Daugiakampis: kaip rasti piramidės šoninį paviršiaus plotą. Raskite taisyklingos trikampės piramidės paviršiaus plotą

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Aiškūs sudėtingų sąvokų paaiškinimai. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.

yra figūra, kurios pagrindas yra savavališkas daugiakampis, o šoniniai paviršiai pavaizduoti trikampiais. Jų viršūnės yra tame pačiame taške ir atitinka piramidės viršūnę.

Piramidė gali būti įvairi – trikampė, keturkampė, šešiakampė ir kt. Jo pavadinimą galima nustatyti priklausomai nuo kampų, esančių greta pagrindo, skaičiaus.
Dešinioji piramidė vadinama piramide, kurios pagrindo kraštinės, kampai ir briaunos yra lygios. Taip pat tokioje piramidėje šoninių paviršių plotas bus lygus.
Piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė yra visų jos paviršių plotų suma:
Tai yra, norint apskaičiuoti savavališkos piramidės šoninio paviršiaus plotą, reikia rasti kiekvieno atskiro trikampio plotą ir juos sudėti. Jei piramidė yra sutrumpinta, tada jos veidai pavaizduoti trapecijos forma. Yra ir kita taisyklingos piramidės formulė. Jame šoninio paviršiaus plotas apskaičiuojamas per pagrindo pusiau perimetrą ir apotemos ilgį:

Panagrinėkime piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.
Tegu yra taisyklinga keturkampė piramidė. Bazinė pusė b= 6 cm, apothem a= 8 cm. Raskite šoninio paviršiaus plotą.

Taisyklingos keturkampės piramidės pagrinde yra kvadratas. Pirmiausia suraskime jo perimetrą:

Dabar galime apskaičiuoti mūsų piramidės šoninio paviršiaus plotą:

Norėdami rasti bendrą daugiakampio plotą, turėsite rasti jo pagrindo plotą. Piramidės pagrindo ploto formulė gali skirtis priklausomai nuo to, kuris daugiakampis yra pagrinde. Norėdami tai padaryti, naudokite trikampio ploto formulę, lygiagretainio plotas ir tt

Apsvarstykite pavyzdį, kaip apskaičiuoti piramidės pagrindo plotą, pateiktą mūsų sąlygomis. Kadangi piramidė yra taisyklinga, jos apačioje yra kvadratas.
Kvadrato plotas apskaičiuojamas pagal formulę: ,
kur a yra kvadrato kraštinė. Mums tai yra 6 cm. Tai reiškia, kad piramidės pagrindo plotas yra:

Dabar belieka rasti bendrą daugiakampio plotą. Piramidės ploto formulė susideda iš jos pagrindo ir šoninio paviršiaus plotų sumos.

Savavališkos piramidės šoninio paviršiaus plotas yra lygus jos šoninių paviršių plotų sumai. Taisyklingos piramidės atveju prasminga pateikti specialią formulę šiai sričiai išreikšti. Taigi, duokime taisyklingąją piramidę, kurios pagrinde yra taisyklingasis n-kampis, kurio kraštinė lygi a. Tegul h yra šoninio paviršiaus aukštis, dar vadinamas apotemas piramidės. Vieno šoninio paviršiaus plotas lygus 1/2ah, o viso piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus n/2ha.Kadangi na yra piramidės pagrindo perimetras, galime parašyti rastą formulę formoje:

Šoninio paviršiaus plotas taisyklingosios piramidės yra lygi jos apotemos ir pusės pagrindo perimetro sandaugai.

Kalbant apie viso paviršiaus ploto, tada pagrindo plotą tiesiog pridedame prie šoninio.

Įbrėžta ir apibrėžta sfera ir sfera. Pažymėtina, kad į piramidę įrašytos sferos centras yra piramidės vidinių dvišakių kampų bisektorinių plokštumų sankirtoje. Aprašytos sferos centras šalia piramidės yra plokštumų, einančių per piramidės kraštų vidurio taškus ir joms statmenos, susikirtimo vietoje.

Nupjauta piramidė. Jei piramidė perpjauta plokštuma, lygiagrečia jos pagrindui, tai dalis, esanti tarp pjovimo plokštumos ir pagrindo, vadinama nupjauta piramidė. Paveikslėlyje pavaizduota piramidė; išmetę jos dalį, esančią virš pjovimo plokštumos, gauname nupjautą piramidę. Akivaizdu, kad maža išmesta piramidė yra homotetinė su didele piramide, kurios viršūnėje yra homotetiškumo centras. Panašumo koeficientas lygus aukščių santykiui: k=h 2 /h 1, arba šoninės briaunos, arba kiti atitinkami abiejų piramidžių tiesiniai matmenys. Žinome, kad panašių figūrų plotai yra susiję kaip tiesinių matmenų kvadratai; Taigi abiejų piramidžių pagrindų plotai (t. y. nupjautinės piramidės pagrindų plotai) yra susiję kaip

Čia S 1 yra apatinio pagrindo plotas, o S 2 yra nupjautos piramidės viršutinio pagrindo plotas. Piramidžių šoniniai paviršiai yra vienodi. Panaši taisyklė galioja ir tūriams.

Panašių kūnų tūriai yra susiję kaip savo linijinių matmenų kubeliai; Pavyzdžiui, piramidžių tūriai yra susiję kaip jų aukščių ir pagrindų ploto sandauga, iš kurios iš karto gaunama mūsų taisyklė. Jis yra visiškai bendro pobūdžio ir tiesiogiai išplaukia iš to, kad tūris visada turi trečiosios ilgio laipsnio matmenis. Naudodamiesi šia taisykle, gauname formulę, išreiškiančią nupjautos piramidės tūrį per pagrindų aukštį ir plotą.

Pateikiame nupjautinę piramidę, kurios aukštis h ir pagrindo plotai S 1 ir S 2. Jei įsivaizduosime, kad ji yra išplėsta iki pilnos piramidės, tada visos piramidės ir mažosios piramidės panašumo koeficientą galima lengvai rasti kaip santykio S 2 /S 1 šaknį. Nupjautinės piramidės aukštis išreiškiamas kaip h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Dabar turime nupjautos piramidės tūrį (V 1 ir V 2 reiškia pilnos ir mažos piramidės tūrį)

nupjautinės piramidės tūrio formulė

Išveskime taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus ploto S per pagrindų perimetrus P 1 ir P 2 ir apotemos a ilgio formulę. Mes samprotaujame lygiai taip pat, kaip ir išvesdami tūrio formulę. Piramidę papildome viršutine dalimi, turime P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, kur k yra panašumo koeficientas, P 1 ir P 2 yra pagrindų perimetrai, o S 1 ir S 2 yra visos gautos piramidės ir atitinkamai jos viršutinės dalies šoninių paviršių plotai. Šoniniam paviršiui randame (a 1 ir a 2 yra piramidžių apotemos, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

Taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė

Instrukcijos

Visų pirma, verta suprasti, kad piramidės šoninis paviršius pavaizduotas keliais trikampiais, kurių plotus galima rasti naudojant įvairias formules, priklausomai nuo žinomų duomenų:

S = (a*h)/2, kur h yra aukštis, nuleistas į a pusę;

S = a*b*sinβ, kur a, b yra trikampio kraštinės, o β yra kampas tarp šių kraštinių;

S = (r*(a + b + c))/2, kur a, b, c – trikampio kraštinės, o r – į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys;

S = (a*b*c)/4*R, kur R yra aplink apskritimą apibrėžto trikampio spindulys;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (jei trikampis stačiakampis);

S = S = (a²*√3)/4 (jei trikampis lygiakraštis).

Tiesą sakant, tai yra tik pagrindinės žinomos trikampio ploto nustatymo formulės.

Naudodami aukščiau pateiktas formules apskaičiavę visų trikampių, kurie yra piramidės paviršiai, plotus, galite pradėti skaičiuoti šios piramidės plotą. Tai daroma labai paprastai: reikia susumuoti visų trikampių, sudarančių piramidės šoninį paviršių, plotus. Tai galima išreikšti formule:

Sp = ΣSi, kur Sp yra šoninio paviršiaus plotas, Si yra i-ojo trikampio plotas, kuris yra jo šoninio paviršiaus dalis.

Siekiant didesnio aiškumo, galime apsvarstyti nedidelį pavyzdį: taisyklinga piramidė, kurios šoninius paviršius sudaro lygiakraščiai trikampiai, o jos pagrindu yra kvadratas. Šios piramidės briaunos ilgis 17 cm. Reikia rasti šios piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas: žinomas šios piramidės krašto ilgis, žinoma, kad jos paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai. Taigi, galime sakyti, kad visų trikampių šoniniame paviršiuje visos kraštinės yra lygios 17 cm. Todėl norint apskaičiuoti kurio nors iš šių trikampių plotą, reikės taikyti formulę:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Yra žinoma, kad piramidės apačioje yra kvadratas. Taigi aišku, kad yra keturi lygiakraščiai trikampiai. Tada piramidės šoninio paviršiaus plotas apskaičiuojamas taip:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Atsakymas: Piramidės šoninio paviršiaus plotas yra 500,548 cm²

Pirmiausia apskaičiuokime piramidės šoninio paviršiaus plotą. Šoninis paviršius yra visų šoninių paviršių plotų suma. Jei turite reikalą su taisyklingąja piramide (ty tokia, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o viršūnė projektuojama į šio daugiakampio centrą), tada norint apskaičiuoti visą šoninį paviršių, pakanka padauginti piramidės perimetrą. pagrindą (ty visų daugiakampio, esančio pagrindo piramidėje, kraštinių ilgių sumą) iš šoninio paviršiaus aukščio (kitaip vadinamo apotemu) ir gautą reikšmę padalinkite iš 2: Sb = 1/2P* h, kur Sb yra šoninio paviršiaus plotas, P yra pagrindo perimetras, h yra šoninio paviršiaus aukštis (apotema).

Jei priešais save turite savavališką piramidę, turėsite atskirai apskaičiuoti visų veidų plotus ir juos sudėti. Kadangi piramidės šoniniai paviršiai yra trikampiai, naudokite trikampio ploto formulę: S=1/2b*h, kur b yra trikampio pagrindas, o h yra aukštis. Suskaičiavus visų paviršių plotus, belieka juos susumuoti, kad gautume piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Tada reikia apskaičiuoti piramidės pagrindo plotą. Skaičiavimo formulės pasirinkimas priklauso nuo to, kuris daugiakampis yra piramidės pagrinde: taisyklingas (ty vienas, kurio visos kraštinės yra vienodo ilgio) ar netaisyklingasis. Taisyklingo daugiakampio plotą galima apskaičiuoti perimetrą padauginus iš daugiakampyje įrašyto apskritimo spindulio ir gautą reikšmę padalijus iš 2: Sn = 1/2P*r, kur Sn yra daugiakampio plotas. daugiakampis, P yra perimetras, o r yra daugiakampyje įrašyto apskritimo spindulys.

Nupjautoji piramidė yra daugiakampis, kurį sudaro piramidė ir jos skerspjūvis lygiagretus pagrindui. Surasti piramidės šoninio paviršiaus plotą visai nesunku. Tai labai paprasta: plotas lygus pusės bazių sumos sandaugai iš . Panagrinėkime šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį. Tarkime, kad mums duota taisyklinga piramidė. Pagrindo ilgiai b = 5 cm, c = 3 cm. Apotema a = 4 cm. Norėdami rasti piramidės šoninio paviršiaus plotą, pirmiausia turite rasti pagrindų perimetrą. Didelėje bazėje jis bus lygus p1=4b=4*5=20 cm.Mažesniame pagrinde formulė bus tokia: p2=4c=4*3=12 cm.Todėl plotas bus lygus : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.

Trikampė piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra taisyklingasis trikampis.

Tokioje piramidėje pagrindo kraštai ir šonų kraštai yra lygūs vienas kitam. Atitinkamai, šoninių paviršių plotas randamas iš trijų vienodų trikampių plotų sumos. Įprastos piramidės šoninį paviršiaus plotą galite rasti naudodami formulę. Ir jūs galite atlikti skaičiavimą kelis kartus greičiau. Norėdami tai padaryti, turite pritaikyti trikampės piramidės šoninio paviršiaus ploto formulę:

čia p – pagrindo, kurio visos kraštinės lygios b, perimetras, a – nuo ​​viršaus iki šio pagrindo nuleistas apotemas. Panagrinėkime trikampės piramidės ploto apskaičiavimo pavyzdį.

Užduotis: duokime taisyklingą piramidę. Trikampio kraštinė prie pagrindo yra b = 4 cm. Piramidės apotema yra a = 7 cm. Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.
Kadangi pagal uždavinio sąlygas žinome visų reikalingų elementų ilgius, rasime perimetrą. Prisimename, kad įprasto trikampio visos kraštinės yra lygios, todėl perimetras apskaičiuojamas pagal formulę:

Pakeiskime duomenis ir raskime reikšmę:

Dabar, žinodami perimetrą, galime apskaičiuoti šoninio paviršiaus plotą:

Norėdami pritaikyti trikampės piramidės ploto formulę, kad apskaičiuotumėte visą vertę, turite rasti daugiakampio pagrindo plotą. Norėdami tai padaryti, naudokite formulę:

Trikampės piramidės pagrindo ploto formulė gali būti skirtinga. Galima naudoti bet kokį tam tikros figūros parametrų skaičiavimą, tačiau dažniausiai to nereikia. Panagrinėkime trikampės piramidės pagrindo ploto apskaičiavimo pavyzdį.

Uždavinys: Taisyklingoje piramidėje trikampio kraštinė prie pagrindo yra a = 6 cm. Apskaičiuokite pagrindo plotą.
Norėdami apskaičiuoti, mums reikia tik taisyklingo trikampio, esančio piramidės pagrinde, kraštinės ilgio. Pakeiskime duomenis į formulę:

Gana dažnai reikia rasti bendrą daugiakampio plotą. Norėdami tai padaryti, turėsite pridėti šoninio paviršiaus ir pagrindo plotą.

Panagrinėkime trikampės piramidės ploto apskaičiavimo pavyzdį.

Užduotis: duokime taisyklingą trikampę piramidę. Pagrindo kraštinė b = 4 cm, apotema a = 6 cm. Raskite bendrą piramidės plotą.
Pirmiausia pagal jau žinomą formulę suraskime šoninio paviršiaus plotą. Apskaičiuokime perimetrą:

Pakeiskite duomenis į formulę:
Dabar suraskime pagrindo plotą:
Žinodami pagrindo ir šoninio paviršiaus plotą, randame bendrą piramidės plotą:

Skaičiuodami įprastos piramidės plotą, neturėtumėte pamiršti, kad pagrindas yra taisyklingas trikampis ir daugelis šio daugiakampio elementų yra lygūs vienas kitam.