'argument passe de 3 à plus l'infini, les valeurs de la fonction décroissent de zéro, mais elles n'atteignent pas zéro.

Souvent, dans le cadre de la résolution de problèmes, on est amené à chercher un ensemble de valeurs d'une fonction sur le domaine de définition ou sur un segment. Par exemple, cela devrait être fait lors de la résolution de différents types d'inéquations, de l'évaluation d'expressions, etc.

Dans le cadre de ce matériel, nous vous dirons quelle est la portée d'une fonction, donnerons les principales méthodes par lesquelles elle peut être calculée et analyserons des problèmes plus ou moins complexes. Pour plus de clarté, les positions individuelles sont illustrées par des graphiques. Après avoir lu cet article, vous aurez une compréhension globale de la portée d'une fonction.

Commençons par les définitions de base.

Définition 1

L'ensemble des valeurs de la fonction y = f (x) sur un intervalle x est l'ensemble de toutes les valeurs que cette fonction prend lors de l'itération sur toutes les valeurs x ∈ X .

Définition 2

La plage d'une fonction y = f (x) est l'ensemble de toutes ses valeurs qu'elle peut prendre lors de l'itération sur les valeurs x de la plage x ∈ (f) .

La plage d'une fonction est généralement notée E (f) .

Veuillez noter que la notion d'ensemble de valeurs d'une fonction n'est pas toujours identique à l'aire de ses valeurs. Ces concepts ne seront équivalents que si la plage de valeurs x lors de la recherche de l'ensemble de valeurs coïncide avec le domaine de la fonction.

Il est également important de faire la distinction entre la plage et la plage de la variable x pour l'expression du côté droit y = f (x) . La zone de valeurs acceptables x pour l'expression f (x) sera la zone de définition de cette fonction.

Ci-dessous une illustration montrant quelques exemples. Les lignes bleues sont des graphiques de fonctions, les rouges sont des asymptotes, les points rouges et les lignes sur l'axe y sont les plages de la fonction.

Bien entendu, la portée de la fonction peut être obtenue en projetant le graphe de la fonction sur l'axe O y . De plus, il peut s'agir soit d'un nombre unique, soit d'un ensemble de nombres, d'un segment, d'un intervalle, d'un rayon ouvert, d'une union d'intervalles numériques, etc.

Considérez les principales façons de trouver la plage d'une fonction.

Commençons par définir l'ensemble des valeurs d'une fonction continue y = f (x) sur un certain segment, désigné [ a ; b] . On sait qu'une fonction continue sur un certain intervalle atteint son minimum et son maximum sur celle-ci, c'est-à-dire le maximum m a x x ∈ a ; b f (x) et la plus petite valeur m i n x ∈ a ; b f (x) . Ainsi, nous obtenons un segment m i n x ∈ a ; bf(x) ; m une X X ∈ une ; b f (x) , qui contiendra les ensembles de valeurs de la fonction d'origine. Ensuite, tout ce que nous devons faire est de trouver les points minimum et maximum spécifiés sur ce segment.

Prenons un problème dans lequel il est nécessaire de déterminer la plage de valeurs de l'arc sinus.

Exemple 1

État: trouver la plage y = a r c sin x .

Décision

Dans le cas général, le domaine de définition de l'arc sinus est situé sur l'intervalle [ - 1 ; une ] . Nous devons déterminer la plus grande et la plus petite valeur de la fonction spécifiée.

y "= une r c sin X" = 1 1 - x 2

On sait que la dérivée de la fonction sera positive pour toutes les valeurs de x situées dans l'intervalle [ - 1 ; 1 ] , c'est-à-dire que dans tout le domaine de définition, la fonction arc sinus augmentera. Cela signifie qu'il prendra la plus petite valeur lorsque x est égal à - 1, et la plus grande - lorsque x est égal à 1.

m je n X ∈ - 1 ; 1 une r c péché X = une r c péché - 1 = - π 2 m une X X ∈ - 1 ; 1 une r c péché X = une r c péché 1 = π 2

Ainsi, la plage de la fonction arc sinus sera égale à E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Répondre: E (a r c sin X) \u003d - π 2; π 2

Exemple 2

État: calculer la plage y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 sur le segment donné [ 1 ; 4 ] .

Décision

Tout ce que nous avons à faire est de calculer la plus grande et la plus petite valeur de la fonction dans l'intervalle donné.

Pour déterminer les points extrêmes, il faut effectuer les calculs suivants :

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1, 4 et l et 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4

Trouvons maintenant les valeurs de la fonction donnée aux extrémités du segment et aux points x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8 :

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 et 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 ans (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Cela signifie que l'ensemble des valeurs de fonction sera déterminé par le segment 117 - 165 33 512 ; 32 .

Répondre: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Passons à la recherche de l'ensemble des valeurs de la fonction continue y = f (x) dans les intervalles (a ; b) , et a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

Commençons par déterminer les points les plus grands et les plus petits, ainsi que les intervalles d'augmentation et de diminution dans un intervalle donné. Après cela, nous devrons calculer des limites unilatérales aux extrémités de l'intervalle et/ou des limites à l'infini. En d'autres termes, nous devons déterminer le comportement de la fonction dans des conditions données. Pour cela, nous disposons de toutes les données nécessaires.

Exemple 3

État: calculer la portée de la fonction y = 1 x 2 - 4 sur l'intervalle (- 2 ; 2) .

Décision

Déterminer la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur un intervalle donné

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Nous avons obtenu la valeur maximale égale à 0, puisque c'est à ce point que le signe de la fonction change et que le graphique commence à décroître. Voir l'illustration :

Autrement dit, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 sera la valeur maximale de la fonction.

Définissons maintenant le comportement de la fonction pour un x qui tend vers - 2 du côté droit et + 2 du côté gauche. En d'autres termes, nous trouvons des limites unilatérales :

lim X → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim X → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim X → 2 + 0 1 X 2 - 4 = lim X → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Nous avons compris que les valeurs de la fonction augmenteront de moins l'infini à - 1 4 lorsque l'argument passera de - 2 à 0 . Et lorsque l'argument passe de 0 à 2, les valeurs de la fonction diminuent vers moins l'infini. Par conséquent, l'ensemble des valeurs de la fonction donnée sur l'intervalle dont nous avons besoin sera (- ∞ ; - 1 4 ] .

Répondre: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Exemple 4

État: indiquer l'ensemble de valeurs y = t g x sur l'intervalle donné - π 2 ; π 2 .

Décision

On sait qu'en général, la dérivée de la tangente en - π 2 ; π 2 sera positif, c'est-à-dire que la fonction augmentera. Définissons maintenant comment la fonction se comporte dans les limites données :

lim X → π 2 + 0 t g X = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim X → π 2 - 0 t g X = t g π 2 - 0 = + ∞

Nous avons obtenu une augmentation des valeurs de la fonction de moins l'infini à plus l'infini lorsque l'argument passe de - π 2 à π 2, et nous pouvons dire que l'ensemble des solutions de cette fonction sera l'ensemble de tous les réels Nombres.

Répondre: - ∞ ; + ∞ .

Exemple 5

État: déterminer quelle est la plage de la fonction logarithme naturel y = ln x .

Décision

On sait que cette fonction est définie pour des valeurs positives de l'argument D (y) = 0 ; +∞ . La dérivée sur l'intervalle donné sera positive : y " = ln x " = 1 x . Cela signifie que la fonction est croissante sur elle. Ensuite, nous devons définir une limite unilatérale pour le cas où l'argument tend vers 0 (sur le côté droit) et lorsque x tend vers l'infini :

lim X → 0 + 0 ln X = ln (0 + 0) = - ∞ lim X → ∞ ln X = ln + ∞ = + ∞

Nous avons constaté que les valeurs de la fonction augmenteront de moins l'infini à plus l'infini lorsque les valeurs x changent de zéro à plus l'infini. Cela signifie que l'ensemble de tous les nombres réels est la plage de la fonction logarithme naturel.

Répondre: l'ensemble de tous les nombres réels est la plage de la fonction logarithme naturel.

Exemple 6

État: déterminer quelle est la plage de la fonction y = 9 x 2 + 1 .

Décision

Cette fonction est définie à condition que x soit un nombre réel. Calculons les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction, ainsi que les intervalles de son augmentation et de sa diminution:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

En conséquence, nous avons déterminé que cette fonction diminuera si x ≥ 0 ; augmenter si x ≤ 0 ; il a un point maximum y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 lorsque la variable est 0 .

Voyons comment la fonction se comporte à l'infini :

lim X → - ∞ 9 X 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim X → + ∞ 9 X 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Il ressort de l'enregistrement que les valeurs de la fonction dans ce cas approcheront asymptotiquement de 0.

Pour résumer : lorsque l'argument passe de moins l'infini à zéro, alors les valeurs de la fonction augmentent de 0 à 9 . Au fur et à mesure que les valeurs d'argument vont de 0 à plus l'infini, les valeurs de fonction correspondantes vont décroître de 9 à 0 . Nous l'avons représenté sur la figure :

Il montre que la plage de la fonction sera l'intervalle E (y) = (0 ; 9 ]

Répondre: E (y) = (0 ; 9 ]

Si nous devons déterminer l'ensemble des valeurs de la fonction y = f (x) sur les intervalles [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , alors nous aurons à faire exactement les mêmes études. Nous n'analyserons pas encore ces cas : nous les rencontrerons plus tard dans des problèmes .

Mais que se passe-t-il si le domaine d'une certaine fonction est la réunion de plusieurs intervalles ? Ensuite, nous devons calculer les ensembles de valeurs sur chacun de ces intervalles et les combiner.

Exemple 7

État: déterminer quelle sera la plage de y = x x - 2 .

Décision

Puisque le dénominateur de la fonction ne doit pas être transformé en 0 , alors D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .

Commençons par définir l'ensemble des valeurs de fonction sur le premier segment - ∞ ; 2, qui est un faisceau ouvert. Nous savons que la fonction sur celle-ci diminuera, c'est-à-dire que la dérivée de cette fonction sera négative.

lim X → 2 - 0 X X - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim X → - ∞ X X - 2 = lim X → - ∞ X - 2 + 2 X - 2 = lim X → - ∞ 1 + 2 X - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Ensuite, dans les cas où l'argument évolue vers moins l'infini, les valeurs de la fonction s'approcheront asymptotiquement de 1 . Si les valeurs de x passent de moins l'infini à 2, alors les valeurs diminueront de 1 à moins l'infini, c'est-à-dire la fonction sur ce segment prendra des valeurs dans l'intervalle - ∞ ; une . Nous excluons l'unité de notre raisonnement, car les valeurs de la fonction ne l'atteignent pas, mais ne s'en approchent qu'asymptotiquement.

Pour faisceau ouvert 2 ; + ∞ nous effectuons exactement les mêmes actions. La fonction sur celui-ci diminue également:

lim X → 2 + 0 X X - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim X → + ∞ X X - 2 = lim X → + ∞ X - 2 + 2 X - 2 = lim X → + ∞ 1 + 2 X - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Les valeurs de la fonction sur ce segment sont déterminées par l'ensemble 1 ; +∞ . Cela signifie que la plage de valeurs de la fonction spécifiée dans la condition dont nous avons besoin sera l'union d'ensembles - ∞; 1 et 1 ; +∞ .

Répondre: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ .

Cela se voit sur le graphique :

Un cas particulier est celui des fonctions périodiques. Leur domaine de valeur coïncide avec l'ensemble des valeurs sur l'intervalle qui correspond à la période de cette fonction.

Exemple 8

État: déterminer la plage du sinus y = sin x .

Décision

Le sinus fait référence à une fonction périodique et sa période est de 2 pi. On prend un segment 0 ; 2 π et voyez quel sera l'ensemble de valeurs dessus.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Entre 0 ; 2 π la fonction aura des points extrêmes π 2 et x = 3 π 2 . Calculons à quoi les valeurs de la fonction seront égales en elles, ainsi que sur les limites du segment, après quoi nous choisissons la valeur la plus grande et la plus petite.

y (0) = péché 0 = 0 y π 2 = péché π 2 = 1 y 3 π 2 = péché 3 π 2 = - 1 y (2 π) = péché (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π péché X = péché 3 π 2 = - 1 , max X ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Répondre: E (sinus) = - 1 ; une .

Si vous avez besoin de connaître les plages de fonctions telles que exponentielles, exponentielles, logarithmiques, trigonométriques, trigonométriques inverses, alors nous vous conseillons de relire l'article sur les fonctions élémentaires de base. La théorie que nous présentons ici nous permet de tester les valeurs qui y sont spécifiées. Il est souhaitable de les apprendre, car ils sont souvent nécessaires pour résoudre des problèmes. Si vous connaissez les plages des fonctions principales, vous pouvez facilement trouver les plages de fonctions obtenues à partir des fonctions élémentaires à l'aide d'une transformation géométrique.

Exemple 9

État: déterminer la plage y = 3 a r c cos X 3 + 5 π 7 - 4 .

Décision

Nous savons que le segment de 0 à pi est la plage du cosinus inverse. En d'autres termes, E (a r c cos x) = 0 ; π ou 0 ≤ une r c cos X ≤ π . Nous pouvons obtenir la fonction a r c cos x 3 + 5 π 7 à partir de l'arc cosinus en la déplaçant et en l'étirant le long de l'axe O x, mais de telles transformations ne nous donneront rien. Par conséquent, 0 ≤ a r c cos X 3 + 5 π 7 ≤ π .

La fonction 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 peut être obtenue à partir du cosinus inverse a r c cos x 3 + 5 π 7 en étirant le long de l'axe y, c'est-à-dire 0 ≤ 3 une r c cos X 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . La transformation finale est un décalage le long de l'axe O y de 4 valeurs. On obtient alors une double inégalité :

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Nous avons compris que la plage dont nous avons besoin sera égale à E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Répondre: E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Écrivons un autre exemple sans explications, car il est tout à fait similaire au précédent.

Exemple 10

État: calculer quelle sera la portée de la fonction y = 2 2 x - 1 + 3 .

Décision

Réécrivons la fonction donnée dans la condition comme y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3 . Pour une fonction puissance y = x - 1 2 la plage sera définie sur l'intervalle 0 ; + ∞ , c'est-à-dire x - 1 2 > 0 . Dans ce cas:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Donc E (y) = 3 ; +∞ .

Répondre: E (y) = 3 ; +∞ .

Voyons maintenant comment trouver la plage d'une fonction qui n'est pas continue. Pour ce faire, nous devons diviser toute la zone en intervalles et trouver les ensembles de valeurs sur chacun d'eux, puis combiner ce que nous avons. Pour mieux comprendre cela, nous vous conseillons de passer en revue les principaux types de points d'arrêt de fonction.

Exemple 11

État:étant donné une fonction y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Calculez sa portée.

Décision

Cette fonction est définie pour toutes les valeurs x. Analysons-le pour continuité avec les valeurs de l'argument égales à - 3 et 3 :

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim X → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim X → - 3 - 0 f (x) ≠ lim X → - 3 + 0 f (x)

On a une discontinuité irrécupérable de première espèce avec la valeur de l'argument -3. Au fur et à mesure que vous vous en approchez, les valeurs de la fonction tendent vers - 2 sin 3 2 - 4 , et lorsque x tend vers - 3 du côté droit, les valeurs tendront vers - 1 .

lim X → 3 - 0 f(x) = lim X → 3 - 0 (- 1) = 1 lim X → 3 + 0 f(x) = lim X → 3 + 0 1 X - 3 = + ∞

Nous avons une discontinuité inamovible du deuxième type au point 3 . Lorsque la fonction tend vers elle, ses valeurs se rapprochent - 1, tout en tendant vers le même point à droite - vers moins l'infini.

Cela signifie que tout le domaine de définition de cette fonction est divisé en 3 intervalles (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

Sur le premier d'entre eux, nous avons obtenu la fonction y \u003d 2 sin x 2 - 4. Puisque - 1 ≤ sin x ≤ 1 , on obtient :

1 ≤ péché x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Cela signifie que sur cet intervalle (- ∞ ; - 3 ] l'ensemble des valeurs de la fonction est [- 6 ; 2 ] .

Sur le demi-intervalle (- 3 ; 3 ] nous obtenons une fonction constante y = - 1 . Par conséquent, l'ensemble de ses valeurs dans ce cas sera réduit à un nombre - 1 .

Sur le deuxième intervalle 3 ; + ∞ on a une fonction y = 1 x - 3 . Elle est décroissante car y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim X → 3 + 0 1 X - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim X → + ∞ 1 X - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Ainsi, l'ensemble des valeurs de la fonction d'origine pour x > 3 est l'ensemble 0 ; +∞ . Combinons maintenant les résultats : E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Répondre: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

La solution est représentée sur le graphique :

Exemple 12

Condition : il existe une fonction y = x 2 - 3 e x . Déterminer l'ensemble de ses valeurs.

Décision

Il est défini pour toutes les valeurs d'argument qui sont des nombres réels. Déterminons dans quels intervalles cette fonction augmentera, et dans lesquels elle diminuera :

y "= X 2 - 3 e X" = 2 X e X - e X (x 2 - 3) e 2 X = - X 2 + 2 X + 3 e X = - (x + 1) (x - 3) e X

Nous savons que la dérivée deviendra 0 si x = - 1 et x = 3 . Nous plaçons ces deux points sur l'axe et découvrons quels signes la dérivée aura sur les intervalles résultants.

La fonction diminuera de (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) et augmentera de [ - 1 ; 3]. Le point minimum sera - 1 , maximum - 3 .

Trouvons maintenant les valeurs de fonction correspondantes :

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Regardons le comportement de la fonction à l'infini :

lim X → - ∞ X 2 - 3 e X = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim X → + ∞ X 2 - 3 e X = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim X → + ∞ X 2 - 3 "e X" = lim X → + ∞ 2 X e X = + ∞ + ∞ = = lim X → + ∞ 2 X "(e X)" = 2 lim X → + ∞ 1 e X = 2 1 + ∞ = + 0

Pour calculer la deuxième limite, la règle de L'Hôpital a été utilisée. Traçons notre solution sur un graphique.

Il montre que les valeurs de la fonction vont décroître de plus l'infini à - 2 e lorsque l'argument passe de moins l'infini à - 1 . S'il passe de 3 à plus l'infini, les valeurs passeront de 6 e - 3 à 0, mais 0 ne sera pas atteint.

Ainsi, E (y) = [ - 2 e ; +∞) .

Répondre: E (y) = [ - 2 e ; +∞)

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Le concept de fonction et tout ce qui s'y rapporte est traditionnellement complexe, pas entièrement compris. Une pierre d'achoppement particulière dans l'étude de la fonction et la préparation à l'examen est le domaine de la définition et la plage de valeurs (changements) de la fonction.
Souvent, les élèves ne voient pas la différence entre le domaine d'une fonction et le domaine de ses valeurs.
Et si les élèves parviennent à maîtriser les tâches de recherche du domaine de définition d'une fonction, alors les tâches de recherche d'un ensemble de valeurs d'une fonction leur causent des difficultés considérables.
Le but de cet article : se familiariser avec les méthodes de recherche des valeurs d'une fonction.
À la suite de l'examen de ce sujet, du matériel théorique a été étudié, des méthodes de résolution de problèmes pour trouver des ensembles de valeurs de fonction ont été envisagées, du matériel didactique a été sélectionné pour le travail indépendant des étudiants.
Cet article peut être utilisé par un enseignant lors de la préparation des étudiants aux examens finaux et d'entrée, lors de l'étude du sujet «La portée d'une fonction» dans les cours optionnels des cours au choix en mathématiques.

I. Détermination de l'étendue de la fonction.

L'aire (ensemble) de valeurs E(y) de la fonction y = f(x) est l'ensemble de ces nombres y 0 , pour chacun desquels il existe un nombre tel x 0 que : f(x 0) = y 0 .

Rappelons les portées des principales fonctions élémentaires.

Considérez un tableau.

Une fonction	De nombreuses valeurs
y = kx + b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2 ; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arctan x	E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0 ; π)

Notez également que la plage de tout polynôme de degré pair est l'intervalle , où n est la plus grande valeur de ce polynôme.

II. Propriétés de fonction utilisées pour trouver la plage d'une fonction

Pour réussir à trouver l'ensemble des valeurs d'une fonction, il faut avoir une bonne connaissance des propriétés des fonctions élémentaires de base, notamment leurs domaines de définition, plages de valeurs, et la nature de la monotonie. Présentons les propriétés des fonctions différentiables continues et monotones, qui sont le plus souvent utilisées pour trouver l'ensemble des valeurs des fonctions.

Les propriétés 2 et 3 sont généralement utilisées conjointement avec la propriété d'une fonction élémentaire d'être continue dans son domaine. Dans ce cas, la solution la plus simple et la plus courte au problème de la recherche de l'ensemble des valeurs d'une fonction est obtenue sur la base de la propriété 1, s'il est possible de déterminer la monotonie de la fonction à l'aide de méthodes simples. La solution du problème est encore simplifiée si la fonction, en plus, est paire ou impaire, périodique, etc. Ainsi, lors de la résolution de problèmes de recherche d'ensembles de valeurs de fonction, les propriétés suivantes de la fonction doivent être vérifiées et utilisées si nécessaire :

• continuité;
• monotone;
• différentiabilité ;
• pair, impair, périodique, etc.

Les tâches simples de recherche d'un ensemble de valeurs de fonctions sont majoritairement orientées :

a) l'utilisation des estimations et restrictions les plus simples : (2 x > 0, -1 ≤ sinx ? 1, 0 ≤ cos 2 x ? 1, etc.) ;

b) pour sélectionner un carré complet : x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3 ;

c) pour la transformation des expressions trigonométriques : 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1 ;

d) en utilisant la monotonie de la fonction x 1/3 + 2 x-1 augmente de R.

III. Envisagez des façons de trouver les gammes de fonctions.

a) recherche séquentielle de valeurs d'arguments de fonctions complexes ;
b) méthode d'évaluation ;
c) utiliser les propriétés de continuité et de monotonie d'une fonction ;
d) utilisation d'un dérivé ;
e) l'utilisation des valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction ;
f) méthode graphique ;
g) méthode d'introduction des paramètres ;
h) méthode de la fonction inverse.

Nous révélerons l'essence de ces méthodes sur des exemples précis.

Exemple 1 : Trouver la plage E(y) fonctions y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Résolvons cet exemple en trouvant séquentiellement les valeurs des arguments de fonctions complexes. Après avoir sélectionné le carré plein sous le logarithme, nous transformons la fonction

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

Et trouver séquentiellement les ensembles de valeurs de ses arguments complexes :

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Dénoter t= 5 – (3 x +1) 2 , où -∞≤ t≤4. Ainsi, le problème se réduit à trouver l'ensemble des valeurs de la fonction y = log 0,5 t sur le rayon (-∞;4) . Puisque la fonction y = log 0,5 t n'est définie qu'à, alors son ensemble de valeurs sur le rayon (-∞;4) coïncide avec l'ensemble de valeurs de la fonction sur l'intervalle (0;4), qui est l'intersection du rayon (-∞;4) avec le domaine de définition (0;+∞) de la fonction logarithmique. Sur l'intervalle (0;4) cette fonction est continue et décroissante. À t> 0, il tend vers +∞, et quand t = 4 prend la valeur -2, donc E(y) =(-2, +∞).

Exemple 2 : Trouver la plage d'une fonction

y = cos7x + 5cosx

Résolvons cet exemple par la méthode des estimations, dont l'essence est d'estimer la fonction continue par le bas et par le haut et de prouver que la fonction atteint les bornes inférieure et supérieure des estimations. Dans ce cas, la coïncidence de l'ensemble des valeurs de la fonction avec l'intervalle entre la borne inférieure de l'estimation et la borne supérieure est déterminée par la continuité de la fonction et l'absence d'autres valeurs pour celle-ci.

A partir des inégalités -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 on obtient l'estimation -6≤y?6. Pour x = p et x = 0, la fonction prend les valeurs -6 et 6, soit atteint les limites inférieure et supérieure. En tant que combinaison linéaire de fonctions continues cos7x et cosx, la fonction y est continue le long de l'axe des nombres entiers, donc, par la propriété d'une fonction continue, elle prend toutes les valeurs de -6 à 6 inclus, et seulement elles, puisque , à cause des inégalités -6≤y?6, d'autres valeurs elle est impossible. Ainsi, E(y)= [-6;6].

Exemple 3 : Trouver la plage E(f) les fonctions f(x)= cos2x + 2cosx.

En utilisant la formule du cosinus à angle double, nous transformons la fonction f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 et dénotent t= cox. Puis f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Puisque E(cox) =

[-1;1], puis la plage de la fonction f(x) coïncide avec l'ensemble des valeurs de la fonction g (t)\u003d 2t 2 + 2t - 1 sur le segment [-1; 1], que nous trouverons par une méthode graphique. Après avoir tracé la fonction y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0,5) 2 - 1,5 sur l'intervalle [-1; 1], on trouve E(f) = [-1,5; 3].

Remarque - De nombreux problèmes avec un paramètre se réduisent à trouver l'ensemble des valeurs d'une fonction, principalement liées à la solvabilité et au nombre de solutions de l'équation et des inégalités. Par exemple, l'équation f(x)= a est résoluble si et seulement si

aE(f) De même, l'équation f(x)= a a au moins une racine située sur un intervalle X, ou n'a pas de racine sur cet intervalle si et seulement si a appartient ou n'appartient pas à l'ensemble des valeurs de la fonction f(x) sur l'intervalle X. Nous étudions également à l'aide de l'ensemble des valeurs de la fonction et des inégalités f(x)≠ un, f(x)> un etc En particulier, f(x)≠ et pour toutes les valeurs admissibles de x, si a E(f)

Exemple 4. Pour quelles valeurs du paramètre a, l'équation (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) a une seule racine sur le segment [-4;-1].

Écrivons l'équation sous la forme (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. La dernière équation a au moins une racine sur le segment [-4;-1] si et seulement si a appartient à l'ensemble des valeurs de la fonction f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) sur le segment [-4;-1]. Trouvons cet ensemble en utilisant la propriété de continuité et de monotonie de la fonction.

Sur le segment [-4;-1] la fonction y = xІ + 4 est continue, décroissante et positive, donc la fonction g(x) = 1/(x 2 + 4) est continue et augmente sur cet intervalle, car en divisant par une fonction positive, la nature de la monotonie de la fonction change en sens inverse. Une fonction h(x) =(x + 5) 1/2 est continue et croissante dans son domaine D(h) =[-5;+∞) et, en particulier, sur l'intervalle [-4;-1], où il est également positif. Ensuite la fonction f(x)=g(x) h(x), en tant que produit de deux fonctions continues, croissantes et positives, est également continue et croissante sur le segment [-4;-1], donc son ensemble de valeurs sur [-4;-1] est le segment [ f(-4); f(-1)] = . L'équation a donc une solution sur l'intervalle [-4;-1], et la seule (par la propriété d'une fonction monotone continue), pour 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Commenter. Solvabilité de l'équation f(x) = une sur un certain intervalle X équivaut à appartenir aux valeurs du paramètre un ensemble de valeurs de fonction f(x) sur X. Par conséquent, l'ensemble des valeurs de la fonction f(x) sur l'intervalle X coïncide avec l'ensemble des valeurs des paramètres un, pour laquelle l'équation f(x) = une a au moins une racine sur l'intervalle X. En particulier, la plage de valeurs E(f) les fonctions f(x) correspond à l'ensemble de valeurs de paramètres un, pour laquelle l'équation f(x) = une a au moins une racine.

Exemple 5 : Trouver la plage E(f) les fonctions

Résolvons l'exemple en introduisant un paramètre, selon lequel E(f) correspond à l'ensemble de valeurs de paramètres un, pour laquelle l'équation

a au moins une racine.

Lorsque a=2, l'équation est linéaire - 4x - 5 = 0 avec un coefficient non nul pour x inconnu, donc elle admet une solution. Pour a≠2, l'équation est quadratique, donc résoluble si et seulement si son discriminant

Puisque le point a = 2 appartient au segment

puis l'ensemble de valeurs de paramètres souhaité un, d'où la plage de valeurs E(f) sera le segment entier.

En tant que développement direct de la méthode d'introduction d'un paramètre lors de la recherche d'un ensemble de valeurs d'une fonction, nous pouvons considérer la méthode de la fonction inverse, pour trouver laquelle il est nécessaire de résoudre l'équation pour x f(x)=y, en considérant y comme paramètre. Si cette équation a une solution unique x=g(y), alors la gamme E(f) fonction d'origine f(x) coïncide avec le domaine de définition D(g) fonction inverse g(y). Si l'équation f(x)=y a plusieurs solutions x = g 1 (y), x \u003d g 2 (y) etc., alors E(f) est égal à l'union des portées des définitions de fonctions g 1 (y), g 2 (y) etc.

Exemple 6 : Trouver la plage E(y) fonctions y = 5 2/(1-3x).

De l'équation

trouver la fonction inverse x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) et son domaine D(x):

Puisque l'équation de x a une solution unique, alors

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ ).

Si le domaine d'une fonction se compose de plusieurs intervalles ou si la fonction sur différents intervalles est donnée par différentes formules, alors pour trouver le domaine de la fonction, vous devez trouver les ensembles de valeurs de la fonction sur chaque intervalle et prendre leur syndicat.

Exemple 7 : Rechercher des plages f(x) et f(f(x)), où

f(x) sur le rayon (-∞;1], où il coïncide avec l'expression 4 x + 9 4 -x + 3. Notons t = 4x. Puis f(x) = t + 9/t + 3, où 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) sur le rayon (-∞;1] coïncide avec l'ensemble des valeurs de la fonction g(t) = t + 9/t + 3, sur l'intervalle (0;4], que l'on trouve en utilisant la dérivée g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Sur l'intervalle (0;4] la dérivée g'(t) est défini et s'y évanouit à t=3. À 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) diminue, et dans l'intervalle (3;4) elle augmente, restant continue sur tout l'intervalle (0;4), donc g (3)= 9 - la plus petite valeur de cette fonction sur l'intervalle (0; 4], alors que sa plus grande valeur n'existe pas, donc quand t→0 bonne fonction g(t)→+∞. Puis, par la propriété d'une fonction continue, l'ensemble des valeurs de la fonction g(t) sur l'intervalle (0;4], et donc l'ensemble des valeurs f(x) sur (-∞;-1], il y aura un rayon .

Maintenant, en combinant les intervalles - les ensembles de valeurs de fonction f(f(x)), dénoter t = f(x). Puis f(f(x)) = f(t), où t une fonction f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 et il reprend toutes les valeurs de 5 à 9 inclus, c'est-à-dire Portée E(fІ) = E(f(f(x))) =.

De même, en désignant z = f(f(x)), vous pouvez trouver la gamme Mi(f3) les fonctions f(f(f(x))) = f(z), où 5 ≤ z ≤ 9, etc. Sois sûr que E(f 3) = .

La méthode la plus universelle pour trouver l'ensemble des valeurs de la fonction consiste à utiliser les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction dans un intervalle donné.

Exemple 8. Pour quelles valeurs du paramètre R inégalité 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x vaut pour tout -1 ≤ x< 2.

Dénotant t = 2x, nous écrivons l'inégalité sous la forme p ≠ t 3 - 2t 2 + t. Comme t = 2x est une fonction continuellement croissante sur R, alors pour -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R différent des valeurs de la fonction f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + tà 0,5 ≤ t< 4.

Trouvons d'abord l'ensemble des valeurs de la fonction f(t) sur l'intervalle où il a une dérivée partout f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Ainsi, f(t) est dérivable, donc continue sur le segment . De l'équation f'(t) = 0 trouver les points critiques de la fonction t=1/3, t=1, dont le premier n'appartient pas au segment , et le second lui appartient. Comme f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, alors, par la propriété d'une fonction différentiable, 0 est la plus petite, et 36 est la plus grande valeur de la fonction f(t) sur la tranche. Puis f(t), en tant que fonction continue, prend sur le segment toutes les valeurs de 0 à 36 inclus, et la valeur 36 ne prend que lorsque j=4, donc pour 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка }