ทัศนคติของพี่ เริ่มที่วิทยาศาสตร์

นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกกินเค้กชิ้นหนึ่งทุกปีในวันที่ 14 มีนาคม อย่างไรก็ตาม วันนี้เป็นวันของ Pi ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะที่โด่งดังที่สุด วันที่นี้เกี่ยวข้องโดยตรงกับตัวเลขที่มีหลักแรกคือ 3.14 Pi คืออัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง เนื่องจากเป็นจำนวนอตรรกยะ จึงเขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้ นี่เป็นจำนวนที่ยาวเป็นอนันต์ มันถูกค้นพบเมื่อหลายพันปีก่อนและได้รับการศึกษาอย่างต่อเนื่องตั้งแต่นั้นมา แต่ Pi มีความลับเหลืออยู่หรือไม่? ตั้งแต่ต้นกำเนิดในสมัยโบราณไปจนถึงอนาคตที่ไม่แน่นอน ต่อไปนี้คือข้อเท็จจริงที่น่าสนใจที่สุดบางส่วนเกี่ยวกับ pi

ท่องจำ Pi

บันทึกการจำตัวเลขหลังจุดทศนิยมเป็นของ Rajveer Meena จากอินเดียซึ่งสามารถจดจำตัวเลขได้ 70,000 หลัก - เขาตั้งค่าบันทึกเมื่อวันที่ 21 มีนาคม 2558 ก่อนหน้านั้นเจ้าของสถิติคือ Chao Lu จากประเทศจีนซึ่งสามารถจดจำตัวเลขได้ 67,890 หลัก - บันทึกนี้ตั้งขึ้นในปี 2548 เจ้าของสถิติอย่างไม่เป็นทางการคือ อากิระ ฮารากูจิ ซึ่งบันทึกในวิดีโอที่ซ้ำ 100,000 หลักในปี 2548 และเพิ่งเผยแพร่วิดีโอที่เขาจำได้ 117,000 หลัก บันทึกอย่างเป็นทางการจะกลายเป็นก็ต่อเมื่อวิดีโอนี้ถูกบันทึกต่อหน้าตัวแทนของ Guinness Book of Records และหากไม่มีการยืนยันก็ยังคงเป็นเพียงข้อเท็จจริงที่น่าประทับใจ แต่ไม่ถือว่าเป็นความสำเร็จ ผู้ที่ชื่นชอบคณิตศาสตร์ชอบที่จะจดจำตัวเลข Pi หลายคนใช้เทคนิคการช่วยจำต่างๆ เช่น บทกวี โดยที่จำนวนตัวอักษรในแต่ละคำจะเท่ากับ pi แต่ละภาษามีวลีที่แตกต่างกันออกไป ซึ่งช่วยให้จำทั้งตัวเลขสองสามหลักแรกและหลักร้อยได้

มีภาษาพาย

นักคณิตศาสตร์หลงใหลในวรรณคดีคิดค้นภาษาถิ่นซึ่งจำนวนตัวอักษรในทุกคำสอดคล้องกับตัวเลขของ Pi ในลำดับที่แน่นอน นักเขียน Mike Keith ยังเขียนหนังสือ Not a Wake ซึ่งเขียนด้วยภาษา Pi ทั้งหมด ผู้ที่ชื่นชอบความคิดสร้างสรรค์ดังกล่าวเขียนงานของตนตามจำนวนตัวอักษรและความหมายของตัวเลข สิ่งนี้ไม่มีการใช้งานจริง แต่เป็นปรากฏการณ์ที่ค่อนข้างธรรมดาและเป็นที่รู้จักกันดีในแวดวงนักวิทยาศาสตร์ที่กระตือรือร้น

การเติบโตแบบทวีคูณ

Pi เป็นจำนวนอนันต์ ดังนั้น ตามนิยามแล้ว ผู้คนจะไม่สามารถหาจำนวนที่แน่นอนของจำนวนนี้ได้ อย่างไรก็ตาม จำนวนหลักหลังจุดทศนิยมเพิ่มขึ้นอย่างมากตั้งแต่ครั้งแรกที่ใช้ Pi แม้แต่ชาวบาบิโลนก็ใช้มัน แต่เศษของสามและหนึ่งในแปดก็เพียงพอแล้วสำหรับพวกเขา ชาวจีนและผู้สร้างพันธสัญญาเดิมถูกจำกัดไว้เพียงสามคนเท่านั้น ในปี ค.ศ. 1665 เซอร์ไอแซก นิวตันได้คำนวณค่า pi ได้ 16 หลัก ในปี ค.ศ. 1719 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Tom Fante de Lagny ได้คำนวณตัวเลข 127 หลัก การถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ได้ปรับปรุงความรู้ของมนุษย์เกี่ยวกับ Pi อย่างมาก จากปี 1949 ถึงปี 1967 จำนวนหลักที่มนุษย์รู้จักเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วจากปี 2037 เป็น 500,000 เมื่อไม่นานมานี้ Peter Trueb นักวิทยาศาสตร์จากสวิตเซอร์แลนด์สามารถคำนวณ Pi ได้ 2.24 ล้านล้านหลัก! ใช้เวลา 105 วัน แน่นอนว่านี่ไม่ใช่ข้อจำกัด มีแนวโน้มว่าด้วยการพัฒนาเทคโนโลยีจะสามารถสร้างตัวเลขที่แม่นยำยิ่งขึ้นได้ เนื่องจาก Pi นั้นไม่มีที่สิ้นสุด ความแม่นยำไม่มีขีดจำกัด และมีเพียงคุณสมบัติทางเทคนิคของเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์เท่านั้นที่สามารถจำกัดมันได้

คำนวณ Pi ด้วยมือ

หากคุณต้องการค้นหาตัวเลขด้วยตัวเอง คุณสามารถใช้เทคนิคแบบเก่า - คุณจะต้องใช้ไม้บรรทัด เหยือก และเชือก คุณยังสามารถใช้ไม้โปรแทรกเตอร์และดินสอได้ ข้อเสียของการใช้ขวดโหลคือต้องกลม และความแม่นยำจะตัดสินด้วยว่าคนพันเชือกรอบขวดได้ดีแค่ไหน เป็นไปได้ที่จะวาดวงกลมด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ แต่ก็ต้องใช้ทักษะและความแม่นยำเช่นกัน เนื่องจากวงกลมที่ไม่เท่ากันอาจทำให้การวัดของคุณบิดเบี้ยวได้อย่างมาก วิธีการที่แม่นยำกว่านั้นเกี่ยวข้องกับการใช้เรขาคณิต แบ่งวงกลมออกเป็นส่วนๆ เช่น ชิ้นพิซซ่า แล้วคำนวณความยาวของเส้นตรงที่จะทำให้แต่ละส่วนกลายเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ผลรวมของด้านจะให้จำนวน pi โดยประมาณ ยิ่งคุณใช้เซกเมนต์มากเท่าไหร่ ตัวเลขก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น แน่นอน ในการคำนวณของคุณ คุณจะไม่สามารถเข้าใกล้ผลลัพธ์ของคอมพิวเตอร์ได้ อย่างไรก็ตาม การทดลองง่ายๆ เหล่านี้ช่วยให้คุณเข้าใจในรายละเอียดมากขึ้นว่า Pi คืออะไรโดยทั่วไปและนำไปใช้ในทางคณิตศาสตร์อย่างไร

การค้นพบ Pi

ชาวบาบิโลนโบราณรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของหมายเลข Pi แล้วเมื่อสี่พันปีก่อน แท็บเล็ตของชาวบาบิโลนคำนวณ Pi เป็น 3.125 และต้นกกทางคณิตศาสตร์ของอียิปต์มีหมายเลข 3.1605 ในพระคัมภีร์ หมายเลข Pi ถูกกำหนดเป็นความยาวที่ล้าสมัย เป็นหน่วยศอก และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก อาร์คิมิดีส ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่ออธิบาย Pi ซึ่งเป็นอัตราส่วนทางเรขาคณิตของความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและพื้นที่ของ ตัวเลขภายในและภายนอกวงกลม ดังนั้นจึงปลอดภัยที่จะบอกว่า Pi เป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด แม้ว่าชื่อที่แน่นอนของตัวเลขนี้จะปรากฏขึ้นค่อนข้างเร็ว

มิติใหม่ของ Pi

ก่อนที่ pi จะเกี่ยวข้องกับวงกลม นักคณิตศาสตร์มีหลายวิธีในการตั้งชื่อตัวเลขนี้ ตัวอย่างเช่น ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์โบราณ สามารถค้นหาวลีในภาษาละติน ซึ่งสามารถแปลได้คร่าวๆ ว่า "ปริมาณที่แสดงความยาวเมื่อคูณเส้นผ่านศูนย์กลาง" จำนวนอตรรกยะกลายเป็นที่รู้จักเมื่อนักวิทยาศาสตร์ชาวสวิส Leonhard Euler ใช้มันในงานของเขาเกี่ยวกับตรีโกณมิติในปี 1737 อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์กรีกสำหรับ pi ยังคงไม่ได้ใช้ - มันเกิดขึ้นในหนังสือของนักคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันน้อยกว่า วิลเลียม โจนส์เท่านั้น เขาใช้มันมาตั้งแต่ปี ค.ศ. 1706 แต่ก็ถูกละเลยไปนาน เมื่อเวลาผ่านไป นักวิทยาศาสตร์ได้นำชื่อนี้มาใช้ และตอนนี้ก็เป็นชื่อรุ่นที่มีชื่อเสียงที่สุด แม้ว่าก่อนหน้านี้จะเรียกว่าหมายเลข Ludolf ก็ตาม

pi ปกติไหม?

จำนวน pi นั้นแปลกอย่างแน่นอน แต่มันเป็นไปตามกฎคณิตศาสตร์ปกติอย่างไร? นักวิทยาศาสตร์ได้แก้ไขคำถามมากมายเกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะนี้แล้ว แต่ความลึกลับบางอย่างยังคงอยู่ ตัวอย่างเช่น ไม่รู้ว่าตัวเลขทั้งหมดถูกใช้บ่อยแค่ไหน ควรใช้ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 ในสัดส่วนที่เท่ากัน อย่างไรก็ตาม สถิติสามารถตรวจสอบได้สำหรับตัวเลขหลักล้านแรก แต่เนื่องจากจำนวนนั้นไม่มีที่สิ้นสุด จึงไม่สามารถพิสูจน์อะไรได้อย่างแน่นอน ยังมีปัญหาอื่น ๆ ที่ยังหลบเลี่ยงนักวิทยาศาสตร์ เป็นไปได้ว่าการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์ต่อไปจะช่วยให้พวกเขากระจ่างขึ้น แต่ในขณะนี้สิ่งนี้ยังคงเกินขอบเขตของสติปัญญาของมนุษย์

Pi เสียงเทพ

นักวิทยาศาสตร์ไม่สามารถตอบคำถามบางข้อเกี่ยวกับจำนวน Pi ได้ อย่างไรก็ตาม ทุก ๆ ปีพวกเขาจะเข้าใจแก่นแท้ของมันมากขึ้น ในศตวรรษที่สิบแปดความไร้เหตุผลของตัวเลขนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว นอกจากนี้ยังได้รับการพิสูจน์แล้วว่าจำนวนเป็นทิพย์ ซึ่งหมายความว่าไม่มีสูตรที่แน่นอนที่จะช่วยให้คุณสามารถคำนวณ pi โดยใช้จำนวนตรรกยะ

ความไม่พอใจกับ Pi

นักคณิตศาสตร์หลายคนหลงรัก Pi แต่มีบางคนที่เชื่อว่าตัวเลขเหล่านี้ไม่มีความสำคัญเป็นพิเศษ นอกจากนี้ พวกเขาอ้างว่าตัวเลขเอกภาพซึ่งมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของ Pi นั้นสะดวกกว่าที่จะใช้เป็นตัวเลขที่ไม่ลงตัว เอกภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเส้นรอบวงกับรัศมี ซึ่งบางวิธีแสดงถึงวิธีการคำนวณที่สมเหตุสมผลกว่า อย่างไรก็ตาม มันเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินอะไรในเรื่องนี้อย่างแจ่มแจ้ง และอีกจำนวนหนึ่งจะมีผู้สนับสนุนเสมอ ทั้งสองวิธีมีสิทธิ์ที่จะมีชีวิต ดังนั้น นี่เป็นเพียงข้อเท็จจริงที่น่าสนใจไม่ใช่เหตุผลที่คิดว่าไม่ควร ใช้เลขพาย

pi . เลขอะไรเรารู้และจำได้จากโรงเรียน เท่ากับ 3.1415926 เป็นต้น... ก็เพียงพอแล้วที่คนธรรมดาจะรู้ว่าจำนวนนี้ได้มาจากการหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง แต่หลายคนรู้ว่าจำนวน Pi ปรากฏในพื้นที่ที่ไม่คาดฝัน ไม่เพียงแต่ในวิชาคณิตศาสตร์และเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในฟิสิกส์ด้วย ถ้าคุณเจาะลึกรายละเอียดของธรรมชาติของตัวเลขนี้ คุณจะเห็นความประหลาดใจมากมายจากชุดตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด เป็นไปได้ไหมที่ Pi ซ่อนความลับที่ลึกที่สุดของจักรวาล?

จำนวนอนันต์

จำนวน Pi เกิดขึ้นในโลกของเราตามความยาวของวงกลมซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับหนึ่ง แม้ว่าส่วนที่เท่ากับ Pi จะค่อนข้างจำกัด แต่จำนวน Pi เริ่มต้นที่ 3.1415926 และไปที่อนันต์ในแถวของตัวเลขที่ไม่ซ้ำ ข้อเท็จจริงประการแรกที่น่าประหลาดใจคือ ตัวเลขนี้ ซึ่งใช้ในเรขาคณิต ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณไม่สามารถเขียนมันเป็นอัตราส่วนของตัวเลขสองตัว a/b ได้ นอกจากนี้จำนวน Pi นั้นยอดเยี่ยม ซึ่งหมายความว่าไม่มีสมการดังกล่าว (พหุนาม) ที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ซึ่งคำตอบคือ Pi

ความจริงที่ว่าจำนวน Pi นั้นอยู่เหนือธรรมชาติได้รับการพิสูจน์ในปี 1882 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ von Lindemann นี่เป็นข้อพิสูจน์ที่กลายเป็นคำตอบสำหรับคำถามที่ว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดซึ่งมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของวงกลมที่กำหนด ปัญหานี้เรียกว่าการหากำลังสองของวงกลมที่รบกวนมนุษย์มาแต่โบราณ ดูเหมือนว่าปัญหานี้จะมีวิธีแก้ปัญหาง่ายๆ และกำลังจะถูกเปิดเผย แต่มันเป็นคุณสมบัติที่เข้าใจยากของ pi ที่แสดงให้เห็นว่าปัญหาการยกกำลังสองไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เป็นเวลาอย่างน้อยสี่พันปีครึ่งที่มนุษยชาติพยายามหาค่า pi ที่แม่นยำยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น ในพระคัมภีร์ในหนังสือเล่มที่ 1 ของกษัตริย์ (7:23) จำนวน pi มีค่าเท่ากับ 3

ด้วยความแม่นยำที่น่าทึ่ง ค่า Pi สามารถพบได้ในปิรามิดแห่งกิซ่า: อัตราส่วนของเส้นรอบวงและความสูงของปิรามิดคือ 22/7 เศษส่วนนี้ให้ค่าโดยประมาณของ Pi เท่ากับ 3.142 ... เว้นแต่ชาวอียิปต์จะกำหนดอัตราส่วนดังกล่าวโดยบังเอิญ อาร์คิมิดีสผู้ยิ่งใหญ่ได้รับค่าเดียวกันแล้วซึ่งสัมพันธ์กับการคำนวณจำนวน Pi ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช

ในหนังสือ Ahmes Papyrus ซึ่งเป็นตำราคณิตศาสตร์ของอียิปต์โบราณที่มีอายุย้อนไปถึง 1650 ปีก่อนคริสตกาล Pi ถูกคำนวณเป็น 3.160493827

ในตำราอินเดียโบราณราวศตวรรษที่ 9 ก่อนคริสต์ศักราช ค่าที่แม่นยำที่สุดแสดงด้วยตัวเลข 339/108 ซึ่งเท่ากับ 3.1388 ...

เกือบสองพันปีหลังจากอาร์คิมิดีส ผู้คนพยายามหาวิธีคำนวณ pi ในหมู่พวกเขามีทั้งนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงและไม่รู้จัก ตัวอย่างเช่น สถาปนิกชาวโรมัน Mark Vitruvius Pollio นักดาราศาสตร์ชาวอียิปต์ Claudius Ptolemy นักคณิตศาสตร์ชาวจีน Liu Hui นักปราชญ์ชาวอินเดีย Ariabhata นักคณิตศาสตร์ยุคกลาง Leonardo of Pisa ที่รู้จักกันในชื่อ Fibonacci นักวิทยาศาสตร์อาหรับ Al-Khwarizmi จากชื่อคำ "อัลกอริทึม" ปรากฏขึ้น พวกเขาทั้งหมดและคนอื่นๆ หลายคนกำลังมองหาวิธีการคำนวณ Pi ที่แม่นยำที่สุด แต่จนถึงศตวรรษที่ 15 พวกเขาไม่เคยได้รับตัวเลขมากกว่า 10 หลักหลังจุดทศนิยม เนื่องจากความซับซ้อนของการคำนวณ

ในที่สุด ในปี 1400 นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Madhava จาก Sangamagram ได้คำนวณ Pi ด้วยความแม่นยำสูงสุด 13 หลัก (แม้ว่าเขาจะยังทำผิดพลาดในสองหลักสุดท้าย)

จำนวนป้าย

ในศตวรรษที่ 17 ไลบนิซและนิวตันค้นพบการวิเคราะห์ปริมาณที่น้อยมาก ซึ่งทำให้สามารถคำนวณ pi ได้ก้าวหน้ายิ่งขึ้น - ผ่านอนุกรมกำลังและอินทิกรัล นิวตันเองคำนวณทศนิยม 16 ตำแหน่ง แต่ไม่ได้กล่าวถึงสิ่งนี้ในหนังสือของเขา - สิ่งนี้กลายเป็นที่รู้จักหลังจากการตายของเขา นิวตันอ้างว่าเขาคำนวณเฉพาะ Pi ด้วยความเบื่อหน่าย

ในเวลาเดียวกัน นักคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันน้อยคนอื่น ๆ ก็ดึงตัวเองขึ้นมาด้วย โดยเสนอสูตรใหม่สำหรับการคำนวณจำนวน Pi ผ่านฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวอย่างเช่น นี่คือสูตรที่ใช้คำนวณ Pi โดย John Machin ครูสอนดาราศาสตร์ในปี 1706: PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239) โดยใช้วิธีการวิเคราะห์ Machin ได้มาจากสูตรนี้ เลข Pi ที่มีทศนิยมร้อยตำแหน่ง

อย่างไรก็ตามในปี 1706 เดียวกันหมายเลข Pi ได้รับการกำหนดอย่างเป็นทางการในรูปแบบของตัวอักษรกรีก: William Jones ถูกใช้ในงานคณิตศาสตร์ของเขาโดยใช้อักษรตัวแรกของคำว่า "รอบนอก" ในภาษากรีกซึ่งหมายถึง "วงกลม". เกิดในปี 1707 เลออนฮาร์ดออยเลอร์ผู้ยิ่งใหญ่ได้เผยแพร่ชื่อนี้ซึ่งปัจจุบันเป็นที่รู้จักของเด็กนักเรียนทุกคน

ก่อนยุคคอมพิวเตอร์ นักคณิตศาสตร์ให้ความสำคัญกับการคำนวณเครื่องหมายให้ได้มากที่สุด ในเรื่องนี้บางครั้งก็มีความอยากรู้ นักคณิตศาสตร์สมัครเล่น W. Shanks คำนวณ pi 707 หลักในปี 1875 ป้ายเจ็ดร้อยเหล่านี้ถูกทำให้เป็นอมตะบนผนังของ Palais des Discoveries ในปารีสในปี 1937 อย่างไรก็ตาม เก้าปีต่อมา นักคณิตศาสตร์ที่สังเกตพบว่ามีเพียง 527 อักขระแรกเท่านั้นที่ถูกคำนวณอย่างถูกต้อง พิพิธภัณฑ์ต้องเสียค่าใช้จ่ายที่เหมาะสมเพื่อแก้ไขข้อผิดพลาด - ตอนนี้ตัวเลขทั้งหมดถูกต้องแล้ว

เมื่อคอมพิวเตอร์ปรากฏขึ้น จำนวนหลักของ Pi เริ่มคำนวณตามลำดับที่ไม่สามารถจินตนาการได้ทั้งหมด

หนึ่งในคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์เครื่องแรก ENIAC ที่สร้างขึ้นในปี 1946 ซึ่งมีขนาดใหญ่และสร้างความร้อนได้มากจนห้องอุ่นขึ้นถึง 50 องศาเซลเซียส คำนวณ Pi 2037 หลักแรก การคำนวณนี้ใช้เวลารถ 70 ชั่วโมง

เมื่อคอมพิวเตอร์พัฒนาขึ้น ความรู้เกี่ยวกับ pi ของเราก็ยิ่งเพิ่มมากขึ้นเรื่อยๆ ในปี 1958 มีการคำนวณตัวเลข 10,000 หลัก ในปี 1987 ชาวญี่ปุ่นคำนวณอักขระ 10,013,395 ตัว ในปี 2011 นักวิจัยชาวญี่ปุ่น Shigeru Hondo ผ่านคะแนน 10 ล้านล้าน

คุณสามารถหา Pi ได้ที่ไหนอีก?

บ่อยครั้งที่ความรู้ของเราเกี่ยวกับจำนวน Pi ยังคงอยู่ที่ระดับโรงเรียน และเรารู้แน่นอนว่าตัวเลขนี้ขาดไม่ได้ในตอนแรกในเรขาคณิต

นอกจากสูตรสำหรับความยาวและพื้นที่ของวงกลมแล้ว ตัวเลข Pi ยังใช้ในสูตรสำหรับวงรี ทรงกลม กรวย ทรงกระบอก ทรงรี และอื่นๆ ซึ่งบางสูตรนั้นเรียบง่ายและจำง่าย และ บางแห่งมีอินทิกรัลที่ซับซ้อนมาก

จากนั้นเราจะพบเลข Pi ในสูตรทางคณิตศาสตร์ โดยที่เมื่อมองแวบแรก เรขาคณิตจะมองไม่เห็น ตัวอย่างเช่น อินทิกรัลไม่จำกัดจำนวน 1/(1-x^2) คือ Pi

Pi มักใช้ในการวิเคราะห์อนุกรม ตัวอย่างเช่น นี่คืออนุกรมง่ายๆ ที่บรรจบกับ pi:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = PI/4

ในบรรดาซีรีส์ pi ปรากฏขึ้นอย่างกะทันหันที่สุดในฟังก์ชัน Riemann zeta ที่รู้จักกันดี เราไม่สามารถบอกได้สั้น ๆ เราจะบอกว่าสักวันหนึ่งตัวเลข Pi จะช่วยในการหาสูตรสำหรับการคำนวณจำนวนเฉพาะ

และมันก็น่าทึ่งมาก: Pi ปรากฏในสองสูตร "ราชวงศ์" ที่สวยงามที่สุดของคณิตศาสตร์ - สูตรสเตอร์ลิง (ซึ่งช่วยในการหาค่าประมาณของแฟกทอเรียลและฟังก์ชันแกมมา) และสูตรออยเลอร์ (ซึ่งเกี่ยวข้องมากที่สุดเท่าที่ ห้าค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์)

อย่างไรก็ตาม การค้นพบที่ไม่คาดคิดที่สุดรอนักคณิตศาสตร์อยู่ในทฤษฎีความน่าจะเป็น พีก็อยู่ที่นั่นด้วย

ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขสองตัวเป็นจำนวนเฉพาะคือ 6/PI^2

Pi ปรากฏในปัญหาการขว้างเข็มในศตวรรษที่ 18 ของ Buffon: ความน่าจะเป็นที่เข็มถูกโยนลงบนแผ่นกระดาษที่มีลวดลายจะข้ามเส้นใดเส้นหนึ่ง ถ้าความยาวของเข็มคือ L และระยะห่างระหว่างเส้นคือ L และ r > L เราก็สามารถคำนวณค่าของ Pi โดยประมาณได้โดยใช้สูตรความน่าจะเป็น 2L/rPI ลองนึกภาพ - เราสามารถรับ Pi จากเหตุการณ์สุ่มได้ และโดยที่ Pi มีอยู่ในการกระจายความน่าจะเป็นปกติ ปรากฏในสมการของเส้นโค้งเกาส์เซียนที่มีชื่อเสียง นี่หมายความว่า pi เป็นปัจจัยพื้นฐานมากกว่าอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมหรือไม่

เราสามารถพบกับ Pi ในวิชาฟิสิกส์ได้เช่นกัน Pi ปรากฏในกฎของคูลอมบ์ ซึ่งอธิบายแรงของปฏิสัมพันธ์ระหว่างประจุสองประจุ ในกฎข้อที่สามของเคปเลอร์ ซึ่งแสดงระยะเวลาของการปฏิวัติดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ และแม้กระทั่งเกิดขึ้นในการจัดเรียงอิเล็กตรอนออร์บิทัลของอะตอมไฮโดรเจน และอีกอย่างที่เหลือเชื่อที่สุดคือหมายเลข Pi ซ่อนอยู่ในสูตรของหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก ซึ่งเป็นกฎพื้นฐานของฟิสิกส์ควอนตัม

ความลับของ Pi

ในนวนิยายเรื่อง "Contact" ของ Carl Sagan ซึ่งสร้างจากภาพยนตร์ชื่อเดียวกัน มนุษย์ต่างดาวแจ้งนางเอกว่าท่ามกลางสัญญาณของ Pi มีข้อความลับจากพระเจ้า จากตำแหน่งหนึ่ง ตัวเลขในตัวเลขจะหยุดสุ่มและเป็นรหัสที่บันทึกความลับทั้งหมดของจักรวาล

นวนิยายเรื่องนี้สะท้อนถึงปริศนาที่ครอบงำจิตใจของนักคณิตศาสตร์ทั่วโลก: ตัวเลข Pi เป็นตัวเลขปกติที่ตัวเลขกระจัดกระจายด้วยความถี่เดียวกันหรือมีอะไรผิดปกติกับตัวเลขนี้ และถึงแม้ว่านักวิทยาศาสตร์มักจะเลือกตัวเลือกแรก (แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้) Pi ก็ดูลึกลับมาก ชายชาวญี่ปุ่นคนหนึ่งเคยคำนวณจำนวนครั้งที่ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 เกิดขึ้นในหลักล้านแรกของ pi และฉันเห็นว่าตัวเลข 2, 4 และ 8 นั้นธรรมดากว่าตัวอื่นๆ นี่อาจเป็นสัญญาณบ่งชี้ว่า Pi นั้นไม่ปกติ และตัวเลขในนั้นก็ไม่ได้สุ่มแต่อย่างใด

ขอให้จำทุกสิ่งที่เราได้อ่านข้างต้นและถามตัวเองว่าจำนวนอตรรกยะและเหนือธรรมชาติอื่นใดที่เป็นเรื่องธรรมดาในโลกแห่งความเป็นจริง?

และยังมีของแปลกอื่นๆ อีกเพียบ ตัวอย่างเช่น ผลรวมของยี่สิบหลักแรกของ Pi คือ 20 และผลรวมของ 144 หลักแรกจะเท่ากับ "จำนวนสัตว์ร้าย" 666

ศาสตราจารย์ฟินช์ ตัวเอกของซีรีส์โทรทัศน์อเมริกันเรื่อง The Suspect บอกกับนักเรียนว่าเนื่องจากค่า pi ที่ไม่มีที่สิ้นสุด การรวมกันของตัวเลขใดๆ สามารถเกิดขึ้นได้ในนั้น ตั้งแต่ตัวเลขวันเกิดของคุณไปจนถึงตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ในตำแหน่งที่ 762 มีลำดับหกเก้า ตำแหน่งนี้เรียกว่าจุดไฟน์แมน หลังจากที่นักฟิสิกส์ชื่อดังสังเกตเห็นการผสมผสานที่น่าสนใจนี้

เราทราบด้วยว่าตัวเลข Pi มีลำดับ 0123456789 แต่อยู่บนหลักที่ 17,387,594,880

ทั้งหมดนี้หมายความว่าในอินฟินิตี้ของ Pi คุณไม่เพียงแต่จะได้พบกับชุดค่าผสมของตัวเลขที่น่าสนใจเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อความที่เข้ารหัสของ "สงครามและสันติภาพ" พระคัมภีร์ และแม้แต่ความลับหลักของจักรวาลด้วยหากมีอยู่

โดยวิธีการที่เกี่ยวกับพระคัมภีร์ นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง Martin Gardner ในปี 1966 กล่าวว่าเครื่องหมายที่ล้านของหมายเลข Pi (ในขณะนั้นยังไม่ทราบ) จะเป็นหมายเลข 5 เขาอธิบายการคำนวณของเขาโดยข้อเท็จจริงที่ว่าในพระคัมภีร์ฉบับภาษาอังกฤษใน เล่มที่ 3 บทที่ 14 ข้อ 16 -m (3-14-16) คำที่เจ็ดมีห้าตัวอักษร ตัวเลขล้านได้รับแปดปีต่อมา มันเป็นหมายเลขห้า

หลังจากนี้คุ้มไหมที่จะยืนยันว่าตัวเลข pi เป็นแบบสุ่ม?

ฉันไม่เคยคิดเกี่ยวกับที่มาของพี่เลย ฉันอ่านข้อเท็จจริงที่น่าสนใจทีเดียวเกี่ยวกับไลบนิซและนิวตัน นิวตันคำนวณทศนิยม 16 ตำแหน่ง แต่ไม่ได้บอกในหนังสือของเขา ขอบคุณสำหรับบทความดีๆ

ตอบกลับ

เมื่อฉันอ่านฟอรัมเกี่ยวกับเวทมนตร์ที่หมายเลข PI ไม่เพียง แต่มีความหมายวิเศษ แต่ยังรวมถึงพิธีกรรมด้วย พิธีกรรมหลายอย่างเกี่ยวข้องกับตัวเลขนี้และถูกใช้โดยนักมายากลตั้งแต่สมัยโบราณที่มีการค้นพบตัวเลขนี้

ตอบกลับ

ผลรวมของ pi ยี่สิบหลักแรกคือ 20… นี่มันร้ายแรงไหม? ในระบบเลขฐานสองใช่ไหม?

ตอบกลับ

1. ตอบกลับ

   1. 100 ไม่ใช่ผลรวมของ 20 หลักแรก แต่เป็นทศนิยม 20 ตำแหน่ง

      ตอบกลับ

1. ด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง = 1 เส้นรอบวง = pi ดังนั้นวงกลมจะไม่ปิด!

   ตอบกลับ

ตัวเลข พี - อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง - ค่าคงที่และไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของวงกลม ตัวเลขที่แสดงความสัมพันธ์นี้มักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก 241 (จาก "perijereia" - วงกลม รอบนอก) การกำหนดนี้กลายเป็นเรื่องธรรมดาหลังจากงานของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ซึ่งอ้างถึงปี ค.ศ. 1736 แต่ถูกใช้ครั้งแรกโดยวิลเลียม โจนส์ (ค.ศ. 1675–ค.ศ. 1749) ในปี ค.ศ. 1706 เช่นเดียวกับจำนวนอตรรกยะใดๆ มันถูกแทนด้วยเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นคาบอนันต์:

พี= 3.141592653589793238462643… ความจำเป็นในการคำนวณเชิงปฏิบัติเกี่ยวกับวงกลมและวัตถุทรงกลม บังคับให้เราค้นหาค่าประมาณ 241 รายการโดยใช้จำนวนตรรกยะที่มีอยู่แล้วในสมัยโบราณ ข้อมูลที่ว่าเส้นรอบวงยาวกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางสามเท่านั้นพบได้ในเม็ดคิวนิฟอร์มของเมโสโปเตเมียโบราณ ค่าตัวเลขเท่ากัน พียังมีข้อความในพระคัมภีร์ว่า “และพระองค์ทรงสร้างทะเลทองแดงหล่อจากปลายจรดปลายนั้นได้สิบศอก กลมสมบูรณ์ สูงห้าศอก และสายยาวสามสิบศอกสวมกอดไว้” (1 พระมหากษัตริย์ 7.23) คนจีนโบราณก็เช่นกัน แต่แล้วใน 2 พันปีก่อนคริสตกาล ชาวอียิปต์โบราณใช้ค่าตัวเลข 241 ที่แม่นยำยิ่งขึ้น ซึ่งได้มาจากสูตรหาพื้นที่วงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง d:

กฎนี้จากปัญหาที่ 50 ของต้นกก Rhind สอดคล้องกับค่า 4(8/9) 2 » 3.1605 Rhinda Papyrus ซึ่งพบในปี 1858 ได้รับการตั้งชื่อตามเจ้าของคนแรก มันถูกคัดลอกโดยอาลักษณ์ Ahmes ประมาณ 1650 ปีก่อนคริสตกาล ไม่ทราบผู้แต่งต้นฉบับ เป็นที่ยอมรับเพียงว่าข้อความถูกสร้างขึ้นในช่วงครึ่งหลังของวันที่ 19 ศตวรรษ. ปีก่อนคริสตกาล แม้ว่าชาวอียิปต์จะได้สูตรมาอย่างไรก็ไม่ชัดเจนจากบริบท ในสิ่งที่เรียกว่าต้นกกมอสโกซึ่งถูกคัดลอกโดยนักเรียนบางคนระหว่าง 1800 ถึง 1600 ปีก่อนคริสตกาล จากข้อความเก่าประมาณ 1900 ปีก่อนคริสตกาล มีอีกปัญหาหนึ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับการคำนวณพื้นผิวของตะกร้า "ด้วยการเปิด4½" ไม่มีใครรู้ว่าตะกร้ามีรูปร่างอย่างไร แต่นักวิจัยทุกคนเห็นพ้องต้องกันว่าที่นี่สำหรับตัวเลข พีใช้ค่าประมาณเดียวกัน 4(8/9) 2

เพื่อให้เข้าใจว่านักวิทยาศาสตร์ในสมัยโบราณได้รับสิ่งนี้หรือผลลัพธ์นั้นได้อย่างไร เราต้องพยายามแก้ปัญหาโดยใช้ความรู้และวิธีการคำนวณในสมัยนั้นเท่านั้น นี่คือสิ่งที่นักวิจัยจากตำราโบราณทำ แต่วิธีแก้ปัญหาที่พวกเขาค้นหาไม่จำเป็นต้อง "เหมือนกัน" บ่อยครั้งที่มีการเสนอวิธีแก้ปัญหาหลายอย่างสำหรับงานเดียวทุกคนสามารถเลือกได้ตามรสนิยมของพวกเขา แต่ไม่มีใครสามารถพูดได้ว่ามันถูกใช้ในสมัยโบราณ เกี่ยวกับพื้นที่ของวงกลมสมมติฐานของ A.E. Raik ผู้เขียนหนังสือเกี่ยวกับประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หลายเล่มดูเหมือนจะเป็นไปได้: พื้นที่ของวงกลมของเส้นผ่านศูนย์กลาง dเปรียบเทียบกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อธิบายไว้รอบ ๆ ซึ่งสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ที่มีด้านข้างและถูกลบออก (รูปที่ 1) ในสัญกรณ์ของเรา การคำนวณจะมีลักษณะดังนี้: ในการประมาณแรก พื้นที่ของวงกลม สเท่ากับผลต่างระหว่างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกับด้าน dและพื้นที่ทั้งหมดสี่สี่เหลี่ยมเล็ก แต่กับปาร์ตี้ d:

สมมติฐานนี้ได้รับการสนับสนุนโดยการคำนวณที่คล้ายคลึงกันในปัญหาหนึ่งของมอสโกปาปิรัสซึ่งเสนอให้คำนวณ

ตั้งแต่ค. ปีก่อนคริสตกาล คณิตศาสตร์พัฒนาอย่างรวดเร็วในสมัยกรีกโบราณ เป็น geometers กรีกโบราณที่พิสูจน์อย่างเคร่งครัดว่าเส้นรอบวงของวงกลมเป็นสัดส่วนกับเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน ( l = 2พี R; Rคือรัศมีของวงกลม ล -ความยาวของมัน) และพื้นที่ของวงกลมคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงและรัศมี:

ส = ½ l R = พี R 2 .

หลักฐานนี้มาจาก Eudoxus of Cnidus และ Archimedes

ในศตวรรษที่ 3 ปีก่อนคริสตกาล อาร์คิมิดีสในการเขียน เกี่ยวกับการวัดวงกลมคำนวณปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลมและอธิบายไว้รอบๆ (รูปที่ 2) - จาก 6- ถึง 96-gon พระองค์จึงทรงกำหนดว่าจำนวน พีอยู่ระหว่าง 3 10/71 ถึง 3 1/7 เช่น 3.14084< พี < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (พี» 3.14166) ถูกค้นพบโดยนักดาราศาสตร์ที่มีชื่อเสียง ผู้สร้างตรีโกณมิติ Claudius Ptolemy (ศตวรรษที่ 2) แต่ไม่ได้ใช้

ชาวอินเดียและชาวอาหรับเชื่อว่า พี= . ค่านี้มอบให้โดย Brahmagupta นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย (598 - ca. 660) ในประเทศจีนนักวิทยาศาสตร์ในศตวรรษที่ 3 ใช้ค่า 3 7/50 ซึ่งแย่กว่าค่าประมาณของอาร์คิมิดีส แต่ในช่วงครึ่งหลังของค. Zu Chun Zhi (c. 430 - c. 501) ได้รับสำหรับ พีประมาณ 355/113 ( พี» 3.1415927). ชาวยุโรปยังไม่รู้จักและพบอีกครั้งโดยนักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์ Adrian Antonis ในปี ค.ศ. 1585 การประมาณนี้ให้ข้อผิดพลาดเฉพาะในทศนิยมที่เจ็ดเท่านั้น

การค้นหาการประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้น พีต่อไป. ตัวอย่างเช่น al-Kashi (ครึ่งแรกของศตวรรษที่ 15) ใน บทความเกี่ยวกับวงกลม(1427) คำนวณทศนิยม 17 ตำแหน่ง พี. ในยุโรปพบความหมายเดียวกันในปี ค.ศ. 1597 ในการทำเช่นนี้ เขาต้องคำนวณด้านข้างของ 800 335 168-gon ปกติ นักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์ Ludolf Van Zeilen (1540-1610) พบตำแหน่งทศนิยมที่ถูกต้อง 32 ตำแหน่ง (เผยแพร่หลังมรณกรรมในปี 1615) การประมาณนี้เรียกว่าหมายเลข Ludolf

ตัวเลข พีปรากฏไม่เพียงแต่ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเท่านั้น ตั้งแต่สมัยของ F. Vieta (1540–1603) การค้นหาลิมิตของลำดับเลขคณิตบางลำดับที่รวบรวมตามกฎง่ายๆ ได้นำไปสู่จำนวนที่เท่ากัน พี. ด้วยเหตุนี้ ในการกำหนดจำนวน พีนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงเกือบทั้งหมดเข้าร่วม: F. Viet, H. Huygens, J. Wallis, G. V. Leibniz, L. Euler พวกเขาได้รับสำนวนต่างๆ สำหรับ 241 ในรูปของผลิตภัณฑ์อนันต์ ผลรวมของอนุกรม เศษส่วนอนันต์

ตัวอย่างเช่น ใน 1593 F. Viet (1540–1603) ได้รับสูตร

ในปี ค.ศ. 1658 ชาวอังกฤษ William Brounker (1620–1684) พบตัวแทนของตัวเลข พีเป็นเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์

อย่างไรก็ตามไม่รู้ว่าเขามาถึงผลลัพธ์นี้ได้อย่างไร

ในปี ค.ศ. 1665 จอห์น วาลลิส (ค.ศ. 1616–1703) ได้พิสูจน์ว่า

สูตรนี้มีชื่อของเขา สำหรับการคำนวณหาเลข 241 ในทางปฏิบัติ มีประโยชน์เพียงเล็กน้อย แต่มีประโยชน์ในการให้เหตุผลเชิงทฤษฎีต่างๆ มันเข้าสู่ประวัติศาสตร์ของวิทยาศาสตร์ในฐานะหนึ่งในตัวอย่างแรกๆ ของผลงานที่ไม่สิ้นสุด

กอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบนิซ (ค.ศ. 1646–ค.ศ. 1716) ได้กำหนดสูตรต่อไปนี้ขึ้นในปี ค.ศ. 1673:

การแสดงหมายเลข พี/4 เป็นผลรวมของซีรีส์ อย่างไรก็ตาม ซีรีส์นี้มาบรรจบกันช้ามาก การคำนวณ พีแม่นยำถึงสิบหลัก ตามที่ไอแซก นิวตันแสดงให้เห็น จำเป็นต้องหาผลรวมของตัวเลข 5 พันล้านตัวเลขและใช้เวลาประมาณหนึ่งพันปีในการทำงานอย่างต่อเนื่องในเรื่องนี้

นักคณิตศาสตร์ชาวลอนดอน John Machin (1680–1751) ในปี 1706 กำลังใช้สูตร

ได้รับการแสดงออก

ซึ่งถือว่าดีที่สุดอย่างหนึ่งในการคำนวนโดยประมาณ พี. ใช้เวลาเพียงไม่กี่ชั่วโมงในการนับด้วยตนเองเพื่อค้นหาตำแหน่งทศนิยมที่แน่นอนสิบตำแหน่งเดียวกัน John Machin คำนวณเอง พีด้วยเครื่องหมายที่ถูกต้อง 100 ประการ

ใช้แถวเดียวกันสำหรับ arctg xและสูตรต่างๆ

ค่าตัวเลข พีได้รับบนคอมพิวเตอร์ที่มีความแม่นยำเป็นทศนิยมหนึ่งแสนตำแหน่ง การคำนวณดังกล่าวน่าสนใจเกี่ยวกับแนวคิดของตัวเลขสุ่มและสุ่มหลอก การประมวลผลทางสถิติของชุดคำสั่งของจำนวนอักขระที่ระบุ พีแสดงว่ามีคุณลักษณะหลายอย่างของลำดับสุ่ม

มีวิธีสนุก ๆ ในการจำตัวเลข พีแม่นยำกว่าเพียงแค่ 3.14 ตัวอย่างเช่น เมื่อเรียนรู้ quatrain ต่อไปนี้ คุณสามารถตั้งชื่อทศนิยมเจ็ดตำแหน่งได้อย่างง่ายดาย พี:

ต้องลอง

และจำทุกอย่างตามที่เป็น:

สาม สิบสี่ สิบห้า

เก้าสิบสองและหก.

(ส.โบโบรฟ เมจิกไบคอร์น)

การนับจำนวนตัวอักษรในแต่ละคำของวลีต่อไปนี้ยังให้ค่าของตัวเลขด้วย พี:

"ฉันรู้อะไรเกี่ยวกับแวดวงบ้าง" ( พี» 3.1416). สุภาษิตนี้แนะนำโดย Ya.I. Perelman

“ฉันก็เลยรู้เบอร์ที่เรียกพี่ว่าพี่ - ทำได้ดี!" ( พี» 3.1415927).

“เรียนรู้และรู้เลขหลังเลข สังเกตอย่างไรให้โชคดี” ( พี» 3.14159265359).

ครูของโรงเรียนแห่งหนึ่งในมอสโกได้เสนอแนวความคิดที่ว่า “ฉันรู้เรื่องนี้และจำได้อย่างสมบูรณ์” และนักเรียนของเขาแต่งความต่อเนื่องที่ตลกว่า: “สัญญาณหลายอย่างไม่จำเป็นสำหรับฉัน เปล่าประโยชน์” คู่นี้อนุญาตให้คุณกำหนด 12 หลัก

และนี่คือลักษณะของตัวเลข 101 หลัก พีโดยไม่ต้องปัดเศษ

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

ทุกวันนี้ ด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์ ค่าของตัวเลข พีคำนวณด้วยตัวเลขที่ถูกต้องนับล้าน แต่ไม่จำเป็นต้องมีความแม่นยำในการคำนวณใดๆ แต่ความเป็นไปได้ของการวิเคราะห์หาจำนวน ,

ในสูตรสุดท้าย ตัวเศษประกอบด้วยจำนวนเฉพาะทั้งหมด และตัวส่วนแตกต่างจากตัวส่วนทีละตัว และตัวส่วนจะมากกว่าตัวเศษหากมีรูปแบบ 4 น+1 และน้อยกว่านั้น

แม้ว่าตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 16 เป็นต้นมา เนื่องจากแนวความคิดของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะเกิดขึ้น นักวิทยาศาสตร์หลายคนจึงเชื่อมั่นว่า พี- จำนวนไม่ลงตัว แต่ในปี 1766 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Johann Heinrich Lambert (1728–1777) ซึ่งอิงจากความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ Euler ค้นพบได้พิสูจน์เรื่องนี้อย่างเคร่งครัด ตัวเลข พีไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนอย่างง่ายได้ ไม่ว่าตัวเศษและตัวส่วนจะมีขนาดเท่าใด

ในปี พ.ศ. 2425 ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยมิวนิก คาร์ล หลุยส์ เฟอร์ดินานด์ ลินเดอมันน์ (ค.ศ. 1852–ค.ศ. 1939) โดยใช้ผลที่ได้รับจากนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ซี. เฮอร์ไมต์ พิสูจน์ว่า พี- ตัวเลขยอดเยี่ยมเช่น ไม่ใช่รากของสมการพีชคณิตใดๆ n x n + n– 1 x n– 1 + … + ก 1 x + เป็ 0 = 0 ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ข้อพิสูจน์นี้ยุติประวัติศาสตร์ของปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดในการยกกำลังสองวงกลม เป็นเวลาหลายพันปีที่ปัญหานี้ไม่ได้เกิดขึ้นกับความพยายามของนักคณิตศาสตร์ สำนวน "กำลังสองวงกลม" ได้กลายเป็นคำพ้องความหมายกับปัญหาที่แก้ไม่ได้ และสิ่งทั้งปวงกลับกลายเป็นธรรมชาติทิพย์ของจำนวน พี.

เพื่อระลึกถึงการค้นพบนี้ รูปปั้นครึ่งตัวของลินเดมันน์จึงถูกสร้างขึ้นในห้องโถงหน้าหอประชุมคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยมิวนิก บนแท่นภายใต้ชื่อของเขามีวงกลมขวางด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากันซึ่งภายในมีจดหมายจารึกไว้ พี.

มารีน่า เฟโดโซวา

บทนำ

บทความนี้มีสูตรทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นสำหรับการอ่าน ให้ไปที่เว็บไซต์เพื่อแสดงผลที่ถูกต้องหมายเลข \(\pi \) มีประวัติอันยาวนาน ค่าคงที่นี้แสดงถึงอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง

ในทางวิทยาศาสตร์ จะใช้ตัวเลข \(\pi \) ในการคำนวณที่มีวงกลม เริ่มจากปริมาตรของโซดาหนึ่งกระป๋อง ไปจนถึงวงโคจรของดาวเทียม และไม่ใช่แค่วงกลม อันที่จริงในการศึกษาเส้นโค้ง จำนวน \(\pi \) ช่วยให้เข้าใจระบบคาบและออสซิลเลเตอร์ ตัวอย่างเช่น คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าและแม้แต่เพลง

ในปี ค.ศ. 1706 ในหนังสือ "A New Introduction to Mathematics" โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ วิลเลียม โจนส์ (1675-1749) มีการใช้ตัวอักษรกรีก \(\pi\) เป็นครั้งแรกเพื่อแสดงตัวเลข 3.141592.. .. การกำหนดนี้มาจากอักษรตัวแรกของคำภาษากรีก περιϕερεια - วงกลม รอบนอก และ περιµετρoς - ปริมณฑล การกำหนดที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปเกิดขึ้นหลังจากผลงานของเลออนฮาร์ดออยเลอร์ในปี 1737

ช่วงเวลาทางเรขาคณิต

ความคงตัวของอัตราส่วนของความยาวของวงกลมใดๆ ต่อเส้นผ่านศูนย์กลางนั้นได้รับการสังเกตมาเป็นเวลานาน ชาวเมโสโปเตเมียใช้ตัวเลขประมาณคร่าวๆ \(\pi \) จากปัญหาโบราณพวกเขาใช้ค่า \(\pi ≈ 3 \) ในการคำนวณ

ชาวอียิปต์โบราณใช้ค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับ \(\pi \) ในลอนดอนและนิวยอร์ก มีการเก็บกระดาษปาปิรัสอียิปต์โบราณสองส่วนซึ่งเรียกว่า "Rhinda Papyrus" ต้นกกรวบรวมโดยอาลักษณ์ Armes ระหว่างประมาณ 2000-1700 ปีก่อนคริสตกาล พ.ศ. Armes เขียนไว้ในกระดาษปาปิรัสว่าพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี \(r\) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ \(\frac(8)(9) \) จากเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), เช่น \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \) ดังนั้น \(\pi = 3,16\)

อาร์คิมิดีส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ (287-212 ปีก่อนคริสตกาล) เริ่มงานในการวัดวงกลมบนพื้นฐานทางวิทยาศาสตร์ เขาได้คะแนน \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

วิธีการนี้ค่อนข้างง่าย แต่หากไม่มีตารางฟังก์ชันตรีโกณมิติสำเร็จรูปจะต้องทำการแยกรูท นอกจากนี้ การประมาณของ \(\pi \) มาบรรจบกันช้ามาก: ในการวนซ้ำแต่ละครั้ง ข้อผิดพลาดจะลดลงเพียงสี่เท่า

ช่วงวิเคราะห์

อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ จนถึงกลางศตวรรษที่ 17 ความพยายามทั้งหมดของนักวิทยาศาสตร์ชาวยุโรปในการคำนวณจำนวน \ (\ pi \) ถูกลดขนาดลงเพื่อเพิ่มด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์ Ludolf van Zeilen (1540-1610) ได้คำนวณค่าโดยประมาณของตัวเลข \(\pi \) ด้วยความแม่นยำเป็นทศนิยม 20 หลัก

เขาใช้เวลา 10 ปีในการคิดออก โดยการเพิ่มจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่จารึกและล้อมรอบเป็นสองเท่าตามวิธีการของอาร์คิมิดีส เขาได้ \(60 \cdot 2^(29) \) - สี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อคำนวณ \(\pi \) ด้วย 20 ตำแหน่งทศนิยม

หลังจากที่เขาเสียชีวิต พบตัวเลขที่แน่นอนอีก 15 หลัก \(\pi \) ในต้นฉบับของเขา ลุดอล์ฟพินัยกรรมว่าเครื่องหมายที่เขาพบถูกแกะสลักไว้บนหลุมฝังศพของเขา เพื่อเป็นเกียรติแก่เขา บางครั้งหมายเลข \(\pi \) ถูกเรียกว่า "หมายเลข Ludolf" หรือ "ค่าคงที่ Ludolf"

วิธีแรกที่แนะนำวิธีการที่แตกต่างจากของอาร์คิมิดีสคือ François Viet (1540-1603) เขาพบว่าวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับหนึ่งมีพื้นที่:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1 )(2)) ) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

ในทางกลับกัน พื้นที่คือ \(\frac(\pi)(4) \) แทนที่และทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น เราสามารถหาสูตรผลิตภัณฑ์อนันต์ต่อไปนี้เพื่อคำนวณค่าโดยประมาณ \(\frac(\pi)(2) \):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

สูตรที่ได้คือนิพจน์การวิเคราะห์แรกสำหรับตัวเลข \(\pi \) นอกเหนือจากสูตรนี้ Viet ใช้วิธีการของอาร์คิมิดีสด้วยความช่วยเหลือของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกและล้อมรอบโดยเริ่มจาก 6-gon และลงท้ายด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน \(2^(16) \cdot 6 \) การประมาณของตัวเลข \(\pi \) ที่มี 9 เครื่องหมายที่ถูกต้อง

นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ William Brounker (1620-1684) ใช้เศษส่วนต่อเนื่องในการคำนวณ \(\frac(\pi)(4)\) ดังนี้:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots ))))) \]

วิธีการคำนวณค่าประมาณของตัวเลข \(\frac(4)(\pi) \) ต้องใช้การคำนวณจำนวนมากเพื่อให้ได้ค่าประมาณเล็กน้อยเป็นอย่างน้อย

ค่าที่ได้รับจากการแทนที่มีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าตัวเลข \(\pi \) และทุกครั้งที่เข้าใกล้ค่าจริงมากขึ้น แต่การได้ค่า 3.141592 จะต้องมีการคำนวณที่ค่อนข้างใหญ่

นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ John Machin (1686-1751) ในปี 1706 ใช้สูตรที่ Leibniz ได้รับในปี 1673 เพื่อคำนวณจำนวน \(\pi \) ที่มีทศนิยม 100 ตำแหน่ง และนำไปใช้ดังนี้:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

อนุกรมมาบรรจบกันอย่างรวดเร็วและสามารถใช้คำนวณตัวเลข \(\pi \) ได้อย่างแม่นยำ สูตรประเภทนี้ใช้เพื่อกำหนดเร็กคอร์ดต่างๆ ในยุคคอมพิวเตอร์

ในศตวรรษที่ 17 กับจุดเริ่มต้นของช่วงเวลาของคณิตศาสตร์ของขนาดตัวแปร ระยะใหม่เริ่มต้นในการคำนวณ \(\pi \) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ในปี 1673 พบการขยายตัวของจำนวน \(\pi \) โดยทั่วไปสามารถเขียนได้เป็นอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

อนุกรมนี้ได้มาจากการแทนที่ x = 1 ลงใน \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) - \cdots\)

Leonhard Euler พัฒนาแนวคิดของ Leibniz ในงานของเขาเกี่ยวกับการใช้อนุกรมสำหรับ arctg x เมื่อคำนวณตัวเลข \(\pi \) บทความ "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (เกี่ยวกับวิธีการต่างๆ ของการแสดงกำลังสองของวงกลมด้วยตัวเลขโดยประมาณ) ซึ่งเขียนในปี ค.ศ. 1738 กล่าวถึงวิธีการปรับปรุงการคำนวณโดยใช้สูตรไลบนิซ

ออยเลอร์เขียนว่าอนุกรมอาร์คแทนเจนต์จะมาบรรจบกันเร็วขึ้นหากอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์ สำหรับ \(x = 1\) การบรรจบกันของอนุกรมนั้นช้ามาก: ในการคำนวณด้วยความแม่นยำสูงสุด 100 หลัก จำเป็นต้องเพิ่มเงื่อนไข \(10^(50)\) ของอนุกรม คุณสามารถเร่งการคำนวณได้โดยการลดค่าของอาร์กิวเมนต์ ถ้าเราเอา \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\) เราก็จะได้ series

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 - \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

ตามออยเลอร์ ถ้าเราเอา 210 เทอมของอนุกรมนี้ เราจะได้ตัวเลขที่ถูกต้อง 100 หลัก อนุกรมผลลัพธ์ไม่สะดวก เนื่องจากจำเป็นต้องทราบค่าจำนวนอตรรกยะที่แม่นยำเพียงพอ \(\sqrt(3)\) นอกจากนี้ ในการคำนวณของเขา ออยเลอร์ใช้การขยายตัวของอาร์คแทนเจนต์เป็นผลรวมของอาร์คแทนเจนต์ของอาร์กิวเมนต์ที่มีขนาดเล็กกว่า:

\[โดยที่ x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

ห่างไกลจากสูตรการคำนวณ \(\pi \) ทั้งหมดที่ออยเลอร์ใช้ในสมุดบันทึกของเขาได้รับการตีพิมพ์แล้ว ในผลงานและสมุดบันทึกที่ตีพิมพ์ เขาพิจารณาชุดที่แตกต่างกัน 3 ชุดสำหรับการคำนวณอาร์คแทนเจนต์ และยังได้กล่าวถึงจำนวนพจน์ที่สรุปได้ซึ่งจำเป็นเพื่อให้ได้ค่าประมาณ \(\pi \) ด้วยความแม่นยำที่กำหนด

ในปีต่อๆ มา การปรับแต่งค่าตัวเลข \(\pi \) เกิดขึ้นเร็วและเร็วขึ้น ตัวอย่างเช่น ในปี ค.ศ. 1794 จอร์จ เวก้า (1754-1802) ได้ระบุสัญญาณ 140 ประการ ซึ่งมีเพียง 136 แห่งเท่านั้นที่ปรากฎว่าถูกต้อง

ช่วงเวลาคอมพิวเตอร์

ศตวรรษที่ 20 ถูกทำเครื่องหมายด้วยขั้นตอนใหม่ในการคำนวณจำนวน \(\pi \) นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Srinivasa Ramanujan (1887-1920) ค้นพบสูตรใหม่มากมายสำหรับ \(\pi \) ในปี 1910 เขาได้รับสูตรสำหรับการคำนวณ \(\pi \) ผ่านการขยายตัวของอาร์คแทนเจนต์ในอนุกรมเทย์เลอร์:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

ด้วย k=100 ทำให้ได้ตัวเลขที่ถูกต้อง 600 หลัก \(\pi \)

การถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ทำให้สามารถเพิ่มความแม่นยำของค่าที่ได้รับได้อย่างมากในระยะเวลาอันสั้น ในปี 1949 โดยใช้ ENIAC กลุ่มนักวิทยาศาสตร์ที่นำโดย John von Neumann (1903-1957) ได้ตำแหน่งทศนิยม 2037 ตำแหน่ง \(\pi \) ในเวลาเพียง 70 ชั่วโมง David และ Gregory Chudnovsky ในปี 1987 ได้รับสูตรที่พวกเขาสามารถตั้งค่าหลายระเบียนในการคำนวณ \(\pi \):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k) ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

สมาชิกของซีรีส์แต่ละคนให้ 14 หลัก ในปี 1989 ได้รับทศนิยม 1,011,196,691 ตำแหน่ง สูตรนี้เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการคำนวณ \(\pi \) บนคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล ในขณะนี้ พี่น้องเป็นอาจารย์ที่สถาบันโพลีเทคนิคแห่งมหาวิทยาลัยนิวยอร์ก

การพัฒนาล่าสุดที่สำคัญคือการค้นพบสูตรนี้ในปี 1997 โดยไซม่อน พลัฟฟ์ ช่วยให้คุณสามารถแยกเลขฐานสิบหกของตัวเลข \(\pi \) โดยไม่ต้องคำนวณตัวเลขก่อนหน้า สูตรนี้เรียกว่า "สูตร Bailey-Borwain-Pluff" เพื่อเป็นเกียรติแก่ผู้เขียนบทความที่ตีพิมพ์สูตรเป็นครั้งแรก ดูเหมือนว่านี้:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) - \frac(2)(8k+4 ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

ในปี 2549 ไซม่อนใช้ PSLQ ได้คิดค้นสูตรดีๆ สำหรับการคำนวณ \(\pi \) ตัวอย่างเช่น,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) - 1) - \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

โดยที่ \(q = e^(\pi)\) ในปี 2009 นักวิทยาศาสตร์ชาวญี่ปุ่นใช้ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ T2K Tsukuba System ได้เลข \(\pi \) โดยมีทศนิยม 2,576,980,377,524 ตำแหน่ง การคำนวณใช้เวลา 73 ชั่วโมง 36 นาที คอมพิวเตอร์ติดตั้งโปรเซสเซอร์ AMD Opteron แบบสี่คอร์จำนวน 640 ตัว ซึ่งให้ประสิทธิภาพการทำงาน 95 ล้านล้านต่อวินาที

ความสำเร็จต่อไปในการคำนวณ \(\pi \) เป็นของโปรแกรมเมอร์ชาวฝรั่งเศส Fabrice Bellard ซึ่งเมื่อปลายปี 2552 บนคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลของเขาที่ใช้ Fedora 10 ได้สร้างสถิติด้วยการคำนวณตำแหน่งทศนิยม 2,699,999,990,000 ตำแหน่ง \(\pi \) ตลอด 14 ปีที่ผ่านมา นี่เป็นสถิติโลกครั้งแรกที่ไม่มีการใช้ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ เพื่อประสิทธิภาพสูง Fabrice ใช้สูตรของพี่น้อง Chudnovsky โดยรวมแล้ว การคำนวณใช้เวลา 131 วัน (การคำนวณ 103 วันและการตรวจสอบ 13 วัน) ความสำเร็จของ Bellar แสดงให้เห็นว่าสำหรับการคำนวณดังกล่าว ไม่จำเป็นต้องมีซูเปอร์คอมพิวเตอร์

เพียงหกเดือนต่อมา สถิติของ François ก็ถูกทำลายโดยวิศวกร Alexander Yi และ Singer Kondo ในการตั้งค่าบันทึกทศนิยม 5 ล้านล้านตำแหน่ง \(\pi \) คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลก็ถูกใช้เช่นกัน แต่มีลักษณะที่น่าประทับใจยิ่งกว่า: โปรเซสเซอร์ Intel Xeon X5680 สองตัวที่ 3.33 GHz, RAM 96 GB, หน่วยความจำดิสก์ 38 TB และการทำงาน ระบบ Windows Server 2008 R2 Enterprise x64 สำหรับการคำนวณ Alexander และ Singer ใช้สูตรของพี่น้อง Chudnovsky ขั้นตอนการคำนวณใช้เวลา 90 วันและพื้นที่ดิสก์ 22 TB ในปี 2011 พวกเขาสร้างสถิติใหม่ด้วยการคำนวณตำแหน่งทศนิยม 10 ล้านล้านตำแหน่งสำหรับตัวเลข \(\pi \) การคำนวณเกิดขึ้นบนคอมพิวเตอร์เครื่องเดียวกับที่เคยตั้งค่าบันทึกก่อนหน้านี้และใช้เวลาทั้งหมด 371 วัน ณ สิ้นปี 2556 อเล็กซานเดอร์และซิงเกอร์รูปรับปรุงสถิติเป็น 12.1 ล้านล้านหลักของตัวเลข \(\pi \) ซึ่งใช้เวลาคำนวณเพียง 94 วันเท่านั้น การปรับปรุงประสิทธิภาพนี้ทำได้โดยการปรับประสิทธิภาพของซอฟต์แวร์ให้เหมาะสม เพิ่มจำนวนคอร์ของโปรเซสเซอร์ และปรับปรุงความทนทานต่อความผิดพลาดของซอฟต์แวร์อย่างมาก

บันทึกปัจจุบันเป็นของ Alexander Yi และ Singeru Kondo ซึ่งเป็นทศนิยม 12.1 ล้านล้านตำแหน่ง \(\pi \)

ดังนั้นเราจึงตรวจสอบวิธีการคำนวณจำนวน \(\pi \) ที่ใช้ในสมัยโบราณ วิธีการวิเคราะห์ และยังตรวจสอบวิธีการที่ทันสมัยและบันทึกสำหรับการคำนวณตัวเลข \(\pi \) บนคอมพิวเตอร์

รายการแหล่งที่มา

1. Zhukov A.V. จำนวนที่แพร่หลาย Pi - M .: LKI Publishing House, 2007 - 216 p.
2. เอฟ รูดิโอ. ในการยกกำลังสองของวงกลมพร้อมภาคผนวกของประวัติศาสตร์ของคำถามซึ่งรวบรวมโดย F. Rudio / Rudio F. - M.: ONTI NKTP USSR, 2479. - 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - สปริงเกอร์, 2544. - 270p.
4. Shukhman, E.V. การคำนวณ Pi โดยประมาณโดยใช้ชุดข้อมูลสำหรับ arctg x ในงานตีพิมพ์และไม่ได้เผยแพร่โดย Leonard Euler / E.V. ชุคมัน. - ประวัติวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี พ.ศ. 2551 - ครั้งที่ 4 - หน้า 2-17.
5. ออยเลอร์, L. De variis modis circuliaturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 - เล่ม 9 - 222-236p.
6. ชูมิคิน, ส. เลขปี่. ประวัติ 4000 ปี / S. S. Shumikhin, A. Shumikhina. — M .: Eksmo, 2011. — 192p.
7. บอร์ไวน์, เจ.เอ็ม. รามานุจัน และ ปิ. / บอร์ไวน์, เจ.เอ็ม., บอร์ไวน์ พี.บี. ในโลกของวิทยาศาสตร์ 2531 - ลำดับที่ 4 - ส. 58-66.
8. อเล็กซ์ ยี. โลกจำนวน โหมดการเข้าถึง: numberworld.org

ชอบ?

บอก

13 มกราคม 2017

***

อะไรคือสิ่งที่เหมือนกันระหว่างวงล้อจาก Lada Priora แหวนแต่งงานและจานรองของแมวของคุณ? แน่นอน คุณจะบอกว่าสวยและมีสไตล์ แต่ผมกล้าเถียงกับคุณ พาย!นี่คือตัวเลขที่รวมวงกลม วงกลม และความกลมทั้งหมดเข้าด้วยกัน ซึ่งรวมถึง โดยเฉพาะแหวนของแม่ และวงล้อจากรถคันโปรดของพ่อ และแม้แต่จานรองของแมว Murzik ที่รักของฉัน ฉันยินดีที่จะเดิมพันว่าในการจัดอันดับค่าคงที่ทางกายภาพและทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับความนิยมมากที่สุด ตัวเลข Pi จะอยู่บรรทัดแรกอย่างไม่ต้องสงสัย แต่สิ่งที่อยู่เบื้องหลังมัน? บางทีคำสาปที่น่ากลัวของนักคณิตศาสตร์? ลองทำความเข้าใจปัญหานี้กัน

เลข "ปี้" คืออะไร มาจากไหน?

สัญกรณ์ตัวเลขที่ทันสมัย π (พี่)ปรากฏตัวขึ้นขอบคุณนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อจอห์นสันในปี ค.ศ. 1706 นี่คืออักษรตัวแรกของคำภาษากรีก περιφέρεια (รอบนอกหรือเส้นรอบวง). สำหรับผู้ที่ผ่านวิชาคณิตศาสตร์มาเป็นเวลานานและนอกจากนี้ อดีต เราจำได้ว่าจำนวน Pi คืออัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน ค่าเป็นค่าคงที่ กล่าวคือ เป็นค่าคงที่สำหรับวงกลมใดๆ โดยไม่คำนึงถึงรัศมีของวงกลม คนรู้จักเรื่องนี้มาตั้งแต่สมัยโบราณ ดังนั้นในอียิปต์โบราณ ตัวเลข Pi จึงเท่ากับอัตราส่วน 256/81 และในตำราเวท ค่า 339/108 จะได้รับ ในขณะที่อาร์คิมิดีสแนะนำอัตราส่วน 22/7 แต่วิธีการเหล่านี้หรือวิธีอื่นๆ ในการแสดงจำนวน pi ไม่ได้ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำ

ปรากฎว่าจำนวน Pi นั้นยอดเยี่ยมตามลำดับและไม่ลงตัว ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ หากแสดงในรูปของทศนิยม ลำดับของตัวเลขหลังจุดทศนิยมจะเร่งไปสู่อนันต์ ยิ่งกว่านั้น โดยไม่ทำซ้ำเป็นระยะๆ ทั้งหมดนี้หมายความว่าอย่างไร? ง่ายมาก. คุณต้องการที่จะทราบหมายเลขโทรศัพท์ของผู้หญิงที่คุณชอบ? สามารถพบได้ในลำดับของตัวเลขหลังจุดทศนิยมของ Pi

สามารถดูโทรศัพท์ได้ที่นี่ ↓

จำนวน Pi สูงสุด 10,000 ตัวอักษร

พาย= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

หาไม่เจอ? แล้วดู.

โดยทั่วไปแล้ว ไม่เพียงแต่หมายเลขโทรศัพท์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อมูลใดๆ ที่เข้ารหัสโดยใช้ตัวเลขด้วย ตัวอย่างเช่น หากเรานำเสนอผลงานทั้งหมดของ Alexander Sergeevich Pushkin ในรูปแบบดิจิทัล งานเหล่านั้นก็จะถูกเก็บไว้ในหมายเลข Pi ก่อนที่เขาจะเขียนมัน แม้กระทั่งก่อนที่เขาเกิด โดยหลักการแล้ว พวกเขายังคงเก็บไว้ที่นั่น อย่างไรก็ตาม คำสาปของนักคณิตศาสตร์ใน π ก็มีอยู่เช่นกัน ไม่ใช่แค่นักคณิตศาสตร์เท่านั้น พูดได้คำเดียวว่า Pi มีทุกอย่าง แม้แต่ความคิดที่จะมาเยี่ยมคุณในวันพรุ่งนี้ วันมะรืน ในหนึ่งปี หรืออาจจะในสองปี นี่เป็นเรื่องยากมากที่จะเชื่อ แต่ถึงแม้เราจะแสร้งทำเป็นเชื่อ การรับข้อมูลจากที่นั่นและถอดรหัสจะยิ่งยากขึ้นไปอีก ดังนั้นแทนที่จะเจาะลึกตัวเลขเหล่านี้อาจง่ายกว่าที่จะเข้าหาผู้หญิงที่คุณชอบและขอหมายเลข? .. แต่สำหรับผู้ที่ไม่ได้มองหาวิธีง่าย ๆ ดีหรือแค่สนใจว่าหมายเลข Pi คืออะไร ฉันเสนอวิธีการคำนวณหลายวิธี นับสุขภาพ.

ค่าของ Pi คืออะไร? วิธีการคำนวณ:

1. วิธีการทดลองถ้า pi เป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง บางทีวิธีแรกและชัดเจนที่สุดในการค้นหาค่าคงที่ลึกลับของเราคือการวัดค่าทั้งหมดด้วยตนเองและคำนวณ pi โดยใช้สูตร π=l/d โดยที่ l คือเส้นรอบวงของวงกลม และ d คือเส้นผ่านศูนย์กลาง ทุกอย่างง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องใช้ด้ายเพื่อกำหนดเส้นรอบวง ใช้ไม้บรรทัดเพื่อค้นหาเส้นผ่านศูนย์กลาง และที่จริงแล้ว ความยาวของด้ายเอง และเครื่องคิดเลขหากคุณมีปัญหาในการแบ่งออกเป็นคอลัมน์ . หม้อหรือโถแตงกวาสามารถทำหน้าที่เป็นตัวอย่างที่วัดได้ ไม่สำคัญหรอก สิ่งสำคัญ? เพื่อให้ฐานเป็นวงกลม

วิธีการคำนวณที่พิจารณาเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด แต่น่าเสียดายที่มีข้อเสียสำคัญสองประการที่ส่งผลต่อความถูกต้องของตัวเลข Pi ที่เป็นผลลัพธ์ ประการแรก ข้อผิดพลาดของเครื่องมือวัด (ในกรณีของเราคือไม้บรรทัดที่มีเกลียว) และประการที่สอง ไม่มีการรับประกันว่าวงกลมที่เราวัดจะมีรูปร่างที่ถูกต้อง ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่คณิตศาสตร์ได้ให้วิธีการอื่นๆ มากมายในการคำนวณ π ซึ่งไม่จำเป็นต้องทำการวัดที่แม่นยำ

2. ชุดไลบนิซมีอนุกรมอนันต์หลายชุดที่ให้คุณคำนวณจำนวน pi เป็นทศนิยมจำนวนมากได้อย่างแม่นยำ หนึ่งในชุดที่ง่ายที่สุดคือชุด Leibniz π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
ง่ายมาก: เรานำเศษส่วนที่มี 4 ในตัวเศษ (นี่คือตัวที่อยู่ด้านบน) และหนึ่งหมายเลขจากลำดับของเลขคี่ในตัวส่วน (นี่คือตัวที่อยู่ด้านล่าง) บวกและลบตามลำดับและ รับหมายเลข Pi ยิ่งการกระทำที่เรียบง่ายของเราทำซ้ำๆ หรือทำซ้ำๆ มากเท่าไหร่ ผลลัพธ์ก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น เรียบง่าย แต่ไม่มีผล โดยต้องใช้การวนซ้ำ 500,000 ครั้งเพื่อให้ได้ค่า Pi เป็นทศนิยมสิบตำแหน่งที่แน่นอน นั่นคือเราจะต้องหารสี่ที่โชคร้ายให้มากที่สุดเท่าที่ 500,000 ครั้งและนอกจากนี้เราจะต้องลบและเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้รับ 500,000 ครั้ง ต้องการที่จะลอง?

3. ชุดนิลกัณฐ์.ไม่มีเวลาเล่นซอกับไลบนิซอีกต่อไป? มีทางเลือกอื่น ซีรี่ส์ Nilakanta แม้ว่าจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่ก็ช่วยให้เราได้ผลลัพธ์ที่ต้องการเร็วขึ้น π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) ...ฉันคิดว่าถ้าคุณดูส่วนเริ่มต้นของซีรีส์นี้อย่างรอบคอบ ทุกอย่างจะชัดเจน และความคิดเห็นก็ไม่จำเป็น เกี่ยวกับเรื่องนี้เราไปต่อ

4. วิธีมอนติคาร์โลวิธีที่ค่อนข้างน่าสนใจในการคำนวณ pi คือวิธีมอนติคาร์โล ชื่อฟุ่มเฟือยดังกล่าวเขาได้รับเกียรติจากเมืองที่มีชื่อเดียวกันในอาณาจักรโมนาโก และเหตุผลนี้เป็นแบบสุ่ม ไม่ มันไม่ได้ถูกตั้งชื่อโดยบังเอิญ มันเป็นเพียงวิธีการที่ใช้ตัวเลขสุ่ม และอะไรจะสุ่มได้มากกว่าตัวเลขที่หลุดออกมาจากรูเล็ตคาสิโนมอนติคาร์โล? การคำนวณ pi ไม่ได้เป็นเพียงวิธีการเดียวของวิธีนี้ เช่นเดียวกับในทศวรรษที่ 50 ที่ใช้ในการคำนวณระเบิดไฮโดรเจน แต่อย่าพูดนอกเรื่อง

ลองหาสี่เหลี่ยมที่มีด้านเท่ากับ 2rและจารึกเป็นวงกลมรัศมี r. ทีนี้ หากคุณสุ่มใส่จุดในช่องสี่เหลี่ยม ความน่าจะเป็น พีที่จุดพอดีกับวงกลมคืออัตราส่วนของพื้นที่ของวงกลมและสี่เหลี่ยมจัตุรัส P \u003d S cr / S q \u003d 2πr 2 / (2r) 2 \u003d π / 4.

จากที่นี่เราแสดงหมายเลข Pi พาย=4P. เหลือเพียงการรับข้อมูลการทดลองและค้นหาความน่าจะเป็น P เป็นอัตราส่วนของการเข้าชมในวงกลม ยังไม่มีข้อความตีสี่เหลี่ยม ตร.ม.. โดยทั่วไป สูตรการคำนวณจะมีลักษณะดังนี้: π=4N cr / N ตร.

ฉันต้องการทราบว่าในการใช้วิธีนี้ ไม่จำเป็นต้องไปที่คาสิโน แค่ใช้ภาษาการเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมไม่มากก็น้อย ความแม่นยำของผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับจำนวนคะแนนที่ตั้งไว้ตามลำดับยิ่งแม่นยำยิ่งขึ้น ขอให้โชคดีนะคะ 😉

เอกภาพ (แทนที่จะสรุป)

คนที่ห่างไกลจากวิชาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่มักไม่รู้ แต่ปรากฏว่า เลขพี่มีน้องชายที่ใหญ่เป็นสองเท่า นี่คือตัวเลข Tau(τ) และถ้า Pi เป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้น Tau ก็คืออัตราส่วนของความยาวนั้นต่อรัศมี และวันนี้มีนักคณิตศาสตร์บางคนเสนอให้ละทิ้งตัวเลข Pi และแทนที่ด้วย Tau เนื่องจากสะดวกกว่าในหลายๆ ด้าน แต่จนถึงตอนนี้ นี่เป็นเพียงข้อเสนอเท่านั้น และดังที่ Lev Davidovich Landau กล่าวว่า "ทฤษฎีใหม่เริ่มครอบงำเมื่อผู้สนับสนุนทฤษฎีเก่าตายไป"