สูตรสำหรับพื้นผิวด้านข้างของพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมปกติ พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดต่างๆ

พื้นที่ทั้งหมดของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง

ในปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม มีใบหน้าสองประเภท ได้แก่ รูปสี่เหลี่ยมที่ฐาน และรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมซึ่งก่อตัวเป็นพื้นผิวด้านข้าง
ก่อนอื่นคุณต้องคำนวณพื้นที่ของใบหน้าด้านข้าง ในการทำเช่นนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมหรือคุณยังสามารถใช้สูตรสำหรับพื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม (เฉพาะในกรณีที่รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นแบบปกติ) ถ้าปิรามิดเป็นแบบปกติและทราบความยาวของขอบ a ของฐานและระยะกึ่งกลางของฐาน h ที่วาดลงไป แล้ว:

หากตามเงื่อนไขที่กำหนดความยาวของขอบ c ของปิรามิดปกติและความยาวของด้านของฐาน a คุณสามารถค้นหาค่าโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

หากกำหนดความยาวของขอบที่ฐานและมุมแหลมที่อยู่ตรงข้ามที่ด้านบน พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างสามารถคำนวณได้โดยอัตราส่วนของกำลังสองของด้าน a ต่อโคไซน์สองเท่าของครึ่งหนึ่ง มุม α:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมผ่านขอบด้านข้างและด้านข้างของฐาน

ปัญหา: ให้พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสธรรมดามา ความยาวขอบ b = 7 ซม. ความยาวด้านฐาน a = 4 ซม. แทนค่าที่กำหนดลงในสูตร:

เราแสดงการคำนวณพื้นที่หน้าด้านหนึ่งของปิรามิดปกติ ตามลำดับ ในการหาพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดคุณต้องคูณผลลัพธ์ด้วยจำนวนหน้าซึ่งก็คือ 4 หากปิรามิดเป็นแบบใดก็ได้และหน้าของมันไม่เท่ากันก็ต้องคำนวณพื้นที่ สำหรับแต่ละฝ่าย หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ควรจดจำคุณสมบัติของพวกมัน ด้านข้างของรูปเหล่านี้จะขนานกันเป็นคู่ ดังนั้นใบหน้าของปิรามิดก็จะเหมือนกันเป็นคู่ด้วย
สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมนั้นขึ้นอยู่กับว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านใดอยู่ที่ฐานโดยตรง หากปิรามิดถูกต้อง พื้นที่ของฐานจะคำนวณโดยใช้สูตร หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คุณจะต้องจำไว้ว่ามันตั้งอยู่อย่างไร หากมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ฐาน การหาพื้นที่จะค่อนข้างง่าย ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านข้างของฐาน ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม

ปัญหา: ให้พีระมิดมา โดยที่ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีด้าน a = 3 ซม., b = 5 ซม. ระยะกึ่งกลางของพีระมิดลดลงจากด้านบนของปิรามิดไปในแต่ละด้าน h-a =4 ซม., h-b =6 ซม. ด้านบนของปิรามิดอยู่ในเส้นเดียวกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม หาพื้นที่ทั้งหมดของปิรามิด
สูตรหาพื้นที่ของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของทุกหน้าและพื้นที่ฐาน ก่อนอื่น มาหาพื้นที่ฐานกันก่อน:


ทีนี้มาดูด้านข้างของปิรามิดกัน พวกมันเหมือนกันเป็นคู่ เพราะความสูงของปิรามิดตัดกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม นั่นคือ ในปิรามิดของเรา มีสามเหลี่ยมสองรูปที่มีฐาน a และความสูง h-a เช่นเดียวกับสามเหลี่ยมอีกสองรูปที่มีฐาน b และความสูง h-b ตอนนี้เรามาหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี:


ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม ในปิระมิดของเราซึ่งมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ที่ฐาน สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

เมื่อเตรียมตัวสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ นักเรียนจะต้องจัดระบบความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตและเรขาคณิต ฉันต้องการรวมข้อมูลที่ทราบทั้งหมด เช่น วิธีคำนวณพื้นที่ของปิรามิด นอกจากนี้เริ่มจากฐานและขอบด้านข้างไปจนถึงพื้นที่ผิวทั้งหมด หากสถานการณ์ที่มีใบหน้าด้านข้างชัดเจน เนื่องจากเป็นรูปสามเหลี่ยม ฐานก็จะต่างกันเสมอ

จะหาพื้นที่ฐานของปิรามิดได้อย่างไร?

มันสามารถเป็นรูปอะไรก็ได้: จากรูปสามเหลี่ยมใดก็ได้ไปจนถึงรูป n-gon และฐานนี้นอกเหนือจากความแตกต่างในจำนวนมุมแล้ว อาจเป็นตัวเลขปกติหรือแบบไม่ปกติก็ได้ ในงานการสอบ Unified State ที่เป็นที่สนใจของเด็กนักเรียน มีเพียงงานที่มีตัวเลขที่ถูกต้องที่ฐานเท่านั้น ดังนั้นเราจะพูดถึงพวกเขาเท่านั้น

สามเหลี่ยมปกติ

นั่นคือด้านเท่ากันหมด ด้านที่ทุกด้านเท่ากันและกำหนดด้วยตัวอักษร "a" ในกรณีนี้ พื้นที่ฐานของปิรามิดคำนวณโดยสูตร:

ส = (ก 2 * √3) / 4

สี่เหลี่ยม

สูตรการคำนวณพื้นที่นั้นง่ายที่สุด โดยที่ "a" คือด้านอีกครั้ง:

n-gon ปกติโดยพลการ

ด้านของรูปหลายเหลี่ยมมีสัญกรณ์เหมือนกัน จำนวนมุมจะใช้อักษรละติน n

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n))

จะทำอย่างไรเมื่อคำนวณพื้นที่ด้านข้างและพื้นผิวทั้งหมด?

เนื่องจากฐานเป็นรูปปกติ ใบหน้าของปิระมิดทุกด้านจึงเท่ากัน ยิ่งกว่านั้นแต่ละอันเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเนื่องจากขอบด้านข้างเท่ากัน จากนั้น ในการคำนวณพื้นที่ด้านข้างของปิรามิด คุณจะต้องมีสูตรที่ประกอบด้วยผลรวมของ monomials ที่เหมือนกัน จำนวนเทอมถูกกำหนดโดยจำนวนด้านของฐาน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคำนวณโดยสูตรโดยคูณครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานด้วยความสูง ความสูงในปิรามิดนี้เรียกว่าอะโพเธม ชื่อของมันคือ "A" สูตรทั่วไปสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างคือ:

S = ½ P*A โดยที่ P คือเส้นรอบวงของฐานของพีระมิด

มีบางสถานการณ์ที่ไม่ทราบด้านข้างของฐาน แต่ให้ขอบด้านข้าง (c) และมุมเรียบที่ปลาย (α) ไว้ จากนั้นคุณจะต้องใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อคำนวณพื้นที่ด้านข้างของปิรามิด:

S = n/2 * ใน 2 บาป α .

ภารกิจที่ 1

เงื่อนไข.ค้นหาพื้นที่ทั้งหมดของปิรามิดหากฐานมีด้าน 4 ซม. และระยะกึ่งกลางของพีระมิดมีค่า √3 ซม.

สารละลาย.คุณต้องเริ่มต้นด้วยการคำนวณเส้นรอบวงของฐาน เนื่องจากนี่คือรูปสามเหลี่ยมปกติ ดังนั้น P = 3*4 = 12 ซม. เนื่องจากทราบระยะกึ่งกลางระหว่างด้านฉาก เราจึงสามารถคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างทั้งหมดได้ทันที: ½*12*√3 = 6√3 ซม. 2

สำหรับสามเหลี่ยมที่ฐาน คุณจะได้ค่าพื้นที่ต่อไปนี้: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 ซม. 2

ในการกำหนดพื้นที่ทั้งหมด คุณจะต้องเพิ่มค่าผลลัพธ์สองค่า: 6√3 + 4√3 = 10√3 ซม. 2

คำตอบ. 10√3 ซม. 2

ปัญหาหมายเลข 2

เงื่อนไข. มีปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ ความยาวของด้านฐาน 7 มม. ขอบด้านข้าง 16 มม. จำเป็นต้องค้นหาพื้นที่ผิวของมัน

สารละลาย.เนื่องจากรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสม่ำเสมอ ฐานจึงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เมื่อทราบพื้นที่ของฐานและหน้าด้านข้างแล้ว คุณจะสามารถคำนวณพื้นที่ของพีระมิดได้ สูตรสำหรับกำลังสองแสดงไว้ด้านบน และสำหรับใบหน้าด้านข้าง จะรู้จักทุกด้านของสามเหลี่ยม ดังนั้น คุณสามารถใช้สูตรของนกกระสาในการคำนวณพื้นที่ของมันได้

การคำนวณครั้งแรกนั้นง่ายและนำไปสู่หมายเลขต่อไปนี้: 49 มม. 2 สำหรับค่าที่สอง คุณจะต้องคำนวณกึ่งปริมณฑล: (7 + 16*2): 2 = 19.5 มม. ตอนนี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 มม. 2 สามเหลี่ยมดังกล่าวมีเพียงสี่รูปเท่านั้น ดังนั้นเมื่อคำนวณตัวเลขสุดท้าย คุณจะต้องคูณด้วย 4

ปรากฎว่า: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 มม. 2

คำตอบ. ค่าที่ต้องการคือ 267.576 มม. 2

ปัญหาหมายเลข 3

เงื่อนไข. สำหรับปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ คุณต้องคำนวณพื้นที่ ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสกว้าง 6 ซม. และสูง 4 ซม.

สารละลาย.วิธีที่ง่ายที่สุดคือใช้สูตรกับผลคูณของเส้นรอบรูปและระยะตั้งฉาก ค่าแรกหาง่าย อันที่สองซับซ้อนกว่าเล็กน้อย

เราจะต้องจำทฤษฎีบทพีทาโกรัสและพิจารณาว่ามันถูกสร้างขึ้นจากความสูงของปิรามิดและเส้นกึ่งกลางด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งก็คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ขาที่สองเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมตกลงไปตรงกลาง

เส้นตั้งฉากในที่ต้องการ (ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก) เท่ากับ √(3 2 + 4 2) = 5 (ซม.)

ตอนนี้คุณสามารถคำนวณค่าที่ต้องการได้แล้ว: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (ซม. 2)

คำตอบ. 96 ซม.2.

ปัญหาหมายเลข 4

เงื่อนไข.ให้ด้านที่ถูกต้อง ฐานด้านข้าง 22 มม. ขอบด้านข้าง 61 มม. พื้นที่ผิวด้านข้างของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เป็นเท่าใด?

สารละลาย.เหตุผลในนั้นเหมือนกับที่อธิบายไว้ในภารกิจที่ 2 มีเพียงปิรามิดที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่ฐานเท่านั้น และตอนนี้ก็เป็นรูปหกเหลี่ยม

ก่อนอื่น พื้นที่ฐานคำนวณโดยใช้สูตรด้านบน: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2

ตอนนี้ คุณต้องหาระยะกึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งก็คือด้านด้านข้าง (22+61*2):2 = 72 ซม. สิ่งที่เหลืออยู่คือใช้สูตรของนกกระสาในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละรูปนั้น จากนั้นคูณด้วย 6 แล้วบวกเข้ากับค่าที่ได้สำหรับฐาน

การคำนวณโดยใช้สูตรของเฮรอน: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2 การคำนวณที่จะให้พื้นที่ผิวด้านข้าง: 660 * 6 = 3960 ซม. 2 ยังคงต้องบวกเข้าด้วยกันเพื่อค้นหาพื้นผิวทั้งหมด: 5217.47µ25217 ซม. 2

คำตอบ.ฐานคือ726√3 cm2 พื้นผิวด้านข้างคือ 3960 cm2 พื้นที่ทั้งหมดคือ 5217 cm2

พื้นที่ผิวของปิรามิด ในบทความนี้เราจะดูปัญหาของปิรามิดปกติ ฉันขอเตือนคุณว่าปิรามิดปกติคือปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ด้านบนของปิรามิดถูกยื่นไปตรงกลางของรูปหลายเหลี่ยมนี้

ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วความสูงของสามเหลี่ยมนี้ที่ดึงมาจากจุดยอดของปิรามิดปกติเรียกว่า apothem, SF - apothem:

ในประเภทของปัญหาที่นำเสนอด้านล่าง คุณต้องค้นหาพื้นที่ผิวของปิรามิดทั้งหมดหรือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง บล็อกได้กล่าวถึงปัญหาหลายประการเกี่ยวกับปิรามิดทั่วไปแล้ว โดยคำถามเกี่ยวกับการค้นหาองค์ประกอบต่างๆ (ความสูง ขอบฐาน ขอบด้านข้าง)

งานตรวจสอบสถานะรวมมักจะตรวจสอบปิรามิดสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และหกเหลี่ยมปกติ ฉันไม่เห็นปัญหาใด ๆ กับปิรามิดห้าเหลี่ยมและปิรามิดเจ็ดเหลี่ยมทั่วไป

สูตรสำหรับพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดนั้นง่าย - คุณต้องหาผลรวมของพื้นที่ฐานของปิรามิดและพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง:

พิจารณางาน:

ด้านข้างของฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 72 ขอบด้านข้างคือ 164 จงหาพื้นที่ผิวของปิรามิดนี้

พื้นที่ผิวของปิรามิดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและฐาน:

*พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสามเหลี่ยมสี่อันที่มีพื้นที่เท่ากัน ฐานของปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

เราสามารถคำนวณพื้นที่ด้านข้างของปิรามิดได้โดยใช้:

ดังนั้น พื้นที่ผิวของปิรามิดคือ:

คำตอบ: 28224

ด้านข้างของฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 22 ขอบด้านข้างมีค่าเท่ากับ 61 ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้

ฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติคือฐานหกเหลี่ยมปกติ

พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้ประกอบด้วยพื้นที่ 6 ด้านที่มีสามเหลี่ยมเท่ากัน โดยมีด้าน 61,61 และ 22:

มาหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรของเฮรอน:

ดังนั้น พื้นที่ผิวด้านข้างคือ:

คำตอบ: 3240

*จากปัญหาที่นำเสนอข้างต้น พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างสามารถหาได้โดยใช้สูตรสามเหลี่ยมอื่น แต่สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องคำนวณระยะกึ่งกลางของหน้าแข้ง

27155. ค้นหาพื้นที่ผิวของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติซึ่งมีด้านฐานเป็น 6 และมีความสูงเป็น 4

ในการหาพื้นที่ผิวของปิรามิด เราต้องรู้พื้นที่ฐานและพื้นที่ผิวด้านข้าง:

พื้นที่ฐานคือ 36 เนื่องจากเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 6

พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสี่หน้าซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน ในการที่จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้น คุณจำเป็นต้องรู้ฐานและความสูงของมัน (apothem):

*พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูงที่วาดมายังฐานนี้

ฐานรู้แล้วว่ามีค่าเท่ากับหก มาหาความสูงกัน. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (เน้นด้วยสีเหลือง):

ขาข้างหนึ่งมีค่าเท่ากับ 4 เนื่องจากนี่คือความสูงของปิรามิด ส่วนขาอีกข้างมีค่าเท่ากับ 3 เนื่องจากเท่ากับครึ่งหนึ่งของขอบฐาน เราสามารถหาด้านตรงข้ามมุมฉากได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือ:

ดังนั้น พื้นที่ผิวของปิรามิดทั้งหมดคือ:

คำตอบ: 96

27069 ด้านข้างของฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 10 ขอบด้านข้างมีค่าเท่ากับ 13 จงหาพื้นที่ผิวของปิรามิดนี้

27070 ด้านข้างของฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 10 ขอบด้านข้างเท่ากับ 13 จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้

นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติอีกด้วย ในพีระมิดปกติ ฐานคือโครงที่ยื่นออกไปในมุมฉากของพื้นผิวด้านข้าง ดังนั้น:

ป- เส้นรอบวงฐาน ล- แนวกึ่งกลางของปิรามิด

*สูตรนี้อิงจากสูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการได้มาของสูตรเหล่านี้ อย่าพลาด ติดตามการตีพิมพ์บทความต่างๆนั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

ปัญหาเรขาคณิตทั่วไปบนเครื่องบินและในพื้นที่สามมิติคือปัญหาในการกำหนดพื้นที่ผิวของตัวเลขต่างๆ ในบทความนี้เรานำเสนอสูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

ปิรามิดคืออะไร?

ให้เราให้คำจำกัดความทางเรขาคณิตที่เข้มงวดของปิรามิด สมมติว่าเรามีรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน n ด้านและมุม n มุม ลองเลือกจุดใดก็ได้ในอวกาศซึ่งจะไม่อยู่ในระนาบของ n-gon ที่ระบุ และเชื่อมต่อกับแต่ละจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม เราจะได้รูปที่มีปริมาตรหนึ่งซึ่งเรียกว่าปิระมิด n-gonal ตัวอย่างเช่น ลองแสดงในรูปด้านล่างว่าปิระมิดห้าเหลี่ยมมีหน้าตาเป็นอย่างไร

องค์ประกอบที่สำคัญสองประการของพีระมิดคือฐาน (n-gon) และปลายของมัน องค์ประกอบเหล่านี้เชื่อมต่อถึงกันด้วยรูปสามเหลี่ยม n รูป ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะไม่เท่ากัน เส้นตั้งฉากจากบนลงล่างเรียกว่าความสูงของรูป ถ้ามันตัดฐานที่จุดศูนย์กลางเรขาคณิต (ตรงกับจุดศูนย์กลางมวลของรูปหลายเหลี่ยม) ปิรามิดดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรง นอกเหนือจากเงื่อนไขนี้แล้ว หากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ พีระมิดทั้งหมดจะเรียกว่าปกติ รูปภาพด้านล่างแสดงลักษณะของปิรามิดปกติที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม และฐานหกเหลี่ยม

พื้นผิวของปิรามิด

ก่อนที่จะไปยังคำถามเกี่ยวกับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติเราควรพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวคิดของพื้นผิวนั้น

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นและแสดงไว้ในรูปภาพ ปิรามิดใดๆ ก็ตามที่ประกอบขึ้นด้วยชุดของใบหน้าหรือด้านข้าง ด้านหนึ่งเป็นฐาน และด้าน n เป็นรูปสามเหลี่ยม พื้นผิวของรูปทั้งหมดคือผลรวมของพื้นที่ของแต่ละด้าน

สะดวกในการศึกษาพื้นผิวโดยใช้ตัวอย่างการพัฒนารูปร่าง การพัฒนาปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติแสดงไว้ในภาพด้านล่าง

เราจะเห็นว่าพื้นที่ผิวของมันเท่ากับผลรวมของสี่พื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เหมือนกันและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

พื้นที่รวมของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ประกอบเป็นด้านข้างของรูปมักเรียกว่าพื้นที่ผิวด้านข้าง ต่อไปเราจะแสดงวิธีคำนวณพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติ

ในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของรูปที่ระบุเราจะหันไปใช้การพัฒนาข้างต้นอีกครั้ง สมมติว่าเรารู้ด้านของฐานสี่เหลี่ยม ลองเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a จะเห็นได้ว่ารูปสามเหลี่ยมที่เหมือนกันทั้งสี่รูปนั้นมีฐานที่ยาว a ในการคำนวณพื้นที่ทั้งหมด คุณจำเป็นต้องทราบค่านี้ของสามเหลี่ยมหนึ่งรูป จากหลักสูตรเรขาคณิต เรารู้ว่าพื้นที่ S t ของสามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของฐานและความสูง ซึ่งควรแบ่งออกเป็นสองส่วน นั่นคือ:

โดยที่ h b คือความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐาน a สำหรับปิรามิด ความสูงนี้คือเส้นตั้งฉากใน ตอนนี้ยังคงต้องคูณนิพจน์ผลลัพธ์ด้วย 4 เพื่อให้ได้พื้นที่ S b ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่เป็นปัญหา:

ส ข = 4*ส เสื้อ = 2*ส ข *ก

สูตรนี้ประกอบด้วยพารามิเตอร์ 2 ตัว ได้แก่ เส้นกึ่งกลางของฐานและด้านข้างของฐาน หากทราบค่าอย่างหลังในสภาวะปัญหาส่วนใหญ่ ก็จะต้องคำนวณค่าแรกเพื่อทราบปริมาณอื่น ต่อไปนี้เป็นสูตรในการคำนวณระยะกึ่งกลาง hb สำหรับสองกรณี:

• เมื่อทราบความยาวของซี่โครงด้านข้าง
• เมื่อทราบความสูงของปิรามิดแล้ว

หากเราแสดงความยาวของขอบด้านข้าง (ด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) ด้วยสัญลักษณ์ L ดังนั้น apothem h b จะถูกกำหนดโดยสูตร:

ชั่วโมง ข = √(ล 2 - ก 2/4)

นิพจน์นี้เป็นผลมาจากการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมพื้นผิวด้านข้าง

หากทราบความสูง h ของปิรามิด ก็จะสามารถคำนวณระยะกึ่งกลางของพีระมิดได้ดังนี้:

ชั่วโมง ข = √(ชั่วโมง 2 + ก 2 /4)

การหานิพจน์นี้ไม่ใช่เรื่องยากหากเราพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากภายในพีระมิด ซึ่งประกอบขึ้นด้วยขา h และ a/2 และด้านตรงข้ามมุมฉาก h b

เรามาแสดงวิธีการใช้สูตรเหล่านี้โดยการแก้ปัญหาที่น่าสนใจสองข้อกัน

ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ผิวที่ทราบ

เป็นที่ทราบกันว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 108 ซม. 2 มีความจำเป็นต้องคำนวณความยาวของระยะเอโพเธม h b หากความสูงของปิรามิดคือ 7 ซม.

ให้เราเขียนสูตรสำหรับพื้นที่ S b ของพื้นผิวด้านข้างในรูปของความสูง เรามี:

S ข = 2*√(ซ 2 + ก 2 /4) *ก

ในกรณีนี้ เราเพียงแค่แทนที่สูตรอะโพเธมที่เหมาะสมลงในนิพจน์ของ S b ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ:

ส ข 2 = 4*ก 2 *ส 2 + ก 4

ในการค้นหาค่าของ a เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร:

เสื้อ 2 + 4*ชั่วโมง 2 *t - S ข 2 = 0

ตอนนี้เราแทนค่าที่รู้จักและแก้สมการกำลังสอง:

เสื้อ 2 + 196*t - 11664 = 0

เราเขียนไว้เฉพาะรากที่เป็นบวกของสมการนี้ จากนั้นด้านข้างของฐานปิรามิดจะเท่ากับ:

a = √t = √47.8355 data 6.916 ซม.

หากต้องการหาความยาวของระยะแนบใน ให้ใช้สูตร:

ชั่วโมง ข = √(ชั่วโมง 2 + ก 2 /4) = √(7 2 + 6.916 2 /4) หยาบคาย 7.808 ซม.

พื้นผิวด้านข้างของปิรามิด Cheops

ให้เรากำหนดค่าพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดอียิปต์ที่ใหญ่ที่สุด เป็นที่ทราบกันว่าที่ฐานของมันคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 230.363 เมตร ความสูงของโครงสร้างเดิมอยู่ที่ 146.5 เมตร แทนตัวเลขเหล่านี้เป็นสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับ Sb เราจะได้:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146.5 2 +230.363 2 /4)*230.363 กลับไปยัง 85860 ม. 2

ค่าที่พบจะมากกว่าพื้นที่สนามฟุตบอลทั้ง 17 สนามเล็กน้อย

เราเรียกตัวเลขใดว่าปิรามิด? ประการแรก มันคือรูปทรงหลายเหลี่ยม ประการที่สอง ที่ฐานของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มีรูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ และด้านข้างของปิรามิด (ใบหน้าด้านข้าง) จำเป็นต้องมีรูปสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดยอดร่วมจุดเดียว เมื่อเข้าใจคำศัพท์แล้ว เรามาดูวิธีหาพื้นที่ผิวของปิรามิดกันดีกว่า

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ผิวของตัวเรขาคณิตนั้นประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของฐานและพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด

การคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิด

การเลือกสูตรการคำนวณขึ้นอยู่กับรูปร่างของรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ใต้ปิรามิดของเรา อาจเป็นแบบสม่ำเสมอ กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันหรือไม่สม่ำเสมอก็ได้ ลองพิจารณาทั้งสองตัวเลือก

ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

จากหลักสูตรของโรงเรียนเรารู้:

• พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเท่ากับความยาวของด้านกำลังสอง
• พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับกำลังสองของด้านหารด้วย 4 และคูณด้วยรากที่สองของสาม

แต่ยังมีสูตรทั่วไปในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ (Sn): คุณต้องคูณเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมนี้ (P) ด้วยรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในนั้น (r) แล้วหาร ผลลัพธ์สอง: Sn=1/2P*r

ที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติ

รูปแบบการหาพื้นที่คือการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดออกเป็นรูปสามเหลี่ยมก่อน แล้วคำนวณพื้นที่ของแต่ละรูปโดยใช้สูตร: 1/2a*h (โดยที่ a คือฐานของรูปสามเหลี่ยม h คือความสูงลดลงเหลือ ฐานนี้) รวมผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกัน

พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด

ทีนี้ลองคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดนั่นคือ ผลรวมของพื้นที่ด้านข้างทั้งหมด นอกจากนี้ยังมี 2 ตัวเลือกที่นี่

1. ขอให้เรามีปิรามิดตามอำเภอใจเช่น อันหนึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติอยู่ที่ฐาน จากนั้นคุณควรคำนวณพื้นที่ของแต่ละใบหน้าแยกกันและเพิ่มผลลัพธ์ เนื่องจากด้านข้างของปิรามิดตามคำนิยามแล้ว สามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมได้เท่านั้น การคำนวณจึงดำเนินการโดยใช้สูตรข้างต้น: S=1/2a*h
2. ให้ปิรามิดของเราถูกต้องนั่นคือ ที่ฐานของมันคือรูปหลายเหลี่ยมปกติ และเส้นโครงด้านบนของปิรามิดอยู่ตรงกลาง จากนั้น ในการคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง (Sb) ก็เพียงพอที่จะหาผลคูณของเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมฐาน (P) และความสูง (h) ของด้านข้าง (เท่ากัน) ครึ่งหนึ่ง (เท่ากันสำหรับทุกใบหน้า) ): Sb = 1/2 P*h เส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมถูกกำหนดโดยการบวกความยาวของด้านทั้งหมด

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดปกตินั้นหาได้จากการรวมพื้นที่ฐานกับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด

ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณพื้นที่ผิวของปิรามิดหลายๆ อันโดยใช้พีชคณิตกัน

พื้นที่ผิวของปิรามิดสามเหลี่ยม

ที่ฐานของปิรามิดนั้นมีรูปสามเหลี่ยม โดยใช้สูตร So=1/2a*h เราจะหาพื้นที่ของฐาน เราใช้สูตรเดียวกันในการหาพื้นที่ของแต่ละหน้าของปิรามิดซึ่งมีรูปทรงสามเหลี่ยมด้วย และเราจะได้ 3 พื้นที่ คือ S1, S2 และ S3 พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือผลรวมของพื้นที่ทั้งหมด: Sb = S1+ S2+ S3 เมื่อรวมพื้นที่ด้านข้างและฐานเข้าด้วยกัน เราจะได้พื้นที่ผิวรวมของปิรามิดที่ต้องการ: Sp= So+ Sb

พื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม

พื้นที่ผิวด้านข้างคือผลรวมของ 4 เทอม: Sb = S1+ S2+ S3+ S4 ซึ่งแต่ละเทอมคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม และจะต้องมองหาพื้นที่ของฐานขึ้นอยู่กับรูปร่างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - ปกติหรือไม่สม่ำเสมอ ได้รับพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดอีกครั้งโดยการเพิ่มพื้นที่ของฐานและพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดที่กำหนด