Formules de trigonométrie somme de sinus et cosinus. Acheter un diplôme d'études supérieures pas cher

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Les formules de somme et différence des sinus et cosinus pour deux angles α et β permettent de passer de la somme des angles indiqués au produit des angles α + β 2 et α - β 2 . Notons tout de suite qu'il ne faut pas confondre les formules de la somme et de la différence des sinus et des cosinus avec les formules des sinus et des cosinus de la somme et de la différence. Ci-dessous, nous énumérons ces formules, donnons leur dérivation et montrons des exemples d'application pour des problèmes spécifiques.

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Formules pour la somme et la différence des sinus et des cosinus

Écrivons à quoi ressemblent les formules de somme et de différence pour les sinus et les cosinus

Formules de somme et de différence pour les sinus

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Formules de somme et de différence pour les cosinus

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2

Ces formules sont valables pour tous les angles α et β. Les angles α + β 2 et α - β 2 sont appelés respectivement demi-somme et demi-différence des angles alpha et bêta. Nous donnons une formulation pour chaque formule.

Définitions des formules de somme et de différence pour les sinus et les cosinus

La somme des sinus de deux angles est égal au double du produit du sinus de la demi-somme de ces angles et du cosinus de la demi-différence.

Différence des sinus de deux angles est égal au double du produit du sinus de la demi-différence de ces angles par le cosinus de la demi-somme.

La somme des cosinus de deux angles est égal au double du produit du cosinus de la demi-somme et du cosinus de la demi-différence de ces angles.

Différence des cosinus de deux angles est égal au double du produit du sinus de la demi-somme et du cosinus de la demi-différence de ces angles, pris avec un signe négatif.

Dérivation de formules pour la somme et la différence des sinus et des cosinus

Pour dériver des formules pour la somme et la différence du sinus et du cosinus de deux angles, des formules d'addition sont utilisées. Nous vous les présentons ci-dessous

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Nous représentons également les angles eux-mêmes comme la somme de demi-sommes et de demi-différences.

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Nous procédons directement à la dérivation des formules de somme et de différence pour sin et cos.

Dérivation de la formule de la somme des sinus

Dans la somme sin α + sin β, nous remplaçons α et β par les expressions de ces angles données ci-dessus. Avoir

péché α + péché β = péché α + β 2 + α - β 2 + péché α + β 2 - α - β 2

Maintenant, nous appliquons la formule d'addition à la première expression, et la formule du sinus des différences d'angle à la seconde (voir les formules ci-dessus)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Les étapes pour dériver le reste des formules sont similaires.

Dérivation de la formule de la différence des sinus

péché α - péché β = péché α + β 2 + α - β 2 - péché α + β 2 - α - β 2 péché α + β 2 + α - β 2 - péché α + β 2 - α - β 2 = péché α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Dérivation de la formule de la somme des cosinus

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Dérivation de la formule de différence cosinus

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 péché α - β 2

Exemples de résolution de problèmes pratiques

Pour commencer, nous allons vérifier l'une des formules en y substituant des valeurs d'angle spécifiques. Soit α = π 2 , β = π 6 . Calculons la valeur de la somme des sinus de ces angles. Utilisons d'abord le tableau des valeurs de base fonctions trigonométriques, puis appliquez la formule de la somme des sinus.

Exemple 1. Vérification de la formule de la somme des sinus de deux angles

α \u003d π 2, β \u003d π 6 péché π 2 + péché π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 péché π 2 + péché π 6 \u003d 2 péché π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Considérons maintenant le cas où les valeurs des angles diffèrent des valeurs de base présentées dans le tableau. Soit α = 165°, β = 75°. Calculons la valeur de la différence entre les sinus de ces angles.

Exemple 2. Application de la formule de différence sinusoïdale

α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

En utilisant les formules pour la somme et la différence des sinus et des cosinus, vous pouvez passer de la somme ou de la différence au produit des fonctions trigonométriques. Souvent, ces formules sont appelées formules de transition de la somme au produit. Les formules pour la somme et la différence des sinus et des cosinus sont largement utilisées pour résoudre équations trigonométriques et lors de la conversion d'expressions trigonométriques.

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Cosinus de la somme et de la différence de deux angles

Dans cette section, les deux formules suivantes seront démontrées :

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Le cosinus de la somme (différence) de deux angles est égal au produit des cosinus de ces angles moins (plus) le produit des sinus de ces angles.

Il nous sera plus commode de commencer par la preuve de la formule (2). Pour simplifier, supposons d'abord que les angles α et β satisfaire aux conditions suivantes :

1) chacun de ces angles est non négatif et inférieur à 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Soit la partie positive de l'axe 0x le côté initial commun des angles α et β .

Désignons les extrémités de ces angles par 0A et 0B, respectivement. Evidemment l'angle α - β peut être considéré comme l'angle dont il faut faire tourner le faisceau 0B autour du point 0 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre pour que sa direction coïncide avec la direction du faisceau 0A.

Sur les rayons 0A et 0B, on marque les points M et N, qui sont à une distance de 1 de l'origine 0, de sorte que 0M = 0N = 1.

Dans le système de coordonnées x0y, le point M a pour coordonnées ( cosα, sinα), et point N - coordonnées ( cos β , sin β). Donc le carré de la distance qui les sépare est :

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

Dans les calculs, nous avons utilisé l'identité

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Considérons maintenant un autre système de coordonnées B0C, qui est obtenu en faisant tourner les axes 0x et 0y autour du point 0 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre d'un angle β .

Dans ce système de coordonnées, le point M a pour coordonnées (cos ( α - β ), péché ( α - β )), et le point est de coordonnées N (1,0). Donc le carré de la distance qui les sépare est :

ré 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) \u003d 2.

Mais la distance entre les points M et N ne dépend pas du système de coordonnées que nous considérons pour ces points. Alors

j 1 2 = j 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

C'est là que la formule (2) suit.

Nous devons maintenant rappeler ces deux restrictions que nous avons imposées pour faciliter la présentation sur les coins α et β .

L'exigence que chacun des coins α et β était non négatif, pas vraiment significatif. Après tout, un angle multiple de 2n peut être ajouté à n'importe lequel de ces angles, ce qui n'affectera en rien la validité de la formule (2). De même, de chacun des angles donnés, vous pouvez soustraire un angle qui est un multiple de 2π. Dès lors, on peut considérer que 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

La condition α > β . En effet, si α < β , alors β >α ; donc, compte tenu de la régularité de la fonction parce que X , on a:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

qui coïncide essentiellement avec la formule (2). Ainsi la formule

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

vrai sous tous les angles α et β . Notamment en remplaçant β sur le - β et étant donné que la fonction parce queX est pair, et la fonction péchéX bizarre, on obtient :

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

\u003d cos α cos β - sin α sin β,

ce qui prouve la formule (1).

Ainsi, les formules (1) et (2) sont démontrées.

Exemples.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Des exercices

1 . Calculer sans utiliser de tables trigonométriques :

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Simplifiez les expressions :

un). car( α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .

b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + péché (36° + α ) péché ( α - 24°).

dans). péché (π / 4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos(π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α +tg α péché 2 α .

3 . Calculer :

un) cos (α - β), si

cosα = - 2 / 5 , sinβ = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) cos( α + π / 6) si cos α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . Trouver cos(α + β) et cos (α - β) , si l'on sait que le péché α = 7 / 25 cos β = - 5 / 13 et les deux angles ( α et β ) se terminent dans le même trimestre.

5 .Calculer:

un). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

b). cos [ arcsin 1 / 3 - arc cos (- 2 / 3)] .

dans). cos [arctg 1 / 2 + arccos (- 2)]