yra daugiakampis, sudarytas iš piramidės pagrindo ir jam lygiagrečios atkarpos. Galima sakyti, kad nupjauta piramidė yra piramidė su nupjauta viršūne. Ši figūra turi daug unikalių savybių:

• Šoniniai piramidės paviršiai yra trapecijos formos;
• Taisyklingos nupjautinės piramidės šoniniai kraštai yra vienodo ilgio ir pasvirę į pagrindą tokiu pat kampu;
• Pagrindai yra panašūs daugiakampiai;
• Taisyklingoje nupjautoje piramidėje veidai yra identiškos lygiašonės trapecijos, kurių plotas yra lygus. Jie taip pat yra pasvirę į pagrindą vienu kampu.

Nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė yra jos kraštinių plotų suma:

Kadangi nupjautos piramidės kraštinės yra trapecijos, norėdami apskaičiuoti parametrus turėsite naudoti formulę trapecijos plotas. Įprastai sutrumpintai piramidei galite taikyti kitokią ploto skaičiavimo formulę. Kadangi visos jo kraštinės, paviršiai ir kampai prie pagrindo yra lygūs, galima taikyti pagrindo ir apotemos perimetrus, taip pat išvesti plotą per kampą prie pagrindo.

Jei pagal sąlygas taisyklingoje nupjautinėje piramidėje pateikiamas apotemas (kraštinės aukštis) ir pagrindo kraštinių ilgiai, tai plotą galima apskaičiuoti perimetrų sumos pusgaminiu. bazės ir apotemas:

Pažvelkime į nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.
Duota taisyklinga penkiakampė piramidė. Apotema l= 5 cm, krašto ilgis dideliame pagrinde yra a= 6 cm, o kraštas yra ties mažesniu pagrindu b= 4 cm. Apskaičiuokite nupjautos piramidės plotą.

Pirma, suraskime pagrindų perimetrus. Kadangi mums duota penkiakampė piramidė, suprantame, kad pagrindai yra penkiakampiai. Tai reiškia, kad pagrinduose yra figūra su penkiomis identiškomis kraštinėmis. Raskime didesnės bazės perimetrą:

Tuo pačiu būdu randame mažesnio pagrindo perimetrą:

Dabar galime apskaičiuoti taisyklingos nupjautos piramidės plotą. Pakeiskite duomenis į formulę:

Taigi mes apskaičiavome taisyklingos nupjautos piramidės plotą per perimetrus ir apotemą.

Kitas būdas apskaičiuoti taisyklingos piramidės šoninį paviršiaus plotą yra formulė per kampus prie pagrindo ir tų pačių pagrindų plotą.

Pažvelkime į skaičiavimo pavyzdį. Prisimename, kad ši formulė galioja tik taisyklingai nupjautai piramidei.

Tegu yra taisyklinga keturkampė piramidė. Apatinio pagrindo kraštas a = 6 cm, o viršutinio pagrindo kraštas b = 4 cm Dvikampis kampas prie pagrindo β = 60°. Raskite taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Pirmiausia apskaičiuokime pagrindų plotą. Kadangi piramidė yra taisyklinga, visos pagrindų briaunos yra lygios viena kitai. Atsižvelgiant į tai, kad pagrindas yra keturkampis, suprantame, kad reikės skaičiuoti aikštės plotas. Tai yra pločio ir ilgio sandauga, tačiau kvadratu šios reikšmės yra vienodos. Raskime didesnės bazės plotą:


Dabar mes naudojame rastas vertes šoninio paviršiaus plotui apskaičiuoti.

Žinodami keletą paprastų formulių, naudodami įvairias reikšmes, lengvai apskaičiavome nupjautos piramidės šoninės trapecijos plotą.

Piramidė. Nupjauta piramidė

Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazė ), o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne ( šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .

Šoninis šonkaulis piramidės yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis piramidė yra atstumas nuo jos viršaus iki pagrindo plokštumos. Visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai, visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės, ištrauktos iš viršūnės, šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotemas . Įstrižainė pjūvis vadinama piramidės pjūviu plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Šoninio paviršiaus plotas piramidė yra visų šoninių paviršių plotų suma. Bendras paviršiaus plotas vadinama visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.

Teoremos

1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.

2. Jei visos piramidės šoninės briaunos yra vienodo ilgio, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.

3. Jei piramidėje visi paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įbrėžto apskritimo centrą.

Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, teisinga formulė yra:

Kur V- tūris;

S bazė– bazinis plotas;

H– piramidės aukštis.

Įprastos piramidės atveju teisingos šios formulės:

Kur p– bazinis perimetras;

h a– apotemas;

H- aukštis;

S pilnas

S pusė

S bazė– bazinis plotas;

V– taisyklingos piramidės tūris.

Nupjauta piramidė vadinama piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui (17 pav.). Taisyklinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingosios piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui.

Priežastys nupjauta piramidė – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai – trapecijos. Aukštis Nupjautos piramidės atstumas tarp jos pagrindų. Įstrižainė nupjauta piramidė yra atkarpa, jungianti jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. Įstrižainė pjūvis yra nupjautinės piramidės atkarpa plokštuma, kertanti du šoninius kraštus, nepriklausančius tam pačiam paviršiui.

Sutrumpintai piramidei galioja šios formulės:

(4)

Kur S 1 , S 2 – viršutinio ir apatinio pagrindo plotai;

S pilnas– bendras paviršiaus plotas;

S pusė– šoninio paviršiaus plotas;

H- aukštis;

V– nupjautinės piramidės tūris.

Taisyklingai sutrumpintai piramidei formulė yra teisinga:

Kur p 1 , p 2 – pagrindų perimetrai;

h a– taisyklingos nupjautinės piramidės apotema.

1 pavyzdys. Taisyklingoje trikampėje piramidėje dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite šoninės briaunos polinkio kampo į pagrindo plokštumą liestinę.

Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).

Piramidė yra taisyklinga, o tai reiškia, kad prie pagrindo yra lygiakraštis trikampis, o visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo yra piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas yra kampas a tarp dviejų statmenų: ir kt. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apskritimo ir įbrėžto trikampio apskritimo centras ABC). Šoninio krašto pasvirimo kampas (pvz S.B.) yra kampas tarp paties krašto ir jo projekcijos į pagrindo plokštumą. Dėl šonkaulio S.B.šis kampas bus kampas SBD. Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP Ir O.B.. Tegul segmento ilgis BD lygus 3 A. Taškas APIE linijos segmentas BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: Iš randame:

Atsakymas:

2 pavyzdys. Raskite taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės tūrį, jei jos pagrindų įstrižainės lygios cm ir cm, o aukštis – 4 cm.

Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norėdami rasti pagrindų plotą, turite rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės atitinkamai lygios 2 cm ir 8 cm Tai reiškia pagrindų plotus ir visus duomenis pakeitę į formulę, apskaičiuojame nupjautinės piramidės tūrį:

Atsakymas: 112 cm3.

3 pavyzdys. Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindų kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis yra 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).

Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindą ir aukštį. Pagrindai pateikiami pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Iš kur ją surasime A 1 E statmenai nuo taško A 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D– statmenai nuo A 1 proc AC. A 1 E= 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Rasti DE Padarykime papildomą brėžinį, kuriame parodytas vaizdas iš viršaus (20 pav.). Taškas APIE– viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai– spindulys, įrašytas į apskritimą ir OM– spindulys, įrašytas į apskritimą:

MK = DE.

Pagal Pitagoro teoremą iš

Šoninė veido sritis:

Atsakymas:

4 pavyzdys. Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai A Ir b (a> b). Kiekvienas šoninis paviršius sudaro kampą, lygų piramidės pagrindo plokštumai j. Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD lygus trapecijos plotų ir plotų sumai ABCD.

Panaudokime teiginį, kad jei visi piramidės paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas APIE– viršūnių projekcija S piramidės pagrindu. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSDį pagrindo plokštumą. Naudodami teoremą apie plokštumos figūros ortogonaliosios projekcijos plotą, gauname:

Lygiai taip pat tai reiškia Taigi problema buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD. Nubraižykime trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas APIE– į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.

Kadangi apskritimas gali būti įrašytas į trapeciją, tada arba Iš Pitagoro teoremos turime

Gebėjimas apskaičiuoti erdvinių figūrų tūrį yra svarbus sprendžiant daugybę praktinių geometrijos uždavinių. Viena iš labiausiai paplitusių figūrų yra piramidė. Šiame straipsnyje apžvelgsime tiek pilnas, tiek sutrumpintas piramides.

Piramidė kaip trimatė figūra

Visi žino apie Egipto piramides, todėl puikiai supranta, apie kokią figūrą mes kalbėsime. Tačiau Egipto akmens konstrukcijos yra tik ypatingas didžiulės piramidžių klasės atvejis.

Nagrinėjamas geometrinis objektas bendruoju atveju yra daugiakampis pagrindas, kurio kiekviena viršūnė yra sujungta su tam tikru erdvės tašku, kuris nepriklauso pagrindo plokštumai. Šis apibrėžimas veda į figūrą, susidedančią iš vieno n kampo ir n trikampių.

Bet kuri piramidė susideda iš n+1 paviršių, 2*n briaunų ir n+1 viršūnių. Kadangi nagrinėjama figūra yra tobulas daugiakampis, pažymėtų elementų skaičiai paklūsta Eulerio lygybei:

2*n = (n+1) + (n+1) – 2.

Daugiakampis, esantis prie pagrindo, suteikia piramidės pavadinimą, pavyzdžiui, trikampis, penkiakampis ir pan. Piramidžių rinkinys su skirtingais pagrindais parodytas žemiau esančioje nuotraukoje.

Taškas, kuriame susikerta n figūros trikampių, vadinamas piramidės viršūne. Jei statmenas nuo jo nuleistas ant pagrindo ir jis kerta jį geometriniame centre, tada tokia figūra bus vadinama tiesia linija. Jei ši sąlyga neįvykdoma, atsiranda pasvirusi piramidė.

Stačioji figūra, kurios pagrindą sudaro lygiakraštis (lygiakampis) n-kampis, vadinama taisyklingu.

Piramidės tūrio formulė

Piramidės tūriui apskaičiuoti naudosime integralinį skaičiavimą. Norėdami tai padaryti, padalijame figūrą, išpjaudami plokštumas, lygiagrečias pagrindui, į begalinį skaičių plonų sluoksnių. Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduota keturkampė piramidė, kurios aukštis h ir kraštinės ilgis L, kurioje keturkampis žymi ploną pjūvio sluoksnį.

Kiekvieno tokio sluoksnio plotą galima apskaičiuoti pagal formulę:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Čia A 0 yra pagrindo plotas, z yra vertikalios koordinatės reikšmė. Matyti, kad jei z = 0, tai formulė suteikia reikšmę A 0 .

Norėdami gauti piramidės tūrio formulę, turėtumėte apskaičiuoti integralą per visą figūros aukštį, tai yra:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Pakeitę priklausomybę A(z) ir apskaičiavę antidarinį, gauname išraišką:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3 * A 0 * val.

Gavome piramidės tūrio formulę. Norėdami sužinoti V reikšmę, tiesiog padauginkite figūros aukštį iš pagrindo ploto ir padalykite rezultatą iš trijų.

Atkreipkite dėmesį, kad gauta išraiška galioja apskaičiuojant bet kokio tipo piramidės tūrį. Tai yra, jis gali būti pasviręs, o jo pagrindas gali būti savavališkas n-kampis.

ir jo apimtis

Pirmiau pateiktoje pastraipoje gautą bendrąją tūrio formulę galima patikslinti piramidės su įprastu pagrindu atveju. Tokio pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal šią formulę:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Čia L yra taisyklingo daugiakampio su n viršūnių kraštinės ilgis. Simbolis pi yra skaičius pi.

Pakeitę A 0 išraišką į bendrą formulę, gauname taisyklingos piramidės tūrį:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Pavyzdžiui, trikampei piramidei ši formulė suteikia tokią išraišką:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *val.

Įprastos keturkampės piramidės tūrio formulė yra tokia:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *val.

Norint nustatyti taisyklingų piramidžių tūrius, reikia žinoti jų pagrindo kraštą ir figūros aukštį.

Nupjauta piramidė

Tarkime, kad paėmėme savavališką piramidę ir nupjovėme dalį jos šoninio paviršiaus, kuriame yra viršūnė. Likusi figūra vadinama nupjautąja piramide. Jį jau sudaro du n kampų pagrindai ir n juos jungiančios trapecijos. Jei pjovimo plokštuma buvo lygiagreti figūros pagrindui, tada susidaro nupjauta piramidė su panašiais lygiagrečiais pagrindais. Tai yra, vienos iš jų kraštinių ilgius galima gauti padauginus kitos ilgius iš tam tikro koeficiento k.

Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotas nupjautas taisyklingas.Matyti, kad jo viršutinis pagrindas, kaip ir apatinis, suformuotas taisyklingo šešiakampio.

Formulė, kurią galima gauti naudojant integralinį skaičiavimą, panašų į aukščiau pateiktą:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Kur A 0 ir A 1 yra atitinkamai apatinių (didelių) ir viršutinių (mažų) bazių plotai. Kintamasis h reiškia nupjautinės piramidės aukštį.

Cheopso piramidės tūris

Įdomu išspręsti didžiausios Egipto piramidės viduje esančio tūrio nustatymo problemą.

1984 metais britų egiptologai Markas Lehneris ir Jonas Goodmanas nustatė tikslius Cheopso piramidės matmenis. Pradinis jo aukštis buvo 146,50 metro (šiuo metu apie 137 metrai). Vidutinis kiekvienos iš keturių konstrukcijos pusių ilgis buvo 230 363 metro. Piramidės pagrindas yra kvadratinis su dideliu tikslumu.

Naudokime pateiktus skaičius šio akmens milžino tūriui nustatyti. Kadangi piramidė yra taisyklinga keturkampė, tada jai galioja formulė:

Pakeitę skaičius, gauname:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheopso piramidės tūris – beveik 2,6 mln.m3. Palyginimui pažymime, kad olimpinio baseino tūris yra 2,5 tūkst. Tai yra, norint užpildyti visą Cheopso piramidę, jums reikės daugiau nei 1000 tokių baseinų!