Рух тіла кинутого вертикально формули. Вільне падіння тіл

Ви знаєте, що при падінні будь-якого тіла на Землю його швидкість збільшується. Довгий час вважали, що Земля повідомляє різні тіла різні прискорення. Прості спостереження начебто підтверджують це.

Але тільки Галілею вдалося досвідченим шляхом довести, що насправді це не так. Потрібно враховувати опір повітря. Саме воно спотворює картину вільного падіння тіл, яку можна було б спостерігати за відсутності земної атмосфери. Для перевірки свого припущення Галілей, за переказами, спостерігав падіння зі знаменитої похилої Пізанської вежі різних тіл (гарматне ядро, куля мушкетів і т. д.). Всі ці тіла досягали Землі практично одночасно.

Особливо простий і переконливий досвід із так званою трубкою Ньютона. У скляну трубку поміщають різні предмети: дробинки, шматочки пробки, пушинки і т. д. Якщо тепер перевернути трубку так, щоб ці предмети могли падати, то найшвидше промайне дробинка, за нею шматочки пробки і, нарешті, плавно опуститься пушинка (мал. 1 а). Але якщо викачати з трубки повітря, все відбудеться зовсім інакше: пушинка падатиме, не відстаючи від дробинки і пробки (рис. 1, б). Отже, її рух затримувався опором повітря, яке меншою мірою позначалося на русі, наприклад, пробки. Коли ж ці тіла діє лише тяжіння до Землі, всі вони падають з тим самим прискоренням.

Рис. 1

• Вільним падінням називається рух тіла лише під впливом тяжіння до Землі.(без опору повітря).

Прискорення, що повідомляється всім тілам земною кулею, називають прискоренням вільного падіння. Його модуль ми позначатимемо літерою g. Вільне падіння не обов'язково є рухом вниз. Якщо початкова швидкість спрямована вгору, то тіло при вільному падінні деякий час летітиме вгору, зменшуючи свою швидкість, і лише потім почне падати вниз.

Рух тіла по вертикалі

• Рівняння проекції швидкості на вісь 0Y: $\upsilon _(y) =\upsilon _(0y) +g_(y) \cdot t,$

рівняння руху вздовж осі 0Y: $y=y_(0) +\upsilon _(0y) \cdot t+\dfrac(g_(y) \cdot t^(2) )(2) =y_(0) +\dfrac(\upsilon _(y) )^(2) -\upsilon _(0y)^(2) )(2g_(y) ) ,$

де y 0 – початкова координата тіла; υ y- проекція кінцевої швидкості на вісь 0 Y; υ 0 y- Проекція початкової швидкості на вісь 0 Y; t- час, протягом якого змінюється швидкість (с); g y- проекція прискорення вільного падіння на вісь 0 Y.

• Якщо вісь 0 Yнаправити вгору (рис. 2), то g y = –g, і рівняння набудуть вигляду

$\begin(array)(c) (\upsilon _(y) =\upsilon _(0y) -g\cdot t,) \\ (\, y=y_(0) +\upsilon _(0y) \cdot t-\dfrac(g\cdot t^(2) )(2) =y_(0) -\dfrac(\upsilon _(y)^(2) -\upsilon _(0y)^(2) )(2g ) .) \end(array)$

Рис. 2 Приховані дані При русі тіла вниз

• "тіло падає" або "тіло впало" - υ 0 у = 0.

поверхня Землі, то:

• «тіло впало на землю» - h = 0.

Під час руху тіла вгору

• «тіло досягло максимальної висоти» - υ у = 0.

Якщо за початок відліку прийняти поверхня Землі, то:

• «тіло впало на землю» - h = 0;

• «тіло кинули із землі» - h 0 = 0.

• Час підйомутіла до максимальної висоти tпід час падіння з цієї висоти в вихідну точку tпад, а загальний час польоту t = 2tпід.

• Максимальна висота підйому тіла, кинутого вертикально вгору з нульової висоти (на максимальній висоті υ y = 0)

$h_(\max ) =\dfrac(\upsilon _(x)^(2) -\upsilon _(0y)^(2) )(-2g) =\dfrac(\upsilon _(0y)^(2) )(2g).$

Рух тіла, кинутого горизонтально

Окремим випадком руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, є рух тіла, кинутого горизонтально. Траєкторією є парабола з вершиною у точці кидання (рис. 3).

Рис. 3

Такий рух можна розкласти на два:

1) рівномірнерух по горизонталізі швидкістю υ 0 х (a x = 0)

• рівняння проекції швидкості: $\upsilon _(x) =\upsilon _(0x) =\upsilon _(0) $;
• рівняння руху: $x=x_(0) +\upsilon _(0x) \cdot t$;

2) рівноприскоренерух по вертикалііз прискоренням gта початковою швидкістю υ 0 у = 0.

Для опису руху вздовж осі 0 Yзастосовуються формули рівноприскореного руху по вертикалі:

• рівняння проекції швидкості: $\upsilon _(y) =\upsilon _(0y) +g_(y) \cdot t$;

• рівняння руху: $y=y_(0) +\dfrac(g_(y) \cdot t^(2) )(2) =y_(0) +\dfrac(\upsilon _(y)^(2) )(2g_( y) ) $.

• Якщо вісь 0 Yнаправити вгору, то g y = –g, і рівняння набудуть вигляду:

$\begin(array)(c) (\upsilon _(y) =-g\cdot t,\, ) \\ (y=y_(0) -\dfrac(g\cdot t^(2) )(2 ) =y_(0) -\dfrac(\upsilon _(y)^(2) )(2g) .) \end(array)$

• Дальність польотувизначається за такою формулою: $l=\upsilon _(0) \cdot t_(nad) .$

• Швидкість тіла у будь-який момент часу tдорівнюватиме (рис. 4):

$\upsilon =\sqrt(\upsilon _(x)^(2) +\upsilon _(y)^(2) ) ,$

де υ х = υ 0 x , υ y = g y tабо υ х= υ∙cos α, υ y= υ∙sin α.

Рис. 4

Під час вирішення завдань на вільне падіння

1. Виберіть тіло відліку, вкажіть початкове та кінцеве положення тіла, виберіть напрямок осей 0 Yта 0 Х.

2. Зобразіть тіло, вкажіть напрямок початкової швидкості (якщо вона дорівнює нулю, то напрямок миттєвої швидкості) та напрямок прискорення вільного падіння.

3. Запишіть вихідні рівняння у проекціях на вісь 0 Y(і, при необхідності, на вісь 0 X)

$\begin(array)(c) (0Y:\; \; \; \; \; \upsilon _(y) =\upsilon _(0y) +g_(y) \cdot t,\;\;\; (1)) \\ () \\ (y=y_(0) +\upsilon _(0y) \cdot t+\dfrac(g_(y) \cdot t^(2) )(2) =y_(0) +\dfrac(\upsilon _(y)^(2) -\upsilon _(0y)^(2) )(2g_(y) ) ,\;\;\;\;\;(;); \ (0X:\; \; \; \; \; \upsilon _(x) =\upsilon _(0x) +g_(x) \cdot t,\; \;\;(3)) \\ () \\ (x=x_(0) +\upsilon _(0x) \cdot t+\dfrac(g_(x) \cdot t^(2) )(2) .\;\;\;\;(4)) \end (array)$

4. Знайдіть значення проекцій кожної величини

x 0 = …, υ x = …, υ 0 x = …, g x = …, y 0 = …, υ y = …, υ 0 y = …, g y = ….

Примітка. Якщо вісь 0 Хспрямована горизонтально, то g x = 0.

5. Підставте отримані значення рівняння (1) - (4).

6. Розв'яжіть отриману систему рівнянь.

Примітка. У міру напрацювання навички розв'язання таких завдань пункт 4 можна буде робити в умі, без запису в зошит.

Запитання.

1. Чи діє сила тяжіння на тіло підкинуте вгору під час його підйому?

Сила тяжіння діє на всі тіла, незалежно від того, підкинуте воно вгору чи перебуває у стані спокою.

2. З яким прискоренням рухається підкинуте вгору тіло за відсутності тертя? Як при цьому змінюється швидкість руху тіла?

3. Від чого залежить найбільша висота підйому кинутого догори тіла у тому випадку, коли опір повітря можна знехтувати?

Висота підйому залежить від початкової швидкості. (Обчислення див. попереднє питання).

4. Що можна сказати про знаки проекцій векторів миттєвої швидкості тіла та прискорення вільного падіння при вільному русі цього тіла вгору?

При вільному русі тіла нагору знаки проекцій векторів швидкості та прискорення протилежні.

5. Як ставилися досліди, зображені на малюнку 30, і який висновок із них випливає?

Дослідження див. на стор. 58-59. Висновок: Якщо тіло діє лише сила тяжкості, його вага дорівнює нулю, тобто. воно перебуває у стані невагомості.

Вправи.

1. Тенісний м'яч кинули вертикально нагору з початковою швидкістю 9,8 м/с. Через який проміжок часу швидкість м'яча, що піднімається, зменшиться до нуля? Яке переміщення від місця кидка при цьому здійснить м'яч?

Рух тіла, кинутого вертикально нагору

І рівень. Прочитайте текст

Якщо деяке тіло вільно падатиме на Землю, то при цьому воно буде здійснювати рівноприскорений рух, причому швидкість зростатиме постійно, тому що вектор швидкості та вектор прискорення вільного падіння будуть спрямовані між собою.

Якщо ж підкинути деяке тіло вертикально вгору, і при цьому вважати, що опір повітря відсутній, то можна вважати, що воно теж здійснює рівноприскорений рух, з прискоренням вільного падіння, яке викликане силою тяжіння. Тільки в цьому випадку швидкість, яку ми надали тілу під час кидка, буде спрямована вгору, а прискорення вільного падіння спрямоване вниз, тобто вони будуть протилежно спрямовані один до одного. Тому швидкість поступово зменшуватиметься.

Через деякий час настане момент, коли швидкість дорівнюватиме нулю. У цей момент тіло досягне максимальної висоти і на якийсь момент зупиниться. Вочевидь, що, чим більшу початкову швидкість ми додамо тілу, тим більшу висоту воно підніметься на момент зупинки.

Усі формули для рівноприскореного руху можна застосувати для руху тіла, кинутого вгору. V0 завжди > 0

Рух тіла, кинутого вертикально вгору, є прямолінійним рухом з постійним прискоренням. Якщо направити координатну вісь OY вертикально вгору, сумісивши початок координат з поверхнею Землі, то для аналізу вільного падіння без початкової швидкості можна використовувати формулу http://www.pandia.ru/text/78/086/images/image002_13.gif " height="57 src=">

Поблизу поверхні Землі, за умови відсутності помітного впливу атмосфери, швидкість тіла, кинутого вертикально вгору, змінюється в часі за лінійним законом: https://pandia.ru/text/78/086/images/image004_7.gif" width="55" height = "28">.

Швидкість тіла на деякій висоті h можна знайти за формулою:

https://pandia.ru/text/78/086/images/image006_6.gif" width="65" height="58 src=">

Висота підйому тіла за деякий час, знаючи кінцеву швидкість

https://pandia.ru/text/78/086/images/image008_5.gif" width="676" height="302 src=">

IIIрівень. Розв'яжіть завдання. Для 9 б. 9а вирішує із задачника!

1. М'яч кинули вертикально нагору зі швидкістю 18 м/с. Яке переміщення зробить він за 3 с?

2. Стріла, випущена з лука вертикально нагору зі швидкістю 25 м/с, вражає ціль через 2 с. Яку швидкість мала стріла на момент досягнення мети?

3. З пружинного пістолета вистрілили вертикально вгору кулькою, яка піднялася на висоту 4,9 м. З якою швидкістю вилетіла кулька з пістолета?

4. Хлопчик кинув вертикально вгору м'ячик і упіймав його через 2 с. На яку висоту піднявся м'ячик і якою є його початкова швидкість?

5. З якою початковою швидкістю потрібно кинути тіло вертикально вгору, щоб через 10 с воно рухалося зі швидкістю 20 м/с униз?

6. «Шалтай-Болтай сидів на стіні (заввишки 20 м),

Шалтай-Болтай впав уві сні.

Чи потрібна вся королівська кіннота, вся королівська рать,

щоб Шалтая, щоб Болтая, Шалтая-Болтая,

Болта-Шалтая зібрати»

(якщо він розбивається лише за швидкості 23 м/с?)

То чи потрібна вся королівська кіннота?

7. Тепер грім шабель, шпор, султан,
І камер-юнкерський каптан
Візерунковий - красуням спокуса,
Чи не то була спокуса,
Коли з гвардії, інші від двору
Сюди на якийсь час приїжджали!
Кричали жінки: ура!
І в повітря чепчики кидали.

"Горе від розуму" .

Дівчина Катерина кидала свій чепчик нагору зі швидкістю 10 м/с. При цьому вона стояла на балконі два поверхи (на висоті 5 метрів). Скільки часу чепчик перебуватиме в польоті, якщо впаде він під ноги хороброму гусару Микиті Петровичу (природно стоїть під балконом на вулиці).

1588. Як визначити прискорення вільного падіння, маючи у своєму розпорядженні секундомір, сталеву кульку та шкалу заввишки до 3 м?

1589. Яка глибина шахти, якщо камінь, що вільно падає в неї, досягає дна через 2 с після початку падіння.

1590. Висота Останкінської телевежі 532 м. З її верхньої точки впустили цеглу. За який час він упаде на землю? Опір повітря не враховувати.

1591. Будівля Московського державного університету на Воробйових горах має висоту 240 м. З верхньої частини його шпиля відірвався шматок облицювання та вільно падає вниз. Через який час він досягне землі? Опір повітря не враховувати.

1592. Камінь вільно падає з урвища. Який шлях він пройде за восьму секунду від початку падіння?

1593. Цегла вільно падає з даху будівлі заввишки 122,5 м. Який шлях пройде цегла за останню мить свого падіння?

1594. Визначте глибину колодязя, якщо камінь, що впав у нього, торкнувся дна колодязя через 1 с.

1595. Зі столу висотою 80 см на підлогу падає олівець. Визначити час падіння.

1596. Тіло падає з висоти 30 м. Яка відстань вона проходить протягом останньої секунди падіння?

1597. Два тіла падають з різної висоти, але досягають землі в той самий момент часу; при цьому перше тіло падає 1 с, а друге – 2 с. На якій відстані від землі було друге тіло, коли перше почало падати?

1598. Доведіть, що час, протягом якого тіло, що рухається вертикально вгору, досягає найбільшої висоти h, дорівнює часу, протягом якого тіло падає з цієї висоти.

1599. Тіло рухається вертикально вниз із початковою швидкістю. На які найпростіші рухи можна розкласти такий рух? Напишіть формули для швидкості та пройденого шляху цього руху.

1600. Тіло кинуто вертикально нагору зі швидкістю 40 м/с. Обчисліть, на якій висоті буде тіло через 2, 6, 8 і 9 с, рахуючи від початку руху. Відповіді поясніть. Для спрощення розрахунків прийняти g рівним 10 м/с2.

1601. З якою швидкістю треба кинути тіло вертикально догори, щоб воно повернулося назад через 10 с?

1602. Стріла пущена вертикально нагору з початковою швидкістю 40 м/с. Через скільки секунд вона впаде на землю? Для спрощення розрахунків прийняти g рівним 10 м/с2.

1603. Аеростат рівномірно піднімається вертикально нагору зі швидкістю 4 м/с. До нього на мотузку підвішено вантаж. На висоті 217 м мотузок обривається. Через скільки секунд вантаж впаде на землю? Прийняти g дорівнює 10 м/с2.

1604. Камінь кинули вертикально нагору з початковою швидкістю 30 м/с. Через 3 с після початку руху першого каменю кинули також другий вгору з початковою швидкістю 45 м/с. На якій висоті каміння зустрінеться? Прийнятий g = 10 м/с2. Опір повітря знехтувати.

1605. Велосипедист піднімається нагору по ухилу завдовжки 100 м. Швидкість на початку підйому 18 км/год, а наприкінці 3 м/с. Передбачаючи рух рівноуповільненим, визначте, як довго тривало підйом.

1606. Санки рухаються вниз горою рівноприскорено з прискоренням 0,8 м/с2. Довжина гори 40 м. Скатившись з гори, санки продовжують рухатися рівногайно і зупиняються через 8 с.