Parallelogramera alla formler och egenskaper. Forskningsprojekt "parallellogram och dess egenskaper"

Begreppet parallellogram

Definition 1

Parallellogramär en fyrhörning där motsatta sidor är parallella med varandra (fig. 1).

Bild 1.

Ett parallellogram har två huvudegenskaper. Låt oss betrakta dem utan bevis.

Egendom 1: Motsatta sidor och vinklar i ett parallellogram är lika med varandra.

Egendom 2: Diagonaler ritade i ett parallellogram halveras av deras skärningspunkt.

Parallelogramfunktioner

Betrakta tre egenskaper hos ett parallellogram och presentera dem i form av satser.

Sats 1

Om två sidor av en fyrhörning är lika med varandra och också parallella, kommer denna fyrhörning att vara ett parallellogram.

Bevis.

Låt oss ges en fyrhörning $ABCD$. I vilka $AB||CD$ och $AB=CD$ Låt oss rita en diagonal $AC$ i den (fig. 2).

Figur 2.

Betrakta parallella linjer $AB$ och $CD$ och deras sekant $AC$. Sedan

\[\angle CAB=\angle DCA\]

som tvärgående hörn.

Enligt $I$-kriteriet för trianglars likhet,

eftersom $AC$ är deras gemensamma sida, och $AB=CD$ av antagande. Innebär att

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Betrakta linjerna $AD$ och $CB$ och deras sekant $AC$; med den sista likheten mellan de tvärliggande vinklarna får vi $AD||CB$.) Därför, enligt definitionen av $1$, denna fyrhörning är ett parallellogram.

Teoremet har bevisats.

Sats 2

Om motsatta sidor av en fyrhörning är lika, så är det ett parallellogram.

Bevis.

Låt oss ges en fyrhörning $ABCD$. I vilka $AD=BC$ och $AB=CD$. Låt oss rita en diagonal $AC$ i den (fig. 3).

Figur 3

Eftersom $AD=BC$, $AB=CD$, och $AC$ är en vanlig sida, då med $III$ triangellikhetstestet,

\[\triangel DAC=\triangel ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Betrakta linjerna $AD$ och $CB$ och deras sekant $AC$, med den sista likheten mellan de korsliggande vinklarna får vi $AD||CB$. Därför, enligt definitionen av $1$, är denna fyrhörning ett parallellogram.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Betrakta linjerna $AB$ och $CD$ och deras sekant $AC$, med den sista likheten av de korsliggande vinklarna får vi $AB||CD$. Därför, enligt definition 1, är denna fyrhörning ett parallellogram.

Teoremet har bevisats.

Sats 3

Om diagonalerna som ritas i en fyrhörning är uppdelade i två lika delar genom sin skärningspunkt, så är denna fyrhörning ett parallellogram.

Bevis.

Låt oss ges en fyrhörning $ABCD$. Låt oss rita diagonalerna $AC$ och $BD$ i den. Låt dem skära varandra vid punkten $O$ (Fig. 4).

Bild 4

Eftersom, genom villkoret $BO=OD,\ AO=OC$, och vinklarna $\angle COB=\angle DOA$ är vertikala, då, enligt $I$ triangellikhetstestet,

\[\triangel BOC=\triangel AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Betrakta linjerna $BC$ och $AD$ och deras sekant $BD$, med den sista likheten av de korsliggande vinklarna får vi $BC||AD$. Även $BC=AD$. Därför, enligt sats $1$, är denna fyrhörning ett parallellogram.

1. Definition av ett parallellogram.

Om vi skär ett par parallella linjer med ett annat par parallella linjer får vi en fyrhörning vars motsatta sidor är parvis parallella.

I fyrhörningarna ABDC och EFNM (Fig. 224) BD || AC och AB || CD;

EF || MN och EM || F.N.

En fyrhörning vars motsatta sidor är parvis parallella kallas ett parallellogram.

2. Egenskaper för ett parallellogram.

Sats. Diagonalen på ett parallellogram delar det i två lika triangel.

Låt det finnas ett parallellogram ABDC (Fig. 225) där AB || CD och AC || BD.

Det krävs för att bevisa att diagonalen delar den i två lika trianglar.

Låt oss rita en diagonal CB i parallellogrammet ABDC. Låt oss bevisa att $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

NE-sidan är gemensam för dessa trianglar; ∠ABC = ∠BCD, som inre tvärliggande vinklar med parallella AB och CD och sekant CB; ∠ACB = ∠CBD, samma som interna tvärliggande vinklar med parallell AC och BD och sekant CB.

Därav $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

På samma sätt kan man bevisa att diagonalen AD delar parallellogrammet i två lika trianglar ACD och ABD.

Konsekvenser:

1 . Motsatta vinklar på ett parallellogram är lika.

∠A = ∠D, detta följer av likheten mellan trianglarna CAB och CDB.

På liknande sätt är ∠C = ∠B.

2. Motsatta sidor av ett parallellogram är lika.

AB \u003d CD och AC \u003d BD, eftersom dessa är sidor av lika trianglar och ligger mitt emot lika vinklar.

Sats 2. Diagonalerna i ett parallellogram är delade i skärningspunkten.

Låt BC och AD vara diagonalerna för parallellogrammet ABDC (Fig. 226). Låt oss bevisa att AO = OD och CO = OB.

För att göra detta, låt oss jämföra ett par motsatta trianglar, till exempel $\Delta$AOB och $\Delta$COD.

I dessa trianglar AB = CD, som motsatta sidor av ett parallellogram;

∠1 = ∠2, som inre vinklar korsvis liggande vid parallella AB och CD och sekant AD;

∠3 = ∠4 av samma anledning, eftersom AB || CD och CB är deras sekant.

Det följer att $\Delta$AOB = $\Delta$COD. Och i lika trianglar är motsatta lika vinklar lika sidor. Därför är AO = OD och CO = OB.

Sats 3. Summan av vinklarna intill en sida av parallellogrammet är lika med 180°.

Rita en diagonal AC i parallellogram ABCD och få två trianglar ABC och ADC.

Trianglarna är kongruenta eftersom ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (korsliggande vinklar vid parallella linjer), och sidan AC är vanlig.
Jämlikheten $\Delta$ABC = $\Delta$ADC innebär att AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Summan av vinklarna intill en sida, till exempel vinklarna A och D, är lika med 180 ° som ensidig med parallella linjer.

Ett parallellogram är en fyrhörning vars motsatta sidor är parvis parallella. Följande figur visar parallellogram ABCD. Den har sidan AB parallell med sidan CD och sidan BC parallell med sidan AD.

Som du kanske har gissat är ett parallellogram en konvex fyrhörning. Tänk på de grundläggande egenskaperna hos ett parallellogram.

Parallelogramegenskaper

1. I ett parallellogram motsatta hörn och motsatta sidor är lika. Låt oss bevisa denna egenskap - överväg parallellogrammet som visas i följande figur.

Diagonal BD delar in den i två lika trianglar: ABD och CBD. De är lika i sidan BD och två vinklar intill den, eftersom vinklarna som ligger vid sekanten av BD är parallella linjer BC och AD respektive AB och CD. Därför är AB = CD och
BC=AD. Och av likheten mellan vinklarna 1, 2,3 och 4 följer att vinkel A = vinkel1 + vinkel3 = vinkel2 + vinkel4 = vinkel C.

2. Parallellogrammets diagonaler halveras av skärningspunkten. Låt punkten O vara skärningspunkten för diagonalerna AC och BD i parallellogrammet ABCD.

Då är triangeln AOB och triangeln COD lika med varandra, längs sidan och två vinklar intill den. (AB=CD eftersom de är motsatta sidor av parallellogrammet. Och vinkel1 = vinkel2 och vinkel3 = vinkel4 som tvärliggande vinklar vid skärningspunkten mellan linjerna AB och CD av sekanterna AC respektive BD.) Av detta följer att AO = OC och OB = OD, vilket och behövde bevisas.

Alla huvudegenskaper illustreras i följande tre figurer.

Ett parallellogram är en fyrhörning vars motsatta sidor är parvis parallella. Denna definition är redan tillräcklig, eftersom de återstående egenskaperna hos ett parallellogram följer av det och bevisas i form av satser.

Huvudegenskaperna hos ett parallellogram är:

ett parallellogram är en konvex fyrhörning;
ett parallellogram har motsatta sidor lika i par;
ett parallellogram har motsatta vinklar som är lika parvis;
diagonalerna i ett parallellogram delas av skärningspunkten.

Parallelogram - en konvex fyrhörning

Låt oss först bevisa satsen att ett parallellogram är en konvex fyrhörning. En polygon är konvex när vilken sida av den än sträcks ut till en rät linje, alla andra sidor av polygonen kommer att vara på samma sida av denna räta linje.

Låt ett parallellogram ABCD ges, där AB är motsatt sida för CD och BC är motsatt sida för AD. Sedan följer av definitionen av ett parallellogram att AB || CD, BC || AD.

Parallella segment har inte gemensamma punkter, de skär sig inte. Det betyder att CD ligger på ena sidan av AB. Eftersom segment BC förbinder punkt B i segment AB med punkt C i segment CD, och segment AD förbinder andra punkter AB och CD, ligger segmenten BC och AD också på samma sida av linje AB, där CD ligger. Således ligger alla tre sidorna - CD, BC, AD - på samma sida av AB.

På samma sätt är det bevisat att med avseende på de andra sidorna av parallellogrammet ligger de andra tre sidorna på samma sida.

Motsatta sidor och vinklar är lika

En av egenskaperna hos ett parallellogram är att i ett parallellogram är motsatta sidor och motstående vinklar lika. Till exempel, om ett parallellogram ABCD ges, så har det AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Denna sats bevisas enligt följande.

Ett parallellogram är en fyrhörning. Så den har två diagonaler. Eftersom ett parallellogram är en konvex fyrhörning, delar någon av dem upp den i två trianglar. Betrakta trianglarna ABC och ADC i parallellogrammet ABCD som erhålls genom att rita diagonalen AC.

Dessa trianglar har en sida gemensam - AC. Vinkeln BCA är lika med vinkeln CAD, liksom vertikalerna med parallella BC och AD. Vinklarna BAC och ACD är också lika, liksom de vertikala vinklarna när AB och CD är parallella. Därför är ∆ABC = ∆ADC över två vinklar och sidan mellan dem.

I dessa trianglar motsvarar sidan AB sidan CD och sidan BC motsvarar AD. Därför är AB = CD och BC = AD.

Vinkel B motsvarar vinkel D, dvs ∠B = ∠D. Vinkel A för ett parallellogram är summan av två vinklar - ∠BAC och ∠CAD. Vinkeln C är lika med består av ∠BCA och ∠ACD. Eftersom vinkelparen är lika med varandra så är ∠A = ∠C.

Således är det bevisat att i ett parallellogram är motsatta sidor och vinklar lika.

Diagonaler halverade

Eftersom ett parallellogram är en konvex fyrhörning har den två två diagonaler och de skär varandra. Låt ett parallellogram ABCD ges, dess diagonaler AC och BD skär varandra i en punkt E. Betrakta trianglarna ABE och CDE som bildas av dem.

Dessa trianglar har sidorna AB och CD lika som motsatta sidor av ett parallellogram. Vinkeln ABE är lika med vinkeln CDE eftersom de ligger över parallella linjer AB och CD. Av samma anledning är ∠BAE = ∠DCE. Därför är ∆ABE = ∆CDE över två vinklar och sidan mellan dem.

Du kan också märka att vinklarna AEB och CED är vertikala, och därför också lika med varandra.

Eftersom trianglarna ABE och CDE är lika med varandra, så är alla deras motsvarande element också. Sidan AE på den första triangeln motsvarar sidan CE på den andra, så AE = CE. På liknande sätt är BE = DE. Varje par av lika segment utgör parallellogrammets diagonal. Det är alltså bevisat att diagonalerna i ett parallellogram delas av skärningspunkten.

I dagens lektion kommer vi att upprepa huvudegenskaperna för ett parallellogram, och sedan kommer vi att uppmärksamma övervägandet av de två första funktionerna i ett parallellogram och bevisa dem. Låt oss under bevisningen komma ihåg tillämpningen av trianglarnas likhetstecken, som vi studerade förra året och upprepade i den första lektionen. I slutet kommer ett exempel att ges på tillämpningen av de studerade egenskaperna hos ett parallellogram.

Tema: Quadrangles

Lektion: Tecken på ett parallellogram

Låt oss börja med att påminna om definitionen av ett parallellogram.

Definition. Parallellogram- en fyrhörning där varannan motsatt sida är parallell (se fig. 1).

Ris. 1. Parallelogram

Låt oss komma ihåg grundläggande egenskaper hos ett parallellogram:

För att kunna använda alla dessa egenskaper är det nödvändigt att vara säker på att figuren om vilken i fråga, är ett parallellogram. För att göra detta måste du känna till sådana fakta som tecknen på ett parallellogram. Vi kommer att överväga de två första av dem idag.

Sats. Den första egenskapen i ett parallellogram. Om i en fyrhörning två motsatta sidor är lika och parallella, så är denna fyrhörning det parallellogram. .

Ris. 2. Det första tecknet på ett parallellogram

Bevis. Låt oss rita en diagonal i fyrhörningen (se fig. 2), hon delade upp den i två trianglar. Låt oss skriva ner vad vi vet om dessa trianglar:

enligt trianglarnas första tecken på likhet.

Av likheten mellan dessa trianglar följer att, på grundval av parallelliteten mellan linjerna vid skärningspunkten mellan deras sekant. Vi har det:

Bevisat.

Sats. Det andra tecknet på ett parallellogram. Om i en fyrhörning var två motsatta sidor är lika, så är denna fyrhörning parallellogram. .

Ris. 3. Det andra tecknet på ett parallellogram

Bevis. Låt oss rita en diagonal i fyrhörningen (se fig. 3), den delar upp den i två trianglar. Låt oss skriva ner vad vi vet om dessa trianglar, baserat på formuleringen av satsen:

enligt det tredje kriteriet för trianglars likhet.