Polyèdres comment trouver la surface latérale d'une pyramide. Trouver l'aire d'une pyramide triangulaire régulière

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est une figure dont la base est un polygone arbitraire et dont les faces latérales sont représentées par des triangles. Leurs sommets se situent au même point et correspondent au sommet de la pyramide.

La pyramide peut être variée – triangulaire, quadrangulaire, hexagonale, etc. Son nom peut être déterminé en fonction du nombre d'angles adjacents à la base.
La bonne pyramide appelée pyramide dans laquelle les côtés de la base, les angles et les arêtes sont égaux. De plus, dans une telle pyramide, l'aire des faces latérales sera égale.
La formule de l'aire de la surface latérale d'une pyramide est la somme des aires de toutes ses faces :
Autrement dit, pour calculer l'aire de la surface latérale d'une pyramide arbitraire, vous devez trouver l'aire de chaque triangle individuel et les additionner. Si la pyramide est tronquée, alors ses faces sont représentées par des trapèzes. Il existe une autre formule pour une pyramide régulière. Dans celui-ci, la surface latérale est calculée à travers le demi-périmètre de la base et la longueur de l'apothème :

Considérons un exemple de calcul de l'aire de la surface latérale d'une pyramide.
Soit une pyramide quadrangulaire régulière. Côté socle b= 6 cm, apothème un= 8 cm Trouvez l'aire de la surface latérale.

À la base d’une pyramide quadrangulaire régulière se trouve un carré. Tout d'abord, trouvons son périmètre :

Nous pouvons maintenant calculer la surface latérale de notre pyramide :

Afin de trouver l'aire totale d'un polyèdre, vous devrez trouver l'aire de sa base. La formule pour l'aire de la base d'une pyramide peut différer selon le polygone se trouvant à la base. Pour ce faire, utilisez la formule de l'aire d'un triangle, aire d'un parallélogramme etc.

Prenons un exemple de calcul de l'aire de la base d'une pyramide donnée par nos conditions. La pyramide étant régulière, il y a un carré à sa base.
Surface carrée calculé par la formule : ,
où a est le côté du carré. Nous l'avons égal à 6 cm. Donc l'aire de la base de la pyramide :

Il ne reste plus qu'à trouver l'aire totale du polyèdre. La formule de l'aire d'une pyramide consiste en la somme de l'aire de sa base et de la surface latérale.

L'aire de la surface latérale d'une pyramide arbitraire est égale à la somme des aires de ses faces latérales. Il est logique de donner une formule spéciale pour exprimer cette aire dans le cas d'une pyramide régulière. Soit donc une pyramide régulière, à la base de laquelle se trouve un n-gone régulier de côté égal à a. Soit h la hauteur de la face latérale, également appelée apothème pyramides. L'aire d'une face latérale est égale à 1/2ah, et toute la surface latérale de la pyramide a une aire égale à n/2ha. Puisque na est le périmètre de la base de la pyramide, on peut écrire la formule trouvée sous la forme:

Surface latérale d’une pyramide régulière est égal au produit de son apothème par la moitié du périmètre de la base.

Concernant superficie totale, puis ajoutez simplement la zone de la base sur le côté.

Sphère et boule inscrites et circonscrites. Il est à noter que le centre de la sphère inscrite dans la pyramide se situe à l'intersection des plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide. Le centre de la sphère décrite près de la pyramide se situe à l'intersection de plans passant par les milieux des arêtes de la pyramide et perpendiculaires à ceux-ci.

Pyramide tronquée. Si une pyramide est coupée par un plan parallèle à sa base, alors la partie comprise entre le plan de coupe et la base est appelée pyramide tronquée. La figure montre une pyramide ; en écartant sa partie située au-dessus du plan de coupe, on obtient une pyramide tronquée. Il est clair que la petite pyramide écartée est homothétique à la grande pyramide dont le centre d’homothétie est au sommet. Le coefficient de similarité est égal au rapport des hauteurs : k=h 2 /h 1, ou des bords latéraux, ou d'autres dimensions linéaires correspondantes des deux pyramides. Nous savons que les aires de figures semblables sont liées comme des carrés de dimensions linéaires ; donc les aires des bases des deux pyramides (c'est-à-dire l'aire des bases de la pyramide tronquée) sont liées comme

Ici S 1 est l'aire de la base inférieure, et S 2 est l'aire de la base supérieure de la pyramide tronquée. Les surfaces latérales des pyramides sont dans le même rapport. Une règle similaire existe pour les volumes.

Volumes de corps similaires sont liés comme des cubes par leurs dimensions linéaires ; par exemple, les volumes des pyramides sont liés comme le produit de leurs hauteurs et de l'aire des bases, à partir de laquelle notre règle est immédiatement obtenue. Elle est d'un caractère tout à fait général et découle directement du fait que le volume a toujours une dimension à la puissance trois de la longueur. En utilisant cette règle, nous dérivons une formule exprimant le volume d'une pyramide tronquée par la hauteur et l'aire des bases.

Soit une pyramide tronquée de hauteur h et d'aires de base S 1 et S 2. Si nous imaginons qu'il soit étendu à une pyramide complète, alors le coefficient de similarité entre la pyramide complète et la petite pyramide peut facilement être trouvé comme racine du rapport S 2 /S 1 . La hauteur d'une pyramide tronquée est exprimée par h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Nous avons maintenant pour le volume d'une pyramide tronquée (V 1 et V 2 désignent les volumes des pyramides pleines et petites)

formule pour le volume d'une pyramide tronquée

Dérivons la formule de l'aire S de la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière passant par les périmètres P 1 et P 2 des bases et la longueur de l'apothème a. Nous raisonnons exactement de la même manière que pour dériver la formule du volume. On complète la pyramide avec la partie supérieure, on a P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, où k est le coefficient de similarité, P 1 et P 2 sont les périmètres des bases, et S 1 et S 2 sont les aires des surfaces latérales de toute la pyramide résultante et de sa partie supérieure en conséquence. Pour la surface latérale on trouve (a 1 et a 2 sont des apothèmes des pyramides, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formule pour la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière

Instruction

Tout d'abord, il convient de comprendre que la surface latérale de la pyramide est représentée par plusieurs triangles dont les aires peuvent être trouvées à l'aide de diverses formules, en fonction des données connues :

S = (a*h)/2, où h est la hauteur abaissée du côté a ;

S = a*b*sinβ, où a, b sont les côtés du triangle et β est l'angle entre ces côtés ;

S = (r*(a + b + c))/2, où a, b, c sont les côtés du triangle, et r est le rayon du cercle inscrit dans ce triangle ;

S = (a*b*c)/4*R, où R est le rayon du triangle circonscrit au cercle ;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (si le triangle est rectangle) ;

S = S = (a²*√3)/4 (si le triangle est équilatéral).

En fait, ce ne sont que les formules connues les plus élémentaires pour trouver l'aire d'un triangle.

Après avoir calculé les aires de tous les triangles qui sont les faces de la pyramide à l'aide des formules ci-dessus, vous pouvez commencer à calculer l'aire de cette pyramide. Cela se fait extrêmement simplement : il faut additionner les aires de tous les triangles qui forment la surface latérale de la pyramide. Cela peut être exprimé par la formule :

Sp = ΣSi, où Sp est l'aire de la surface latérale, Si est l'aire du i-ème triangle, qui fait partie de sa surface latérale.

Pour plus de clarté, nous pouvons considérer un petit exemple : étant donné une pyramide régulière dont les faces latérales sont formées de triangles équilatéraux, et à sa base se trouve un carré. La longueur du bord de cette pyramide est de 17 cm. Il faut trouver l'aire de la surface latérale de cette pyramide.

Solution : la longueur de l'arête de cette pyramide est connue, on sait que ses faces sont des triangles équilatéraux. Ainsi, on peut dire que tous les côtés de tous les triangles sur la surface latérale sont égaux à 17 cm. Par conséquent, afin de calculer l'aire de​​l'un de ces triangles, vous devrez appliquer la formule :

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

On sait qu’à la base de la pyramide se trouve un carré. Ainsi, il est clair qu’il existe quatre triangles équilatéraux donnés. Ensuite, l'aire de la surface latérale de la pyramide est calculée comme suit :

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Réponse : La surface latérale de la pyramide est de 500,548 cm²

Tout d'abord, calculons l'aire de la surface latérale de la pyramide. La surface latérale est la somme des aires de toutes les faces latérales. Si nous avons affaire à une pyramide régulière (c'est-à-dire une pyramide qui a un polygone régulier à sa base et dont le sommet est projeté au centre de ce polygone), alors pour calculer toute la surface latérale, il suffit de multiplier le périmètre de la base (c'est-à-dire la somme des longueurs de tous les côtés du polygone situé au niveau de la pyramide de base) par la hauteur de la face latérale (autrement appelée l'apothème) et divisez la valeur résultante par 2 : Sb = 1/2P* h, où Sb est l'aire de la surface latérale, P est le périmètre de la base, h est la hauteur de la face latérale (apothème).

Si vous avez devant vous une pyramide arbitraire, vous devrez calculer séparément les aires de toutes les faces, puis les additionner. Puisque les faces latérales de la pyramide sont des triangles, utilisez la formule pour l'aire d'un triangle : S=1/2b*h, où b est la base du triangle et h est la hauteur. Lorsque les aires de toutes les faces ont été calculées, il ne reste plus qu'à les additionner pour obtenir l'aire de la surface latérale de la pyramide.

Ensuite, vous devez calculer l'aire de la base de la pyramide. Le choix de la formule de calcul dépend du polygone qui se trouve à la base de la pyramide : régulier (c'est-à-dire un avec tous les côtés de la même longueur) ou irrégulier. L'aire d'un polygone régulier peut être calculée en multipliant le périmètre par le rayon du cercle inscrit dans le polygone et en divisant la valeur obtenue par 2 : Sn = 1/2P*r, où Sn est l'aire du polygone, P est le périmètre et r est le rayon du cercle inscrit dans le polygone.

Une pyramide tronquée est un polyèdre formé d’une pyramide et sa section transversale est parallèle à la base. Trouver l'aire de la surface latérale de la pyramide n'est pas du tout difficile. C'est très simple : l'aire est égale au produit de la moitié de la somme des bases par. Prenons un exemple de calcul de la surface latérale. Disons qu'une pyramide régulière est donnée. Les longueurs de la base sont b = 5 cm, c = 3 cm. Apothème a = 4 cm. Pour trouver l'aire de la surface latérale de la pyramide, il faut d'abord trouver le périmètre des bases. Dans une grande base, elle sera égale à p1=4b=4*5=20 cm. Dans une base plus petite, la formule sera la suivante : p2=4c=4*3=12 cm. Par conséquent, l'aire sera égale à : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64cm.

Pyramide triangulaire Un polyèdre est appelé polyèdre dont la base est un triangle régulier.

Dans une telle pyramide, les bords de la base et les bords des côtés sont égaux les uns aux autres. En conséquence, l'aire des faces latérales est obtenue à partir de la somme des aires de trois triangles identiques. Vous pouvez trouver la surface latérale d'une pyramide régulière à l'aide de la formule. Et vous pouvez effectuer le calcul plusieurs fois plus rapidement. Pour ce faire, vous devez appliquer la formule de l'aire de la surface latérale d'une pyramide triangulaire :

où p est le périmètre de la base dont tous les côtés sont égaux à b, a est l'apothème abaissé du haut jusqu'à cette base. Considérons un exemple de calcul de l'aire d'une pyramide triangulaire.

Problème : Soit une pyramide régulière. Le côté du triangle à la base est b = 4 cm. L'apothème de la pyramide est a = 7 cm. Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.
Puisque, selon les conditions du problème, on connaît les longueurs de tous les éléments nécessaires, on trouvera le périmètre. Nous rappelons que dans un triangle régulier, tous les côtés sont égaux et, par conséquent, le périmètre est calculé par la formule :

Remplaçons les données et trouvons la valeur :

Maintenant, connaissant le périmètre, nous pouvons calculer la surface latérale :

Pour appliquer la formule de l'aire d'une pyramide triangulaire afin de calculer la valeur totale, vous devez trouver l'aire de la base du polyèdre. Pour ce faire, utilisez la formule :

La formule pour l'aire de la base d'une pyramide triangulaire peut être différente. Il est possible d'utiliser n'importe quel calcul de paramètres pour un chiffre donné, mais le plus souvent cela n'est pas obligatoire. Considérons un exemple de calcul de l'aire de la base d'une pyramide triangulaire.

Problème : Dans une pyramide régulière, le côté du triangle à la base est a = 6 cm Calculez l'aire de la base.
Pour calculer, nous avons seulement besoin de la longueur du côté du triangle régulier situé à la base de la pyramide. Remplaçons les données dans la formule :

Très souvent, vous devez trouver l'aire totale d'un polyèdre. Pour ce faire, vous devrez additionner la superficie de la surface latérale et de la base.

Considérons un exemple de calcul de l'aire d'une pyramide triangulaire.

Problème : Soit une pyramide triangulaire régulière. Le côté de la base est b = 4 cm, l'apothème est a = 6 cm. Trouvez l'aire totale de la pyramide.
Tout d'abord, trouvons l'aire de la surface latérale à l'aide de la formule déjà connue. Calculons le périmètre :

Remplacez les données dans la formule :
Trouvons maintenant l'aire de la base :
Connaissant l'aire de la base et de la surface latérale, on trouve l'aire totale de la pyramide :

Lors du calcul de l'aire d'une pyramide régulière, il ne faut pas oublier que la base est un triangle régulier et que de nombreux éléments de ce polyèdre sont égaux les uns aux autres.