Eksponentiškumas, taisyklės, pavyzdžiai. Laipsnis ir jo savybės

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote abrakadabra, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių, kuriame rasite naudingiausią šaltinį

Kam reikalingi laipsniai? Kur tau jų reikia? Kodėl reikia skirti laiko jų studijavimui?

Norėdami sužinoti viską apie laipsnius, kam jie skirti, kaip panaudoti savo žinias kasdieniame gyvenime, perskaitykite šį straipsnį.

Ir, žinoma, laipsnių žinojimas priartins jus prie sėkmingo OGE arba Vieningojo valstybinio egzamino išlaikymo ir įstojimo į svajonių universitetą.

Eime... (Eime!)

PIRMAS LYGIS

Eksponentinis didinimas yra ta pati matematinė operacija kaip sudėtis, atimtis, daugyba ar dalyba.

Dabar viską paaiškinsiu žmonių kalba, naudodamas labai paprastus pavyzdžius. Būk atsargus. Pavyzdžiai yra elementarūs, bet paaiškina svarbius dalykus.

Pradėkime nuo papildymo.

Nėra čia ką aiškinti. Jūs jau viską žinote: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek kolos? Teisingai – 16 butelių.

Dabar daugyba.

Tą patį pavyzdį su kola galima parašyti kitaip: . Matematikai yra gudrūs ir tingūs žmonės. Pirmiausia jie pastebi kai kuriuos modelius, o tada sugalvoja, kaip juos greičiau „suskaičiuoti“. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo tiek pat butelių kolos ir sugalvojo techniką, vadinamą daugyba. Sutikite, manoma, kad tai lengviau ir greičiau nei.

Taigi, norint suskaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, tereikia atsiminti daugybos lentelę. Žinoma, viską galima daryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet…

Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.

Ir dar vienas gražesnis:

O kokių dar gudrių skaičiavimo gudrybių sugalvojo tingūs matematikai? Teisingai - skaičiaus pakėlimas į laipsnį.

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį

Jei jums reikia skaičių padauginti iš savęs penkis kartus, tada matematikai sako, kad jums reikia pakelti šį skaičių iki penktos laipsnio. Pavyzdžiui, . Matematikai prisimena, kad nuo dviejų iki penktos galios yra. Ir tokias problemas jie išsprendžia mintyse – greičiau, lengviau ir be klaidų.

Norėdami tai padaryti, jums tereikia prisiminkite, kas skaičių galių lentelėje paryškinta spalva. Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.

Beje, kodėl vadinamas antrasis laipsnis kvadratas skaičiai, o trečiasis kubas? Ką tai reiškia? Labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratų, ir kubelių.

1 pavyzdys realiame gyvenime

Pradėkime nuo kvadrato arba antrosios skaičiaus laipsnio.

Įsivaizduokite kvadratinį baseiną, kurio matmenys yra metrai metrais. Baseinas yra jūsų kieme. Karšta ir aš labai noriu maudytis. Bet ... baseinas be dugno! Baseino dugną būtina iškloti plytelėmis. Kiek plytelių jums reikia? Norėdami tai nustatyti, turite žinoti baseino dugno plotą.

Galite tiesiog bakstelėję pirštu suskaičiuoti, kad baseino dugną sudaro metras po metro kubeliai. Jei jūsų plytelės yra metras po metro, jums reikės vienetų. Tai lengva... Bet kur tu matei tokią plytelę? Plytelė greičiau bus cm po cm, o tada jus kankins „skaičiuoti pirštu“. Tada reikia daugintis. Taigi vienoje baseino dugno pusėje klijuosime plyteles (gabalėlius), o kitoje – taip pat plyteles. Padauginus iš, gausite plyteles ().

Ar pastebėjote, kad tą patį skaičių padauginome iš savęs, norėdami nustatyti baseino dugno plotą? Ką tai reiškia? Kadangi tas pats skaičius padauginamas, galime naudoti eksponencijos techniką. (Žinoma, kai turi tik du skaičius, vis tiek reikia juos padauginti arba pakelti iki laipsnio. Bet jei jų daug, tai kelti iki laipsnio daug lengviau, o skaičiavimuose klaidų taip pat mažiau. Egzaminui tai labai svarbu).
Taigi, trisdešimties iki antrojo laipsnio bus (). Arba galite pasakyti, kad bus trisdešimt kvadratų. Kitaip tariant, antrąją skaičiaus laipsnį visada galima pavaizduoti kaip kvadratą. Ir atvirkščiai, jei matote kvadratą, tai VISADA yra antroji kokio nors skaičiaus laipsnė. Kvadratas yra antrosios skaičiaus laipsnio vaizdas.

2 realaus gyvenimo pavyzdys

Štai jums užduotis: suskaičiuokite, kiek langelių yra šachmatų lentoje, naudodami skaičiaus kvadratą... Vienoje langelių pusėje ir kitoje. Norint suskaičiuoti jų skaičių, reikia aštuonis padauginti iš aštuonių arba ... jei pastebite, kad šachmatų lenta yra kvadratas su kraštine, tuomet galite kvadratu aštuonis. Gaukite ląstelių. () Taigi?

3 pavyzdys realiame gyvenime

Dabar kubas arba trečioji skaičiaus laipsnė. Tas pats baseinas. Tačiau dabar reikia išsiaiškinti, kiek vandens teks įpilti į šį baseiną. Reikia apskaičiuoti tūrį. (Tūriai ir skysčiai, beje, matuojami kubiniais metrais. Netikėta, tiesa?) Nubraižykite baseiną: metro dydžio ir metro gylio dugną ir pabandykite suskaičiuoti, kiek metras po metro kubelių pateks į jūsų baseiną.

Tiesiog parodyk pirštu ir skaičiuok! Vienas, du, trys, keturi...dvidešimt du, dvidešimt trys... Kiek išėjo? Ar nepasiklydo? Ar sunku suskaičiuoti pirštu? Taigi tai! Paimkite pavyzdį iš matematikų. Jie yra tinginiai, todėl pastebėjo, kad norint apskaičiuoti baseino tūrį, reikia jo ilgį, plotį ir aukštį padauginti vieną iš kito. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams... Lengviau, tiesa?

Dabar įsivaizduokite, kokie tingūs ir gudrūs yra matematikai, jei jie tai daro pernelyg lengvą. Sumažino viską iki vieno veiksmo. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs ir kad tas pats skaičius padauginamas iš savęs... O ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite naudoti laipsnį. Taigi, ką kažkada suskaičiavote pirštu, jie padaro vienu veiksmu: trys kube yra lygūs. Tai parašyta taip:

Lieka tik įsiminti laipsnių lentelę. Nebent, žinoma, esate toks pat tingus ir gudrus kaip matematikai. Jei mėgstate sunkiai dirbti ir klysti, galite ir toliau skaičiuoti pirštu.

Na, o tam, kad pagaliau jus įtikintumėte, jog laipsnius sugalvojo palaidūnai ir gudruoliai, norėdami išspręsti savo gyvenimo problemas, o ne jums pridaryti problemų, pateikiame dar porą pavyzdžių iš gyvenimo.

4 pavyzdys realiame gyvenime

Jūs turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną milijoną uždirbate po vieną milijoną. Tai yra, kiekvienas jūsų milijonas kiekvienų metų pradžioje padvigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Jeigu tu dabar sėdi ir “skaičiuoji pirštu”, tai esi labai darbštus žmogus ir .. kvailas. Bet greičiausiai atsakymą pateiksite per porą sekundžių, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais – du kart du... antraisiais – kas atsitiko, dar dviem, trečiais... Stop! Pastebėjote, kad skaičius padauginamas iš savęs vieną kartą. Taigi nuo dviejų iki penktos galios yra milijonas! Dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir tas, kuris greičiau skaičiuos, gaus šiuos milijonus... Ar verta prisiminti skaičių laipsnius, ką manote?

5 pavyzdys realiame gyvenime

Tu turi milijoną. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną milijoną uždirbate dar dviem. Tai puiku, tiesa? Kiekvienas milijonas patrigubinamas. Kiek pinigų turėsi per metus? Suskaičiuokime. Pirmi metai - dauginkite iš, paskui rezultatas iš kitų... Jau nuobodu, nes jau viską supratai: trys padauginami iš savęs kartų. Taigi ketvirtoji galia yra milijonas. Jums tereikia atsiminti, kad nuo trijų iki ketvirtos galios yra arba.

Dabar žinote, kad padidinę skaičių iki galios, labai palengvinsite savo gyvenimą. Pažvelkime toliau, ką galite padaryti su laipsniais ir ką apie juos reikia žinoti.

Terminai ir sąvokos ... kad nesusipainiotumėte

Taigi, pirmiausia, apibrėžkime sąvokas. Ką tu manai, kas yra eksponentas? Tai labai paprasta – tai yra skaičius, kuris yra skaičiaus galios „viršuje“. Ne mokslinis, bet aiškus ir lengvai įsimenamas ...

Na, tuo pačiu ir ką toks laipsnio pagrindas? Dar paprastesnis yra skaičius, kuris yra apačioje, apačioje.

Štai nuotrauka, kad įsitikintumėte.

Na, apskritai, norint apibendrinti ir geriau atsiminti... Laipsnis su baze "" ir rodikliu "" skaitomas kaip "laipsnyje" ir rašomas taip:

Skaičiaus su natūraliuoju rodikliu galia

Tikriausiai jau atspėjote: nes rodiklis yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas yra natūralusis skaičius? Elementaru! Natūralūs skaičiai yra tie, kurie naudojami skaičiuojant surašant elementus: vienas, du, trys ... Kai skaičiuojame elementus, nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Mes taip pat nesakome „trečdalis“ ar „nulis taško penkios dešimtosios“. Tai nėra natūralūs skaičiai. Kaip manote, kokie tai skaičiai?

Tokie skaičiai kaip „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Sveiki skaičiai. Apskritai sveikieji skaičiai apima visus natūraliuosius skaičius, skaičius, priešingus natūraliems skaičiams (tai yra, paimtus su minuso ženklu) ir skaičių. Nulį lengva suprasti – tai tada, kai nieko nėra. O ką reiškia neigiami („minusiniai“) skaičiai? Tačiau jie buvo išrasti pirmiausia norėdami nurodyti skolas: jei telefone turite likutį rubliais, tai reiškia, kad esate skolingas operatoriui rublių.

Visos trupmenos yra racionalūs skaičiai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad neturi pakankamai natūralių skaičių, kad galėtų išmatuoti ilgį, svorį, plotą ir kt. Ir jie sugalvojo racionalūs numeriai... Įdomu, ar ne?

Yra ir neracionalių skaičių. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, begalinė dešimtainė trupmena. Pavyzdžiui, jei apskritimo perimetrą padalinsite iš jo skersmens, gausite neracionalų skaičių.

Santrauka:

Apibrėžkime laipsnio sąvoką, kurios eksponentas yra natūralusis skaičius (tai yra sveikasis skaičius ir teigiamas).

1. Bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau pačiam:
2. Norėdami padalyti skaičių kvadratu, padauginkite jį iš savęs:
3. Skaičius kubu reiškia jį padauginti iš savęs tris kartus:

Apibrėžimas. Padidinti skaičių iki natūralios laipsnio reiškia skaičių padauginti iš savęs kartų:
.

Laipsnio savybės

Iš kur atsirado šios savybės? Aš tau dabar parodysiu.

Pažiūrėkime, kas yra Ir ?

Pagal apibrėžimą:

Kiek daugiklių iš viso yra?

Tai labai paprasta: prie veiksnių pridėjome veiksnius, o rezultatas yra veiksniai.

Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su laipsniu laipsnis, tai yra: , kurį reikėjo įrodyti.

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas: Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi būti ta pati priežastis!
Todėl laipsnius deriname su baze, bet liekame atskiru veiksniu:

tik galių produktams!

Jokiu būdu neturėtumėte to rašyti.

2. tai yra - skaičiaus laipsnis

Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus kėlimu“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:

Prisiminkime sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti?

Bet tai netiesa, tikrai.

Laipsnis su neigiama baze

Iki šiol mes tik aptarėme, koks turėtų būti eksponentas.

Bet kas turėtų būti pagrindas?

Laipsniais nuo natūralus rodiklis pagrindas gali būti bet koks skaičius. Iš tiesų, mes galime padauginti bet kurį skaičių vienas iš kito, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar lyginiai.

Pagalvokime, kokie ženklai (" " arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? BET? ? Su pirmuoju viskas aišku: nesvarbu, kiek teigiamų skaičių padauginsime vienas su kitu, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minusas kartelį minusas duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš, paaiškėja.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ar susitvarkei?

Štai atsakymai: pirmuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas.

Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Pagrindas ne tas pats, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas!

6 praktikos pavyzdžiai

Sprendimo analizė 6 pavyzdžiai

visasįvardijame natūraliuosius skaičius, jų priešingybes (tai yra paimtus su ženklu "") ir skaičių.

teigiamas sveikasis skaičius, ir tai niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.

Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:

Kaip visada, klausiame savęs: kodėl taip yra?

Apsvarstykite tam tikrą galią su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:

Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, koks buvo -. Iš kokio skaičiaus reikia padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, toliau. Reiškia.

Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:

Pakartokime taisyklę:

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.

Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).

Viena vertus, jis turi būti lygus bet kokiam laipsniui – kad ir kiek padaugintumėte nulį iš savęs, vis tiek gausite nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius iki nulio laipsnio, jis turi būti lygus. Taigi kokia čia tiesa? Matematikai nusprendė nesikišti ir atsisakė pakelti nulį iki nulinės galios. Tai yra, dabar galime ne tik padalyti iš nulio, bet ir pakelti jį iki nulinės galios.

Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikieji skaičiai apima ir neigiamus skaičius. Kad suprastume, kas yra neigiamas laipsnis, darykime taip pat, kaip ir praeitą kartą: kokį nors normalųjį skaičių padauginame iš to paties neigiamo laipsnio:

Iš čia jau lengva išreikšti norimą:

Dabar išplečiame gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:

Taigi, suformuluokime taisyklę:

Skaičius neigiamam laipsniui yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui. Bet tuo pačiu bazė negali būti nulinė:(nes padalyti neįmanoma).

Apibendrinkime:

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Na, kaip įprasta, nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:

Savarankiško sprendimo užduočių analizė:

Žinau, žinau, skaičiai baisūs, bet per egzaminą turi būti pasiruošęs viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimą, jei nepavyko išspręsti, ir išmoksite, kaip lengvai su jais susidoroti egzamine!

Ir toliau plėskime skaičių diapazoną, „tinkamą“ kaip eksponentą.

Dabar apsvarstykite racionalūs numeriai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?

Atsakymas: visa tai gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai.

Norėdami suprasti, kas yra "dalinis laipsnis" Panagrinėkime trupmeną:

Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:

Dabar prisimink taisyklę "laipsnis į laipsnį":

Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?

Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.

Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.

Tai yra, th laipsnio šaknis yra atvirkštinė eksponencijos operacija: .

Pasirodo, kad. Akivaizdu, kad šį specialų atvejį galima pratęsti: .

Dabar pridėkite skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą nesunku gauti taikant energijos tiekimo taisyklę:

Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk šaknies negalima išgauti iš visų skaičių.

Nė vienas!

Prisiminkite taisyklę: bet koks skaičius, padidintas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai yra, iš neigiamų skaičių neįmanoma išskirti lyginio laipsnio šaknų!

O tai reiškia, kad tokių skaičių negalima pakelti iki trupmeninės laipsnio su lyginiu vardikliu, tai yra, išraiška neturi prasmės.

O išraiška?

Bet čia iškyla problema.

Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, sumažintos trupmenos, pavyzdžiui, arba.

Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, ir tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.

Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite užsirašyti. Bet kai tik užrašome indikatorių kitaip, vėl susiduriame su bėdomis: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).

Kad išvengtumėte tokių paradoksų, apsvarstykite tik teigiamas bazinis eksponentas su trupmeniniu rodikliu.

Taigi, jei:

• - natūralusis skaičius;
• yra sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsniai su racionaliuoju rodikliu yra labai naudingi transformuojant išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:

5 praktikos pavyzdžiai

5 mokymo pavyzdžių analizė

Na, o dabar – sunkiausia. Dabar analizuosime laipsnis su neracionaliuoju rodikliu.

Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnių su racionaliuoju rodikliu, išskyrus

Iš tiesų, pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur ir yra sveikieji skaičiai (ty neracionalieji skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais.

Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus;

...nulinė galia- tai tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „paruošimas skaičius“, būtent skaičius;

...neigiamo sveikojo skaičiaus rodiklis- tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, eksponentas net nėra tikrasis skaičius.

Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

KUR ESAME TIKRINIAI, KUR JUMS EITI! (jei išmoksi spręsti tokius pavyzdžius :))

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

Sprendimų analizė:

1. Pradėkime nuo jau įprastos laipsnio pakėlimo į laipsnį taisyklės:

PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Laipsnio apibrėžimas

Laipsnis yra formos išraiška: , kur:

• — laipsnio pagrindas;
• - eksponentas.

Laipsnis su natūraliuoju rodikliu (n = 1, 2, 3,...)

Padidinti skaičių iki natūraliosios laipsnio n reiškia skaičių padauginti iš savęs iš karto:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu (0, ±1, ±2,...)

Jei eksponentas yra teigiamas sveikasis skaičius numeris:

erekcija iki nulinės galios:

Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, bet kuriuo laipsniu yra tai, o kita vertus, bet koks skaičius iki aštuntojo laipsnio yra tai.

Jei eksponentas yra sveikasis skaičius neigiamas numeris:

(nes padalyti neįmanoma).

Dar kartą apie nulius: atveju išraiška neapibrėžta. Jei tada.

Pavyzdžiai:

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

• - natūralusis skaičius;
• yra sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsnio savybės

Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Įrodykime juos.

Pažiūrėkime: kas yra ir?

Pagal apibrėžimą:

Taigi dešinėje šios išraiškos pusėje gaunamas šis produktas:

Tačiau pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu, ty:

Q.E.D.

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : .

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi turėti tą patį pagrindą. Todėl laipsnius deriname su baze, bet liekame atskiru veiksniu:

Kita svarbi pastaba: ši taisyklė - tik galių produktams!

Jokiu būdu neturėčiau to rašyti.

Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pertvarkykime taip:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus kėlimu“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:!

Prisiminkime sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti? Bet tai netiesa, tikrai.

Galia su neigiama baze.

Iki šiol aptarėme tik tai, kas turėtų būti indikatorius laipsnį. Bet kas turėtų būti pagrindas? Laipsniais nuo natūralus indikatorius pagrindas gali būti bet koks skaičius .

Iš tiesų, mes galime padauginti bet kurį skaičių vienas iš kito, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar lyginiai. Pagalvokime, kokie ženklai (" " arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? BET? ?

Su pirmuoju viskas aišku: nesvarbu, kiek teigiamų skaičių padauginsime vienas su kitu, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minusas kartelį minusas duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime -.

Ir taip toliau iki begalybės: su kiekvienu tolesniu dauginimu ženklas keisis. Galite suformuluoti šias paprastas taisykles:

1. net laipsnis, - skaičius teigiamas.
2. Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
3. Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius yra teigiamas skaičius.
4. Nulis bet kokiam laipsniui yra lygus nuliui.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ar susitvarkei? Štai atsakymai:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Pagrindas ne tas pats, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kas mažiau: ar? Jei tai prisimenate, tai tampa aišku, o tai reiškia, kad bazė yra mažesnė už nulį. Tai yra, taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.

Ir vėl naudojame laipsnio apibrėžimą:

Viskas kaip įprasta - užrašome laipsnių apibrėžimą ir suskirstome juos vienas į kitą, suskirstome į poras ir gauname:

Prieš analizuodami paskutinę taisyklę, išspręskime kelis pavyzdžius.

Apskaičiuokite išraiškų reikšmes:

Sprendimai :

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Taigi dabar paskutinė taisyklė:

Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: išplėskime laipsnio sąvoką ir supaprastinkime:

Na, dabar atidarykime skliaustus. Kiek bus raidžių? kartų pagal daugiklius – kaip tai atrodo? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas daugyba: iš viso pasirodė daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu:

Pavyzdys:

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

Be informacijos apie vidutinio lygio laipsnius, mes analizuosime laipsnį su neracionaliu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi - juk pagal apibrėžimą iracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra , neracionalieji skaičiai yra visi realieji skaičiai, išskyrus racionaliuosius).

Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „numerio paruošimas“, būtent skaičius; laipsnis su neigiamu sveikuoju skaičiumi - tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Labai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu eksponentu (kaip sunku įsivaizduoti 4-matę erdvę). Greičiau tai yra grynai matematinis objektas, kurį matematikai sukūrė siekdami išplėsti laipsnio sąvoką į visą skaičių erdvę.

Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, eksponentas net nėra tikrasis skaičius. Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

Taigi, ką daryti, jei matome neracionalų eksponentą? Stengiamės jo atsikratyti! :)

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

1)

2)

3)

Atsakymai:

SKYRIAUS SANTRAUKA IR PAGRINDINĖ FORMULĖ

Laipsnis vadinama formos išraiška: , kur:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis skaičius ir teigiamas).

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

rodiklis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.

Laipsnio savybės

Laipsnių ypatumai.

• Neigiamas skaičius padidintas iki net laipsnis, - skaičius teigiamas.
• Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
• Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius yra teigiamas skaičius.
• Nulis yra lygus bet kokiai galiai.
• Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus.

DABAR TURI ŽODĮ...

Kaip jums patinka straipsnis? Leiskite man žinoti toliau pateiktuose komentaruose, ar jums tai patiko, ar ne.

Papasakokite apie savo patirtį, susijusią su galios savybėmis.

Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.

Rašyk komentaruose.

Ir sėkmės egzaminuose!

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą egzamino išlaikymą, įstojimą į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.

Niekuo tavęs neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? Nežinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamine jums nebus klausiama teorijos.

Jums reikės laiku išspręsti problemas.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.

Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtina) ir mes jas tikrai rekomenduojame.

Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - Pirkti vadovėlį - 499 rubliai

Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir spręskite!

Kada skaičius dauginasi pats sau, dirbti paskambino laipsnį.

Taigi 2,2 = 4, kvadratas arba antrasis 2 laipsnis
2.2.2 = 8, kubas arba trečioji laipsnis.
2.2.2.2 = 16, ketvirtas laipsnis.

Be to, 10,10 = 100, antrasis laipsnis yra 10.
10.10.10 = 1000, trečiasis laipsnis.
10.10.10.10 = 10000 ketvirtasis laipsnis.

Ir a.a = aa, antroji laipsnio a
a.a.a = aaa, trečiasis a laipsnis
a.a.a.a = aaaa, ketvirtasis a laipsnis

Iškviečiamas originalus numeris šaknis to skaičiaus laipsniai, nes tai yra skaičius, iš kurio buvo sukurti laipsniai.

Tačiau nėra labai patogu, ypač esant didelėms galioms, surašyti visus veiksnius, iš kurių susideda galios. Todėl naudojamas sutrumpintas žymėjimo būdas. Laipsnio šaknis rašoma tik vieną kartą, o prie jos dešinėje ir kiek aukščiau, bet kiek mažesniu šriftu rašoma kiek kartų šaknis veikia kaip veiksnys. Šis skaičius arba raidė vadinamas eksponentas arba laipsnį numeriai. Taigi, 2 yra lygus a.a arba aa, nes a šaknis iš savęs reikia padauginti du kartus, kad gautume aa laipsnį. Be to, 3 reiškia aaa, tai yra, čia kartojasi a triskart kaip daugiklis.

Pirmojo laipsnio rodiklis yra 1, bet dažniausiai jis nėra užrašomas. Taigi, 1 rašomas kaip a.

Jūs neturėtumėte painioti laipsnių su koeficientai. Koeficientas parodo, kaip dažnai imama reikšmė dalis visas. Rodiklis nurodo, kaip dažnai imama reikšmė veiksnys darbe.
Taigi, 4a = a + a + a + a. Bet 4 = a.a.a.a

Eksponentinis žymėjimas turi ypatingą pranašumą, nes leidžia mums išreikšti nežinomas laipsnį. Šiuo tikslu vietoj skaičiaus rašomas eksponentas laišką. Spręsdami problemą galime gauti vertę, kuri, kaip žinome, yra kai kurie kito dydžio laipsnis. Bet kol kas nežinome, ar tai kvadratas, kubas, ar kitas, aukštesnis laipsnis. Taigi, išraiškoje a x eksponentas reiškia, kad ši išraiška turi kai kurie laipsnis, nors ir neapibrėžtas koks laipsnis. Taigi, b m ir d n pakelti į m ir n laipsnius. Kai randamas eksponentas, numerį pakeistas laišku. Taigi, jei m = 3, tai b m = b 3 ; bet jei m = 5 tai b m =b 5 .

Vertybių rašymo su eksponentais metodas taip pat yra didelis pranašumas naudojant posakius. Taigi (a + b + d) 3 yra (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), tai yra trinalio (a + b + d) kubas. . Bet jei parašysime šią išraišką po kubu, tai atrodys taip
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Jei imsime laipsnius, kurių rodikliai didėja arba sumažėja 1, pamatysime, kad sandauga padidėja bendras veiksnys arba sumažintas bendras daliklis, o šis koeficientas arba daliklis yra pradinis skaičius, pakeltas į laipsnį.

Taigi, serijoje aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
arba 5, 4, 3, 2, 1;
rodikliai, jei skaičiuojami iš dešinės į kairę, yra 1, 2, 3, 4, 5; o skirtumas tarp jų verčių yra 1. Jei pradėsime Dešinėje padauginti a, sėkmingai gausime kelias reikšmes.

Taigi a.a = a 2 , antrasis narys. Ir 3 .a = 4
a 2 .a = a 3 , trečiasis narys. a 4 .a = a 5 .

Jei pradėsime paliko padalinti ant,
gauname 5:a = a 4 ir 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Tačiau toks padalijimo procesas gali būti tęsiamas toliau, ir mes gauname naują vertybių rinkinį.

Taigi, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Visa eilutė bus tokia: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Arba 5, 4, 3, 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a3.

Čia vertybės Dešinėje iš vieneto yra atvirkščiai vertės į kairę nuo vienos. Todėl šiuos laipsnius galima vadinti atvirkštinės galios a. Taip pat galima sakyti, kad kairėje pusėje esančios galios yra atvirkštinės dešiniosios galioms.

Taigi, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Ir 1:(1/a 3) = a 3 .

Galima taikyti tą patį įrašymo planą daugianariai. Taigi, a + b, gauname rinkinį,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3 .

Patogumui naudojama kita atvirkštinių galių rašymo forma.

Pagal šią formą 1/a arba 1/a 1 = a -1 . Ir 1/aaa arba 1/a 3 = a -3 .
1/aa arba 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa arba 1/a 4 = a -4 .

Ir norint, kad eksponentai užbaigtų eilutę, kai bendras skirtumas yra 1, a/a arba 1 laikoma tokia, kuri neturi laipsnio ir rašoma kaip 0 .

Tada, atsižvelgiant į tiesiogines ir atvirkštines galias
vietoj aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
galite parašyti 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, a -4.
Arba +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.

Ir tik atskirai paimtų laipsnių serija turės tokią formą:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Laipsnio šaknis gali būti išreikšta daugiau nei viena raide.

Taigi aa.aa arba (aa) 2 yra antroji aa laipsnė.
O aa.aa.aa arba (aa) 3 yra trečioji aa galia.

Visi skaičiaus 1 laipsniai yra vienodi: 1,1 arba 1,1,1. bus lygus 1.

Eksponentiškumas yra bet kurio skaičiaus vertės nustatymas padauginus jį iš savęs. Didinimo taisyklė:

Padauginkite reikšmę iš savęs tiek kartų, kiek nurodyta skaičiaus laipsnyje.

Ši taisyklė būdinga visiems pavyzdžiams, kurie gali atsirasti eksponentiškumo procese. Tačiau būtų teisinga paaiškinti, kaip tai taikoma konkrečiais atvejais.

Jei tik vienas narys pakeltas į laipsnį, tada jis dauginamas iš savęs tiek kartų, kiek rodo rodiklis.

Ketvirtasis laipsnis a yra 4 arba aaaa. (195 str.)
Šeštasis y laipsnis yra y 6 arba yyyyyy.
N-asis x laipsnis yra x n arba xxx..... n kartų kartojamas.

Jei reikia kelių terminų išraišką pakelti į galią, principas, kad kelių veiksnių sandaugos laipsnis yra lygus šių veiksnių sandaugai, pakeltam į laipsnį.

Taigi (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Bet ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Taigi, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Todėl, surasdami gaminio laipsnį, galime veikti su visu gaminiu iš karto arba su kiekvienu veiksniu atskirai, o tada jų reikšmes padauginti iš laipsnių.

1 pavyzdys. Ketvirtasis dhy laipsnis yra (dhy) 4 arba d 4 h 4 y 4 .

2 pavyzdys. Trečiasis 4b laipsnis yra (4b) 3 arba 4 3 b 3 arba 64b 3 .

3 pavyzdys. 6ad n-asis laipsnis yra (6ad) n arba 6 n a n d n.

4 pavyzdys. Trečioji 3m.2y galia yra (3m.2y) 3 arba 27m 3 .8y 3 .

Dvejetalio, sudaryto iš + ir - sujungtų terminų, laipsnis apskaičiuojamas padauginus jo narius. taip,

(a + b) 1 = a + b, pirmasis laipsnis.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, antrasis laipsnis (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, trečiasis laipsnis.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, ketvirtas laipsnis.

Kvadratas a - b, yra 2 - 2ab + b 2 .

Kvadratas a + b + h yra a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

1 pratimas. Raskite kubą a + 2d + 3

2 pratimas. Raskite ketvirtąjį laipsnį b + 2.

3 pratimas Raskite x + 1 penktąją laipsnį.

4 pratimas. Raskite šeštą laipsnį 1 - b.

Sumos kvadratai sumos Ir skirtumas dvinariai algebroje yra tokie dažni, kad juos būtina labai gerai žinoti.

Jei padauginsime a + h iš savęs arba a - h iš savęs,
gauname: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 taip pat, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Tai rodo, kad kiekvienu atveju pirmasis ir paskutinis nariai yra a ir h kvadratai, o vidurinis narys yra du kartus didesnis už a ir h sandaugą. Taigi dvinarių sumos ir skirtumo kvadratą galima rasti naudojant šią taisyklę.

Dvinalio kvadratas, kuris abu yra teigiami, yra lygus pirmojo nario kvadratui + dvigubai abiejų narių sandaugai + paskutinio nario kvadratui.

Kvadratas skirtumas dvinaris yra lygus pirmojo nario kvadratui atėmus du kartus abiejų narių sandaugą ir antrojo nario kvadratą.

1 pavyzdys. Kvadratas 2a + b, yra 4a 2 + 4ab + b 2 .

2 pavyzdys. Kvadratas ab + cd yra a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

3 pavyzdys. Kvadratas 3d - h yra 9d 2 + 6dh + h 2 .

4 pavyzdys. Kvadratas a - 1 yra 2 - 2a + 1.

Norėdami rasti metodą, kaip rasti didesnės galios dvinarį, žiūrėkite šiuos skyrius.

Daugeliu atvejų rašyti yra efektyvu laipsnį be daugybos.

Taigi kvadratas a + b yra (a + b) 2 .
N-asis laipsnis bc + 8 + x yra (bc + 8 + x) n

Tokiais atvejais apkabos uždengia visi nariai pagal laipsnį.

Bet jei laipsnio šaknis susideda iš kelių daugikliai, skliaustai gali apimti visą išraišką arba gali būti taikomi atskirai veiksniams, atsižvelgiant į patogumą.

Taigi kvadratas (a + b)(c + d) yra arba [(a + b).(c + d)] 2 arba (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Pirmosios iš šių išraiškų rezultatas yra dviejų faktorių sandaugos kvadratas, o antrosios – jų kvadratų sandauga. Bet jie yra lygūs vienas kitam.

Kubas a.(b + d), yra 3 arba a 3 .(b + d) 3 .

Taip pat būtina atsižvelgti į ženklą prieš dalyvaujančius narius. Labai svarbu atsiminti, kad kai galios šaknis yra teigiama, visos jos teigiamos galios taip pat yra teigiamos. Bet kai šaknis yra neigiama, vertės nuo nelyginis galios yra neigiamos, o vertės net laipsniai yra teigiami.

Antrasis laipsnis (-a) yra +a 2
Trečiasis laipsnis (-a) yra -a 3
Ketvirtasis laipsnis (-a) yra +a 4
Penktasis laipsnis (-a) yra -a 5

Taigi bet koks nelyginis eksponentas turi tą patį ženklą kaip ir skaičius. Bet net laipsnis yra teigiamas, nepriklausomai nuo to, ar skaičius turi neigiamą ar teigiamą ženklą.
Taigi +a.+a = +a 2
IR -a.-a = +a 2

Reikšmė, jau padidinta iki laipsnio, vėl padidinama iki laipsnio, padauginus eksponentus.

Trečiasis a 2 laipsnis yra a 2,3 = a 6 .

Jei a 2 = aa; kubas aa yra aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; kuri yra šeštoji laipsnio a, bet trečioji laipsnio a 2.

Ketvirtasis laipsnis a 3 b 2 yra a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Trečioji 4a 2 x laipsniai yra 64a 6 x 3 .

Penktasis (a + b) 2 laipsnis yra (a + b) 10 .

N-oji 3 galia yra 3n

(x - y) m n laipsnis yra (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Taisyklė galioja vienodai neigiamas laipsnių.

1 pavyzdys. Trečiasis a -2 laipsnis yra -3.3 =a -6 .

Jei a -2 = 1/aa, ir trečioji šio laipsnio
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Ketvirtasis laipsnis a 2 b -3 yra a 8 b -12 arba 8 / b 12 .

Kvadratas b 3 x -1 yra b 6 x -2 .

N-oji galia ax -m yra x -mn arba 1/x .

Tačiau čia reikia atsiminti, kad jei ženklas ankstesnis laipsnis yra "-", tada jis turėtų būti pakeistas į "+", kai laipsnis yra lyginis.

1 pavyzdys. Kvadratas -a 3 yra +a 6 . -a 3 kvadratas yra -a 3 .-a 3 , kuris pagal daugybos ženklų taisykles yra +a 6 .

2. Bet kubas -a 3 yra -a 9 . Jei -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-asis laipsnis -a 3 yra 3n .

Čia rezultatas gali būti teigiamas arba neigiamas, priklausomai nuo to, ar n yra lyginis ar nelyginis.

Jeigu trupmena pakeltas į laipsnį, skaitiklis ir vardiklis pakeliami iki laipsnio.

Kvadratas a/b yra a 2 /b 2 . Pagal trupmenų daugybos taisyklę,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Antroji, trečioji ir n-oji 1/a laipsniai yra 1/a 2 , 1/a 3 ir 1/a n .

Pavyzdžiai dvinariai kur vienas iš terminų yra trupmena.

1. Raskite kvadratą x + 1/2 ir x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Kvadratas a + 2/3 yra a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Kvadratas x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Kvadratas x - b/m yra x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Anksčiau buvo parodyta, kad trupmenos koeficientas galima perkelti iš skaitiklio į vardiklį arba iš vardiklio į skaitiklį. Naudojant atvirkštinių galių rašymo schemą, matyti, kad bet koks daugiklis taip pat galima perkelti jei pakeičiamas laipsnio ženklas.

Taigi trupmenoje ax -2 /y galime perkelti x iš skaitiklio į vardiklį.
Tada ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Trupmenoje a/by 3 galime perkelti y nuo vardiklio prie skaitiklio.
Tada a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Lygiai taip pat veiksnį, turintį teigiamą eksponentą, galime perkelti į skaitiklį arba veiksnį su neigiamu rodikliu į vardiklį.

Taigi, ax 3 / b = a / bx -3 . Jei x 3 atvirkštinė vertė yra x -3 , tai yra x 3 = 1/x -3 .

Todėl bet kurios trupmenos vardiklis gali būti visiškai pašalintas arba skaitiklis gali būti sumažintas iki vieneto, nekeičiant išraiškos reikšmės.

Taigi, a/b = 1/ba -1 arba ab -1 .

Eksponentiškumas yra operacija, glaudžiai susijusi su daugyba, ši operacija yra daugybinio skaičiaus savaime rezultatas. Pavaizduokime formulę: a1 * a2 * ... * an = an.

Pavyzdžiui, a=2, n=3: 2*2*2=2^3 = 8 .

Apskritai, eksponencija dažnai naudojama įvairiose matematikos ir fizikos formulėse. Ši funkcija turi daugiau mokslinio tikslo nei keturios pagrindinės: sudėjimas, atimtis, daugyba, padalijimas.

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį

Padidinti skaičių iki laipsnio nėra sudėtinga operacija. Jis yra susijęs su daugyba, kaip ir tarp daugybos ir pridėjimo. Įrašas an – trumpas n-ojo skaičių „a“ skaičius, padaugintas vienas iš kito.

Apsvarstykite paprastų pavyzdžių didinimą, pereikite prie sudėtingų.

Pavyzdžiui, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Keturi kvadratai (antrajai laipsniai) yra lygūs šešiolikai. Jei nesuprantate daugybos 4 * 4, perskaitykite mūsų straipsnį apie dauginimą.

Pažvelkime į kitą pavyzdį: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Penki kubeliai (iki trečios laipsnio) yra lygūs šimtui dvidešimt penkiems.

Kitas pavyzdys: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devyni kubeliai lygu septyniems šimtams dvidešimt devyniems.

Eksponentiškumo formulės

Norėdami teisingai padidinti iki galios, turite atsiminti ir žinoti toliau pateiktas formules. Čia nėra nieko daugiau nei natūralaus, svarbiausia suprasti esmę ir tada jie bus ne tik įsimenami, bet ir atrodys lengvi.

Monomo pakėlimas į laipsnį

Kas yra monomialas? Tai yra bet kokio kiekio skaičių ir kintamųjų sandauga. Pavyzdžiui, du yra monomialas. Ir šis straipsnis yra apie tokių monomijų pakėlimą į galią.

Naudojant eksponencijos formules, nebus sunku apskaičiuoti monomio laipsnį.

Pavyzdžiui, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Jei pakeliate vienanarį laipsnį, tada kiekvienas monomio komponentas pakeliamas į laipsnį.

Didinant kintamąjį, kuris jau turi laipsnį, į laipsnį, laipsniai dauginami. Pavyzdžiui, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Pakėlimas į neigiamą galią

Neigiamas rodiklis yra skaičiaus atvirkštinė vertė. Kas yra abipusis? Bet kurio skaičiaus X atvirkštinė vertė yra 1/X. Tai yra X-1 = 1/X. Tai yra neigiamo laipsnio esmė.

Apsvarstykite pavyzdį (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Kodėl taip? Kadangi laipsnyje yra minusas, šią išraišką tiesiog perkeliame į vardiklį, o tada padidiname iki trečiosios laipsnio. Teisingai?

Didinimas iki trupmeninės galios

Pradėkime nuo konkretaus pavyzdžio. 43/2. Ką reiškia galia 3/2? 3 – skaitiklis, reiškia skaičiaus (šiuo atveju 4) pakėlimą į kubą. Skaičius 2 yra vardiklis, tai yra antrosios skaičiaus šaknies ištraukimas (šiuo atveju 4).

Tada gauname kvadratinę šaknį iš 43 = 2^3 = 8 . Atsakymas: 8.

Taigi trupmeninio laipsnio vardiklis gali būti 3 arba 4 ir iki begalybės bet koks skaičius, ir šis skaičius nustato kvadratinės šaknies, išskirtos iš nurodyto skaičiaus, laipsnį. Žinoma, vardiklis negali būti lygus nuliui.

Šaknies pakėlimas į galią

Jei šaknis pakeliama iki galios, lygios pačios šaknies galiai, atsakymas yra radikali išraiška. Pavyzdžiui, (√x)2 = x. Ir taip bet kokiu šaknies laipsnio ir šaknies pakėlimo laipsnio lygybės atveju.

Jei (√x)^4. Tada (√x)^4=x^2. Norėdami patikrinti sprendimą, reiškinį verčiame į išraišką su trupmeniniu laipsniu. Kadangi šaknis kvadratas, tai vardiklis lygus 2. O jei šaknis pakelta į ketvirtą laipsnį, tai skaitiklis lygus 4. Gauname 4/2=2. Atsakymas: x = 2.

Bet kuriuo atveju geriausias variantas yra tiesiog konvertuoti išraišką į trupmeninį eksponentą. Jei trupmena nesumažinama, toks atsakymas bus, jei nebus priskirta nurodyto skaičiaus šaknis.

Kompleksinio skaičiaus didinimas

Kas yra kompleksinis skaičius? Kompleksinis skaičius yra išraiška, kurios formulė a + b * i; a, b yra realieji skaičiai. i yra skaičius, kurį patraukus kvadratu, gaunamas skaičius -1.

Apsvarstykite pavyzdį. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Užsiregistruokite į kursą „Pagreit skaičiuoti mintis, NE protinę aritmetiką“, kad išmoktumėte greitai ir teisingai sudėti, atimti, dauginti, padalyti, kvadratuoti ir net įsišaknyti. Per 30 dienų išmoksite naudoti paprastus triukus, kad supaprastintumėte aritmetines operacijas. Kiekvienoje pamokoje pateikiamos naujos technikos, aiškūs pavyzdžiai ir naudingos užduotys.

Didinimas internete

Naudodamiesi mūsų skaičiuokle, galite apskaičiuoti skaičiaus didinimą iki laipsnio:

Didinimo laipsnis 7

Pakelti į valdžią moksleiviai pradeda praeiti tik septintoje klasėje.

Eksponentiškumas yra operacija, glaudžiai susijusi su daugyba, ši operacija yra daugybinio skaičiaus savaime rezultatas. Pavaizduokime formulę: a1 * a2 * … * an=an .

Pavyzdžiui, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Sprendimų pavyzdžiai:

Eksponentiškumo pristatymas

Pristatymas apie eksponentiškumą, skirtas septintokams. Pristatymas gali paaiškinti kai kuriuos nesuprantamus dalykus, tačiau mūsų straipsnio dėka tokių dalykų tikriausiai nebus.

Rezultatas

Apsvarstėme tik ledkalnio viršūnę, kad geriau suprastume matematiką – užsiregistruokite į mūsų kursą: Paspartinkite skaičiavimą mintyse – NE protinę aritmetiką.

Kurso metu ne tik išmoksite dešimtis supaprastinto ir greito daugybos, sudėties, daugybos, dalybos, procentų skaičiavimo gudrybių, bet ir išdirbsite jas specialiose užduotyse bei lavinamuosiuose žaidimuose! Protinis skaičiavimas taip pat reikalauja daug dėmesio ir susikaupimo, kurie aktyviai treniruojami spręsti įdomias problemas.

Tęsiant pokalbį apie skaičiaus laipsnį, logiška spręsti laipsnio vertės nustatymą. Šis procesas buvo pavadintas eksponencija. Šiame straipsnyje mes tiesiog išnagrinėsime, kaip atliekamas eksponentas, paliesdami visus galimus eksponentus - natūralius, sveikuosius, racionalius ir neracionalius. Ir pagal tradiciją mes išsamiai apsvarstysime skaičių didinimo įvairiais laipsniais pavyzdžių sprendimus.

Puslapio naršymas.

Ką reiškia "eksponentiškumas"?

Pradėkime nuo paaiškinimo, kas vadinama eksponencija. Čia yra atitinkamas apibrėžimas.

Apibrėžimas.

Eksponentiškumas yra rasti skaičiaus laipsnio reikšmę.

Taigi, rasti laipsnio a reikšmę su laipsniu r ir pakelti skaičių a iki r laipsnio yra tas pats. Pavyzdžiui, jei užduotis yra „apskaičiuoti laipsnio reikšmę (0,5) 5“, tada ją galima performuluoti taip: „Pakelkite skaičių 0,5 iki laipsnio 5“.

Dabar galite pereiti tiesiai prie taisyklių, pagal kurias atliekamas eksponentiškumas.

Skaičiaus pakėlimas iki natūralios galios

Praktikoje lygybė pagrįsta dažniausiai taikoma formoje . Tai yra, kai skaičius a padidinamas iki trupmeninės laipsnio m / n, pirmiausia išimama n-ojo laipsnio šaknis iš skaičiaus a, o po to rezultatas pakeliamas iki sveikojo skaičiaus laipsnio m.

Apsvarstykite didinimo iki trupmeninės galios pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite laipsnio reikšmę.

Sprendimas.

Mes parodome du sprendimus.

Pirmas būdas. Pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu. Apskaičiuojame laipsnio reikšmę po šaknies ženklu, po to ištraukiame kubo šaknį: .

Antras būdas. Pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu ir remiantis šaknų savybėmis, lygybės yra teisingos . Dabar ištraukite šaknį Galiausiai padidiname iki sveikojo skaičiaus laipsnio .

Akivaizdu, kad gauti pakėlimo iki trupmeninės galios rezultatai sutampa.

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad trupmeninis rodiklis gali būti parašytas kaip dešimtainė trupmena arba mišrus skaičius, tokiais atvejais jis turėtų būti pakeistas atitinkama įprasta trupmena, o tada turėtų būti atliktas eksponentas.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite (44,89) 2,5 .

Sprendimas.

Rodiklį rašome paprastosios trupmenos forma (jei reikia, žr. straipsnį): . Dabar atliekame kėlimą iki trupmeninės galios:

Atsakymas:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Taip pat reikia pasakyti, kad skaičių pakėlimas iki racionalių laipsnių yra gana daug pastangų reikalaujantis procesas (ypač kai trupmeninio rodiklio skaitiklis ir vardiklis yra gana dideli skaičiai), kuris dažniausiai atliekamas naudojant kompiuterines technologijas.

Baigdami šią pastraipą, mes apsistosime ties skaičiaus nuliu konstravimu iki trupmeninės laipsnio. Formos trupmeniniam nulio laipsniui suteikėme tokią reikšmę: nes turime , o nulis iki galios m/n neapibrėžtas. Taigi, pavyzdžiui, nuo nulio iki teigiamos trupmeninės galios yra nulis, . Ir nulis trupmeninėje neigiamoje galioje neturi prasmės, pavyzdžiui, išraiškos ir 0 -4,3 neturi prasmės.

Pakėlimas į neracionalią galią

Kartais prireikia išsiaiškinti skaičiaus laipsnio reikšmę su neracionaliuoju rodikliu. Šiuo atveju praktiniais tikslais dažniausiai pakanka gauti laipsnio reikšmę iki tam tikro ženklo. Iš karto pastebime, kad praktiškai ši vertė apskaičiuojama naudojant elektroninės skaičiavimo technologiją, nes norint rankiniu būdu padidinti iki neracionalios galios, reikia atlikti daug sudėtingų skaičiavimų. Tačiau vis dėlto veiksmų esmę apibūdinsime bendrai.

Norint gauti apytikslę a rodiklio reikšmę su neracionaliuoju rodikliu, imamas tam tikras dešimtainis rodiklio aproksimavimas ir apskaičiuojama eksponento reikšmė. Ši reikšmė yra apytikslė skaičiaus a laipsnio reikšmė su neracionaliuoju rodikliu. Kuo tikslesnis dešimtainis skaičiaus aproksimavimas iš pradžių, tuo tikslesnė bus laipsnio reikšmė.

Kaip pavyzdį apskaičiuokime apytikslę 2 laipsnio reikšmę 1,174367... . Paimkime tokią neracionalaus rodiklio dešimtainę aproksimaciją: . Dabar pakeliame 2 iki racionalios galios 1,17 (šio proceso esmę aprašėme ankstesnėje pastraipoje), gauname 2 1,17 ≈ 2,250116. Šiuo būdu, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jei imsime tikslesnį neracionalaus laipsnio dešimtainį aproksimaciją, pavyzdžiui, , gausime tikslesnę pradinio laipsnio reikšmę: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikos Zh vadovėlis 5 langeliams. švietimo įstaigos.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 7 langeliams. švietimo įstaigos.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 langeliams. švietimo įstaigos.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 9 langeliams. švietimo įstaigos.
• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnitsyn Yu.P. ir kt.. Algebra ir analizės užuomazgos: vadovėlis bendrojo lavinimo įstaigų 10-11 klasei.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas).