Formule pour la surface latérale d'une pyramide quadrangulaire régulière. Surface latérale des différentes pyramides

L'aire totale de la surface latérale d'une pyramide est constituée de la somme des aires de ses faces latérales.

Dans une pyramide quadrangulaire, il existe deux types de faces : un quadrilatère à la base et des triangles avec un sommet commun, qui forment la surface latérale.
Vous devez d’abord calculer l’aire des faces latérales. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule de l'aire d'un triangle, ou vous pouvez également utiliser la formule de l'aire d'une pyramide quadrangulaire (uniquement si le polyèdre est régulier). Si la pyramide est régulière et que la longueur de l'arête a de la base et l'apothème h qui y est dessiné sont connus, alors :

Si, selon les conditions, la longueur de l'arête c d'une pyramide régulière et la longueur du côté de la base a sont données, alors vous pouvez trouver la valeur à l'aide de la formule suivante :

Si la longueur du bord à la base et l'angle aigu opposé au sommet sont donnés, alors l'aire de la surface latérale peut être calculée par le rapport du carré du côté a au double cosinus de la moitié du angle α :

Considérons un exemple de calcul de la surface d'une pyramide quadrangulaire passant par le bord latéral et le côté de la base.

Problème : Soit une pyramide quadrangulaire régulière. Longueur du bord b = 7 cm, longueur du côté de base a = 4 cm Remplacez les valeurs données dans la formule :

Nous avons montré des calculs de l'aire d'une face latérale pour une pyramide régulière. Respectivement. Pour trouver l'aire de toute la surface, vous devez multiplier le résultat par le nombre de faces, c'est-à-dire par 4. Si la pyramide est arbitraire et que ses faces ne sont pas égales les unes aux autres, alors l'aire doit être calculée pour chaque côté individuel. Si la base est un rectangle ou un parallélogramme, il convient de rappeler leurs propriétés. Les côtés de ces figures sont parallèles deux à deux, et par conséquent les faces de la pyramide seront également identiques deux à deux.
La formule de l'aire de la base d'une pyramide quadrangulaire dépend directement du quadrilatère qui se trouve à la base. Si la pyramide est correcte, alors l'aire de la base est calculée à l'aide de la formule, si la base est un losange, vous devrez alors vous rappeler comment elle se trouve. S'il y a un rectangle à la base, trouver son aire sera assez simple. Il suffit de connaître les longueurs des côtés de la base. Considérons un exemple de calcul de l'aire de la base d'une pyramide quadrangulaire.

Problème : Soit une pyramide à la base de laquelle se trouve un rectangle de côtés a = 3 cm, b = 5 cm. Un apothème est abaissé du haut de la pyramide sur chacun des côtés. h-a =4 cm, h-b =6 cm Le sommet de la pyramide se trouve sur la même ligne que le point d'intersection des diagonales. Trouvez l'aire totale de la pyramide.
La formule pour l'aire d'une pyramide quadrangulaire se compose de la somme des aires de toutes les faces et de l'aire de la base. Tout d'abord, trouvons l'aire de la base :


Examinons maintenant les côtés de la pyramide. Ils sont identiques par paires, car la hauteur de la pyramide coupe le point d'intersection des diagonales. Autrement dit, dans notre pyramide, il y a deux triangles avec une base a et une hauteur h-a, ainsi que deux triangles avec une base b et une hauteur h-b. Trouvons maintenant l'aire du triangle en utilisant la formule bien connue :


Faisons maintenant un exemple de calcul de l'aire d'une pyramide quadrangulaire. Dans notre pyramide avec un rectangle à la base, la formule ressemblerait à ceci :

Lors de la préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques, les étudiants doivent systématiser leurs connaissances en algèbre et en géométrie. Je voudrais combiner toutes les informations connues, par exemple sur la façon de calculer l'aire d'une pyramide. De plus, depuis la base et les bords latéraux jusqu'à toute la surface. Si la situation avec les faces latérales est claire, puisqu'il s'agit de triangles, alors la base est toujours différente.

Comment trouver l'aire de la base de la pyramide ?

Il peut s'agir d'absolument n'importe quelle figure : d'un triangle arbitraire à un n-gon. Et cette base, outre la différence du nombre d'angles, peut être une figure régulière ou irrégulière. Dans les tâches de l'examen d'État unifié qui intéressent les écoliers, il n'y a que des tâches avec des chiffres corrects à la base. Par conséquent, nous ne parlerons que d'eux.

Triangle régulier

Autrement dit, équilatéral. Celui dans lequel tous les côtés sont égaux et sont désignés par la lettre « a ». Dans ce cas, l'aire de la base de la pyramide est calculée par la formule :

S = (une 2 * √3) / 4.

Carré

La formule pour calculer son aire est la plus simple, ici « a » est encore le côté :

N-gon régulier arbitraire

Le côté d'un polygone a la même notation. Pour le nombre d'angles, la lettre latine n est utilisée.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Que faire lors du calcul de la surface latérale et totale ?

Puisque la base est une figure régulière, toutes les faces de la pyramide sont égales. De plus, chacun d'eux est un triangle isocèle, puisque les bords latéraux sont égaux. Ensuite, afin de calculer l'aire latérale de la pyramide, vous aurez besoin d'une formule constituée de la somme de monômes identiques. Le nombre de termes est déterminé par le nombre de côtés de la base.

L'aire d'un triangle isocèle est calculée par la formule dans laquelle la moitié du produit de la base est multipliée par la hauteur. Cette hauteur dans la pyramide est appelée apothème. Sa désignation est « A ». La formule générale de la surface latérale est la suivante :

S = ½ P*A, où P est le périmètre de la base de la pyramide.

Il existe des situations où les côtés de la base ne sont pas connus, mais les bords latéraux (c) et l'angle plat à son sommet (α) sont donnés. Ensuite, vous devez utiliser la formule suivante pour calculer l'aire latérale de la pyramide :

S = n/2 * dans 2 sin α .

Tâche n°1

Condition. Trouvez l'aire totale de la pyramide si sa base a un côté de 4 cm et que l'apothème a une valeur de √3 cm.

Solution. Vous devez commencer par calculer le périmètre de la base. Puisqu'il s'agit d'un triangle régulier, alors P = 3*4 = 12 cm. Puisque l'apothème est connu, on peut immédiatement calculer l'aire de toute la surface latérale : ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Pour le triangle à la base, vous obtenez la valeur d'aire suivante : (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Pour déterminer la surface entière, vous devrez additionner les deux valeurs résultantes : 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Répondre. 10√3cm2.

Problème n°2

Condition. Il y a une pyramide quadrangulaire régulière. La longueur du côté de base est de 7 mm, le bord latéral est de 16 mm. Il faut connaître sa superficie.

Solution. Le polyèdre étant quadrangulaire et régulier, sa base est un carré. Une fois que vous connaîtrez l'aire de la base et des faces latérales, vous pourrez calculer l'aire de la pyramide. La formule du carré est donnée ci-dessus. Et pour les faces latérales, tous les côtés du triangle sont connus. Par conséquent, vous pouvez utiliser la formule de Heron pour calculer leurs aires.

Les premiers calculs sont simples et conduisent au nombre suivant : 49 mm 2. Pour la deuxième valeur, vous devrez calculer le demi-périmètre : (7 + 16*2) : 2 = 19,5 mm. Vous pouvez maintenant calculer l'aire d'un triangle isocèle : √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Il n'y a que quatre triangles de ce type, donc lors du calcul du nombre final, vous devrez le multiplier par 4.

Il s'avère : 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Répondre. La valeur souhaitée est de 267,576 mm 2.

Problème n°3

Condition. Pour une pyramide quadrangulaire régulière, vous devez calculer l’aire. Le côté du carré est connu pour mesurer 6 cm et la hauteur est de 4 cm.

Solution. Le moyen le plus simple est d'utiliser la formule avec le produit du périmètre et de l'apothème. La première valeur est facile à trouver. Le second est un peu plus compliqué.

Nous devrons nous souvenir du théorème de Pythagore et considérer qu'il est formé par la hauteur de la pyramide et l'apothème, qui est l'hypoténuse. La deuxième branche est égale à la moitié du côté du carré, puisque la hauteur du polyèdre tombe en son milieu.

L'apothème requis (hypoténuse d'un triangle rectangle) est égal à √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Vous pouvez maintenant calculer la valeur requise : ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Répondre. 96cm2.

Problème n°4

Condition. Le bon côté est indiqué : les côtés de sa base mesurent 22 mm, les bords latéraux mesurent 61 mm. Quelle est la surface latérale de ce polyèdre ?

Solution. Le raisonnement est le même que celui décrit dans la tâche n°2. Seulement, on leur a donné une pyramide avec un carré à la base, et maintenant c'est un hexagone.

Tout d'abord, la surface de base est calculée à l'aide de la formule ci-dessus : (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Vous devez maintenant connaître le demi-périmètre d'un triangle isocèle, qui est la face latérale. (22+61*2) :2 = 72 cm. Il ne reste plus qu'à utiliser la formule de Héron pour calculer l'aire de chacun de ces triangles, puis à la multiplier par six et à l'ajouter à celle obtenue pour la base.

Calculs utilisant la formule de Heron : √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calculs qui donneront la surface latérale : 660 * 6 = 3960 cm 2. Reste à les additionner pour connaître la surface entière : 5217,47≈5217 cm 2.

Répondre. La base fait 726√3 cm2, la surface latérale est de 3960 cm2, la surface totale est de 5217 cm2.

Superficie de la pyramide. Dans cet article, nous examinerons les problèmes liés aux pyramides régulières. Je vous rappelle qu'une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier, le sommet de la pyramide est projeté au centre de ce polygone.

La face latérale d’une telle pyramide est un triangle isocèle.La hauteur de ce triangle tiré du sommet d'une pyramide régulière est appelée apothème, SF - apothème :

Dans le type de problème présenté ci-dessous, vous devez trouver l'aire de la pyramide entière ou l'aire de sa surface latérale. Le blog a déjà évoqué plusieurs problèmes liés aux pyramides régulières, où la question était de trouver les éléments (hauteur, bord de base, bord latéral).

Les tâches de l'examen d'État unifié examinent généralement des pyramides triangulaires, quadrangulaires et hexagonales régulières. Je n’ai vu aucun problème avec les pyramides pentagonales et heptagonales régulières.

La formule pour l'aire de toute la surface est simple - vous devez trouver la somme de l'aire de la base de la pyramide et de l'aire de sa surface latérale :

Considérons les tâches :

Les côtés de la base d'une pyramide quadrangulaire régulière sont 72, les bords latéraux sont 164. Trouvez l'aire de cette pyramide.

La superficie de la pyramide est égale à la somme des aires de la surface latérale et de la base :

*La surface latérale est constituée de quatre triangles de même aire. La base de la pyramide est un carré.

On peut calculer l'aire du côté de la pyramide en utilisant :

Ainsi, la surface de la pyramide est :

Réponse : 28224

Les côtés de la base d'une pyramide hexagonale régulière sont égaux à 22, les bords latéraux sont égaux à 61. Trouvez la surface latérale de cette pyramide.

La base d’une pyramide hexagonale régulière est un hexagone régulier.

La surface latérale de cette pyramide est constituée de six aires de triangles égaux de côtés 61,61 et 22 :

Trouvons l'aire du triangle en utilisant la formule de Heron :

Ainsi, la surface latérale est :

Réponse : 3240

*Dans les problèmes présentés ci-dessus, l'aire de la face latérale pourrait être trouvée à l'aide d'une autre formule triangulaire, mais pour cela, vous devez calculer l'apothème.

27155. Trouvez l'aire d'une pyramide quadrangulaire régulière dont les côtés de base sont 6 et dont la hauteur est 4.

Afin de trouver l'aire de la pyramide, il faut connaître l'aire de la base et l'aire de la surface latérale :

L'aire de la base est de 36 puisqu'il s'agit d'un carré de côté 6.

La surface latérale est constituée de quatre faces qui sont des triangles égaux. Afin de trouver l'aire d'un tel triangle, vous devez connaître sa base et sa hauteur (apothème) :

*L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de la base et de la hauteur tirée à cette base.

La base est connue, elle est égale à six. Trouvons la hauteur. Considérons un triangle rectangle (surligné en jaune) :

Une jambe est égale à 4, puisque c'est la hauteur de la pyramide, l'autre est égale à 3, puisqu'elle est égale à la moitié du bord de la base. On peut trouver l'hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore :

Cela signifie que l'aire de la surface latérale de la pyramide est :

Ainsi, la superficie de la pyramide entière est :

Réponse : 96

27069. Les côtés de la base d'une pyramide quadrangulaire régulière sont égaux à 10, les bords latéraux sont égaux à 13. Trouvez l'aire de cette pyramide.

27070. Les côtés de la base d'une pyramide hexagonale régulière sont égaux à 10, les bords latéraux sont égaux à 13. Trouvez la surface latérale de cette pyramide.

Il existe également des formules pour la surface latérale d'une pyramide régulière. Dans une pyramide régulière, la base est une projection orthogonale de la surface latérale, donc :

P.- périmètre de base, je- apothème de la pyramide

*Cette formule est basée sur la formule de l'aire d'un triangle.

Si vous souhaitez en savoir plus sur la façon dont ces formules sont dérivées, ne le manquez pas, suivez la publication des articles.C'est tout. Bonne chance à toi!

Cordialement, Alexandre Krutitskikh.

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Les problèmes géométriques typiques sur le plan et dans l'espace tridimensionnel sont les problèmes de détermination des surfaces de différentes figures. Dans cet article, nous présentons la formule de la surface latérale d'une pyramide quadrangulaire régulière.

Qu'est-ce qu'une pyramide ?

Donnons une définition géométrique stricte d'une pyramide. Supposons que nous ayons un polygone avec n côtés et n angles. Choisissons un point arbitraire dans l'espace qui ne sera pas dans le plan du n-gon spécifié et connectons-le à chaque sommet du polygone. Nous obtiendrons une figure avec un certain volume, appelée pyramide n-gonale. Par exemple, montrons dans la figure ci-dessous à quoi ressemble une pyramide pentagonale.

Les deux éléments importants de toute pyramide sont sa base (n-gon) et son sommet. Ces éléments sont reliés entre eux par n triangles, qui en général ne sont pas égaux entre eux. La perpendiculaire descendant du haut vers la base est appelée hauteur de la figure. Si elle coupe la base au centre géométrique (coïncidant avec le centre de masse du polygone), alors une telle pyramide est appelée une ligne droite. Si, en plus de cette condition, la base est un polygone régulier, alors la pyramide entière est dite régulière. L'image ci-dessous montre à quoi ressemblent des pyramides régulières avec des bases triangulaires, quadrangulaires, pentagonales et hexagonales.

Surface de la pyramide

Avant d'aborder la question de la surface latérale d'une pyramide quadrangulaire régulière, il convient de s'attarder plus en détail sur la notion de surface elle-même.

Comme mentionné ci-dessus et représenté sur les figures, toute pyramide est formée par un ensemble de faces ou de côtés. Un côté est la base et n côtés sont des triangles. La surface de la figure entière est la somme des aires de chacun de ses côtés.

Il est commode d’étudier une surface à l’aide de l’exemple du développement d’une figure. Le développement d’une pyramide quadrangulaire régulière est illustré dans les figures ci-dessous.

On voit que sa surface est égale à la somme de quatre aires de triangles isocèles identiques et de l'aire d'un carré.

L'aire totale de tous les triangles qui forment les côtés d'une figure est généralement appelée surface latérale. Nous montrerons ensuite comment le calculer pour une pyramide quadrangulaire régulière.

Surface latérale d'une pyramide régulière quadrangulaire

Pour calculer la surface latérale de la figure indiquée, revenons au développement ci-dessus. Supposons que nous connaissions le côté de la base carrée. Notons-le par le symbole a. On voit que chacun des quatre triangles identiques a une base de longueur a. Pour calculer leur superficie totale, vous devez connaître cette valeur pour un triangle. Grâce au cours de géométrie, nous savons que l'aire S t d'un triangle est égale au produit de la base et de la hauteur, qui doit être divisée par deux. C'est-à-dire:

Où h b est la hauteur d'un triangle isocèle tiré vers la base a. Pour une pyramide, cette hauteur est un apothème. Il reste maintenant à multiplier l'expression résultante par 4 pour obtenir l'aire S b de la surface latérale de la pyramide en question :

S b = 4*S t = 2*h b *a.

Cette formule contient deux paramètres : l'apothème et le côté de la base. Si cette dernière est connue dans la plupart des conditions problématiques, alors la première doit être calculée en connaissant d’autres quantités. Voici les formules de calcul de l'apothème h b pour deux cas :

• lorsque la longueur de la côte latérale est connue ;
• quand la hauteur de la pyramide est connue.

Si l'on note la longueur du bord latéral (côté d'un triangle isocèle) par le symbole L, alors l'apothème h b est déterminé par la formule :

h b = √(L 2 - une 2 /4).

Cette expression est le résultat de l’application du théorème de Pythagore au triangle à surface latérale.

Si la hauteur h de la pyramide est connue, alors l'apothème h b peut être calculé comme suit :

h b = √(h 2 + une 2 /4).

Il n'est pas non plus difficile d'obtenir cette expression si l'on considère un triangle rectangle à l'intérieur de la pyramide, formé par les branches h et a/2 et l'hypoténuse h b.

Montrons comment appliquer ces formules en résolvant deux problèmes intéressants.

Problème avec la surface connue

On sait que l'aire de la surface latérale du quadrangulaire est de 108 cm 2. Il faut calculer la longueur de son apothème h b si la hauteur de la pyramide est de 7 cm.

Écrivons la formule de l'aire S b de la surface latérale en termes de hauteur. Nous avons:

S b = 2*√(h 2 + une 2 /4) *une.

Ici, nous avons simplement remplacé la formule de l'apothème appropriée dans l'expression de S b. Mettons au carré les deux côtés de l'équation :

S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4.

Pour trouver la valeur de a, on effectue un changement de variables :

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Maintenant, nous substituons les valeurs connues et résolvons l'équation quadratique :

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Nous n'avons noté que la racine positive de cette équation. Alors les côtés de la base de la pyramide seront égaux à :

une = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Pour obtenir la longueur de l'apothème, utilisez simplement la formule :

h b = √(h 2 + une 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.

Surface latérale de la pyramide de Khéops

Déterminons la valeur de la surface latérale de la plus grande pyramide égyptienne. On sait qu'à sa base se trouve un carré d'un côté de 230,363 mètres. La hauteur de la structure était à l'origine de 146,5 mètres. Remplacez ces nombres dans la formule correspondante pour S b, nous obtenons :

S b = 2*√(h 2 + une 2 /4) *une = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m 2.

La valeur trouvée est légèrement supérieure à la superficie de 17 terrains de football.

Quelle figure appelle-t-on une pyramide ? Premièrement, c'est un polyèdre. Deuxièmement, à la base de ce polyèdre se trouve un polygone arbitraire, et les côtés de la pyramide (faces latérales) ont nécessairement la forme de triangles convergeant vers un sommet commun. Maintenant, ayant compris le terme, découvrons comment trouver l’aire de la pyramide.

Il est clair que la surface d'un tel corps géométrique est constituée de la somme des aires de la base et de toute sa surface latérale.

Calculer l'aire de la base d'une pyramide

Le choix de la formule de calcul dépend de la forme du polygone sous-jacent à notre pyramide. Il peut être régulier, c'est-à-dire avec des côtés de même longueur, ou irrégulier. Considérons les deux options.

La base est un polygone régulier

Du cursus scolaire nous savons:

• l'aire du carré sera égale à la longueur de son côté au carré ;
• L'aire d'un triangle équilatéral est égale au carré de son côté divisé par 4 et multiplié par la racine carrée de trois.

Mais il existe aussi une formule générale pour calculer l'aire de tout polygone régulier (Sn) : il faut multiplier le périmètre de ce polygone (P) par le rayon du cercle qui y est inscrit (r), puis diviser le résultat par deux : Sn=1/2P*r .

A la base se trouve un polygone irrégulier

Le schéma pour trouver son aire consiste d'abord à diviser l'ensemble du polygone en triangles, à calculer l'aire de chacun d'eux à l'aide de la formule : 1/2a*h (où a est la base du triangle, h est la hauteur abaissée à cette base), additionner tous les résultats.

Surface latérale de la pyramide

Calculons maintenant l'aire de la surface latérale de la pyramide, c'est-à-dire la somme des aires de tous ses côtés latéraux. Il y a aussi 2 options ici.

1. Ayons une pyramide arbitraire, c'est-à-dire un avec un polygone irrégulier à sa base. Ensuite, vous devez calculer la surface de chaque visage séparément et additionner les résultats. Puisque les côtés d'une pyramide, par définition, ne peuvent être que des triangles, le calcul est effectué à l'aide de la formule mentionnée ci-dessus : S=1/2a*h.
2. Que notre pyramide soit correcte, c'est-à-dire à sa base se trouve un polygone régulier, et la projection du sommet de la pyramide est en son centre. Ensuite, pour calculer l'aire de la surface latérale (Sb), il suffit de trouver la moitié du produit du périmètre du polygone de base (P) et de la hauteur (h) du côté latéral (la même pour toutes les faces ) : Sb = 1/2 P*h. Le périmètre d'un polygone est déterminé en additionnant les longueurs de tous ses côtés.

La surface totale d'une pyramide régulière est obtenue en additionnant l'aire de sa base avec l'aire de toute la surface latérale.

Exemples

Par exemple, calculons algébriquement les surfaces de plusieurs pyramides.

Superficie d'une pyramide triangulaire

A la base d’une telle pyramide se trouve un triangle. En utilisant la formule So=1/2a*h on trouve l'aire de la base. On utilise la même formule pour trouver l'aire de chaque face de la pyramide, qui a également une forme triangulaire, et on obtient 3 aires : S1, S2 et S3. L'aire de la surface latérale de la pyramide est la somme de toutes les aires : Sb = S1+ S2+ S3. En additionnant les aires des côtés et de la base, on obtient la surface totale de la pyramide souhaitée : Sp= So+ Sb.

Superficie d'une pyramide quadrangulaire

L'aire de la surface latérale est la somme de 4 termes : Sb = S1+ S2+ S3+ S4, chacun étant calculé à l'aide de la formule de l'aire d'un triangle. Et l'aire de la base devra être recherchée en fonction de la forme du quadrilatère - régulière ou irrégulière. La surface totale de la pyramide est à nouveau obtenue en additionnant l'aire de la base et la surface totale de la pyramide donnée.