Изчисляване на кръгъл прът за огъване с усукване. Пространствен (сложен) завой

В случай на изчисляване на кръгъл прът под действието на огъване и усукване (фиг. 34.3), е необходимо да се вземат предвид нормалните и срязващи напрежения, тъй като максималните стойности на напрежението и в двата случая се появяват на повърхността. Изчислението трябва да се извърши в съответствие с теорията на якостта, като се заменя сложното напрегнато състояние със също толкова опасно просто.

Максимално напрежение на усукване в сечение

Максимално напрежение на огъване в разрез

Според една от теориите за якост, в зависимост от материала на гредата, се изчислява еквивалентното напрежение за опасния участък и гредата се тества за якост, като се използва допустимото напрежение на огъване за материала на гредата.

За кръгла греда моментите на модула на сечението са както следва:

При изчисляване според третата теория на якостта, теорията на максималните напрежения на срязване, еквивалентното напрежение се изчислява по формулата

Теорията е приложима за пластмасови материали.

При изчисляване според теорията на формиращата енергия еквивалентното напрежение се изчислява по формулата

Теорията е приложима за пластични и крехки материали.

теория на максималните напрежения на срязване:

Еквивалентно напрежение, когато се изчислява според теории за енергията на промяната на формата:

къде е еквивалентният момент.

Силно състояние

Примери за решаване на проблеми

Пример 1За дадено състояние на напрежение (фиг. 34.4), използвайки хипотезата за максимални напрежения на срязване, изчислете коефициента на безопасност, ако σ T \u003d 360 N / mm 2.

1. Какво характеризира и как се изобразява напрегнатото състояние в дадена точка?

2. Кои обекти и какви напрежения се наричат ​​основни?

3. Избройте видовете стресови състояния.

4. Какво характеризира деформираното състояние в дадена точка?

5. В какви случаи възникват гранични напрежени състояния в пластични и крехки материали?

6. Какво е еквивалентното напрежение?

7. Обяснете целта на теориите за силата.

8. Напишете формули за изчисляване на еквивалентни напрежения при изчисления съгласно теорията на максималните срязващи напрежения и теорията на енергията на деформация. Обяснете как да ги използвате.

ЛЕКЦИЯ 35

Тема 2.7. Изчисляване на пръта с кръгло напречно сечение с комбинация от основни деформации

Познайте формулите за еквивалентни напрежения според хипотезите за най-големите тангенциални напрежения и енергията на деформация.

Да може да се изчисли лъч с кръгло напречно сечение за якост с комбинация от основни деформации.

Формули за изчисляване на еквивалентни напрежения

Еквивалентно напрежение според хипотезата за максимални напрежения на срязване

Еквивалентно напрежение според хипотезата за енергията на деформация

Състояние на якост при комбинирано действие на огъване и усукване

където M EQе еквивалентният момент.

Еквивалентен момент според хипотезата за максимални напрежения на срязване

Еквивалентен момент според енергийната хипотеза за промяна на формата

Характеристика на изчисляването на валовете

Повечето валове изпитват комбинация от деформации на огъване и усукване. Валовете обикновено са прави пръти с кръгло или пръстеновидно сечение. При изчисляване на валовете не се вземат предвид срязващите напрежения от действието на напречни сили поради тяхната незначителност.

Изчисленията се извършват за опасни напречни сечения. При пространствено натоварване на вала се използва хипотезата за независимост на действието на силите и огъващите моменти се разглеждат в две взаимно перпендикулярни равнини, а общият момент на огъване се определя чрез геометрично сумиране.

Примери за решаване на проблеми

Пример 1В опасно напречно сечение на кръгла греда възникват вътрешни силови фактори (фиг. 35.1) M x; M y; M z .

М хИ М г- огъващи моменти в равнини охИ zOxсъответно; Mz- въртящ момент. Проверете якостта според хипотезата за най-големите напрежения на срязване, ако [ σ ] = 120 MPa. Първоначални данни: М х= 0,9 kN m; M y = 0,8 kN m; Mz = 2,2 kN*m; д= 60 мм.

Решение

Изграждаме диаграми на нормални напрежения от действието на огъващи моменти спрямо осите охИ OUи диаграма на напреженията на срязване от усукване (фиг. 35.2).

Максималното напрежение на срязване възниква на повърхността. Максимални нормални напрежения от момента М хвъзникват в точката НО,максимални нормални напрежения от момента М гв точката INНормалните напрежения се сумират, тъй като моментите на огъване във взаимно перпендикулярни равнини се сумират геометрично.

Общ момент на огъване:

Изчисляваме еквивалентния момент според теорията на максималните напрежения на срязване:

Условие на сила:

Модул на сечението: W oce in oe = 0,1 60 3 = 21600 mm 3.

Проверка на силата:

Издръжливостта е гарантирана.

Пример 2Изчислете необходимия диаметър на вала от състоянието на якост. На вала са монтирани две колела. Върху колелата действат две периферни сили F t 1 = 1.2kN; F t 2= 2kN и две радиални сили във вертикалната равнина F r 1= 0,43 kN; F r 2 = 0,72 kN (фиг. 35.3). Диаметрите на колелата са съответно равни d1= 0,1 m; d2= 0,06 m.

Приемам за материал на вала [ σ ] = 50 MPa.

Изчислението се извършва според хипотезата за максимални напрежения на срязване. Игнорирайте теглото на вала и колелата.

Решение

Инструкция.Използваме принципа на независимост на действието на силите, изготвяме проектни схеми на вала във вертикална и хоризонтална равнина. Определяме реакциите в опорите в хоризонталната и вертикалната равнина поотделно. Изграждаме диаграми на огъващи моменти (фиг. 35.4). Под действието на периферни сили валът се усуква. Определете въртящия момент, действащ върху вала.

Нека направим изчислителна схема на вала (фиг. 35.4).

1. Въртящ момент на вала:

2. Разглеждаме завоя в две равнини: хоризонтална (мн. Н) и вертикална (мн. V).

В хоризонталната равнина определяме реакциите в опората:

ОТИ IN:

Във вертикалната равнина определяме реакциите в опората:

Определете моментите на огъване в точките C и B:

Общи огъващи моменти в точки C и B:

В точката INмаксималният момент на огъване, въртящият момент също действа тук.

Изчисляването на диаметъра на вала се извършва според най-натоварената секция.

3. Еквивалентен момент в точка INспоред третата теория за силата

4. Определете диаметъра на вала с кръгло напречно сечение от условието за якост

Закръгляваме получената стойност: д= 36 мм.

Забележка.Когато избирате диаметри на валовете, използвайте стандартния диапазон от диаметри (Приложение 2).

5. Определяме необходимите размери на вала с пръстеновидно сечение при c \u003d 0,8, където d е външният диаметър на вала.

Диаметърът на пръстеновидния вал може да се определи по формулата

Приемам d= 42 мм.

Натоварването е незначително. d BH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6 мм.

Закръглете до стойност dBH= 33 мм.

6. Нека сравним разходите за метал по площта на напречното сечение на вала и в двата случая.

Площ на напречното сечение на плътен вал

Площ на напречното сечение на кухия вал

Площта на напречното сечение на твърд вал е почти два пъти по-голяма от тази на пръстеновидния вал:

Пример 3. Определете размерите на напречното сечение на вала (фиг. 2.70, но)управляващо задвижване. Сила на издърпване на педала P3, сили, предавани от механизма P 1, R 2, R 4. Материал на вала - StZ стомана с граница на провлачване σ t = 240 N/mm 2 , изискван коефициент на безопасност [ н] = 2,5. Изчислението се извършва според хипотезата за енергията на промяната на формата.

Решение

Помислете за баланса на вала, след като приведете силите R 1, R 2, R 3, R 4до точки по оста му.

Прехвърляне на сили R 1успоредни на себе си в точки ДА СЕИ Е, е необходимо да се добавят двойки сили с моменти, равни на моментите на силите R 1спрямо точките ДА СЕИ E,т.е.

Тези двойки сили (моменти) са условно показани на фиг. 2,70 , бпод формата на дъговидни линии със стрелки. По същия начин при прехвърляне на сили R 2, R 3, R 4до точки К, Е, Л, Хтрябва да добавите двойки сили с моменти

Лагерите на вала, показани на фиг. 2.70, а, трябва да се разглеждат като пространствени шарнирни опори, които предотвратяват движението по посока на осите хИ в(избраната координатна система е показана на фиг. 2.70, б).

Използвайки схемата за изчисление, показана на фиг. 2,70 в, съставяме уравненията на равновесието:

оттук и реакциите на подкрепа НАИ H Bдефиниран правилно.

Графики на въртящия момент Mzи огъващи моменти М гса представени на фиг. 2,70 г. Участъкът вляво от точка L е опасен.

Условието на сила има формата:

където е еквивалентният момент според хипотезата за енергията на промяната на формата

Необходим външен диаметър на вала

Приемаме d \u003d 45 mm, след това d 0 \u003d 0,8 * 45 \u003d 36 mm.

Пример 4Проверете здравината на междинния вал (фиг. 2.71) на цилиндрична предавка, ако валът предава мощност н= 12,2 kW при скорост П= 355 об/мин. Валът е изработен от стомана St5 с граница на провлачване σ t \u003d 280 N / mm 2. Необходим коефициент на безопасност [ н] = 4. При изчисляване се прилага хипотезата за най-високите напрежения на срязване.

Инструкция.Областни усилия R 1И R 2лежат в хоризонтална равнина и са насочени по допирателните към окръжностите на зъбните колела. Радиални сили T1И Т 2лежат във вертикалната равнина и се изразяват чрез съответната периферна сила, както следва: т = 0,364Р.

Решение

На фиг. 2,71, нопредставен е схематичен чертеж на вала; на фиг. 2.71, b показва диаграмата на вала и силите, възникващи в зъбното колело.

Определете момента, предаван от вала:

очевидно, m = m 1 = m 2(моментите на усукване, приложени към вала, с равномерно въртене, са равни по големина и противоположни по посока).

Определете силите, действащи върху зъбните колела.

Областни усилия:

Радиални сили:

Помислете за баланса на вала АБ, предварително довеждащи сили R 1И R 2до точки, лежащи върху оста на вала.

Прехвърляне на мощност R 1успоредно на себе си до точка Л, е необходимо да добавите няколко сили с момент, равен на момента на силата R 1спрямо точката Л, т.е.

Тази двойка сили (момент) е условно показана на фиг. 2,71, впод формата на дъговидна линия със стрелка. По същия начин, при прехвърляне на сила R 2точно ДА СЕнеобходимо е да прикачите (добавите) няколко сили с момент

Лагерите на вала, показани на фиг. 2,71, но, трябва да се разглеждат като пространствени шарнирни опори, които предотвратяват линейни движения в посоките на осите хИ в(избраната координатна система е показана на фиг. 2.71, б).

Използвайки схемата за изчисление, показана на фиг. 2,71, г, съставяме уравненията на равновесието за вала във вертикалната равнина:

Нека направим тестово уравнение:

следователно опорните реакции във вертикалната равнина са определени правилно.

Помислете за баланса на вала в хоризонталната равнина:

Нека направим тестово уравнение:

следователно опорните реакции в хоризонталната равнина са определени правилно.

Графики на въртящия момент Mzи огъващи моменти М хИ М гса представени на фиг. 2,71, д.

Опасен е участъкът ДА СЕ(виж фиг. 2.71, г,д). Еквивалентен момент според хипотезата за най-големите срязващи напрежения

Еквивалентно напрежение според хипотезата за най-големите напрежения на срязване за опасната точка на вала

коефициент на безопасност

което е много повече [ н] = 4, следователно здравината на вала е осигурена.

При изчисляване на вала за якост промяната в напреженията с течение на времето не се взема предвид, поради което се получава толкова значителен коефициент на безопасност.

Пример 5Определете размерите на напречното сечение на гредата (фиг. 2.72, но).Материалът на гредата е стомана 30XGS с условни граници на провлачване при опън и натиск σ o, 2p = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. Коефициент на безопасност [ н] = 1,6.

Решение

Шината работи върху комбинираното действие на опън (компресия) и усукване. При такова натоварване в напречните сечения възникват два вътрешни силови фактора: надлъжна сила и въртящ момент.

Графики на надлъжни сили ни въртящ момент Mzпоказано на фиг. 2,72, б, вВ този случай определете позицията на опасния участък според диаграмите нИ Mzневъзможно, тъй като размерите на напречните сечения на секциите на гредата са различни. За да се определи положението на опасния участък, трябва да се начертаят графики на нормални и максимални напрежения на срязване по дължината на гредата.

Според формулата

изчисляваме нормалните напрежения в напречните сечения на гредата и изграждаме диаграма o (фиг. 2.72, г).

Според формулата

изчисляваме максималните напрежения на срязване в напречните сечения на гредата и начертаваме диаграмата t макс(ориз* 2,72, д).

Вероятно опасни са контурните точки на напречните сечения на секциите АБИ CD(виж фиг. 2.72, но).

На фиг. 2,72, дса показани сюжети σ И τ за напречни сечения АБ.

Припомнете си, че в този случай (лъч с кръгло напречно сечение работи върху комбинираното действие на опън - компресия и усукване), всички точки на контура на напречното сечение са еднакво опасни.

На фиг. 2,72, добре

На фиг. 2,72, зграфики a и t са показани за напречните сечения на сечението CD.

На фиг. 2,72, Иса показани напреженията върху началните подложки в опасната точка.

Основните напрежения в опасната точка на обекта CD:

Според хипотезата за якост на Мор, еквивалентното напрежение за опасната точка на разглеждания участък е

Опасни се оказаха контурните точки на напречните сечения на сечение AB.

Условието на сила има формата:

Пример 2.76.Определете допустимата стойност на силата Рот състоянието на якост на пръта слънце(фиг. 2.73) Материалът на пръта е чугун с якост на опън σ vr = 150 N / mm 2 и якост на натиск σ sun = 450 N / mm 2. Необходим коефициент на безопасност [ н] = 5.

Инструкция. Счупена дървесина ABCразположен в хоризонтална равнина, и пръчката АБперпендикулярно на слънце.Силите R, 2R, 8Rлежат във вертикална равнина; сила 0,5 R, 1,6 R- хоризонтално и перпендикулярно на пръта слънце;сила 10R, 16Rсъвпадат с оста на пръта слънце; двойка сили с момент m = 25Pd е разположена във вертикална равнина, перпендикулярна на оста на пръта слънце.

Решение

Да донесем сила Ри 0,5P до центъра на тежестта на напречното сечение B.

Прехвърляйки сила P успоредно на себе си към точка B, трябва да добавим двойка сили с момент, равен на момента на силата Рспрямо точката IN, тоест двойка с момент m 1 = 10 Pd.

Сила 0,5Rсе движат по линията на действие до точка Б.

Натоварвания, действащи върху пръта слънце,показано на фиг. 2.74 но.

Изграждаме диаграми на вътрешните силови фактори за пръта слънце.При определеното натоварване на пръта в неговите напречни сечения възникват шест от тях: надлъжна сила н, напречни сили QxИ qy,въртящ момент mzогъващи моменти MxИ Му.

Парцели N, Mz, Mx, Muса представени на фиг. 2.74 б(ординатите на диаграмите са изразени чрез РИ д).

Парцели QyИ Qxне строим, тъй като напреженията на срязване, съответстващи на напречните сили, са малки.

В разглеждания пример позицията на опасната секция не е очевидна. Предполага се, че участъци K са опасни (краят на участъка аз) и С.

Главни напрежения в точка L:

Според хипотезата за якост на Мор, еквивалентното напрежение за точка L

Нека определим големината и равнината на действие на огъващия момент Mi в сечение C, показано отделно на фиг. 2.74 д. Същата фигура показва диаграми σ I, σ N , τ за раздел C.

Напрежения върху началните места в точката Х(фиг. 2.74, д)

Главни напрежения в даден момент Х:

Според хипотезата за сила на Мор, еквивалентното напрежение за точка Х

Напрежения върху началните места в точка E (фиг. 2.74, g):

Главни напрежения в точка E:

Според хипотезата за якост на Мор, еквивалентното напрежение за точка E

Опасната точка Лза което

Условието на сила има формата:

Контролни въпроси и задачи

1. Какво напрегнато състояние възниква в напречното сечение на вала при комбинираното действие на огъване и усукване?

2. Напишете условието за якост за изчисляване на вала.

3. Напишете формулите за изчисляване на еквивалентния момент при изчисляване на хипотезата за максимално напрежение на срязване и хипотезата за енергията на деформация.

4. Как се избира опасният участък при изчисляване на шахтата?

В случай на изчисляване на кръгъл прът под действието на огъване и усукване (фиг. 34.3), е необходимо да се вземат предвид нормалните и срязващи напрежения, тъй като максималните стойности на напрежението и в двата случая се появяват на повърхността. Изчислението трябва да се извърши в съответствие с теорията на якостта, като се заменя сложното напрегнато състояние със също толкова опасно просто.

Максимално напрежение на усукване в сечение

Максимално напрежение на огъване в разрез

Според една от теориите за якост, в зависимост от материала на гредата, се изчислява еквивалентното напрежение за опасния участък и гредата се тества за якост, като се използва допустимото напрежение на огъване за материала на гредата.

За кръгла греда моментите на модула на сечението са както следва:

При изчисляване според третата теория на якостта, теорията на максималните напрежения на срязване, еквивалентното напрежение се изчислява по формулата

Теорията е приложима за пластмасови материали.

При изчисляване според теорията на формиращата енергия еквивалентното напрежение се изчислява по формулата

Теорията е приложима за пластични и крехки материали.

теория на максималните напрежения на срязване:

Еквивалентно напрежение, когато се изчислява според теории за енергията на промяната на формата:

къде е еквивалентният момент.

Силно състояние

Примери за решаване на проблеми

Пример 1За дадено състояние на напрежение (фиг. 34.4), използвайки хипотезата за максимални напрежения на срязване, изчислете коефициента на безопасност, ако σ T \u003d 360 N / mm 2.

Контролни въпроси и задачи

1. Какво характеризира и как се изобразява напрегнатото състояние в дадена точка?

2. Кои обекти и какви напрежения се наричат ​​основни?

3. Избройте видовете стресови състояния.

4. Какво характеризира деформираното състояние в дадена точка?

5. В какви случаи възникват гранични напрежени състояния в пластични и крехки материали?

6. Какво е еквивалентното напрежение?

7. Обяснете целта на теориите за силата.

8. Напишете формули за изчисляване на еквивалентни напрежения при изчисления съгласно теорията на максималните срязващи напрежения и теорията на енергията на деформация. Обяснете как да ги използвате.

ЛЕКЦИЯ 35

Тема 2.7. Изчисляване на пръта с кръгло напречно сечение с комбинация от основни деформации

Познайте формулите за еквивалентни напрежения според хипотезите за най-големите тангенциални напрежения и енергията на деформация.

Да може да се изчисли лъч с кръгло напречно сечение за якост с комбинация от основни деформации.

Кратка информация от теорията

Гредата е в условия на сложно съпротивление, ако няколко вътрешни фактора на сила не са равни на нула едновременно в напречните сечения.

Най-голям практически интерес представляват следните случаи на сложно натоварване:

1. Наклонен завой.

2. Огъване с опън или компресия, когато е напречно
сечение възникват надлъжна сила и огъващи моменти, тъй като,
например с ексцентрично компресиране на гредата.

3. Огъване с усукване, характеризиращо се с присъствието в папата
речни участъци на огъване (или две огъвания) и усукване
моменти.

Наклонен завой.

Наклонено огъване е такъв случай на огъване на гредата, при който равнината на действие на общия огъващ момент в сечението не съвпада с нито една от главните оси на инерция. Наклоненото огъване е най-удобно да се разглежда като едновременно огъване на греда в две основни равнини zoy и zox, където оста z е оста на гредата, а осите x и y са главните централни оси на напречното сечение.

Да разгледаме конзолна греда с правоъгълно напречно сечение, натоварена със сила P (фиг. 1).

Разширявайки силата P по главните централни оси на напречното сечение, получаваме:

R y \u003d R cos φ, R x = R sin φ

Огъващи моменти възникват в текущата секция на гредата

M x \u003d - P y z \u003d - P z cos φ,

M y = P x z = P z sin φ.

Знакът на огъващия момент M x се определя по същия начин, както при директно огъване. Моментът M y ще се счита за положителен, ако в точки с положителна стойност на координатата x този момент предизвиква опънни напрежения. Между другото, знакът на момента M y е лесно да се установи по аналогия с определението на знака на момента на огъване M x, ако мислено завъртите секцията, така че оста x да съвпада с първоначалната посока на оста y .

Напрежението в произволна точка от напречното сечение на гредата може да се определи с помощта на формулите за определяне на напрежението в случай на плосък огъване. Въз основа на принципа на независимост на действието на силите, ние обобщаваме напреженията, причинени от всеки от огъващите моменти

(1)

Стойностите на огъващите моменти (с техните знаци) и координатите на точката, в която се изчислява напрежението, се заменят в този израз.

За определяне на опасните точки на сечението е необходимо да се определи положението на нулевата или неутралната линия (местоположението на точките на сечението, в които напреженията σ = 0). Максималните напрежения възникват в точките, най-отдалечени от нулевата линия.

Уравнението с нулева линия се получава от уравнение (1) при =0:

откъдето следва, че нулевата линия минава през центъра на тежестта на напречното сечение.

Напреженията на срязване, възникващи в секциите на гредата (при Q x ≠ 0 и Q y ≠ 0), като правило, могат да бъдат пренебрегнати. Ако има нужда да се определят, тогава компонентите на общото напрежение на срязване τ x и τ y първо се изчисляват по формулата на Д. Я. Журавски, а след това последните се обобщават геометрично:

За да се оцени якостта на гредата, е необходимо да се определят максималните нормални напрежения в опасния участък. Тъй като състоянието на напрежение е едноосово в най-натоварените точки, състоянието на якост при изчисляване по метода на допустимите напрежения приема формата

За пластмасови материали

За крехки материали

n е коефициентът на безопасност.

Ако изчислението се извършва по метода на граничните състояния, тогава условието за якост има формата:

където R е проектното съпротивление,

m е коефициентът на условията на труд.

В случаите, когато материалът на гредата издържа различно на опън и натиск, е необходимо да се определи както максималното напрежение на опън, така и максималното напрежение на натиск и да се направи заключение за якостта на гредата от съотношенията:

където R p и R c са проектните съпротивления на материала при опън и натиск, съответно.

За определяне на отклоненията на лъча е удобно първо да се намерят преместванията на сечението в главните равнини по посока на осите x и y.

Изчисляването на тези премествания ƒ x и ƒ y може да се извърши чрез съставяне на универсално уравнение за извитата ос на гредата или чрез енергийни методи.

Общото отклонение може да се намери като геометрична сума:

състоянието на твърдост на гредата има формата:

където - е допустимото отклонение на гредата.

Ексцентрична компресия

В този случай силата P, притискаща гредата, е насочена успоредно на оста на гредата и се прилага в точка, която не съвпада с центъра на тежестта на секцията. Нека X p и Y p са координатите на точката на приложение на силата P, измерени спрямо главните централни оси (фиг. 2).

Действащото натоварване причинява появата на следните вътрешни фактори на сила в напречните сечения: N= -P, Mx= -Py p , My=-Px p

Признаците на огъващи моменти са отрицателни, тъй като последните причиняват компресия в точки, принадлежащи към първата четвърт. Напрежението в произволна точка от сечението се определя от израза

(9)

Замествайки стойностите на N, Mx и My, получаваме

(10)

Тъй като Yx= F, Yy= F (където i x и i y са основните радиуси на инерция), последният израз може да бъде сведен до вида

(11)

Уравнението на нулевата линия се получава чрез задаване на =0

1+ (12)

Отсечени от нулевата линия на координатните оси на сегмента и , се изразяват, както следва:

С помощта на зависимости (13) лесно може да се намери положението на нулевата линия в сечението (фиг. 3), след което се определят най-отдалечените от тази права точки, които са опасни, тъй като в тях възникват максимални напрежения.

Напреженото състояние в точките на сечението е едноосово, поради което състоянието на якост на гредата е подобно на разгледания по-рано случай на наклонено огъване на гредата - формули (5), (6).

При ексцентрично компресиране на прътите, чийто материал е слабо устойчив на разтягане, е желателно да се предотврати появата на опънни напрежения в секцията. В секцията ще възникнат напрежения от същия знак, ако нулевата линия премине извън секцията или в краен случай я докосне.

Това условие е изпълнено, когато силата на натиск е приложена вътре в областта, наречена сърцевина на секцията. Ядрото на секцията е област, покриваща центъра на тежестта на секцията и се характеризира с факта, че всяка надлъжна сила, приложена вътре в тази зона, причинява напрежения с един и същи знак във всички точки на пръта.

За да се конструира сърцевината на сечението, е необходимо да се зададе позицията на нулевата линия, така че да докосва сечението, без да го пресича никъде, и да се намери съответната точка на приложение на силата P. След като се начертае семейство от допирателни към сечение, получаваме набор от полюси, съответстващи на тях, чийто локус ще даде очертанията (контура) на основните секции.

Нека например участъкът, показан на фиг. 4 с главни централни оси x и y.

За да построим сърцевината на сечението, даваме пет допирателни, четири от които съвпадат със страните AB, DE, EF и FA, а петата свързва точки B и D. Чрез измерване или изчисляване от разреза, отрязани от посочените допирателни II, . . . ., 5-5 по осите x, y и замествайки тези стойности в зависимост (13), определяме координатите xp, yp за петте полюса 1, 2 .... 5, съответстващи на петте позиции на нулева линия. Тангента II може да се прехвърли в позиция 2-2 чрез завъртане около точка А, докато полюс I трябва да се движи по права линия и в резултат на въртене на допирателната да премине към точка 2. Следователно всички полюси, съответстващи на междинни позиции на допирателната между II и 2-2 ще бъде разположена на директен 1-2. По същия начин може да се докаже, че останалите страни на сърцевината на секцията също ще бъдат правоъгълни, т.е. сърцевината на секцията е многоъгълник, за изграждането на който е достатъчно да свържете полюсите 1, 2, ... 5 с прави линии.

Огъване с усукване на кръгъл прът.

При огъване с усукване в напречното сечение на гредата, в общия случай, пет вътрешни фактора на сила не са равни на нула: M x, M y, M k, Q x и Q y. В повечето случаи обаче влиянието на срязващите сили Q x и Q y може да се пренебрегне, ако участъкът не е тънкостенен.

Нормалните напрежения в напречното сечение могат да се определят от величината на получения огъващ момент

защото неутралната ос е перпендикулярна на кухината на действие на момента M u .

На фиг. 5 са показани моментите на огъване M x и M y като вектори (посоките M x и M y са избрани положителни, т.е. такива, че в точките от първия квадрант на сечението напреженията са опън).

Посоката на векторите M x и M y е избрана така, че наблюдателят, гледайки от края на вектора, да ги вижда насочени обратно на часовниковата стрелка. В този случай неутралната линия съвпада с посоката на вектора на получения момент M u, а най-натоварените точки от сечението A и B лежат в равнината на действие на този момент.

Огъването се разбира като вид натоварване, при което в напречните сечения на гредата възникват огъващи моменти. Ако моментът на огъване в сечението е единственият фактор на силата, тогава огъването се нарича чисто. Ако заедно с момента на огъване възникват и напречни сили в напречните сечения на гредата, тогава огъването се нарича напречно.

Приема се, че моментът на огъване и напречната сила лежат в една от главните равнини на гредата (предполагаме, че тази равнина е ZOY). Такъв завой се нарича плосък.

Във всички случаи, разгледани по-долу, се извършва плоско напречно огъване на гредите.

За да се изчисли силата или твърдостта на гредата, е необходимо да се знаят вътрешните силови фактори, които възникват в нейните секции. За целта се изграждат диаграми на напречни сили (epure Q) и огъващи моменти (M).

При огъване праволинейната ос на гредата се огъва, неутралната ос минава през центъра на тежестта на секцията. За определеност, при конструиране на диаграми на напречни сили на огъващи моменти, ние установяваме знакови правила за тях. Да приемем, че моментът на огъване ще се счита за положителен, ако елементът на гредата е огънат с изпъкналост надолу, т.е. по такъв начин, че компресираните му влакна да са отгоре.

Ако моментът огъва гредата с издутина нагоре, тогава този момент ще се счита за отрицателен.

Положителните стойности на моментите на огъване при начертаване се начертават, както обикновено, в посоката на оста Y, което съответства на начертаване върху компресирано влакно.

Следователно правилото на знаците за диаграмата на моментите на огъване може да се формулира по следния начин: ординатите на моментите се нанасят от страната на слоевете на гредата.

Моментът на огъване в участък е равен на сумата от моментите спрямо този участък на всички сили, разположени от едната страна (която и да е) на сечението.

За да определим напречните сили (Q), ние установяваме правилото на знаците: напречната сила се счита за положителна, ако външната сила има тенденция да завърти отсечената част на гредата по посока на часовниковата стрелка. стрелка спрямо точката на оста, която съответства на начертания участък.

Напречната сила (Q) в произволно напречно сечение на гредата е числено равна на сумата от проекциите върху оста на y на външните сили, приложени към нейната пресечена част.

Помислете за няколко примера за изобразяване на напречни сили на огъващи моменти. Всички сили са перпендикулярни на оста на гредите, така че хоризонталната компонента на реакцията е нула. Деформираната ос на гредата и силите лежат в главната равнина ZOY.

Дължината на гредата се притиска от левия край и се натоварва с концентрирана сила F и момент m=2F.

Изграждаме диаграми на напречни сили Q и огъващи моменти M от.

В нашия случай няма ограничения, наложени на гредата от дясната страна. Следователно, за да не се определят опорните реакции, е препоръчително да се вземе предвид равновесието на дясната отсечена част на гредата. Посочената греда има две зони на натоварване. Границите на участъци-сечения, в които се прилагат външни сили. 1 секция - NE, 2 - VA.

Извършваме произволен участък в секция 1 и разглеждаме равновесието на дясната отсечена част с дължина Z 1.

От условието на равновесие следва:

Q=F; M изход = -fz 1 ()

Силата на срязване е положителна, т.к външната сила F има тенденция да завърти отрязаната част по посока на часовниковата стрелка. Моментът на огъване се счита за отрицателен, т.к той огъва разглежданата част от гредата с изпъкналост нагоре.

При съставянето на уравненията на равновесието ние фиксираме мислено мястото на секцията; от уравненията () следва, че напречната сила в сечение I не зависи от Z 1 и е постоянна стойност. Положителната сила Q=F се увеличава от централната линия на гредата, перпендикулярна на нея.

Моментът на огъване зависи от Z 1 .

Когато Z 1 = O M от \u003d O при Z 1 = M от \u003d

Получената стойност () се оставя настрана, т.е. диаграмата M от е изградена върху компресирано влакно.

Да преминем към втората част

Изрязваме участък II на произволно разстояние Z 2 от свободния десен край на гредата и разглеждаме равновесието на отсечната част с дължина Z 2. Промяната в силата на срязване и момента на огъване въз основа на условията на равновесие може да бъде изразена със следните уравнения:

Q=FM от = - FZ 2 +2F

Големината и знакът на напречната сила не се променят.

Големината на огъващия момент зависи от Z 2 .

При Z 2 = M от =, при Z 2 =

Огъващият момент се оказа положителен, както в началото на участък II, така и в неговия край. В участък II гредата се огъва с издутина надолу.

Отделете в скала величината на моментите нагоре по централната линия на гредата (т.е. диаграмата е изградена върху компресирано влакно). Най-големият огъващ момент възниква в участъка, където е приложен външният момент m и е равен по абсолютна стойност на

Имайте предвид, че по дължината на гредата, където Q остава постоянен, моментът на огъване M се променя линейно и е представен на диаграмата с наклонени прави линии. От диаграмите Q и M от се вижда, че в участъка, където е приложена външна напречна сила, диаграмата Q има скок със стойността на тази сила, а диаграмата M от има изкривяване. В участък, където е приложен външен огъващ момент, диаграмата Miz има скок със стойността на този момент. Това не е отразено в Q графиката. От диаграмата M от виждаме това

макс M излязъл =

следователно опасният участък е изключително близо от лявата страна до т.нар.

За гредата, показана на фиг. 13, а, построете диаграми на напречни сили и огъващи моменти. Дължината на гредата се натоварва с равномерно разпределен товар с интензитет q(KN/cm).

На опора A (неподвижна шарнир) ще има вертикална реакция R a (хоризонталната реакция е нула), а на опора B (подвижна шарнир) се получава вертикална реакция R v.

Нека определим вертикалните реакции на опорите, като съставим уравнението на моментите спрямо опорите A и B.

Нека проверим правилността на дефиницията на реакцията:

тези. поддържащите реакции са правилно дефинирани.

Дадената греда има две натоварващи секции: Секция I - AC.

Участък II - СИ.

На първия участък a, в текущия участък Z 1, от условието за равновесие на отсечената част, имаме

Уравнението на моментите на огъване на 1 участък от гредата:

Моментът от реакцията R a огъва гредата в участък 1, изпъкнал надолу, така че моментът на огъване от реакцията Ra се въвежда в уравнението със знак плюс. Натоварването qZ 1 огъва гредата с изпъкналост нагоре, така че моментът от нея се въвежда в уравнението със знак минус. Моментът на огъване се променя според закона на квадратната парабола.

Следователно е необходимо да се установи дали има екстремум. Съществува диференциална зависимост между напречната сила Q и момента на огъване, която ще анализираме по-нататък

Както знаете, функцията има екстремум, където производната е равна на нула. Следователно, за да се определи при каква стойност на Z 1, моментът на огъване ще бъде краен, е необходимо да се приравни уравнението на напречната сила на нула.

Тъй като напречната сила променя знака от плюс на минус в този участък, моментът на огъване в този участък ще бъде максимален. Ако Q промени знака от минус на плюс, тогава моментът на огъване в този участък ще бъде минимален.

Така че моментът на огъване при

е максимумът.

Следователно, ние изграждаме парабола върху три точки

Когато Z 1 = 0 M от \u003d 0

Изрязваме втория участък на разстояние Z 2 от опора B. От условието за равновесие на дясната отсечена част на гредата имаме:

Когато Q=const,

моментът на огъване ще бъде:

при, в, т.е. М ОТ

се променя линейно.

Греда върху две опори, имащи участък равен на 2 и лява конзола с дължина, се натоварва, както е показано на фиг. 14, а., където q (Kn / cm) е линейното натоварване. Опора А е шарнирно фиксирана, опора В е подвижна ролка. Изградете парцели Q и M от.

Решаването на проблема трябва да започне с определяне на реакциите на опорите. От условието, че сумата от проекциите на всички сили върху оста Z е равна на нула, следва, че хоризонталната компонента на реакцията върху опора A е 0.

За да проверим, използваме уравнението

Уравнението на равновесието е изпълнено, следователно реакциите са изчислени правилно. Обръщаме се към дефиницията на вътрешните силови фактори. Даден лъч има три области на натоварване:

• 1 раздел - SA,
• 2-ри раздел - АД,
• 3 раздел - ДВ.

Изрязваме 1 секция на разстояние Z 1 от левия край на гредата.

при Z 1 = 0 Q = 0 M ОТ \u003d 0

при Z 1 = Q \u003d -q M IZ \u003d

Така върху диаграмата на напречните сили се получава наклонена права линия, а на диаграмата на огъващите моменти се получава парабола, чийто връх е разположен в левия край на гредата.

В раздел II (a Z 2 2a), за да се определят коефициентите на вътрешна сила, вземете предвид баланса на лявата отсечена част на гредата с дължина Z 2 . От условието за равновесие имаме:

Напречната сила в тази област е постоянна.

В раздел III()

От диаграмата виждаме, че най-големият момент на огъване възниква в сечението под силата F и е равен на. Този раздел ще бъде най-опасен.

На диаграмата M от има скок върху опората B, равен на външния момент, приложен в този участък.

Като се имат предвид изградените по-горе диаграми, не е трудно да се забележи определена закономерна връзка между диаграмите на огъващите моменти и диаграмите на напречните сили. Нека го докажем.

Производната на напречната сила по дължината на гредата е равна на модула на интензитета на натоварването.

Отхвърляйки стойността на по-високия порядък на малко, получаваме:

тези. напречната сила е производна на огъващия момент по дължината на гредата.

Като се вземат предвид получените диференциални зависимости, могат да се направят общи изводи. Ако лъчът е натоварен с равномерно разпределен товар с интензитет q=const, очевидно, функцията Q ще бъде линейна, а M от - квадратична.

Ако лъчът е натоварен с концентрирани сили или моменти, тогава в интервалите между точките на тяхното приложение, интензитетът q=0. Следователно Q=const, а M от е линейна функция на Z. В точките на приложение на концентрираните сили, диаграмата Q претърпява скок със стойността на външната сила, а в диаграмата M от настъпва съответно прекъсване (пропуск в производната).

На мястото на прилагане на външния огъващ момент има пролука в моментната диаграма, равна по големина на приложения момент.

Ако Q>0, тогава M от расте, а ако Q<0, то М из убывает.

Диференциалните зависимости се използват за проверка на съставените уравнения за изобразяване на Q и M от, както и за изясняване на формата на тези диаграми.

Моментът на огъване се променя според закона на параболата, чиято изпъкналост винаги е насочена към външното натоварване.

Въведение.

Огъването е вид деформация, характеризираща се с изкривяване (промяна в кривината) на оста или средната повърхност на деформируем обект (прът, греда, плоча, черупка и др.) под въздействието на външни сили или температура. Огъването е свързано с появата на огъващи моменти в напречните сечения на гредата. Ако само един от шестте вътрешни фактора на сила в секцията на гредата е различен от нула, огъването се нарича чисто:

Ако освен огъващия момент в напречните сечения на гредата действа и напречна сила, огъването се нарича напречно:

В инженерната практика се разглежда и специален случай на огъване - надлъжно I. ( ориз. един, c), характеризиращ се с изкривяване на пръта под действието на надлъжни сили на натиск. Едновременното действие на сили, насочени по оста на пръта и перпендикулярно на него, причинява надлъжно-напречно огъване ( ориз. един, G).

Ориз. 1. Огъване на гредата: а - чисто: б - напречно; в - надлъжно; g - надлъжно-напречно.

Пръта, която се огъва, се нарича греда. Огъването се нарича плосък, ако оста на гредата остане равна линия след деформация. Равнината на извитата ос на гредата се нарича равнина на огъване. Равнината на действие на силите на натоварване се нарича равнина на силата. Ако равнината на силата съвпада с една от основните равнини на инерция на напречното сечение, огъването се нарича права. (В противен случай има косо завой). Основната равнина на инерция на напречното сечение е равнина, образувана от една от главните оси на напречното сечение с надлъжната ос на гредата. При плоско право огъване равнината на огъване и равнината на сила съвпадат.

Проблемът за усукване и огъване на греда (проблемът на Saint-Venant) представлява голям практически интерес. Прилагането на теорията на огъването, установена от Навие, представлява обширен клон на структурната механика и е от голямо практическо значение, тъй като служи като основа за изчисляване на размерите и проверка на здравината на различни части от конструкции: греди, мостове, машинни елементи , и т.н.

ОСНОВНИ УРАВНЕНИЯ И ПРОБЛЕМИ НА ТЕОРИЯТА НА ЕЛАСТИЧНОСТТА

§ 1. основни уравнения

Първо, даваме общо обобщение на основните уравнения за проблемите на равновесието на еластично тяло, които формират съдържанието на раздела от теорията на еластичността, обикновено наричан статика на еластично тяло.

Деформираното състояние на тялото се определя напълно от тензора на деформационното поле или полето на изместване. Компоненти на тензора на деформация са свързани с премествания чрез диференциални зависимости на Коши:

(1)

Компонентите на тензора на деформация трябва да отговарят на диференциалните зависимости на Saint-Venant:

които са необходими и достатъчни условия за интегрируемостта на уравненията (1).

Напрегнатото състояние на тялото се определя от тензора на полето на напрежение Шест независими компонента на симетричен тензор () трябва да удовлетворява три диференциални уравнения на равновесие:

Компоненти на тензора на напрежението Иизместване са свързани с шестте уравнения на закона на Хук:

В някои случаи уравненията на закона на Хук трябва да се използват под формата на формула

, (5)

Уравнения (1)-(5) са основните уравнения на статичните задачи в теорията на еластичността. Понякога уравнения (1) и (2) се наричат ​​геометрични уравнения, уравнения ( 3) - статични уравнения, и уравнения (4) или (5) - физически уравнения. Към основните уравнения, които определят състоянието на линейно еластично тяло във вътрешните му точки на обем, е необходимо да се добавят условия на повърхността му.Тези условия се наричат ​​гранични условия. Те се определят или от дадени външни повърхностни сили или дадени движения точки на повърхността на тялото. В първия случай граничните условия се изразяват с равенството:

където са компонентите на вектора т якост на повърхността, са компонентите на единичния вектор П, насочена по външната нормала към повърхността в разглежданата точка.

Във втория случай граничните условия се изразяват с равенството

където са функции, дефинирани на повърхността.

Граничните условия също могат да бъдат смесени, когато са на една част външните повърхностни сили са дадени върху повърхността на тялото и от другата страна изместванията на повърхността на тялото са дадени:

Възможни са и други видове гранични условия. Например, на определена част от повърхността на тялото са посочени само някои компоненти на вектора на изместване и освен това не са посочени всички компоненти на вектора на повърхностната сила.

§ 2. Основни проблеми на статиката на еластично тяло

В зависимост от вида на граничните условия се разграничават три вида основни статични задачи на теорията на еластичността.

Основният проблем от първия тип е да се определят компонентите на тензора на полето на напрежение вътре в региона , заета от тялото, и компонента на вектора на изместване на точките вътре в областта и повърхностни точки тела според дадени масови сили и повърхностни сили

Желаните девет функции трябва да отговарят на основните уравнения (3) и (4), както и на граничните условия (6).

Основната задача на втория тип е да се определят преместванията точки вътре в областта и компонента на тензора на полето на напрежение според дадените масови сили и според дадени премествания по повърхността на тялото.

Търся функции И трябва да удовлетворява основните уравнения (3) и (4) и граничните условия (7).

Забележете, че граничните условия (7) отразяват изискването за непрекъснатост на дефинираните функции на границата тяло, т.е. когато вътрешната точка клони към някаква точка на повърхността, функцията трябва да се стреми към дадена стойност в дадена точка от повърхността.

Основният проблем от третия тип или смесен проблем е, че предвид повърхностните сили върху една част от повърхността на тялото и според дадени премествания върху друга част от повърхността на тялото и също така, най-общо казано, според дадените сили на тялото изисква се да се определят компонентите на тензора на напрежението и преместването , удовлетворяващи основните уравнения (3) и (4) при смесени гранични условия (8).

След като се получи решението на този проблем, е възможно да се определят по-специално силите на връзките върху , който трябва да се приложи в точките на повърхността, за да се реализират дадените премествания на тази повърхност, а също така е възможно да се изчислят преместванията на точките на повърхността . Курсова работа >> Промишленост, производство

По дължина дървен материал, тогава лъчдеформирана. Деформация дървен материалпридружен едновременно от ... дърво, полимер и т. н. Когато извивам дървен материалпочива на две опори... извивамще се характеризира със стрелка за отклонение. В този случай напреженията на натиск във вдлъбнатата част дървен материал ...

Предимства на залепеното дървен материалв ниското строителство

Резюме >> Строителство

Решено при използване на лепен профил дървен материал. Ламиниран дървен материал в носеща... , не се навива или завои. Това се дължи на липсата на... транспортиране на гориво. 5. Повърхностно залепено дървен материализработени в съответствие с всички технологични...