Le sujet "progression arithmétique" est étudié dans le cours général d'algèbre dans les écoles de la 9e année. Ce sujet est important pour une étude plus approfondie des mathématiques des séries de nombres. Dans cet article, nous nous familiariserons avec la progression arithmétique, sa différence, ainsi qu'avec les tâches typiques auxquelles les écoliers peuvent être confrontés.

Le concept de progression algébrique

Une progression numérique est une séquence de nombres dans laquelle chaque élément suivant peut être obtenu à partir du précédent si une loi mathématique est appliquée. Il existe deux types simples de progression : géométrique et arithmétique, également appelée algébrique. Arrêtons-nous dessus plus en détail.

Imaginez un nombre rationnel, désignez-le par le symbole a 1 , où l'indice indique son nombre ordinal dans la série considérée. Ajoutons un autre nombre à un 1, notons-le d. Alors le deuxième élément de la série peut être réfléchi comme suit : a 2 = a 1 + d. Ajoutez à nouveau d, nous obtenons : a 3 = a 2 + d. En poursuivant cette opération mathématique, vous pouvez obtenir toute une série de nombres, que l'on appellera une progression arithmétique.

Comme on peut le comprendre d'après ce qui précède, pour trouver le n-ième élément de cette séquence, vous devez utiliser la formule : a n = a 1 + (n-1) * d. En effet, en remplaçant n=1 dans l'expression, on obtient a 1 = a 1, si n = 2, alors la formule implique : a 2 = a 1 + 1*d, et ainsi de suite.

Par exemple, si la différence de la progression arithmétique est 5 et un 1 \u003d 1, cela signifie que la série de nombres du type en question ressemble à: 1, 6, 11, 16, 21, ... Comme vous peut voir, chacun de ses membres est 5 de plus que le précédent .

Formules de différence de progression arithmétique

De la définition ci-dessus de la série de nombres considérée, il s'ensuit que pour la déterminer, vous devez connaître deux nombres : a 1 et d. Cette dernière est appelée la différence de cette progression. Il détermine de manière unique le comportement de toute la série. En effet, si d est positif, alors la série de nombres augmentera constamment, au contraire, dans le cas de d négatif, les nombres de la série n'augmenteront que modulo, tandis que leur valeur absolue diminuera avec l'augmentation du nombre n.

Quelle est la différence entre une progression arithmétique ? Considérez les deux formules principales utilisées pour calculer cette valeur :

1. d = a n+1 -a n , cette formule découle directement de la définition de la série de nombres considérée.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), cette expression est obtenue en exprimant d à partir de la formule donnée au paragraphe précédent de l'article. A noter que cette expression devient indéterminée (0/0) si n=1. Cela est dû au fait qu'il est nécessaire de connaître au moins 2 éléments de la série afin de déterminer sa différence.

Ces deux formules de base sont utilisées pour résoudre tout problème de recherche de la différence de progression. Cependant, il existe une autre formule que vous devez également connaître.

Somme des premiers éléments

La formule, qui peut être utilisée pour déterminer la somme de n'importe quel nombre de membres d'une progression algébrique, selon des preuves historiques, a été obtenue pour la première fois par le "prince" des mathématiques du XVIIIe siècle, Carl Gauss. Un scientifique allemand, alors qu'il était encore un garçon dans les classes élémentaires d'une école de village, a remarqué que pour ajouter des nombres naturels dans la série de 1 à 100, vous devez d'abord additionner le premier élément et le dernier (la valeur résultante sera égale à la somme de l'avant-dernier et du deuxième, de l'avant-dernier et du troisième élément, etc.), puis ce nombre doit être multiplié par le nombre de ces sommes, c'est-à-dire par 50.

La formule qui reflète le résultat indiqué sur un exemple particulier peut être généralisée à un cas arbitraire. Cela ressemblera à : S n = n/2*(a n + a 1). Notez que pour trouver la valeur spécifiée, la connaissance de la différence d n'est pas nécessaire si deux membres de la progression (a n et a 1) sont connus.

Exemple 1. Déterminer la différence, connaissant les deux termes de la série a1 et a

Nous allons montrer comment appliquer les formules indiquées ci-dessus dans l'article. Donnons un exemple simple: la différence de la progression arithmétique est inconnue, il faut déterminer à quoi elle sera égale si un 13 \u003d -5,6 et un 1 \u003d -12,1.

Puisque nous connaissons les valeurs de deux éléments de la séquence numérique et que l'un d'eux est le premier nombre, nous pouvons utiliser la formule n ° 2 pour déterminer la différence d. Nous avons : d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. Dans l'expression, nous avons utilisé la valeur n=13, puisque le membre avec ce nombre ordinal est connu.

La différence qui en résulte indique que la progression est croissante, malgré le fait que les éléments donnés dans l'état du problème ont une valeur négative. On peut voir que a 13 >a 1 , bien que |a 13 |<|a 1 |.

Exemple #2. Termes de progression positive dans l'exemple #1

Utilisons le résultat obtenu dans l'exemple précédent pour résoudre un nouveau problème. Elle se formule comme suit : à partir de quel nombre ordinal les éléments de la progression de l'exemple n°1 commencent-ils à prendre des valeurs positives ?

Comme on l'a montré, la progression dans laquelle a 1 = -12,1 et d = 0,54167 est croissante, donc à partir d'un certain nombre les nombres ne prendront que des valeurs positives. Pour déterminer ce nombre n, il faut résoudre une inéquation simple, qui s'écrit mathématiquement comme suit : a n>0 ou, en utilisant la formule appropriée, on réécrit l'inégalité : a 1 + (n-1)*d>0. Il faut trouver l'inconnue n, exprimons-la : n>-1*a 1 /d + 1. Il reste maintenant à substituer les valeurs connues de la différence et du premier membre de la suite. On obtient : n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 ou n>23.338. Puisque n ne peut prendre que des valeurs entières, il découle de l'inégalité obtenue que tous les termes de la série qui ont un nombre supérieur à 23 seront positifs.

Vérifions notre réponse en utilisant la formule ci-dessus pour calculer les 23e et 24e éléments de cette progression arithmétique. Nous avons : a 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​​​0,54167 \u003d -0,18326 (nombre négatif) ; un 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (valeur positive). Ainsi, le résultat obtenu est correct : à partir de n=24, tous les membres de la série de nombres seront supérieurs à zéro.

Exemple #3. Combien de bûches conviendront ?

Voici un problème intéressant : lors de l'exploitation forestière, il a été décidé d'empiler les grumes sciées les unes sur les autres comme le montre la figure ci-dessous. Combien de bûches peut-on empiler de cette façon, sachant que 10 rangées tiendront au total ?

Dans cette façon de plier les logs, on peut remarquer une chose intéressante : chaque ligne suivante contiendra un log de moins que la précédente, c'est-à-dire qu'il y a une progression algébrique dont la différence est d=1. En supposant que le nombre de bûches dans chaque rangée fait partie de cette progression, et en tenant également compte du fait que a 1 = 1 (un seul bûche tiendra tout en haut), nous trouvons le nombre a 10 . Nous avons: un 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Autrement dit, dans la 10e rangée, qui repose sur le sol, il y aura 10 bûches.

Le montant total de cette construction "pyramidale" peut être obtenu en utilisant la formule de Gauss. Nous obtenons: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 journaux.

Le sujet "progression arithmétique" est étudié dans le cours général d'algèbre dans les écoles de la 9e année. Ce sujet est important pour une étude plus approfondie des mathématiques des séries de nombres. Dans cet article, nous nous familiariserons avec la progression arithmétique, sa différence, ainsi qu'avec les tâches typiques auxquelles les écoliers peuvent être confrontés.

Le concept de progression algébrique

Une progression numérique est une séquence de nombres dans laquelle chaque élément suivant peut être obtenu à partir du précédent si une loi mathématique est appliquée. Il existe deux types simples de progression : géométrique et arithmétique, également appelée algébrique. Arrêtons-nous dessus plus en détail.

Imaginez un nombre rationnel, désignez-le par le symbole a1, où l'indice indique son nombre ordinal dans la série considérée. Ajoutons un autre nombre à a1, notons-le d. Alors le deuxième élément de la série peut être réfléchi comme suit : a2 = a1+d. Ajoutez à nouveau d, nous obtenons : a3 = a2+d. En poursuivant cette opération mathématique, vous pouvez obtenir toute une série de nombres, que l'on appellera une progression arithmétique.

Comme on peut le comprendre d'après ce qui précède, pour trouver le n-ième élément de cette séquence, vous devez utiliser la formule : an = a1 + (n-1) * d. En effet, en substituant n=1 dans l'expression, on obtient a1 = a1, si n = 2, alors il découle de la formule : a2 = a1 + 1*d, et ainsi de suite.

Par exemple, si la différence de la progression arithmétique est de 5 et a1 = 1, cela signifie que la série de nombres du type considéré ressemble à : 1, 6, 11, 16, 21, ... Comme vous pouvez le voir , chacun de ses membres est 5 de plus que le précédent.

Formules de différence de progression arithmétique

De la définition ci-dessus de la série de nombres considérée, il résulte que pour la déterminer, il faut connaître deux nombres : a1 et d. Cette dernière est appelée la différence de cette progression. Il détermine de manière unique le comportement de toute la série. En effet, si d est positif, alors la série de nombres augmentera constamment, au contraire, dans le cas de d négatif, les nombres de la série n'augmenteront que modulo, tandis que leur valeur absolue diminuera avec l'augmentation du nombre n.

Quelle est la différence entre une progression arithmétique ? Considérez les deux formules principales utilisées pour calculer cette valeur :

d = an+1-an, cette formule découle directement de la définition de la série de nombres considérée.

d = (-a1+an)/(n-1), cette expression s'obtient en exprimant d à partir de la formule donnée au paragraphe précédent de l'article. A noter que cette expression devient indéterminée (0/0) si n=1. Cela est dû au fait qu'il est nécessaire de connaître au moins 2 éléments de la série afin de déterminer sa différence.

Ces deux formules de base sont utilisées pour résoudre tout problème de recherche de la différence de progression. Cependant, il existe une autre formule que vous devez également connaître.

Somme des premiers éléments

La formule, qui peut être utilisée pour déterminer la somme de n'importe quel nombre de membres d'une progression algébrique, selon des preuves historiques, a été obtenue pour la première fois par le "prince" des mathématiques du 18ème siècle, Carl Gauss. Un scientifique allemand, alors qu'il était encore un garçon dans les classes élémentaires d'une école de village, a remarqué que pour ajouter des nombres naturels dans la série de 1 à 100, vous devez d'abord additionner le premier élément et le dernier (la valeur résultante sera égale à la somme de l'avant-dernier et du deuxième, de l'avant-dernier et du troisième élément, etc.), puis ce nombre doit être multiplié par le nombre de ces sommes, c'est-à-dire par 50.

La formule qui reflète le résultat indiqué sur un exemple particulier peut être généralisée à un cas arbitraire. Cela ressemblera à : Sn = n/2*(an+a1). Notez que pour trouver la valeur spécifiée, la connaissance de la différence d n'est pas nécessaire si deux membres de la progression (an et a1) sont connus.

Exemple 1. Déterminer la différence, connaissant les deux termes de la série a1 et a

Nous allons montrer comment appliquer les formules indiquées ci-dessus dans l'article. Donnons un exemple simple : la différence de la progression arithmétique est inconnue, il faut déterminer à quoi elle sera égale si a13 = -5,6 et a1 = -12,1.

Puisque nous connaissons les valeurs de deux éléments de la séquence numérique et que l'un d'eux est le premier nombre, nous pouvons utiliser la formule n ° 2 pour déterminer la différence d. Nous avons : d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. Dans l'expression, nous avons utilisé la valeur n=13, puisque le membre avec ce nombre ordinal est connu.

La différence qui en résulte indique que la progression est croissante, malgré le fait que les éléments donnés dans l'état du problème ont une valeur négative. On voit que a13>a1, bien que |a13|<|a1|.

Exemple #2. Termes de progression positive dans l'exemple #1

Utilisons le résultat obtenu dans l'exemple précédent pour résoudre un nouveau problème. Elle se formule comme suit : à partir de quel nombre ordinal les éléments de la progression de l'exemple n°1 commencent-ils à prendre des valeurs positives ?

Comme il a été montré, la progression dans laquelle a1 = -12,1 et d = 0,54167 augmente, donc à partir d'un certain nombre, les nombres commenceront à ne prendre que des valeurs positives. Pour déterminer ce nombre n, il faut résoudre une inéquation simple, qui s'écrit mathématiquement comme suit : an>0 ou, en utilisant la formule appropriée, on réécrit l'inégalité : a1 + (n-1)*d>0. Il faut trouver l'inconnue n, exprimons-la : n>-1*a1/d + 1. Il reste maintenant à substituer les valeurs connues de la différence et du premier membre de la suite. On obtient : n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 ou n>23.338. Puisque n ne peut prendre que des valeurs entières, il découle de l'inégalité obtenue que tous les termes de la série qui ont un nombre supérieur à 23 seront positifs.

Vérifions notre réponse en utilisant la formule ci-dessus pour calculer les 23e et 24e éléments de cette progression arithmétique. Nous avons : a23=-12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (nombre négatif) ; a24=-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 (valeur positive). Ainsi, le résultat obtenu est correct : à partir de n=24, tous les membres de la série de nombres seront supérieurs à zéro.

Exemple #3. Combien de bûches conviendront ?

Voici un problème intéressant : lors de l'exploitation forestière, il a été décidé d'empiler les grumes sciées les unes sur les autres comme le montre la figure ci-dessous. Combien de bûches peut-on empiler de cette façon, sachant que 10 rangées tiendront au total ?

Dans cette façon de plier les logs, on peut remarquer une chose intéressante : chaque ligne suivante contiendra un log de moins que la précédente, c'est-à-dire qu'il y a une progression algébrique dont la différence est d=1. En supposant que le nombre de bûches dans chaque rangée fait partie de cette progression, et en tenant également compte du fait que a1 = 1 (un seul bûche tiendra tout en haut), nous trouvons le nombre a10. Nous avons : a10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Autrement dit, dans la 10e rangée, qui repose sur le sol, il y aura 10 bûches.

Le montant total de cette construction "pyramidale" peut être obtenu en utilisant la formule de Gauss. On obtient : S10 = 10/2*(10+1) = 55 logs.

Premier niveau

Progression arithmétique. Théorie détaillée avec exemples (2019)

Séquence numérique

Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par example:
Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, eux). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel d'entre eux est le premier, lequel est le second, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :

Séquence numérique
Par exemple, pour notre séquence :

Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de séquence. En d'autres termes, il n'y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le -ième nombre) est toujours le même.
Le nombre avec le nombre est appelé le -ème membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence - la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

Dans notre cas:

Disons que nous avons une séquence numérique dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.
Par example:

etc.
Une telle séquence numérique est appelée une progression arithmétique.
Le terme « progression » a été introduit par l'auteur romain Boèce dès le VIe siècle et a été compris dans un sens plus large comme une séquence numérique sans fin. Le nom "arithmétique" a été transféré de la théorie des proportions continues, dans laquelle les anciens Grecs étaient engagés.

Il s'agit d'une séquence numérique dont chaque membre est égal au précédent, additionné du même nombre. Ce nombre est appelé la différence d'une progression arithmétique et est noté.

Essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression arithmétique et lesquelles ne le sont pas :

un)
b)
c)
ré)

J'ai compris? Comparez nos réponses :
Est un progression arithmétique - b, c.
N'est pas progression arithmétique - a, d.

Revenons à la progression donnée () et essayons de trouver la valeur de son ème membre. Exister deux moyen de le trouver.

1. Méthode

Nous pouvons ajouter à la valeur précédente du numéro de progression jusqu'à ce que nous atteignions le ème terme de la progression. C'est bien que nous n'ayons pas grand-chose à résumer - seulement trois valeurs :

Ainsi, le -ème membre de la progression arithmétique décrite est égal à.

2. Méthode

Et s'il fallait trouver la valeur du ième terme de la progression ? La sommation nous aurait pris plus d'une heure, et ce n'est pas un fait que nous n'aurions pas fait d'erreurs lors de l'addition des chiffres.
Bien sûr, les mathématiciens ont trouvé un moyen de ne pas avoir besoin d'ajouter la différence d'une progression arithmétique à la valeur précédente. Regardez attentivement l'image dessinée ... Vous avez sûrement déjà remarqué un certain schéma, à savoir:

Voyons par exemple ce qui constitue la valeur du -ème membre de cette progression arithmétique :


En d'autres termes:

Essayez de trouver de cette manière indépendamment la valeur d'un membre de cette progression arithmétique.

Calculé? Comparez vos entrées avec la réponse :

Faites attention que vous obteniez exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque l'on ajoutait successivement les membres d'une progression arithmétique à la valeur précédente.
Essayons de "dépersonnaliser" cette formule - nous la mettons sous une forme générale et obtenons :

Équation de progression arithmétique.

Les progressions arithmétiques sont soit croissantes soit décroissantes.

En augmentant- progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est supérieure à la précédente.
Par example:

Descendant- progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est inférieure à la précédente.
Par example:

La formule dérivée est utilisée dans le calcul des termes en termes croissants et décroissants d'une progression arithmétique.
Vérifions-le en pratique.
On nous donne une progression arithmétique composée des nombres suivants :

Depuis:

Ainsi, nous étions convaincus que la formule fonctionne aussi bien en progression arithmétique décroissante qu'en progression arithmétique croissante.
Essayez de trouver par vous-même les -ième et -ième membres de cette progression arithmétique.

Comparons les résultats :

Propriété de progression arithmétique

Compliquons la tâche - nous déduisons la propriété d'une progression arithmétique.
Supposons qu'on nous donne la condition suivante :
- progression arithmétique, trouver la valeur.
C'est facile, dites-vous, et commencez à compter selon la formule que vous connaissez déjà :

Soit, a, alors :

Absolument raison. Il s'avère que nous trouvons d'abord, puis l'ajoutons au premier numéro et obtenons ce que nous recherchons. Si la progression est représentée par de petites valeurs, alors il n'y a rien de compliqué à ce sujet, mais que se passe-t-il si on nous donne des nombres dans la condition ? D'accord, il y a une possibilité de faire des erreurs dans les calculs.
Pensez maintenant, est-il possible de résoudre ce problème en une seule étape en utilisant n'importe quelle formule ? Bien sûr, oui, et nous allons essayer de le faire ressortir maintenant.

Nous désignons le terme souhaité de la progression arithmétique comme, nous connaissons la formule pour le trouver - c'est la même formule que nous avons dérivée au début :
, alors:

• le membre précédent de la progression est :
• le terme suivant de la progression est :

Résumons les membres précédents et suivants de la progression :

Il s'avère que la somme des membres précédents et suivants de la progression est le double de la valeur du membre de la progression situé entre eux. En d'autres termes, pour trouver la valeur d'un membre de progression avec des valeurs précédentes et successives connues, il faut les additionner et diviser par.

C'est vrai, nous avons le même numéro. Fixons le matériel. Calculez vous-même la valeur de la progression, car ce n'est pas difficile du tout.

Bon travail! Vous savez presque tout sur la progression ! Il ne reste plus qu'à découvrir une seule formule, qui, selon la légende, l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, le "roi des mathématiciens" - Karl Gauss, a facilement déduit pour lui-même ...

Lorsque Carl Gauss avait 9 ans, l'enseignant, occupé à vérifier le travail des élèves des autres classes, a demandé la tâche suivante à la leçon : "Calculer la somme de tous les nombres naturels de jusqu'à (selon d'autres sources jusqu'à) inclus. " Quelle a été la surprise du professeur lorsqu'un de ses élèves (c'était Karl Gauss) après une minute a donné la bonne réponse à la tâche, alors que la plupart des camarades de classe du casse-cou après de longs calculs ont reçu le mauvais résultat ...

Le jeune Carl Gauss a remarqué un schéma que vous pouvez facilement remarquer.
Disons que nous avons une progression arithmétique composée de membres -ti : nous devons trouver la somme des membres donnés de la progression arithmétique. Bien sûr, nous pouvons additionner manuellement toutes les valeurs, mais que se passe-t-il si nous devons trouver la somme de ses termes dans la tâche, comme le recherchait Gauss ?

Décrivons la progression qui nous est donnée. Regardez attentivement les nombres en surbrillance et essayez d'effectuer diverses opérations mathématiques avec eux.


A tenté? Qu'avez-vous remarqué ? Correctement! Leurs sommes sont égales

Répondez maintenant, combien y aura-t-il de telles paires dans la progression qui nous est donnée ? Bien sûr, exactement la moitié de tous les nombres, c'est-à-dire.
Sur la base du fait que la somme de deux membres d'une progression arithmétique est égale, et des paires égales similaires, nous obtenons que la somme totale est égale à :
.
Ainsi, la formule de la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Dans certains problèmes, nous ne connaissons pas le ème terme, mais nous connaissons la différence de progression. Essayez de substituer dans la formule de somme, la formule du ème membre.
Qu'est-ce que vous obtenez?

Bon travail! Revenons maintenant au problème qui a été confié à Carl Gauss : calculez vous-même quelle est la somme des nombres à partir du -ème, et la somme des nombres à partir du -ème.

Combien avez-vous obtenu?
Gauss s'est avéré que la somme des termes est égale, et la somme des termes. C'est comme ça que tu as décidé ?

En fait, la formule de la somme des membres d'une progression arithmétique a été prouvée par l'ancien scientifique grec Diophantus au 3ème siècle, et tout au long de cette période, des personnes pleines d'esprit ont utilisé les propriétés d'une progression arithmétique avec force et force.
Par exemple, imaginez l'Égypte ancienne et le plus grand chantier de construction de cette époque - la construction d'une pyramide ... La figure en montre un côté.

Où est la progression ici me direz-vous ? Regardez attentivement et trouvez un modèle dans le nombre de blocs de sable dans chaque rangée du mur de la pyramide.


Pourquoi pas une progression arithmétique ? Comptez le nombre de blocs nécessaires pour construire un mur si des blocs de briques sont placés dans la base. J'espère que vous ne compterez pas en déplaçant votre doigt sur l'écran, vous souvenez-vous de la dernière formule et de tout ce que nous avons dit sur la progression arithmétique ?

Dans ce cas, la progression ressemble à ceci :
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de membres d'une progression arithmétique.
Remplaçons nos données dans les dernières formules (nous comptons le nombre de blocs de 2 manières).

Méthode 1.

Méthode 2.

Et maintenant, vous pouvez également calculer sur le moniteur : comparez les valeurs obtenues avec le nombre de blocs qui se trouvent dans notre pyramide. C'était d'accord ? Bravo, vous maîtrisez la somme des ème termes d'une progression arithmétique.
Bien sûr, vous ne pouvez pas construire une pyramide à partir des blocs à la base, mais à partir de ? Essayez de calculer combien de briques de sable sont nécessaires pour construire un mur avec cette condition.
Avez-vous réussi?
La bonne réponse est blocs :

Entraînement

Tâches:

1. Masha se prépare pour l'été. Chaque jour, elle augmente le nombre de squats de. Combien de fois Masha s'accroupira-t-elle en semaines si elle a fait des squats lors du premier entraînement.
2. Quelle est la somme de tous les nombres impairs contenus dans.
3. Lors du stockage des bûches, les bûcherons les empilent de manière à ce que chaque couche supérieure contienne une bûche de moins que la précédente. Combien y a-t-il de bûches dans une maçonnerie, si la base de la maçonnerie est constituée de bûches.

Réponses:

1. Définissons les paramètres de la progression arithmétique. Dans ce cas
   (semaines = jours).

   Répondre: Dans deux semaines, Masha devrait s'accroupir une fois par jour.

2. Premier nombre impair, dernier nombre.
   Différence de progression arithmétique.
   Le nombre de nombres impairs dans - la moitié, cependant, vérifiez ce fait en utilisant la formule pour trouver le -ème membre d'une progression arithmétique :

   Les nombres contiennent des nombres impairs.
   Nous substituons les données disponibles dans la formule :

   Répondre: La somme de tous les nombres impairs contenus dans est égale à.

3. Rappelez-vous le problème des pyramides. Pour notre cas, a , étant donné que chaque couche supérieure est réduite d'un log, il n'y a qu'un tas de couches, c'est-à-dire.
   Remplacez les données dans la formule :

   Répondre: Il y a des bûches dans la maçonnerie.

Résumé

1. - une séquence numérique dans laquelle la différence entre des nombres adjacents est la même et égale. Il augmente et diminue.
2. Trouver la formuleème membre d'une progression arithmétique est écrit par la formule - , où est le nombre de nombres dans la progression.
3. Propriété des membres d'une progression arithmétique- - où - le nombre de numéros dans la progression.
4. La somme des membres d'une progression arithmétique peut être trouvée de deux manières :
   
   , où est le nombre de valeurs.

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. NIVEAU MOYEN

Séquence numérique

Asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par example:

Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez. Mais vous pouvez toujours dire lequel d'entre eux est le premier, lequel est le second, et ainsi de suite, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Ceci est un exemple de séquence de nombres.

Séquence numérique est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.

En d'autres termes, chaque nombre peut être associé à un certain nombre naturel, et à un seul. Et nous n'attribuerons ce numéro à aucun autre numéro de cet ensemble.

Le nombre avec le nombre est appelé le -ème membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence - la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

C'est très pratique si le -ième membre de la séquence peut être donné par une formule. Par exemple, la formule

définit la séquence :

Et la formule est la séquence suivante :

Par exemple, une progression arithmétique est une suite (le premier terme ici est égal, et la différence). Ou (, différence).

formule du nième terme

On appelle récurrente une formule dans laquelle, pour connaître le -ème terme, il faut connaître le précédent ou plusieurs précédents :

Pour trouver, par exemple, le ième terme de la progression à l'aide d'une telle formule, il faut calculer les neuf précédents. Par exemple, laissez. Puis:

Eh bien, maintenant c'est clair quelle est la formule?

Dans chaque ligne, nous ajoutons à, multiplié par un certain nombre. Pour quelle raison? Très simple : c'est le numéro du membre actuel moins :

Beaucoup plus confortable maintenant, non ? Nous vérifions:

Décider vous-même:

Dans une progression arithmétique, trouvez la formule du nième terme et trouvez le centième terme.

Décision:

Le premier membre est égal. Et quelle est la différence? Et voici quoi :

(après tout, on l'appelle la différence car elle est égale à la différence des membres successifs de la progression).

Donc la formule est :

Alors le centième terme est :

Quelle est la somme de tous les nombres naturels de à ?

Selon la légende, le grand mathématicien Carl Gauss, étant un garçon de 9 ans, a calculé ce montant en quelques minutes. Il a remarqué que la somme du premier et du dernier nombre est égale, la somme du deuxième et de l'avant-dernier est la même, la somme du troisième et du 3e à partir de la fin est la même, et ainsi de suite. Combien y a-t-il de telles paires ? C'est vrai, exactement la moitié du nombre de tous les nombres, c'est-à-dire. Alors,

La formule générale pour la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Exemple:
Trouver la somme de tous les multiples à deux chiffres.

Décision:

Le premier de ces nombres est celui-ci. Chaque suivant est obtenu en ajoutant un nombre au précédent. Ainsi, les nombres qui nous intéressent forment une progression arithmétique avec le premier terme et la différence.

La formule du ème terme de cette progression est :

Combien y a-t-il de termes dans la progression s'ils doivent tous être à deux chiffres ?

Très facile: .

Le dernier terme de la progression sera égal. Puis la somme :

Répondre: .

Décidez maintenant par vous-même :

1. Chaque jour, l'athlète court 1 m de plus que la veille. Combien de kilomètres parcourra-t-il en semaines s'il a couru km m le premier jour ?
2. Un cycliste parcourt plus de kilomètres chaque jour que le précédent. Le premier jour, il a parcouru km. Combien de jours doit-il conduire pour parcourir un kilomètre ? Combien de kilomètres parcourra-t-il le dernier jour du voyage ?
3. Le prix d'un réfrigérateur dans le magasin est réduit du même montant chaque année. Déterminez de combien le prix d'un réfrigérateur a diminué chaque année si, mis en vente pour des roubles, six ans plus tard, il a été vendu pour des roubles.

Réponses:

1. La chose la plus importante ici est de reconnaître la progression arithmétique et de déterminer ses paramètres. Dans ce cas, (semaines = jours). Il faut déterminer la somme des premiers termes de cette progression :
   .
   Répondre:
2. Ici c'est donné :, il faut trouver.
   Évidemment, vous devez utiliser la même formule de somme que dans le problème précédent :
   .
   Remplacez les valeurs :

   La racine ne correspond évidemment pas, donc la réponse.
   Calculons la distance parcourue le dernier jour à l'aide de la formule du -ème terme :
   (km).
   Répondre:

3. Donné: . Trouver: .
   Rien de plus simple :
   (frotter).
   Répondre:

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. EN BREF SUR LE PRINCIPAL

Il s'agit d'une séquence numérique dans laquelle la différence entre des nombres adjacents est identique et égale.

La progression arithmétique est croissante () et décroissante ().

Par example:

La formule pour trouver le n-ième membre d'une progression arithmétique

s'écrit sous forme de formule, où est le nombre de nombres dans la progression.

Propriété des membres d'une progression arithmétique

Il est facile de trouver un membre de la progression si ses membres voisins sont connus - où est le nombre de numéros dans la progression.

La somme des membres d'une progression arithmétique

Il existe deux manières de trouver la somme :

Où est le nombre de valeurs.

Où est le nombre de valeurs.

Instruction

Une progression arithmétique est une suite de la forme a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Étape numéro d progressions.Évidemment, le total d'un nième terme arbitraire de l'arithmétique progressions a la forme : An = A1+(n-1)d. Puis connaissant l'un des membres progressions, membre progressions et étape progressions, peut être , c'est-à-dire le numéro du terme de progression. Bien entendu, il sera déterminé par la formule n = (An-A1+d)/d.

Que le terme mois soit connu maintenant progressions et un autre membre progressions- n-ième, mais n , comme dans le cas précédent, mais on sait que n et m ne correspondent pas.Étape progressions peut être calculé par la formule : d = (An-Am)/(n-m). Alors n = (An-Am+md)/d.

Si la somme de plusieurs éléments d'une arithmétique progressions, ainsi que son premier et son dernier , le nombre de ces éléments peut également être déterminé. La somme de l'arithmétique progressions sera égal à : S = ((A1+An)/2)n. Alors n = 2S/(A1+An) sont chdenov progressions. En utilisant le fait que An = A1+(n-1)d, cette formule peut être réécrite comme : n = 2S/(2A1+(n-1)d). A partir de là, on peut exprimer n en résolvant une équation quadratique.

Une séquence arithmétique est un tel ensemble ordonné de nombres, dont chaque membre, à l'exception du premier, diffère du précédent par la même quantité. Cette constante est appelée la différence de la progression ou son pas et peut être calculée à partir des membres connus de la progression arithmétique.

Instruction

Si les valeurs du premier et du second ou de toute autre paire de termes voisins sont connues à partir des conditions du problème, pour calculer la différence (d), il suffit de soustraire le terme précédent du terme suivant. La valeur résultante peut être positive ou négative - cela dépend si la progression augmente. Sous forme générale, écrivez la solution pour une paire arbitraire (aᵢ et aᵢ₊₁) de membres voisins de la progression comme suit : d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pour une paire de membres d'une telle progression, dont l'un est le premier (a₁), et l'autre est tout autre choisi arbitrairement, on peut également faire une formule pour trouver la différence (d). Cependant, dans ce cas, le numéro de série (i) d'un membre arbitrairement choisi de la séquence doit être connu. Pour calculer la différence, additionnez les deux nombres et divisez le résultat par le nombre ordinal d'un terme arbitraire réduit de un. En général, écrivez cette formule comme suit : d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Si, en plus d'un membre arbitraire de la progression arithmétique avec le nombre ordinal i, un autre membre avec le nombre ordinal u est connu, modifiez la formule de l'étape précédente en conséquence. Dans ce cas, la différence (d) de la progression sera la somme de ces deux termes divisée par la différence de leurs nombres ordinaux : d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

La formule de calcul de la différence (d) devient un peu plus compliquée si, dans les conditions du problème, la valeur de son premier membre (a₁) et la somme (Sᵢ) d'un nombre donné (i) des premiers membres du suite arithmétique sont données. Pour obtenir la valeur souhaitée, divisez la somme par le nombre de termes qui la composent, soustrayez la valeur du premier nombre de la séquence et doublez le résultat. Divisez la valeur obtenue par le nombre de termes qui composent la somme réduite de un. En général, écrivez la formule de calcul du discriminant comme suit : d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Par exemple, la séquence \(2\); \(5\); \(huit\); \(Onze\); \(14\)… est une progression arithmétique, car chaque élément suivant diffère du précédent par trois (peut être obtenu à partir du précédent en ajoutant trois) :

Dans cette progression, la différence \(d\) est positive (égale à \(3\)), et donc chaque terme suivant est supérieur au précédent. De telles progressions sont appelées en augmentant.

Cependant, \(d\) peut également être un nombre négatif. par exemple, en progression arithmétique \(16\); \(Dix\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… la différence de progression \(d\) est égale à moins six.

Et dans ce cas, chaque élément suivant sera inférieur au précédent. Ces progressions sont appelées décroissant.

Notation de progression arithmétique

La progression est indiquée par une petite lettre latine.

Les nombres qui forment une progression s'appellent cela membres(ou éléments).

Ils sont désignés par la même lettre que la progression arithmétique, mais avec un indice numérique égal au numéro de l'élément dans l'ordre.

Par exemple, la progression arithmétique \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) se compose des éléments \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) et ainsi de suite.

Autrement dit, pour la progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Résoudre des problèmes sur une progression arithmétique

En principe, les informations ci-dessus sont déjà suffisantes pour résoudre presque tous les problèmes sur une progression arithmétique (y compris ceux proposés à l'OGE).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est donnée par les conditions \(b_1=7; d=4\). Trouvez \(b_5\).
Décision:

Répondre: \(b_5=23\)

Exemple (OGE). Les trois premiers termes d'une progression arithmétique sont donnés : \(62 ; 49 ; 36…\) Trouver la valeur du premier terme négatif de cette progression.
Décision:

	On nous donne les premiers éléments de la séquence et savons qu'il s'agit d'une progression arithmétique. C'est-à-dire que chaque élément diffère du voisin par le même nombre. Découvrez lequel en soustrayant le précédent de l'élément suivant : \(d=49-62=-13\).
	Nous pouvons maintenant restaurer notre progression vers l'élément souhaité (premier négatif).
	Prêt. Vous pouvez écrire une réponse.

Répondre: \(-3\)

Exemple (OGE). Plusieurs éléments successifs d'une progression arithmétique sont donnés : \(...5; x; 10; 12,5...\) Trouver la valeur de l'élément désigné par la lettre \(x\).
Décision:

	Pour trouver \(x\), nous devons savoir de combien l'élément suivant diffère du précédent, en d'autres termes, la différence de progression. Trouvons-le à partir de deux éléments voisins connus : \(d=12,5-10=2,5\).
	Et maintenant nous trouvons ce que nous cherchons sans aucun problème : \(x=5+2.5=7.5\).
	Prêt. Vous pouvez écrire une réponse.

Répondre: \(7,5\).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est donnée par les conditions suivantes : \(a_1=-11\) ; \(a_(n+1)=a_n+5\) Trouvez la somme des six premiers termes de cette progression.
Décision:

Il faut trouver la somme des six premiers termes de la progression. Mais on ne connaît pas leurs significations, on ne nous donne que le premier élément. Par conséquent, nous calculons d'abord les valeurs à tour de rôle, en utilisant les données qui nous sont données : \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Et après avoir calculé les six éléments dont nous avons besoin, nous trouvons leur somme.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Le montant demandé a été trouvé.

Répondre: \(S_6=9\).

Exemple (OGE). En progression arithmétique \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trouvez la différence de cette progression.
Décision:

Répondre: \(d=7\).

Formules importantes de progression arithmétique

Comme vous pouvez le voir, de nombreux problèmes de progression arithmétique peuvent être résolus simplement en comprenant l'essentiel - qu'une progression arithmétique est une chaîne de nombres, et que chaque élément suivant de cette chaîne est obtenu en ajoutant le même nombre au précédent (la différence de la progression).

Cependant, il y a parfois des situations où il est très gênant de résoudre "sur le front". Par exemple, imaginons que dans le tout premier exemple, nous devions trouver non pas le cinquième élément \(b_5\), mais le trois cent quatre-vingt-sixième \(b_(386)\). Qu'est-ce que c'est, nous \ (385 \) fois pour ajouter quatre ? Ou imaginez que dans l'avant-dernier exemple, vous devez trouver la somme des soixante-treize premiers éléments. Compter est déroutant...

Par conséquent, dans de tels cas, ils ne résolvent pas «sur le front», mais utilisent des formules spéciales dérivées pour la progression arithmétique. Et les principales sont la formule du nième terme de la progression et la formule de la somme \(n\) des premiers termes.

Formule pour le \(n\)ème membre : \(a_n=a_1+(n-1)d\), où \(a_1\) est le premier membre de la progression ;
\(n\) – numéro de l'élément requis ;
\(a_n\) est un membre de la progression avec le numéro \(n\).

Cette formule nous permet de trouver rapidement au moins le trois centième, voire le millionième élément, ne connaissant que le premier et la différence de progression.

Exemple. La progression arithmétique est donnée par les conditions : \(b_1=-159\) ; \(d=8,2\). Trouvez \(b_(246)\).
Décision:

Répondre: \(b_(246)=1850\).

La formule de la somme des n premiers termes est : \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), où

\(a_n\) est le dernier terme sommé ;

Exemple (OGE). La progression arithmétique est donnée par les conditions \(a_n=3,4n-0,6\). Trouvez la somme des premiers \(25\) termes de cette progression.
Décision:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Pour calculer la somme des vingt-cinq premiers éléments, nous devons connaître la valeur du premier et du vingt-cinquième terme. Notre progression est donnée par la formule du nième terme en fonction de son nombre (voir détails). Calculons le premier élément en remplaçant \(n\) par un.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		Trouvons maintenant le vingt-cinquième terme en substituant vingt-cinq au lieu de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		Eh bien, maintenant nous calculons le montant requis sans aucun problème.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		La réponse est prête.

Répondre: \(S_(25)=1090\).

Pour la somme \(n\) des premiers termes, on peut obtenir une autre formule : il suffit de \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) au lieu de \(a_n\) substituez-lui la formule \(a_n=a_1+(n-1)d\). On a:

La formule de la somme des n premiers termes est : \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), où

\(S_n\) – la somme requise \(n\) des premiers éléments ;
\(a_1\) est le premier terme à additionner ;
\(d\) – différence de progression ;
\(n\) - le nombre d'éléments dans la somme.

Exemple. Trouver la somme des premiers \(33\)-ex termes de la progression arithmétique : \(17\) ; \(15,5\); \(Quatorze\)…
Décision:

Répondre: \(S_(33)=-231\).

Problèmes de progression arithmétique plus complexes

Vous avez maintenant toutes les informations dont vous avez besoin pour résoudre presque tous les problèmes de progression arithmétique. Terminons le sujet en considérant des problèmes dans lesquels vous devez non seulement appliquer des formules, mais aussi réfléchir un peu (en mathématiques, cela peut être utile ☺)

Exemple (OGE). Trouver la somme de tous les termes négatifs de la progression : \(-19.3\ ); \(-dix-neuf\); \(-18.7\)…
Décision:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		La tâche est très similaire à la précédente. Nous commençons à résoudre de la même manière : nous trouvons d'abord \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Maintenant, nous remplacerions \(d\) dans la formule de la somme ... et ici une petite nuance apparaît - nous ne connaissons pas \(n\). En d'autres termes, nous ne savons pas combien de termes devront être ajoutés. Comment savoir? Réfléchissons. Nous arrêterons d'ajouter des éléments lorsque nous arriverons au premier élément positif. Autrement dit, vous devez connaître le numéro de cet élément. Comment? Écrivons la formule pour calculer n'importe quel élément d'une progression arithmétique : \(a_n=a_1+(n-1)d\) pour notre cas.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Nous avons besoin que \(a_n\) soit supérieur à zéro. Découvrons pour quoi \(n\) cela se produira.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		On divise les deux côtés de l'inégalité par \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Nous transférons moins un, sans oublier de changer de signe
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		L'informatique...
\(n>65 333…\)		…et il s'avère que le premier élément positif aura le nombre \(66\). En conséquence, le dernier négatif a \(n=65\). Juste au cas où, vérifions-le.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		Ainsi, nous devons ajouter les premiers éléments \(65\).
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		La réponse est prête.

Répondre: \(S_(65)=-630.5\).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est donnée par les conditions : \(a_1=-33\) ; \(a_(n+1)=a_n+4\). Trouvez la somme du \(26\)ème au \(42\) élément inclus.
Décision:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Dans ce problème, vous devez également trouver la somme des éléments, mais en commençant non pas par le premier, mais par le \(26\)ème. Nous n'avons pas de formule pour cela. Comment décider ? Facile - pour obtenir la somme de \(26\)ème à \(42\)ème, vous devez d'abord trouver la somme de \(1\)ème à \(42\)ème, puis en soustraire la somme de le premier à \ (25 \) ème (voir photo).
	Pour notre progression \(a_1=-33\), et la différence \(d=4\) (après tout, on ajoute quatre à l'élément précédent pour trouver le suivant). Sachant cela, nous trouvons la somme des premiers éléments \(42\)-uh.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Maintenant la somme des premiers \(25\)-ièmes éléments.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Et enfin, nous calculons la réponse.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Répondre: \(S=1683\).

Pour une progression arithmétique, il existe plusieurs autres formules que nous n'avons pas considérées dans cet article en raison de leur faible utilité pratique. Cependant, vous pouvez facilement les trouver.