Taisyklė yra ta, kas yra spindulys ir atkarpa. Geometrijos spragos (linija, kampas, spindulys, atkarpa, tiesi linija, kreivė, uždara linija)

Taškas ir linija yra pagrindinės geometrinės figūros plokštumoje.

Senovės graikų mokslininkas Euklidas sakė: „taškas“ yra tai, kas neturi dalių. Žodis "taškas" vertimas iš lotynų kalba reiškia momentinio prisilietimo, dūrio rezultatą. Taškas yra bet kokios geometrinės figūros konstravimo pagrindas.

Tiesi linija arba tiesiog tiesi linija, išilgai kurios atstumas tarp dviejų taškų yra trumpiausias. Tiesi linija yra begalinė, ir neįmanoma pavaizduoti visos linijos ir jos išmatuoti.

Taškai rašomi didžiosiomis raidėmis. su lotyniškomis raidėmis A, B, C, D, E ir kt. ir tiesių linijų su tomis pačiomis raidėmis, bet mažosiomis raidėmis a, b, c, d, e ir tt Tiesią liniją taip pat galima žymėti dviem raidėmis, atitinkančiomis tai. Pavyzdžiui, eilutę a galima žymėti AB.

Galime sakyti, kad taškai AB yra tiesėje a arba priklauso tiesei a. Ir galime sakyti, kad tiesė a eina per taškus A ir B.

Paprasčiausios geometrinės figūros plokštumoje yra linijos atkarpa, spindulys, nutrūkusi linija.

Atkarpa yra linijos dalis, kurią sudaro visi šios linijos taškai, ribojami dviejų pasirinktų taškų. Šie taškai yra segmento galai. Segmentas nurodomas nurodant jo galus.

Spindulys arba pustiesė yra linijos dalis, kurią sudaro visi šios linijos taškai, esantys vienoje jos taško pusėje. Šis taškas vadinamas pusės linijos pradžios tašku arba spindulio pradžia. Spindulys turi pradžios tašką, bet neturi pabaigos taško.

Puslinijos arba spinduliai žymimi dviem mažosiomis lotyniškomis raidėmis: pradine ir bet kuria kita raide, atitinkančia tašką, priklausantį pusiau linijai. Šiuo atveju pirmoje vietoje dedamas atskaitos taškas.

Pasirodo, linija yra begalinė: ji neturi nei pradžios, nei pabaigos; spindulys turi tik pradžią, bet ne pabaigą, o atkarpa turi pradžią ir pabaigą. Todėl galime išmatuoti tik segmentą.

Keli segmentai, kurie nuosekliai sujungti vienas su kitu taip, kad atkarpos (gretimos), turinčios vieną bendrą tašką, nebūtų toje pačioje tiesioje linijoje, reiškia laužtą liniją.

Poliline gali būti uždara arba atvira. Jei paskutinės atkarpos pabaiga sutampa su pirmojo pradžia, turime uždarą laužtą liniją, jei ne – atvirą.

blog.site, visiškai arba iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Taškas ir linija yra pagrindinės geometrinės figūros plokštumoje.

Senovės graikų mokslininkas Euklidas sakė: „taškas“ yra tai, kas neturi dalių. Žodis „taškas“ lotyniškai reiškia momentinio prisilietimo, dūrio rezultatą. Taškas yra bet kokios geometrinės figūros konstravimo pagrindas.

Tiesi linija arba tiesiog tiesi linija, išilgai kurios atstumas tarp dviejų taškų yra trumpiausias. Tiesi linija yra begalinė, ir neįmanoma pavaizduoti visos linijos ir jos išmatuoti.

Taškai žymimi didžiosiomis lotyniškomis raidėmis A, B, C, D, E ir kt., o tiesios – tomis pačiomis raidėmis, bet mažosiomis raidėmis a, b, c, d, e ir tt Tiesią taip pat galima žymėti dvi raidės, atitinkančios ant jos gulinčius taškus. Pavyzdžiui, eilutę a galima žymėti AB.

Galime sakyti, kad taškai AB yra tiesėje a arba priklauso tiesei a. Ir galime sakyti, kad tiesė a eina per taškus A ir B.

Paprasčiausios geometrinės figūros plokštumoje yra atkarpa, spindulys, laužta linija.

Atkarpa yra linijos dalis, kurią sudaro visi šios linijos taškai, ribojami dviejų pasirinktų taškų. Šie taškai yra segmento galai. Segmentas nurodomas nurodant jo galus.

Spindulys arba pustiesė yra linijos dalis, kurią sudaro visi šios linijos taškai, esantys vienoje jos taško pusėje. Šis taškas vadinamas pusės linijos pradžios tašku arba spindulio pradžia. Spindulys turi pradžios tašką, bet neturi pabaigos taško.

Puslinijos arba spinduliai žymimi dviem mažosiomis lotyniškomis raidėmis: pradine ir bet kuria kita raide, atitinkančia tašką, priklausantį pusiau linijai. Šiuo atveju pirmoje vietoje dedamas atskaitos taškas.

Pasirodo, linija yra begalinė: ji neturi nei pradžios, nei pabaigos; spindulys turi tik pradžią, bet ne pabaigą, o atkarpa turi pradžią ir pabaigą. Todėl galime išmatuoti tik segmentą.

Keli segmentai, kurie nuosekliai sujungti vienas su kitu taip, kad atkarpos (gretimos), turinčios vieną bendrą tašką, nebūtų toje pačioje tiesioje linijoje, reiškia laužtą liniją.

Poliline gali būti uždara arba atvira. Jei paskutinės atkarpos pabaiga sutampa su pirmojo pradžia, turime uždarą laužtą liniją, jei ne – atvirą.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

lankantis papildomos klasės supratome, kad negalime operuoti su taško, tiesės, kampo, spindulio, atkarpos, tiesės, kreivės, uždaros linijos sąvokomis ir jų nubrėžti, galime nubrėžti tiksliau, bet negalime jų identifikuoti.

Vaikai turi atskirti linijas, kreives, apskritimus. Tai ugdo jų grafiką ir taisyklingumo jausmą piešiant, aplikuojant. Svarbu žinoti, kokios pagrindinės geometrinės figūros egzistuoja, kokios jos yra. Išdėstykite prieš vaiką korteles, paprašykite nupiešti lygiai taip pat, kaip paveikslėlyje. Pakartokite kelis kartus.

Kurso metu mums buvo suteiktos šios medžiagos:

Maža pasaka.

Geometrijos šalyje gyveno taškas. Ji buvo maža. Užlipus ant sąsiuvinio lapo jį paliko pieštukas ir niekas to nepastebėjo. Taip ji gyveno tol, kol atvyko aplankyti eilių. (Piešimas lentoje.)

Pažiūrėkite į linijas. (Tiesus ir lenktas.)

Tiesios linijos yra tarsi ištemptos stygos, o netemptos stygos yra kreivos.

Kiek tiesių linijų? (2.)

Kiek kreivių? (3.)

Tiesi linija pradėjo puikuotis: „Aš esu ilgiausia! Aš neturiu pradžios ir pabaigos! Aš esu begalinis!

Pasidarė labai įdomu pažvelgti į jos mintį. Pati esmė mažytė. Ji išėjo ir buvo taip nuvilta, kad nepastebėjo, kaip žengė tiesia linija. Ir staiga tiesia linija dingo. Jo vietoje atsirado sija.

Ji taip pat buvo labai ilga, bet vis tiek nepanaši į tiesią. Jis gavo pradžią.

Taškas buvo išsigandęs: „Ką aš padariau! Ji norėjo pabėgti, bet, kaip pasisekė, vėl užlipo ant sijos.

Ir vietoje sijos atsirado segmentas. Jis nesigyrė, koks jis didelis, jis jau turėjo pradžią ir pabaigą.

Taip mažas taškelis gali pakeisti didelių linijų gyvenimą.

Taigi, kas atspėjo, kas atėjo pas mus su katinu? (tiesė, spindulys, atkarpa ir taškas)

Teisingai, kartu su katinu į mūsų pamoką atėjo tiesi linija, spindulys, atkarpa ir taškas.

Kas atspėjo, ką veiksime šioje pamokoje? (Išmok atpažinti ir nubrėžti tiesią liniją, spindulį, atkarpą.)

Apie kokias eilutes girdėjote? (Apie tiesią liniją, spindulį, atkarpą.)

Ką sužinojote apie tiesiąją liniją? (Jis neturi nei pradžios, nei pabaigos. Jis yra begalinis.)

(Paimame dvi siūlų rites, traukiame jas, vaizduodamos tiesią liniją ir išvyniojame vieną ar kitą, tai parodo, kad tiesią liniją galima tęsti abiem kryptimis iki begalybės.)

Ką sužinojote apie spindulį? (Jis turi pradžią, bet neturi pabaigos.) (Mokytojas paima žirkles, nukerpa siūlą. Rodo, kad dabar eilutę galima tęsti tik viename gale.)

Ką sužinojote apie segmentą? (Jis turi ir pradžią, ir pabaigą.) (Mokytojas nupjauna kitą siūlo galą ir parodo, kad siūlas netampa. Turi ir pradžią, ir pabaigą.)

Kaip nubrėžti tiesią liniją? (Nubrėžkite liniją išilgai liniuotės.)

Kaip nubrėžti liniją? (Įdėkite du taškus ir sujunkite juos.)

Ir, žinoma, receptas:

Pamokoje susipažinsite su plokštumos samprata, su įvairiomis minimaliomis figūromis, kurios yra geometrijoje, išnagrinėsite jų savybes. Sužinokite, kas yra linija, linijos atkarpa, spindulys, kampas ir kt.

Visas geometrines figūras pavaizduojame ant popieriaus lapo pieštuku, mokyklinėje lentoje su kreida ar žymekliu. Dažnai vasarą ant grindinio kreida ar baltu akmeniu piešiame figūrėles. Ir visada, prieš pradėdami braižyti planus, įvertiname, ar mums užtenka vietos. Ir kadangi mes retai žinome tikslūs matmenys mūsų būsimas piešinys, tada visada reikia užimti vietas su parašte, o geriau su didele parašte. Dažniausiai nebijome, kad piešimo erdvė ištrūks, jei piešimo laukas daug kartų didesnis už patį piešinį. Taigi asfalto kieme visiškai pakanka nupiešti lauką šokinėjimui. Sąsiuvinio lapo pakanka nupiešti du susikertančius segmentus viduryje.

Matematikoje toks laukas, kuriame viską vaizduojame, yra plokštuma (1 pav.).

Ryžiai. 1. Lėktuvas

Jis turi dvi savybes:

1. Ant jo galite pavaizduoti bet kokią figūrą, apie kurią jau kalbėjome arba dar kalbėsime.

2. Krašto nepasieksime. Jo matmenys gali būti laikomi daug didesniais nei figūros matmenys.

Tai, kad mes niekada nepasiekiame plokštumos krašto, galima suprasti kaip kraštų nebuvimą. Jo briaunų mums nereikia, todėl sutarėme manyti, kad jų nėra (2 pav.).

Ryžiai. 2. Plokštuma yra begalinė

Šia prasme plokštuma yra begalinė bet kuria kryptimi.

Mes galime tai reprezentuoti kaip didelis lapas popierius, didelis plokščias asfalto padas arba didžiulė piešimo lenta.

Geometrinių formų yra be galo daug, ir jų visų išstudijuoti visiškai neįmanoma. Tačiau geometrija yra išdėstyta panašiai kaip konstruktorius. Yra keletas pagrindinių dalių, iš kurių galite pastatyti visa kita, bet kurį sudėtingiausią pastatą, tipų.

Šį principą galima palyginti su žodžiais ir raidėmis: mes žinome visas raides, bet nežinome visų žodžių. Sutikę nepažįstamą žodį, galėsime jį perskaityti, nes žinome, kaip rašomos raidės ir kaip tariami atitinkami garsai.

Taigi matematikoje yra labai mažai pagrindinių geometrinių figūrų, kurias jums ir man reikia gerai žinoti.

Apsvarstykite atkarpą (3 pav.). Pjūvis yra trumpiausia linija jungiantis du taškus.

Ryžiai. 3. Iškirpti

Tęsiame atkarpą abiem kryptimis iki begalybės. Mes tęsime tiesiai į priekį.

Ką reiškia "tiesus"? Apsvarstykite segmentus ir (4 pav.).

Ryžiai. 4. Segmentai ir

Tęskime iš abiejų pusių. Viršutinė linija tiesi, bet apatinė ne (5 pav.).

Prie viršutinės ir apatinės eilučių pridėkime dar vieną tašką ir (6 pav.). Viršutinės linijos dalis tarp taškų ir taip pat yra atkarpa, bet apatinės linijos dalis tarp taškų ir atkarpos – ne, nes ji šių taškų nesujungia trumpiausiu keliu.

Ryžiai. 6. Eilučių tęsinys ir

Tiesi linija yra neribotą laiką abiem kryptimis besitęsianti linija, kurios bet kuri dalis, apribota dviem taškais, yra atkarpa.

Tiesi linija yra linijos tipas, o kaip ir bet kuri linija, tiesi linija yra figūra. Ir, kaip ir bet kuriai tiesei, duotas taškas arba priklauso nurodytai tiesei, arba nepriklauso (7 pav.).

Ryžiai. 7. Taškai ir priklausantys tiesei, ir taškai ir nepriklausantys tiesei

1. Tiesė padalija plokštumą į dvi dalis, į dvi pusplokštumas. 8 paveiksle taškai ir yra toje pačioje pusiau plokštumoje, o ir - skirtingose ​​pusiau plokštumose.

Ryžiai. 8. Dvi pusiau plokštumos

2. Visada galima nubrėžti tiesią liniją per du taškus, ir tik vieną (9 pav.).

Tiesi linija, kaip ir bet kuri linija, gali būti pažymėta vienu mažosios raidės Lotyniška abėcėlė arba joje esančių taškų seka. Norint pažymėti liniją per joje esančius taškus, pakanka dviejų taškų.

Išplėsdami atkarpą abiem kryptimis iki begalybės, gavome tiesią liniją. Jei ir atkarpą pratęsime, bet tik viena kryptimi iki begalybės, gausime figūrą, vadinamą spinduliu (10 pav.). Šis geometrinis spindulys labai panašus į šviesos spindulį, taigi ir jo pavadinimas. Jei paimsi į rankas lazerinis žymeklis, tada šviesos spindulys prasidės nuo rodyklės ir tiesia linija eis į begalybę.

Ryžiai. 10. Sija

Taškas vadinamas spindulio pradžia. Ray žymimas.

Jei pažymėsite tašką tiesioje linijoje, tai ji padalija šią tiesę į du spindulius (11 pav.). Abu spinduliai kyla taške, bet yra nukreipti skirtingomis kryptimis. Šie du spinduliai sudaro tiesią liniją, yra jos pusės. Todėl sija dažnai dar vadinama „puse linija“.

Ryžiai. 11. Taškas padalija tiesę į du spindulius

Apsvarstykite 12 pav.

Ryžiai. 12. Segmentas, linija ir sija

Išsiaiškinkime, kaip atkarpa, tiesė ir spindulys yra panašūs ir nepanašūs vienas į kitą:

Segmentas ir sija lengvai užbaigiami iki tiesios linijos, tam atkarpa turi būti tęsiama abiem kryptimis, o sija – viena;

Tiesioje linijoje visada galite pasirinkti atkarpą arba spindulį;

Taškas padalija tiesę į du spindulius, į dvi pustieses;

Tiesios atkarpos taškai ir riba ;

Visos šios figūros: atkarpa, spindulys, tiesi linija – tai „tiesios linijos“. Jie skiriasi galų buvimu. Atkarpa turi du, spindulys – vieną, o tiesi – nė vieno. Kitu atveju galime pasakyti ir taip: ir spindulys, ir atkarpa yra tiesios linijos dalis;

Žinome, kad atkarpos ilgį galima išmatuoti. Galima palyginti du segmentus, išsiaiškinkite, kuris ilgesnis;

Tiesi linija tęsiasi neribotą laiką abiem kryptimis, spindulys – viena kryptimi. Dėl šios priežasties neįmanoma išmatuoti tiesės ar sijos ilgio, taip pat neįmanoma palyginti dviejų tiesių ar dviejų sijų ilgio. Jie visi vienodai begaliniai.

Du spinduliai, kurių kilmė yra viename taške, sudaro kitą geometrinė figūra nuo pagrindinio rinkinio – kampas. Taškas, esantis abiejų spindulių pradžioje, vadinamas kampo viršūne. Patys spinduliai vadinami kampo kraštinėmis.

Taigi kampas yra figūra, susidedanti iš dviejų spindulių, išeinančių iš vieno taško (13 pav.).

Ryžiai. 13. Kampas

Pažymėkite kampą viena raide, atitinkančia viršūnės pavadinimą. Šiuo atveju kampas gali būti vadinamas kampu (14 pav.). Kad būtų aišku, kad kalbame apie kampą, o ne apie tašką, prieš jo pavadinimą turite parašyti žodį „kampas“ arba įdėti specialų kampo simbolį („“).

Ryžiai. 14. Kampas

Jei viršuje sunku suprasti, kuris konkretus kampas klausime, kaip parodyta 15 paveiksle, tada naudokite dar du taškus abiejose kampo pusėse.

Jei šiame paveiksle tiesiog įvardinsime kampą, tai neaišku apie kurį mes kalbame, nes su viršūne taške matome kelis kampus. Todėl prie mums reikalingo kampo kraštinių pridedame tašką ir kampą žymime kaip (15 pav.).

Ryžiai. 15. Kampas

Nurodant galima eiti priešinga kryptimi, bet taip, kad viršūnė vėl būtų įrašo viduryje.

Kitas įprastas pavadinimas yra vienas Graikiškas laiškas: alfa, beta, gama ir pan. (16 pav.). Šiuo atveju raidė dažniausiai įvedama kampo viduje (17 pav.).

Ryžiai. 16. Graikų abėcėlė

Ryžiai. 17. Kampo viduje užrašytas kampo pavadinimas

Taigi 18 paveiksle žymėjimai , , yra lygiaverčiai, jie žymi tą patį kampą.

Ryžiai. 18. , , - tas pats kampas

Tegul dvi tiesės susikerta taške (19 pav.). Taškas padalija kiekvieną liniją į du spindulius, tai yra iš viso 4 spindulius. Kiekviena spindulių pora apibrėžia kampą.

Ryžiai. 19. Tiesiai ir suformuokite 4 sijas

Pavyzdžiui, , , .

Per du taškus ir visada galite nubrėžti liniją. Ar tas pats su trimis taškais?

20 paveiksle tiesi linija gali būti nubrėžta per tris taškus, bet ne 21 paveiksle.

Ryžiai. 20. Per tris taškus galima nubrėžti liniją

Ryžiai. 21. Negalite nubrėžti tiesės per tris taškus

Sakoma, kad trys paveikslo taškai yra toje pačioje tiesėje. Taip jie sako, net jei pati linija nenubrėžta, tiesiog reiškia, kad ją galima nubrėžti. Antruoju atveju sakoma, kad taškai nėra toje pačioje tiesėje, o tai reiškia, kad neįmanoma nubrėžti linijos per visus tris taškus.

Jei nuosekliai pirmiausia sujungiame 1 ir 2 taškus, po to 2 ir 3, tada gauta linija vadinama trūkine (22 pav.). Pavadinimas kyla iš jo išvaizdos.

Ryžiai. 22. nutrūkusi linija

Panašiai trūkinė linija gali sujungti bet kokį taškų skaičių. Taškai , , , , vadinami polilinijos viršūnėmis, atkarpos , , , vadinamos polilinijos nuorodomis.

Nutrūkusi linija žymima jos viršūnėmis .

Ryžiai. 23. nutrūkusi linija

Jei paskutinis taškas sujungtas su pirmuoju, tai gauta polilinija vadinama uždara (24 pav.).

Ryžiai. 24. Uždara polilinija

Su kokia polilinija gali būti sukonstruota minimalus rinkinys viršūnės ir nuorodos? Jei yra du taškai, juos galima sujungti atkarpa. Tai bus daugiausia paprastas pavyzdys polilinija: dvi viršūnės ir viena jas jungianti nuoroda. Galime sakyti, kad segmentas yra minimali polilinija.

Jei reikalaujama, kad polilinija būtų uždara, tada paprasčiausia tokia polilinija yra trikampis. Jei paimsite du taškus, sujunkite paskutinį tašką su pirmuoju tik su ta pačia atkarpa, kuri jau yra. Tai yra, nutrūkusi linija, kaip ir anksčiau, liks atvira. O jei pridėsite dar vieną tašką, kuris nėra toje pačioje tiesėje su taškais ir , sujungsite visus taškus trimis atkarpomis, gausite trikampį (25 pav.).

Ryžiai. 25. Trikampis

Trikampis yra uždara polilinija su trimis viršūnėmis. Ar net taip: trikampis yra mažiausia uždara polilinija.

Taškai Ir yra trikampio viršūnės. Juos jungiančios atkarpos, trūkinės linijos grandys, vadinamos trikampio kraštinėmis.

Trikampis žymimas jo viršūnėmis. Pavyzdžiui, . Prieš žymėjimą turite įdėti žodį „trikampis“ arba specialų trikampio simbolį („“).

Trikampis turi tris kampus. Iš kiekvienos viršūnės kyla dvi kraštinės, tai yra, trikampio kraštinės yra kampų kraštinės (26 pav.).

Ryžiai. 26. Trikampio kampai

Taigi, trikampis turi tris viršūnes (trys taškai ir ), tris puses (trys segmentai ir ).