Comment écrire une équation quadratique. calculateur en ligne

D'une manière plus simple. Pour ce faire, retirez z des parenthèses. Vous obtenez : z(az + b) = 0. Les facteurs peuvent s'écrire : z=0 et az + b = 0, puisque les deux peuvent donner zéro. Dans la notation az + b = 0, on déplace le second vers la droite avec un signe différent. De là, nous obtenons z1 = 0 et z2 = -b/à. Ce sont les racines de l'original.

S'il existe une équation incomplète de la forme az² + c \u003d 0, dans ce cas, elles sont trouvées en transférant simplement le terme libre du côté droit de l'équation. Changez également son signe. Vous obtenez l'enregistrement az² \u003d -s. Exprimez z² = -c/a. Prenez la racine et notez deux solutions - une valeur positive et une valeur négative de la racine carrée.

Remarque

S'il y a des coefficients fractionnaires dans l'équation, multipliez l'équation entière par le facteur approprié afin de vous débarrasser des fractions.

Savoir résoudre des équations du second degré est nécessaire aussi bien pour les écoliers que pour les étudiants, parfois cela peut aider un adulte dans la vie de tous les jours. Il existe plusieurs méthodes de décision spécifiques.

Résolution d'équations quadratiques

Une équation quadratique de la forme a*x^2+b*x+c=0. Le coefficient x est la variable souhaitée, a, b, c - coefficients numériques. N'oubliez pas que le signe "+" peut se transformer en signe "-".

Pour résoudre cette équation, vous devez utiliser le théorème de Vieta ou trouver le discriminant. Le moyen le plus courant consiste à trouver le discriminant, car pour certaines valeurs de a, b, c, il n'est pas possible d'utiliser le théorème de Vieta.

Pour trouver le discriminant (D), il faut écrire la formule D=b^2 - 4*a*c. La valeur de D peut être supérieure, inférieure ou égale à zéro. Si D est supérieur ou inférieur à zéro, alors il y aura deux racines, si D = 0, alors il ne reste qu'une seule racine, plus précisément, on peut dire que D a dans ce cas deux racines équivalentes. Remplacez les coefficients connus a, b, c dans la formule et calculez la valeur.

Après avoir trouvé le discriminant, pour trouver x, utilisez les formules : x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a ; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a où sqrt est la fonction pour prendre la racine carrée du nombre donné. Après avoir calculé ces expressions, vous trouverez les deux racines de votre équation, après quoi l'équation est considérée comme résolue.

Si D est inférieur à zéro, alors il a toujours des racines. A l'école, cette section n'est pratiquement pas étudiée. Les étudiants universitaires doivent être conscients qu'un nombre négatif apparaît sous la racine. Nous nous en débarrassons en séparant la partie imaginaire, c'est-à-dire que -1 sous la racine est toujours égal à l'élément imaginaire "i", qui est multiplié par la racine avec le même nombre positif. Par exemple, si D=sqrt(-20), après la transformation, D=sqrt(20)*i est obtenu. Après cette transformation, la solution de l'équation est réduite à la même découverte des racines, comme décrit ci-dessus.

Le théorème de Vieta consiste en la sélection des valeurs x(1) et x(2). Deux équations identiques sont utilisées : x(1) + x(2)= -b ; x(1)*x(2)=s. De plus, un point très important est le signe devant le coefficient b, rappelez-vous que ce signe est opposé à celui de l'équation. À première vue, il semble que le calcul de x(1) et x(2) soit très simple, mais lors de la résolution, vous rencontrerez le fait que les nombres devront être sélectionnés exactement.

Éléments pour résoudre des équations quadratiques

Selon les règles mathématiques, certaines peuvent être factorisées: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, si vous avez réussi à transformer cette équation quadratique de cette manière à l'aide de formules mathématiques, alors n'hésitez pas à écrivez la réponse. x(1) et x(2) seront égaux aux coefficients adjacents entre parenthèses, mais de signe opposé.

N'oubliez pas non plus les équations quadratiques incomplètes. Il se peut que vous manquiez certains des termes, si c'est le cas, alors tous ses coefficients sont simplement égaux à zéro. Si x^2 ou x n'est précédé de rien, alors les coefficients a et b sont égaux à 1.

Équation quadratique - facile à résoudre ! *Plus loin dans le texte "KU". Amis, il semblerait qu'en mathématiques, cela puisse être plus facile que de résoudre une telle équation. Mais quelque chose m'a dit que beaucoup de gens avaient des problèmes avec lui. J'ai décidé de voir combien d'impressions Yandex donne par demande et par mois. Voici ce qui s'est passé, jetez un oeil:

Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie qu'environ 70 000 personnes par mois recherchent ces informations, et c'est l'été, et ce qui se passera pendant l'année scolaire - il y aura deux fois plus de demandes. Ce n'est pas surprenant, car ces gars et ces filles qui ont longtemps obtenu leur diplôme et se préparent à l'examen recherchent ces informations, et les écoliers essaient également de se rafraîchir la mémoire.

Malgré le fait qu'il existe de nombreux sites qui expliquent comment résoudre cette équation, j'ai décidé de contribuer et de publier également le matériel. Tout d'abord, je veux que les visiteurs viennent sur mon site sur cette demande ; deuxièmement, dans d'autres articles, lorsque le discours «KU» apparaîtra, je donnerai un lien vers cet article; troisièmement, je vais vous en dire un peu plus sur sa solution que ce qui est généralement indiqué sur d'autres sites. Commençons! Le contenu de l'article :

Une équation quadratique est une équation de la forme :

où les coefficients a,bet avec des nombres arbitraires, avec a≠0.

Dans le cours scolaire, le matériel est donné sous la forme suivante - la division des équations en trois classes se fait conditionnellement:

1. Avoir deux racines.

2. * Avoir une seule racine.

3. N'ont pas de racines. Il convient de noter ici qu'ils n'ont pas de véritables racines

Comment les racines sont-elles calculées ? Juste!

Nous calculons le discriminant. Sous ce mot "terrible" se cache une formule très simple :

Les formules racine sont les suivantes :

*Ces formules doivent être connues par cœur.

Vous pouvez immédiatement écrire et décider:

Exemple:

1. Si D > 0, alors l'équation a deux racines.

2. Si D = 0, alors l'équation a une racine.

3. Si D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Regardons l'équation :

A cette occasion, lorsque le discriminant est nul, le cours de l'école dit qu'une racine est obtenue, ici elle est égale à neuf. C'est vrai, ça l'est, mais...

Cette représentation est quelque peu erronée. En fait, il y a deux racines. Oui, oui, ne soyez pas surpris, il s'avère que deux racines égales, et pour être mathématiquement précis, alors deux racines doivent être écrites dans la réponse :

x 1 = 3 x 2 = 3

Mais c'est ainsi - une petite digression. À l'école, vous pouvez écrire et dire qu'il n'y a qu'une seule racine.

Maintenant l'exemple suivant :

Comme nous le savons, la racine d'un nombre négatif n'est pas extraite, il n'y a donc pas de solution dans ce cas.

C'est tout le processus de décision.

Fonction quadratique.

Voici à quoi ressemble la solution géométriquement. Ceci est extrêmement important à comprendre (à l'avenir, dans l'un des articles, nous analyserons en détail la solution d'une inégalité quadratique).

C'est une fonction de la forme :

où x et y sont des variables

a, b, c sont des nombres donnés, où a ≠ 0

Le graphique est une parabole :

Autrement dit, il s'avère qu'en résolvant une équation quadratique avec "y" égal à zéro, nous trouvons les points d'intersection de la parabole avec l'axe des x. Ces points peuvent être deux (le discriminant est positif), un (le discriminant est nul) ou aucun (le discriminant est négatif). En savoir plus sur la fonction quadratique Vous pouvez voir article d'Inna Feldman.

Prenons des exemples :

Exemple 1 : Décider 2x 2 +8 X–192=0

un=2 b=8 c= -192

ré = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Réponse : x 1 = 8 x 2 = -12

* Vous pouvez immédiatement diviser les côtés gauche et droit de l'équation par 2, c'est-à-dire la simplifier. Les calculs seront plus faciles.

Exemple 2 : Décider x2–22 x+121 = 0

un=1 b=-22 c=121

ré = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Nous avons obtenu que x 1 \u003d 11 et x 2 \u003d 11

Dans la réponse, il est permis d'écrire x = 11.

Réponse : x = 11

Exemple 3 : Décider x 2 –8x+72 = 0

un=1 b= -8 c=72

ré = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Le discriminant est négatif, il n'y a pas de solution en nombres réels.

Réponse : pas de solution

Le discriminant est négatif. Il existe une solution !

Ici, nous parlerons de la résolution de l'équation dans le cas où un discriminant négatif est obtenu. Savez-vous quelque chose sur les nombres complexes ? Je n'entrerai pas dans les détails ici sur pourquoi et où ils sont apparus et quel est leur rôle spécifique et leur nécessité en mathématiques, c'est un sujet pour un grand article séparé.

Notion de nombre complexe.

Un peu de théorie.

Un nombre complexe z est un nombre de la forme

z = a + bi

où a et b sont des nombres réels, i est l'unité dite imaginaire.

un+bi est un NOMBRE UNIQUE, pas une addition.

L'unité imaginaire est égale à la racine de moins un :

Considérons maintenant l'équation :

Obtenez deux racines conjuguées.

Équation quadratique incomplète.

Considérons des cas particuliers, c'est lorsque le coefficient "b" ou "c" est égal à zéro (ou les deux sont égaux à zéro). Ils sont résolus facilement sans aucun discriminant.

Cas 1. Coefficient b = 0.

L'équation prend la forme :

Transformons :

Exemple:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Cas 2. Coefficient c = 0.

L'équation prend la forme :

Transformer, factoriser :

*Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro.

Exemple:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ou x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cas 3. Coefficients b = 0 et c = 0.

Ici, il est clair que la solution de l'équation sera toujours x = 0.

Propriétés utiles et modèles de coefficients.

Il existe des propriétés qui permettent de résoudre des équations avec de grands coefficients.

unX 2 + boîte+ c=0 égalité

un + b+ c = 0, alors

— si pour les coefficients de l'équation unX 2 + boîte+ c=0 égalité

un+ avec =b, alors

Ces propriétés aident à résoudre un certain type d'équation.

Exemple 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La somme des coefficients est 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, donc

Exemple 2 : 2501 X 2 +2507 X+6=0

Égalité un+ avec =b, moyens

Régularités des coefficients.

1. Si dans l'équation ax 2 + bx + c \u003d 0 le coefficient "b" est (a 2 +1) et que le coefficient "c" est numériquement égal au coefficient "a", alors ses racines sont

hache 2 + (une 2 +1) ∙ X + une \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a X 2 \u003d -1 / une.

Exemple. Considérons l'équation 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Si dans l'équation ax 2 - bx + c \u003d 0 le coefficient "b" est (a 2 +1) et que le coefficient "c" est numériquement égal au coefficient "a", alors ses racines sont

hache 2 - (une 2 + 1) ∙ X + une \u003d 0 \u003d\u003e X 1 \u003d une X 2 \u003d 1 / une.

Exemple. Considérons l'équation 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Si dans l'équation ax 2 + bx - c = 0 coefficient "b" est égal à (a 2 – 1), et le coefficient « c » numériquement égal au coefficient "a", alors ses racines sont égales

hache 2 + (une 2 -1) ∙ X - une \u003d 0 \u003d\u003e X 1 \u003d - une X 2 \u003d 1 / une.

Exemple. Considérons l'équation 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Si dans l'équation ax 2 - bx - c \u003d 0, le coefficient "b" est égal à (a 2 - 1) et le coefficient c est numériquement égal au coefficient "a", alors ses racines sont égales

hache 2 - (une 2 -1) ∙ X - une \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d une X 2 \u003d - 1 / une.

Exemple. Considérez l'équation 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Théorème de Vieta.

Le théorème de Vieta porte le nom du célèbre mathématicien français François Vieta. En utilisant le théorème de Vieta, on peut exprimer la somme et le produit des racines d'un KU arbitraire en termes de ses coefficients.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

En somme, le nombre 14 ne donne que 5 et 9. Ce sont les racines. Avec une certaine habileté, en utilisant le théorème présenté, vous pouvez résoudre de nombreuses équations quadratiques immédiatement oralement.

Théorème de Vieta, d'ailleurs. pratique car après avoir résolu l'équation quadratique de la manière habituelle (par le discriminant), les racines résultantes peuvent être vérifiées. Je recommande de le faire tout le temps.

MÉTHODE DE TRANSFERT

Avec cette méthode, le coefficient "a" est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était "transféré", c'est pourquoi on l'appelle méthode de transfert. Cette méthode est utilisée lorsqu'il est facile de trouver les racines d'une équation à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Si un un± b+c≠ 0, alors la technique de transfert est utilisée, par exemple :

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Selon le théorème de Vieta dans l'équation (2), il est facile de déterminer que x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Les racines obtenues de l'équation doivent être divisées par 2 (puisque les deux ont été "jetées" de x 2), on obtient

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Quelle est la justification? Voyez ce qui se passe.

Les discriminants des équations (1) et (2) sont :

Si vous regardez les racines des équations, seuls différents dénominateurs sont obtenus et le résultat dépend précisément du coefficient en x 2:

Les deuxièmes racines (modifiées) sont 2 fois plus grandes.

Nous divisons donc le résultat par 2.

*Si nous obtenons un brelan, nous divisons le résultat par 3, et ainsi de suite.

Réponse : x 1 = 5 x 2 = 0,5

m² ur-ie et l'examen.

Je parlerai brièvement de son importance - VOUS DEVRIEZ POUVOIR DÉCIDER rapidement et sans réfléchir, vous devez connaître par cœur les formules des racines et du discriminant. De nombreuses tâches faisant partie des tâches USE consistent à résoudre une équation quadratique (y compris géométrique).

Ce qui vaut la peine d'être noté !

1. La forme de l'équation peut être "implicite". Par exemple, l'entrée suivante est possible :

15+ 9x 2 - 45x = 0 ou 15x+42+9x 2 - 45x=0 ou 15 -5x+10x 2 = 0.

Vous devez l'amener sous une forme standard (afin de ne pas vous tromper lors de la résolution).

2. Rappelez-vous que x est une valeur inconnue et qu'elle peut être désignée par n'importe quelle autre lettre - t, q, p, h et autres.

École secondaire rurale Kopyevskaya

10 façons de résoudre des équations quadratiques

Responsable : Patrikeeva Galina Anatolyevna,

professeur de mathématiques

à Kopyevo, 2007

1. Histoire du développement des équations quadratiques

1.1 Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone

1.2 Comment Diophante a compilé et résolu les équations quadratiques

1.3 Équations quadratiques en Inde

1.4 Équations quadratiques dans al-Khwarizmi

1.5 Équations quadratiques en Europe XIII - XVII siècles

1.6 À propos du théorème de Vieta

2. Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Conclusion

Littérature

1. Histoire du développement des équations quadratiques

1.1 Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du second degré dans l'Antiquité était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche de zones de terrain et de terrassements de nature militaire, ainsi qu'au développement de l'astronomie et mathématiques elles-mêmes. Les équations quadratiques ont pu résoudre environ 2000 av. e. Babyloniens.

En appliquant la notation algébrique moderne, on peut dire que dans leurs textes cunéiformes, il y a, en plus des textes incomplets, comme, par exemple, des équations quadratiques complètes :

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

La règle de résolution de ces équations, énoncée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens en sont venus à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne donnent que des problèmes avec des solutions énoncées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la façon dont elles ont été trouvées.

Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.

1.2 Comment Diophante a compilé et résolu des équations quadratiques.

L'arithmétique de Diophante ne contient pas une exposition systématique de l'algèbre, mais elle contient une série systématique de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en formulant des équations de degrés divers.

Lors de la compilation des équations, Diophante choisit habilement les inconnues pour simplifier la solution.

Voici, par exemple, une de ses tâches.

Tâche 11."Trouver deux nombres sachant que leur somme est 20 et leur produit est 96"

Diophante argumente ainsi : il résulte de la condition du problème que les nombres recherchés ne sont pas égaux, puisque s'ils étaient égaux, alors leur produit serait égal non pas à 96, mais à 100. Ainsi, l'un d'eux sera supérieur à la moitié de leur somme, soit . 10+x, l'autre est plus petit, c'est-à-dire 10. La différence entre eux 2x .

D'où l'équation :

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

D'ici x = 2. L'un des nombres souhaités est 12 , autre 8 . La solution x = -2 car Diophante n'existe pas, puisque les mathématiques grecques ne connaissaient que les nombres positifs.

Si nous résolvons ce problème en choisissant l'un des nombres souhaités comme inconnu, nous arriverons à la solution de l'équation

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Il est clair que Diophante simplifie la solution en choisissant comme inconnue la demi-différence des nombres recherchés ; il parvient à réduire le problème à la résolution d'une équation quadratique incomplète (1).

1.3 Équations quadratiques en Inde

Des problèmes pour les équations quadratiques se trouvent déjà dans le tract astronomique "Aryabhattam", compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a énoncé la règle générale de résolution des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique :

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Dans l'équation (1), les coefficients, à l'exception de un, peut aussi être négatif. La règle de Brahmagupta coïncide essentiellement avec la nôtre.

Dans l'Inde ancienne, les compétitions publiques pour résoudre des problèmes difficiles étaient courantes. Dans l'un des vieux livres indiens, on dit ce qui suit à propos de ces compétitions : "Comme le soleil éclipse les étoiles par son éclat, un savant éclipsera la gloire d'un autre dans les réunions publiques, proposant et résolvant des problèmes algébriques." Les tâches étaient souvent habillées sous une forme poétique.

Voici l'un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskara.

Tâche 13.

"Un troupeau fringant de singes Et douze dans les vignes...

Après avoir mangé du pouvoir, s'être amusé. Ils ont commencé à sauter, suspendus ...

Partie huit d'entre eux dans un carré Combien y avait-il de singes,

S'amuser dans le pré. Tu me dis, dans ce troupeau ?

La solution de Bhaskara indique qu'il connaissait la double valeur des racines des équations quadratiques (Fig. 3).

L'équation correspondant au problème 13 est :

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara écrit sous le couvert de :

x2 - 64x = -768

et, pour compléter le côté gauche de cette équation à un carré, il ajoute aux deux côtés 32 2 , obtenant alors :

x2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Équations quadratiques dans al-Khorezmi

Le traité algébrique d'Al-Khorezmi donne une classification des équations linéaires et quadratiques. L'auteur énumère 6 types d'équations, en les exprimant comme suit :

1) "Les carrés sont égaux aux racines", c'est-à-dire axe 2 + c = b X.

2) "Les carrés sont égaux au nombre", c'est-à-dire axe 2 = s.

3) "Les racines sont égales au nombre", c'est-à-dire ah = s.

4) "Les carrés et les nombres sont égaux aux racines", c'est-à-dire axe 2 + c = b X.

5) "Les carrés et les racines sont égaux au nombre", c'est-à-dire ah 2+ boîte = s.

6) "Les racines et les nombres sont égaux aux carrés", c'est-à-dire boîte + c \u003d axe 2.

Pour al-Khwarizmi, qui a évité l'utilisation de nombres négatifs, les termes de chacune de ces équations sont des additions et non des soustractions. Dans ce cas, les équations qui n'ont pas de solutions positives ne sont évidemment pas prises en compte. L'auteur décrit les méthodes de résolution de ces équations, en utilisant les méthodes d'al-jabr et d'al-muqabala. Ses décisions, bien sûr, ne coïncident pas complètement avec les nôtres. Sans parler du fait qu'il est purement rhétorique, il convient de noter, par exemple, que lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète du premier type

al-Khorezmi, comme tous les mathématiciens avant le XVIIe siècle, ne tient pas compte de la solution zéro, probablement parce qu'elle n'a pas d'importance dans des problèmes pratiques spécifiques. Lors de la résolution d'équations quadratiques complètes, al-Khorezmi énonce les règles de résolution, puis les preuves géométriques, à l'aide d'exemples numériques particuliers.

Tâche 14.« Le carré et le nombre 21 sont égaux à 10 racines. Trouver la racine" (en supposant la racine de l'équation x 2 + 21 = 10x).

La solution de l'auteur ressemble à ceci : divisez le nombre de racines par deux, vous obtenez 5, multipliez 5 par lui-même, soustrayez 21 du produit, il reste 4. Prenez la racine de 4, vous obtenez 2. Soustrayez 2 de 5, vous obtenez 3, ce sera la racine souhaitée. Soit ajouter 2 à 5, ce qui donnera 7, c'est aussi une racine.

Le traité al - Khorezmi est le premier livre qui nous soit parvenu, dans lequel la classification des équations quadratiques est systématiquement énoncée et les formules de leur solution sont données.

1.5 Équations quadratiques en Europe XIII - XVII des siècles

Les formules pour résoudre les équations quadratiques sur le modèle d'al - Khorezmi en Europe ont été énoncées pour la première fois dans le "Livre de l'Abacus", écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Cet ouvrage volumineux, qui reflète l'influence des mathématiques, à la fois des pays de l'islam et de la Grèce antique, se distingue à la fois par l'exhaustivité et la clarté de la présentation. L'auteur a développé indépendamment de nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à aborder l'introduction des nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreuses tâches du "Livre de l'Abaque" sont passées dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et en partie XVIII.

La règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique :

2+ boîte = avec,

pour toutes les combinaisons possibles de signes des coefficients b , Avec n'a été formulée en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.

Vieta a une dérivation générale de la formule pour résoudre une équation quadratique, mais Vieta n'a reconnu que des racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli ont été parmi les premiers au XVIe siècle. Tenez compte, en plus des racines positives et négatives. Seulement au XVIIe siècle. Grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la façon de résoudre les équations quadratiques prend une allure moderne.

1.6 À propos du théorème de Vieta

Le théorème exprimant la relation entre les coefficients d'une équation quadratique et ses racines, portant le nom de Vieta, fut formulé par lui pour la première fois en 1591 comme suit : « Si B + ré multiplié par UN - UN 2 , équivaut à BD, alors UNéquivaut à À et égal ré ».

Pour comprendre Vieta, il faut se rappeler que MAIS, comme toute voyelle, signifiait pour lui l'inconnu (notre X), les voyelles À, ré- coefficients pour l'inconnu. Dans le langage de l'algèbre moderne, la formulation de Vieta ci-dessus signifie : si

(un + b )x - x 2 = un B ,

x 2 - (un + b )x + un b = 0,

x 1 = une, x 2 = b .

Exprimant la relation entre les racines et les coefficients des équations par des formules générales écrites à l'aide de symboles, Viet a établi une uniformité dans les méthodes de résolution des équations. Cependant, le symbolisme de Vieta est encore loin de sa forme moderne. Il ne reconnaissait pas les nombres négatifs et, par conséquent, lors de la résolution d'équations, il ne considérait que les cas où toutes les racines sont positives.

2. Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Les équations quadratiques sont le fondement sur lequel repose le majestueux édifice de l'algèbre. Les équations quadratiques sont largement utilisées pour résoudre des équations et inégalités trigonométriques, exponentielles, logarithmiques, irrationnelles et transcendantales. Nous savons tous comment résoudre des équations quadratiques de l'école (8e année) jusqu'à l'obtention du diplôme.

Juste. Selon des formules et des règles simples claires. Au premier stade

il est nécessaire de mettre l'équation donnée sous la forme standard, c'est-à-dire à la vue :

Si l'équation vous est déjà donnée sous cette forme, vous n'avez pas besoin de faire la première étape. La chose la plus importante est juste

déterminer tous les coefficients un, b et c.

Formule pour trouver les racines d'une équation quadratique.

L'expression sous le signe racine s'appelle discriminant . Comme vous pouvez le voir, pour trouver x, nous

utilisation seulement a, b et c. Ceux. chances de équation quadratique. Insérez juste soigneusement

valeurs un, b et c dans cette formule et compter. Remplacer par leur panneaux!

Par exemple, dans l'équation :

un =1; b = 3; c = -4.

Remplacez les valeurs et écrivez :

Exemple presque résolu :

C'est la réponse.

Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les signes de valeurs un B et Avec. Plutôt, avec substitution

valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ici, la formule détaillée enregistre

avec des numéros spécifiques. S'il y a des problèmes avec les calculs, faites-le !

Supposons que nous devions résoudre l'exemple suivant :

Ici un = -6; b = -5; c = -1

Nous peignons tout en détail, avec soin, sans rien manquer avec tous les signes et supports :

Souvent, les équations quadratiques semblent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :

Prenez maintenant note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d'erreurs.

Première réception. Ne soyez pas paresseux avant résoudre une équation quadratique amenez-le à la forme standard.

Qu'est-ce que ça veut dire?

Supposons qu'après toutes les transformations, vous obteniez l'équation suivante :

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule des racines ! Vous mélangerez presque certainement les chances a, b et c.

Construisez l'exemple correctement. D'abord x au carré, puis sans carré, puis un membre libre. Comme ça:

Débarrassez-vous du moins. Comment? Nous devons multiplier l'équation entière par -1. On a:

Et maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et compléter l'exemple.

Décidez vous-même. Vous devriez vous retrouver avec les racines 2 et -1.

Deuxième réception. Vérifiez vos racines ! Par Théorème de Vieta.

Pour résoudre les équations quadratiques données, c'est-à-dire si le coefficient

x2+bx+c=0,

alorsx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Pour une équation quadratique complète dans laquelle a≠1:

x2 +bx+c=0,

diviser toute l'équation par un:

→ →

où x1 et X 2 - racines de l'équation.

Troisième réception. Si votre équation a des coefficients fractionnaires, débarrassez-vous des fractions ! Multiplier

équation pour un dénominateur commun.

Conclusion. Conseils pratiques :

1. Avant de résoudre, nous apportons l'équation quadratique à la forme standard, la construisons droit.

2. S'il y a un coefficient négatif devant le x dans le carré, on l'élimine en multipliant tout

équations pour -1.

3. Si les coefficients sont fractionnaires, nous éliminons les fractions en multipliant l'équation entière par le

facteur.

4. Si x au carré est pur, son coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée par

Ce sujet peut sembler compliqué au premier abord en raison des nombreuses formules pas si simples. Non seulement les équations quadratiques elles-mêmes ont de longues entrées, mais les racines se trouvent également à travers le discriminant. Il y a trois nouvelles formules au total. Pas très facile à retenir. Ceci n'est possible qu'après la résolution fréquente de telles équations. Ensuite, toutes les formules seront mémorisées par elles-mêmes.

Vue générale de l'équation quadratique

Ici, leur notation explicite est proposée, lorsque le plus grand degré est écrit en premier, puis - dans l'ordre décroissant. Il y a souvent des situations où les termes sont distincts. Il est alors préférable de réécrire l'équation dans l'ordre décroissant du degré de la variable.

Introduisons la notation. Ils sont présentés dans le tableau ci-dessous.

Si l'on accepte ces notations, toutes les équations quadratiques se réduisent à la notation suivante.

De plus, le coefficient a ≠ 0. Soit cette formule désignée par le numéro un.

Lorsque l'équation est donnée, le nombre de racines dans la réponse n'est pas clair. Parce qu'une des trois options est toujours possible :

• la solution aura deux racines;
• la réponse sera un chiffre ;
• L'équation n'a aucune racine.

Et tant que la décision n'est pas prise à son terme, il est difficile de comprendre laquelle des options tombera dans un cas particulier.

Types d'enregistrements d'équations quadratiques

Les tâches peuvent avoir des entrées différentes. Ils ne ressembleront pas toujours à la formule générale d'une équation quadratique. Parfois, il manquera certains termes. Ce qui a été écrit ci-dessus est l'équation complète. Si vous supprimez le deuxième ou le troisième terme, vous obtenez autre chose. Ces enregistrements sont également appelés équations quadratiques, uniquement incomplètes.

De plus, seuls les termes pour lesquels les coefficients "b" et "c" peuvent disparaître. Le nombre "a" ne peut en aucun cas être égal à zéro. Parce que dans ce cas, la formule se transforme en une équation linéaire. Les formules pour la forme incomplète des équations seront les suivantes :

Ainsi, il n'y a que deux types, en plus des équations complètes, il existe également des équations quadratiques incomplètes. Soit la première formule numéro deux et la seconde numéro trois.

Le discriminant et la dépendance du nombre de racines à sa valeur

Ce nombre doit être connu afin de calculer les racines de l'équation. Elle peut toujours être calculée, quelle que soit la formule de l'équation quadratique. Pour calculer le discriminant, vous devez utiliser l'égalité écrite ci-dessous, qui aura le nombre quatre.

Après avoir remplacé les valeurs des coefficients dans cette formule, vous pouvez obtenir des nombres avec des signes différents. Si la réponse est oui, alors la réponse à l'équation sera deux racines différentes. Avec un nombre négatif, les racines de l'équation quadratique seront absentes. S'il est égal à zéro, la réponse sera un.

Comment résoudre une équation quadratique complète ?

En fait, l'examen de cette question a déjà commencé. Parce que vous devez d'abord trouver le discriminant. Après avoir clarifié qu'il existe des racines de l'équation quadratique et que leur nombre est connu, vous devez utiliser les formules pour les variables. S'il y a deux racines, vous devez appliquer une telle formule.

Puisqu'il contient le signe "±", il y aura deux valeurs. L'expression sous le signe de la racine carrée est le discriminant. Par conséquent, la formule peut être réécrite d'une manière différente.

Formule cinq. À partir du même enregistrement, on peut voir que si le discriminant est nul, alors les deux racines prendront les mêmes valeurs.

Si la solution des équations quadratiques n'a pas encore été élaborée, il est préférable d'écrire les valeurs de tous les coefficients avant d'appliquer les formules discriminantes et variables. Plus tard, ce moment ne causera pas de difficultés. Mais au tout début, il y a confusion.

Comment résoudre une équation quadratique incomplète ?

Tout est beaucoup plus simple ici. Même il n'y a pas besoin de formules supplémentaires. Et vous n'aurez pas besoin de ceux qui ont déjà été écrits pour le discriminant et l'inconnu.

Considérons d'abord l'équation incomplète numéro deux. Dans cette égalité, il est supposé sortir la valeur inconnue de la parenthèse et résoudre l'équation linéaire, qui restera entre parenthèses. La réponse aura deux racines. Le premier est nécessairement égal à zéro, car il existe un facteur constitué de la variable elle-même. La seconde est obtenue en résolvant une équation linéaire.

L'équation incomplète au numéro trois est résolue en transférant le nombre du côté gauche de l'équation vers la droite. Ensuite, vous devez diviser par le coefficient devant l'inconnu. Il ne reste plus qu'à extraire la racine carrée et n'oubliez pas de l'écrire deux fois avec des signes opposés.

Voici quelques actions qui vous aideront à apprendre à résoudre toutes sortes d'équations qui se transforment en équations quadratiques. Ils aideront l'élève à éviter les erreurs dues à l'inattention. Ces lacunes sont la cause de mauvaises notes lors de l'étude du vaste sujet "Équations quadriques (8e année)". Par la suite, ces actions n'auront pas besoin d'être constamment effectuées. Parce qu'il y aura une habitude stable.

• Vous devez d'abord écrire l'équation sous une forme standard. C'est-à-dire d'abord le terme avec le plus grand degré de la variable, puis - sans le degré et le dernier - juste un nombre.

• Si un moins apparaît avant le coefficient "a", cela peut compliquer le travail d'un débutant pour étudier les équations quadratiques. Il vaut mieux s'en débarrasser. A cet effet, toute égalité doit être multipliée par "-1". Cela signifie que tous les termes changeront de signe en sens contraire.

• De la même manière, il est recommandé de se débarrasser des fractions. Multipliez simplement l'équation par le facteur approprié pour que les dénominateurs s'annulent.

Exemples

Il est nécessaire de résoudre les équations quadratiques suivantes :

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x2 + 8 + 3x = 0 ;

12x + x 2 + 36 = 0 ;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La première équation: x 2 - 7x \u003d 0. Elle est incomplète, elle est donc résolue comme décrit pour la formule numéro deux.

Après mise entre parenthèses, il s'avère: x (x - 7) \u003d 0.

La première racine prend la valeur : x 1 \u003d 0. La seconde se trouvera à partir de l'équation linéaire : x - 7 \u003d 0. Il est facile de voir que x 2 \u003d 7.

Deuxième équation : 5x2 + 30 = 0. Encore une fois incomplète. Seulement, il est résolu comme décrit pour la troisième formule.

Après avoir transféré 30 sur le côté droit de l'équation : 5x 2 = 30. Maintenant, vous devez diviser par 5. Il s'avère : x 2 = 6. Les réponses seront des nombres : x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Troisième équation : 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Ici et ci-dessous, la solution des équations quadratiques commencera par les réécrire sous une forme standard : - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Il est maintenant temps d'utiliser la seconde astuce utile et multipliez tout par moins un. Il s'avère x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Selon la quatrième formule, vous devez calculer le discriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. C'est un nombre positif. D'après ce qui a été dit ci-dessus, il s'avère que l'équation a deux racines. Ils doivent être calculés selon la cinquième formule. Selon lui, il s'avère que x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Puis x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

La quatrième équation x 2 + 8 + 3x \u003d 0 est convertie en ceci : x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Son discriminant est égal à cette valeur : -23. Puisque ce nombre est négatif, la réponse à cette tâche sera l'entrée suivante : "Il n'y a pas de racines."

La cinquième équation 12x + x 2 + 36 = 0 doit être réécrite comme suit : x 2 + 12x + 36 = 0. Après application de la formule du discriminant, le nombre zéro est obtenu. Cela signifie qu'il aura une racine, à savoir: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

La sixième équation (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) nécessite des transformations, qui consistent dans le fait qu'il faut apporter des termes semblables, avant d'ouvrir les parenthèses. A la place de la première, il y aura une telle expression : x 2 + 2x + 1. Après égalité, cette entrée apparaîtra : x 2 + 3x + 2. Après avoir compté les termes similaires, l'équation prendra la forme : x 2 - x \u003d 0. Il est devenu incomplet . Semblable à cela a déjà été considéré un peu plus haut. Les racines de ceci seront les nombres 0 et 1.