Визначення середнього перпендикуляра. Чотири чудові точки трикутника

Серединний перпендикуляр (серединний перпендикулярабо медіатриса) - Пряма, перпендикулярна до даного відрізку і проходить через його середину.

Властивості

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$де нижній індекс позначає сторону, до якої проведено перпендикуляр, $S$- площа трикутника, а також передбачається, що сторони пов'язані нерівностями $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\; \backslash geq\; p\_b$і $p\_c\; \backslash geq\; p\_b.$Іншими словами, у трикутника найменший серединний перпендикуляр відноситься до середнього відрізка.

Напишіть відгук про статтю "Серединний перпендикуляр"

Примітки

Уривок, що характеризує Серединний перпендикуляр

Кутузов, зупинившись жувати, здивовано, ніби не розуміючи того, що йому говорили, дивився на Вольцогена. Вольцоген, помітивши хвилювання des alten Herrn, [старого пана (нім.)] з посмішкою сказав:
– Я не вважав себе вправі приховати від вашої світлості того, що я бачив… Війська у повному розладі…
- Ви бачили? Ви бачили?.. – насупившись, закричав Кутузов, швидко підводячись і наступаючи на Вольцогена. - Як ви... як ви смієте!.. - роблячи загрозливі жести тремтячими руками і захлинаючись, закричав він. - Як змиєте ви, милостивий пане, говорити це мені. Ви нічого не знаєте. Передайте від мене генералу Барклаю, що його відомості неправильні і що справжній хід битви відомий мені, головнокомандувачу, краще, ніж йому.
Вольцоген хотів заперечити щось, але Кутузов перебив його.
– Ворог відбитий на лівому та вражений на правому фланзі. Якщо ви погано бачили, милостивий пане, то не дозволяйте собі говорити того, чого ви не знаєте. Будьте ласкаві їхати до генерала Барклая і передати йому назавтра мій неодмінний намір атакувати ворога, - суворо сказав Кутузов. Всі мовчали, і чути було одне важке дихання захеканого старого генерала. - Відбиті скрізь, за що я дякую богові і нашому хороброму війську. Ворог переможений, і завтра поженемо його зі священної землі російської, - сказав Кутузов, хрестячись; і раптом схлипнув від сліз. Вольцоген, знизавши плечима і скрививши губи, мовчки відійшов до сторони, дивуючись uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [на це самодурство старого пана. (нім.)]
- Так, ось він, мій герой, - сказав Кутузов до повного гарного чорнявого генерала, який у цей час входив на курган. Це був Раєвський, який провів весь день на головному пункті Бородінського поля.
Раєвський доносив, що війська твердо стоять на своїх місцях і що французи не сміють атакувати більше. Вислухавши його, Кутузов французькою мовив:
- Vous ne pensez no pas comme lesautres que nuevos sommes obliges de nous retirer? [Ви, отже, не думаєте, як інші, що ми маємо відступити?]

Інструкція

Через точки перетину кіл проведіть пряму. Ви отримали середній перпендикуляр до заданого відрізка.

Нехай тепер нам задана точка та пряма. Необхідно провести перпендикуляр із цієї точки до .Поставте голку в крапку. Проведіть коло радіусу (радіус повинен бути від точки до прямої, щоб коло могло перетнути пряме у двох точках). Тепер у вас є дві точки на прямій. Ці точки створюють відрізок. Побудуйте серединний перпендикуляр до відрізка, кінцями є отримані точки за алгоритмом, розглянутим вище. Перпендикуляр має пройти крізь початкову точку.

Побудова прямих – основа технічного креслення. Наразі це все частіше робиться за допомогою графічних редакторів, які надають проектувальнику великі можливості. Однак деякі принципи побудови залишаються тими ж, що й у класичному кресленні – за допомогою олівця та лінійки.

Вам знадобиться

• - аркуш паперу;
• - олівець;
• - Лінійка;
• - комп'ютер із програмою AutoCAD.

Інструкція

Почніть із класичної побудови. Визначте площину, в якій ви будуватимете пряму. Нехай це буде поверхня аркуша паперу. Залежно від умов завдання розташуйте. Вони можуть бути довільними, але не виключено, що задана система координат. Довільні точки поставте там, де вам сподобається. Позначте їх як А та В. За допомогою лінійки з'єднайте їх. Згідно з аксіомою, через дві точки завжди можна провести пряму, до того ж лише одну.

Накресліть систему координат. Нехай вам дані точки А (х1; у1). Щоб їх необхідно відкласти по осі х потрібне число і провести через зазначену точку пряму, паралельну осі у. Потім відкладіть величину, рівну у1, відповідною осі. З зазначеної точки проведіть перпендикуляр до перетину з . Місце їх перетину і буде точкою А. Таким чином знайдіть точку В, координати якої можна позначити як (х2; у2). З'єднайте обидві точки.

У програмі AutoCAD пряму можна побудувати декількома. Функція "по" зазвичай встановлена ​​за замовчуванням. У верхньому меню знайдіть вкладку «Головна». Ви побачите перед собою панель "Малювання". Знайдіть кнопку із зображенням прямої лінії та натисніть на неї.

AutoCAD дозволяє також задати координати обох. Наберіть у що знаходиться внизу командному рядку(_xline). Натисніть клавішу Enter. Введіть координати першої точки і натисніть на введення. Так само визначте і другу точку. Її можна вказати і клацанням миші, поставивши курсор у потрібну точкуекрану.

У AutoCAD можна побудувати пряму не лише по двох точках, але й за кутом нахилу. У контекстному меню "Малювання" виберіть пряму, а потім опцію "Кут". Вихідну точку можна поставити клацанням миші або по , як і в попередньому способі. Потім встановіть розмір кута та натисніть на введення. За умовчанням пряма розташується під потрібним кутом горизонталі.

Відео на тему

На комплексному кресленні (епюрі) перпендикулярністьпрямий і площинівизначається основними положеннями: якщо одна сторона прямого кутапаралельна площиніпроекцій, то цю площину прямий кут проектується без спотворення; якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються площині, вона перпендикулярна до цієї площині.

Вам знадобиться

• Олівець, лінійка, транспортир, трикутник.

Інструкція

Приклад: через точку M провести перпендикуляр до площиніЩоб провести перпендикуляр до площині, слідує дві перетинаються прямі, що лежать у цій площиніі побудувати перпендикулярну до них пряму. В якості цих двох прямих, що перетинаються, вибираються фронталь і горизонталь. площині.

Фронталь f(f₁f₂) – це пряма, що лежить у площиніта паралельна фронтальній площиніпроекцій П₂. Значить f₂ її натуральній величині, а f₁ завжди паралельна x₁₂. З точки А₂ проведіть h₂ паралельно x₁₂ та отримайте на В₂С₂ точку 1₂.

За допомогою проекційної лінії зв'язку точку 1₁ на В₁С₁. Поєднайте з А₁ – це h₁ – натуральна величина горизонталі. З точки В₁ проведіть f₁‖x₁₂, на А₁С₁ отримайте точку 2₁. Знайдіть за допомогою лінії проекційного зв'язку точку 2₂ на А₂С₂. Поєднайте з точкою В₂ – це буде f₂ – натуральна величина фронталі.

Побудовані натуральні горизонталі h₁ та фронталі f₂ проекцій перпендикуляра до площині. З точки М₂ проведіть його фронтальну проекцію a₂ під кутом 90

У трикутнику є так звані чотири чудові точки: точка перетину медіан. Точка перетину бісектрис, точка перетину висот та точка перетину серединних перпендикулярів. Розглянемо кожну їх.

Точка перетину медіан трикутника

Теорема 1

Про перетин медіан трикутника: Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться точкою перетину щодо $2:1 починаючи з вершини.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ його медіани. Оскільки медіани ділять сторони навпіл. Розглянемо середню лінію $A_1B_1$ (Мал. 1).

Малюнок 1. Медіани трикутника

За теореми 1, $AB||A_1B_1$ і $AB=2A_1B_1$, отже, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Отже трикутники $ABM$ і $A_1B_1M$ подібні до першого ознакою подобитрикутників. Тоді

Аналогічно доводиться, що

Теорему доведено.

Точка перетину бісектрис трикутника

Теорема 2

Про перетин бісектрис трикутника: Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $AM,\BP,\CK$ його бісектриси. Нехай точка $O$ - точка перетину бісектрис $AM\ і BP$. Проведемо із цієї точки перпендикуляри до сторін трикутника (рис. 2).

Рисунок 2. Бісектриси трикутника

Теорема 3

Кожна точка бісектриси нерозгорнутого кута рівновіддалена від його сторін.

По теоремі 3, маємо: $ OX = OZ, \ OX = OY $. Отже, $ OY = OZ $. Значить точка $O$ рівновіддалена від сторін кута $ACB$ і, отже, лежить на його бісектрисі $CK$.

Теорему доведено.

Крапка перетину серединних перпендикулярів трикутника

Теорема 4

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються лише у точці.

Доведення.

Нехай дано трикутник $ ABC $, $ n, \ m, \ p $ його серединні перпендикуляри. Нехай точка $O$ - точка перетину серединних перпендикулярів $n і $ (рис. 3).

Рисунок 3. Серединні перпендикуляри трикутника

Для підтвердження нам потрібна наступна теорема.

Теорема 5

Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка.

За теоремою 3, маємо: $ OB = OC, \ OB = OA $. Отже, $OA=OC$. Значить точка $O$ рівновіддалена від кінців відрізка $AC$ і, отже, лежить на його серединному перпендикулярі $p$.

Теорему доведено.

Точка перетину висот трикутника

Теорема 6

Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ його висоти. Проведемо через кожну вершину трикутника пряму, паралельну до протилежної вершини стороні. Отримуємо новий трикутник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).

Рисунок 4. Висоти трикутника

Оскільки $AC_2BC$ і $B_2ABC$ паралелограми із загальною стороною, $AC_2=AB_2$, тобто точка $A$ -- середина сторони $C_2B_2$. Аналогічно, отримуємо, що точка $B$ - середина сторони $C_2A_2$, а точка $C$ - середина сторони $A_2B_2$. З побудови ми маємо, що $(CC)_1\bot A_2B_2,\(BB)_1\bot A_2C_2,\(AA)_1\bot C_2B_2$. Отже, $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ - серединні перпендикуляри трикутника $A_2B_2C_2$. Тоді, за теоремою 4, маємо, що висоти $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ перетинаються в одній точці.