Експоненция, правила, примери. Степента и нейните свойства

Важни бележки!
1. Ако вместо формули видите абракадабра, изчистете кеша си. Как да го направите във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор за най-полезния ресурс за

Защо са необходими степени? Къде ви трябват? Защо трябва да отделяте време за изучаването им?

За да научите всичко за степените, за какво са те, как да използвате знанията си в ежедневието, прочетете тази статия.

И, разбира се, познаването на степените ще ви доближи до успешното преминаване на OGE или Единния държавен изпит и да влезете в университета на вашите мечти.

Да вървим... (Да вървим!)

ПЪРВО НИВО

Възлагането в степен е същата математическа операция като събиране, изваждане, умножение или деление.

Сега ще обясня всичко на човешки език, използвайки много прости примери. Бъди внимателен. Примерите са елементарни, но обясняват важни неща.

Да започнем с добавянето.

Тук няма какво да се обяснява. Вече знаете всичко: ние сме осем. Всяка има две бутилки кола. Колко кола? Точно така – 16 бутилки.

Сега умножение.

Същият пример с кола може да бъде написан по различен начин: . Математиците са хитри и мързеливи хора. Те първо забелязват някои модели и след това измислят начин да ги „броят“ по-бързо. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души има еднакъв брой бутилки кола и измислиха техника, наречена умножение. Съгласете се, счита се за по-лесно и по-бързо от.

Така че, за да броите по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблица за умножение. Разбира се, можете да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! Но…

Ето таблицата за умножение. Повторете.

И още една, по-красива:

И какви други хитри трикове за броене измислиха мързеливите математици? вдясно - вдигане на число на степен.

Повишаване на число на степен

Ако трябва да умножите число само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да повишите това число на пета степен. Например, . Математиците помнят, че две на пета степен е. И те решават такива проблеми наум – по-бързо, по-лесно и без грешки.

За да направите това, трябва само запомнете какво е подчертано с цвят в таблицата на степените на числата. Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.

Между другото, защо се нарича втора степен квадратчисла и третото куб? Какво означава? Много добър въпрос. Сега ще имате както квадрати, така и кубчета.

Пример от реалния живот №1

Нека започнем с квадрат или втора степен на число.

Представете си квадратен басейн с размери метри на метри. Басейнът е в задния ви двор. Горещо е и наистина искам да плувам. Но ... басейн без дъно! Необходимо е да се покрие дъното на басейна с плочки. Колко плочки са ви нужни? За да определите това, трябва да знаете площта на дъното на басейна.

Можете просто да преброите, като прокарате пръст, че дъното на басейна се състои от кубчета метър по метър. Ако вашите плочки са метър по метър, ще ви трябват парчета. Лесно е... Но къде видяхте такава плочка? Плочката по-скоро ще бъде см по см. И тогава ще се измъчвате от „броене с пръст“. След това трябва да умножите. И така, от едната страна на дъното на басейна ще поставим плочки (парчета), а от другата също плочки. Умножавайки по, получавате плочки ().

Забелязахте ли, че умножихме едно и също число само по себе си, за да определим площта на дъното на басейна? Какво означава? Тъй като едно и също число се умножава, можем да използваме техниката на степенуване. (Разбира се, когато имате само две числа, все пак трябва да ги умножите или да ги повишите на степен. Но ако имате много от тях, тогава повишаването на степен е много по-лесно и също така има по-малко грешки в изчисленията. За изпита това е много важно).
И така, тридесет до втора степен ще бъде (). Или можете да кажете, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на число винаги може да бъде представена като квадрат. И обратното, ако видите квадрат, той ВИНАГИ е втората степен на някакво число. Квадратът е изображение на втората степен на число.

Пример от реалния живот №2

Ето една задача за вас, пребройте колко квадратчета има на шахматната дъска, като използвате квадрата на числото... От едната страна на клетките и от другата също. За да преброите техния брой, трябва да умножите осем по осем или ... ако забележите, че шахматната дъска е квадрат със страна, тогава можете да поставите осем на квадрат. Вземете клетки. () Така?

Пример от реалния живот №3

Сега кубът или третата степен на число. Същият басейн. Но сега трябва да разберете колко вода ще трябва да се излее в този басейн. Трябва да изчислите обема. (Обемите и течностите, между другото, се измерват в кубични метри. Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъно с размери метър и дълбочина метър и се опитайте да изчислите колко метър по метър кубчета ще влязат във вашия басейн.

Просто насочете пръста си и пребройте! Едно, две, три, четири… двадесет и две, двадесет и три… Колко се оказа? Не се ли изгубихте? Трудно ли е да броиш с пръст? Така че! Вземете пример от математиците. Те са мързеливи, затова забелязаха, че за да изчислите обема на басейна, трябва да умножите неговата дължина, ширина и височина един по друг. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчета ... По-лесно, нали?

Сега си представете колко мързеливи и хитри са математиците, ако правят това твърде лесно. Намаля всичко до едно действие. Те забелязали, че дължината, ширината и височината са равни и че същото число се умножава само по себе си... И какво означава това? Това означава, че можете да използвате степента. И така, това, което някога сте броили с пръст, те правят с едно действие: три в куб са равни. Пише се така:

Остава само запомнете таблицата на градусите. Освен ако, разбира се, не сте толкова мързеливи и хитри като математиците. Ако обичате да работите усилено и да правите грешки, можете да продължите да броите с пръст.

Е, за да ви убедя окончателно, че градусите са измислени от безделници и хитри хора, за да решават житейските си проблеми, а не да ви създават проблеми, ето още няколко примера от живота.

Пример от реалния живот №4

Имате милион рубли. В началото на всяка година печелите още един милион за всеки милион. Тоест всеки един от милион в началото на всяка година се удвоява. Колко пари ще имате след години? Ако сега седите и „броите с пръст“, значи сте много трудолюбив човек и .. глупав. Но най-вероятно ще дадете отговор след няколко секунди, защото сте умен! И така, през първата година - два пъти по две ... през втората година - какво стана, с още две, през третата година ... Стоп! Забелязахте, че числото се умножава само по себе си веднъж. Значи две на пета степен е милион! Сега си представете, че имате състезание и този, който изчислява по-бързо, ще получи тези милиони... Струва ли си да си спомняте градусите на числата, какво мислите?

Пример от реалния живот №5

Имаш милион. В началото на всяка година печелите още два за всеки милион. Страхотно е нали? Всеки милион се утроява. Колко пари ще имате за една година? Да преброим. Първата година - умножете по, след това резултатът по друга... Вече е скучно, защото вече разбрахте всичко: три се умножава само по себе си пъти. Така че четвъртата степен е милион. Просто трябва да запомните, че три на четвърта степен е или.

Сега знаете, че като вдигнете число на степен, ще улесните живота си много. Нека да разгледаме по-подробно какво можете да правите с дипломите и какво трябва да знаете за тях.

Термини и понятия ... за да не се объркате

И така, първо, нека дефинираме понятията. Какво мислиш, какво е степенно? Много е просто - това е числото, което е "на върха" на степента на числото. Не е научно, но ясно и лесно за запомняне...

Е, в същото време какво такава база за степен? Още по-просто е числото, което е отдолу, в основата.

Ето една снимка, за да сте сигурни.

Е, най-общо казано, за да се обобщи и запомни по-добре ... Степен с основа "" и индикатор "" се чете като "в степен" и се записва по следния начин:

Степента на число с естествен степен

Вероятно вече сте се досетили: защото степента е естествено число. Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествените числа са тези, които се използват при броене при изброяване на предмети: едно, две, три ... Когато броим елементи, не казваме: „минус пет”, „минус шест”, „минус седем”. Ние също не казваме „една трета“ или „нула точка пет десети“. Това не са естествени числа. Какви според вас са тези числа?

За тях се отнасят числа като "минус пет", "минус шест", "минус седем". цели числа.По принцип целите числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (тоест взети със знак минус) и число. Нулата е лесна за разбиране - това е, когато няма нищо. И какво означават отрицателните ("минус") числа? Но те са измислени предимно за посочване на дългове: ако имате баланс на телефона си в рубли, това означава, че дължите рубли на оператора.

Всички дроби са рационални числа. Как се появиха, мислите ли? Много просто. Преди няколко хиляди години нашите предци са открили, че нямат достатъчно естествени числа за измерване на дължина, тегло, площ и т.н. И те измислиха рационални числа… Интересно, нали?

Има и ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко, безкрайна десетична дроб. Например, ако разделите обиколката на кръг на неговия диаметър, тогава ще получите ирационално число.

Резюме:

Нека дефинираме понятието степен, чийто експонента е естествено число (тоест цяло число и положително).

1. Всяко число на първа степен е равно на себе си:
2. Да квадратираш число означава да го умножиш по себе си:
3. Да кубираш число означава да го умножиш по себе си три пъти:

Определение.Повишаването на число до естествена степен означава да умножите числото по себе си по пъти:
.

Свойства на степента

Откъде са дошли тези имоти? сега ще ви покажа.

Да видим какво е И ?

По дефиниция:

Колко множителя има общо?

Много е просто: добавихме фактори към факторите и резултатът е фактори.

Но по дефиниция това е степента на число с експонента, тоест: , което се изискваше да бъде доказано.

Пример: Опростете израза.

Решение:

пример:Опростете израза.

Решение:Важно е да се отбележи, че в нашето правило задължителнотрябва да е същата причина!
Следователно, ние комбинираме градусите с основата, но оставаме отделен фактор:

само за продукти на силите!

В никакъв случай не трябва да пишете това.

2. тоест -та степен на число

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към дефиницията на степента:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест, според дефиницията, това е степента на числото:

Всъщност това може да се нарече "закрепване на индикатора в скоби". Но никога не можете да направите това като цяло:

Нека си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем?

Но това не е вярно, наистина.

Степен с отрицателна основа

До този момент ние обсъждахме само какъв трябва да бъде експонентът.

Но каква трябва да бъде основата?

В градуси от естествен индикаторосновата може да бъде произволно число. Всъщност можем да умножим всяко число едно по друго, независимо дали е положително, отрицателно или четно.

Нека помислим кои знаци (" " или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например, числото ще бъде положително или отрицателно? НО? ? С първото всичко е ясно: колкото и положителни числа да умножим едно с друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. В крайна сметка помним едно просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Това е, или. Но ако умножим по, се оказва.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Справихте ли се?

Ето отговорите: В първите четири примера, надявам се всичко да е ясно? Просто разглеждаме основата и степента и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е четна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен.

Е, освен когато основата е нула. Базата не е същата, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост!

6 практически примера

Анализ на решението 6 примера

цяланазоваваме естествените числа, техните противоположности (тоест взети със знака "") и числото.

положително цяло число, и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число с нулева степен е равно на единица:

Както винаги, ние се питаме: защо е така?

Помислете за някаква мощност с база. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото, каквото беше -. По какво число трябва да се умножи, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число с нулева степен е равно на единица.

Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна, тя трябва да е равна на произволна степен - колкото и да умножите нулата сама по себе си, пак ще получите нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число с нулева степен, то трябва да е равно. И така, каква е истината в това? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да вдигнат нула на нулева степен. Тоест сега можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем до нулева степен.

Да отидем по-нататък. В допълнение към естествените числа и числа, целите числа включват отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим същото като последния път: умножаваме някакво нормално число по същото в отрицателна степен:

От тук вече е лесно да изразите желаното:

Сега ние разширяваме полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правилото:

Число в отрицателна степен е обратното на същото число към положителна степен. Но в същото време базата не може да бъде нула:(защото е невъзможно да се раздели).

Нека обобщим:

Задачи за самостоятелно решение:

Е, както обикновено, примери за независимо решение:

Анализ на задачи за самостоятелно решение:

Знам, знам, цифрите са страшни, но на изпита трябва да си готов на всичко! Решете тези примери или анализирайте тяхното решение, ако не можете да го решите и ще научите как лесно да се справяте с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме кръга от числа, "подходящи" като степен.

Сега помислете рационални числа.Кои числа се наричат ​​рационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа, освен това.

За да разберете какво е "дробна степен"Нека разгледаме дроб:

Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:

Сега запомнете правилото "степен до степен":

Какво число трябва да се повиши до степен, за да се получи?

Тази формулировка е определението на корена от та степен.

Нека ви напомня: коренът на тата степен на число () е число, което, когато се повдигне на степен, е равно.

Тоест коренът от та степен е обратната операция на степенуването: .

Оказва се, че. Очевидно този специален случай може да бъде разширен: .

Сега добавете числителя: какво е това? Отговорът е лесен за получаване с правилото мощност към мощност:

Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Запомнете правилото: всяко число, повдигнато на четна степен, е положително число. Тоест, невъзможно е да се извлекат корени от четна степен от отрицателни числа!

А това означава, че такива числа не могат да бъдат повдигнати на дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Ами изразяването?

Но тук възниква проблем.

Числото може да бъде представено като други, намалени дроби, например, или.

И се оказва, че съществува, но не съществува и това са просто два различни записа с едно и също число.

Или друг пример: веднъж, тогава можете да го запишете. Но щом напишем индикатора по различен начин, отново получаваме проблеми: (тоест получихме съвсем различен резултат!).

За да избегнете подобни парадокси, помислете само положителен основен показател с дробен степен.

Така че, ако:

• - естествено число;
• е цяло число;

Примери:

Степенностите с рационален показател са много полезни за трансформиране на изрази с корени, например:

5 практически примера

Анализ на 5 примера за обучение

Е, сега - най-трудното. Сега ще анализираме степен с ирационален показател.

Всички правила и свойства на степени тук са абсолютно същите като за степени с рационален експонент, с изключение на

Всъщност, по дефиниция, ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест, ирационалните числа са всички реални числа с изключение на рационалните).

Когато изучаваме степени с естествен, целочислен и рационален индикатор, всеки път измисляхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например степен с естествен показател е число, умножено няколко пъти само по себе си;

...нулева мощност- това е така да се каже число, умножено само по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число още не се е появило - следователно резултатът е само известна „подготовка на число”, а именно число;

...отрицателен целочислен показател- сякаш се е случил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а разделено.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен степен, тоест експонентът дори не е реално число.

Но в училище ние не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЩЕ ИДНЕТЕ! (ако се научите как да решавате такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решенията:

1. Да започнем с вече обичайното правило за повишаване на степен до степен:

НАПРЕДНАЛО НИВО

Определение за степен

Степента е израз на формата: , където:

• — основа на степента;
• - степен.

Степен с естествен показател (n = 1, 2, 3,...)

Повишаването на число до естествената степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:

Степен с целочислен експонент (0, ±1, ±2,...)

Ако степента е положително цяло числономер:

ерекция до нулева мощност:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, до всяка степен е това, а от друга страна, всяко число до та степен е това.

Ако степента е цяло число отрицателнономер:

(защото е невъзможно да се раздели).

Още веднъж за nulls: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

Примери:

Степен с рационален показател

• - естествено число;
• е цяло число;

Примери:

Свойства на степента

За да улесним решаването на проблеми, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Да ги докажем.

Да видим: какво е и?

По дефиниция:

И така, от дясната страна на този израз се получава следният продукт:

Но по дефиниция това е степен на число с експонента, тоест:

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило задължителнотрябва да има същата основа. Следователно, ние комбинираме градусите с основата, но оставаме отделен фактор:

Друга важна забележка: това правило - само за продукти на силите!

В никакъв случай не трябва да пиша това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към дефиницията на степента:

Нека го пренаредим така:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест, според дефиницията, това е -та степен на числото:

Всъщност това може да се нарече "закрепване на индикатора в скоби". Но никога не можете да направите това напълно:!

Нека си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това не е вярно, наистина.

Мощност с отрицателна основа.

До този момент обсъждахме само това, което трябва да бъде индикаторстепен. Но каква трябва да бъде основата? В градуси от естествено индикатор основата може да бъде произволно число .

Всъщност можем да умножим всяко число едно по друго, независимо дали е положително, отрицателно или четно. Нека помислим кои знаци (" " или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например, числото ще бъде положително или отрицателно? НО? ?

С първото всичко е ясно: колкото и положителни числа да умножим едно с друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. В крайна сметка помним едно просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Това е, или. Но ако умножим по (), получаваме -.

И така нататък до безкрай: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Можете да формулирате тези прости правила:

1. дористепен, - брой положителен.
2. Отрицателното число се повишава до странностепен, - брой отрицателен.
3. Положително число на всяка степен е положително число.
4. Нула на всяка степен е равна на нула.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Справихте ли се? Ето и отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера, надявам се, всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и степента и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е четна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Базата не е същата, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомните това, става ясно, че това означава, че основата е по-малка от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме определението на степени и ги разделяме една на друга, разделяме ги на двойки и получаваме:

Преди да анализираме последното правило, нека решим няколко примера.

Изчислете стойностите на изразите:

Решения :

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

И така, сега последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека да разширим концепцията за степен и да опростим:

Е, сега нека отворим скобите. Колко букви ще има? пъти по множители - как изглежда? Това не е нищо друго освен определението за операция умножение: общо се оказа, че има множители. Тоест, по дефиниция е степен на число с експонента:

пример:

Степен с ирационален показател

Освен информация за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален индикатор. Всички правила и свойства на степени тук са точно същите като за степен с рационален експонент, с изключението - в края на краищата, по дефиниция, ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа с изключение на рационалните).

Когато изучаваме степени с естествен, целочислен и рационален индикатор, всеки път измисляхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например естественият показател е число, умножено само по себе си няколко пъти; число до нулева степен е като че ли число, умножено само по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори не се е появило - следователно резултатът е само определена „подготовка на номер“, а именно номер; степен с отрицателно цяло число - сякаш е настъпил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а разделено.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (както е трудно да си представим 4-мерно пространство). По-скоро това е чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен до цялото пространство от числа.

Между другото, науката често използва степен с комплексен показател, тоест експонентът дори не е реално число. Но в училище ние не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

И така, какво да правим, ако видим ирационален показател? Правим всичко възможно да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

1)

2)

3)

Отговори:

РЕЗЮМЕ НА РАЗДЕЛ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Степенсе нарича израз от формата: , където:

Степен с целочислен показател

степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Степен с рационален показател

степен, чийто индикатор е отрицателни и дробни числа.

Степен с ирационален показател

степен, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.

Свойства на степента

Характеристики на степени.

• Отрицателното число се повишава до дористепен, - брой положителен.
• Отрицателното число се повишава до странностепен, - брой отрицателен.
• Положително число на всяка степен е положително число.
• Нулата е равна на всяка степен.
• Всяко число с нулева степен е равно.

СЕГА ИМАТЕ ДУМА...

Как ви харесва статията? Кажете ми в коментарите по-долу дали ви е харесало или не.

Разкажете ни за вашия опит с енергийните свойства.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех с изпитите!

Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? Не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция, където искате задължително с решения, подробен анализи решавай, решавай, решавай!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

Как? Има две възможности:

1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.

Намерете проблеми и ги решавайте!

Когачислото се умножава от само себе си на себе си, работаНаречен степен.

Така че 2,2 = 4, квадрат или втора степен на 2
2.2.2 = 8, куб или трета степен.
2.2.2.2 = 16, четвърта степен.

Също така, 10,10 = 100, втората степен е 10.
10.10.10 = 1000, трета степен.
10.10.10.10 = 10000 четвърта степен.

И a.a = aa, втората степен на a
a.a.a = aaa, третата степен на a
a.a.a.a = aaaa, четвърта степен на a

Извиква се оригиналният номер коренстепени на това число, защото това е числото, от което са създадени градусите.

Не е много удобно обаче, особено при високите мощности, да се записват всички фактори, които съставляват мощностите. Поради това се използва съкратен метод на нотация. Коренът на степента е изписан само веднъж, и то вдясно и малко по-високо до него, но с малко по-малък шрифт е изписано колко пъти коренът действа като фактор. Това число или буква се нарича експонентили степенчисла. И така, 2 е равно на a.a или aa, защото коренът от a трябва да се умножи по себе си два пъти, за да се получи степента на aa. Също така, 3 означава aaa, тоест тук a се повтаря три пътикато множител.

Показателят на първата степен е 1, но обикновено не се записва. И така, 1 се записва като a.

Не бива да бъркате градусите с коефициенти. Коефициентът показва колко често се приема стойността частцяла. Експонентът показва колко често се приема стойността факторв работата.
И така, 4a = a + a + a + a. Но a 4 = a.a.a.a

Експоненциалната нотация има особеното предимство, че ни позволява да изразим неизвестенстепен. За целта вместо число се записва степента писмо. В процеса на решаване на проблема можем да получим стойност, която, както знаем, е някоистепен от друга величина. Но засега не знаем дали е квадрат, куб или друга, по-висока степен. И така, в израза a x, степента означава, че този израз има някоистепен, въпреки че не е дефинирана каква степен. И така, b m и d n се повдигат на степени на m и n. Когато експонентът е намерен, номерзаместен с писмо. Така че, ако m=3, тогава b m = b 3 ; но ако m = 5, тогава b m = b 5 .

Методът на записване на стойности с експоненти също е голямо предимство при използване изрази. Така (a + b + d) 3 е (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), тоест кубът на тричлена (a + b + d) . Но ако напишем този израз след cubed, той ще изглежда така
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Ако вземем серия от степени, чиито експоненти се увеличават или намаляват с 1, ще открием, че произведението се увеличава с общ факторили намалена с общ делител, и този фактор или делител е оригиналното число, което се повишава на степен.

И така, в сериала ааааа, аааа, ааа, аа, а;
или 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
индикаторите, ако се броят отдясно наляво, са 1, 2, 3, 4, 5; и разликата между стойностите им е 1. Ако започнем на дясно умножетена a, успешно ще получим множество стойности.

Така че a.a = a 2 , вторият член. И a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , третият член. a 4 .a = a 5 .

Ако започнем наляво разделямна,
получаваме 5:a = a 4 и a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Но такъв процес на разделяне може да бъде продължен по-нататък и получаваме нов набор от стойности.

И така, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Целият ред ще бъде: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Тук стойности на дясноот единица е обратенстойности вляво от един. Следователно тези степени могат да бъдат наречени обратни мощностиа. Може също да се каже, че мощностите отляво са обратни на мощностите отдясно.

И така, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a 3) = a 3 .

Към същия план за запис може да се приложи полиноми. И така, за a + b получаваме набор,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

За удобство се използва друга форма на записване на обратни степени.

Според тази форма 1/a или 1/a 1 = a -1 . И 1/aaa или 1/a 3 = a -3 .
1/aa или 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa или 1/a 4 = a -4 .

И за да направим експонентите пълна серия с 1 като обща разлика, a/a или 1 се считат за такива, които нямат степен и се записват като 0.

След това, като се вземат предвид директните и обратните мощности
вместо аааа, ааа, аа, а, а/а, 1/а, 1/аа, 1/ааа, 1/ааа
можете да напишете 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Или a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

И серия от само отделно взети степени ще има формата:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Коренът на степента може да бъде изразен с повече от една буква.

Така aa.aa или (aa) 2 е втората степен на aa.
И aa.aa.aa или (aa) 3 е третата степен на aa.

Всички степени на числото 1 са еднакви: 1.1 или 1.1.1. ще бъде равно на 1.

Възлагането в степен е намиране на стойността на произволно число чрез умножаване на това число само по себе си. Правило за степенуване:

Умножете стойността сама по себе си толкова пъти, колкото е посочено в степента на числото.

Това правило е общо за всички примери, които могат да възникнат в процеса на степенуване. Но ще бъде правилно да се обясни как се прилага за конкретни случаи.

Ако само един член се повдигне на степен, тогава той се умножава по себе си толкова пъти, колкото показва степента.

Четвъртата степен а е 4 или аааа. (Чл. 195.)
Шестата степен на y е y 6 или yyyyyy.
n-тата степен на x е x n или xxx..... n пъти се повтаря.

Ако е необходимо да се издигне израз от няколко термина на степен, принципът че степента на произведението на няколко фактора е равна на произведението на тези фактори, доведени до степен.

Така че (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
И така, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Следователно, при намирането на степента на продукт, можем или да оперираме с целия продукт наведнъж, или можем да оперираме с всеки фактор поотделно и след това да умножим техните стойности с градуси.

Пример 1. Четвъртата степен на dhy е (dhy) 4 или d 4 h 4 y 4 .

Пример 2. Третата степен на 4b е (4b) 3 , или 4 3 b 3 , или 64b 3 .

Пример 3. П-тата степен на 6ad е (6ad) n или 6 n a n d n .

Пример 4. Третата степен на 3m.2y е (3m.2y) 3 или 27m 3 .8y 3 .

Степента на бином, състоящ се от членове, свързани с + и -, се изчислява чрез умножаване на неговите членове. да,

(a + b) 1 = a + b, първата степен.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , втора степен (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, трета степен.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, четвърта степен.

Квадрат a - b, има 2 - 2ab + b 2 .

Квадратът a + b + h е a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Упражнение 1. Намерете куба a + 2d + 3

Упражнение 2. Намерете четвъртата степен b + 2.

Упражнение 3. Намерете петата степен на x + 1.

Упражнение 4. Намерете шестата степен 1 ​​- б.

Сума квадрати сумиИ разликабиномите са толкова разпространени в алгебрата, че е необходимо да ги познаваме много добре.

Ако умножим a + h само по себе си или a - h само по себе си,
получаваме: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 също, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Това показва, че във всеки случай първият и последният член са квадратите на a и h, а средният член е два пъти по-голям от произведението на a и h. Следователно, квадратът на сбора и разликата на биномите може да бъде намерен с помощта на следното правило.

Квадратът на бином, чиито и двата члена са положителни, е равен на квадрата на първия член + двойното произведение на двата члена, + квадрата на последния член.

Квадрат разликабином е равен на квадрата на първия член минус двойното произведение на двата члена плюс квадрата на втория член.

Пример 1. Квадрат 2a + b, има 4a 2 + 4ab + b 2 .

Пример 2. Квадратът ab + cd е a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Пример 3. Квадратът 3d - h е 9d 2 + 6dh + h 2 .

Пример 4. Квадратът a - 1 е a 2 - 2a + 1.

За метод за намиране на по-високи степени на бином, вижте следващите раздели.

В много случаи е ефективно да се пише градусибез умножение.

И така, квадратът a + b е (a + b) 2 .
П-тата степен bc + 8 + x е (bc + 8 + x) n

В такива случаи скобите покриват всичкочленове по степен.

Но ако коренът на степента се състои от няколко множители, скобите могат да покриват целия израз или могат да се прилагат отделно към фактори, в зависимост от удобството.

Така квадратът (a + b)(c + d) е или [(a + b).(c + d)] 2 или (a + b) 2 .(c + d) 2 .

За първия от тези изрази резултатът е квадратът на произведението на два фактора, а за втория - произведението на техните квадрати. Но те са равни помежду си.

Кубът a.(b + d), е 3 или a 3 .(b + d) 3 .

Необходимо е също така да се вземе предвид знакът пред участващите членове. Много е важно да запомните, че когато коренът на силата е положителен, всичките й положителни сили също са положителни. Но когато коренът е отрицателен, стойностите от странномощностите са отрицателни, докато стойностите дориградусите са положителни.

Втората степен (- a) е +a 2
Третата степен (-a) е -a 3
Четвъртата степен (-a) е +a 4
Петата степен (-a) е -a 5

Следователно всяко странностепента има същия знак като числото. Но дористепента е положителна, независимо дали числото има отрицателен или положителен знак.
И така, +a.+a = +a 2
И -a.-a = +a 2

Стойност, която вече е повишена на степен, се повишава отново в степен чрез умножаване на степените.

Третата степен на 2 е 2.3 = a 6 .

За a 2 = aa; куб аа е aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; което е шестата степен на а, но третата степен на 2 .

Четвъртата степен a 3 b 2 е a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Третата степен на 4a 2 x е 64a 6 x 3.

Петата степен на (a + b) 2 е (a + b) 10 .

N-та степен на 3 е 3n

П-тата степен на (x - y) m е (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Правилото важи еднакво за отрицателенградуси.

Пример 1. Третата степен на a -2 е a -3.3 =a -6 .

За a -2 = 1/aa и третата степен на това
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Четвъртата степен a 2 b -3 е a 8 b -12 или a 8 / b 12 .

Квадратът b 3 x -1 е b 6 x -2.

П-тата степен ax -m е x -mn или 1/x .

Тук обаче трябва да се помни, че ако знак предишенстепента е "-", тогава тя трябва да бъде променена на "+", когато степента е четно число.

Пример 1. Квадратът -a 3 е +a 6 . Квадратът на -a 3 е -a 3 .-a 3 , което според правилата на знаците за умножение е +a 6 .

2. Но кубът -a 3 е -a 9 . За -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-тата степен на -a 3 е 3n .

Тук резултатът може да бъде положителен или отрицателен в зависимост от това дали n е четно или нечетно.

Ако фракцияповдигнати на степен, числителят и знаменателят се повдигат на степен.

Квадратът a/b е a 2 /b 2 . Според правилото за умножение на дроби,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Втората, третата и n-та степен на 1/a са 1/a 2 , 1/a 3 и 1/a n .

Примери биномикъдето един от термините е дроб.

1. Намерете квадрата x + 1/2 и x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Квадратът a + 2/3 е a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Квадрат x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Квадратът x - b/m е x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

По-рано беше показано, че дробен коефициентможе да се премести от числителя към знаменателя или от знаменателя към числителя. Използвайки схемата за записване на обратни степени, може да се види, че всеки множителсъщо може да се премести ако знакът на степента се промени.

И така, във дроба ax -2 /y, можем да преместим x от числителя към знаменателя.
Тогава ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

В дроба a/by 3 можем да преместим y от знаменателя към числителя.
Тогава a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

По същия начин можем да преместим фактор, който има положителен показател към числителя, или фактор с отрицателен степен към знаменателя.

И така, ax 3 / b = a / bx -3 . За x 3 обратното е x -3 , което е x 3 = 1/x -3 .

Следователно знаменателят на всяка дроб може да бъде напълно премахнат или числителят може да бъде намален до единица, без да се променя значението на израза.

И така, a/b = 1/ba -1 или ab -1.

Възлагането в степен е операция, тясно свързана с умножението, тази операция е резултат от многократно умножение на число само по себе си. Нека представим формулата: a1 * a2 * ... * an = an.

Например, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Като цяло, степенуването често се използва в различни формули в математиката и физиката. Тази функция има по-научна цел от четирите основни: събиране, изваждане, умножение, деление.

Повишаване на число на степен

Повишаването на число на степен не е трудна операция. Свързано е с умножението като връзката между умножение и събиране. Запис an - кратък запис на n-ия брой числа "a", умножени едно по друго.

Помислете за степенуването на най-простите примери, преминавайки към сложни.

Например 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Четири на квадрат (на втора степен) е равно на шестнадесет. Ако не разбирате умножението 4 * 4, прочетете нашата статия за умножението.

Нека разгледаме друг пример: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Пет куб (на трета степен) е равно на сто двадесет и пет.

Друг пример: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Девет кубчета се равняват на седемстотин двадесет и девет.

Формули за степенуване

За да повдигнете правилно до степен, трябва да запомните и знаете формулите по-долу. В това няма нищо извън естественото, основното е да разберете същността и тогава те не само ще бъдат запомнени, но и ще изглеждат лесни.

Повишаване на моном на степен

Какво е моном? Това е продукт на числа и променливи във всяко количество. Например, две е моном. И тази статия е за издигането на такива мономи на степен.

Използвайки формули за степенуване, няма да е трудно да се изчисли степента на моном към степен.

Например, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ако повдигнете моном на степен, тогава всеки компонент на монома се повишава в степен.

Когато се повдига променлива, която вече има степен в степен, градусите се умножават. Например, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Повишаване в отрицателна степен

Отрицателният показател е реципрочната стойност на число. Какво е реципрочност? За произволно число X реципрочната стойност е 1/X. Това е X-1=1/X. Това е същността на отрицателната степен.

Помислете за примера (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Защо така? Тъй като в степента има минус, ние просто прехвърляме този израз в знаменателя и след това го повишаваме на трета степен. Точно?

Повишаване на дробна степен

Нека започнем с конкретен пример. 43/2. Какво означава мощност 3/2? 3 - числител, означава издигане на число (в този случай 4) до куб. Числото 2 е знаменателят, това е извличането на втория корен от числото (в случая 4).

Тогава получаваме корен квадратен от 43 = 2^3 = 8 . Отговор: 8.

И така, знаменателят на дробна степен може да бъде 3 или 4 и до безкрайност произволно число и това число определя степента на квадратния корен, извлечен от дадено число. Разбира се, знаменателят не може да бъде нула.

Издигане на корен до степен

Ако коренът се издигне до степен, равна на силата на самия корен, тогава отговорът е радикалният израз. Например (√x)2 = x. И така при всеки случай на равенство на степента на корена и степента на издигане на корена.

Ако (√x)^4. Тогава (√x)^4=x^2. За да проверим решението, превеждаме израза в израз с дробна степен. Тъй като коренът е квадратен, знаменателят е 2. И ако коренът се повдигне на четвърта степен, тогава числителят е 4. Получаваме 4/2=2. Отговор: х = 2.

Във всеки случай най-добрият вариант е просто да преобразувате израза в дробен степен. Ако дробът не се намали, тогава такъв отговор ще бъде, при условие че коренът на даденото число не е разпределен.

Възлагане в степен на комплексно число

Какво е комплексно число? Комплексното число е израз, който има формулата a + b * i; a, b са реални числа. i е числото, което, когато е на квадрат, дава числото -1.

Помислете за пример. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Регистрирайте се за курса „Ускорете умственото броене, НЕ умствената аритметика“, за да научите как бързо и правилно да събирате, изваждате, умножавате, разделяте, квадратирате числата и дори да пускате корени. След 30 дни ще научите как да използвате лесни трикове за опростяване на аритметичните операции. Всеки урок съдържа нови техники, ясни примери и полезни задачи.

Експоненция онлайн

С помощта на нашия калкулатор можете да изчислите степента на число в степен:

Възлагане на степен 7

Издигането до степен започва да преминава на учениците едва в седми клас.

Възлагането в степен е операция, тясно свързана с умножението, тази операция е резултат от многократно умножение на число само по себе си. Нека представим формулата: a1 * a2 * … * an=an .

Например, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Примери за решение:

Представяне на степенуване

Презентация за степенуване, предназначена за седмокласници. Презентацията може да изясни някои неразбираеми точки, но вероятно няма да има такива, благодарение на нашата статия.

Резултат

Обмислихме само върха на айсберга, за да разберем по-добре математиката - запишете се за нашия курс: Ускорете умственото броене - НЕ умствената аритметика.

От курса не само ще научите десетки трикове за опростено и бързо умножение, събиране, умножение, деление, изчисляване на проценти, но и ще ги разработите в специални задачи и образователни игри! Менталното броене също изисква много внимание и концентрация, които се обучават активно в решаването на интересни задачи.

В продължение на разговора за степента на едно число е логично да се заемем с намирането на стойността на степента. Този процес е наречен степенуване. В тази статия просто ще проучим как се извършва степенуването, като се докоснем до всички възможни експоненти - естествени, целочислени, рационални и ирационални. И по традиция ще разгледаме подробно решенията на примери за повишаване на числата в различни степени.

Навигация в страницата.

Какво означава "покачване в степен"?

Нека започнем с обяснението на това, което се нарича степенуване. Ето съответното определение.

Определение.

Експоненцияе да се намери стойността на степента на число.

По този начин намирането на стойността на степента на a с експонента r и повишаването на числото a на степен на r е едно и също нещо. Например, ако задачата е „изчислете стойността на степента (0,5) 5“, тогава тя може да бъде преформулирана по следния начин: „Повишете числото 0,5 на степен 5“.

Сега можете да преминете директно към правилата, по които се извършва възлагането в степен.

Повишаване на число в естествена степен

На практика равенството, основано на, обикновено се прилага във формата . Това означава, че при повишаване на числото a на дробна степен m / n първо се извлича коренът от n-та степен от числото a, след което резултатът се повишава до целочислена степен m.

Помислете за решения на примери за повишаване на дробна степен.

Пример.

Изчислете стойността на степента.

Решение.

Показваме две решения.

Първи начин. По дефиниция на степен с дробен показател. Изчисляваме стойността на степента под знака на корена, след което извличаме кубичния корен: .

Вторият начин. По дефиниция на степен с дробен показател и въз основа на свойствата на корените, равенствата са верни . Сега извадете корена Накрая повишаваме до степен на цяло число .

Очевидно получените резултати от повишаване на дробна степен съвпадат.

Отговор:

Обърнете внимание, че дробната степен може да бъде записана като десетична дроб или смесено число, в тези случаи тя трябва да бъде заменена със съответната обикновена дроб и след това трябва да се извърши степенуване.

Пример.

Изчислете (44.89) 2.5 .

Решение.

Пишем експонента под формата на обикновена дроб (ако е необходимо, вижте статията): . Сега извършваме повишаване на дробна степен:

Отговор:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Трябва също да се каже, че повишаването на числата до рационални степени е доста трудоемък процес (особено когато числителят и знаменателят на дробната степен са доста големи числа), който обикновено се извършва с помощта на компютърни технологии.

В заключение на този параграф ще се спрем на конструирането на числото нула на дробна степен. Дадохме следното значение на дробната степен на нула на формата: защото имаме , докато нула на степен m/n не е дефинирана. Така че, нула до положителна дробна степен е нула, например, . И нула в дробна отрицателна степен няма смисъл, например изразите и 0 -4,3 нямат смисъл.

Издигане до ирационална сила

Понякога става необходимо да се намери стойността на степента на число с ирационален показател. В този случай за практически цели обикновено е достатъчно да се получи стойността на степента до определен знак. Веднага отбелязваме, че на практика тази стойност се изчислява с помощта на електронно-изчислителна технология, тъй като ръчното повишаване до ирационална мощност изисква голям брой тромави изчисления. Но въпреки това ще опишем в общи линии същността на действията.

За да се получи приблизителна стойност на степента на a с ирационален показател, се взема някакво десетично приближение на степента и се изчислява стойността на степента. Тази стойност е приблизителната стойност на степента на числото a с ирационален показател. Колкото по-точна е десетичната апроксимация на числото първоначално, толкова по-точна ще бъде стойността на степента в края.

Като пример, нека изчислим приблизителната стойност на степента на 2 1,174367... . Да вземем следната десетична апроксимация на ирационален индикатор: . Сега повишаваме 2 до рационална степен 1,17 (описахме същността на този процес в предишния параграф), получаваме 2 1,17 ≈ 2,250116. По този начин, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ако вземем по-точна десетична апроксимация на ирационален експонент, например, тогава получаваме по-точна стойност на първоначалната степен: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Библиография.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика zh за 5 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9 клетки. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др. Алгебрата и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати в техникуми).