Pifagor teoremasi to'g'ridan-to'g'ri. Pifagor teoremasini isbotlashning turli usullari

Ijodkorlik potentsiali odatda tabiiy ilmiy tahlil, amaliy yondashuv va formulalar va raqamlarning quruq tilini qoldirib, gumanitar fanlarga tegishli. Matematikani gumanitar fan sifatida tasniflash mumkin emas. Ammo "barcha fanlar malikasi" dagi ijodkorliksiz uzoqqa bormaysiz - odamlar bu haqda uzoq vaqtdan beri bilishadi. Masalan, Pifagor davridan beri.

Maktab darsliklarida, afsuski, odatda, matematikada nafaqat teoremalar, aksiomalar va formulalarni siqib chiqarish muhimligi tushuntirilmaydi. Uning asosiy tamoyillarini tushunish va his qilish muhimdir. Shu bilan birga, fikringizni klişe va oddiy haqiqatlardan ozod qilishga harakat qiling - faqat shunday sharoitda barcha buyuk kashfiyotlar tug'iladi.

Bunday kashfiyotlar orasida bugungi kunda biz Pifagor teoremasi deb ataladigan kashfiyotlar mavjud. Uning yordami bilan biz matematika nafaqat qiziqarli, balki qiziqarli bo'lishi kerakligini ko'rsatishga harakat qilamiz. Va bu sarguzasht nafaqat qalin ko'zoynakli nerds uchun, balki aqli kuchli va ruhi kuchli har bir kishi uchun mos keladi.

Masala tarixidan

To‘g‘rirog‘i, teorema “Pifagor teoremasi” deb atalsa ham, Pifagorning o‘zi uni kashf etmagan. To'g'ri burchakli uchburchak va uning maxsus xususiyatlari undan ancha oldin o'rganilgan. Bu masala bo'yicha ikkita qutbli nuqtai nazar mavjud. Bir versiyaga ko'ra, Pifagor birinchi bo'lib teoremaning to'liq isbotini topdi. Boshqasiga ko'ra, dalil Pifagor muallifligiga tegishli emas.

Bugun endi kim haq va kim nohaqligini tekshira olmaysiz. Ma'lumki, Pifagorning isboti, agar u mavjud bo'lsa, saqlanib qolmagan. Biroq, Evklid elementlarining mashhur isboti Pifagorga tegishli bo'lishi mumkinligi haqida takliflar mavjud va Evklid buni faqat qayd etgan.

To‘g‘ri burchakli uchburchak bilan bog‘liq muammolar fir’avn Amenemxet I davridagi Misr manbalarida, shoh Hammurapi hukmronligi davridagi Bobil loy lavhalarida, qadimgi hindlarning “Sulva Sutra” risolasida va qadimgi Xitoy asarida “Chjou”da uchraydi. -bi suan jin.

Ko'rib turganingizdek, Pifagor teoremasi qadim zamonlardan beri matematiklarning ongini band qilgan. Bugungi kunda mavjud bo'lgan taxminan 367 ta turli dalillar tasdiq sifatida xizmat qiladi. Bu borada boshqa hech bir teorema u bilan raqobatlasha olmaydi. E'tiborli dalillar mualliflari orasida Leonardo da Vinchi va AQShning 20-prezidenti Jeyms Garfild bor. Bularning barchasi ushbu teoremaning matematika uchun o'ta muhimligi haqida gapiradi: geometriya teoremalarining aksariyati undan olingan yoki u yoki bu tarzda u bilan bog'liq.

Pifagor teoremasining isbotlari

Maktab darsliklarida asosan algebraik dalillar keltiriladi. Ammo teoremaning mohiyati geometriyada, shuning uchun keling, avvalo shu fanga asoslangan mashhur teoremaning isbotlarini ko'rib chiqaylik.

Isbot 1

To'g'ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasining eng oddiy isboti uchun siz ideal shartlarni qo'yishingiz kerak: uchburchak nafaqat to'g'ri burchakli, balki teng burchakli ham bo'lsin. Bu qadimgi matematiklar tomonidan ko'rib chiqilgan shunday uchburchak bo'lgan deb ishonishga asos bor.

Bayonot "To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadrat uning oyoqlarida qurilgan kvadratlar yig'indisiga teng" quyidagi chizma bilan tasvirlash mumkin:

ABC to'g'ri burchakli uchburchakka qarang: AC gipotenuzasida siz dastlabki ABCga teng to'rtta uchburchakdan iborat kvadrat qurishingiz mumkin. Va AB va BC oyoqlarida kvadrat ustiga qurilgan, ularning har biri ikkita o'xshash uchburchakni o'z ichiga oladi.

Aytgancha, bu rasm Pifagor teoremasiga bag'ishlangan ko'plab latifalar va multfilmlarning asosini tashkil etdi. Ehtimol, eng mashhuri "Pifagor shimlari barcha yo'nalishlarda tengdir":

Isbot 2

Bu usul algebra va geometriyani birlashtiradi va matematik Bxaskari tomonidan qadimgi hind isbotining bir varianti sifatida qaralishi mumkin.

Tomonlari bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak tuzing a, b va c(1-rasm). Keyin tomonlari ikki oyoq uzunligi yig'indisiga teng bo'lgan ikkita kvadrat quring - (a+b). Kvadratchalarning har birida 2 va 3-rasmlardagi kabi konstruktsiyalarni bajaring.

Birinchi kvadratda 1-rasmdagi kabi bir xil uchburchaklardan to'rttasini quring. Natijada ikkita kvadrat olinadi: biri a tomoni bilan, ikkinchisi tomoni bilan b.

Ikkinchi kvadratda qurilgan to'rtta o'xshash uchburchaklar tomoni gipotenuzaga teng bo'lgan kvadrat hosil qiladi c.

2-rasmdagi qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisi 3-rasmdagi c tomoni bilan biz qurgan kvadratning maydoniga teng. Buni rasmdagi kvadratlarning maydonlarini hisoblash orqali osongina tekshirish mumkin. 2 formula bo'yicha. Va 3-rasmdagi chizilgan kvadratning maydoni. kvadratga chizilgan to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchakning maydonlarini bir tomoni bo'lgan katta kvadrat maydonidan ayirish orqali. (a+b).

Bularning barchasini qo'yib, bizda: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Qavslarni kengaytiring, barcha kerakli algebraik hisoblarni bajaring va buni oling a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Shu bilan birga, 3-rasmda yozilgan maydon. kvadratni an'anaviy formula yordamida ham hisoblash mumkin S=c2. Bular. a2+b2=c2 Siz Pifagor teoremasini isbotladingiz.

Isbot 3

Xuddi shu qadimiy hind isboti 12-asrda "Bilimlar toji" ("Siddhanta Shiromani") risolasida tasvirlangan va muallif asosiy dalil sifatida o'quvchilarning matematik qobiliyatlari va kuzatish qobiliyatiga qaratilgan murojaatdan foydalanadi. izdoshlar: "Qarang!".

Ammo biz ushbu dalilni batafsilroq tahlil qilamiz:

Kvadrat ichida chizmada ko'rsatilganidek, to'rtta to'g'ri burchakli uchburchak yasang. Katta kvadratning gipotenuzasi ham bo'lgan tomoni belgilanadi dan. Keling, uchburchakning oyoqlarini chaqiraylik lekin Va b. Chizilgan rasmga ko'ra, ichki kvadratning yon tomoni (a-b).

Kvadrat maydon formulasidan foydalaning S=c2 tashqi kvadratning maydonini hisoblash uchun. Shu bilan birga, ichki kvadratning maydonini va to'rtta to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qo'shish orqali bir xil qiymatni hisoblang: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Bir xil natija berishiga ishonch hosil qilish uchun kvadratning maydonini hisoblash uchun ikkala variantdan ham foydalanishingiz mumkin. Va bu sizga yozish huquqini beradi c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Yechim natijasida siz Pifagor teoremasining formulasini olasiz c2=a2+b2. Teorema isbotlangan.

Isbot 4

Bu qiziq qadimiy xitoy dalili "Kelin kursisi" deb ataladi - bu barcha konstruktsiyalardan kelib chiqadigan stulga o'xshash shakl tufayli:

U ikkinchi isbotda biz allaqachon 3-rasmda ko'rgan chizmadan foydalanadi. Va tomoni c bo'lgan ichki kvadrat yuqorida keltirilgan qadimgi hind isbotida bo'lgani kabi qurilgan.

Agar siz 1-rasmdagi chizmadan ikkita yashil to'g'ri burchakli uchburchakni aqliy ravishda kesib tashlasangiz, ularni kvadratning qarama-qarshi tomonlariga c tomoni bilan o'tkazsangiz va gipotenuslarni nilufar uchburchaklar gipotenuslariga biriktirsangiz, siz "kelinlik" deb nomlangan figuraga ega bo'lasiz. stul” (2-rasm). Aniqlik uchun qog'oz kvadratlar va uchburchaklar bilan ham xuddi shunday qilishingiz mumkin. Siz "kelinning o'rindig'i" ikkita kvadratdan iborat ekanligini ko'rasiz: yon tomoni bo'lgan kichiklar b va bir tomoni bilan katta a.

Bu konstruktsiyalar qadimgi Xitoy matematiklari va ulardan keyingi bizga shunday xulosaga kelishga imkon berdi c2=a2+b2.

Isbot 5

Bu geometriyaga asoslangan Pifagor teoremasining yechimini topishning yana bir usuli. Bu Garfild usuli deb ataladi.

To‘g‘ri burchakli uchburchak tuzing ABC. Biz buni isbotlashimiz kerak BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Buning uchun oyoqni davom ettiring AC va segmentni yarating CD, bu oyoqqa teng AB. Pastki perpendikulyar AD Bo'lim ED. Segmentlar ED Va AC teng. nuqtalarni ulang E Va IN, shuningdek E Va FROM va quyidagi rasmdagi kabi chizma oling:

Minorani isbotlash uchun biz yana sinovdan o'tgan usulga murojaat qilamiz: natijada olingan raqamning maydonini ikki yo'l bilan topamiz va iboralarni bir-biriga tenglashtiramiz.

Ko'pburchakning maydonini toping YOTOQ uni tashkil etuvchi uchta uchburchakning maydonlarini qo'shish orqali amalga oshirilishi mumkin. Va ulardan biri ERU, nafaqat to'rtburchaklar, balki teng yon tomonli hamdir. Shuni ham unutmaylik AB=CD, AC=ED Va BC=CE- bu bizga yozishni soddalashtirish va uni ortiqcha yuklamaslik imkonini beradi. Shunday qilib, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Shu bilan birga, bu aniq YOTOQ trapesiyadir. Shuning uchun biz uning maydonini formuladan foydalanib hisoblaymiz: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Bizning hisob-kitoblarimiz uchun segmentni ifodalash qulayroq va aniqroqdir AD segmentlarning yig'indisi sifatida AC Va CD.

Keling, raqamning maydonini hisoblashning ikkala usulini ham yozamiz, ular orasiga teng belgi qo'yamiz: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Belgining o'ng tomonini soddalashtirish uchun biz allaqachon ma'lum bo'lgan va yuqorida tavsiflangan segmentlarning tengligidan foydalanamiz: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Endi biz qavslarni ochamiz va tenglikni o'zgartiramiz: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Barcha o'zgarishlarni tugatgandan so'ng, biz kerakli narsani olamiz: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Biz teoremani isbotladik.

Albatta, bu dalillar ro'yxati to'liq emas. Pifagor teoremasini vektorlar, kompleks sonlar, differensial tenglamalar, stereometriya va boshqalar yordamida ham isbotlash mumkin. Va hatto fiziklar: agar, masalan, suyuqlik chizmalarda ko'rsatilgandek kvadrat va uchburchak hajmlarga quyilsa. Suyuqlikni quyish orqali maydonlar tengligini va natijada teoremaning o'zini isbotlash mumkin.

Pifagor uchliklari haqida bir necha so'z

Bu masala maktab o‘quv dasturida kam o‘rganilgan yoki o‘rganilmagan. Ayni paytda, bu juda qiziqarli va geometriyada katta ahamiyatga ega. Pifagor uchliklari ko'plab matematik muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi. Ularning g'oyasi keyingi ta'limda sizga foydali bo'lishi mumkin.

Xo'sh, Pifagor uchliklari nima? Ikkitasining kvadratlari yig'indisi uchinchi sonning kvadratiga teng bo'lgan uchlikda yig'ilgan natural sonlar deb ataladi.

Pifagor uchliklari quyidagilar bo'lishi mumkin:

• ibtidoiy (barcha uchta raqam nisbatan tub);
• ibtidoiy bo'lmagan (agar uchlikning har bir soni bir xil songa ko'paytirilsa, siz ibtidoiy bo'lmagan yangi uchlikni olasiz).

Bizning eramizdan oldin ham qadimgi misrliklar Pifagor uchliklarining soni uchun maniya bilan hayratda qolishgan: vazifalarda ular tomonlari 3,4 va 5 birlik bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqishgan. Aytgancha, tomonlari Pifagor uchligidagi raqamlarga teng bo'lgan har qanday uchburchak sukut bo'yicha to'rtburchaklardir.

Pifagor uchliklariga misollar: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) va boshqalar.

Teoremaning amaliy qo'llanilishi

Pifagor teoremasi nafaqat matematikada, balki arxitektura va qurilish, astronomiya va hatto adabiyotda ham qo'llaniladi.

Birinchidan, qurilish haqida: Pifagor teoremasi unda turli darajadagi murakkablikdagi masalalarda keng qo'llaniladi. Masalan, Romanesk oynasiga qarang:

Deraza kengligini deb belgilaymiz b, keyin katta yarim doira radiusi sifatida belgilash mumkin R va orqali ifodalash b: R=b/2. Kichikroq yarim doiralarning radiusini ham ifodalash mumkin b: r=b/4. Ushbu muammoda bizni derazaning ichki doirasining radiusi qiziqtiradi (uni chaqiraylik p).

Pifagor teoremasi hisoblash uchun qulaydir R. Buning uchun biz to'g'ri burchakli uchburchakdan foydalanamiz, bu rasmda nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan. Uchburchakning gipotenuzasi ikkita radiusdan iborat: b/4+p. Bir oyog'i radiusdir b/4, boshqa b/2-p. Pifagor teoremasidan foydalanib, biz yozamiz: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Keyinchalik, biz qavslarni ochamiz va olamiz b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Keling, ushbu ifodani aylantiramiz bp/2=b 2 /4-bp. Va keyin biz barcha shartlarni ajratamiz b, olish uchun shunga o'xshashlarni beramiz 3/2*p=b/4. Va oxirida biz buni topamiz p=b/6- bu bizga kerak edi.

Teoremadan foydalanib, siz gable tomi uchun raftersning uzunligini hisoblashingiz mumkin. Signalning ma'lum bir aholi punktiga etib borishi uchun mobil minora qanchalik balandligi kerakligini aniqlang. Va hatto shahar maydonida Rojdestvo daraxti o'rnating. Ko'rib turganingizdek, bu teorema nafaqat darslik sahifalarida yashaydi, balki ko'pincha haqiqiy hayotda foydalidir.

Adabiyotga kelsak, Pifagor teoremasi yozuvchilarni qadim zamonlardan beri ilhomlantirgan va hozir ham shunday qilishda davom etmoqda. Misol uchun, o'n to'qqizinchi asrda yashagan nemis yozuvchisi Adelbert fon Chamisso uni sonet yozishga ilhomlantirgan:

Haqiqat nuri tez orada so'nmaydi,
Ammo, porlagandan so'ng, u tarqalib ketishi dargumon
Va ming yillar oldin bo'lgani kabi,
Shubha va tortishuvlarga sabab bo'lmaydi.

Ko'zga tegsa, eng dono
Haqiqat nuri, xudolarga shukur;
Va yuzta buqalar pichoqlangan, yolg'on gapirishadi -
Baxtli Pifagorning qaytarilgan sovg'asi.

O'shandan beri buqalar umidsizlik bilan baqirishdi:
Buqa qabilasini abadiy qo'zg'atdi
bu erda eslatib o'tilgan voqea.

Ular vaqti keldi deb o'ylashadi
Va yana qurbon qilinadilar
Ba'zi ajoyib teorema.

(Viktor Toporov tomonidan tarjima qilingan)

Yigirmanchi asrda esa sovet yozuvchisi Yevgeniy Veltistov o'zining "Elektronikaning sarguzashtlari" kitobida Pifagor teoremasining isbotlariga butun bir bobni bag'ishlagan. Va agar Pifagor teoremasi yagona dunyo uchun asosiy qonun va hatto din bo'lsa, mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan ikki o'lchovli dunyo haqidagi hikoyaning yarim bobi. Unda yashash ancha oson bo'lardi, lekin bundan ham zerikarliroq bo'lar edi: masalan, u erda hech kim "yumaloq" va "momiq" so'zlarining ma'nosini tushunmaydi.

Va "Elektronikaning sarguzashtlari" kitobida muallif matematika o'qituvchisi Taratara og'zidan shunday deydi: "Matematikada asosiy narsa - bu fikrning harakati, yangi g'oyalar". Aynan mana shu ijodiy fikrlash parvozi Pifagor teoremasini keltirib chiqaradi - bu juda xilma-xil dalillarga ega ekanligi bejiz emas. Bu odatdagidan tashqariga chiqishga va tanish narsalarga yangicha qarashga yordam beradi.

Xulosa

Ushbu maqola siz matematika bo'yicha maktab o'quv dasturidan tashqariga qarashingiz va nafaqat "Geometriya 7-9" (L.S.Atanasyan, V.N.Rudenko) va "Geometriya 7-11" darsliklarida keltirilgan Pifagor teoremasining isbotlarini o'rganishingiz uchun yaratilgan. ” (AV Pogorelov), shuningdek, mashhur teoremani isbotlashning boshqa qiziqarli usullari. Shuningdek, Pifagor teoremasini kundalik hayotda qanday qo'llash mumkinligi haqidagi misollarni ko'ring.

Birinchidan, bu ma'lumot sizga matematika darslarida yuqori ball olish imkonini beradi - qo'shimcha manbalardan olingan mavzu bo'yicha ma'lumotlar har doim yuqori baholanadi.

Ikkinchidan, biz sizga matematika qanchalik qiziqarli ekanligini his qilishingizga yordam bermoqchi edik. Unda ijodkorlik uchun har doim joy borligiga aniq misollar orqali ishonch hosil qilish. Umid qilamizki, Pifagor teoremasi va ushbu maqola sizni matematika va boshqa fanlar bo'yicha o'zingizning tadqiqotingiz va qiziqarli kashfiyotlaringizga ilhomlantiradi.

Maqolada keltirilgan dalillarni qiziqarli deb topsangiz, izohlarda bizga ayting. Ushbu ma'lumotni o'qishingizda foydali deb topdingizmi? Pifagor teoremasi va ushbu maqola haqida fikringizni bildiring - bularning barchasini siz bilan muhokama qilishdan xursand bo'lamiz.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

uy

Pifagor teoremasini isbotlash usullari.

G. Glazer,
Rossiya ta'lim akademiyasining akademigi, Moskva

Pifagor teoremasi va uni isbotlash usullari haqida

To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadratning maydoni uning oyoqlarida qurilgan kvadratlarning maydonlarining yig'indisiga teng ...

Bu antik davrning eng mashhur geometrik teoremalaridan biri bo'lib, Pifagor teoremasi deb ataladi. Bu hali ham planimetriyani o'rgangan deyarli har bir kishiga ma'lum. Menimcha, agar biz yerdan tashqaridagi tsivilizatsiyalarga Yerda aqlli hayot mavjudligi haqida xabar berishni istasak, unda Pifagor figurasini koinotga yuborishimiz kerak. O'ylaymanki, agar tafakkur qiluvchi mavjudotlar bu ma'lumotni qabul qila olsalar, ular Yerda etarlicha rivojlangan tsivilizatsiya mavjudligini murakkab signal dekodlashsiz tushunadilar.

Mashhur yunon faylasufi va matematigi Samoslik Pifagor, teorema uning nomi bilan atalgan, taxminan 2,5 ming yil oldin yashagan. Pifagor haqidagi bizgacha etib kelgan biografik ma'lumotlar parcha-parcha va ishonchli emas. Ko'plab afsonalar uning nomi bilan bog'liq. Ma'lumki, Pifagor Sharq mamlakatlarida ko'p sayohat qilgan, Misr va Bobilga tashrif buyurgan. Italiyaning janubidagi yunon koloniyalaridan birida qadimgi Yunonistonning ilmiy va siyosiy hayotida muhim oʻrin tutgan mashhur “Pifagor maktabi”ga asos solgan. Mashhur geometrik teoremani isbotlagan Pifagor hisoblangan. Mashhur matematiklar (Prokl, Plutarx va boshqalar) tomonidan tarqalgan afsonalarga asoslanib, uzoq vaqt davomida bu teorema Pifagordan oldin ma'lum emas, deb hisoblangan, shuning uchun nomi - Pifagor teoremasi.

Biroq, bu teorema Pifagordan ko'p yillar oldin ma'lum bo'lganiga shubha yo'q. Shunday qilib, Pifagordan 1500 yil oldin qadimgi misrliklar 3, 4 va 5 tomonlari bo'lgan uchburchak to'rtburchaklar ekanligini bilishgan va bu xususiyatdan (ya'ni, Pifagorning teskari teoremasi) er uchastkalari va inshootlarni rejalashtirishda to'g'ri burchaklarni qurish uchun foydalanganlar. Va bugungi kunda ham qishloq quruvchilari va duradgorlari, kulbaning poydevorini qo'yish, uning tafsilotlarini qilish, to'g'ri burchakka ega bo'lish uchun bu uchburchakni chizishadi. Xuddi shu narsa ming yillar oldin Misrda, Bobilda, Xitoyda va ehtimol Meksikada ajoyib ibodatxonalar qurilishida qilingan. Pifagordan taxminan 600 yil oldin yozilgan bizgacha yetib kelgan eng qadimgi xitoylik matematik va astronomik asar Chjou-bida toʻgʻri burchakli uchburchak bilan bogʻliq boshqa takliflar qatorida Pifagor teoremasi ham mavjud. Hatto ilgari bu teorema hindlarga ma'lum edi. Shunday qilib, Pifagor to'g'ri burchakli uchburchakning bu xususiyatini kashf etmadi, balki u birinchi bo'lib uni umumlashtirgan va isbotlagan va shu bilan uni amaliyot maydonidan fan sohasiga o'tkazgan. U buni qanday qilganini bilmaymiz. Ba'zi matematika tarixchilari, shunga qaramay, Pifagorning isboti asosiy emas, balki faqat tasdiqlash, bu xususiyatni bir qator alohida turdagi uchburchaklar bo'yicha tekshirish edi, ya'ni teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakdan boshlab, bu aniq shakldan kelib chiqadi. bitta.

FROM Qadim zamonlardan beri matematiklar Pifagor teoremasining tobora ko'proq dalillarini, uning isboti uchun ko'proq g'oyalarni topdilar. Bir yarim yuzdan ortiq bunday dalillar - ko'proq yoki kamroq qat'iy, ko'proq yoki kamroq vizual - ma'lum, ammo ularning sonini ko'paytirish istagi saqlanib qolgan. O‘ylaymanki, Pifagor teoremasining isbotlarini mustaqil “kashfiyot qilish” zamonaviy maktab o‘quvchilari uchun foydali bo‘ladi.

Keling, bunday qidiruvlar yo'nalishini ko'rsatishi mumkin bo'lgan ba'zi dalillar misollarini ko'rib chiqaylik.

Pifagorning isboti

"To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadrat uning oyoqlarida qurilgan kvadratlar yig'indisiga teng." Teoremaning eng oddiy isboti teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning eng oddiy holatida olinadi. Ehtimol, teorema u bilan boshlangan. Darhaqiqat, teoremaning to'g'ri ekanligini ko'rish uchun teng yonli to'g'ri burchakli uchburchaklarning plitkalarini ko'rib chiqish kifoya. Masalan, DABC uchun: gipotenuzada qurilgan kvadrat AU, 4 ta boshlang'ich uchburchak va oyoqlarda ikkitadan qurilgan kvadratlarni o'z ichiga oladi. Teorema isbotlangan.

Raqamlarning teng maydoni tushunchasidan foydalanishga asoslangan dalillar.

Shu bilan birga, berilgan to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadrat oyoqlarda qurilgan kvadratchalar bilan bir xil raqamlardan "tarkib" bo'lgan dalillarni ko'rib chiqishimiz mumkin. Raqamlar atamalarining almashtirilishi qo'llaniladigan va bir qator yangi fikrlar hisobga olinadigan bunday dalillarni ham ko'rib chiqishimiz mumkin.

Shaklda. 2 ikkita teng kvadratni ko'rsatadi. Har bir kvadrat tomonlarining uzunligi a + b. Kvadratlarning har biri kvadrat va to'g'ri burchakli uchburchaklardan tashkil topgan qismlarga bo'linadi. Ko'rinib turibdiki, agar biz a, b oyoqlari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning to'rt karrali maydonini kvadrat maydonidan ayirib tashlasak, unda teng maydonlar qoladi, ya'ni c 2 \u003d a 2 + b 2. Biroq, bu fikrga tegishli bo'lgan qadimgi hindular odatda buni yozmaganlar, balki rasmga faqat bitta so'z bilan hamrohlik qilganlar: "qarang!" Pifagor ham xuddi shunday dalil keltirgan bo'lishi mumkin.

qo'shimcha dalillar.

Bu dalillar oyoqlarda qurilgan kvadratlarning figuralarga parchalanishiga asoslangan bo'lib, ulardan gipotenuzaga qurilgan kvadratni qo'shish mumkin.

Bu erda: ABC to'g'ri burchakli C burchakli to'g'ri burchakli uchburchak; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Oyoqlarda qurilgan kvadratlarni va gipotenuzani bo'lish natijasida olingan uchburchaklarning juftlik tengligini mustaqil ravishda isbotlang.

Ushbu bo'lim yordamida teoremani isbotlang.

 Al-Nairiziya isboti asosida kvadratlarni juft-juft teng figuralarga navbatdagi parchalanishi amalga oshirildi (5-rasm, bu yerda ABC to‘g‘ri burchakli C burchakli to‘g‘ri burchakli uchburchak).

 "Pichoqli g'ildirak" deb ataladigan kvadratlarni teng qismlarga ajratish usulining yana bir isboti rasmda ko'rsatilgan. 6. Bu erda: ABC to'g'ri burchakli C burchakli to'g'ri burchakli uchburchak; O - katta oyoqqa qurilgan kvadratning markazi; O nuqtadan o'tuvchi chiziqli chiziqlar gipotenuzaga perpendikulyar yoki parallel.

 Kvadratchalarning bu parchalanishi qiziq, chunki uning juft-juftli teng to‘rtburchaklari parallel tarjima orqali bir-biri bilan taqqoslanishi mumkin. Pifagor teoremasining boshqa ko'plab isbotlarini kvadratlarni raqamlarga ajratish yordamida taklif qilish mumkin.

Kengaytma usuli bo'yicha dalillar.

Bu usulning mohiyati shundan iboratki, oyoqlarda qurilgan kvadratlarga va gipotenuzaga qurilgan kvadratga teng raqamlar olinadigan tarzda biriktiriladi.

Pifagor teoremasining haqiqiyligi AEDFPB va ACBNMQ olti burchaklarining teng kattaligidan kelib chiqadi. Bu yerda CEP, EP chizig’i olti burchakli AEDFPB ni ikkita teng maydonli to’rtburchakka, CM chizig’i ACBNMQ olti burchakli ikkita teng maydonli to’rtburchakka ajratadi; A markazi atrofida tekislikning 90° ga aylanishi to'rtburchak AEPB ni ACMQ to'rtburchakka aylantiradi.

Shaklda. 8 Pifagor figurasi to'rtburchaklar bilan yakunlanadi, uning tomonlari oyoqlarda qurilgan kvadratlarning mos keladigan tomonlariga parallel. Keling, bu to'rtburchakni uchburchak va to'rtburchaklarga ajratamiz. Birinchidan, hosil bo'lgan to'rtburchakdan barcha 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ko'pburchaklarni ayirib, gipotenuzada qurilgan kvadrat qoldiramiz. Keyin, xuddi shu to'rtburchakdan biz 5, 6, 7 to'rtburchaklar va soyali to'rtburchaklar olib tashlaymiz, biz oyoqlarda qurilgan kvadratlarni olamiz.

Endi birinchi holatda ayirilgan raqamlar ikkinchi holatda ayirilgan raqamlarga teng ekanligini isbotlaylik.

KLOA = ACPF = ACED = a 2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2;

demak, c 2 = a 2 + b 2.

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2;

OBMP = ABMF = c 2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2.

Algebraik isbotlash usuli.

	Guruch. 12 buyuk hind matematigi Bxaskari (mashhur Lilavati muallifi X. 2-asr). Chizma faqat bitta so'z bilan birga edi: QARA! Pifagor teoremasining algebraik usul bilan isbotlari orasida o'xshashlik yordamida isbotlash birinchi o'rinni egallaydi (ehtimol, eng qadimgi).
	Keling, zamonaviy taqdimotda Pifagorga tegishli bo'lgan bunday dalillardan birini taqdim qilaylik.

H va shakl. 13 ABC - to'g'ri burchakli, C - to'g'ri burchakli, CMAB, b 1 - oyoqning b ning gipotenuzaga proyeksiyasi, a 1 - a oyoqning gipotenuzaga proyeksiyasi, h - gipotenuzaga chizilgan uchburchakning balandligi.

ABC ACM ga o'xshashligidan kelib chiqadi

b 2 \u003d cb 1; (bir)

ABC BCM ga o'xshashligidan kelib chiqadi

a 2 = ca 1. (2)

Tengliklarni (1) va (2) hadlarni haddan tashqari qo'shib, biz 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 ni olamiz.

Agar Pifagor haqiqatan ham bunday dalilni taklif qilgan bo'lsa, u zamonaviy matematika tarixchilari odatda Evklidga tegishli bo'lgan bir qator muhim geometrik teoremalarni ham yaxshi bilgan.

Möllmanning isboti (14-rasm). Ushbu to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni, bir tomondan, boshqa tomondan teng, bu erda p - uchburchakning yarim perimetri, r - unga chizilgan doira radiusi. Bizda ... bor:

shundan c 2 =a 2 +b 2 kelib chiqadi.

ikkinchisida

Bu ifodalarni tenglashtirib, Pifagor teoremasini olamiz.

Kombinatsiyalangan usul

Uchburchaklar tengligi

c 2 = a 2 + b 2. (3)

(3) va (4) munosabatlarini taqqoslab, biz buni olamiz

c 1 2 = c 2 yoki c 1 = c.

Shunday qilib, berilgan va qurilgan uchburchaklar tengdir, chunki ularning uchta teng tomoni bor. C 1 burchagi to'g'ri, shuning uchun bu uchburchakning C burchagi ham to'g'ri.

Qadimgi hindlarning dalillari.

Qadimgi Hindiston matematiklari Pifagor teoremasini isbotlash uchun qadimgi Xitoy chizmasining ichki qismidan foydalanish kifoya ekanligini payqashdi. 20-asrning eng yirik hind matematigi tomonidan xurmo barglariga yozilgan "Siddhanta Shiromani" ("Bilim toji") risolasida. Bha-skara chizma qo'ydi (4-rasm)

hind dalillariga xos l so'z "qarang!". Ko'rib turganingizdek, to'g'ri burchakli uchburchaklar bu erda gipotenuzasi tashqariga va kvadratga qarab joylashtirilgan. dan 2 "kelin kreslo" ga o'tdi dan 2 -b 2 . Pifagor teoremasining maxsus holatlariga e'tibor bering (masalan, maydoni ikki barobar katta bo'lgan kvadratni qurish 4-rasm Ushbu kvadratning maydoni) qadimgi hindlarning "Sulva" risolasida joylashgan.

Ular to'g'ri burchakli uchburchak va uning oyoqlarida qurilgan kvadratlarni, yoki boshqacha qilib aytganda, 16 ta bir xil teng yonli to'g'ri burchakli uchburchaklardan tashkil topgan va shuning uchun kvadratga mos keladigan raqamlarni hal qildilar. Bu nilufar. qadimgi matematikaning marvaridida yashiringan boylikning kichik bir qismi - Pifagor teoremasi.

Qadimgi Xitoy dalillari.

Qadimgi Xitoyning matematik risolalari bizga II asr nashrida etib kelgan. Miloddan avvalgi. Gap shundaki, miloddan avvalgi 213 yilda. Xitoy imperatori Shi Xuan-di eski an'analarni yo'q qilishga intilib, barcha qadimiy kitoblarni yoqib yuborishni buyurdi. P c da. Miloddan avvalgi. qog'oz Xitoyda ixtiro qilingan va bir vaqtning o'zida qadimgi kitoblarni qayta tiklash boshlandi. Bu dalilning kalitini topish qiyin emas. Haqiqatan ham, qadimgi Xitoy chizmasida a, b kateterlari va gipotenuzali to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchaklar mavjud. dan to'plangan G) shunday qilib, ularning tashqi konturi 2-rasm, tomonlari bo'lgan kvadratni hosil qiladi a + b, ichki qismi esa gipotenuzaga qurilgan tomoni c bo'lgan kvadratdir (2-rasm, b). Agar tomoni c bo'lgan kvadrat kesilsa va qolgan 4 ta soyali uchburchak ikkita to'rtburchakga joylashtirilsa (2-rasm, ichida), paydo bo'lgan bo'shliq, bir tomondan, teng ekanligi aniq FROM 2 , va boshqa tomondan - dan 2 +b 2 , bular. c 2 \u003d  2 + b 2. Teorema isbotlangan. E'tibor bering, bunday dalil bilan biz qadimgi Xitoy chizmasida (2-rasm, a) ko'rib turgan gipotenuzada kvadrat ichidagi konstruktsiyalar qo'llanilmaydi. Ko'rinib turibdiki, qadimgi Xitoy matematiklari boshqacha dalilga ega bo'lgan. To'g'ri, agar tomoni bilan kvadratda bo'lsa dan ikkita soyali uchburchak (2-rasm, b) gipotenuslarni kesib, qolgan ikkita gipotenusga biriktiring (2-rasm, G), buni topish oson

Olingan shakl, ba'zan "kelinning kursisi" deb ataladi, tomonlari bo'lgan ikkita kvadratdan iborat lekin Va b, bular. c 2 == a 2 +b 2 .

H 3-rasmda "Chjou-bi ..." risolasidan olingan rasm ko'rsatilgan. Bu erda Pifagor teoremasi oyoqlari 3, 4 va gipotenuzasi 5 birlikli Misr uchburchagi uchun ko'rib chiqiladi. Gipotenuzadagi kvadrat 25 hujayradan iborat bo'lib, kattaroq oyoqqa yozilgan kvadratda 16 ta hujayra mavjud. Qolgan qismda 9 hujayra borligi aniq. Bu kichikroq oyoqdagi kvadrat bo'ladi.

1

Shapovalova L.A. (Egorlykskaya stansiyasi, MBOU ESOSH No 11)

1. Gleyzer G.I. VII - VIII sinflar maktabida matematika tarixi, o'qituvchilar uchun qo'llanma, - M: Ta'lim, 1982 yil.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. “Matematika darsligi sahifalarida” 5-6-sinf o‘quvchilari uchun qo‘llanma. - M.: Ma'rifat, 1989 yil.

3. Zenkevich I.G. “Matematika darsining estetikasi”. - M.: Ma'rifat, 1981 yil.

4. Litsman V. Pifagor teoremasi. - M., 1960 yil.

5. Voloshinov A.V. "Pifagor". - M., 1993 yil.

6. Pichurin L.F. "Algebra darsligi sahifalaridan tashqari". - M., 1990 yil.

7. Zemlyakov A.N. “10-sinfda geometriya”. - M., 1986 yil.

8. "Matematika" gazetasi 17/1996.

9. "Matematika" gazetasi 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskiy M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Boshlang'ich matematikadan masalalar to'plami". - M., 1963 yil.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.X. "Matematika bo'yicha qo'llanma". - M., 1973 yil.

12. Shchetnikov A.I. "Son va kattalik haqidagi Pifagor ta'limoti". - Novosibirsk, 1997 yil.

13. “Haqiqiy sonlar. Irratsional ifodalar» 8-sinf. Tomsk universiteti nashriyoti. - Tomsk, 1997 yil.

14. Atanasyan M.S. “Geometriya” 7-9 sinf. - M.: Ma'rifat, 1991 yil.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Bu o'quv yilida men qadim zamonlardan ma'lum bo'lgan qiziqarli teorema bilan tanishdim:

"To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadrat oyoqlarda qurilgan kvadratlarning yig'indisiga teng."

Odatda bu bayonotning kashfiyoti qadimgi yunon faylasufi va matematigi Pifagorga (miloddan avvalgi VI asr) tegishli. Ammo qadimgi qo'lyozmalarni o'rganish shuni ko'rsatdiki, bu bayonot Pifagor tug'ilishidan ancha oldin ma'lum bo'lgan.

Nima uchun bu holatda, bu Pifagor nomi bilan bog'liq ekanligiga hayron bo'ldim.

Mavzuning dolzarbligi: Pifagor teoremasi katta ahamiyatga ega: u geometriyada har qadamda tom ma'noda qo'llaniladi. Pifagor asarlari hozir ham dolzarbligicha qolmoqda, deb hisoblayman, chunki qayerga qaramasak, hamma joyda uning zamonaviy hayotning turli sohalarida mujassamlangan buyuk g‘oyalari samarasini ko‘rishimiz mumkin.

Mening tadqiqotimning maqsadi: Pifagor kim bo'lganligini va uning bu teorema bilan qanday aloqasi borligini aniqlash edi.

Teorema tarixini o'rganib, men quyidagilarni aniqlashga qaror qildim:

Bu teoremaning boshqa isbotlari bormi?

Bu teoremaning odamlar hayotida qanday ahamiyati bor?

Pifagor matematikaning rivojlanishida qanday rol o'ynadi?

Pifagorning tarjimai holidan

Samoslik Pifagor - buyuk yunon olimi. Uning mashhurligi Pifagor teoremasining nomi bilan bog'liq. Garchi hozir biz bu teorema qadimgi Bobilda Pifagordan 1200 yil oldin ma'lum bo'lganini va undan 2000 yil oldin Misrda tomonlari 3, 4, 5 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak ma'lum bo'lganligini bilsak ham, biz uni hanuzgacha ushbu qadimiy nomi bilan ataymiz. olim.

Pifagorning hayoti haqida deyarli hech narsa ma'lum emas, lekin bu uning nomi bilan bog'liq ko'p miqdorda afsonalar.

Pifagor miloddan avvalgi 570 yilda Samos orolida tug'ilgan.

Pifagor chiroyli ko'rinishga ega edi, uzun soqolli va boshida oltin diadem bor edi. Pifagor - bu ism emas, balki faylasuf har doim to'g'ri va ishonarli gapirgani uchun, xuddi yunon orakuliga o'xshab olgan taxallusdir. (Pythagoras - "ishonchli nutq").

Miloddan avvalgi 550 yilda Pifagor qaror qabul qiladi va Misrga boradi. Shunday qilib, Pifagor oldida noma'lum mamlakat va noma'lum madaniyat ochiladi. Bu mamlakatda Pifagorni ko'p hayratda qoldirdi va hayratda qoldirdi va misrliklar hayotini ba'zi kuzatishlardan so'ng, Pifagor ruhoniylar kastasi tomonidan himoyalangan bilimga yo'l din orqali ekanligini tushundi.

Misrda o'n bir yillik o'qishdan so'ng, Pifagor o'z vataniga boradi va u erda yo'lda Bobil asirligiga tushadi. U yerda Misr ilmidan ancha rivojlangan Bobil ilmi bilan tanishadi. Bobilliklar chiziqli, kvadrat va ayrim turdagi kub tenglamalarni yechishni bilishgan. Asirlikdan qutulib, u yerda hukm surgan zo‘ravonlik va zulm muhiti tufayli o‘z vatanida uzoq qola olmadi. U Krotonga (Italiya shimolidagi yunon mustamlakasi) ko'chib o'tishga qaror qildi.

Aynan Krotonda Pifagor hayotidagi eng shonli davr boshlanadi. U erda u diniy-axloqiy birodarlik yoki yashirin monastir tartibini o'rnatdi, uning a'zolari Pifagorcha hayot tarzini olib borishlari shart edi.

Pifagor va Pifagorchilar

Pifagorlar Apennin yarim orolining janubidagi yunon koloniyasida diniy va axloqiy birodarlikni, masalan, keyinchalik Pifagor ittifoqi deb ataladigan monastir ordeni tashkil qildi. Ittifoq a'zolari ma'lum tamoyillarga amal qilishlari kerak edi: birinchidan, go'zal va ulug'vorlikka intilish, ikkinchidan, foydali bo'lish, uchinchidan, yuqori zavq olishga intilish.

Pifagor o'z shogirdlariga vasiyat qilgan axloqiy va axloqiy qoidalar tizimi antik davr, o'rta asrlar va Uyg'onish davrida juda mashhur bo'lgan pifagorchilarning o'ziga xos "Oltin oyatlar" axloq kodeksiga kiritilgan.

Pifagor tadqiqotlari tizimi uchta bo'limdan iborat edi:

Raqamlar haqidagi ta'limotlar - arifmetika,

Shakllar haqidagi ta'limotlar - geometriya,

Koinotning tuzilishi haqidagi ta'limotlar - astronomiya.

Pifagor tomonidan asos solingan ta'lim tizimi ko'p asrlar davom etdi.

Pifagor maktabi geometriyaga fan xarakterini berish uchun ko'p ish qildi. Pifagor usulining asosiy xususiyati geometriyani arifmetika bilan birlashtirish edi.

Pifagorlar nisbatlar va progressiyalar va, ehtimol, raqamlarning o'xshashligi bilan ko'p shug'ullangan, chunki u muammoni hal qilishda ishtirok etgan: "Ma'lumotlardan biriga o'lchami bo'yicha teng va ikkinchisiga o'xshash uchinchisini tuzing. ikkita raqam berilgan."

Pifagor va uning shogirdlari ko'pburchak, do'stona, mukammal sonlar tushunchasini kiritdilar va ularning xususiyatlarini o'rgandilar. Arifmetika hisob amaliyoti sifatida Pifagorni qiziqtirmasdi va u “arifmetikani savdogar manfaatidan ustun qo‘yishini” g‘urur bilan e’lon qildi.

Pifagor ittifoqi a'zolari Gretsiyaning ko'plab shaharlarining aholisi edi.

Pifagorchilar ham ayollarni o'z jamiyatiga qabul qildilar. Ittifoq yigirma yildan ortiq gullab-yashnadi, keyin uning a'zolarini ta'qib qilish boshlandi, ko'plab talabalar o'ldirildi.

Pifagorning o'limi haqida turli xil afsonalar mavjud edi. Ammo Pifagor va uning shogirdlarining ta'limoti yashashda davom etdi.

Pifagor teoremasining yaratilish tarixidan

Hozirgi vaqtda bu teoremani Pifagor kashf qilmaganligi ma'lum. Biroq, ba'zilar uning to'liq isbotini birinchi bo'lib Pifagor bergan deb hisoblashadi, boshqalari esa bu xizmatni inkor etadilar. Ba'zilar Evklid o'zining "Elementlar" ning birinchi kitobida keltirgan dalilni Pifagorga bog'laydi. Boshqa tomondan, Prokl Elementlardagi dalil Evklidning o'zi tufayli ekanligini da'vo qiladi. Ko'rib turganimizdek, matematika tarixida Pifagor hayoti va uning matematik faoliyati haqida ishonchli aniq ma'lumotlar deyarli yo'q.

Keling, Pifagor teoremasining tarixiy sharhini qadimgi Xitoydan boshlaylik. Bu erda Chu-peyning matematik kitobi alohida e'tiborni tortadi. Ushbu inshoda tomonlari 3, 4 va 5 bo'lgan Pifagor uchburchagi haqida aytilgan:

"Agar to'g'ri burchak uning tarkibiy qismlariga ajralsa, u holda uning tomonlari uchlarini bog'laydigan chiziq asosi 3 va balandligi 4 bo'lganda 5 ga teng bo'ladi."

Ularning qurilish usulini takrorlash juda oson. 12 m uzunlikdagi arqonni oling va uni 3 m masofada rangli chiziq bo'ylab bog'lang. bir chetidan, ikkinchisidan 4 metr. 3 va 4 metr uzunlikdagi tomonlar o'rtasida to'g'ri burchak o'rnatiladi.

Hindular orasida geometriya kult bilan chambarchas bog'liq edi. Gipotenuza kvadrati teoremasi Hindistonda eramizdan avvalgi 8-asrda allaqachon ma'lum bo'lganligi ehtimoli katta. Sof marosim retseptlari bilan bir qatorda, geometrik teologik xarakterga ega bo'lgan asarlar mavjud. Miloddan avvalgi 4-5-asrlarga oid bu yozuvlarda tomonlari 15, 36, 39 boʻlgan uchburchak yordamida toʻgʻri burchak yasash bilan uchrashamiz.

O'rta asrlarda Pifagor teoremasi imkon qadar katta bo'lmasa, hech bo'lmaganda yaxshi matematik bilimlarning chegarasini belgilab berdi. Ba'zan maktab o'quvchilari tomonidan, masalan, professor yoki erkakning xalatini kiygan shlyapaga aylantiriladigan Pifagor teoremasining xarakterli chizmasi o'sha kunlarda matematikaning ramzi sifatida ko'pincha ishlatilgan.

Xulosa qilib aytganda, biz yunon, lotin va nemis tillaridan tarjima qilingan Pifagor teoremasining turli formulalarini taqdim etamiz.

Evklid teoremasi o'qiydi (so'zma-so'z tarjimasi):

"To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakni o'z ichiga olgan tomonning kvadrati to'g'ri burchakni o'rab turgan tomonlarning kvadratlariga teng."

Ko'rib turganingizdek, turli mamlakatlarda va turli tillarda tanish teoremani shakllantirishning turli xil versiyalari mavjud. Turli vaqtlarda va turli tillarda yaratilgan ular bitta matematik naqshning mohiyatini aks ettiradi, buning isboti ham bir nechta variantlarga ega.

Pifagor teoremasini isbotlashning beshta usuli

qadimiy xitoy isboti

Qadimgi Xitoy chizmasida oyoqlari a, b va gipotenuza c bo'lgan to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchaklar shunday joylashtirilganki, ularning tashqi konturi a + b tomoni bo'lgan kvadratni, ichki tomoni esa c tomoniga qurilgan kvadratni hosil qiladi. gipotenuza

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

J. Gardfildning isboti (1882)

Ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchakni shunday joylashtiramizki, ulardan birining oyog'i ikkinchisining davomi bo'lsin.

Ko'rib chiqilayotgan trapezoidning maydoni asoslar va balandlikning yarmi yig'indisining ko'paytmasi sifatida topiladi.

Boshqa tomondan, trapezoidning maydoni hosil bo'lgan uchburchaklar maydonlarining yig'indisiga teng:

Ushbu iboralarni tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Buning isboti oddiy

Bu dalil teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning eng oddiy holatida olinadi.

Ehtimol, teorema u bilan boshlangan.

Darhaqiqat, teoremaning to'g'ri ekanligini ko'rish uchun teng yonli to'g'ri burchakli uchburchaklarning plitkalarini ko'rib chiqish kifoya.

Misol uchun, ABC uchburchagi uchun: AC gipotenuzasiga qurilgan kvadrat 4 ta boshlang'ich uchburchakni o'z ichiga oladi va oyoqlarda qurilgan kvadratlar ikkitadan iborat. Teorema isbotlangan.

Qadimgi hindlarning isboti

Yoni (a + b) bo'lgan kvadratni shakldagi kabi qismlarga bo'lish mumkin. 12. a, yoki rasmdagi kabi. 12b. Har ikkala rasmda 1, 2, 3, 4 qismlari bir xil ekanligi aniq. Va agar tenglardan (maydonlardan) tenglar ayirilsa, tenglar qoladi, ya'ni. c2 = a2 + b2.

Evklidning isboti

Ikki ming yil davomida eng keng tarqalgani Evklid tomonidan ixtiro qilingan Pifagor teoremasining isboti edi. Bu uning mashhur "Boshlanishlar" kitobida joylashgan.

Evklid BH balandligini to'g'ri burchak cho'qqisidan gipotenuzaga tushirdi va uning kengayishi gipotenuzada tugallangan kvadratni ikkita to'rtburchakga bo'lishini isbotladi, ularning maydonlari oyoqlarda qurilgan tegishli kvadratlarning maydonlariga teng.

Bu teoremani isbotlashda foydalanilgan chizma hazil bilan “Pifagor shimi” deb ataladi. Uzoq vaqt davomida u matematika fanining ramzlaridan biri hisoblangan.

Pifagor teoremasining qo'llanilishi

Pifagor teoremasining ahamiyati shundan iboratki, geometriya teoremalarining aksariyati undan yoki uning yordami bilan olinishi va ko‘plab masalalarni yechish mumkin. Bundan tashqari, Pifagor teoremasi va uning teskari teoremasining amaliy ahamiyati shundan iboratki, ular segmentlarning o'zini o'lchamasdan segmentlarning uzunliklarini topish uchun ishlatilishi mumkin. Bu, xuddi to'g'ri chiziqdan tekislikka, tekislikdan volumetrik fazoga va undan tashqariga yo'l ochadi. Aynan shuning uchun ham Pifagor teoremasi insoniyat uchun juda muhim bo'lib, u ko'proq o'lchamlarni kashf etishga va bu o'lchamlarda texnologiyalar yaratishga intiladi.

Xulosa

Pifagor teoremasi shu qadar mashhurki, bu haqda eshitmagan odamni tasavvur qilish qiyin. Pifagor teoremasini isbotlashning bir qancha usullari borligini bilib oldim. Men bir qator tarixiy-matematik manbalarni, jumladan, Internetdagi ma’lumotlarni o‘rganib chiqdim va Pifagor teoremasi nafaqat o‘z tarixi, balki hayotda va fanda muhim o‘rin tutgani uchun ham qiziq ekanligini angladim. Buni men tomonidan ushbu maqolada berilgan ushbu teorema matnining turli xil talqinlari va uni isbotlash usullari tasdiqlaydi.

Demak, Pifagor teoremasi geometriyaning asosiy va, aytish mumkinki, eng muhim teoremalaridan biridir. Uning ahamiyati shundaki, geometriyaning aksariyat teoremalarini undan yoki uning yordami bilan chiqarish mumkin. Pifagor teoremasi ham diqqatga sazovorki, u o'z-o'zidan aniq emas. Masalan, teng yonli uchburchakning xossalarini bevosita chizmada ko'rish mumkin. Ammo to'g'ri burchakli uchburchakka qanchalik qaramang, uning tomonlari o'rtasida oddiy munosabat borligini hech qachon ko'rmaysiz: c2 = a2 + b2. Shuning uchun vizualizatsiya ko'pincha buni isbotlash uchun ishlatiladi. Pifagorning xizmati shundaki, u bu teoremani to'liq ilmiy isbotlagan. Xotirasi bu teorema bilan tasodifiy saqlanib qolmagan olimning shaxsiyati qiziq. Pifagor musiqa va raqamlar uyg'unligiga, ezgulik va adolatga, bilim va sog'lom turmush tarziga qaratilgan ajoyib notiq, o'qituvchi va tarbiyachi, o'z maktabining tashkilotchisi. U biz, uzoq avlodlar uchun namuna bo'lishi mumkin.

Bibliografik havola

Tumanova S.V. PİFAGOR TEOREMASINI ISBODLASHNING BIR QANDAY YO'LLARI // Ilm-fandan boshlang. - 2016. - No 2. - B. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (kirish sanasi: 21.02.2019).

Maktab o‘quv dasturida o‘rganilayotgan Pifagor teoremasining tarixi bilan qiziquvchilarni 1940 yilda oddiy ko‘ringan bu teoremaning uch yuz yetmishta isboti bilan kitobning nashr etilishi kabi fakt ham qiziqtiradi. Ammo u turli davrlardagi ko'plab matematik va faylasuflarning ongini qiziqtirdi. Ginnesning rekordlar kitobida u maksimal isbotlar soniga ega teorema sifatida qayd etilgan.

Pifagor teoremasining tarixi

Pifagor nomi bilan bog'liq bo'lgan teorema buyuk faylasuf tug'ilishidan ancha oldin ma'lum bo'lgan. Shunday qilib, Misrda inshootlarni qurishda to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari nisbati besh ming yil oldin hisobga olingan. Bobil matnlarida Pifagor tug'ilishidan 1200 yil oldin to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining bir xil nisbati qayd etilgan.

Savol tug'iladi, nima uchun hikoyada aytiladi - Pifagor teoremasining paydo bo'lishi unga tegishli? Faqat bitta javob bo'lishi mumkin - u uchburchakdagi tomonlar nisbatini isbotladi. U tajriba bilan o'rnatilgan aspekt nisbati va gipotenuzani oddiygina ishlatganlar, asrlar oldin qilmagan ishni qildi.

Pifagor hayotidan

Bo'lajak buyuk olim, matematik, faylasuf miloddan avvalgi 570 yilda Samos orolida tug'ilgan. Tarixiy hujjatlarda marvarid o'ymakorligi bo'lgan Pifagorning otasi haqida ma'lumotlar saqlanib qolgan, ammo uning onasi haqida hech qanday ma'lumot yo'q. Tug'ilgan o'g'il haqida ular bolaligidan musiqa va she'riyatga ishtiyoqni namoyon etgan ajoyib bola ekanligini aytishdi. Tarixchilar Ermodamant va Siroslik Ferekidlarni yosh Pifagorlarning ustozlari deb atashadi. Birinchisi bolani Musalar olamiga kiritdi, ikkinchisi faylasuf va italyan falsafa maktabining asoschisi bo'lib, yigitning nigohini logotipga qaratdi.

Pifagor 22 yoshida (miloddan avvalgi 548 yil) Misrliklarning tili va dinini oʻrganish uchun Navkratisga boradi. Bundan tashqari, uning yo'li Memfisda bo'lib, u erda ruhoniylar tufayli, ularning ajoyib sinovlaridan o'tib, u Misr geometriyasini tushundi, bu, ehtimol, qiziquvchan yigitni Pifagor teoremasini isbotlashga undadi. Keyinchalik tarix bu nomni teorema bilan bog'laydi.

Bobil shohi tomonidan asirga olingan

Pifagor Elladaga uyiga ketayotib, Bobil shohi tomonidan asirga olinadi. Ammo asirlikda bo'lish boshlang'ich matematikning qiziquvchan ongiga foyda keltirdi, u ko'p narsalarni o'rganishi kerak edi. Darhaqiqat, o'sha yillarda Bobilda matematika Misrga qaraganda ancha rivojlangan edi. U o'n ikki yil davomida matematika, geometriya va sehrni o'rgandi. Va, ehtimol, bu Bobil geometriyasi uchburchak tomonlari nisbati va teoremaning ochilish tarixini isbotlashda ishtirok etgan. Buning uchun Pifagorda yetarli bilim va vaqt bor edi. Ammo bu Bobilda sodir bo'lgan, buni hech qanday hujjatli tasdiqlash yoki rad etish yo'q.

Miloddan avvalgi 530 yilda Pifagor asirlikdan o'z vataniga qochib ketadi va u erda zolim Polikratning saroyida yarim qul maqomida yashaydi. Bunday hayot Pifagorga mos kelmaydi va u Samos g'orlariga nafaqaga chiqadi va keyin o'sha paytda Kroton yunon koloniyasi joylashgan Italiyaning janubiga boradi.

Yashirin monastir tartibi

Bu mustamlaka negizida Pifagor bir vaqtning o'zida diniy ittifoq va ilmiy jamiyat bo'lgan yashirin monastir ordeni tashkil qilgan. Bu jamiyatning o'ziga xos turmush tarziga rioya qilish to'g'risidagi nizomi bor edi.

Pifagor Xudoni tushunish uchun inson algebra va geometriya kabi fanlarni bilishi, astronomiyani bilishi va musiqani tushunishi kerak, deb ta'kidlagan. Tadqiqot ishlari raqamlar va falsafaning mistik tomonlarini bilishga qisqartirildi. Shuni ta'kidlash kerakki, o'sha paytda Pifagor tomonidan targ'ib qilingan tamoyillar hozirgi vaqtda taqlid qilishda ma'noga ega.

Pifagor shogirdlari tomonidan qilingan ko'plab kashfiyotlar unga tegishli edi. Shunga qaramay, qisqacha aytganda, o'sha davrning qadimgi tarixchilari va biograflari tomonidan Pifagor teoremasini yaratish tarixi bevosita ushbu faylasuf, mutafakkir va matematik nomi bilan bog'liq.

Pifagor ta'limoti

Ehtimol, tarixchilar buyuk yunonning oyoqlari va gipotenuzasi bo'lgan uchburchak hayotimizdagi barcha hodisalarni kodlaganligi haqidagi bayonotidan ilhomlangandir. Va bu uchburchak yuzaga keladigan barcha muammolarni hal qilishning "kalitidir". Buyuk faylasufning aytishicha, uchburchakni ko'rish kerak, shunda muammoning uchdan ikki qismi hal qilingan deb taxmin qilish mumkin.

Pifagor o'z ta'limotini faqat o'z shogirdlariga og'zaki, hech qanday qayd qilmasdan, sir saqlagan holda aytib bergan. Afsuski, eng buyuk faylasufning ta'limoti bugungi kungacha saqlanib qolgani yo'q. Ularning ba'zilari tashqariga chiqib ketgan, ammo ma'lum bo'lgan narsaning qanchalik haqiqat va qanchalik yolg'on ekanligini aytish mumkin emas. Pifagor teoremasining tarixi bilan ham hamma narsa aniq emas. Matematika tarixchilari Pifagorning muallifligiga shubha qilishadi, ularning fikricha, teorema uning tug'ilishidan ko'p asrlar oldin ishlatilgan.

Pifagor teoremasi

Bu g'alati tuyulishi mumkin, ammo Pifagorning o'zi tomonidan teoremani isbotlashning tarixiy faktlari yo'q - na arxivlarda, na boshqa manbalarda. Zamonaviy versiyada u Evklidning o'zidan boshqa hech kimga tegishli emas, deb ishoniladi.

Miloddan avvalgi 2300-yillarda misrliklar tomonidan yozilgan Berlin muzeyida saqlanadigan papirusda kashf etilgan eng buyuk matematika tarixchilaridan biri Morits Kantor haqida dalillar mavjud. e. tenglik, o'qiydi: 3² + 4² = 5².

Pifagor teoremasi tarixidan qisqacha

Tarjimada Evklidning "Boshlanishlari" teoremasining formulasi zamonaviy talqindagi kabi eshitiladi. Uni o'qishda hech qanday yangilik yo'q: to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonning kvadrati to'g'ri burchakka ulashgan tomonlarning kvadratlari yig'indisiga teng. Hindiston va Xitoyning qadimgi sivilizatsiyalari teoremadan foydalanganligi "Chjou Bi Suan Jin" risolasi bilan tasdiqlangan. Unda Misr uchburchagi haqidagi ma'lumotlar mavjud bo'lib, tomonlar nisbati 3:4:5 sifatida tasvirlangan.

Yana bir qiziqarli Xitoy matematik kitobi "Chu-pei" ham Pifagor uchburchagi haqida tushuntirish va Basxara hindu geometriyasi chizmalariga to'g'ri keladigan chizmalarni eslatib o'tadi. Uchburchakning o'zi haqida kitobda aytilishicha, agar to'g'ri burchakni uning tarkibiy qismlariga ajratish mumkin bo'lsa, u holda tomonlarning uchlarini bog'laydigan chiziq beshga teng bo'ladi, agar poydevor uchta bo'lsa va balandligi to'rtta bo'lsa.

Miloddan avvalgi 7-5-asrlarga oid hindlarning "Sulva sutra" risolasi. e., Misr uchburchagi yordamida to'g'ri burchakni qurish haqida gapiradi.

Teoremaning isboti

O'rta asrlarda talabalar teoremani isbotlashni juda qiyin deb hisoblashgan. Zaif o‘quvchilar isbotning ma’nosini tushunmay, teoremalarni yoddan o‘rgandilar. Shu munosabat bilan ular "eshaklar" laqabini oldilar, chunki Pifagor teoremasi ular uchun eshak uchun ko'prik kabi engib bo'lmaydigan to'siq edi. O'rta asrlarda talabalar ushbu teorema mavzusi bo'yicha o'ynoqi she'r bilan chiqishdi.

Pifagor teoremasini eng oson yo'l bilan isbotlash uchun, isbotda maydonlar tushunchasidan foydalanmasdan, uning tomonlarini o'lchashingiz kerak. To'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonning uzunligi c va unga qo'shni a va b, natijada biz tenglamani olamiz: a 2 + b 2 \u003d c 2. Ushbu bayonot, yuqorida aytib o'tilganidek, to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari uzunligini o'lchash orqali tasdiqlanadi.

Agar biz teoremani isbotlashni uchburchakning yon tomonlarida qurilgan to'rtburchaklar maydonini hisobga olgan holda boshlasak, butun shaklning maydonini aniqlashimiz mumkin. Bu yon tomoni (a + b) bo'lgan kvadratning maydoniga, boshqa tomondan, to'rtta uchburchak va ichki kvadrat maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2;

c 2 = a 2 + b 2, bu isbotlanishi kerak edi.

Pifagor teoremasining amaliy ahamiyati shundan iboratki, uning yordamida segmentlarning uzunliklarini o‘lchamasdan topish mumkin. Tuzilmalarni qurishda masofalar, tayanchlar va nurlarni joylashtirish hisoblab chiqiladi, tortishish markazlari aniqlanadi. Pifagor teoremasi barcha zamonaviy texnologiyalarda ham qo'llaniladi. Ular 3D-6D o'lchamdagi filmlarni yaratishda teoremani unutmadilar, bu erda odatdagi 3 ta qiymatdan tashqari: balandlik, uzunlik, kenglik, vaqt, hid va ta'm hisobga olinadi. Ta'm va hidlar teorema bilan qanday bog'liq, deb so'raysizmi? Hamma narsa juda oddiy - filmni namoyish qilishda siz auditoriyaga qaerga va qanday hid va ta'mni yo'naltirishni hisoblashingiz kerak.

Bu faqat boshlanishi. Yangi texnologiyalarni kashf qilish va yaratish uchun cheksiz imkoniyatlar qiziquvchan aqllarni kutmoqda.

Bir narsada, siz yuz foiz amin bo'lishingiz mumkinki, gipotenuzaning kvadrati nima degan savolga, har qanday kattalar jasorat bilan javob beradi: "Oyoq kvadratlarining yig'indisi". Bu teorema har bir o'qimishli odamning ongiga mustahkam o'rnashib olgan, ammo buni isbotlashni kimdandir so'rashning o'zi kifoya, keyin esa qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin. Shuning uchun, Pifagor teoremasini isbotlashning turli usullarini eslaylik va ko'rib chiqamiz.

Biografiyaning qisqacha tavsifi

Pifagor teoremasi deyarli hamma uchun tanish, lekin negadir uni yaratgan odamning tarjimai holi unchalik mashhur emas. Biz tuzatamiz. Shuning uchun, Pifagor teoremasini isbotlashning turli usullarini o'rganishdan oldin, siz uning shaxsiyati bilan qisqacha tanishishingiz kerak.

Pifagor - faylasuf, matematik, mutafakkir, asli bugungi kunda uning tarjimai holini bu buyuk shaxs xotirasiga yaratilgan afsonalardan ajratish juda qiyin. Ammo uning izdoshlarining yozuvlaridan kelib chiqqan holda, Samoslik Pifagor Samos orolida tug'ilgan. Uning otasi oddiy tosh kesuvchi edi, lekin onasi zodagon oiladan chiqqan.

Afsonaga ko'ra, Pifagorning tug'ilishi Pifiya ismli ayol tomonidan bashorat qilingan, uning sharafiga bolakay deb nomlangan. Uning bashoratiga ko'ra, tug'ilgan o'g'il bola insoniyatga ko'p foyda va yaxshilik keltirishi kerak edi. U aslida nima qildi.

Teoremaning tug'ilishi

Pifagor yoshligida Misrning mashhur donishmandlari bilan uchrashish uchun Misrga ko'chib o'tadi. Ular bilan uchrashgandan so'ng u o'qishga qabul qilindi va u erda Misr falsafasi, matematikasi va tibbiyotining barcha buyuk yutuqlarini o'rgandi.

Ehtimol, Misrda Pifagor piramidalarning ulug'vorligi va go'zalligidan ilhomlanib, o'zining buyuk nazariyasini yaratgan. Bu o'quvchilarni hayratda qoldirishi mumkin, ammo zamonaviy tarixchilar Pifagor o'z nazariyasini isbotlamagan deb hisoblashadi. Ammo u o'z bilimlarini faqat izdoshlariga topshirdi, ular keyinchalik barcha kerakli matematik hisob-kitoblarni yakunladilar.

Qanday bo'lmasin, bugungi kunda bu teoremani isbotlashning bitta usuli emas, balki bir vaqtning o'zida bir nechtasi ma'lum. Bugungi kunda biz qadimgi yunonlar o'zlarining hisob-kitoblarini qanday aniq amalga oshirganliklarini taxmin qilishimiz mumkin, shuning uchun bu erda Pifagor teoremasini isbotlashning turli usullarini ko'rib chiqamiz.

Pifagor teoremasi

Har qanday hisob-kitoblarni boshlashdan oldin, qaysi nazariyani isbotlash kerakligini aniqlab olishingiz kerak. Pifagor teoremasi shunday yangraydi: "Burchaklaridan biri 90 o bo'lgan uchburchakda, oyoqlarning kvadratlari yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga tengdir".

Pifagor teoremasini isbotlashning jami 15 xil usuli mavjud. Bu juda katta raqam, shuning uchun ularning eng mashhurlariga e'tibor qarataylik.

Birinchi usul

Keling, avvalo bizda nima borligini aniqlaylik. Ushbu ma'lumotlar Pifagor teoremasini isbotlashning boshqa usullariga ham tegishli bo'ladi, shuning uchun siz barcha mavjud yozuvlarni darhol eslab qolishingiz kerak.

Aytaylik, a, b oyoqlari va gipotenuzasi c ga teng bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak berilgan. Birinchi isbotlash usuli to'g'ri burchakli uchburchakdan kvadrat chizish kerakligiga asoslanadi.

Buni amalga oshirish uchun oyoq uzunligi a ga oyog'iga teng segmentni chizishingiz kerak va aksincha. Shunday qilib, kvadratning ikkita teng tomoni bo'lishi kerak. Faqat ikkita parallel chiziq chizish uchun qoladi va kvadrat tayyor.

Olingan rasmning ichida siz asl uchburchakning gipotenuzasiga teng bo'lgan boshqa kvadratni chizishingiz kerak. Buning uchun ac va sv uchlaridan c ga teng ikkita parallel segmentni chizish kerak. Shunday qilib, biz kvadratning uchta tomonini olamiz, ulardan biri asl to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi. To'rtinchi segmentni chizish uchungina qoladi.

Olingan raqamga asoslanib, biz tashqi kvadratning maydoni (a + b) 2 degan xulosaga kelishimiz mumkin. Agar siz rasmning ichiga qarasangiz, unda ichki kvadratdan tashqari to'rtta to'g'ri burchakli uchburchak borligini ko'rishingiz mumkin. Har birining maydoni 0,5 av.

Shunday qilib, maydon: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Demak (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Va shuning uchun 2 \u003d a 2 + in 2 bilan

Teorema isbotlangan.

Ikkinchi usul: o'xshash uchburchaklar

Pifagor teoremasini isbotlash uchun ushbu formula geometriyaning o'xshash uchburchaklar haqidagi bo'limidan olingan bayonot asosida olingan. Unda aytilishicha, to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i uning gipotenuzasiga va 90 o burchakning tepasidan chiqadigan gipotenuza segmentiga o'rtacha proportsionaldir.

Dastlabki ma'lumotlar bir xil bo'lib qoladi, shuning uchun darhol isbot bilan boshlaylik. AB tomoniga perpendikulyar CD segmentini chizamiz. Yuqoridagi bayonotga asoslanib, uchburchaklarning oyoqlari tengdir:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Pifagor teoremasini qanday isbotlash mumkinligi haqidagi savolga javob berish uchun ikkala tengsizlikni kvadratga solish orqali isbotlash kerak.

AC 2 \u003d AB * HELL va SV 2 \u003d AB * DV

Endi biz hosil bo'lgan tengsizliklarni qo'shishimiz kerak.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), bu erda AD + DV \u003d AB

Ma'lum bo'lishicha:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Va shuning uchun:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Pifagor teoremasining isboti va uni echishning turli usullari bu muammoga har tomonlama yondashishni talab qiladi. Biroq, bu variant eng oddiylaridan biridir.

Boshqa hisoblash usuli

Pifagor teoremasini isbotlashning turli usullarini tavsiflash, siz o'zingiz mashq qilishni boshlamaguningizcha, hech narsa demasligi mumkin. Ko'pgina usullar nafaqat matematik hisob-kitoblarni, balki dastlabki uchburchakdan yangi raqamlarni qurishni ham o'z ichiga oladi.

Bunday holda, samolyotning oyog'idan yana bir to'g'ri burchakli VSD uchburchagini bajarish kerak. Shunday qilib, endi umumiy oyog'i BC bo'lgan ikkita uchburchak mavjud.

O'xshash raqamlarning maydonlari ularning o'xshash chiziqli o'lchamlari kvadratlari kabi nisbatga ega ekanligini bilib, u holda:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (2 dan 2 gacha) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

2 dan 2 gacha \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + 2 da

Ushbu variant 8-sinf uchun Pifagor teoremasini isbotlashning turli usullaridan deyarli mos kelmasligi sababli, siz quyidagi texnikadan foydalanishingiz mumkin.

Pifagor teoremasini isbotlashning eng oson yo'li. Sharhlar

Tarixchilarning fikriga ko'ra, bu usul birinchi bo'lib qadimgi Yunonistonda teoremani isbotlash uchun ishlatilgan. Bu eng oddiy, chunki u hech qanday hisob-kitoblarni talab qilmaydi. Agar siz rasmni to'g'ri chizsangiz, u holda a 2 + b 2 \u003d c 2 aniq ko'rinadi, degan bayonotning isboti.

Ushbu usulning shartlari avvalgisidan biroz farq qiladi. Teoremani isbotlash uchun ABC to‘g‘ri burchakli uchburchak teng yon tomonli deb faraz qilaylik.

Kvadratning tomoni sifatida AC gipotenuzasini olamiz va uning uch tomonini chizamiz. Bundan tashqari, hosil bo'lgan kvadratda ikkita diagonal chiziq chizish kerak. Shunday qilib, uning ichida siz to'rtta teng yonli uchburchak olasiz.

AB va CB oyoqlariga, shuningdek, kvadrat chizish va ularning har birida bitta diagonal chiziq chizish kerak. Biz birinchi chiziqni A tepasidan, ikkinchisini - C dan chizamiz.

Endi siz olingan rasmga diqqat bilan qarashingiz kerak. AC gipotenuzasida to'rtta uchburchak bo'lgani uchun, ular asl uchga teng va oyoqlarda ikkitasi, bu teoremaning to'g'riligini ko'rsatadi.

Aytgancha, Pifagor teoremasini isbotlashning ushbu usuli tufayli mashhur ibora tug'ildi: "Pifagor shimlari barcha yo'nalishlarda tengdir".

J. Garfildning isboti

Jeyms Garfild Amerika Qo'shma Shtatlarining 20-prezidenti. Qo'shma Shtatlar hukmdori sifatida tarixda o'z izini qoldirgandan tashqari, u o'zini o'zi o'rgatgan qobiliyatli edi.

Faoliyatining boshida u xalq maktabida oddiy o‘qituvchi bo‘lgan bo‘lsa, tez orada oliy o‘quv yurtlaridan biriga direktor bo‘ldi. O'z-o'zini rivojlantirish istagi va unga Pifagor teoremasini isbotlashning yangi nazariyasini taklif qilishga imkon berdi. Teorema va uni yechish misoli quyidagicha.

Avval qog'ozga ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni chizishingiz kerak, shunda ulardan birining oyog'i ikkinchisining davomi bo'ladi. Ushbu uchburchaklarning uchlari trapezoid bilan tugashi uchun ulanishi kerak.

Ma'lumki, trapetsiyaning maydoni uning asoslari va balandligi yig'indisining yarmiga teng.

S=a+b/2 * (a+b)

Olingan trapetsiyani uchta uchburchakdan iborat shakl deb hisoblasak, uning maydonini quyidagicha topish mumkin:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2/2

Endi biz ikkita asl iborani tenglashtirishimiz kerak

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

c 2 \u003d a 2 + 2 da

Pifagor teoremasi va uni isbotlash usullari haqida bir nechta jild darslik yozish mumkin. Ammo bu bilimlarni amalda qo'llash mumkin bo'lmasa, mantiqiymi?

Pifagor teoremasining amaliy qo'llanilishi

Afsuski, zamonaviy maktab dasturlarida bu teoremadan faqat geometrik masalalarda foydalanish nazarda tutilgan. Bitiruvchilar o‘z bilim va ko‘nikmalarini amalda qanday qo‘llashni bilmay, tez orada maktab devorlarini tark etishadi.

Aslida, o'zingizning Pifagor teoremasidan foydalaning Kundalik hayot hamma mumkin. Va nafaqat professional faoliyatda, balki oddiy uy ishlarida ham. Keling, Pifagor teoremasi va uni isbotlash usullari juda zarur bo'lishi mumkin bo'lgan bir nechta holatlarni ko'rib chiqaylik.

Teorema va astronomiyaning aloqadorligi

Yulduzlar va uchburchaklarni qog'ozga qanday ulash mumkinligi ko'rinadi. Darhaqiqat, astronomiya Pifagor teoremasi keng qo'llaniladigan ilmiy sohadir.

Masalan, yorug'lik nurining kosmosdagi harakatini ko'rib chiqing. Biz bilamizki, yorug'lik ikki yo'nalishda bir xil tezlikda tarqaladi. Yorug'lik nuri harakatlanadigan traektoriyani AB deb ataymiz l. Va yorug'likning A nuqtadan B nuqtasiga o'tishi uchun zarur bo'lgan vaqtning yarmi, keling, qo'ng'iroq qilaylik t. Va nurning tezligi - c. Ma'lum bo'lishicha: c*t=l

Agar siz xuddi shu nurni boshqa tekislikdan ko'rsangiz, masalan, v tezligida harakatlanadigan kosmik laynerdan, u holda jismlarni bunday kuzatish bilan ularning tezligi o'zgaradi. Bunday holda, hatto harakatsiz elementlar ham teskari yo'nalishda v tezlik bilan harakat qiladi.

Aytaylik, komiks layneri o‘ng tomonga suzib ketmoqda. Keyin A va B nuqtalari, ular orasida nur shoshilib, chapga siljiydi. Bundan tashqari, nur A nuqtadan B nuqtaga o'tganda, A nuqtasi harakat qilish uchun vaqt topadi va shunga ko'ra, yorug'lik allaqachon yangi C nuqtasiga etib boradi. A nuqtasi siljigan masofaning yarmini topish uchun siz uni ko'paytirishingiz kerak. laynerning tezligi nurning sayohat vaqtining yarmiga (t ").

Va yorug'lik nurlari shu vaqt ichida qancha masofani bosib o'tishini bilish uchun siz yangi olxa yo'lining yarmini belgilashingiz va quyidagi ifodani olishingiz kerak:

Agar biz C va B yorug'lik nuqtalari, shuningdek, fazo chizig'i teng yonli uchburchakning uchlari ekanligini tasavvur qilsak, A nuqtadan chiziqqa bo'lgan segment uni ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka bo'ladi. Shuning uchun, Pifagor teoremasi tufayli siz yorug'lik nurining o'tishi mumkin bo'lgan masofani topishingiz mumkin.

Bu misol, albatta, eng muvaffaqiyatli emas, chunki amalda sinab ko'rish uchun faqat bir nechtasi omadli bo'lishi mumkin. Shuning uchun biz ushbu teoremaning oddiyroq qo'llanilishini ko'rib chiqamiz.

Mobil signal uzatish diapazoni

Zamonaviy hayotni endi smartfonlarsiz tasavvur qilib bo'lmaydi. Ammo abonentlarni mobil aloqa orqali ulay olmasalar, ulardan qanchalik foyda bo‘lardi?!

Mobil aloqa sifati to'g'ridan-to'g'ri uyali aloqa operatorining antennasi joylashgan balandlikka bog'liq. Mobil minoradan qancha masofada telefon signalni qabul qilishi mumkinligini hisoblash uchun siz Pifagor teoremasini qo'llashingiz mumkin.

Aytaylik, siz statsionar minoraning taxminiy balandligini topishingiz kerak, shunda u signalni 200 kilometr radiusda tarqata oladi.

AB (minora balandligi) = x;

BC (signal uzatish radiusi) = 200 km;

OS (globus radiusi) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Pifagor teoremasini qo'llash orqali biz minoraning minimal balandligi 2,3 kilometr bo'lishi kerakligini aniqlaymiz.

Kundalik hayotda Pifagor teoremasi

G'alati, Pifagor teoremasi, masalan, shkafning balandligini aniqlash kabi kundalik masalalarda ham foydali bo'lishi mumkin. Bir qarashda, bunday murakkab hisob-kitoblarni qo'llashning hojati yo'q, chunki siz oddiygina lenta o'lchovi bilan o'lchovlarni olishingiz mumkin. Ammo ko'pchilik, agar barcha o'lchovlar aniqroq bajarilgan bo'lsa, nega yig'ish jarayonida ma'lum muammolar paydo bo'lishiga hayron bo'lishadi.

Haqiqat shundaki, shkaf gorizontal holatda yig'iladi va shundan keyingina ko'tariladi va devorga o'rnatiladi. Shuning uchun, strukturani ko'tarish jarayonida shkafning yon devori xonaning balandligi va diagonali bo'ylab erkin o'tishi kerak.

Aytaylik, 800 mm chuqurlikdagi shkaf bor. Zamindan shiftgacha bo'lgan masofa - 2600 mm. Tajribali mebel ishlab chiqaruvchisi shkafning balandligi xonaning balandligidan 126 mm kamroq bo'lishi kerakligini aytadi. Lekin nima uchun aynan 126 mm? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Shkafning ideal o'lchamlari bilan Pifagor teoremasining ishlashini tekshiramiz:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - hamma narsa birlashadi.

Aytaylik, shkafning balandligi 2474 mm emas, balki 2505 mm. Keyin:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Shuning uchun, bu kabinet bu xonada o'rnatish uchun mos emas. Chunki uni vertikal holatga ko'tarishda uning tanasiga zarar yetkazilishi mumkin.

Ehtimol, turli olimlar tomonidan Pifagor teoremasini isbotlashning turli usullarini ko'rib chiqib, biz bu haqiqatdan ham ko'proq degan xulosaga kelishimiz mumkin. Endi siz kundalik hayotingizda olingan ma'lumotlardan foydalanishingiz mumkin va barcha hisob-kitoblar nafaqat foydali, balki to'g'ri bo'lishiga to'liq ishonch hosil qilishingiz mumkin.