งาน. สร้างไดอะแกรม Q และ M สำหรับลำแสงที่ไม่แน่นอนแบบสถิตเราคำนวณคานตามสูตร:

น= Σ R- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

บีม ครั้งหนึ่งไม่แน่นอนแบบสถิต ซึ่งหมายความว่า หนึ่งของปฏิกิริยาคือ "พิเศษ" ไม่ทราบ. สำหรับ "พิเศษ" ที่ไม่รู้จัก เราจะตอบสนองต่อการสนับสนุน ที่ — อาร์ บี.

ลำแสงที่กำหนดแบบสถิตซึ่งได้มาจากลำแสงที่กำหนดโดยการถอดการเชื่อมต่อ "พิเศษ" เรียกว่าระบบหลัก (ข).

ตอนนี้ระบบนี้ควรจะนำเสนอ เทียบเท่าที่ให้ไว้. ให้โหลดระบบหลัก ที่ให้ไว้โหลดและตรงจุด ที่ นำมาใช้ ปฏิกิริยา "พิเศษ" อาร์ บี(ข้าว. ใน).

อย่างไรก็ตาม สำหรับ ความเท่าเทียมกันนี้ ไม่พอเนื่องจากในลำแสงดังกล่าวจุด ที่ อาจจะ เคลื่อนที่ในแนวตั้งและในลำแสงที่กำหนด (รูปที่ เอ ) สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ดังนั้นเราจึงเพิ่ม สภาพ, อะไร การโก่งตัว t. ที่ในระบบหลักจะต้องเท่ากับ0. การโก่งตัว t. ที่ ประกอบด้วย การโก่งตัวจากภาระการแสดง Δ F และจาก การเบี่ยงเบนจากปฏิกิริยา "พิเศษ" Δ ร.

จากนั้นเราก็เขียน เงื่อนไขความเข้ากันได้ของราง:

Δ F + Δ R=0 (1)

ตอนนี้ยังคงคำนวณสิ่งเหล่านี้ การเคลื่อนไหว (โก่ง).

กำลังโหลด ขั้นพื้นฐานระบบ ให้ภาระ(ข้าว .ช) และสร้าง แผนภาพสินค้าเอ็ม เอฟ (ข้าว. d ).

ที่ ที ที่ สมัครและสร้าง ep. (ข้าว. เม่น ).

โดยสูตร Simpson เรากำหนด การโก่งตัวของโหลด.

ทีนี้มากำหนดกัน การเบี่ยงเบนจากการกระทำของปฏิกิริยา "พิเศษ" อาร์ บี สำหรับสิ่งนี้เราโหลดระบบหลัก อาร์ บี (ข้าว. ชม. ) และพล็อตช่วงเวลาจากการกระทำของมัน นาย (ข้าว. และ ).

เขียนและตัดสินใจ สมการ (1):

มาสร้างกันเถอะ ep. คิว และ เอ็ม (ข้าว. ถึง, l ).

การสร้างไดอะแกรม ถาม

มาสร้างพล็อตกันเถอะ เอ็ม กระบวนการ จุดเด่น. เราจัดเรียงจุดบนลำแสง - นี่คือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของลำแสง ( D,A ) ช่วงเวลาที่เข้มข้น ( บี ) และให้สังเกตด้วยว่าเป็นจุดลักษณะเฉพาะที่จุดกึ่งกลางของโหลดแบบกระจายสม่ำเสมอ ( K ) เป็นจุดเพิ่มเติมสำหรับการสร้างเส้นโค้งพาราโบลา

กำหนดโมเมนต์ดัดที่จุด กฎของสัญญาณซม. - .

ช่วงเวลาใน ที่ จะกำหนดไว้ดังนี้ ขั้นแรกให้กำหนด:

จุด ถึง เข้ามาเลย กลางพื้นที่ที่มีโหลดกระจายสม่ำเสมอ

การสร้างไดอะแกรม เอ็ม . พล็อต AB – เส้นโค้งพาราโบลา(กฎของ "ร่ม") พล็อต BD – เส้นเฉียงตรง.

สำหรับลำแสง ให้กำหนดปฏิกิริยารองรับและพล็อตไดอะแกรมโมเมนต์ดัด ( เอ็ม) และแรงเฉือน ( คิว).

1. เรากำหนด สนับสนุนตัวอักษร แต่ และ ที่ และกำกับปฏิกิริยาสนับสนุน อาร์ เอ และ อาร์ บี .

กำลังรวบรวม สมการสมดุล.

การตรวจสอบ

เขียนค่า อาร์ เอ และ อาร์ บี บน รูปแบบการคำนวณ.

2. พล็อต แรงขวางกระบวนการ ส่วน. เราวางส่วนต่างๆไว้บน ลักษณะพื้นที่(ระหว่างการเปลี่ยนแปลง). ตามมิติเธรด - 4 ส่วน 4 ส่วน.

วินาที 1-1 เคลื่อนไหว ซ้าย.

ส่วนผ่านส่วนกับ โหลดแบบกระจายสม่ำเสมอสังเกตขนาด z 1 ทางด้านซ้ายของส่วน ก่อนเริ่มหมวด. ที่ดินยาว2ม. กฎของสัญญาณสำหรับ คิว - ซม.

เราสร้างจากมูลค่าที่พบ ไดอะแกรมคิว.

วินาที 2-2 ชิดขวา.

ส่วนอีกครั้งผ่านพื้นที่ที่มีการกระจายโหลดสม่ำเสมอ สังเกตขนาด z 2 ทางด้านขวาของส่วนไปยังจุดเริ่มต้นของส่วน ที่ดินยาว 6 ม.

การสร้างไดอะแกรม คิว.

วินาที 3-3 ชิดขวา.

วินาที 4-4 เลื่อนไปทางขวา

เรากำลังสร้าง ไดอะแกรมคิว.

3. การก่อสร้าง ไดอะแกรม Mกระบวนการ จุดเด่น.

จุดเด่น- จุดใด ๆ ที่เห็นได้ชัดเจนบนลำแสง นี่คือจุด แต่, ที่, จาก, ดี เช่นเดียวกับประเด็น ถึง , โดยที่ คิว=0 และ โมเมนต์ดัดมีสุดขั้ว. ยังอยู่ใน กลางคอนโซลใส่จุดเพิ่มเติม อีเนื่องจากในพื้นที่นี้ภายใต้โหลดไดอะแกรมที่กระจายอย่างสม่ำเสมอ เอ็มอธิบายไว้ คดเคี้ยวเส้นและอย่างน้อยก็ถูกสร้างขึ้นตาม 3 คะแนน

ดังนั้นเมื่อวางคะแนนแล้วเราจึงดำเนินการกำหนดค่าในนั้น โมเมนต์ดัด. กฎของสัญญาณ - ดู.

พล็อต NA, AD – เส้นโค้งพาราโบลา(กฎ "ร่ม" สำหรับความเชี่ยวชาญทางกลหรือ "กฎการเดินเรือ" สำหรับการก่อสร้าง) ส่วน DC, SW – เส้นเอียงตรง

ณ จุดหนึ่ง ดี ควรจะกำหนด ทั้งซ้ายและขวาจากจุด ดี . ช่วงเวลาหนึ่งในการแสดงออกเหล่านี้ ไม่รวม. ณ จุดนั้น ดี เราได้รับ สองค่าจาก ความแตกต่างตามจำนวนเงิน ม – กระโดดถึงขนาดของมัน

ตอนนี้เราต้องกำหนดช่วงเวลาที่จุด ถึง (คิว=0). อย่างไรก็ตาม ก่อนอื่นเราให้นิยาม ตำแหน่งจุด ถึง , แสดงถึงระยะทางจากมันไปยังจุดเริ่มต้นของส่วนโดยไม่ทราบ X .

ต. ถึง เป็นของ ที่สองพื้นที่ลักษณะ, สมการแรงเฉือน(ดูด้านบน)

แต่แรงตามขวางใน t ถึง เท่ากับ 0 , แ z 2 เท่ากับไม่รู้จัก X .

เราได้รับสมการ:

ตอนนี้รู้แล้ว X, กำหนดช่วงเวลา ณ จุดใดจุดหนึ่ง ถึง อยู่ทางขวา.

การสร้างไดอะแกรม เอ็ม . การก่อสร้างเป็นไปได้สำหรับ เครื่องกลพิเศษเลื่อนค่าบวก ขึ้นจากเส้นศูนย์และใช้กฎ "ร่ม"

สำหรับโครงร่างคานคานที่กำหนด จำเป็นต้องพล็อตไดอะแกรมของแรงตามขวาง Q และโมเมนต์ดัด M ทำการคำนวณการออกแบบโดยเลือกส่วนที่เป็นวงกลม

วัสดุ - ไม้ ความทนทานต่อการออกแบบของวัสดุ R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

มีสองวิธีในการสร้างไดอะแกรมในคานแบบคานยื่นที่มีส่วนปลายแบบแข็ง - วิธีปกติซึ่งก่อนหน้านี้ได้กำหนดปฏิกิริยารองรับและไม่ได้กำหนดปฏิกิริยารองรับหากเราพิจารณาส่วนต่างๆ จากปลายลำแสงว่างและละทิ้ง ด้านซ้ายที่มีการสิ้นสุด มาสร้างไดอะแกรมกันเถอะ สามัญทาง.

1. กำหนด ปฏิกิริยาสนับสนุน.

โหลดแบบกระจายสม่ำเสมอ qแทนที่แรงตามเงื่อนไข Q= q 0.84=6.72 kN

ในการฝังตัวแบบแข็ง มีปฏิกิริยาสนับสนุนสามแบบ - แนวตั้ง แนวนอน และโมเมนต์ ในกรณีของเรา ปฏิกิริยาแนวนอนคือ 0

มาหากัน แนวตั้งปฏิกิริยาสนับสนุน อาร์ เอและ ช่วงเวลาอ้างอิง เอ็ม อาจากสมการสมดุล

ในสองส่วนแรกทางด้านขวาไม่มีแรงตามขวาง ที่จุดเริ่มต้นของส่วนที่มีการกระจายโหลดสม่ำเสมอ (ขวา) Q=0, ด้านหลัง - ขนาดของปฏิกิริยา ร.ร.
3. ในการสร้าง เราจะเขียนนิพจน์สำหรับคำจำกัดความในส่วนต่างๆ เราพล็อตไดอะแกรมโมเมนต์บนเส้นใยเช่น ทางลง.

(เนื้อเรื่องของช่วงเวลาเดียวถูกสร้างขึ้นก่อนหน้านี้แล้ว)

เราแก้สมการ (1) ลดลงโดย EI

เปิดเผยความไม่แน่นอนแบบคงที่พบค่าของปฏิกิริยา "พิเศษ" คุณสามารถเริ่มสร้างแผนภาพ Q และ M สำหรับลำแสงที่ไม่แน่นอนแบบคงที่ได้... เราร่างโครงร่างลำแสงที่กำหนดและระบุค่าของปฏิกิริยา Rb. ในลำแสงนี้ ปฏิกิริยาในการสิ้นสุดไม่สามารถระบุได้หากคุณไปทางขวา

อาคาร แปลง Qสำหรับลำแสงที่ไม่แน่นอนแบบสถิต

พล็อต Q

พล็อต M

เรากำหนด M ที่จุดสุดโต่ง - ที่จุด ถึง. อันดับแรก มากำหนดตำแหน่งกันก่อน เราแสดงถึงระยะทางที่ไม่รู้จัก " X". แล้ว

เราพล็อต M.

การหาค่าแรงเฉือนในส่วน I. พิจารณาส่วน ไอบีม. S x \u003d 96.9 ซม. 3; Yx=2030 ซม. 4; Q=200 kN

ใช้ในการหาค่าความเค้นเฉือน สูตรโดยที่ Q คือแรงตามขวางในส่วน S x 0 คือโมเมนต์สถิตของส่วนของหน้าตัดที่อยู่ด้านหนึ่งของชั้นที่กำหนดความเค้นเฉือน I x คือโมเมนต์ความเฉื่อยของกากบาททั้งหมด ส่วน b คือความกว้างของส่วนในตำแหน่งที่กำหนดความเค้นเฉือน

คำนวณ ขีดสุดแรงเฉือน:

ให้เราคำนวณโมเมนต์คงที่สำหรับ ชั้นบนสุด:

ทีนี้มาคำนวณกัน แรงเฉือน:

เรากำลังสร้าง แผนภาพความเค้นเฉือน:

การคำนวณการออกแบบและการตรวจสอบ สำหรับลำแสงที่สร้างไดอะแกรมของแรงภายในให้เลือกส่วนในรูปแบบของสองช่องสัญญาณจากสภาวะของความแข็งแรงในแง่ของความเค้นปกติ ตรวจสอบความแรงของลำแสงโดยใช้สภาวะกำลังเฉือนและเกณฑ์ความแรงของพลังงาน ที่ให้ไว้:

มาโชว์คานกับตัวสร้างกันเถอะ แปลง Q และ M

ตามแผนภาพโมเมนต์ดัด อันตรายคือ ส่วน C,นั้น M C \u003d M สูงสุด \u003d 48.3 kNm

สภาพความแข็งแรงสำหรับความเครียดปกติสำหรับคานนี้มีรูปแบบ σ max \u003d M C / W X ≤σ adm .มีความจำเป็นต้องเลือกส่วน จากสองช่องทาง

กำหนดมูลค่าการคำนวณที่ต้องการ โมดูลัสส่วนแกน:

สำหรับส่วนในรูปแบบสองช่องทางตามการยอมรับ สองช่อง №20a, โมเมนต์ความเฉื่อยของแต่ละช่อง I x =1670ซม. 4, แล้ว โมเมนต์แนวต้านของทั้งส่วน:

แรงดันไฟเกิน (แรงดันไฟเกิน)ที่จุดอันตรายเราคำนวณตามสูตร จะได้ สวนท่ง:

ทีนี้มาดูความแรงของลำแสงกันตาม สภาวะความแข็งแรงของแรงเฉือนตาม แผนภาพของแรงเฉือน อันตรายเป็นส่วน ในส่วน BC และส่วน D.ดังจะเห็นได้จากแผนภาพ Q สูงสุด \u003d 48.9 kN

สภาพความแข็งแรงสำหรับแรงเฉือนดูเหมือน:

สำหรับช่องหมายเลข 20 a: โมเมนต์คงที่ของพื้นที่ S x 1 \u003d 95.9 ซม. 3 โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วน I x 1 \u003d 1670 ซม. 4 ความหนาของผนัง d 1 \u003d 5.2 มม. ความหนาของชั้นวางเฉลี่ย t 1 \u003d 9.7 มม. , ความสูงของช่อง h 1 \u003d 20 ซม. ความกว้างของชั้นวาง b 1 \u003d 8 ซม.

สำหรับขวาง ส่วนของสองช่อง:

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95.9 \u003d 191.8 ซม. 3

ฉัน x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 ซม. 4

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0.52 \u003d 1.04 ซม.

การกำหนดมูลค่า แรงเฉือนสูงสุด:

τ สูงสุด \u003d 48.9 10 3 191.8 10 -6 / 3340 10 -8 1.04 10 -2 \u003d 27 MPa

ตามที่เห็น, τ สูงสุด<τ adm (27MPa<75МПа).

เพราะเหตุนี้, ตรงตามเงื่อนไขความแรง

เราตรวจสอบความแรงของลำแสงตามเกณฑ์พลังงาน.

ออกจากการพิจารณา ไดอะแกรม Q และ Mตามนั้น ส่วน C เป็นอันตรายซึ่งใน M C =M สูงสุด =48.3 kNm และ Q C =Q สูงสุด =48.9 kN

ใช้จ่ายกันเถอะ การวิเคราะห์สถานะความเครียดที่จุดของส่วนС

มากำหนดกัน ความเค้นปกติและแรงเฉือนในหลายระดับ (ระบุไว้ในแผนภาพส่วน)

ระดับ 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

ปกติและแทนเจนต์ แรงดันไฟฟ้า:

หลัก แรงดันไฟฟ้า:

ระดับ 2-2: y 2-2 \u003d ชั่วโมง 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0.97 \u003d 9.03 ซม.

ความเครียดหลัก:

ระดับ 3-3: y 3-3 \u003d ชั่วโมง 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0.97 \u003d 9.03 ซม.

ความเค้นปกติและแรงเฉือน:

ความเครียดหลัก:

แรงเฉือนที่รุนแรง:

ระดับ 4-4: y 4-4 =0

(ตรงกลาง ความเค้นปกติมีค่าเท่ากับศูนย์ ความเค้นในแนวสัมผัสมีค่าสูงสุด พบได้ในการทดสอบความเค้นเชิงสัมผัส)

ความเครียดหลัก:

แรงเฉือนที่รุนแรง:

ระดับ 5-5:

ความเค้นปกติและแรงเฉือน:

ความเครียดหลัก:

แรงเฉือนที่รุนแรง:

ระดับ 6-6:

ความเค้นปกติและแรงเฉือน:

ความเครียดหลัก:

แรงเฉือนที่รุนแรง:

ระดับ 7-7:

ความเค้นปกติและแรงเฉือน:

ความเครียดหลัก:

แรงเฉือนที่รุนแรง:

ตามการคำนวณที่ดำเนินการ แผนภาพความเครียด σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ สูงสุด และ τ minนำเสนอในรูป

การวิเคราะห์เหล่านี้ แผนภาพแสดงซึ่งอยู่ในส่วนตัดขวางของคาน จุดอันตรายอยู่ที่ระดับ 3-3 (หรือ 5-5), ซึ่งใน:

โดยใช้ เกณฑ์พลังงานของความแข็งแรงเราได้รับ

จากการเปรียบเทียบความเค้นที่เท่ากันและความเค้นที่ยอมให้เป็นไปตามเงื่อนไขความแข็งแรงก็เป็นไปตามนั้น

(135.3 MPa<150 МПа).

โหลดลำแสงต่อเนื่องในทุกช่วง สร้างไดอะแกรม Q และ M สำหรับลำแสงต่อเนื่อง

1. กำหนด ระดับความไม่แน่นอนคงที่คานตามสูตร:

น= สบ -3= 5-3 =2,ที่ไหน สบ - จำนวนปฏิกิริยาที่ไม่รู้จัก 3 - จำนวนสมการของสถิตยศาสตร์. ในการแก้ลำแสงนี้ มันเป็นสิ่งจำเป็น สองสมการเพิ่มเติม

2. หมายถึง ตัวเลข รองรับด้วยศูนย์ตามลำดับ ( 0,1,2,3 )

3. หมายถึง ช่วงตัวเลข ตั้งแต่แรกตามลำดับ ( วี 1, วี 2, วี 3)

4. แต่ละช่วงถือเป็น คานง่ายและสร้างไดอะแกรมสำหรับคานอย่างง่ายแต่ละอัน คิวและเอ็มเกี่ยวอะไรกับ คานง่าย, เราจะแสดงว่า ด้วยดัชนี "0" ซึ่งหมายถึง ต่อเนื่องคาน เราจะแสดงว่า โดยไม่มีดัชนีนี้ดังนั้น คือ แรงตามขวางและโมเมนต์ดัด สำหรับลำแสงที่เรียบง่าย

เมื่อสร้าง ไดอะแกรมโมเมนต์ดัดเอ็ม ที่ ช่างก่อสร้างได้รับการยอมรับ: พิกัดที่แสดงในระดับหนึ่ง เชิงบวกค่าโมเมนต์ดัด พักไว้ ยืดออกเส้นใย เช่น - ทางลง, แ ลบ - ขึ้นจากแกนของลำแสง ดังนั้นพวกเขาจึงกล่าวว่าผู้สร้างสร้างไดอะแกรมบนเส้นใยที่ยืดออก กลศาสตร์ค่าบวกของทั้งแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดถูกพล็อต ขึ้น.ช่างกลสร้างไดอะแกรมบน บีบอัดเส้นใย

อาจารย์ใหญ่เครียด เมื่อดัด แรงดันไฟฟ้าเทียบเท่า.

ในกรณีทั่วไปของการดัดตรงในส่วนของคาน ปกติและ แทนเจนต์แรงดันไฟฟ้า. แรงดันไฟฟ้าเหล่านี้ แตกต่างกันไปทั้งความยาวและความสูงของลำแสง

ดังนั้นในกรณีของการดัด สถานะความเครียดของเครื่องบิน

พิจารณาโครงร่างที่ลำแสงโหลดด้วยแรง P

ธรรมดาที่สุดความเครียดเกิดขึ้นใน สุดขีด,ชี้ห่างจากเส้นกลางมากที่สุดและ ไม่มีแรงเฉือนอยู่ในตัวดังนั้นสำหรับ สุดขีดเส้นใย ความเครียดหลักที่ไม่เป็นศูนย์คือความเครียดปกติในส่วนตัดขวาง

ที่ระดับเส้นกลางในส่วนตัดขวางของลำแสงเกิดขึ้น แรงเฉือนสูงสุดเอ ความเครียดปกติเป็นศูนย์. หมายถึงในเส้นใย เป็นกลางชั้น ความเค้นหลักถูกกำหนดโดยค่าความเค้นเฉือน

ในโมเดลการออกแบบนี้ เส้นใยส่วนบนของลำแสงจะถูกยืดออก และส่วนล่างจะถูกบีบอัด เพื่อกำหนดความเครียดหลัก เราใช้นิพจน์ที่รู้จักกันดี:

เต็ม การวิเคราะห์สภาวะความเครียดอยู่ในรูป

การวิเคราะห์สภาวะความเค้นในการดัดงอ

ความเครียดหลักที่ยิ่งใหญ่ที่สุด σ 1ตั้งอยู่ บนเส้นใยที่รุนแรงและ เท่ากับศูนย์บนเส้นใยสุดขั้วล่าง ความเครียดหลัก σ 3มันมี ค่าสัมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดบนเส้นใยด้านล่าง

วิถีความเครียดหลักขึ้นอยู่กับ ประเภทโหลดและ วิธีแก้ไขคาน

เมื่อแก้ปัญหาได้แล้ว แยกจากกันตรวจสอบ ปกติและ แรงเฉือนที่แยกจากกันอย่างไรก็ตาม บางครั้ง เครียดที่สุดเปิดออก ระดับกลางเส้นใยที่มีทั้งความเค้นปกติและแรงเฉือน สิ่งนี้เกิดขึ้นในส่วนที่ พร้อมกันทั้งโมเมนต์ดัดและแรงตามขวางมีค่ามาก- อาจอยู่ในส่วนปลายของคานรับน้ำหนัก บนคานรองรับคานที่มีคานยื่น ในส่วนที่มีแรงกระจัดกระจาย หรือในส่วนที่มีความกว้างเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่น ในส่วน I อันตรายที่สุด ทางแยกของผนังกับชั้นวาง- มี ความเครียดที่สำคัญและปกติและแรงเฉือน

วัสดุอยู่ในสถานะความเค้นระนาบและต้องการ การทดสอบแรงดันเทียบเท่า

สภาวะความแข็งแรงของคานที่ทำจากวัสดุเหนียวบน ที่สาม(ทฤษฎีความเค้นสัมผัสที่ยิ่งใหญ่ที่สุด) และ ที่สี่(ทฤษฎีการเปลี่ยนแปลงรูปแบบพลังงาน) ทฤษฎีความแข็งแกร่ง

ตามกฎแล้ว ในคานรีด ความเค้นที่เท่ากันจะไม่เกินความเค้นปกติในเส้นใยชั้นนอกสุด และไม่จำเป็นต้องมีการตรวจสอบพิเศษ อีกสิ่งหนึ่งที่ - คานโลหะคอมโพสิต,ที่ ผนังบางลงกว่าโปรไฟล์รีดที่ความสูงเท่ากัน คานคอมโพสิตเชื่อมที่ทำจากเหล็กแผ่นเป็นที่นิยมใช้กันทั่วไป การคำนวณความแข็งแรงของคานดังกล่าว: ก) การเลือกส่วน - ความสูง, ความหนา, ความกว้างและความหนาของคอร์ดคาน; b) การทดสอบความเค้นปกติและแรงเฉือน c) การตรวจสอบความแข็งแรงด้วยความเครียดที่เท่ากัน

การหาค่าแรงเฉือนในส่วน I. พิจารณาส่วน ไอบีม. S x \u003d 96.9 ซม. 3; Yx=2030 ซม. 4; Q=200 kN

ใช้ในการหาค่าความเค้นเฉือน สูตรโดยที่ Q คือแรงตามขวางในส่วน S x 0 คือโมเมนต์สถิตของส่วนของหน้าตัดที่อยู่ด้านหนึ่งของชั้นที่กำหนดความเค้นเฉือน I x คือโมเมนต์ความเฉื่อยของกากบาททั้งหมด ส่วน b คือความกว้างของส่วนในตำแหน่งที่กำหนดความเค้นเฉือน

คำนวณ ขีดสุดแรงเฉือน:

ให้เราคำนวณโมเมนต์คงที่สำหรับ ชั้นบนสุด:

ทีนี้มาคำนวณกัน แรงเฉือน:

เรากำลังสร้าง แผนภาพความเค้นเฉือน:

พิจารณาส่วนของโปรไฟล์มาตรฐานในแบบฟอร์ม ไอบีมและกำหนด แรงเฉือนทำหน้าที่ขนานกับแรงตามขวาง:

คำนวณ ช่วงเวลาคงที่ตัวเลขง่ายๆ:

ค่านี้ยังสามารถคำนวณได้ มิฉะนั้นโดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับ I-beam และส่วนราง ช่วงเวลาคงที่ของครึ่งหนึ่งของส่วนจะได้รับในเวลาเดียวกัน ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องลบค่าของโมเมนต์คงที่ออกจากค่าที่ทราบของโมเมนต์สถิตกับเส้น ก 1 ข 1:

แรงเฉือนที่จุดต่อของหน้าแปลนกับการเปลี่ยนแปลงของผนัง กระสับกระส่าย, เพราะ คมความหนาของผนังเปลี่ยนจาก t stก่อน ข.

พล็อตของความเค้นสัมผัสในผนังของราง สี่เหลี่ยมกลวง และส่วนอื่นๆ มีรูปแบบเดียวกับในกรณีของส่วน I สูตรประกอบด้วยช่วงเวลาคงที่ของส่วนที่แรเงาของส่วนที่สัมพันธ์กับแกน X และตัวส่วนคือความกว้างของส่วน (สุทธิ) ในเลเยอร์ที่กำหนดความเค้นเฉือน

ให้เราพิจารณาความเค้นเฉือนสำหรับส่วนที่เป็นวงกลม

เนื่องจากความเค้นเฉือนจะต้องมุ่งตรงไปที่รูปร่างของส่วน สัมผัสกับรูปร่าง,แล้วที่จุด แต่และ ที่ที่ปลายคอร์ดขนานกับเส้นผ่านศูนย์กลาง เอบีแรงเฉือนถูกชี้นำ ตั้งฉากกับรัศมี OAและ โอวีเพราะเหตุนี้, ทิศทางแรงเฉือนที่จุด แต่, VCมาบรรจบกัน ณ จุดหนึ่ง ชมบนแกน Y

ช่วงเวลาคงที่ของส่วนตัด:

นั่นคือ ความเค้นเฉือนเปลี่ยนตาม พาราโบลากฎหมายและจะสูงสุดที่ระดับเส้นกลางเมื่อ y 0 =0

สูตรหาค่าแรงเฉือน (สูตร)

พิจารณาส่วนสี่เหลี่ยม

ระยะทาง ที่ 0ดึงจากแกนกลาง มาตรา 1-1และกำหนดความเค้นเฉือน ช่วงเวลาคงที่ พื้นที่ตัดส่วน:

ควรระลึกไว้เสมอว่าโดยพื้นฐานแล้ว ไม่แยแส, ใช้ช่วงเวลาคงที่ของพื้นที่ ร่มเงาหรือพักผ่อนภาพตัดขวาง ทั้งช่วงเวลาคงที่ เท่ากับและตรงข้ามในเครื่องหมายดังนั้นพวกเขา ผลรวมซึ่งเป็นตัวแทนของ ช่วงเวลาคงที่ของพื้นที่ของส่วนทั้งหมดสัมพันธ์กับเส้นกลาง กล่าวคือ แกนกลาง x จะเท่ากับ ศูนย์.

โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนสี่เหลี่ยม:

แล้ว แรงเฉือนตามสูตร

ตัวแปร y 0 รวมอยู่ในสูตรระหว่าง ที่สององศาเช่น แรงเฉือนในส่วนสี่เหลี่ยมแปรผันกับ กฎของพาราโบลาสี่เหลี่ยม

ถึงความเครียดเฉือน ขีดสุดที่ระดับเส้นกลาง กล่าวคือ เมื่อไร y 0 =0:

, ที่ไหน A คือพื้นที่ของส่วนทั้งหมด

สภาพความแข็งแรงสำหรับแรงเฉือนดูเหมือน:

, ที่ไหน S x 0คือโมเมนต์คงที่ของส่วนของหน้าตัดที่อยู่ด้านหนึ่งของชั้นที่กำหนดความเค้นเฉือน ฉัน xคือโมเมนต์ความเฉื่อยของภาคตัดขวางทั้งหมด ข- ความกว้างของหน้าตัดในตำแหน่งที่กำหนดความเค้นเฉือน คิว- แรงขวาง τ - แรงเฉือน [τ] — ความเค้นเฉือนที่อนุญาต

สภาพความแข็งแรงนี้ทำให้สามารถผลิต สามประเภทของการคำนวณ (ปัญหาสามประเภทในการวิเคราะห์กำลัง):

1. การคำนวณการตรวจสอบหรือการทดสอบความแข็งแรงสำหรับความเค้นเฉือน:

2. การเลือกความกว้างของส่วน (สำหรับส่วนสี่เหลี่ยม):

3. การหาค่าแรงตามขวางที่อนุญาต (สำหรับส่วนสี่เหลี่ยมผืนผ้า):

เพื่อกำหนด แทนเจนต์ความเครียด พิจารณาลำแสงที่บรรจุกำลัง

งานกำหนดความเครียดอยู่เสมอ ไม่แน่นอนแบบคงที่และต้องมีส่วนร่วม เรขาคณิตและ ทางกายภาพสมการ อย่างไรก็ตาม ใครๆ ก็ทำได้ สมมติฐานเกี่ยวกับธรรมชาติของการกระจายความเครียดว่างานจะกลายเป็น กำหนดแบบสถิต

สองส่วนปิดอนันต์ 1-1 และ 2-2 เลือก องค์ประกอบ dz,วาดในขนาดใหญ่แล้ววาดส่วนตามยาว 3-3

ในส่วนที่ 1–1 และ 2–2 ปกติ σ 1 , σ 2 ความเครียดซึ่งกำหนดโดยสูตรที่รู้จักกันดี:

ที่ไหน M - โมเมนต์ดัดในส่วนตัดขวาง dM - เพิ่มขึ้นโมเมนต์ดัดที่ความยาว dz

แรงเฉือนในส่วนที่ 1–1 และ 2–2 กำกับตามแกนกลางหลัก Y และเห็นได้ชัดว่าหมายถึง ผลรวมขององค์ประกอบแนวตั้งของความเค้นเฉือนภายในที่กระจายไปตามหน้าตัด. ในความแข็งแรงของวัสดุก็มักจะใช้ สมมติฐานของการกระจายสม่ำเสมอตามความกว้างของส่วน

เพื่อกำหนดขนาดของความเค้นเฉือน ณ จุดใด ๆ ของหน้าตัดที่อยู่ไกลออกไป ที่ 0จากแกน X ที่เป็นกลาง ให้ลากระนาบขนานกับเลเยอร์ที่เป็นกลาง (3-3) ผ่านจุดนี้ และนำองค์ประกอบที่ตัดออก เราจะกำหนดแรงดันไฟฟ้าที่ทำงานบนไซต์ ABSD

มาฉายแรงทั้งหมดบนแกน Z กันเถอะ

ผลลัพธ์ของแรงตามยาวภายในทางด้านขวาจะเท่ากับ:

ที่ไหน A 0 คือพื้นที่ของใบหน้าด้านหน้า S x 0 คือช่วงเวลาคงที่ของส่วนที่ตัดที่สัมพันธ์กับแกน X. ในทำนองเดียวกันทางด้านซ้าย:

ทั้งสองผลลัพธ์ มุ่งสู่กันและกันเพราะองค์ประกอบอยู่ใน บีบอัดโซนลำแสง ความแตกต่างนั้นสมดุลด้วยแรงสัมผัสที่ใบหน้าส่วนล่าง 3-3

มาแสร้งทำเป็นว่า แรงเฉือน τกระจายตามความกว้างของคานขวาง b สม่ำเสมอ. สมมติฐานนี้ยิ่งมีโอกาสมาก ความกว้างก็จะยิ่งเล็กลงเมื่อเทียบกับความสูงของส่วน แล้ว ผลลัพธ์ของแรงสัมผัส dTเท่ากับค่าความเครียดคูณด้วยพื้นที่ใบหน้า:

เขียนตอนนี้ สมการสมดุล Σz=0:

หรือจากที่ไหน

จำไว้นะ การพึ่งพาที่แตกต่างกันตามที่ จากนั้นเราจะได้สูตร:

สูตรนี้เรียกว่า สูตร. สูตรนี้ได้รับในปี พ.ศ. 2398 ที่นี่ S x 0 - ช่วงเวลาคงที่ของส่วนหนึ่งของหน้าตัดตั้งอยู่ด้านหนึ่งของชั้นที่กำหนดแรงเฉือน I x - โมเมนต์ความเฉื่อยภาพตัดขวางทั้งหมด b - ความกว้างของส่วนที่ซึ่งความเค้นเฉือนถูกกำหนด Q - แรงขวางในส่วน

คือ สภาวะกำลังดัดที่ไหน

- โมเมนต์สูงสุด (โมดูโล) จากแผนภาพโมเมนต์ดัด - โมดูลัสส่วนแกน เรขาคณิต ลักษณะเฉพาะ; - ความเครียดที่อนุญาต (σadm)

- ความเครียดปกติสูงสุด

หากคำนวณจาก วิธีการจำกัดสถานะจากนั้นในการคำนวณแทนความเครียดที่อนุญาตจะถูกแนะนำ ความต้านทานการออกแบบของวัสดุ R

ประเภทของการคำนวณกำลังดัด

1. กำลังตรวจสอบการคำนวณหรือการตรวจสอบความเค้นปกติ

2. โครงการการคำนวณหรือ การเลือกส่วน

3. คำจำกัดความ ได้รับอนุญาตโหลด (คำจำกัดความ กำลังยกและหรือการดำเนินงาน ผู้ให้บริการความสามารถ)

เมื่อได้สูตรคำนวณความเค้นปกติ ให้พิจารณากรณีของการดัดงอ เมื่อแรงภายในในส่วนของลำแสงลดลงเหลือเพียง โมเมนต์ดัด, แ แรงตามขวางเป็นศูนย์. กรณีดัดนี้เรียกว่า ดัดบริสุทธิ์. พิจารณาส่วนตรงกลางของลำแสงที่มีการดัดงออย่างบริสุทธิ์

เมื่อโหลดแล้วลำแสงจะโค้งงอเพื่อให้ เส้นใยด้านล่างยาวและเส้นใยด้านบนสั้นลง

เนื่องจากส่วนหนึ่งของเส้นใยของลำแสงถูกยืดออกและบางส่วนถูกบีบอัดและเกิดการเปลี่ยนจากแรงตึงเป็นแรงอัด อย่างราบรื่นไม่มีการกระโดด, ใน กลางส่วนหนึ่งของลำแสงคือ ชั้นที่มีเส้นใยงอเท่านั้น แต่ไม่พบแรงตึงหรือการบีบอัดชั้นดังกล่าวเรียกว่า เป็นกลางชั้น. เส้นที่ชั้นกลางตัดกับส่วนตัดขวางของลำแสงเรียกว่า เส้นกลางหรือ แกนกลางส่วนต่างๆ เส้นกลางจะพันอยู่บนแกนของลำแสง เส้นกลางเป็นเส้นที่ ความเครียดปกติเป็นศูนย์

เส้นที่ลากบนพื้นผิวด้านข้างของลำแสงตั้งฉากกับแกนยังคงอยู่ แบนเมื่อดัด ข้อมูลการทดลองเหล่านี้ทำให้สามารถกำหนดที่มาของสูตรได้ สมมติฐานของส่วนแบน (สมมติฐาน). ตามสมมติฐานนี้ ส่วนของลำแสงจะแบนและตั้งฉากกับแกนก่อนจะโค้งงอ ยังคงแบนราบและตั้งฉากกับแกนงอของลำแสงเมื่อโค้งงอ

สมมติฐานสำหรับการได้มาของสูตรความเค้นปกติ: 1) เป็นไปตามสมมติฐานของส่วนแบน 2) เส้นใยตามยาวไม่กดทับกัน (สมมติฐานที่ไม่มีแรงกด) ดังนั้น เส้นใยแต่ละเส้นจึงอยู่ในสถานะความตึงหรือแรงกดในแนวแกนเดียว 3) การเสียรูปของเส้นใยไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งตามความกว้างของส่วน ดังนั้น ความเค้นปกติที่เปลี่ยนไปตามความสูงของส่วน จะยังคงเท่าเดิมตลอดความกว้าง 4) ลำแสงมีระนาบสมมาตรอย่างน้อยหนึ่งระนาบ และแรงภายนอกทั้งหมดอยู่ในระนาบนี้ 5) วัสดุของลำแสงเป็นไปตามกฎของฮุค และโมดูลัสความยืดหยุ่นของแรงตึงและแรงอัดจะเหมือนกัน 6) อัตราส่วนระหว่างขนาดของลำแสงนั้นทำงานในสภาพการดัดแบบเรียบโดยไม่บิดเบี้ยวหรือบิดเบี้ยว

พิจารณาลำแสงของส่วนที่กำหนดเอง แต่มีแกนสมมาตร โมเมนต์ดัดเป็นตัวแทน โมเมนต์ผลลัพธ์ของแรงตั้งฉากภายในเกิดขึ้นบนพื้นที่เล็กๆ อย่างอนันต์ และสามารถแสดงออกในรูปของ อินทิกรัลรูปร่าง: (1) โดยที่ y คือแขนของแรงเบื้องต้นที่สัมพันธ์กับแกน x

สูตร (1) แสดงออก คงที่ด้านปัญหาการดัดเหล็กเส้นตรงแต่ตามรู้โมเมนต์ดัด เป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดความเค้นปกติจนกว่าจะมีการกำหนดกฎการแจกแจง

เลือกคานที่อยู่ตรงกลางแล้วพิจารณา ส่วนของความยาว dz,ขึ้นอยู่กับการดัด ซูมดูกันเลย

ส่วนที่ล้อมรอบส่วน dz ขนานกันก่อนที่จะเสียรูปและหลังจากลงน้ำหนักแล้ว หมุนเส้นกลางเป็นมุม . ความยาวของส่วนของเส้นใยของชั้นกลางจะไม่เปลี่ยนแปลงและจะเท่ากับ: , มันอยู่ที่ไหน รัศมีความโค้งแกนโค้งของลำแสง แต่ใยอื่นใดโกหก ด้านล่างหรือด้านบนชั้นเป็นกลาง, จะเปลี่ยนความยาวของมัน. คำนวณ การยืดตัวสัมพัทธ์ของเส้นใยที่ระยะห่าง y จากชั้นที่เป็นกลางการยืดตัวสัมพัทธ์คืออัตราส่วนของการเสียรูปสัมบูรณ์ต่อความยาวเดิม จากนั้น:

เราลดและลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราจะได้: (2) สูตรนี้แสดงออก เรขาคณิตด้านปัญหาการดัดงอที่บริสุทธิ์: การเปลี่ยนรูปของเส้นใยเป็นสัดส่วนโดยตรงกับระยะห่างจากชั้นที่เป็นกลาง

งั้นไปต่อกันที่ ความเครียด, เช่น. เราจะพิจารณา ทางกายภาพด้านข้างของงาน ตาม สมมติฐานที่ไม่กดดันเส้นใยที่ใช้ในการบีบอัดความตึงตามแนวแกน: จากนั้นให้คำนึงถึงสูตร (2) เรามี (3), เหล่านั้น. ความเครียดปกติเมื่อดัดตามความสูงของส่วน มีการกระจายตามกฎเชิงเส้น. บนเส้นใยสุดขั้ว ความเค้นปกติถึงค่าสูงสุด และในจุดศูนย์ถ่วง ส่วนตัดขวางจะเท่ากับศูนย์ ทดแทน (3) ลงในสมการ (1) แล้วเอาเศษส่วนของเครื่องหมายปริพันธ์เป็นค่าคงที่ แล้วเราจะได้ . แต่การแสดงออกคือ โมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนของส่วนรอบแกน x - ฉัน x. มิติของมัน ซม. 4, ม. 4

แล้ว ,ที่ไหน (4) อยู่ที่ไหน ความโค้งของแกนงอของคาน a คือความฝืดของส่วนลำแสงในระหว่างการดัด

แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ ความโค้ง (4)เป็นนิพจน์ (3) และรับ สูตรคำนวณความเค้นปกติที่จุดตัดขวางใด ๆ : (5)

ที่. ขีดสุดเกิดความเครียด ที่จุดที่ไกลที่สุดจากเส้นกลางทัศนคติ (6) เรียกว่า โมดูลัสส่วนแกน. มิติของมัน ซม. 3 ม. 3. โมเมนต์ความต้านทานแสดงถึงอิทธิพลของรูปร่างและขนาดของหน้าตัดที่มีต่อขนาดของความเค้น

แล้ว แรงดันไฟฟ้าสูงสุด: (7)

สภาพกำลังดัด: (8)

ในระหว่างการดัดตามขวาง ไม่ใช่แค่ปกติแต่ยังรับแรงเฉือนด้วย, เพราะ มีอยู่ แรงเฉือน. แรงเฉือน ทำให้ภาพของการเสียรูปซับซ้อนขึ้นพวกเขานำไปสู่ ความโค้งภาพตัดขวางของลำแสงอันเป็นผลมาจากการที่ สมมติฐานของส่วนแบนถูกละเมิด. อย่างไรก็ตาม จากการศึกษาพบว่าการบิดเบี้ยวที่เกิดจากแรงเฉือน เล็กน้อยส่งผลต่อความเค้นปกติที่คำนวณโดยสูตร (5) . ดังนั้น เมื่อพิจารณาความเค้นปกติในกรณีของการดัดโค้งตามขวาง ทฤษฎีการดัดแบบบริสุทธิ์นั้นค่อนข้างใช้ได้

เส้นกลาง. คำถามเกี่ยวกับตำแหน่งของเส้นกลาง

เมื่อดัดงอไม่มีแรงตามยาวจึงเขียนได้ แทนสูตรความเค้นปกติที่นี่ (3) และรับ เนื่องจากโมดูลัสความยืดหยุ่นของวัสดุลำแสงไม่เป็นศูนย์ และแกนโค้งของลำแสงมีรัศมีความโค้งจำกัด จึงยังคงสันนิษฐานได้ว่าอินทิกรัลนี้คือ โมเมนต์คงที่ของพื้นที่ภาพตัดขวางของลำแสงที่สัมพันธ์กับแกนเส้นกลาง x และตั้งแต่ มีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นเส้นกลางจะลากผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วน

เงื่อนไข (ไม่มีโมเมนต์ของแรงภายในสัมพันธ์กับแนวสนาม) จะให้ หรือคำนึงถึง (3) . ด้วยเหตุผลเดียวกัน (ดูด้านบน) . ในอินทิกรัล - โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงของส่วนรอบแกน x และ y เป็นศูนย์, ดังนั้นแกนเหล่านี้จึงเป็น หลักและส่วนกลางและแต่งหน้า ตรงมุม. เพราะเหตุนี้, เส้นกำลังและเส้นกลางในการโค้งงอเป็นเส้นตรงจะตั้งฉากกัน

โดยการตั้งค่า ตำแหน่งเส้นกลาง, ง่ายต่อการสร้าง แผนภาพความเครียดปกติตามความสูงของส่วน ของเธอ เชิงเส้นตัวละครถูกกำหนด สมการของดีกรีแรก

ลักษณะของไดอะแกรม σ สำหรับส่วนสมมาตรเทียบกับเส้นกลาง M<0

สมมติฐานของส่วนแบนในการดัดตัวอย่างสามารถอธิบายได้: ลองใช้เส้นตารางบนพื้นผิวด้านข้างของลำแสงที่ไม่มีรูปร่างซึ่งประกอบด้วยเส้นตรงตามยาวและตามขวาง (ตั้งฉากกับแกน) อันเป็นผลมาจากการดัดของลำแสง เส้นตามยาวจะมีรูปทรงโค้ง ในขณะที่เส้นขวางจะยังคงตรงและตั้งฉากกับแกนที่โค้งงอของลำแสง

การกำหนดสมมติฐานส่วนระนาบ: ส่วนตัดขวางที่ราบเรียบและตั้งฉากกับแกนของลำแสงก่อน จะยังคงแบนและตั้งฉากกับแกนโค้งหลังจากที่ได้เปลี่ยนรูปแล้ว

เหตุการณ์นี้บ่งชี้ว่าเมื่อ สมมติฐานส่วนแบนเช่นเดียวกับและ

นอกเหนือจากสมมติฐานของส่วนแบนแล้วมีการตั้งสมมติฐาน: เส้นใยตามยาวของลำแสงไม่กดทับกันเมื่องอ

สมมติฐานของส่วนแบนและสมมติฐานเรียกว่า การคาดเดาของเบอร์นูลลี.

พิจารณาคานของหน้าตัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีการดัดงออย่างบริสุทธิ์ () มาเลือกองค์ประกอบลำแสงที่มีความยาวกันเถอะ (รูปที่ 7.8. ก) อันเป็นผลมาจากการโค้งงอส่วนตัดขวางของลำแสงจะหมุนเป็นมุม เส้นใยด้านบนมีการบีบอัดและเส้นใยด้านล่างมีความตึง รัศมีความโค้งของเส้นใยที่เป็นกลางแสดงด้วย

เราพิจารณาตามเงื่อนไขว่าเส้นใยเปลี่ยนความยาวในขณะที่ยังคงเส้นตรง (รูปที่ 7.8. b) จากนั้นการยืดตัวแบบสัมบูรณ์และสัมพัทธ์ของเส้นใยที่เว้นระยะ y จากเส้นใยที่เป็นกลาง:

ให้เราแสดงให้เห็นว่าเส้นใยตามยาวซึ่งไม่มีแรงตึงหรือแรงกดระหว่างการดัดด้วยลำแสงจะผ่านแกนกลางหลัก x

เนื่องจากความยาวของลำแสงไม่เปลี่ยนแปลงในระหว่างการดัด แรงตามยาว (N) ที่เกิดขึ้นในส่วนหน้าตัดจะต้องเป็นศูนย์ แรงตามยาวเบื้องต้น

ด้วยการแสดงออก :

ตัวคูณสามารถนำออกจากเครื่องหมายปริพันธ์ (ไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรการรวม)

นิพจน์นี้แสดงถึงภาพตัดขวางของลำแสงเทียบกับแกน x ที่เป็นกลาง มันจะเป็นศูนย์เมื่อแกนกลางเคลื่อนผ่านจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัด ดังนั้นแกนกลาง (เส้นศูนย์) เมื่อลำแสงโค้งผ่านจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัด

เห็นได้ชัดว่า โมเมนต์ดัดสัมพันธ์กับความเค้นปกติที่เกิดขึ้นที่จุดตัดขวางของแกน โมเมนต์ดัดเบื้องต้นที่เกิดจากแรงธาตุ:

,

โดยที่โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนตัดขวางเกี่ยวกับแกนกลาง x คือโมเมนต์แนวแกนของความเฉื่อยของแกนกลาง x และอัตราส่วนคือความโค้งของแกนลำแสง

ความแข็งแกร่ง คานในการดัด(ยิ่งรัศมีความโค้งยิ่งเล็ก)

สูตรผลลัพธ์ เป็นตัวแทน กฎของฮุคในการดัดแท่ง: โมเมนต์ดัดที่เกิดขึ้นในส่วนตัดขวางเป็นสัดส่วนกับความโค้งของแกนลำแสง

แสดงจากสูตรของกฎของฮุคสำหรับแท่งเมื่อดัดรัศมีความโค้ง () และแทนที่ค่าของมันในสูตร เราได้รับสูตรสำหรับความเค้นปกติ () ที่จุดที่กำหนดของส่วนตัดขวางของลำแสงโดยเว้นระยะ y จากแกนกลาง x:

ในสูตรความเค้นปกติ () ที่จุดใด ๆ ของส่วนตัดขวางของลำแสงควรแทนที่ค่าสัมบูรณ์ของโมเมนต์ดัด () และระยะห่างจากจุดไปยังแกนกลาง (พิกัด y) . ไม่ว่าความเค้นที่จุดที่กำหนดจะเป็นแรงดึงหรือแรงอัดนั้นง่ายต่อการกำหนดโดยธรรมชาติของการเสียรูปของลำแสงหรือโดยแผนภาพของโมเมนต์ดัด ซึ่งกำหนดพิกัดจากด้านข้างของเส้นใยบีบอัดของลำแสง

เห็นได้จากสูตร: ความเค้นปกติ () เปลี่ยนแปลงไปตามความสูงของหน้าตัดของลำแสงตามกฎเชิงเส้น ในรูป 7.8 มีการแสดงพล็อต ความเค้นสูงสุดระหว่างการดัดลำแสงจะเกิดขึ้นที่จุดที่ไกลที่สุดจากแกนกลาง หากมีการลากเส้นในส่วนตัดขวางของลำแสงขนานกับแกนกลาง x ความเค้นปกติแบบเดียวกันจะเกิดขึ้นที่จุดทั้งหมด

การวิเคราะห์อย่างง่าย แผนภาพความเครียดปกติแสดงว่าเมื่อคานงอ วัสดุที่อยู่ใกล้กับแกนกลางจะไม่ทำงาน ดังนั้น เพื่อลดน้ำหนักของลำแสง ขอแนะนำให้เลือกรูปทรงหน้าตัดที่วัสดุส่วนใหญ่จะถูกลบออกจากแกนกลาง เช่น โปรไฟล์ I

โค้งงอ เรียกประเภทการโหลดของแท่งซึ่งมีช่วงเวลาหนึ่งกับมันซึ่งอยู่ในระนาบที่ผ่านแกนตามยาว โมเมนต์ดัดเกิดขึ้นในหน้าตัดของคาน เมื่อดัดโค้งจะเกิดการเสียรูปซึ่งแกนของลำแสงตรงจะงอหรือความโค้งของคานโค้งเปลี่ยนไป

คานที่ทำงานดัดเรียกว่า บีม . โครงสร้างประกอบด้วยแท่งดัดหลายอันเชื่อมต่อกันบ่อยที่สุดที่มุม 90 ° กรอบ .

โค้งเรียกว่า แบนหรือตรง หากระนาบการกระทำของโหลดผ่านแกนกลางหลักของความเฉื่อยของส่วน (รูปที่ 6.1)

รูปที่ 6.1

ด้วยการดัดโค้งตามขวางในลำแสง แรงภายในสองประเภทเกิดขึ้น: แรงตามขวาง คิวและโมเมนต์ดัด เอ็ม. ในเฟรมที่มีการดัดตามขวางแบบแบนจะมีแรงสามอย่างเกิดขึ้น: ตามยาว นู๋, ขวาง คิวแรงและโมเมนต์ดัด เอ็ม.

หากโมเมนต์ดัดเป็นปัจจัยแรงภายในเพียงอย่างเดียว การโค้งงอดังกล่าวจะเรียกว่า ทำความสะอาด (fig.6.2) เมื่อมีแรงตามขวางเรียกว่าโค้งงอ ตามขวาง . พูดอย่างเคร่งครัด เฉพาะการดัดงอที่บริสุทธิ์เท่านั้นที่เป็นของความต้านทานแบบธรรมดา การดัดตามขวางหมายถึงความต้านทานประเภทง่าย ๆ เนื่องจากในกรณีส่วนใหญ่ (สำหรับคานที่ยาวเพียงพอ) การกระทำของแรงตามขวางสามารถละเลยในการคำนวณกำลัง

22.โค้งงอตามขวาง การพึ่งพาอาศัยกันระหว่างแรงภายในและแรงภายนอกระหว่างโมเมนต์ดัด แรงตามขวางและความเข้มของโหลดแบบกระจาย มีการพึ่งพาดิฟเฟอเรนเชียลตามทฤษฎีบท Zhuravsky ซึ่งตั้งชื่อตามวิศวกรสะพานชาวรัสเซีย D.I. Zhuravsky (1821-1891)

ทฤษฎีบทนี้มีสูตรดังนี้:

แรงตามขวางเท่ากับอนุพันธ์อันดับแรกของโมเมนต์ดัดตาม abscissa ของส่วนคาน

23. โค้งงอตามขวาง การสร้างไดอะแกรมของแรงตามขวางและโมเมนต์ดัด การหาค่าแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด - ส่วนที่ 1

เราทิ้งด้านขวาของลำแสงและแทนที่การกระทำทางด้านซ้ายด้วยแรงตามขวางและโมเมนต์ดัด เพื่อความสะดวกในการคำนวณเราปิดด้านขวาของลำแสงที่ถูกทิ้งด้วยกระดาษหนึ่งแผ่นโดยจัดแนวขอบด้านซ้ายของแผ่นงานกับส่วนที่ 1 ที่พิจารณา

แรงตามขวางในส่วนที่ 1 ของลำแสงเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของแรงภายนอกทั้งหมดที่มองเห็นได้หลังจากปิด

เราเห็นเฉพาะปฏิกิริยาขาลงของแนวรับ ดังนั้น แรงตามขวางคือ:

กิโลนิวตัน

เราใช้เครื่องหมายลบเพราะแรงหมุนส่วนที่มองเห็นได้ของลำแสงสัมพันธ์กับส่วนแรกทวนเข็มนาฬิกา (หรือเพราะมันมีทิศทางเท่ากันกับทิศทางของแรงตามขวางตามกฎของเครื่องหมาย)

โมเมนต์ดัดในส่วนที่ 1 ของบีมมีค่าเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของโมเมนต์ของความพยายามทั้งหมดที่เราเห็นหลังจากปิดส่วนที่ทิ้งของบีม สัมพันธ์กับส่วนที่ 1 ที่พิจารณา

เราเห็นความพยายามสองอย่าง: ปฏิกิริยาของแนวรับและโมเมนต์ M อย่างไรก็ตาม แขนของแรงเกือบเป็นศูนย์ ดังนั้นโมเมนต์ดัดคือ:

kN m

ที่นี่เราใช้เครื่องหมายบวกเพราะโมเมนต์ภายนอก M โค้งส่วนที่มองเห็นได้ของลำแสงด้วยการนูนลง (หรือเพราะมันอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของโมเมนต์ดัดตามกฎของสัญญาณ)

การหาค่าแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด - ส่วนที่ 2

ตรงกันข้ามกับส่วนแรก แรงปฏิกิริยามีไหล่เท่ากับ a

แรงตามขวาง:

กิโลนิวตัน;

โมเมนต์ดัด:

การหาค่าแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด - ส่วนที่ 3

แรงตามขวาง:

โมเมนต์ดัด:

การหาค่าแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด - ส่วนที่ 4

ตอนนี้สบายขึ้น คลุมด้านซ้ายของคานด้วยใบไม้.

แรงตามขวาง:

โมเมนต์ดัด:

การหาค่าแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด - ส่วนที่ 5

แรงตามขวาง:

โมเมนต์ดัด:

การหาค่าแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด - ส่วนที่ 1

แรงตามขวางและโมเมนต์ดัด:

.

จากค่าที่พบ เราสร้างไดอะแกรมของแรงตามขวาง (รูปที่ 7.7, b) และโมเมนต์ดัด (รูปที่ 7.7, c)

การควบคุมการก่อสร้างที่ถูกต้องของฟิสิกส์

เราจะตรวจสอบความถูกต้องของการสร้างไดอะแกรมตามคุณสมบัติภายนอกโดยใช้กฎสำหรับการสร้างไดอะแกรม

การตรวจสอบพล็อตแรงเฉือน

เรามั่นใจ: ภายใต้ส่วนที่ไม่ได้บรรจุ ไดอะแกรมของแรงตามขวางจะขนานกับแกนของลำแสง และภายใต้โหลดแบบกระจาย q ตามแนวเส้นตรงที่เอียงลง มีการกระโดดสามครั้งบนแผนภาพแรงตามยาว: ภายใต้ปฏิกิริยา - ลดลง 15 kN ภายใต้แรง P - ลดลง 20 kN และภายใต้ปฏิกิริยา - เพิ่มขึ้น 75 kN

การตรวจสอบพล็อตโมเมนต์ดัด

บนไดอะแกรมของโมเมนต์ดัด เราจะเห็นการแตกภายใต้แรงเข้มข้น P และภายใต้ปฏิกิริยารองรับ มุมแตกหักมุ่งตรงไปยังแรงเหล่านี้ ภายใต้โหลดแบบกระจาย q ไดอะแกรมของโมเมนต์การดัดจะเปลี่ยนไปตามพาราโบลากำลังสอง ซึ่งความนูนจะพุ่งเข้าหาโหลด ในหัวข้อที่ 6 บนไดอะแกรมของโมเมนต์ดัดมีจุดสิ้นสุดเนื่องจากไดอะแกรมของแรงตามขวางในที่นี้ผ่านศูนย์

10.1. แนวคิดและคำจำกัดความทั่วไป

โค้งงอ- นี่คือประเภทของการโหลดที่แท่งโหลดด้วยโมเมนต์ในระนาบที่ผ่านแกนตามยาวของแกน

แท่งที่ทำงานในการดัดเรียกว่าคาน (หรือคาน) ในอนาคตเราจะพิจารณาคานตรงซึ่งหน้าตัดมีความสมมาตรอย่างน้อยหนึ่งแกน

ในความต้านทานของวัสดุ การดัดจะแบน เฉียง และซับซ้อน

โค้งแบน- การดัดซึ่งแรงทั้งหมดที่ดัดลำแสงอยู่ในระนาบสมมาตรของลำแสง (ในระนาบหลักอันใดอันหนึ่ง)

ระนาบหลักของความเฉื่อยของลำแสงคือระนาบที่ผ่านแกนหลักของส่วนตัดขวางและแกนเรขาคณิตของลำแสง (แกน x)

โค้งเฉียง- การดัดซึ่งโหลดกระทำในระนาบเดียวที่ไม่ตรงกับระนาบหลักของความเฉื่อย

โค้งที่ซับซ้อน- การดัดซึ่งโหลดกระทำในระนาบ (ตามอำเภอใจ) ที่แตกต่างกัน

10.2. การหาค่าแรงดัดภายใน

ให้เราพิจารณาสองกรณีของการดัด: ในกรณีแรกคานเท้าแขนจะงอโดยโมเมนต์เข้มข้น Mo; ในวินาทีโดยแรงเข้มข้น F.

โดยใช้วิธีการของส่วนทางจิตและรวบรวมสมการสมดุลสำหรับส่วนที่ตัดของลำแสงเรากำหนดแรงภายในในทั้งสองกรณี:

สมการดุลยภาพที่เหลือมีค่าเท่ากับศูนย์อย่างชัดเจน

ดังนั้น ในกรณีทั่วไปของการดัดแบนในส่วนของคาน จากแรงภายในหกแรง สองอันเกิดขึ้น - โมเมนต์ดัด Mz และ แรงเฉือน Qy (หรือเมื่องอแกนหลักอื่น - โมเมนต์ดัด My และแรงตามขวาง Qz)

ในกรณีนี้ ตามการพิจารณาทั้งสองกรณีของการโหลด การดัดแบบแบนสามารถแบ่งออกเป็นแบบบริสุทธิ์และแบบขวางได้

โค้งบริสุทธิ์- การดัดแบบแบนซึ่งมีแรงภายในเพียงหนึ่งในหกที่เกิดขึ้นในส่วนของแท่ง - โมเมนต์ดัด (ดูกรณีแรก)

โค้งตามขวาง- การดัดซึ่งนอกเหนือไปจากโมเมนต์ดัดภายในแล้วแรงตามขวางยังเกิดขึ้นในส่วนของแกน (ดูกรณีที่สอง)

พูดอย่างเคร่งครัด เฉพาะการดัดงอที่บริสุทธิ์เท่านั้นที่เป็นของความต้านทานแบบธรรมดา การดัดตามขวางหมายถึงความต้านทานประเภทง่าย ๆ เนื่องจากในกรณีส่วนใหญ่ (สำหรับคานที่ยาวเพียงพอ) การกระทำของแรงตามขวางสามารถละเลยในการคำนวณกำลัง

เมื่อกำหนดกำลังภายใน เราจะปฏิบัติตามกฎสัญญาณต่อไปนี้:

1) แรงตามขวาง Qy ถือเป็นค่าบวก หากมีแนวโน้มว่าจะหมุนองค์ประกอบลำแสงตามเข็มนาฬิกา

2) โมเมนต์ดัด Mz ถือเป็นค่าบวก หากเมื่อองค์ประกอบลำแสงโค้งงอ เส้นใยด้านบนขององค์ประกอบถูกบีบอัด และเส้นใยด้านล่างถูกยืดออก (กฎร่ม)

ดังนั้นการแก้ปัญหาการกำหนดแรงภายในในระหว่างการดัดจะถูกสร้างขึ้นตามแผนต่อไปนี้: 1) ในขั้นตอนแรกเมื่อพิจารณาสภาวะสมดุลของโครงสร้างโดยรวมเราจะพิจารณาว่าปฏิกิริยาที่ไม่รู้จักหากจำเป็น ของตัวรองรับ (โปรดทราบว่าสำหรับคานแบบ cantilever ปฏิกิริยาในการฝังสามารถและไม่พบหากเราพิจารณาลำแสงจากปลายอิสระ); 2) ในขั้นตอนที่สอง เราเลือกส่วนที่มีลักษณะเฉพาะของลำแสง โดยพิจารณาจากขอบเขตของส่วน จุดที่ใช้แรง จุดเปลี่ยนรูปร่างหรือขนาดของลำแสง จุดยึดลำแสง 3) ในขั้นตอนที่สาม เรากำหนดแรงภายในในส่วนของลำแสง โดยพิจารณาจากสภาวะสมดุลขององค์ประกอบลำแสงในแต่ละส่วน

10.3. การพึ่งพาอาศัยกันในการดัดงอ

ให้เราสร้างความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างแรงภายในและแรงดัดงอภายนอก ตลอดจนคุณลักษณะเฉพาะของไดอะแกรม Q และ M ความรู้ที่จะอำนวยความสะดวกในการสร้างไดอะแกรมและช่วยให้คุณควบคุมความถูกต้องได้ เพื่อความสะดวกของสัญกรณ์ เราจะแสดงว่า: M≡Mz, Q≡Qy

มาจัดสรรองค์ประกอบขนาดเล็ก dx ในส่วนของลำแสงที่มีโหลดตามอำเภอใจในสถานที่ที่ไม่มีแรงและโมเมนต์เข้มข้น เนื่องจากลำแสงทั้งหมดอยู่ในสภาวะสมดุล องค์ประกอบ dx จะยังอยู่ในสภาวะสมดุลภายใต้การกระทำของแรงตามขวางที่กระทำกับมัน โมเมนต์ดัด และโหลดภายนอก เนื่องจาก Q และ M มักจะแตกต่างกันไปตาม

แกนของลำแสงจากนั้นในส่วนขององค์ประกอบ dx จะมีแรงตามขวาง Q และ Q + dQ เช่นเดียวกับโมเมนต์ดัด M และ M + dM จากสภาวะสมดุลขององค์ประกอบที่เลือก เราได้รับ

สมการแรกจากสองสมการที่เขียนให้เงื่อนไข

จากสมการที่สอง โดยละเลยเทอม q dx (dx/2) เป็นปริมาณที่น้อยมากของลำดับที่สอง เราพบว่า

เมื่อพิจารณานิพจน์ (10.1) และ (10.2) ร่วมกันเราจะได้

ความสัมพันธ์ (10.1) (10.2) และ (10.3) เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียล การพึ่งพาของ D. I. Zhuravsky ในการดัด

การวิเคราะห์ความแตกต่างของการขึ้นต่อกันในการดัดงอช่วยให้เราสร้างคุณสมบัติบางอย่าง (กฎ) สำหรับการสร้างไดอะแกรมของโมเมนต์ดัดและแรงเฉือน: a - ในพื้นที่ที่ไม่มีโหลดแบบกระจาย q ไดอะแกรม Q ถูกจำกัดเป็นเส้นตรงขนานกับ ฐานและไดอะแกรม M เป็นเส้นตรงลาดเอียง b - ในส่วนที่ใช้โหลดแบบกระจาย q กับลำแสง ไดอะแกรม Q ถูกจำกัดด้วยเส้นตรงที่ลาดเอียง และไดอะแกรม M ถูกจำกัดด้วยพาราโบลากำลังสอง

ในกรณีนี้ หากเราสร้างไดอะแกรม M "บนเส้นใยยืด" ความนูนของพาราโบลาจะถูกส่งไปในทิศทางของการกระทำของ q และส่วนปลายจะอยู่ในส่วนที่แผนภาพ Q ตัดกับฐาน ไลน์; ค - ในส่วนที่ใช้แรงเข้มข้นกับลำแสงบนไดอะแกรม Q จะมีการกระโดดตามค่าและในทิศทางของแรงนี้และบนไดอะแกรม M มีการหักเห ปลายพุ่งไปในทิศทางนี้ บังคับ; d - ในส่วนที่ใช้โมเมนต์เข้มข้นกับลำแสง จะไม่มีการเปลี่ยนแปลงบนไดอะแกรม Q และบนไดอะแกรม M จะมีการกระโดดตามค่าของช่วงเวลานี้ e - ในส่วนที่ Q>0 ช่วงเวลาที่ M เพิ่มขึ้น และในส่วนที่ Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. ความเค้นปกติในการดัดโค้งบริสุทธิ์ของลำแสงตรง

ให้เราพิจารณากรณีของการดัดงอของลำแสงในระนาบบริสุทธิ์และหาสูตรสำหรับกำหนดความเค้นปกติสำหรับกรณีนี้

โปรดทราบว่าในทฤษฎีความยืดหยุ่น เป็นไปได้ที่จะได้รับการพึ่งพาที่แน่นอนสำหรับความเค้นปกติในการดัดงอแบบบริสุทธิ์ แต่ถ้าปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดยวิธีการต้านทานของวัสดุ จำเป็นต้องแนะนำสมมติฐานบางประการ

มีสามสมมติฐานดังกล่าวสำหรับการดัด:

a - สมมติฐานของส่วนแบน (สมมติฐานของ Bernoulli) - ส่วนจะแบนก่อนการเสียรูปและยังคงแบนหลังจากการเสียรูป แต่จะหมุนรอบเส้นบางเส้นเท่านั้นซึ่งเรียกว่าแกนกลางของส่วนลำแสง ในกรณีนี้เส้นใยของลำแสงที่วางอยู่บนด้านหนึ่งของแกนกลางจะถูกยืดออกและอีกด้านหนึ่งจะถูกบีบอัด เส้นใยที่วางอยู่บนแกนกลางจะไม่เปลี่ยนความยาว

b - สมมติฐานความคงตัวของความเค้นปกติ - ความเค้นที่กระทำในระยะห่างเท่ากัน y จากแกนกลางจะคงที่ตลอดความกว้างของลำแสง

c – สมมติฐานเกี่ยวกับการไม่มีแรงกดด้านข้าง – เส้นใยตามยาวที่อยู่ใกล้เคียงไม่กดทับกัน

ด้านคงที่ของปัญหา

ในการพิจารณาความเค้นในส่วนตัดขวางของลำแสง ก่อนอื่นให้พิจารณาด้านคงที่ของปัญหา ใช้วิธีการแบ่งส่วนทางจิตและรวบรวมสมการดุลยภาพสำหรับส่วนที่ตัดของลำแสง เราพบแรงภายในระหว่างการดัด ดังที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้ แรงภายในเพียงอย่างเดียวที่กระทำในส่วนของแท่งเหล็กที่มีการดัดงอแบบบริสุทธิ์คือโมเมนต์ดัดภายใน ซึ่งหมายความว่าความเค้นปกติที่เกี่ยวข้องจะเกิดขึ้นที่นี่

เราพบความสัมพันธ์ระหว่างแรงภายในและความเค้นปกติในส่วนคานโดยพิจารณาความเค้นบนพื้นที่เบื้องต้น dA ที่เลือกไว้ในส่วนตัดขวาง A ของลำแสงที่จุดที่มีพิกัด y และ z (แกน y จะชี้ลงด้านล่างอย่างง่ายดาย ของการวิเคราะห์):

อย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่าปัญหานั้นไม่แน่นอนในเชิงสถิตภายใน เนื่องจากไม่ทราบธรรมชาติของการกระจายตัวของความเค้นปกติบนหน้าตัดขวาง ในการแก้ปัญหา ให้พิจารณารูปแบบทางเรขาคณิตของการเสียรูป

ด้านเรขาคณิตของปัญหา

พิจารณาการเสียรูปขององค์ประกอบลำแสงที่มีความยาว dx ที่เลือกจากแกนดัดที่จุดใดก็ได้ด้วยพิกัด x โดยคำนึงถึงสมมติฐานที่ยอมรับก่อนหน้านี้ของส่วนแบนหลังจากดัดส่วนลำแสงแล้วหมุนสัมพันธ์กับแกนกลาง (n.r. ) ด้วยมุมdϕในขณะที่เส้นใย ab ซึ่งอยู่ห่างจากแกนกลาง y จะกลายเป็น ส่วนโค้งวงกลม a1b1 และความยาวของมันจะเปลี่ยนไปตามขนาด ที่นี่เราจำได้ว่าความยาวของเส้นใยที่วางอยู่บนแกนกลางจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นส่วนโค้ง a0b0 (รัศมีความโค้งที่เราแสดงด้วย ρ) จะมีความยาวเท่ากับส่วน a0b0 ก่อนการเสียรูป a0b0=dx

ให้เราหาการเสียรูปเชิงเส้นสัมพัทธ์ εx ของเส้นใย ab ของคานโค้ง