ในการดัดพวกเขาอย่างต่อเนื่อง การแก้ปัญหาทั่วไปเกี่ยวกับความแข็งแรงของวัสดุ

การโค้งงอเป็นรูปแบบหนึ่งของการเปลี่ยนรูปซึ่งแกนตามยาวของลำแสงจะโค้งงอ คานตรงที่ใช้ดัดโค้งเรียกว่าคาน การโค้งงอตรงเป็นการโค้งงอที่แรงภายนอกที่กระทำต่อลำแสงอยู่ในระนาบเดียวกัน (ระนาบแรง) ที่เคลื่อนผ่านแกนตามยาวของลำแสงและแกนกลางหลักของความเฉื่อยของหน้าตัด

โค้งเรียกว่าบริสุทธิ์หากมีโมเมนต์ดัดเพียงครั้งเดียวในส่วนใดส่วนหนึ่งของคาน

การดัดซึ่งโมเมนต์ดัดและแรงตามขวางทำหน้าที่ในส่วนตัดขวางของคานเรียกว่าขวาง เส้นตัดของระนาบแรงและระนาบหน้าตัดเรียกว่า เส้นแรง

ปัจจัยแรงภายในในการดัดงอของคาน

ด้วยการดัดโค้งตามขวางแบบแบนในส่วนของลำแสง ปัจจัยแรงภายในสองประการเกิดขึ้น: แรงตามขวาง Q และโมเมนต์ดัด M เพื่อกำหนดพวกมัน ใช้วิธีตัดขวาง (ดูการบรรยายที่ 1) แรงตามขวาง Q ในส่วนของลำแสงจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของการฉายภาพบนระนาบส่วนของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อด้านหนึ่งของส่วนที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

เครื่องหมายกฎสำหรับแรงเฉือน Q:

โมเมนต์ดัด M ในส่วนของลำแสงจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของโมเมนต์เกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วงของส่วนนี้ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อด้านหนึ่งของส่วนที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

กฎสัญญาณสำหรับโมเมนต์ดัด M:

การพึ่งพาอาศัยกันของ Zhuravsky

ระหว่างความเข้ม q ของโหลดแบบกระจาย นิพจน์สำหรับแรงตามขวาง Q และโมเมนต์ดัด M การพึ่งพาดิฟเฟอเรนเชียลถูกสร้างขึ้น:

ตามการพึ่งพาเหล่านี้ รูปแบบทั่วไปของไดอะแกรมของแรงตามขวาง Q และโมเมนต์ดัด M สามารถแยกแยะได้:

ลักษณะเฉพาะของไดอะแกรมของปัจจัยแรงภายในในการดัด

1. ในส่วนของลำแสงที่ไม่มีการกระจายโหลด โครง Q จะถูกนำเสนอ เส้นตรง ขนานกับฐานของไดอะแกรม และไดอะแกรม M เป็นเส้นตรงลาดเอียง (รูปที่ a)

2. ในส่วนที่ใช้แรงเข้มข้น บนไดอะแกรม Q ควรจะมี กระโดด เท่ากับค่าของแรงนี้และบนแผนภาพ M - จุดแตกหัก (รูปที่ ก).

3. ในส่วนที่ใช้โมเมนต์เข้มข้น ค่าของ Q จะไม่เปลี่ยนแปลง และไดอะแกรม M มี กระโดด เท่ากับค่าของช่วงเวลานี้ (รูปที่ 26, b).

4. ในส่วนของลำแสงที่มีการกระจายโหลดของความเข้ม q ไดอะแกรม Q จะเปลี่ยนตามกฎเชิงเส้น และแผนภาพ M - ตามพาราโบลาและ ความนูนของพาราโบลามุ่งตรงไปยังทิศทางของโหลดแบบกระจาย (รูปที่ ค, ง).

5. หากภายในส่วนคุณลักษณะของแผนภาพ Q ตัดกับฐานของแผนภาพ ในส่วนที่ Q = 0 โมเมนต์ดัดมีค่าสูงสุด M สูงสุด หรือ M นาที (รูปที่ ง)

ความเค้นดัดปกติ

กำหนดโดยสูตร:

โมเมนต์ความต้านทานของส่วนต่อการดัดคือค่า:

หมวดอันตรายเมื่อดัดจะเรียกส่วนตัดขวางของลำแสงซึ่งเกิดความเค้นปกติสูงสุด

ความเค้นสัมผัสในการดัดโค้งโดยตรง

กำหนดโดย สูตรของ Zhuravsky สำหรับความเค้นเฉือนในการดัดด้วยลำแสงตรง:

โดยที่ S ots - ช่วงเวลาคงที่ของพื้นที่ตามขวางของชั้นตัดของเส้นใยตามยาวที่สัมพันธ์กับเส้นที่เป็นกลาง

การคำนวณกำลังดัด

1. ที่ การคำนวณการตรวจสอบ กำหนดความเครียดสูงสุดในการออกแบบ ซึ่งเปรียบเทียบกับความเค้นที่อนุญาต:

2. ที่ การคำนวณการออกแบบ การเลือกส่วนคานทำมาจากเงื่อนไข:

3. เมื่อกำหนดโหลดที่อนุญาต โมเมนต์ดัดที่อนุญาตจะถูกกำหนดจากเงื่อนไข:

การเคลื่อนไหวดัด

ภายใต้การกระทำของแรงดัดงอแกนของคานจะงอ ในกรณีนี้ การยืดของเส้นใยบนนูนและการบีบอัด - บนส่วนเว้าของลำแสง นอกจากนี้ยังมีการเคลื่อนที่ในแนวตั้งของจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัดและการหมุนสัมพันธ์กับแกนกลาง ในการอธิบายลักษณะการเสียรูประหว่างการดัด จะใช้แนวคิดต่อไปนี้:

การโก่งตัวของลำแสง Y- การกระจัดของจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัดของลำแสงในทิศทางตั้งฉากกับแกนของมัน

การโก่งตัวถือเป็นค่าบวกหากจุดศูนย์ถ่วงเคลื่อนขึ้นด้านบน ปริมาณการโก่งตัวจะแตกต่างกันไปตามความยาวของลำแสง กล่าวคือ y=y(z)

มุมการหมุนของส่วน- มุม θ ซึ่งแต่ละส่วนจะหมุนตามตำแหน่งเดิม มุมของการหมุนถือเป็นค่าบวกเมื่อส่วนนั้นหมุนทวนเข็มนาฬิกา ค่าของมุมการหมุนจะแปรผันไปตามความยาวของลำแสง ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ θ = θ (z)

วิธีที่ใช้กันทั่วไปในการพิจารณาการกระจัดคือวิธีการ โมราและ กฎของ Vereshchagin.

วิธี Mohr

ขั้นตอนการพิจารณาการกระจัดตามวิธี Mohr:

1. "ระบบเสริม" ถูกสร้างขึ้นและโหลดด้วยโหลดเดียว ณ จุดที่จะกำหนดการเคลื่อนที่ หากกำหนดการเคลื่อนที่เชิงเส้น แรงของหน่วยจะถูกนำไปใช้กับทิศทางของมัน เมื่อพิจารณาการกระจัดเชิงมุม โมเมนต์ของหน่วยจะถูกนำไปใช้

2. สำหรับแต่ละส่วนของระบบ นิพจน์ของโมเมนต์ดัด M f จากโหลดที่ใช้และ M 1 - จากการโหลดครั้งเดียวจะถูกบันทึก

3. อินทิกรัล Mohr ถูกคำนวณและรวมในทุกส่วนของระบบ ส่งผลให้เกิดการกระจัดที่ต้องการ:

4. หากการกระจัดที่คำนวณได้มีเครื่องหมายบวก แสดงว่าทิศทางของมันสอดคล้องกับทิศทางของแรงหน่วย เครื่องหมายลบแสดงว่าการกระจัดจริงอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของแรงหน่วย

กฎของ Vereshchagin

สำหรับกรณีที่ไดอะแกรมของโมเมนต์ดัดจากโหลดที่กำหนดมีกฎเกณฑ์ และจากการโหลดครั้งเดียว - โครงร่างเป็นเส้นตรง จะสะดวกที่จะใช้วิธีการวิเคราะห์แบบกราฟิกหรือกฎของ Vereshchagin

โดยที่ A f คือพื้นที่ของไดอะแกรมของโมเมนต์ดัด M f จากโหลดที่กำหนด y c คือพิกัดของไดอะแกรมจากโหลดเดี่ยวภายใต้จุดศูนย์ถ่วงของไดอะแกรม M f ; EI x - ความแข็งของส่วนลำแสง การคำนวณตามสูตรนี้ทำขึ้นเป็นส่วนๆ โดยแต่ละแผนภาพจะต้องไม่มีรอยร้าว ค่า (A f *y c) ถือเป็นค่าบวกหากไดอะแกรมทั้งสองตั้งอยู่ด้านเดียวกันของลำแสง และเป็นค่าลบหากอยู่ด้านตรงข้ามกัน ผลบวกของการคูณไดอะแกรมหมายความว่าทิศทางของการเคลื่อนที่ตรงกับทิศทางของหน่วยแรง (หรือโมเมนต์) ไดอะแกรมที่ซับซ้อน M f ต้องแบ่งออกเป็นตัวเลขง่ายๆ (ใช้ที่เรียกว่า "epur layering") ซึ่งแต่ละอันจะง่ายต่อการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง ในกรณีนี้ พื้นที่ของรูปแต่ละรูปจะถูกคูณด้วยพิกัดภายใต้จุดศูนย์ถ่วงของมัน

โค้งงอเรียกว่าการเสียรูปของแกนพร้อมกับการเปลี่ยนแปลงความโค้งของแกน ไม้เรียวที่งอเรียกว่า บีม.

การดัดงอประเภทต่างๆ อาจเกิดขึ้นได้ ขึ้นอยู่กับวิธีการใช้โหลดและวิธีการยึดแกน

หากมีเพียงโมเมนต์ดัดเกิดขึ้นภายใต้การกระทำของโหลดในส่วนตัดขวางของแกนก็จะเรียกว่าโค้ง ทำความสะอาด.

หากในส่วนตัดขวางพร้อมกับโมเมนต์ดัดแรงตามขวางก็เกิดขึ้นเช่นกันการดัดเรียกว่า ตามขวาง.

ถ้าแรงภายนอกอยู่ในระนาบที่เคลื่อนผ่านแกนกลางหลักอันใดอันหนึ่งของหน้าตัดของคาน ให้เรียกว่าโค้ง เรียบง่ายหรือ แบน. ในกรณีนี้ โหลดและแกนที่เปลี่ยนรูปได้จะอยู่ในระนาบเดียวกัน (รูปที่ 1)

ข้าว. หนึ่ง

เพื่อให้ลำแสงรับน้ำหนักในระนาบได้จะต้องได้รับการแก้ไขโดยใช้ตัวรองรับ: บานพับ - เคลื่อนย้ายได้, บานพับ - คงที่, ฝัง

ลำแสงจะต้องไม่แปรผันทางเรขาคณิต ในขณะที่จำนวนการเชื่อมต่อน้อยที่สุดคือ 3 ตัวอย่างของระบบตัวแปรทางเรขาคณิตแสดงในรูปที่ 2a ตัวอย่างของระบบไม่แปรผันทางเรขาคณิตคือรูปที่ 2b, ค.

บี ซี)

ปฏิกิริยาเกิดขึ้นในตัวรองรับซึ่งพิจารณาจากสภาวะสมดุลของสถิตยศาสตร์ ปฏิกิริยาในส่วนรองรับคือโหลดภายนอก

แรงดัดภายใน

แท่งที่บรรจุแรงตั้งฉากกับแกนตามยาวของลำแสงจะเกิดการโค้งงอแบบเรียบ (รูปที่ 3) มีแรงภายในสองแรงในส่วนตัดขวาง: แรงเฉือน Q yและโมเมนต์ดัด เอ็มz.

แรงภายในถูกกำหนดโดยวิธีส่วน ระยะทาง x จากจุด แต่ โดยระนาบที่ตั้งฉากกับแกน X แท่งจะถูกตัดออกเป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งของลำแสงถูกละทิ้ง ปฏิกิริยาของชิ้นส่วนลำแสงถูกแทนที่ด้วยแรงภายใน: โมเมนต์ดัด Mzและแรงขวาง Q y(รูปที่ 4).

ความพยายามภายในประเทศ Mzและ Q yเข้าไปในภาคตัดขวางนั้นกำหนดจากสภาวะสมดุล

สมการสมดุลถูกวาดขึ้นสำหรับส่วนหนึ่ง กับ:

∑y = R A - P 1 - Q y \u003d 0

แล้ว Q y = อาร์ เอ – พี1.

บทสรุป. แรงตามขวางในส่วนใด ๆ ของลำแสงจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของแรงภายนอกทั้งหมดที่วางอยู่บนด้านหนึ่งของส่วนที่ลาก แรงตามขวางถือเป็นค่าบวกหากหมุนแกนตามเข็มนาฬิการอบจุดตัดขวาง

∑เอ็ม 0 = อาร์ เอ ∙ x – พี 1 ∙ (x - เอ) – Mz = 0

แล้ว Mz = อาร์ เอ ∙ x – พี 1 ∙ (x – เอ)

1. ความหมายของปฏิกิริยา อาร์ เอ , อาร์ บี ;

∑เอ็ม อา = พี ∙ เอ – อาร์ บี ∙ l = 0

อาร์ บี =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. พล็อตในส่วนแรก 0 ≤ x 1 ≤ เอ

Q y = RA =; M z \u003d R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. พล็อตในส่วนที่สอง 0 ≤ x 2 ≤ ข

Q y = - อาร์ บี = - ; Mz = อาร์ บี ∙ x 2 ; x 2 = 0 Mz(0) = 0 x 2 = ขMz(ข) =

เมื่อสร้าง Mz พิกัดบวกจะถูกพล็อตไปทางเส้นใยที่ยืดออก

ตรวจแปลงที่ดิน

1. บนไดอะแกรม Q yความไม่ต่อเนื่องสามารถเกิดขึ้นได้เฉพาะในสถานที่ที่มีการใช้แรงภายนอกเท่านั้น และขนาดของการกระโดดจะต้องสอดคล้องกับขนาดของมัน

+ = = พี

2. บนไดอะแกรม Mzความไม่ต่อเนื่องเกิดขึ้นที่จุดที่ใช้โมเมนต์เข้มข้นและขนาดของการกระโดดเท่ากับขนาดของมัน

การพึ่งพาอาศัยกันระหว่างเอ็ม, คิวและq

ระหว่างโมเมนต์ดัด แรงตามขวางและความเข้มของโหลดแบบกระจาย การพึ่งพาต่อไปนี้จะถูกสร้างขึ้น:

คิว = , Q y =

โดยที่ q คือความเข้มของโหลดแบบกระจาย

การตรวจสอบความแข็งแรงของคานในการดัด

ในการประเมินความแข็งแรงของแท่งเหล็กในการดัดและเลือกส่วนของลำแสง จะใช้สภาวะความแข็งแรงของความเค้นปกติ

โมเมนต์ดัดคือโมเมนต์ผลลัพธ์ของแรงภายในปกติที่กระจายไปทั่วส่วน

s = × y,

โดยที่ s คือความเค้นปกติที่จุดใด ๆ ของหน้าตัด

yคือระยะทางจากจุดศูนย์ถ่วงของส่วนถึงจุด

Mz- โมเมนต์ดัดที่ทำหน้าที่ในส่วน

Jzคือ โมเมนต์ความเฉื่อยของแกน

เพื่อให้มีความแข็งแรง จึงคำนวณความเค้นสูงสุดที่เกิดขึ้นที่จุดของส่วนที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์ถ่วงมากที่สุด y = ymax

s สูงสุด = × ymax,

= Wzและ s สูงสุด = .

จากนั้นสภาวะความแข็งแรงของความเค้นปกติจะมีรูปแบบดังนี้

s สูงสุด = ≤ [s],

โดยที่ [s] คือความเค้นแรงดึงที่อนุญาต

โค้งตรง- นี่คือประเภทของการเสียรูปที่มีปัจจัยแรงภายในสองประการเกิดขึ้นในส่วนตัดขวางของแกน: โมเมนต์ดัดและแรงตามขวาง

โค้งบริสุทธิ์- นี่เป็นกรณีพิเศษของการดัดโดยตรงซึ่งมีโมเมนต์ดัดเกิดขึ้นในส่วนตัดขวางของแกนและแรงตามขวางเป็นศูนย์

ตัวอย่างโค้งบริสุทธิ์ - พล็อต ซีดีบนคัน AB. โมเมนต์ดัดคือค่า ปะแรงภายนอกคู่ทำให้เกิดการโก่งตัว จากจุดสมดุลของส่วนโค้งไปทางซ้ายของหน้าตัด mตามมาด้วยแรงภายในที่กระจายเหนือส่วนนี้มีค่าคงที่เท่ากับโมเมนต์ เอ็มเท่ากันและตรงข้ามกับโมเมนต์ดัด ปะ.

เพื่อหาการกระจายของแรงภายในเหล่านี้บนหน้าตัด จำเป็นต้องพิจารณาถึงการเสียรูปของแถบ

ในกรณีที่ง่ายที่สุด แท่งมีระนาบสมมาตรตามยาวและอยู่ภายใต้การกระทำของแรงคู่ดัดภายนอกที่อยู่ในระนาบนี้ แล้วการโค้งงอจะเกิดขึ้นในระนาบเดียวกัน

แกนแกน nn 1เป็นเส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัดของมัน

ให้ส่วนตัดขวางของแท่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า วาดเส้นแนวตั้งสองเส้นบนใบหน้า มมและ pp. เมื่อโค้งงอ เส้นเหล่านี้จะคงเส้นตรงและหมุนเพื่อให้ตั้งฉากกับเส้นใยตามยาวของแกน

ทฤษฎีการดัดเพิ่มเติมอยู่บนพื้นฐานของสมมติฐานที่ว่าไม่ใช่แค่เส้น มมและ ppแต่ส่วนหน้าตัดแบนทั้งหมดของแกนจะยังคงแบนหลังจากการดัดงอและปกติถึงเส้นใยตามยาวของแกน ดังนั้นเมื่อดัดส่วนตัดขวาง มมและ ppหมุนสัมพันธ์กันรอบแกนตั้งฉากกับระนาบการดัด (ระนาบรูปวาด) ในกรณีนี้ เส้นใยตามยาวที่ด้านนูนจะมีแรงตึง และเส้นใยที่ด้านเว้าจะพบกับแรงกด

พื้นผิวที่เป็นกลางเป็นพื้นผิวที่ไม่มีการเสียรูประหว่างการดัด (ตอนนี้มันตั้งฉากกับภาพวาด, แกนข้ออ้อยของแกน nn 1เป็นของพื้นผิวนี้)

แกนตัดขวางที่เป็นกลาง- นี่คือจุดตัดของพื้นผิวที่เป็นกลางกับส่วนใดส่วนหนึ่ง (ตอนนี้ยังตั้งอยู่ในแนวตั้งฉากกับภาพวาด)

ปล่อยให้เส้นใยตามอำเภอใจอยู่ห่าง ๆ yจากพื้นผิวที่เป็นกลาง ρ คือรัศมีความโค้งของแกนโค้ง Dot อู๋เป็นจุดศูนย์กลางของความโค้ง มาวาดเส้นกัน n 1 s 1ขนาน มม.เอสเอส 1คือ การยืดตัวแบบสัมบูรณ์ของเส้นใย

นามสกุลญาติ ε xเส้นใย

เป็นไปตามนั้น การเปลี่ยนรูปของเส้นใยตามยาวสัดส่วนกับระยะทาง yจากพื้นผิวที่เป็นกลางและเป็นสัดส่วนผกผันกับรัศมีความโค้ง ρ .

การยืดตามยาวของเส้นใยของด้านนูนของแกนจะมาพร้อมกับ การหดตัวด้านข้าง, และการตัดให้สั้นลงตามยาวของด้านเว้า - ส่วนขยายด้านข้างเช่นเดียวกับกรณีของการยืดและหดตัวอย่างง่าย ด้วยเหตุนี้ ลักษณะที่ปรากฏของส่วนตัดขวางทั้งหมดจึงเปลี่ยนไป ด้านแนวตั้งของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจึงเอียง การเสียรูปด้านข้าง z:

μ - อัตราส่วนของปัวซอง

อันเป็นผลมาจากการบิดเบือนนี้ เส้นตัดขวางที่เป็นเส้นตรงทั้งหมดขนานกับแกน zโค้งงอให้เป็นปกติกับด้านข้างของส่วน รัศมีความโค้งของเส้นโค้งนี้ Rจะมากกว่า ρ ในลักษณะเดียวกับ ε x มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ε z และเราได้รับ

การเสียรูปของเส้นใยตามยาวเหล่านี้สอดคล้องกับความเค้น

แรงดันไฟฟ้าในเส้นใยใด ๆ เป็นสัดส่วนกับระยะห่างจากแกนกลาง น 1 น 2. ตำแหน่งของแกนกลางและรัศมีความโค้ง ρ มีค่าไม่ทราบสองตัวในสมการของ σ x - สามารถกำหนดได้จากเงื่อนไขที่แรงที่กระจายเหนือส่วนตัดขวางใด ๆ ในรูปแบบคู่ของแรงที่ทำให้โมเมนต์ภายนอกสมดุล เอ็ม.

ทั้งหมดที่กล่าวมานี้เป็นจริงเช่นกันถ้าแท่งไม้ไม่มีระนาบสมมาตรตามยาวซึ่งโมเมนต์ดัดกระทำ ตราบใดที่โมเมนต์ดัดกระทำในระนาบแนวแกน ซึ่งประกอบด้วยหนึ่งในสอง แกนหลักภาพตัดขวาง เครื่องบินเหล่านี้เรียกว่า เครื่องบินดัดหลัก.

เมื่อมีระนาบสมมาตรและโมเมนต์ดัดกระทำในระนาบนี้ จะเกิดการโก่งตัวขึ้น โมเมนต์ของแรงภายในเกี่ยวกับแกน zสมดุลช่วงเวลาภายนอก เอ็ม. โมเมนต์ของความพยายามสัมพันธ์กับแกน yถูกทำลายร่วมกัน

แนวขวางตรงเกิดขึ้นเมื่อโหลดทั้งหมดตั้งฉากกับแกนของแกนซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกันและนอกจากนี้ระนาบของการกระทำยังเกิดขึ้นพร้อมกับแกนกลางหลักของความเฉื่อยของส่วน การดัดตามขวางโดยตรงหมายถึงรูปแบบความต้านทานที่เรียบง่ายและ is สถานะความเครียดของเครื่องบิน, เช่น. ความเครียดหลักทั้งสองนั้นแตกต่างจากศูนย์ ด้วยการเปลี่ยนรูปประเภทนี้ แรงภายในจึงเกิดขึ้น: แรงตามขวางและโมเมนต์ดัด กรณีพิเศษของการดัดโค้งตรงคือ โค้งบริสุทธิ์ด้วยความต้านทานดังกล่าวมีส่วนของสินค้าภายในซึ่งแรงตามขวางหายไปและโมเมนต์ดัดไม่ใช่ศูนย์ ในส่วนตัดขวางของแท่งที่มีการดัดตามขวางโดยตรงจะเกิดความเค้นปกติและความเค้นเฉือน ความเค้นเป็นหน้าที่ของแรงภายใน ในกรณีนี้ ความเค้นปกติเป็นฟังก์ชันของโมเมนต์ดัด และความเค้นสัมผัสเป็นฟังก์ชันของแรงตามขวาง สำหรับการดัดตามขวางโดยตรง มีการแนะนำสมมติฐานหลายประการ:

1) ภาพตัดขวางของลำแสง แบนก่อนการเสียรูป ยังคงแบนและตั้งฉากกับชั้นที่เป็นกลางหลังจากการเสียรูป (สมมติฐานของส่วนแบนหรือสมมติฐานของ J. Bernoulli)สมมติฐานนี้มีไว้เพื่อการดัดงอที่บริสุทธิ์ และจะถูกละเมิดเมื่อมีแรงเฉือน ความเค้นเฉือน และการเสียรูปเชิงมุมปรากฏขึ้น

2) ไม่มีแรงกดร่วมกันระหว่างชั้นตามยาว (สมมติฐานเกี่ยวกับการไม่มีแรงกดของเส้นใย)จากสมมติฐานนี้ เป็นไปตามว่าเส้นใยตามยาวมีแรงตึงหรือแรงกดในแกนเดียว ดังนั้นกฎของฮุกจึงใช้การดัดได้อย่างแท้จริง

แท่งที่ดัดเรียกว่า บีม. เมื่อดัด เส้นใยส่วนหนึ่งจะถูกยืด ส่วนอีกส่วนหนึ่งจะถูกบีบอัด ชั้นของเส้นใยระหว่างเส้นใยยืดและเส้นใยอัดเรียกว่า ชั้นเป็นกลางผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนต่างๆ เส้นของจุดตัดกับส่วนตัดขวางของลำแสงเรียกว่า แกนกลาง. บนพื้นฐานของสมมติฐานที่แนะนำสำหรับการดัดงอแบบบริสุทธิ์ ได้สูตรสำหรับกำหนดความเค้นปกติ ซึ่งใช้สำหรับการดัดตามขวางโดยตรงด้วย ความเค้นปกติสามารถพบได้โดยใช้ความสัมพันธ์เชิงเส้น (1) ซึ่งอัตราส่วนของโมเมนต์ดัดต่อโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกน (
) ในส่วนใดส่วนหนึ่งเป็นค่าคงที่ และระยะทาง ( y) ตามแกนพิกัดจากจุดศูนย์ถ่วงของส่วนจนถึงจุดที่กำหนดความเค้น แปรผันจาก 0 ถึง
.

. (1)

เพื่อกำหนดความเค้นเฉือนระหว่างการดัดในปี พ.ศ. 2399 วิศวกรชาวรัสเซีย-ผู้สร้างสะพาน D.I. Zhuravsky ได้รับการพึ่งพา

. (2)

ความเค้นเฉือนในส่วนใดส่วนหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของแรงตามขวางต่อโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกน (
), เพราะ ค่านี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายในส่วนหนึ่ง แต่ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของโมเมนต์คงที่ของพื้นที่ของส่วนที่ตัดกับความกว้างของส่วนที่ระดับของส่วนที่ตัด (
).

ในการดัดโค้งตรงมี การเคลื่อนไหว: การโก่งตัว (วี ) และมุมการหมุน (Θ ) . ในการตรวจสอบนั้นจะใช้สมการของวิธีการของพารามิเตอร์เริ่มต้น (3) ซึ่งได้มาจากการรวมสมการเชิงอนุพันธ์ของแกนงอของลำแสง (
).

ที่นี่ วี 0 , Θ 0 ,เอ็ม 0 , คิว 0 – พารามิเตอร์เริ่มต้น x – ระยะห่างจากจุดกำเนิดของพิกัดถึงส่วนที่กำหนดการกระจัด , เอคือ ระยะทางจากจุดกำเนิดพิกัดถึงจุดยื่นคำร้องหรือจุดเริ่มต้นการบรรทุก

การคำนวณความแข็งแรงและความฝืดจะดำเนินการโดยใช้เงื่อนไขของความแข็งแรงและความแข็ง เมื่อใช้เงื่อนไขเหล่านี้ เราสามารถแก้ปัญหาการตรวจสอบได้ (ดำเนินการตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข) กำหนดขนาดของหน้าตัด หรือเลือกค่าที่อนุญาตของพารามิเตอร์โหลด มีเงื่อนไขความแข็งแกร่งหลายประการซึ่งบางส่วนได้รับด้านล่าง สภาพความแข็งแรงสำหรับความเครียดปกติดูเหมือนกับ:

, (4)

ที่นี่
– โมดูลัสส่วนที่สัมพันธ์กับแกน z, R คือความต้านทานการออกแบบสำหรับความเค้นปกติ

สภาพความแข็งแรงสำหรับแรงเฉือนดูเหมือนกับ:

, (5)

ที่นี่สัญกรณ์เหมือนกับในสูตร Zhuravsky และ R ส - การออกแบบความต้านทานแรงเฉือนหรือการออกแบบความต้านทานแรงเฉือน

สภาพความแข็งแรงตามสมมติฐานความแรงที่สามหรือสมมติฐานของความเค้นเฉือนสูงสุดสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

. (6)

สภาพความฝืดสามารถเขียนเพื่อ การโก่งตัว (วี ) และ มุมการหมุน (Θ ) :

โดยที่ค่าการกระจัดในวงเล็บเหลี่ยมนั้นถูกต้อง

ตัวอย่างการทำภารกิจเดี่ยวครั้งที่ 4 (เทอม 2-8 สัปดาห์)

ด้วยการดัดโค้งโดยตรงที่หน้าตัดของแกน มีปัจจัยแรงเพียงตัวเดียว - โมเมนต์ดัด เอ็ม x(รูปที่ 1). เนื่องจาก ถาม y \u003d dM x / dz \u003d 0,แล้ว เอ็ม x=const และการดัดโค้งโดยตรงสามารถรับรู้ได้เมื่อแท่งถูกโหลดด้วยแรงคู่หนึ่งที่ใช้ในส่วนท้ายของแท่ง ตั้งแต่โมเมนต์ดัด เอ็ม xโดยนิยามจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์แรงภายในรอบแกน โอ้มันเชื่อมต่อกับความเค้นปกติโดยสมการของสถิตย์ที่ตามมาจากคำจำกัดความนี้

ให้เรากำหนดสถานที่ตั้งของทฤษฎีการดัดโค้งโดยตรงของแท่งปริซึม ในการทำเช่นนี้ เราวิเคราะห์การเสียรูปของแบบจำลองของแท่งที่ทำจากวัสดุโมดูลัสต่ำ บนพื้นผิวด้านข้างซึ่งมีเส้นกริดของรอยขีดข่วนตามยาวและตามขวาง (รูปที่ 2) เนื่องจากความเสี่ยงตามขวาง เมื่อแท่งงอด้วยแรงคู่ที่กระทำในส่วนปลาย ให้คงเส้นตรงและตั้งฉากกับความเสี่ยงแนวโค้งตามยาว ทำให้เราสรุปได้ว่า สมมติฐานส่วนเครื่องบินซึ่งในขณะที่การแก้ปัญหานี้โดยวิธีการของทฤษฎีความยืดหยุ่นแสดงให้เห็น ยุติที่จะเป็นสมมติฐาน กลายเป็นความจริงที่แน่นอน - กฎของส่วนเครื่องบินการวัดการเปลี่ยนแปลงของระยะห่างระหว่างความเสี่ยงตามยาว เราได้ข้อสรุปเกี่ยวกับความถูกต้องของสมมติฐานว่าไม่มีแรงดันของเส้นใยตามยาว

มุมฉากของรอยขีดข่วนตามยาวและตามขวางก่อนและหลังการเสียรูป (เป็นภาพสะท้อนของการกระทำของกฎหมายของส่วนแบน) ยังบ่งบอกถึงการไม่มีการเปลี่ยนแปลงความเค้นเฉือนในส่วนตามขวางและตามยาวของแกน

รูปที่ 1ความสัมพันธ์ระหว่างความพยายามภายในกับความเครียด

รูปที่ 2แบบจำลองการดัดแบบบริสุทธิ์

ดังนั้น การดัดโค้งโดยตรงของแท่งปริซึมโดยตรงจะลดลงเป็นความตึงแกนเดียวหรือการบีบอัดเส้นใยตามยาวโดยใช้ความเค้น (ดัชนี จีละเว้นในภายหลัง) ในกรณีนี้ ส่วนหนึ่งของเส้นใยอยู่ในโซนความตึงเครียด (ในรูปที่ 2 เส้นใยเหล่านี้คือเส้นใยด้านล่าง) และอีกส่วนหนึ่งอยู่ในเขตบีบอัด (เส้นใยด้านบน) โซนเหล่านี้คั่นด้วยชั้นที่เป็นกลาง (ป-ป),ไม่เปลี่ยนความยาวความเค้นซึ่งเท่ากับศูนย์ โดยคำนึงถึงข้อกำหนดเบื้องต้นที่กำหนดไว้ข้างต้นและสมมติว่าวัสดุของแท่งไม้มีความยืดหยุ่นเชิงเส้น นั่นคือ กฎของฮุคในกรณีนี้มีรูปแบบ: , เราได้รับสูตรสำหรับความโค้งของชั้นเป็นกลาง (-รัศมีความโค้ง) และความเค้นปกติ ก่อนอื่นเราสังเกตว่าความคงตัวของส่วนตัดขวางของแท่งปริซึมและโมเมนต์ดัด (ม x = คอนสตรัท),รับรองความคงตัวของรัศมีความโค้งของชั้นกลางตามความยาวของแกน (รูปที่ 3, เอ) ชั้นเป็นกลาง (n—n)อธิบายด้วยส่วนโค้งของวงกลม

พิจารณาแท่งปริซึมภายใต้เงื่อนไขการดัดแบบบริสุทธิ์โดยตรง (รูปที่ 3, a) โดยมีภาคตัดขวางสมมาตรเกี่ยวกับแกนตั้ง อ.เงื่อนไขนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์สุดท้าย (เพื่อให้เกิดการโค้งงอตรงได้ ความบังเอิญของแกน โอ้ด้วยแกนหลักของความเฉื่อยของหน้าตัดซึ่งเป็นแกนสมมาตร) แกน วัววางบนชั้นกลาง ตำแหน่ง ใครไม่ทราบล่วงหน้า

เอ) รูปแบบการคำนวณ ข) ความเครียดและความกดดัน

รูปที่ 3เศษของส่วนโค้งบริสุทธิ์ของลำแสง

พิจารณาองค์ประกอบที่ตัดจากไม้วัดที่มีความยาว dzซึ่งแสดงบนมาตราส่วนที่มีสัดส่วนบิดเบี้ยวเพื่อความชัดเจนในรูปที่ 3, ข. เนื่องจากการเสียรูปขององค์ประกอบซึ่งพิจารณาจากการกระจัดสัมพัทธ์ของจุดนั้นเป็นสิ่งที่น่าสนใจ ถือว่าส่วนปลายด้านหนึ่งขององค์ประกอบคงที่ ในมุมมองของความเล็ก เราคิดว่าจุดของหน้าตัดเมื่อหมุนผ่านมุมนี้ จะไม่เคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้ง แต่ไปตามเส้นสัมผัสที่เกี่ยวข้องกัน

ให้เราคำนวณการเสียรูปสัมพัทธ์ของเส้นใยตามยาว เอบีแยกออกจากชั้นกลางโดย ที่:

จากความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยม C00 1และ 0 1 บีบี 1ตามนั้น

การเสียรูปตามยาวกลายเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของระยะห่างจากชั้นที่เป็นกลาง ซึ่งเป็นผลโดยตรงของกฎของส่วนระนาบ

สูตรนี้ไม่เหมาะสำหรับการใช้งานจริง เนื่องจากมีไม่ทราบค่าสองค่า: ความโค้งของชั้นเป็นกลางและตำแหน่งของแกนกลาง โอ้จากการนับพิกัด ย.ในการหาค่าไม่ทราบเหล่านี้ เราใช้สมการสมดุลของสถิตยศาสตร์ ขั้นแรกแสดงข้อกำหนดว่าแรงตามยาวเท่ากับศูนย์

แทนนิพจน์ (2) ลงในสมการนี้

และเมื่อคำนึงถึงสิ่งนั้น เราจะได้สิ่งนั้น

อินทิกรัลทางด้านซ้ายของสมการนี้คือโมเมนต์คงที่ของส่วนตัดขวางของแกนเกี่ยวกับแกนกลาง โอ้,ซึ่งสามารถเท่ากับศูนย์สัมพันธ์กับแกนกลางเท่านั้น ดังนั้น แกนกลาง โอ้ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัด

สมการสมดุลสถิตข้อที่สองคือ เกี่ยวข้องกับความเค้นปกติกับโมเมนต์ดัด (ซึ่งสามารถแสดงออกได้ง่ายในรูปของแรงภายนอก และดังนั้นจึงถือว่าเป็นค่าที่กำหนด) แทนนิพจน์เป็นสมการมัด แรงดันไฟฟ้า เราได้รับ:

และให้สิ่งนั้น ที่ไหน เจ xเป็นโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน โอ้,สำหรับความโค้งของชั้นกลาง เราได้สูตร

รูปที่ 4การกระจายความเครียดปกติ

ซึ่งได้รับครั้งแรกโดย S. Coulomb ในปี ค.ศ. 1773 เพื่อให้เข้ากับสัญญาณของโมเมนต์ดัด เอ็ม xและค่าความเค้นปกติ เครื่องหมายลบจะอยู่ทางด้านขวาของสูตร (5) เนื่องจาก at ม x >0ความเครียดปกติที่ y>0 กลายเป็นหดตัว อย่างไรก็ตาม ในการคำนวณเชิงปฏิบัติ จะสะดวกกว่าโดยไม่ต้องปฏิบัติตามกฎสัญญาณที่เป็นทางการ เพื่อกำหนดโมดูโลความเครียด และใส่เครื่องหมายตามความหมาย ความเค้นปกติในการดัดงอแบบบริสุทธิ์ของแท่งปริซึมเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของพิกัด ที่และไปถึงค่าสูงสุดของเส้นใยที่อยู่ห่างจากแกนกลางมากที่สุด (รูปที่ 4) กล่าวคือ

มีการแนะนำลักษณะทางเรขาคณิตซึ่งมีขนาด m 3 และเรียกว่า โมเมนต์ความต้านทานในการดัดเนื่องจากได้รับ เอ็ม xแรงดันไฟฟ้า สูงสุด?ยิ่งน้อยยิ่งมาก ก x ,โมเมนต์ของการต่อต้านคือ ลักษณะทางเรขาคณิตของกำลังดัดหน้าตัดให้เรายกตัวอย่างการคำนวณโมเมนต์ความต้านทานสำหรับรูปแบบตัดขวางที่ง่ายที่สุด สำหรับหน้าตัดสี่เหลี่ยม (รูปที่ 5 เอ) เรามี J x \u003d bh 3 / 12, y max = ชั่วโมง/2และ กว้าง x = J x /y สูงสุด = ข 2 /6.ในทำนองเดียวกันสำหรับวงกลม (รูปที่ 5 ,เอ เจ x =d4 /64, ymax=d/2) เราได้รับ กว้าง x =d3/32 สำหรับส่วนที่เป็นรูปวงแหวน (รูปที่ 5, ใน),อันไหน