Пи отношение. Започнете в науката

Математиците от цял ​​свят ядат парче торта всяка година на 14 март – в края на краищата това е денят на Пи, най-известното ирационално число. Тази дата е пряко свързана с числото, чиито първи цифри са 3.14. Pi е съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър. Тъй като е ирационално, е невъзможно да се запише като дроб. Това е безкрайно дълго число. Открит е преди хиляди години и оттогава се изучава непрекъснато, но има ли останали тайни на Пи? От древен произход до несигурно бъдеще, ето някои от най-интересните факти за пи.

Запомняне на Пи

Рекордът по запомняне на числа след десетичната запетая принадлежи на Раджвир Мийна от Индия, който успя да запомни 70 000 цифри - той постави рекорда на 21 март 2015 г. Преди това рекордьор беше Чао Лу от Китай, който успя да запомни 67 890 цифри - този рекорд е поставен през 2005 г. Неофициалният рекордьор е Акира Харагучи, който записа на видео повторението си от 100 000 цифри през 2005 г. и наскоро публикува видео, където успява да запомни 117 000 цифри. Официален рекорд би станал само ако това видео е записано в присъствието на представител на Книгата на рекордите на Гинес и без потвърждение остава само впечатляващ факт, но не се счита за постижение. Любителите на математиката обичат да запомнят числото Пи. Много хора използват различни мнемонични техники, като поезия, където броят на буквите във всяка дума е същият като пи. Всеки език има свои собствени варианти на такива фрази, които помагат да се запомнят както първите няколко цифри, така и цели сто.

Има език Пи

Очаровани от литературата, математиците изобретяват диалект, в който броят на буквите във всички думи съответства на цифрите на Пи в точен ред. Писателят Майк Кийт дори написа книга Not a Wake, която е изцяло написана на езика Пи. Ентусиастите на такова творчество пишат своите произведения в пълно съответствие с броя на буквите и значението на цифрите. Това няма практическо приложение, но е доста често срещано и добре познато явление в средите на ентусиазираните учени.

Експоненциален растеж

Пи е безкрайно число, така че хората по дефиниция никога няма да могат да разберат точните числа на това число. Въпреки това, броят на цифрите след десетичната запетая се е увеличил значително след първото използване на Pi. Дори вавилонците го използваха, но част от три и една осма бяха достатъчни за тях. Китайците и създателите на Стария Завет бяха напълно ограничени до трите. До 1665 г. сър Исак Нютон е изчислил 16 цифри от пи. До 1719 г. френският математик Том Фант дьо Лани е изчислил 127 цифри. Появата на компютрите радикално подобри познанията на хората за Пи. От 1949 до 1967 г. броят на цифрите, известни на човека, нарасна до небесата от 2037 до 500 000. Не толкова отдавна Питър Труб, учен от Швейцария, успя да изчисли 2,24 трилиона цифри от Пи! Това отне 105 дни. Разбира се, това не е границата. Вероятно с развитието на технологията ще бъде възможно да се установи още по-точна цифра - тъй като Pi е безкраен, просто няма ограничение за точността и само техническите характеристики на компютърната технология могат да го ограничат.

Изчисляване на Pi на ръка

Ако искате сами да намерите числото, можете да използвате старата техника - ще ви трябват линийка, буркан и връв, може да използвате и транспортир и молив. Недостатъкът на използването на буркан е, че той трябва да бъде кръгъл, а точността ще се определя от това колко добре човекът може да увие въжето около него. Възможно е да нарисувате кръг с транспортир, но това също изисква умения и прецизност, тъй като неравният кръг може сериозно да изкриви вашите измервания. По-точен метод включва използването на геометрия. Разделете кръга на много сегменти, като резени пица, и след това изчислете дължината на права линия, която ще превърне всеки сегмент в равнобедрен триъгълник. Сборът от страните ще даде приблизителен брой пи. Колкото повече сегменти използвате, толкова по-точен ще бъде числото. Разбира се, в изчисленията си няма да можете да се доближите до резултатите от компютър, въпреки това тези прости експерименти ви позволяват да разберете по-подробно какво е Pi като цяло и как се използва в математиката.

Откриването на Пи

Древните вавилонци са знаели за съществуването на числото Пи още преди четири хиляди години. Вавилонските плочки изчисляват Пи като 3,125, а египетският математически папирус съдържа числото 3,1605. В Библията числото Pi е дадено в остаряла дължина - в лакти, а гръцкият математик Архимед използва Питагоровата теорема, за да опише Pi, геометричното съотношение на дължината на страните на триъгълник и площта на \u200b фигурите вътре и извън кръговете. По този начин е безопасно да се каже, че Пи е едно от най-древните математически понятия, въпреки че точното име на това число се появи сравнително наскоро.

Нов поглед върху Пи

Дори преди пи да бъде свързано с кръгове, математиците вече имаха много начини дори да назоват това число. Например в древните учебници по математика може да се намери фраза на латински, която може да се преведе грубо като „количеството, което показва дължината, когато диаметърът се умножи по нея“. Ирационалното число става известно, когато швейцарският учен Леонхард Ойлер го използва в работата си по тригонометрия през 1737 г. Гръцкият символ за пи обаче все още не се използва - това се случи само в книга на по-малко известния математик Уилям Джоунс. Той го използва още през 1706 г., но дълго време е пренебрегван. С течение на времето учените приеха това име и сега това е най-известната версия на името, въпреки че преди се наричаше и числото на Лудолф.

Пи нормално ли е?

Числото пи определено е странно, но как се подчинява на нормалните математически закони? Учените вече са разрешили много въпроси, свързани с това ирационално число, но остават някои загадки. Например, не е известно колко често се използват всички цифри - числата от 0 до 9 трябва да се използват в еднакво съотношение. Въпреки това може да се проследи статистика за първите трилион цифри, но поради факта, че числото е безкрайно, е невъзможно да се докаже нещо със сигурност. Има и други проблеми, които все още убягват на учените. Възможно е по-нататъшното развитие на науката да помогне за хвърлянето на светлина върху тях, но в момента това остава извън границите на човешкия интелект.

Пи звучи божествено

Учените не могат да отговорят на някои въпроси за числото Пи, но всяка година разбират по-добре същността му. Още през осемнадесети век е доказана ирационалността на това число. Освен това е доказано, че числото е трансцендентално. Това означава, че няма определена формула, която да ви позволи да изчислите пи с помощта на рационални числа.

Недоволство от Пи

Много математици просто са влюбени в Пи, но има и такива, които вярват, че тези числа нямат особено значение. Освен това те твърдят, че числото Tau, което е два пъти по-голямо от Pi, е по-удобно за използване като ирационално. Тау показва връзката между обиколката и радиуса, което според някои представлява по-логичен метод за изчисление. Невъзможно е обаче да се определи еднозначно нещо по този въпрос и единият и другият брой винаги ще имат поддръжници, и двата метода имат право на живот, така че това е просто интересен факт, а не причина да мислите, че не трябва използвайте числото Пи.

Какво е числото пипознаваме и помним от училище. То е равно на 3,1415926 и така нататък... Достатъчно е за обикновения човек да знае, че това число се получава, като се раздели обиколката на окръжност на неговия диаметър. Но много хора знаят, че числото Пи се появява в неочаквани области не само в математиката и геометрията, но и във физиката. Е, ако се задълбочите в подробностите за естеството на това число, можете да видите много изненади сред безкрайните серии от числа. Възможно ли е Пи да крие най-дълбоките тайни на Вселената?

Безкрайно число

Самото число Пи възниква в нашия свят като дължина на окръжност, чийто диаметър е равен на единица. Но въпреки факта, че сегментът, равен на Pi, е доста краен, числото Pi започва като 3,1415926 и отива до безкрайност в редове от числа, които никога не се повтарят. Първият изненадващ факт е, че това число, използвано в геометрията, не може да бъде изразено като част от цели числа. С други думи, не можете да го запишете като съотношение на две числа a/b. Освен това числото Пи е трансцендентално. Това означава, че няма такова уравнение (полином) с цели коефициенти, чието решение би било Pi.

Фактът, че числото Pi е трансцендентно, е доказано през 1882 г. от немския математик фон Линдеман. Именно това доказателство стана отговорът на въпроса дали е възможно да се начертае квадрат с пергел и линийка, чиято площ е равна на площта на даден кръг. Този проблем е известен като търсенето на квадратурата на окръжност, което тревожи човечеството от древни времена. Изглеждаше, че този проблем има просто решение и е на път да бъде разкрит. Но това е неразбираемо свойство на пи, което показва, че проблемът с квадратурата на кръг няма решение.

В продължение на поне четири и половина хилядолетия човечеството се опитва да получи все по-точна стойност на пи. Например, в Библията в 1-ва книга на Царете (7:23), числото пи се приема равно на 3.

Забележителна по точност, стойността на Pi може да се намери в пирамидите в Гиза: съотношението на периметъра и височината на пирамидите е 22/7. Тази дроб дава приблизителна стойност на Pi, равна на 3,142 ... Освен ако, разбира се, египтяните не зададат такова съотношение случайно. Същата стойност вече по отношение на изчисляването на числото Pi е получена през III век пр. н. е. от великия Архимед.

В папируса на Ахмес, древноегипетски учебник по математика, който датира от 1650 г. пр. н. е., Пи се изчислява като 3,160493827.

В древните индийски текстове около 9-ти век пр. н. е. най-точната стойност се изразява с числото 339/108, което се равнява на 3,1388 ...

Почти две хиляди години след Архимед хората се опитват да намерят начини за изчисляване на пи. Сред тях имаше както известни, така и неизвестни математици. Например римският архитект Марк Витрувий Полион, египетският астроном Клавдий Птолемей, китайският математик Лиу Хуей, индийският мъдрец Ариабхата, средновековният математик Леонардо от Пиза, известен като Фибоначи, арабският учен Ал-Хорезми, от чието име произлиза думата се появи "алгоритъм". Всички те и много други хора са търсили най-точните методи за изчисляване на Пи, но до 15 век никога не са получавали повече от 10 цифри след десетичната запетая поради сложността на изчисленията.

Накрая, през 1400 г., индийският математик Мадхава от Сангамаграма изчисли Пи с точност до 13 цифри (въпреки че все пак направи грешка в последните две).

Брой знаци

През 17 век Лайбниц и Нютон откриват анализа на безкрайно малките величини, което прави възможно по-прогресивното изчисляване на пи – чрез степенни редове и интеграли. Самият Нютон изчислява 16 знака след десетичната запетая, но не споменава това в книгите си - това става известно след смъртта му. Нютон твърди, че е изчислил Пи само от скука.

Приблизително по същото време други по-малко известни математици също се издигнаха, като предложиха нови формули за изчисляване на числото Pi чрез тригонометрични функции.

Например, ето формулата, използвана за изчисляване на Пи от учителя по астрономия Джон Мачин през 1706 г.: PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239). Използвайки методи за анализ, Мачин изведе от тази формула числото Pi със сто знака след десетичната запетая.

Между другото, през същата 1706 г. числото Пи получава официално обозначение под формата на гръцка буква: то е използвано от Уилям Джоунс в работата му по математика, вземайки първата буква на гръцката дума „периферия“, което означава „кръг“. Роден през 1707 г., великият Леонхард Ойлер популяризира това обозначение, което сега е известно на всеки ученик.

Преди ерата на компютрите математиците са се занимавали с изчисляването на възможно най-много знаци. В тази връзка понякога имаше любопитства. Математик-любител У. Шанкс изчислява 707 цифри от пи през 1875 година. Тези седемстотин знака са увековечени на стената на Двореца на откритията в Париж през 1937 г. Въпреки това, девет години по-късно, наблюдателни математици открили, че само първите 527 знака са били правилно изчислени. Музеят трябваше да направи прилични разходи, за да поправи грешката - сега всички числа са верни.

Когато се появиха компютрите, броят на цифрите на Пи започна да се изчислява в напълно невъобразими редове.

Един от първите електронни компютри ENIAC, създаден през 1946 г., който беше огромен и генерира толкова много топлина, че стаята се затопли до 50 градуса по Целзий, изчисли първите 2037 цифри на Пи. Това изчисление отне на колата 70 часа.

С усъвършенстването на компютрите нашите познания за пи отиваха все по-далеч и по-далеч в безкрайността. През 1958 г. са изчислени 10 хиляди цифри от числото. През 1987 г. японците изчисляват 10 013 395 знака. През 2011 г. японският изследовател Шигеру Хондо премина границата от 10 трилиона.

Къде другаде можете да намерите Пи?

Така че често познанията ни за числото Пи остават на училищно ниво и знаем със сигурност, че това число е незаменимо на първо място в геометрията.

В допълнение към формулите за дължината и площта на кръг, числото Pi се използва във формулите за елипси, сфери, конуси, цилиндри, елипсоиди и т.н.: някъде формулите са прости и лесни за запомняне и някъде те съдържат много сложни интеграли.

Тогава можем да срещнем числото Pi в математическите формули, където на пръв поглед геометрията не се вижда. Например, неопределеният интеграл от 1/(1-x^2) е Pi.

Пи често се използва при анализ на сериите. Например, ето една проста серия, която се сближава с пи:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = PI/4

Сред сериите пи се появява най-неочаквано в добре познатата дзета функция на Риман. Няма да е възможно да се каже за това накратко, ще кажем само, че някой ден числото Pi ще помогне да се намери формула за изчисляване на прости числа.

И е абсолютно невероятно: Пи се появява в две от най-красивите "кралски" формули на математиката - формулата на Стърлинг (която помага да се намери приблизителната стойност на факториала и гама функцията) и формулата на Ойлер (която свързва колкото пет математически константи).

Най-неочакваното откритие обаче очакваше математиците в теорията на вероятностите. Пи също е там.

Например, вероятността две числа да са относително прости е 6/PI^2.

Пи се появява в проблема за хвърляне на игла на Буфон от 18-ти век: каква е вероятността иглата, хвърлена върху лист хартия с шаблон, да пресече една от линиите. Ако дължината на иглата е L, а разстоянието между линиите е L и r > L, тогава можем приблизително да изчислим стойността на Pi, използвайки формулата за вероятност 2L/rPI. Само си представете - можем да получим Pi от случайни събития. И между другото, Pi присъства в нормалното разпределение на вероятностите, се появява в уравнението на известната Гаусова крива. Това означава ли, че пи е дори по-фундаментално от просто съотношението на обиколката на окръжността към неговия диаметър?

Можем да срещнем Пи и във физиката. Пи се появява в закона на Кулон, който описва силата на взаимодействие между два заряда, в третия закон на Кеплер, който показва периода на въртене на планета около Слънцето и дори се среща в подреждането на електронните орбитали на водороден атом. И отново, най-невероятното е, че числото Пи е скрито във формулата на принципа на неопределеността на Хайзенберг, основният закон на квантовата физика.

Тайните на Пи

В романа на Карл Сейгън „Контакт“, който е базиран на едноименния филм, извънземните информират героинята, че сред знаците на Пи има тайно послание от Бог. От определена позиция числата в числото престават да бъдат произволни и представляват код, в който са записани всички тайни на Вселената.

Този роман всъщност отразява загадката, която занимава умовете на математиците от цялата планета: числото Пи нормално ли е число, в което цифрите са разпръснати със същата честота, или има нещо нередно с това число. И въпреки че учените са склонни към първия вариант (но не могат да го докажат), Пи изглежда много мистериозен. Веднъж един японец изчисли колко пъти числата от 0 до 9 се срещат в първите трилион цифри на пи. И видях, че числата 2, 4 и 8 са по-често срещани от останалите. Това може да е един от намеците, че Pi не е съвсем нормално и числата в него наистина не са случайни.

Нека си спомним всичко, което прочетохме по-горе и да се запитаме кое друго ирационално и трансцендентно число е толкова често срещано в реалния свят?

И има други странности в магазина. Например, сборът от първите двадесет цифри на Pi е 20, а сборът от първите 144 цифри е равен на "числото на звяра" 666.

Главният герой на американския телевизионен сериал Заподозреният, професор Финч, каза на студентите, че поради безкрайността на пи в него може да се появи всяка комбинация от числа, от числата на датата на раждане до по-сложни числа. Например, на 762-ра позиция има последователност от шест деветки. Тази позиция се нарича точката на Файнман, на името на известния физик, който забеляза тази интересна комбинация.

Знаем също, че числото Pi съдържа последователността 0123456789, но се намира на 17 387 594 880-та цифра.

Всичко това означава, че в безкрайността на Пи можете да намерите не само интересни комбинации от числа, но и кодирания текст на "Война и мир", Библията и дори Главната тайна на Вселената, ако съществува.

Между другото, относно Библията. Известният популяризатор на математиката Мартин Гарднър през 1966 г. заявява, че милионният знак на числото Пи (по това време все още неизвестен) ще бъде числото 5. Той обяснява изчисленията си с факта, че в английската версия на Библията, през 3-та книга, 14-та глава, 16-м стих (3-14-16) седмата дума съдържа пет букви. Цифрата за милион е получена осем години по-късно. Беше номер пет.

Струва ли си след това да се твърди, че числото пи е случайно?

Никога не съм мислил за историята на произхода на Пи. Четох доста интересни факти за Лайбниц и Нютон. Нютон е изчислил 16 знака след десетичната запетая, но не е казал в книгата си. Благодаря за добрата статия.

Отговарям

Веднъж прочетох във форум за магия, че числото ПИ има не само магическо значение, но и ритуално. Много ритуали са свързани с това число и са били използвани от магьосниците от древни времена от откриването на това число.

Отговарям

сборът от първите двадесет цифри на пи е 20... Това сериозно ли е? В двоична система, нали?

Отговарям

1. Отговарям

   1. 100 не е сборът от първите 20 цифри, а 20 знака след десетичната запетая.

      Отговарям

1. с диаметър = 1, обиколката = pi и следователно кръгът никога няма да се затвори!

   Отговарям

НОМЕР стр - съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър, - стойността е постоянна и не зависи от размера на окръжността. Числото, изразяващо тази връзка, обикновено се обозначава с гръцката буква 241 (от "perijereia" - кръг, периферия). Това обозначение става често срещано след работата на Леонхард Ойлер, позовавайки се на 1736 г., но за първи път е използвано от Уилям Джоунс (1675–1749) през 1706 г. Като всяко ирационално число, то е представено от безкрайна непериодична десетична дроб:

стр= 3.141592653589793238462643... Нуждите от практически изчисления, свързани с кръгове и кръгли тела, ни принудиха да търсим 241 приближения, използвайки рационални числа още в древни времена. Информация, че обиколката е точно три пъти по-дълга от диаметъра, се намира в клинописните плочки от Древна Месопотамия. Една и съща числова стойност стрима и в текста на Библията: „И той направи море от лята мед, от край до край, то беше десет лакътя, напълно кръгло, пет лакътя високо, и връв от тридесет лакътя го прегърна“ (1 Царе 7,23). Същото направиха и древните китайци. Но вече през 2 хиляди пр.н.е. древните египтяни са използвали по-точна стойност за числото 241, което се получава от формулата за площта на кръг с диаметър д:

Това правило от 50-ия проблем на папируса на Ринд съответства на стойността 4(8/9) 2 » 3.1605. Папирусът Ринда, намерен през 1858 г., е кръстен на първия си собственик, копиран е от писаря Ахмес около 1650 г. пр. н. е., авторът на оригинала е неизвестен, установено е само, че текстът е създаден през втората половина на 19 век. век. пр.н.е. Въпреки че как египтяните са получили самата формула не е ясно от контекста. В т. нар. московски папирус, който е копиран от определен ученик между 1800 и 1600 г. пр.н.е. от по-стар текст, около 1900 г. пр. н. е., има друг интересен проблем за изчисляване на повърхността на кошница "с отвор 4½". Не е известно каква форма е била кошницата, но всички изследователи са съгласни, че тук за номера стрвзема се същата приблизителна стойност 4(8/9) 2.

За да разберем как древните учени са получили този или онзи резултат, трябва да се опитаме да решим проблема, използвайки само знанията и методите за изчисление от онова време. Точно това правят изследователите на древни текстове, но решенията, които успяват да намерят, не са непременно „едни и същи“. Много често се предлагат няколко решения за една задача, всеки може да избере според вкуса си, но никой не може да каже, че е използвано в древността. По отношение на площта на окръжността хипотезата на A.E. Raik, автор на множество книги по история на математиката, изглежда правдоподобна: площта на кръг с диаметър дсе сравнява с площта на квадрата, описан около него, от който на свой ред се отстраняват малки квадратчета със страни (фиг. 1). В нашата нотация изчисленията ще изглеждат така: в първо приближение, площта на кръга Сравна на разликата между площта на квадрат със страна ди общата площ от четири малки квадрата НОс парти д:

Тази хипотеза се подкрепя от подобни изчисления в един от проблемите на Московския папирус, където се предлага да се изчисли

От 6 в. пр.н.е. математиката се развива бързо в древна Гърция. Древногръцките геометри са тези, които стриктно доказаха, че обиколката на кръг е пропорционална на неговия диаметър ( л = 2стр Р; Ре радиусът на окръжността, л -дължината му), а площта на окръжността е половината от произведението на обиколката и радиуса:

С = ½ л Р = стр Р 2 .

Това доказателство се приписва на Евдокс от Книд и Архимед.

През 3 век пр.н.е. Архимед в писмена форма Относно измерването на кръгизчислява периметрите на правилните многоъгълници, вписани в кръг и описани около него (фиг. 2) - от 6- до 96-ъгълник. Така той установил, че номерът стрлежи между 3 10/71 и 3 1/7, т.е. 3,14084< стр < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (стр» 3.14166) е намерен от известния астроном, създателят на тригонометрията, Клавдий Птолемей (2 век), но не е влязъл в употреба.

Индийците и арабите вярваха в това стр= . Тази стойност дава и индийският математик Брахмагупта (598 - ок. 660). В Китай учените през 3 век. използва стойността 3 7/50, която е по-лоша от приближението на Архимед, но през втората половина на V в. Зу Чун Джи (ок. 430 - ок. 501) получава за стрприблизително 355/113 ( стр» 3.1415927). То остава неизвестно за европейците и отново е открито от холандския математик Адриан Антонис едва през 1585 г. Това приближение дава грешка само на седмия знак след десетичната запетая.

Търсенето на по-точно приближение стрпродължи по-нататък. Например ал-Каши (първата половина на 15 век) в Трактат за кръга(1427) изчисли 17 знака след десетичната запетая стр. В Европа същото значение е открито през 1597 г. За да направи това, той трябваше да изчисли страната на обикновен 800 335 168-ъгълник. Холандският учен Лудолф Ван Зейлен (1540–1610) намира за него 32 правилни десетични знака (публикувано посмъртно през 1615 г.), това приближение се нарича числото на Лудолф.

номер стрсе появява не само при решаването на геометрични задачи. От времето на Ф. Виета (1540–1603) търсенето на границите на някои аритметични поредици, съставени по прости закони, е довело до едно и също число стр. Поради тази причина при определяне на броя стрвзеха участие почти всички известни математици: Ф. Виет, Х. Хюйгенс, Дж. Уолис, Г. В. Лайбниц, Л. Ойлер. Те получиха различни изрази за 241 под формата на безкраен продукт, сбор от редица, безкрайна дроб.

Например през 1593 г. Ф. Виет (1540–1603) извежда формулата

През 1658 г. англичанинът Уилям Брункър (1620–1684) намира представяне на числото стркато безкрайна продължителна дроб

обаче не е известно как е стигнал до този резултат.

През 1665 г. Джон Уолис (1616–1703) доказва това

Тази формула носи неговото име. За практическото определяне на числото 241 то е от малка полза, но е полезно в различни теоретични разсъждения. Той влезе в историята на науката като един от първите примери за безкрайни произведения.

Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646–1716) установява следната формула през 1673 г.:

изразяващо число стр/4 като сбор от редовете. Тази серия обаче се сближава много бавно. Да изчисля стрс точност до десет цифри, би било необходимо, както показа Исак Нютон, да се намери сборът от 5 милиарда числа и да се прекарат около хиляда години непрекъсната работа върху това.

Лондонският математик Джон Мачин (1680–1751) през 1706 г., прилагайки формулата

получи израза

който все още се счита за един от най-добрите за приблизително изчисление стр. Отнема само няколко часа ръчно броене, за да се намерят същите десет точни знака след десетичната запетая. Самият Джон Мачин изчисли стрсъс 100 правилни знака.

Използване на същия ред за arctg хи формули

числова стойност стрполучени на компютър с точност до сто хиляди знака след десетичната запетая. Такива изчисления представляват интерес във връзка с концепцията за случайни и псевдослучайни числа. Статистическа обработка на подреден набор от определен брой знаци стрпоказва, че има много от характеристиките на произволна последователност.

Има няколко забавни начина да запомните число стрпо-точно от 3.14. Например, след като сте научили следното четиристишие, можете лесно да назовете седем знака след десетичната запетая стр:

Просто трябва да опитате

И запомнете всичко както е:

Три, четиринадесет, петнадесет

деветдесет две и шест.

(С.Бобров Магически двурог)

Преброяването на броя на буквите във всяка дума от следните фрази също дава стойността на числото стр:

„Какво знам за кръговете?“ ( стр» 3.1416). Тази поговорка е предложена от Ya.I. Perelman.

„Значи знам номера, наречен Пи. - Много добре!" ( стр» 3.1415927).

„Научете и знайте в числото, известно зад числото, как да забележите късмет“ ( стр» 3.14159265359).

Учителят на едно от московските училища излезе с репликата: „Знам това и го помня отлично“, а ученикът му състави смешно продължение: „Много знаци са излишни за мен, напразно“. Този куплет ви позволява да дефинирате 12 цифри.

И ето как изглеждат 101 цифри от число стрбез закръгляване

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

В днешно време с помощта на компютър стойността на число стризчислено с милиони правилни цифри, но такава прецизност не е необходима при никакви изчисления. Но възможността за аналитично определяне на броя ,

В последната формула числителят съдържа всички прости числа и знаменателите се различават от тях с едно, а знаменателят е по-голям от числителя, ако има формата 4 н+ 1 и по-малко в противен случай.

Въпреки че от края на 16 век, т.е. откакто се формират самите понятия за рационални и ирационални числа, много учени са убедени, че стр- числото е ирационално, но едва през 1766 г. немският математик Йохан Хайнрих Ламберт (1728–1777), базирайки се на връзката между експоненциалната и тригонометричната функции, открита от Ойлер, строго доказва това. номер стрне може да се представи като проста дроб, без значение колко големи са числителят и знаменателят.

През 1882 г. професорът в Мюнхенския университет Карл Луис Фердинанд Линдеман (1852–1939), използвайки резултатите, получени от френския математик К. Ермите, доказва, че стр- трансцендентално число, т.е. той не е корен на нито едно алгебрично уравнение a n x n + a n– 1 x n– 1 + … + а 1 х + а 0 = 0 с цели коефициенти. Това доказателство сложи край на историята на най-стария математически проблем за квадратурата на окръжност. В продължение на хиляди години този проблем не отстъпва на усилията на математиците, изразът "квадратура на кръга" се е превърнал в синоним на нерешим проблем. И цялата работа се оказа в трансценденталната природа на числото стр.

В памет на това откритие в залата пред математическата аудитория на Мюнхенския университет е издигнат бюст на Линдеман. На пиедестала под неговото име има кръг, пресечен от квадрат с равна площ, вътре в който е вписана буквата стр.

Марина Федосова

Въведение

Статията съдържа математически формули, така че за четене отидете на сайта за правилното им показване.Числото \(\pi \) има богата история. Тази константа означава съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър.

В науката числото \(\pi \) се използва във всяко изчисление, където има кръгове. Започвайки от обема на кутия сода, до орбитите на спътниците. И не само кръгове. Всъщност при изследването на кривите линии числото \(\pi \) помага да се разберат периодичните и осцилаторните системи. Например електромагнитни вълни и дори музика.

През 1706 г. в книгата „Ново въведение в математиката“ на британския учен Уилям Джоунс (1675-1749) буквата на гръцката азбука \(\pi\) е използвана за първи път за означаване на числото 3.141592. .. Това обозначение идва от началната буква на гръцките думи περιϕερεια – кръг, периферия и περιµετρoς – периметър. Общоприетото обозначение става след работата на Леонхард Ойлер през 1737 г.

геометричен период

Постоянството на съотношението на дължината на всеки кръг към неговия диаметър е забелязано от дълго време. Жителите на Месопотамия са използвали доста грубо приближение на числото \(\pi \). Както следва от древните проблеми, те използват стойността \(\pi ≈ 3 \) в своите изчисления.

По-точна стойност за \(\pi \) е била използвана от древните египтяни. В Лондон и Ню Йорк се съхраняват две части от древен египетски папирус, който се нарича „папирусът на Ринда”. Папирусът е съставен от писаря Армес между около 2000-1700 г. пр. н. е. пр.н.е. Армс пише в своя папирус, че площта на кръг с радиус \(r\) е равна на площта на квадрат със страна, равна на \(\frac(8)(9) \) от диаметъра на окръжността \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), т.е. \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Следователно \(\pi = 3,16\).

Древногръцкият математик Архимед (287-212 г. пр. н. е.) за първи път поставя задачата да измерва окръжност на научна основа. Той получи резултата \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Методът е доста прост, но при липса на готови таблици с тригонометрични функции ще е необходимо извличане на корен. В допълнение, приближението до \(\pi \) се сближава много бавно: с всяка итерация грешката намалява само с коефициент четири.

Аналитичен период

Въпреки това до средата на 17-ти век всички опити на европейски учени да изчислят числото \ (\ pi \) се свеждат до увеличаване на страните на многоъгълника. Например, холандският математик Лудолф ван Зейлен (1540-1610) изчислява приблизителната стойност на числото \(\pi \) с точност до 20 десетични цифри.

Отне му 10 години, за да разбере. Чрез удвояване на броя на страните на вписани и описани многоъгълници според метода на Архимед, той измисли \(60 \cdot 2^(29) \) - ъгъл, за да изчисли \(\pi \) с 20 десетична места.

След смъртта му в ръкописите му са открити още 15 точни цифри от числото \(\pi \). Лудолф завещава, че знаците, които е открил, са издълбани върху надгробната му плоча. В чест на него числото \(\pi \) понякога е наричано "числото на Лудолф" или "константата на Лудолф".

Един от първите, които въвеждат метод, различен от този на Архимед, е Франсоа Виет (1540-1603). Той стигна до резултата, че кръг, чийто диаметър е равен на единица, има площ:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) ) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

От друга страна, площта е \(\frac(\pi)(4) \). Замествайки и опростявайки израза, можем да получим следната формула за безкраен продукт за изчисляване на приблизителната стойност \(\frac(\pi)(2) \):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Получената формула е първият точен аналитичен израз за числото \(\pi \). В допълнение към тази формула, Виет, използвайки метода на Архимед, даде с помощта на вписани и описани многоъгълници, започващи с 6-ъгълник и завършващи с многоъгълник със страни \(2^(16) \cdot 6 \), приближение на числото \(\pi \) с 9 правилни знака.

Английският математик Уилям Брункър (1620-1684) използва непрекъснатата дроб, за да изчисли \(\frac(\pi)(4)\), както следва:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Този метод за изчисляване на апроксимацията на числото \(\frac(4)(\pi) \) изисква доста изчисления, за да се получи поне малко приближение.

Стойностите, получени в резултат на заместването, са или по-големи, или по-малки от числото \(\pi \) и всеки път по-близо до истинската стойност, но получаването на стойността 3,141592 ще изисква доста голямо изчисление.

Друг английски математик Джон Мачин (1686-1751) през 1706 г. използва формулата, извлечена от Лайбниц през 1673 г., за да изчисли числото \(\pi \) със 100 знака след десетичната запетая и го прилага, както следва:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

Поредицата се сближава бързо и може да се използва за изчисляване на числото \(\pi \) с голяма точност. Формули от този тип са били използвани за поставяне на няколко рекорда в компютърната епоха.

През 17 век с началото на периода на математиката с променлива величина започва нов етап в изчисляването на \(\pi \). Германският математик Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) през 1673 г. открива разширяването на числото \(\pi \), като в общ вид то може да се запише като следната безкрайна серия:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

Поредицата се получава чрез заместване на x = 1 в \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) - \cdots\)

Леонхард Ойлер развива идеята на Лайбниц в работата си за използването на редове за arctg x при изчисляване на числото \(\pi\). Трактатът „De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi“ (За различните методи за изразяване на квадратурата на окръжност с приблизителни числа), написан през 1738 г., обсъжда методи за подобряване на изчисленията с помощта на формулата на Лайбниц.

Ойлер пише, че дъговата допирателна серия ще се сближи по-бързо, ако аргументът клони към нула. За \(x = 1\) сближаването на редицата е много бавно: за да се изчисли с точност до 100 цифри, е необходимо да се добавят \(10^(50)\) членове на реда. Можете да ускорите изчисленията, като намалите стойността на аргумента. Ако вземем \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), тогава получаваме серията

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 - \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Според Ойлер, ако вземем 210 члена от тази серия, получаваме 100 правилни цифри от числото. Получената серия е неудобна, защото е необходимо да се знае достатъчно точна стойност на ирационалното число \(\sqrt(3)\). Също така, в своите изчисления, Ойлер използва разширения на дъговите допирателни в сумата от дъговите тангенси на по-малки аргументи:

\[където x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Далеч не са публикувани всички формули за изчисляване на \(\pi \), които Ойлер е използвал в своите тетрадки. В публикувани произведения и тетрадки той разглежда 3 различни серии за изчисляване на дъговата тангенс и също така прави много изявления относно броя на сумируемите термини, необходими за получаване на приблизителна стойност \(\pi \) с дадена точност.

През следващите години прецизирането на стойността на числото \(\pi \) става все по-бързо и по-бързо. Така например през 1794 г. Джордж Вега (1754-1802) вече идентифицира 140 знака, от които само 136 се оказват верни.

Период на изчисление

20-ти век беше белязан от напълно нов етап в изчисляването на числото \(\pi\). Индийският математик Шриниваса Рамануджан (1887-1920) открива много нови формули за \(\pi \). През 1910 г. той получава формула за изчисляване на \(\pi \) чрез разширяване на допирателната на дъгата в серия на Тейлър:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

При k=100 се постига точност от 600 правилни цифри на числото \(\pi \).

Появата на компютрите направи възможно значително повишаване на точността на получените стойности за по-кратък период от време. През 1949 г., използвайки ENIAC, група учени, водени от Джон фон Нойман (1903-1957), получиха 2037 знака след десетичната запетая от \(\pi \) само за 70 часа. Дейвид и Григорий Чудновски през 1987 г. получават формула, с която успяват да поставят няколко рекорда в изчислението \(\pi \):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Всеки член на серията дава 14 цифри. През 1989 г. са получени 1 011 196 691 знака след десетичната запетая. Тази формула е много подходяща за изчисляване на \(\pi \) на персонални компютри. В момента братята са професори в Политехническия институт на Нюйоркския университет.

Важно скорошно развитие беше откриването на формулата през 1997 г. от Саймън Плъф. Позволява ви да извлечете всяка шестнадесетична цифра от числото \(\pi \), без да изчислявате предишните. Формулата се нарича "формула на Бейли-Борвейн-Плъф" в чест на авторите на статията, където формулата е публикувана за първи път. Изглежда така:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) - \frac(2)(8k+4 ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

През 2006 г. Саймън, използвайки PSLQ, измисли някои хубави формули за изчисление \(\pi \). Например,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) - 1) - \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

където \(q = e^(\pi)\). През 2009 г. японски учени, използвайки суперкомпютъра T2K Tsukuba System, получиха числото \(\pi \) с 2 576 980 377 524 знака след десетичната запетая. Изчисленията отнеха 73 часа 36 минути. Компютърът е оборудван с 640 четириядрени процесора AMD Opteron, които осигуряват производителност от 95 трилиона операции в секунда.

Следващото постижение в изчисляването на \(\pi \) принадлежи на френския програмист Фабрис Белард, който в края на 2009 г. на своя персонален компютър, работещ с Fedora 10, постави рекорд, като изчисли 2 699 999 990 000 знака след десетичната запетая на числото \(\pi \). През последните 14 години това е първият световен рекорд, поставен без използване на суперкомпютър. За висока производителност Фабрис използва формулата на братя Чудновски. Общо изчислението отне 131 дни (103 дни на изчисление и 13 дни на проверка). Постижението на Белар показа, че за подобни изчисления не е необходимо да има суперкомпютър.

Само шест месеца по-късно рекордът на Франсоа е счупен от инженерите Александър И и Сингера Кондо. За да се постави рекорд от 5 трилиона знака след десетичната запетая \(\pi \), беше използван и персонален компютър, но с по-впечатляващи характеристики: два процесора Intel Xeon X5680 на 3,33 GHz, 96 GB RAM, 38 TB дискова памет и работа система Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. За изчисления Александър и Сингер използваха формулата на братя Чудновски. Процесът на изчисление отне 90 дни и 22 TB дисково пространство. През 2011 г. те поставиха нов рекорд, като изчислиха 10 трилиона знака след десетичната запетая за числото \(\pi \). Изчисленията се извършват на същия компютър, който е поставил предишния им рекорд и са отнели общо 371 дни. В края на 2013 г. Александър и Сингеру подобриха рекорда до 12,1 трилиона цифри от числото \(\pi \), което им отне само 94 дни за изчисляване. Това подобрение в производителността се постига чрез оптимизиране на производителността на софтуера, увеличаване на броя на процесорните ядра и значително подобряване на толерантността към грешки на софтуера.

Настоящият рекорд е този на Александър И и Сингеру Кондо, който е 12,1 трилиона знака след десетичната запетая от \(\pi \).

По този начин ние разгледахме методите за изчисляване на числото \(\pi \), използвани в древни времена, аналитични методи, а също така разгледахме съвременните методи и записи за изчисляване на числото \(\pi \) на компютри.

Списък с източници

1. Жуков A.V. Вездесъщото число Пи - М.: Издателство LKI, 2007 - 216 с.
2. Ф. Рудио. Върху квадратурата на окръжността, с приложение към историята на въпроса, съставено от Ф. Рудио. / Рудьо Ф. - М .: ОНТИ НКТП СССР, 1936. - 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - Springer, 2001. - 270с.
4. Шухман, Е.В. Приблизително изчисляване на Pi с помощта на серия за arctg x в публикувани и непубликувани произведения на Леонхард Ойлер / E.V. Шухман. - История на науката и техниката, 2008 - бр.4. - С. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuliaturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 - Т. 9 - 222-236 с.
6. Шумихин, С. Число Пи. История на 4000 години / С. Шумихин, А. Шумихина. — М.: Ексмо, 2011. — 192с.
7. Боруейн, Дж.М. Рамануджан и Пи. / Borwein, J.M., Borwein P.B. В света на науката. 1988 - No4. - С. 58-66.
8. Алекс Йи. свят на числата. Режим на достъп: numberworld.org

Харесвахте?

казвам

13 януари 2017 г

***

Какво е общото между колело от Lada Priora, брачна халка и чинийка на вашата котка? Разбира се, ще кажете красота и стил, но смея да споря с вас. Пи!Това е число, което обединява всички кръгове, кръгове и закръгленост, които включват по-специално пръстена на майка ми и колелото от любимата кола на баща ми и дори чинийката на моята любима котка Мурзик. Готов съм да се обзаложа, че в класацията на най-популярните физически и математически константи числото Pi несъмнено ще заеме първия ред. Но какво се крие зад това? Може би някакви ужасни проклятия на математиците? Нека се опитаме да разберем този въпрос.

Какво е числото "Пи" и откъде идва?

Модерно обозначение на номера π (пи)се появява благодарение на английския математик Джонсън през 1706г. Това е първата буква на гръцката дума περιφέρεια (периферия или обиколка). За тези, които са преминали през математиката дълго време, а освен това и минало, припомняме, че числото Pi е съотношението на обиколката на окръжността към неговия диаметър. Стойността е константа, тоест е постоянна за всяка окръжност, независимо от нейния радиус. Хората знаят за това от древни времена. Така че в древен Египет числото Пи е взето равно на съотношението 256/81, а във ведическите текстове се дава стойността 339/108, докато Архимед предлага съотношението 22/7. Но нито тези, нито много други начини за изразяване на числото пи дадоха точен резултат.

Оказа се, че числото Пи е трансцендентно, съответно, и ирационално. Това означава, че не може да се представи като проста дроб. Ако се изрази в десетичната запетая, тогава последователността от цифри след десетичната запетая ще се втурне до безкрайност, освен това без периодично да се повтаря. Какво означава всичко това? Много просто. Искате ли да знаете телефонния номер на момичето, което харесвате? Със сигурност може да се намери в последователността от цифри след десетичната запетая на Pi.

Телефонът може да се види тук ↓

Пи число до 10 000 знака.

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Не го намерихте? После гледай.

По принцип това може да бъде не само телефонен номер, но и всякаква информация, кодирана с помощта на числа. Например, ако представим всички произведения на Александър Сергеевич Пушкин в цифров вид, тогава те са били съхранени в числото Пи още преди той да ги напише, дори преди да се роди. По принцип те все още се съхраняват там. Между другото, проклятията на математиците в π присъстват и не само математици. С една дума, Пи има всичко, дори мисли, които ще посетят светлата ви глава утре, вдругиден, след година или може би след две. Това е много трудно за вярване, но дори и да се преструваме, че вярваме, ще бъде още по-трудно да вземем информация от там и да я дешифрираме. Така че вместо да се ровите в тези числа, може да е по-лесно да се обърнете към момичето, което харесвате, и да я помолите за номер? .. Но за тези, които не търсят лесни начини, добре, или просто се интересуват какво е числото Пи, Предлагам няколко начина за изчисления. Разчитайте на здраве.

Каква е стойността на Pi? Методи за изчисляването му:

1. Експериментален метод.Ако pi е съотношението на обиколката на окръжността към неговия диаметър, тогава може би първият и най-очевиден начин да намерим нашата мистериозна константа би бил ръчно да направим всички измервания и да изчислим pi по формулата π=l/d. Където l е обиколката на окръжността, а d е нейният диаметър. Всичко е много просто, просто трябва да се въоръжите с конец, за да определите обиколката, линийка за намиране на диаметъра и всъщност дължината на самата нишка и калкулатор, ако имате проблеми с разделянето на колона . Тиган или буркан с краставици могат да действат като измерена проба, няма значение, основното? така че основата да е кръг.

Разглежданият метод за изчисление е най-простият, но, за съжаление, той има два съществени недостатъка, които влияят на точността на полученото число Pi. Първо, грешката на измервателните инструменти (в нашия случай това е линийка с резба), и второ, няма гаранция, че кръгът, който измерваме, ще има правилната форма. Следователно не е изненадващо, че математиката ни е дала много други методи за изчисляване на π, при които няма нужда да правим точни измервания.

2. Поредица на Лайбниц.Има няколко безкрайни серии, които ви позволяват да изчислите точно броя на пи до голям брой десетични знаци. Една от най-простите серии е поредицата на Лайбниц. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
Просто е: вземаме дроби с 4 в числителя (това е този отгоре) и едно число от поредицата от нечетни числа в знаменателя (това е това отдолу), последователно ги събираме и изваждаме едно с друго и вземете числото Пи. Колкото повече итерации или повторения на нашите прости действия, толкова по-точен е резултатът. Прост, но не ефективен, между другото, са необходими 500 000 повторения, за да се получи точната стойност на Pi до десет знака след десетичната запетая. Тоест ще трябва да разделим злополучните четири до 500 000 пъти, а в допълнение към това ще трябва да извадим и добавим получените резултати 500 000 пъти. Искам да опитам?

3. Поредицата Нилаканта.Нямате време да се занимавате с Лайбниц? Има алтернатива. Серията Nilakanta, въпреки че е малко по-сложна, ни позволява да постигнем желания резултат по-бързо. π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) ...Мисля, че ако внимателно разгледате дадения първоначален фрагмент от поредицата, всичко става ясно, а коментарите са излишни. По това отиваме по-нататък.

4. Метод Монте КарлоДоста интересен метод за изчисляване на пи е методът на Монте Карло. Такова екстравагантно име той получи в чест на едноименния град в кралство Монако. И причината за това е случайна. Не, не е наречен случайно, просто методът се основава на произволни числа, а какво по-случайно от числата, които попадат на рулетките на казиното в Монте Карло? Изчисляването на пи не е единственото приложение на този метод, тъй като през петдесетте години той е бил използван при изчисленията на водородната бомба. Но да не се отклоняваме.

Да вземем квадрат със страна равна на 2р, и впишете в него окръжност с радиус r. Сега, ако произволно поставите точки в квадрат, тогава вероятността Пче точка се вписва в окръжност е съотношението на площите на окръжността и квадрата. P = S cr / S q \u003d 2πr 2 / (2r) 2 = π / 4.

Сега от тук изразяваме числото Pi π=4P. Остава само да се получат експериментални данни и да се намери вероятността P като съотношението на попаденията в кръга N крда удари квадрата N кв.. Като цяло формулата за изчисление ще изглежда така: π=4N кр / N кв.

Бих искал да отбележа, че за да приложите този метод, не е необходимо да отидете в казиното, достатъчно е да използвате всеки повече или по-малко приличен език за програмиране. Е, точността на резултатите ще зависи от броя на зададените точки, съответно колкото повече, толкова по-точни. Желая ти късмет 😉

Тау число (вместо заключение).

Хората, които са далеч от математиката, най-вероятно не знаят, но се случи така, че числото Пи има брат, който е два пъти по-голям от него. Това е числото Tau(τ) и ако Pi е съотношението на обиколката към диаметъра, тогава Tau е съотношението на тази дължина към радиуса. И днес има предложения от някои математици да изоставят числото Pi и да го заменят с Tau, тъй като това в много отношения е по-удобно. Но засега това са само предложения и както каза Лев Давидович Ландау: „Нова теория започва да доминира, когато привържениците на старата умират“.