การหาชุดของค่าฟังก์ชัน การทำงาน

งานจำนวนมากทำให้เราค้นหาชุดของค่าฟังก์ชันในส่วนใดส่วนหนึ่งหรือในขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด งานดังกล่าวรวมถึงการประเมินนิพจน์ต่างๆ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

ในบทความนี้ เราจะกำหนดช่วงของฟังก์ชัน พิจารณาวิธีการค้นหา และวิเคราะห์รายละเอียดการแก้ปัญหาของตัวอย่างตั้งแต่ง่ายไปจนถึงซับซ้อนมากขึ้น วัสดุทั้งหมดจะได้รับภาพประกอบกราฟิกเพื่อความชัดเจน บทความนี้จึงเป็นคำตอบโดยละเอียดสำหรับคำถามเกี่ยวกับวิธีการค้นหาช่วงของฟังก์ชัน

คำนิยาม.

ชุดของค่าของฟังก์ชัน y = f(x) บนช่วงเวลา Xเรียกว่าเซตของค่าทั้งหมดของฟังก์ชันที่ใช้เมื่อวนซ้ำทั้งหมด

คำนิยาม.

ช่วงของฟังก์ชัน y = f(x)เรียกว่าเซตของค่าทั้งหมดของฟังก์ชันที่ใช้เมื่อวนซ้ำค่า x ทั้งหมดจากโดเมนของคำจำกัดความ

ช่วงของฟังก์ชันแสดงเป็น E(f)

ช่วงของฟังก์ชันและชุดของค่าของฟังก์ชันไม่เหมือนกัน แนวคิดเหล่านี้จะถือว่าเทียบเท่ากันหากช่วงเวลา X เมื่อค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชัน y = f(x) ตรงกับโดเมนของฟังก์ชัน

นอกจากนี้ อย่าสับสนระหว่างช่วงของฟังก์ชันกับตัวแปร x สำหรับนิพจน์ทางด้านขวาของสมการ y=f(x) พื้นที่ของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x สำหรับนิพจน์ f(x) คือพื้นที่ของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y=f(x) .

รูปภาพแสดงตัวอย่างบางส่วน

กราฟฟังก์ชันแสดงด้วยเส้นสีน้ำเงินหนา เส้นบางสีแดงเป็นเส้นกำกับ จุดสีแดง และเส้นบนแกน Oy จะแสดงช่วงของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง

อย่างที่คุณเห็น ช่วงของฟังก์ชันได้มาจากการฉายกราฟของฟังก์ชันลงบนแกน y อาจเป็นตัวเลขเดี่ยว (ตัวพิมพ์แรก) ชุดตัวเลข (ตัวพิมพ์ที่สอง) ส่วน (ตัวพิมพ์ที่สาม) ช่วง (กรณีที่สี่) รังสีเปิด (กรณีที่ห้า) สหภาพ (กรณีที่หก) เป็นต้น .

คุณต้องทำอะไรเพื่อค้นหาช่วงของฟังก์ชัน

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุด: เราจะแสดงวิธีกำหนดชุดของค่าของฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f(x) ในช่วงเวลา .

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์ถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดของมัน ดังนั้นชุดของค่าของฟังก์ชันดั้งเดิมบนเซ็กเมนต์จะเป็นเซกเมนต์ . ดังนั้นงานของเราจึงลดลงเพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลา .

ตัวอย่างเช่น ลองหาพิสัยของฟังก์ชันอาร์กไซน์

ตัวอย่าง.

ระบุช่วงของฟังก์ชัน y = arcsinx

การตัดสินใจ.

โดเมนของคำจำกัดความของอาร์คไซน์คือเซ็กเมนต์ [-1; หนึ่ง] . ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในส่วนนี้

อนุพันธ์เป็นค่าบวกสำหรับ x ทั้งหมดจากช่วง (-1; 1) นั่นคือฟังก์ชันอาร์กไซน์เพิ่มขึ้นตลอดโดเมนของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงใช้ค่าที่น้อยที่สุดที่ x = -1 และค่าที่มากที่สุดคือ x = 1

เราได้พิสัยของฟังก์ชันอาร์คไซน์ .

ตัวอย่าง.

ค้นหาชุดของค่าฟังก์ชัน ในส่วน

การตัดสินใจ.

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนด

มากำหนดจุดสุดขั้วที่เป็นของกลุ่ม:

เราคำนวณค่าของฟังก์ชันดั้งเดิมที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุด :

ดังนั้นชุดของค่าของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์คือเซกเมนต์ .

ตอนนี้เราจะแสดงวิธีค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f(x) ในช่วงเวลา (a; b) , .

อันดับแรก เรากำหนดจุดสุดขั้ว สุดขั้วของฟังก์ชัน ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด ต่อไป เราคำนวณที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาและ (หรือ) ขีดจำกัดที่ระยะอนันต์ (นั่นคือ เราศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ขอบเขตของช่วงหรือที่ระยะอนันต์) ข้อมูลนี้เพียงพอที่จะค้นหาชุดของค่าฟังก์ชันในช่วงเวลาดังกล่าว

ตัวอย่าง.

กำหนดชุดของค่าฟังก์ชันในช่วงเวลา (-2; 2) .

การตัดสินใจ.

มาหาจุดสุดขั้วของฟังก์ชันที่ตกอยู่ในช่วง (-2; 2) :

Dot x = 0 คือจุดสูงสุด เนื่องจากอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบเมื่อผ่านจุดนั้น และกราฟของฟังก์ชันเปลี่ยนจากการเพิ่มขึ้นเป็นลดลง

คือค่าสูงสุดของฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน

มาหาพฤติกรรมของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มไปทางขวา -2 และเมื่อ x มีแนวโน้มไปทางซ้ายเป็น 2 นั่นคือ เราพบขีดจำกัดด้านเดียว:

สิ่งที่เราได้รับ: เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก -2 เป็นศูนย์ ค่าของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากลบอนันต์เป็นลบหนึ่งในสี่ (ค่าสูงสุดของฟังก์ชันที่ x = 0 ) เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจากศูนย์เป็น 2 ฟังก์ชัน ค่าลดลงเป็นลบอนันต์ ดังนั้นชุดของค่าฟังก์ชันในช่วงเวลา (-2; 2) คือ .

ตัวอย่าง.

ระบุชุดค่าของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tgx บนช่วงเวลา

การตัดสินใจ.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันแทนเจนต์บนช่วงเวลาเป็นบวก ซึ่งแสดงถึงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน เราศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันตามขอบเขตของช่วงเวลา:

ดังนั้นเมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจากเป็น ค่าของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากลบอนันต์เป็นบวกอินฟินิตี้ นั่นคือ ชุดของค่าแทนเจนต์ในช่วงเวลานี้คือชุดของจำนวนจริงทั้งหมด

ตัวอย่าง.

หาพิสัยของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ y = lnx

การตัดสินใจ.

ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์ . ในช่วงเวลานี้ อนุพันธ์เป็นบวก แสดงว่ามีฟังก์ชันเพิ่มขึ้น มาหาลิมิตด้านเดียวของฟังก์ชันกันเมื่ออาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากทางขวา และลิมิตเมื่อ x มีแนวโน้มบวกอนันต์:

เราจะเห็นว่าเมื่อ x เปลี่ยนจากศูนย์เป็นบวกอนันต์ ค่าของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากลบอนันต์เป็นบวกอนันต์ ดังนั้น พิสัยของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

ตัวอย่าง.

การตัดสินใจ.

ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับค่า x จริงทั้งหมด ให้เรากำหนดจุดสุดขั้วรวมถึงช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

ดังนั้นฟังก์ชันจะลดลงที่ , เพิ่มขึ้นที่ , x = 0 คือจุดสูงสุด ค่าสูงสุดของฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน

ลองดูพฤติกรรมของฟังก์ชันที่อินฟินิตี้:

ดังนั้นที่ระยะอนันต์ ค่าของฟังก์ชันจะเข้าใกล้ศูนย์แบบไม่มีซีมโทติค

เราพบว่าเมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจากลบอนันต์เป็นศูนย์ (จุดสูงสุด) ค่าของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นจากศูนย์เป็นเก้า (สูงสุดสูงสุดของฟังก์ชัน) และเมื่อ x เปลี่ยนจากศูนย์เป็นบวกอนันต์ ค่าของฟังก์ชันลดลงจากเก้าเป็นศูนย์

ดูภาพวาดแผนผัง

ตอนนี้จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าช่วงของฟังก์ชันคือ

การหาชุดของค่าของฟังก์ชัน y = f(x) ในช่วงเวลานั้นจำเป็นต้องมีการศึกษาที่คล้ายคลึงกัน เราจะไม่พูดถึงกรณีเหล่านี้โดยละเอียด เราจะเห็นพวกเขาในตัวอย่างด้านล่าง

ให้โดเมนของฟังก์ชัน y = f(x) เป็นการรวมของช่วงหลายช่วง เมื่อค้นหาช่วงของฟังก์ชันดังกล่าว ชุดของค่าในแต่ละช่วงเวลาจะถูกกำหนดและนำการรวมเข้าด้วยกัน

ตัวอย่าง.

หาช่วงของฟังก์ชัน

การตัดสินใจ.

ตัวส่วนของฟังก์ชันของเราไม่ควรเป็นศูนย์ นั่นคือ .

ขั้นแรก ให้หาชุดของค่าของฟังก์ชันบน open ray กันก่อน

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน เป็นค่าลบในช่วงเวลานี้ นั่นคือ ฟังก์ชันจะลดลง

เราพบว่าเมื่ออาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะลบอนันต์ ค่าของฟังก์ชันจะเข้าใกล้ความสามัคคีแบบไม่มีซีมโทติค เมื่อ x เปลี่ยนจากลบอนันต์เป็นสอง ค่าของฟังก์ชันจะลดลงจากหนึ่งเป็นลบอนันต์ นั่นคือ ในช่วงเวลาที่พิจารณา ฟังก์ชันจะใช้ชุดของค่า เราไม่รวมความสามัคคีเนื่องจากค่าของฟังก์ชันไม่ถึงมัน แต่มีแนวโน้มที่จะไม่มีอาการที่ลบอนันต์

เราทำเช่นเดียวกันสำหรับลำแสงเปิด

ฟังก์ชันนี้จะลดลงในช่วงเวลานี้ด้วย

ชุดของค่าฟังก์ชันในช่วงเวลานี้คือชุด .

ดังนั้นช่วงของค่าฟังก์ชันที่ต้องการคือการรวมกันของชุดและ .

ภาพประกอบกราฟิก

แยกกันเราควรอาศัยการทำงานเป็นระยะ ช่วงของฟังก์ชันคาบสอดคล้องกับชุดของค่าในช่วงเวลาที่สอดคล้องกับคาบของฟังก์ชันนี้

ตัวอย่าง.

หาพิสัยของฟังก์ชันไซน์ y = sinx

การตัดสินใจ.

ฟังก์ชันนี้เป็นคาบที่มีคาบ 2 ไพ ลองแบ่งส่วนและกำหนดชุดของค่ากับมัน

ส่วนนี้ประกอบด้วยจุดสุดขั้วสองจุด และ .

เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้และบนขอบเขตของเซ็กเมนต์ เลือกค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุด:

เพราะฉะนั้น, .

ตัวอย่าง.

ค้นหาช่วงของฟังก์ชัน .

การตัดสินใจ.

เรารู้ว่าพิสัยของอาร์คโคไซน์คือเซกเมนต์จากศูนย์ถึงไพ นั่นคือ หรือในโพสต์อื่น การทำงาน หาได้จาก arccosx โดยการขยับและยืดออกตามแนวแกน x การแปลงดังกล่าวไม่ส่งผลกระทบต่อช่วง ดังนั้น . การทำงาน มาจาก ยืดตามแกน Oy สามครั้ง นั่นคือ . และขั้นตอนสุดท้ายของการแปลงคือเลื่อนไปสี่หน่วยตามแกน y สิ่งนี้นำเราไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า

ดังนั้นช่วงของค่าที่ต้องการคือ .

ลองแก้ปัญหาให้กับอีกตัวอย่างหนึ่ง แต่ไม่มีคำอธิบาย (ไม่จำเป็นเพราะคล้ายกันทั้งหมด)

ตัวอย่าง.

กำหนดช่วงของฟังก์ชัน .

การตัดสินใจ.

เราเขียนฟังก์ชันดั้งเดิมในรูปแบบ . ช่วงของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือช่วง เช่น, . แล้ว

เพราะฉะนั้น, .

เพื่อให้ภาพสมบูรณ์ เราควรพูดถึงการหาพิสัยของฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องกันในโดเมนของคำจำกัดความ ในกรณีนี้ ขอบเขตของคำจำกัดความจะถูกแบ่งตามจุดแบ่งเป็นระยะ และเราพบชุดของค่าในแต่ละค่า เมื่อรวมชุดของค่าที่ได้รับ เราจะได้ช่วงของค่าของฟังก์ชันดั้งเดิม เราแนะนำให้จำ 3 ทางด้านซ้าย ค่าของฟังก์ชันมักจะลบหนึ่ง และเมื่อ x มีแนวโน้มที่จะ 3 ทางด้านขวา ค่าของฟังก์ชันมักจะบวกอนันต์

ดังนั้นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันจึงแบ่งออกเป็นสามช่วง

ในช่วงเวลาที่เรามีฟังก์ชัน . ตั้งแต่นั้นมา

ดังนั้นชุดของค่าของฟังก์ชันดั้งเดิมในช่วงเวลาคือ [-6;2] .

ในครึ่งช่วงเรามีฟังก์ชันคงที่ y = -1 . นั่นคือชุดของค่าของฟังก์ชันดั้งเดิมในช่วงเวลาประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว .

ฟังก์ชั่นถูกกำหนดไว้สำหรับค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

อนุพันธ์หายไปที่ x=-1 และ x=3 เราทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนแกนจริงและกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาที่ได้รับ

ฟังก์ชั่นลดลง , เพิ่มขึ้นโดย [-1; 3] , x=-1 จุดต่ำสุด x=3 จุดสูงสุด

เราคำนวณฟังก์ชันต่ำสุดและสูงสุดที่เกี่ยวข้อง:

ตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ระยะอนันต์:

ขีดจำกัดที่สองคำนวณจาก

มาวาดแผนผังกันเถอะ

เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจากลบอนันต์เป็น -1 ค่าฟังก์ชันจะลดลงจากบวกอินฟินิตี้เป็น -2e เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก -1 เป็น 3 ค่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจาก -2e เป็น เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก 3 ถึงบวกอนันต์ ค่าฟังก์ชันลดลงจากเป็นศูนย์ แต่ไม่ถึงศูนย์

ง(ฉ)- ค่าเหล่านั้นที่อาร์กิวเมนต์สามารถรับได้เช่น ขอบเขตการทำงาน.

อี(ฉ)- ค่าเหล่านั้นที่ฟังก์ชันสามารถรับได้เช่น ชุดของค่าฟังก์ชัน.

วิธีการหาช่วงของฟังก์ชัน

การค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันที่ซับซ้อนตามลำดับ

วิธีการให้คะแนน/ขอบเขต

การใช้คุณสมบัติของความต่อเนื่องและความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน

การใช้อนุพันธ์

ใช้ค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

วิธีกราฟิก

วิธีการแนะนำพารามิเตอร์

วิธีฟังก์ชันผกผัน

ลองพิจารณาบางส่วนของพวกเขา

การใช้อนุพันธ์

วิธีการทั่วไปการหาเซตของค่าของฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) คือการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน f(x) ในโดเมนของมัน (หรือเพื่อพิสูจน์ว่าไม่มีค่าใดค่าหนึ่งหรือทั้งสองค่า) .

หากคุณต้องการค้นหาชุดค่าของฟังก์ชัน ในส่วน:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด f "(x);

ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน f(x) และเลือกจุดที่เป็นของกลุ่มที่กำหนด

คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤตที่เลือก

ในบรรดาค่าที่พบ ให้เลือกค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุด

สรุปชุดของค่าฟังก์ชันระหว่างค่าเหล่านี้

ถ้าขอบเขตของฟังก์ชันคือ ช่วงเวลาจากนั้นใช้รูปแบบเดียวกัน แต่แทนที่จะเป็นค่าที่สิ้นสุด ขีด จำกัด ของฟังก์ชันจะใช้เมื่ออาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะสิ้นสุดช่วงเวลา ค่าจำกัดจากจะไม่รวมอยู่ในชุดค่า

วิธีขอบเขต/คะแนน

ในการค้นหาชุดของค่าฟังก์ชัน ก่อนอื่นให้ค้นหาชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ จากนั้นค้นหาค่าต่ำสุดและสูงสุดของฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน ใช้ความไม่เท่าเทียมกัน - กำหนดขอบเขต

ประเด็นคือการประมาณค่าฟังก์ชันต่อเนื่องจากด้านล่างและด้านบน และเพื่อพิสูจน์ว่าฟังก์ชันมาถึงขอบเขตล่างและบนของการประมาณการ ในกรณีนี้ความบังเอิญของชุดของค่าของฟังก์ชันที่มีช่วงเวลาจากขอบล่างของการประมาณถึงค่าบนจะถูกกำหนดโดยความต่อเนื่องของฟังก์ชันและไม่มีค่าอื่นสำหรับมัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง

อีกทางเลือกหนึ่งคือการแปลงฟังก์ชันให้เป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกแบบต่อเนื่อง จากนั้นใช้คุณสมบัติของอสมการ ชุดของค่าของฟังก์ชันที่ได้รับใหม่จะถูกประมาณการ

การหาค่าของอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันที่ซับซ้อนตามลำดับ

ขึ้นอยู่กับการค้นหาตามลำดับสำหรับชุดของค่าของฟังก์ชันระดับกลางที่ประกอบขึ้นเป็นฟังก์ชัน

ช่วงของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน

การทำงาน	คุณค่ามากมาย
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	อี(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1;1]
$y = (\rmtg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-π/2; พาย/2]
$y = \arccos(x)$	อี(y) =
$y = (\rm arctg)\, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; π)

ตัวอย่าง

ค้นหาชุดค่าฟังก์ชัน:

การใช้อนุพันธ์

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ: D(f)=[-3;3], เพราะ $9-x^(2)\geq 0$

ค้นหาอนุพันธ์: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0 ถ้า x = 0 f"(x) ไม่มีอยู่ถ้า $\sqrt(9-x^(2))=0$ เช่น สำหรับ x = ±3 เราได้รับสามจุดวิกฤต: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3 ซึ่งสองจุดตรงกับจุดสิ้นสุดของส่วน มาคำนวณกัน: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0 ดังนั้น ค่าที่น้อยที่สุดของ f(x) คือ 0 ค่าที่มากที่สุดคือ 3

คำตอบ: E(f) = .

ไม่ใช้อนุพันธ์

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน:

ตั้งแต่ $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ จากนั้น:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ สำหรับ x ทั้งหมด;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ สำหรับ x ทั้งหมด(เพราะ $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

คำตอบ: $\frac(3)(4)$ and $-\frac(3)(2)$

หากคุณแก้ปัญหานี้ด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ คุณจะต้องเอาชนะอุปสรรคที่เกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชัน f (x) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในเซ็กเมนต์ แต่ในเส้นจริงทั้งหมด

การใช้ขอบเขต/วิธีประมาณการ

ตามมาจากนิยามของไซน์ที่ $-1\leq\sin(x)\leq 1$ ต่อไป เราใช้คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (คูณสามส่วนของอสมการสองเท่าด้วย -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (บวกสามส่วนของอสมการสองเท่า 5);

เนื่องจากฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องกันทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ ชุดของค่าจึงอยู่ระหว่างค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดตลอดโดเมนของคำจำกัดความ หากมี

ในกรณีนี้ ชุดของค่าของฟังก์ชัน $y = 5 - 4\sin(x)$ คือชุด

จากอสมการ $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ เราได้ค่าประมาณ $$\\ -6\leq y\ เล็ก 6$ $

สำหรับ x = p และ x = 0 ฟังก์ชันใช้ค่า -6 และ 6 นั่นคือ ถึงขอบล่างและบน จากผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันต่อเนื่อง cos(7x) และ cos(x) ฟังก์ชัน y จะต่อเนื่องไปตามแกนตัวเลขทั้งหมด ดังนั้นโดยคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง จะใช้ค่าทั้งหมดตั้งแต่ -6 ถึง 6 และ มีเพียงพวกเขาเท่านั้น เนื่องจากเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกัน $- 6\leq y\leq 6$ ค่าอื่น ๆ จึงเป็นไปไม่ได้สำหรับมัน

ดังนั้น E(y) = [-6;6]

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ คำตอบ: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

ให้เราแปลงนิพจน์ $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$

คำจำกัดความของโคไซน์หมายถึง $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

เนื่องจากฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องกันในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความ ดังนั้นชุดของค่าจึงอยู่ระหว่างค่าที่เล็กที่สุดและมากที่สุด หากมี ชุดของค่าของฟังก์ชัน $y =\sqrt(2)\ cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ คือชุด $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

หมายถึง $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$ โดยที่ -∞≤t≤4 ดังนั้นปัญหาจะลดลงเพื่อค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชัน $y = \log_(0,5)(t)$ บนรังสี (-∞;4) เนื่องจากฟังก์ชัน $y = \log_(0,5)(t)$ ถูกกำหนดไว้สำหรับ t > 0 เท่านั้น ชุดของค่าบนรังสี (-∞;4) จะตรงกับชุดของค่าของ ฟังก์ชันบนช่วง (0;4) ที่แสดงคือจุดตัดของรังสี (-∞;4) กับโดเมนของคำจำกัดความ (0;+∞) ของฟังก์ชันลอการิทึม ในช่วงเวลา (0;4) ฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่องและลดลง สำหรับ t > 0 มีแนวโน้มที่ +∞ และสำหรับ t = 4 จะใช้ค่า -2 ดังนั้น E(y) = (-2, +∞)

เราใช้เทคนิคตามการแสดงกราฟิกของฟังก์ชัน

หลังจากการแปลงฟังก์ชัน เรามี: y 2 + x 2 = 25 และ y ≥ 0, |x| ≤ 5

ควรจำไว้ว่า $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ คือสมการของวงกลมรัศมี r

ภายใต้ข้อจำกัดเหล่านี้ กราฟของสมการนี้คือครึ่งวงกลมบนที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดและรัศมีเท่ากับ 5 เป็นที่แน่ชัดว่า E(y) =

คำตอบ: E(y) = .

อ้างอิง

ขอบเขตของหน้าที่ในงานของ Unified State Examination Minyuk Irina Borisovna

เคล็ดลับในการค้นหาชุดของค่าฟังก์ชัน Belyaeva I. , Fedorova S.

การหาเซตของค่าฟังก์ชัน

วิธีแก้ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ในการสอบเข้า I.I. Melnikov, I.N. Sergeev

การทำงาน y=f(x) เป็นการพึ่งพาตัวแปร y กับตัวแปร x เมื่อแต่ละค่าที่ถูกต้องของตัวแปร x สอดคล้องกับค่าเดียวของตัวแปร y

ขอบเขตฟังก์ชัน D(f) คือชุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร x

ช่วงฟังก์ชัน E(f) คือชุดของค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของตัวแปร y

กราฟฟังก์ชัน y=f(x) เป็นชุดของจุดระนาบที่พิกัดเป็นไปตามการพึ่งพาการทำงานที่กำหนด นั่นคือ จุดในรูปแบบ M (x; f(x)) กราฟของฟังก์ชันคือเส้นบนระนาบ

ถ้า b=0 ฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ y=kx และจะถูกเรียก สัดส่วนโดยตรง.

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นตรงเป็นเส้นตรง

ความชัน k ของเส้นตรง y=kx+b คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

k= tg \alpha โดยที่ \alpha คือมุมเอียงของเส้นตรงไปยังทิศทางบวกของแกน Ox

1) ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนสำหรับ k > 0 .

ตัวอย่างเช่น: y=x+1

2) ฟังก์ชันจะลดลงแบบโมโนโทนเมื่อ k< 0 .

ตัวอย่างเช่น: y=-x+1

3) ถ้า k=0 จากนั้นให้ค่า b โดยพลการ เราจะได้ครอบครัวของเส้นตรงขนานกับแกน Ox

ตัวอย่างเช่น: y=-1

สัดส่วนผกผัน

สัดส่วนผกผันเรียกว่า ฟังก์ชันของรูป y=\frac (k)(x)โดยที่ k เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์

D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \).

กราฟฟังก์ชัน y=\frac (k)(x)เป็นอติพจน์

1) ถ้า k > 0 กราฟของฟังก์ชันจะอยู่ในไตรมาสที่หนึ่งและสามของระนาบพิกัด

ตัวอย่างเช่น: y=\frac(1)(x)

2) ถ้า k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

ตัวอย่างเช่น: y=-\frac(1)(x)

ฟังก์ชั่นพลังงาน

ฟังก์ชั่นพลังงานเป็นฟังก์ชันของรูปแบบ y=x^n โดยที่ n คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์

1) ถ้า n=2 แล้ว y=x^2 D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in; คาบหลักของฟังก์ชัน T=2 \pi

แนวคิดของฟังก์ชันและทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันนี้มีความซับซ้อนตามธรรมเนียม ซึ่งไม่เข้าใจอย่างสมบูรณ์ สิ่งกีดขวางพิเศษในการศึกษาฟังก์ชันและการเตรียมตัวสำหรับการสอบคือโดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่า (การเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชัน
บ่อยครั้งที่นักเรียนไม่เห็นความแตกต่างระหว่างโดเมนของฟังก์ชันและโดเมนของค่า
และหากนักเรียนจัดการงานในการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันให้เชี่ยวชาญ งานในการค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชันจะทำให้พวกเขาลำบากมาก
จุดประสงค์ของบทความนี้: ทำความคุ้นเคยกับวิธีการหาค่าของฟังก์ชัน
จากการพิจารณาหัวข้อนี้ได้มีการศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎีวิธีการแก้ปัญหาในการค้นหาชุดค่าฟังก์ชันการเลือกสื่อการสอนสำหรับการทำงานอิสระของนักเรียน
ครูสามารถใช้บทความนี้ในการเตรียมนักเรียนสำหรับการสอบปลายภาคและการสอบเข้า เมื่อศึกษาหัวข้อ "ขอบเขตของฟังก์ชัน" ในชั้นเรียนทางเลือกในวิชาเลือกในวิชาคณิตศาสตร์

I. การกำหนดขอบเขตของฟังก์ชัน

พื้นที่ (ชุด) ของค่า E(y) ของฟังก์ชัน y = f(x) คือเซตของตัวเลขดังกล่าว y 0 สำหรับแต่ละจำนวนจะมีตัวเลขดังกล่าว x 0 ที่: f(x 0) = y 0 .

ให้เรานึกถึงช่วงของฟังก์ชันพื้นฐานหลัก

พิจารณาตาราง

การทำงาน	คุณค่ามากมาย
y = kx + b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	อี(y) =
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = อาร์คซิน x	E(y) = [-π/2 ; พาย/2]
y = อาร์คอส x	อี(y) =
y = อาร์คแทน x	E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

โปรดทราบด้วยว่าพิสัยของพหุนามใดๆ ของดีกรีคู่คือช่วง โดยที่ n คือค่าที่ใหญ่ที่สุดของพหุนามนี้

ครั้งที่สอง คุณสมบัติของฟังก์ชันที่ใช้ในการหาพิสัยของฟังก์ชัน

ในการหาชุดค่าของฟังก์ชันได้สำเร็จ เราต้องมีความรู้ที่ดีเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน โดยเฉพาะโดเมนของคำจำกัดความ ช่วงของค่า และลักษณะของความซ้ำซากจำเจ ให้เรานำเสนอคุณสมบัติของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลแบบต่อเนื่องและแบบโมโนโทนซึ่งส่วนใหญ่มักใช้ในการหาชุดของค่าของฟังก์ชัน

คุณสมบัติ 2 และ 3 มักใช้ร่วมกับคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานเพื่อให้มีความต่อเนื่องในโดเมน ในกรณีนี้ วิธีแก้ปัญหาที่ง่ายและสั้นที่สุดในการค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชันนั้นทำได้โดยอิงตามคุณสมบัติ 1 หากเป็นไปได้ที่จะกำหนดความซ้ำซากของฟังก์ชันโดยใช้วิธีง่ายๆ การแก้ปัญหาจะง่ายขึ้นอีกหากฟังก์ชันเป็นคู่หรือคี่เป็นระยะ ฯลฯ ดังนั้น เมื่อแก้ปัญหาการหาชุดของค่าฟังก์ชัน ควรตรวจสอบและใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อไปนี้ตามความจำเป็น:

• ความต่อเนื่อง;
• เสียงเดียว;
• ความแตกต่าง;
• คู่ คี่ เป็นระยะ ฯลฯ

งานง่าย ๆ สำหรับการค้นหาชุดของค่าฟังก์ชันนั้นส่วนใหญ่จะเน้น:

ก) การใช้ค่าประมาณและข้อจำกัดที่ง่ายที่สุด: (2 x > 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1, ฯลฯ );

b) เพื่อเลือกสี่เหลี่ยมเต็ม: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) สำหรับการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) การใช้ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน x 1/3 + 2 x-1 เพิ่มขึ้นโดย R

สาม. พิจารณาวิธีหาช่วงของฟังก์ชัน

ก) การค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันที่ซับซ้อนตามลำดับ
b) วิธีการประเมิน
c) การใช้คุณสมบัติของความต่อเนื่องและความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน
d) การใช้อนุพันธ์;
e) การใช้ค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน
f) วิธีการแบบกราฟิก
g) วิธีการแนะนำพารามิเตอร์
h) วิธีฟังก์ชันผกผัน

เราจะเปิดเผยสาระสำคัญของวิธีการเหล่านี้ในตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 1: ค้นหา range อี(ญ)ฟังก์ชั่น y = บันทึก 0.5 (4 - 2 3 x - 9 x)

ลองแก้ตัวอย่างนี้ด้วยการค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันที่ซับซ้อนตามลำดับ เมื่อเลือกกำลังสองเต็มภายใต้ลอการิทึม เราก็แปลงฟังก์ชัน

y = บันทึก 0.5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = บันทึก 0.5 (5 - (3 x + 1) 2)

และค้นหาชุดค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนตามลำดับ:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

หมายถึง t= 5 – (3 x +1) 2 โดยที่ -∞≤ t≤4. ดังนั้นปัญหาจะลดลงเพื่อค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชัน y = log 0.5 t บนรังสี (-∞;4) . เนื่องจากฟังก์ชัน y = log 0.5 t ถูกกำหนดไว้เฉพาะที่ จากนั้นชุดของค่าบนรังสี (-∞;4) จะตรงกับชุดของค่าฟังก์ชันในช่วงเวลา (0;4) ซึ่งก็คือ จุดตัดของรังสี (-∞;4) กับโดเมนของคำจำกัดความ (0;+∞) ของฟังก์ชันลอการิทึม ในช่วงเวลา (0;4) ฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่องและลดลง ที่ t> 0 มีแนวโน้มเป็น +∞ และเมื่อ เสื้อ = 4 รับค่า -2 ดังนั้น อี(y) =(-2, +∞).

ตัวอย่างที่ 2: ค้นหาช่วงของฟังก์ชัน

y = cos7x + 5cosx

เราจะแก้ตัวอย่างนี้โดยวิธีการประมาณการ ซึ่งมีสาระสำคัญคือการประมาณฟังก์ชันต่อเนื่องจากด้านล่างและด้านบน และเพื่อพิสูจน์ว่าฟังก์ชันมาถึงขอบเขตล่างและบนของการประมาณ ในกรณีนี้ความบังเอิญของชุดของค่าของฟังก์ชันที่มีช่วงเวลาจากขอบล่างของการประมาณถึงค่าบนจะถูกกำหนดโดยความต่อเนื่องของฟังก์ชันและไม่มีค่าอื่นสำหรับมัน

จากอสมการ -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 เราได้ค่าประมาณ -6≤y?6 สำหรับ x = p และ x = 0 ฟังก์ชันใช้ค่า -6 และ 6 นั่นคือ ถึงขอบล่างและบน จากการรวมกันเชิงเส้นของฟังก์ชันต่อเนื่อง cos7x และ cosx ฟังก์ชัน y จะต่อเนื่องไปตามแกนจำนวนทั้งหมด ดังนั้น โดยคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง จะใช้ค่าทั้งหมดตั้งแต่ -6 ถึง 6 และมีเพียงค่าเหล่านี้เท่านั้นตั้งแต่ เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกัน -6≤y?6 ค่าอื่น ๆ เธอจึงเป็นไปไม่ได้ เพราะฉะนั้น, อี(ญ)= [-6;6].

ตัวอย่างที่ 3: ค้นหา range อี(ฉ)ฟังก์ชั่น เอฟ(x)= cos2x + 2cosx

โดยใช้สูตรโคไซน์สองมุม เราแปลงฟังก์ชัน เอฟ(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 และแสดงว่า t= คอสเอ็กซ์ แล้ว เอฟ(x)= 2t 2 + 2t – 1. เนื่องจาก อี(คอสเอ็กซ์) =

[-1;1] จากนั้นช่วงของฟังก์ชัน เอฟ(x)ตรงกับชุดของค่าของฟังก์ชัน g (ท)\u003d 2t 2 + 2t - 1 ในส่วน [-1; 1] ซึ่งเราจะพบโดยวิธีกราฟิก เมื่อพล็อตฟังก์ชัน y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0.5) 2 - 1.5 ในช่วงเวลา [-1; 1] เราพบว่า อี(ฉ) = [-1,5; 3].

หมายเหตุ – ปัญหาหลายอย่างของพารามิเตอร์จะลดลงเหลือเพียงการหาชุดของค่าของฟังก์ชัน ซึ่งส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับความสามารถในการแก้ปัญหาและจำนวนคำตอบของสมการและอสมการ ตัวอย่างเช่น สมการ เอฟ(x)= a แก้ได้ก็ต่อเมื่อ

เออี(ฉ)ในทำนองเดียวกัน สมการ เอฟ(x)= a มีอย่างน้อยหนึ่งรูทที่อยู่บนช่วง X หรือไม่มีรูทในช่วงเวลานี้หาก a เป็นของหรือไม่อยู่ในชุดของค่าของฟังก์ชัน เอฟ(x)บนช่วงเวลา X เรายังศึกษาโดยใช้ชุดค่าของฟังก์ชันและอสมการ f(x)≠ก, f(x)>ก เป็นต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, f(x)≠และสำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของ x หากเป็น E(f)

ตัวอย่างที่ 4 สำหรับค่าของพารามิเตอร์ a สมการ (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) มีรากเดียวในส่วน [-4;-1]

ลองเขียนสมการในรูป (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a สมการสุดท้ายมีอย่างน้อยหนึ่งรูทบนเซ็กเมนต์ [-4;-1] หาก a อยู่ในชุดของค่าของฟังก์ชัน f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) ในส่วน [-4;-1] มาหาชุดนี้โดยใช้คุณสมบัติของความต่อเนื่องและความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน

ในส่วน [-4;-1] ฟังก์ชัน y = xІ + 4 ต่อเนื่อง ลดลงและเป็นบวก ดังนั้น ฟังก์ชัน ก.(x) = 1/(x 2 + 4) ต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้ เนื่องจากเมื่อหารด้วยฟังก์ชันที่เป็นบวก ธรรมชาติของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม การทำงาน h(x) =(x + 5) 1/2 ต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นในโดเมน ง(ซ) =[-5;+∞) และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วง [-4;-1] ซึ่งมันเป็นค่าบวกด้วย จากนั้นฟังก์ชั่น ฉ(x)=ก.(x) ช(x)เนื่องจากเป็นผลคูณของสองฟังก์ชันต่อเนื่อง เพิ่มขึ้น และบวก ยังต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นในส่วน [-4;-1] ดังนั้น ชุดของค่าบน [-4;-1] คือเซ็กเมนต์ [ ฉ(-4); ฉ(-1)] = . ดังนั้น สมการจึงมีคำตอบในช่วง [-4;-1] และมีเพียงอันเดียว (โดยคุณสมบัติของฟังก์ชันโมโนโทนต่อเนื่อง) สำหรับ 0.05 ≤ a ≤ 0.4

ความคิดเห็น การแก้สมการได้ f(x) = aในบางช่วงเวลา X เทียบเท่ากับค่าของพารามิเตอร์ เอชุดของค่าฟังก์ชัน เอฟ(x)บน X ดังนั้นชุดของค่าของฟังก์ชัน เอฟ(x)บนช่วงเวลา X ตรงกับชุดของค่าพารามิเตอร์ เอซึ่งสมการ f(x) = aมีอย่างน้อยหนึ่งรูทในช่วง X โดยเฉพาะช่วงของค่า อี(ฉ)ฟังก์ชั่น เอฟ(x)ตรงกับชุดของค่าพารามิเตอร์ เอซึ่งสมการ f(x) = aมีอย่างน้อยหนึ่งราก

ตัวอย่างที่ 5: ค้นหา range อี(ฉ)ฟังก์ชั่น

ลองแก้ตัวอย่างโดยแนะนำพารามิเตอร์ตามที่ อี(ฉ)ตรงกับชุดของค่าพารามิเตอร์ เอซึ่งสมการ

มีอย่างน้อยหนึ่งราก

เมื่อ a=2 สมการจะเป็นเส้นตรง - 4x - 5 = 0 โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับ x ที่ไม่รู้จัก ดังนั้นจึงมีคำตอบ สำหรับ a≠2 สมการจะเป็นกำลังสอง ดังนั้นจึงแก้ได้ก็ต่อเมื่อเป็นการเลือกปฏิบัติ

เนื่องจากจุด a = 2 อยู่ในเซ็กเมนต์

จากนั้นชุดค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการ ก,ดังนั้นช่วงของค่า อี(ฉ)จะเป็นส่วนทั้งหมด

เป็นการพัฒนาโดยตรงของวิธีการแนะนำพารามิเตอร์เมื่อค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชัน เราสามารถพิจารณาวิธีการของฟังก์ชันผกผันเพื่อค้นหาว่าจำเป็นต้องแก้สมการของ x ใดบ้าง f(x)=yโดยพิจารณา y เป็นพารามิเตอร์ ถ้าสมการนี้มีคำตอบเฉพาะ x=g(y)จากนั้นช่วง อี(ฉ)ฟังก์ชั่นเดิม เอฟ(x)สอดคล้องกับขอบเขตของคำจำกัดความ ดี(ก.)ฟังก์ชันผกผัน กรัม(y). ถ้าสมการ f(x)=yมีหลายโซลูชั่น x = ก. 1 (y), x \u003d ก. 2 (y)เป็นต้น แล้ว อี(ฉ)เท่ากับการรวมกันของขอบเขตของนิยามฟังก์ชัน ก 1 (ปี) ก. 2 (ปี)ฯลฯ

ตัวอย่างที่ 6: ค้นหาช่วง อี(ญ)ฟังก์ชัน y = 5 2/(1-3x)

จากสมการ

ค้นหาฟังก์ชันผกผัน x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) และโดเมนของมัน ดี(x):

เนื่องจากสมการของ x มีคำตอบเฉพาะ ดังนั้น

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ )

หากโดเมนของฟังก์ชันประกอบด้วยช่วงหลายช่วงหรือฟังก์ชันในช่วงเวลาต่างๆ ถูกกำหนดโดยสูตรที่ต่างกัน เพื่อค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลาและหาค่าของมัน สหภาพแรงงาน

ตัวอย่างที่ 7: ค้นหาช่วง เอฟ(x)และ ฉ(f(x)), ที่ไหน

เอฟ(x)บนรังสี (-∞;1] ซึ่งตรงกับนิพจน์ 4 x + 9 4 -x + 3 แสดงว่า เสื้อ = 4 x. แล้ว เอฟ(x) = t + 9/t + 3ที่ไหน 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции เอฟ(x)บนรังสี (-∞;1] เกิดขึ้นพร้อมกับชุดค่าของฟังก์ชัน กรัม (เสื้อ) = t + 9/t + 3, ในช่วงเวลา (0;4] ซึ่งเราพบโดยใช้อนุพันธ์ ก.'(เสื้อ) \u003d 1 - 9 / เสื้อ 2. บนช่วงเวลา (0;4] อนุพันธ์ กรัม'(t)ถูกกำหนดและหายไปที่นั่นที่ t=3. ที่ 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция กรัม (เสื้อ)ลดลงและในช่วงเวลา (3;4) จะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องตลอดช่วง (0;4) ดังนั้น g (3)= 9 - ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันนี้ในช่วงเวลา (0; 4] ในขณะที่ค่าที่ใหญ่ที่สุดไม่มีอยู่ ดังนั้นเมื่อ เสื้อ→0ฟังก์ชั่นที่เหมาะสม ก.(เสื้อ)→+∞จากนั้นโดยคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง ชุดของค่าของฟังก์ชัน กรัม (เสื้อ)ในช่วงเวลา (0;4] และด้วยเหตุนี้ชุดของค่า เอฟ(x)บน (-∞;-1] จะมีรังสี

ทีนี้ โดยการรวมช่วงเวลา - ชุดของค่าฟังก์ชัน ฉ(f(x)), หมายถึง เสื้อ = ฉ(x). แล้ว ฉ(f(x)) = ฉ(t), ที่ไหน tการทำงาน ฉ(t)= 2cos( x-1) 1/2+7 และรวมค่าทั้งหมดจาก 5 ถึง 9 อีกครั้งเช่น พิสัย E(fІ) = E(f(f(x))) =.

ในทำนองเดียวกันแสดงว่า z = ฉ(f(x)), คุณสามารถค้นหาช่วง อี(f3)ฟังก์ชั่น ฉ(f(f(x))) = ฉ(z)โดยที่ 5 ≤ z ≤ 9 เป็นต้น ทำให้แน่ใจ E(f 3) = .

วิธีที่เป็นสากลที่สุดในการค้นหาชุดของค่าฟังก์ชันคือการใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 8 สำหรับค่าพารามิเตอร์ใด Rความไม่เท่าเทียมกัน 8 x - หน้า ≠ 2x+1 – 2xถือไว้สำหรับ -1 ≤ x . ทั้งหมด< 2.

แสดงถึง เสื้อ = 2 x, เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันเป็น p ≠ t 3 - 2t 2 + t. เนื่องจาก เสื้อ = 2 xเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องบน อาร์จากนั้นสำหรับ -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0.5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда Rแตกต่างจากค่าฟังก์ชัน ฉ(เสื้อ) \u003d เสื้อ 3 - 2t 2 + เสื้อที่ 0.5 ≤ t< 4.

ให้เราหาชุดของค่าของฟังก์ชันก่อน ฉ(t)ในช่วงเวลาที่มีอนุพันธ์อยู่ทุกที่ f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. เพราะฉะนั้น, ฉ(t)หาอนุพันธ์ได้จึงต่อเนื่องในส่วน จากสมการ f'(t) = 0หาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน เสื้อ=1/3 เสื้อ=1อันแรกไม่อยู่ในเซ็กเมนต์ และอันที่สองเป็นของส่วนนั้น เนื่องจาก ฉ(0.5) = 1/8, ฉ(1) = 0, ฉ(4) = 36,โดยคุณสมบัติของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล 0 จะน้อยที่สุด และ 36 คือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน ฉ(t)ในส่วน แล้ว ฉ(t),เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง รับค่าทั้งหมดจาก 0 ถึง 36 ในเซกเมนต์ และค่า 36 ใช้เฉพาะเมื่อ t=4ดังนั้นสำหรับ 0.5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка }