Susijusi pamoka „Be galo mažėjanti geometrinė progresija“ (algebra, 10 klasė)

Pamokos tikslas: supažindinantis mokinius su naujos rūšies seka – be galo mažėjančia geometrine progresija.

Įranga: projektorius, ekranas.

Pamokos tipas: Pamoka – naujos temos įsisavinimas.

Per užsiėmimus

aš . Org. momentas. Pranešimas apie pamokos temą ir tikslą.

II . Mokinių žinių atnaujinimas.

9 klasėje mokėsi aritmetinės ir geometrinės progresijos.

Klausimai

1. Aritmetinės progresijos apibrėžimas. (Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, pridėtam prie to paties skaičiaus.)

2. Formulė n– aritmetinės progresijos narys (
)

3. Pirmojo sumos formulė n aritmetinės progresijos nariai.

(
arba
)

4. Geometrinės progresijos apibrėžimas. (Geometrinė progresija yra nulinių skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus.)

5. Formulė n- geometrinės progresijos narys (

)

6. Pirmojo sumos formulė n geometrinės progresijos nariai. (
)

7. Kokias formules dar žinai?

(
, kur
;
;
;
,
)

5. Geometrinei progresijai
rasti penktą terminą.

6. Geometrinei progresijai
rasti n– narys.

7. Eksponentiškai b 3 = 8 Ir b 5 = 2 . Rasti b 4 . (4)

8. Eksponentiškai b 3 = 8 Ir b 5 = 2 . Rasti b 1 Ir q .

9. Eksponentiškai b 3 = 8 Ir b 5 = 2 . Rasti S 5 . (62)

III . Naujos temos tyrinėjimas(demonstracinis pristatymas).

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė lygi 1. Nubrėžkime kitą kvadratą, kurio kraštinė yra pusė pirmojo kvadrato, tada dar vieną, kurio kraštinė yra pusė antrojo, tada kitą ir t. Kiekvieną kartą naujo kvadrato kraštinė yra pusė ankstesnės.

Dėl to gavome kvadratų kraštinių seką formuojant geometrinę progresiją su vardikliu .

Ir, kas labai svarbu, kuo daugiau statysime tokių aikščių, tuo mažesnė bus aikštės pusė. Pavyzdžiui,

Tie. didėjant skaičiui n, progresijos sąlygos artėja prie nulio.

Remiantis šia figūra, galima apsvarstyti dar vieną seką.

Pavyzdžiui, kvadratų sričių seka:

. Ir vėl, jei n didėja neribotą laiką, tada plotas savavališkai artėja prie nulio.

Panagrinėkime dar vieną pavyzdį. Lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė yra 1 cm. Sukurkime kitą trikampį, kurio viršūnės yra 1-ojo trikampio kraštinių vidurio taškuose, pagal trikampio vidurio linijos teoremą - 2-ojo kraštinė lygi pusei pirmojo kraštinės, 3-iojo kraštinė yra pusė trikampio kraštinės. 2-oji ir kt. Vėl gauname trikampių kraštinių ilgių seką.

adresu
.

Jei nagrinėsime geometrinę progresiją su neigiamu vardikliu.

Tada vėl didėjant skaičiui n progresijos sąlygos artėja prie nulio.

Atkreipkime dėmesį į šių sekų vardiklius. Visur vardikliai buvo mažesni nei 1 modulis.

Galime daryti išvadą: geometrinė progresija be galo mažės, jei jos vardiklio modulis yra mažesnis už 1.

Apibrėžimas:

Sakoma, kad geometrinė progresija be galo mažėja, jei jos vardiklio modulis yra mažesnis už vieną.
.

Apibrėžimo pagalba galima išspręsti klausimą, ar geometrinė progresija be galo mažėja, ar ne.

Užduotis

Ar seka yra be galo mažėjanti geometrinė progresija, jei ji pateikiama pagal formulę:

;
.

Sprendimas:

. Raskime q .

;
;
;
.

ši geometrinė progresija be galo mažėja.

b)ši seka nėra be galo mažėjanti geometrinė progresija.

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė lygi 1. Padalinkite jį per pusę, vieną iš pusių vėl per pusę ir pan. visų gautų stačiakampių plotai sudaro be galo mažėjančią geometrinę progresiją:

Visų tokiu būdu gautų stačiakampių plotų suma bus lygi 1 kvadrato plotui ir lygi 1.

Pamokos tikslas: supažindinti mokinius su naujos rūšies seka – be galo mažėjančia geometrine progresija.
Užduotys:
pradinės skaitmeninės sekos ribos idėjos formulavimas;
susipažinimas su kitu būdu begalines periodines trupmenas paversti paprastosiomis, naudojant be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę;
mokinių asmenybės intelektinių savybių, tokių kaip loginis mąstymas, gebėjimas atlikti vertinamuosius veiksmus, apibendrinimas, ugdymas;
aktyvumo ugdymas, savitarpio pagalba, kolektyvizmas, domėjimasis dalyku.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Susijusi pamoka „Be galo mažėjanti geometrinė progresija“ (algebra, 10 klasė)

Pamokos tikslas: supažindinantis mokinius su naujos rūšies seka – be galo mažėjančia geometrine progresija.

Užduotys:

pradinės skaitmeninės sekos ribos idėjos formulavimas; susipažinimas su kitu būdu begalines periodines trupmenas paversti paprastosiomis, naudojant be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę;

mokinių asmenybės intelektinių savybių, tokių kaip loginis mąstymas, gebėjimas atlikti vertinamuosius veiksmus, apibendrinimas, ugdymas;

aktyvumo ugdymas, savitarpio pagalba, kolektyvizmas, domėjimasis dalyku.

Įranga: kompiuterių klasė, projektorius, ekranas.

Pamokos tipas: Pamoka – naujos temos įsisavinimas.

Per užsiėmimus

I. Org. momentas. Pranešimas apie pamokos temą ir tikslą.

II. Mokinių žinių atnaujinimas.

9 klasėje mokėsi aritmetinės ir geometrinės progresijos.

Klausimai

1. Aritmetinės progresijos apibrėžimas.

(Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys,

Pradedant nuo antrojo, jis yra lygus ankstesniam terminui, pridedamas tuo pačiu skaičiumi).

2. Formulė n -tasis aritmetinės progresijos narys

3. Pirmojo sumos formulė n aritmetinės progresijos nariai.

( arba )

4. Geometrinės progresijos apibrėžimas.

(Geometrinė progresija yra skaičių, kurie skiriasi nuo nulio, seka,

Kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš

tą patį numerį).

5. Formulė n geometrinės progresijos narys

6. Pirmojo sumos formulė n geometrinės progresijos nariai.

7. Kokias formules dar žinai?

(, kur ; ;

; , )

Užduotys

1. Aritmetinė progresija pateikiama formule a n = 7 - 4n. Raskite 10. (-33)

2. Aritmetinė progresija a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite 4. (4)

3. Aritmetinė progresija a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite 17. (-35)

4. Aritmetinė progresija a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite S 17 . (-187)

5. Geometrinei progresijairasti penktą terminą.

6. Geometrinei progresijai rasti n-ąjį terminą.

7. Eksponentiškai b 3 = 8 ir b 5 = 2 . Raskite b 4 . (4)

8. Eksponentiškai b 3 = 8 ir b 5 = 2 . Raskite b 1 ir q .

9. Eksponentiškai b 3 = 8 ir b 5 = 2 . Raskite S 5 . (62)

III. Naujos temos tyrinėjimas(demonstracinis pristatymas).

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė lygi 1. Nubrėžkime kitą kvadratą, kurio kraštinė yra pusė pirmojo kvadrato, tada dar vieną, kurio kraštinė yra pusė antrojo, tada kitą ir t. Kiekvieną kartą naujo kvadrato kraštinė yra pusė ankstesnės.

Dėl to gavome kvadratų kraštinių sekąformuojant geometrinę progresiją su vardikliu.

Ir, kas labai svarbu, kuo daugiau statysime tokių aikščių, tuo mažesnė bus aikštės pusė. Pavyzdžiui ,

Tie. didėjant skaičiui n, progresijos sąlygos artėja prie nulio.

Remiantis šia figūra, galima apsvarstyti dar vieną seką.

Pavyzdžiui, kvadratų sričių seka:

Ir vėl, jei n didėja neribotą laiką, tada plotas savavališkai artėja prie nulio.

Panagrinėkime dar vieną pavyzdį. Lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė yra 1 cm. Sukurkime kitą trikampį, kurio viršūnės yra 1-ojo trikampio kraštinių vidurio taškuose, pagal trikampio vidurio linijos teoremą - 2-ojo kraštinė lygi pusei pirmojo kraštinės, 3-iojo kraštinė yra pusė trikampio kraštinės. 2-oji ir kt. Vėl gauname trikampių kraštinių ilgių seką.

Prie .

Jei nagrinėsime geometrinę progresiją su neigiamu vardikliu.

Tada vėl didėjant skaičiui n progresijos sąlygos artėja prie nulio.

Atkreipkime dėmesį į šių sekų vardiklius. Visur vardikliai buvo mažesni nei 1 modulis.

Galime daryti išvadą: geometrinė progresija be galo mažės, jei jos vardiklio modulis yra mažesnis už 1.

Darbas priekyje.

Apibrėžimas:

Sakoma, kad geometrinė progresija be galo mažėja, jei jos vardiklio modulis yra mažesnis už vieną..

Apibrėžimo pagalba galima išspręsti klausimą, ar geometrinė progresija be galo mažėja, ar ne.

Užduotis

Ar seka yra be galo mažėjanti geometrinė progresija, jei ji pateikiama pagal formulę:

Sprendimas:

Raskime q.

; ; ; .

ši geometrinė progresija be galo mažėja.

b) ši seka nėra be galo mažėjanti geometrinė progresija.

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė lygi 1. Padalinkite jį per pusę, vieną iš pusių vėl per pusę ir pan. visų gautų stačiakampių plotai sudaro be galo mažėjančią geometrinę progresiją:

Visų tokiu būdu gautų stačiakampių plotų suma bus lygi 1 kvadrato plotui ir lygi 1.

Tačiau kairėje šios lygybės pusėje yra begalinio skaičiaus terminų suma.

Apsvarstykite pirmųjų n narių sumą.

Pagal geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę lygi.

Jei n tada didėja neribotą laiką

arba . Todėl t.y. .

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumayra sekos riba S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Pavyzdžiui, dėl progresavimo,

mes turime

Nes

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumagalima rasti naudojant formulę.

III. Apmąstymas ir konsolidacija(užduočių atlikimas).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Apibendrinant.

Kokią seką sutikote šiandien?

Apibrėžkite be galo mažėjančią geometrinę progresiją.

Kaip įrodyti, kad geometrinė progresija be galo mažėja?

Pateikite be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę.

V. Namų darbai.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite „Google“ paskyrą (paskyrą) ir prisijunkite: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Mokėti nuosekliai mąstyti, įtikinamai vertinti ir paneigti klaidingas išvadas turėtų kiekvienas: ir fizikas, ir poetas, ir traktorininkas, ir chemikas. E.Kolmanas Matematikoje reikėtų prisiminti ne formules, o mąstymo procesus. VP Ermakovas Lengviau rasti apskritimo kvadratą nei pergudrauti matematiką. Augustas de Morganas Koks mokslas gali būti kilnesnis, žavingesnis, naudingesnis žmonijai nei matematika? Franklinas

Be galo mažėjanti geometrinė progresija 10 klasė

aš. Aritmetinė ir geometrinė progresija. Klausimai 1. Aritmetinės progresijos apibrėžimas. Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, pridėtam prie to paties skaičiaus. 2. Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė. 3. Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulė. 4. Geometrinės progresijos apibrėžimas. Geometrinė progresija – tai ne nulis skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus 5. Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė. 6. Geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulė.

II. Aritmetinė progresija. Užduotys Aritmetinė progresija pateikiama formule a n = 7 – 4 n Raskite 10 . (-33) 2. Aritmetinėje progresijoje a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite 4. (4) 3. Aritmetinėje progresijoje a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite 17. (-35) 4. Aritmetinėje progresijoje a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite S 17 . (-187)

II. Geometrinė progresija. Užduotys 5. Geometrinei progresijai raskite penktąjį narį 6. Geometrinei progresijai raskite n-tąjį narį. 7. Eksponentiškai b 3 = 8 ir b 5 = 2. Raskite b 4 . (4) 8. Geometrine progresija b 3 = 8 ir b 5 = 2 . Raskite b 1 ir q . 9. Geometrinėje progresijoje b 3 = 8 ir b 5 = 2. Raskite S 5 . (62)

apibrėžimas: Sakoma, kad geometrinė progresija be galo mažėja, jei jos vardiklio modulis yra mažesnis už vieną.

Uždavinys №1 Ar seka yra be galo mažėjanti geometrinė progresija, jei ji pateikiama pagal formulę: Sprendimas: a) ši geometrinė progresija yra be galo mažėjanti. b) ši seka nėra be galo mažėjanti geometrinė progresija.

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma yra sekos S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … riba. Pavyzdžiui, progresijai turime Kadangi be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą galima rasti pagal formulę

Užduočių atlikimas Raskite be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą, kurios pirmasis narys yra 3, antrasis 0,3. 2. Nr.13; Nr.14; vadovėlis, p.138 3. Nr.15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. Nr.19; Nr. 20.

Kokią seką sutikote šiandien? Apibrėžkite be galo mažėjančią geometrinę progresiją. Kaip įrodyti, kad geometrinė progresija be galo mažėja? Pateikite be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę. Klausimai

Garsus lenkų matematikas Hugo Steinghausas juokaudamas tvirtina, kad egzistuoja dėsnis, kuris suformuluotas taip: matematikas tai padarys geriau. Būtent, jei patikėsite dviem žmonėms, iš kurių vienas yra matematikas, atlikti bet kokį darbą, kurio jie nemoka, rezultatas visada bus toks: matematikas tai padarys geriau. Hugo Steinghaus 1887 01 14–1972 02 25

Pirmas lygis

Geometrinė progresija. Išsamus vadovas su pavyzdžiais (2019 m.)

Skaitmeninė seka

Taigi, susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:

Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju - jų). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris iš jų pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:

Skaitmeninė seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Pavyzdžiui, mūsų sekai:

Priskirtas numeris būdingas tik vienam eilės numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir -tasis skaičius) visada yra tas pats.

Skaičius su skaičiumi vadinamas --uoju sekos nariu.

Visą seką dažniausiai vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), o kiekvieną šios sekos narį – ta pačia raide, kurios indeksas lygus šio nario skaičiui: .

Mūsų atveju:

Labiausiai paplitę progresijos tipai yra aritmetiniai ir geometriniai. Šioje temoje kalbėsime apie antrą rūšį - geometrinė progresija.

Kodėl mums reikia geometrinės progresijos ir jos istorijos.

Net senovėje italų matematikas, vienuolis Leonardo iš Pizos (geriau žinomas kaip Fibonacci), sprendė praktinius prekybos poreikius. Vienuolis susidūrė su užduotimi nustatyti, koks yra mažiausias svarelių skaičius, kuriuo galima sverti prekes? Fibonačis savo raštais įrodo, kad tokia svorių sistema yra optimali: Tai viena pirmųjų situacijų, kai žmonėms teko susidurti su geometrine progresija, apie kurią tikriausiai girdėjote ir bent bendrai įsivaizduojate. Kai visiškai suprasite temą, pagalvokite, kodėl tokia sistema yra optimali?

Šiuo metu gyvenimo praktikoje, investuojant pinigus į banką, pasireiškia geometrinė progresija, kai už praėjusį laikotarpį sąskaitoje sukauptą sumą nuskaičiuojamos palūkanos. Kitaip tariant, jei įdėsite pinigus į terminuotąjį indėlį į taupomąjį kasą, tai per metus indėlis padidės nuo pradinės sumos, t.y. nauja suma bus lygi įnašui, padaugintam iš. Kitais metais ši suma padidės, t.y. tuo metu gauta suma vėl dauginama iš ir pan. Panaši situacija aprašoma skaičiavimo problemose vadinamosiose sudėtinės palūkanos- procentas kiekvieną kartą imamas nuo sumos, kuri yra sąskaitoje, atsižvelgiant į ankstesnes palūkanas. Apie šias užduotis pakalbėsime šiek tiek vėliau.

Yra daug daugiau paprastų atvejų, kai taikoma geometrinė progresija. Pavyzdžiui, gripo plitimas: vienas žmogus užkrėtė žmogų, jie savo ruožtu užkrėtė kitą žmogų, taigi ir antroji užsikrėtimo banga – žmogų, o jie savo ruožtu užkrėtė kitą... ir taip toliau. .

Beje, finansinė piramidė, ta pati MMM, yra paprastas ir sausas skaičiavimas pagal geometrinės progresijos savybes. Įdomus? Išsiaiškinkime.

Geometrinė progresija.

Tarkime, kad turime skaičių seką:

Iš karto atsakysite, kad tai lengva ir tokios sekos pavadinimas yra aritmetinė progresija su jos narių skirtumu. O kaip kažkas panašaus:

Jei atimsite ankstesnį skaičių iš kito skaičiaus, pamatysite, kad kiekvieną kartą gausite naują skirtumą (ir t. t.), tačiau seka tikrai egzistuoja ir ją lengva pastebėti - kiekvienas kitas skaičius yra kelis kartus didesnis nei ankstesnis !

Šis sekos tipas vadinamas geometrinė progresija ir yra pažymėtas.

Geometrinė progresija ( ) yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.

Apribojimai, kad pirmasis narys ( ) nėra lygus ir nėra atsitiktiniai. Tarkime, kad jų nėra, o pirmasis narys vis tiek yra lygus, o q yra, hmm .. tegul, tada paaiškėja:

Sutikite, kad tai nėra progresas.

Kaip suprantate, gausime tuos pačius rezultatus, jei tai yra bet koks skaičius, išskyrus nulį, bet. Tokiais atvejais progreso tiesiog nebus, nes visa skaičių serija bus arba visi nuliai, arba vienas skaičius, o visi likę nuliai.

Dabar pakalbėkime išsamiau apie geometrinės progresijos vardiklį, tai yra, apie.

Pakartokime: - tai skaičius, kiek kartų keičiasi kiekvienas paskesnis terminas geometrinė progresija.

Kaip manai, kas tai galėtų būti? Tai tiesa, teigiama ir neigiama, bet ne nulis (apie tai kalbėjome šiek tiek aukščiau).

Tarkime, turime teigiamą. Tegul mūsų atveju a. Kas yra antrasis terminas ir? Galite lengvai atsakyti:

Gerai. Atitinkamai, jei, tada visi paskesni progresavimo nariai turi tą patį ženklą - jie teigiamas.

O jei tai neigiama? Pavyzdžiui, a. Kas yra antrasis terminas ir?

Tai visiškai kitokia istorija

Pabandykite suskaičiuoti šios progresijos terminą. Kiek gavai? Aš turiu. Taigi, jei, tada geometrinės progresijos narių ženklai pakaitomis. Tai yra, jei matote progresą su kintamaisiais ženklais jos nariuose, tada jo vardiklis yra neigiamas. Šios žinios gali padėti išbandyti save sprendžiant problemas šia tema.

Dabar šiek tiek pasitreniruokime: pabandykite nustatyti, kurios skaitinės sekos yra geometrinė, o kurios – aritmetinė:

Supratau? Palyginkite mūsų atsakymus:

• Geometrinė progresija – 3, 6.
• Aritmetinė progresija – 2, 4.
• Tai nėra nei aritmetinė, nei geometrinė progresija – 1, 5, 7.

Grįžkime prie paskutinės progresijos ir pabandykime rasti jos terminą taip pat, kaip ir aritmetikoje. Kaip jau spėjote, yra du būdai jį rasti.

Kiekvieną terminą paeiliui padauginame iš.

Taigi aprašytos geometrinės progresijos --asis narys yra lygus.

Kaip jau spėjote, dabar jūs patys išvesite formulę, kuri padės rasti bet kurį geometrinės progresijos narį. O gal jau iškėlėte tai sau, aprašydami, kaip etapais rasti antrąjį narį? Jei taip, patikrinkite savo samprotavimų teisingumą.

Paaiškinkime tai pavyzdžiu, kaip rasti --ąjį šios progresijos narį:

Kitaip tariant:

Raskite tam tikros geometrinės progresijos nario vertę.

Įvyko? Palyginkite mūsų atsakymus:

Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai padauginome iš kiekvieno ankstesnio geometrinės progresijos nario.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę – suformuluosime ją į bendrą formą ir gausime:

Išvestinė formulė tinka visoms reikšmėms - tiek teigiamoms, tiek neigiamoms. Patikrinkite patys, apskaičiuodami geometrinės progresijos sąlygas su šiomis sąlygomis: , a.

Ar skaičiavai? Palyginkime rezultatus:

Sutikite, kad progresijos narį būtų galima rasti taip pat, kaip ir narį, tačiau yra galimybė klaidingai paskaičiuoti. Ir jei jau radome geometrinės progresijos a-tąjį narį, kas gali būti lengviau, nei naudoti „sutrumpintą“ formulės dalį.

Be galo mažėjanti geometrinė progresija.

Visai neseniai kalbėjome apie tai, kas gali būti didesnė arba mažesnė už nulį, tačiau yra specialių verčių, kurioms vadinama geometrinė progresija. be galo mažėja.

Kaip manai, kodėl jis turi tokį pavadinimą?
Pirmiausia užsirašykime geometrinę progresiją, kurią sudaro nariai.
Tarkime, tada:

Matome, kad kiekvienas paskesnis terminas yra mažesnis už ankstesnį kartą, bet ar bus koks nors skaičius? Iš karto atsakai – „ne“. Štai kodėl be galo mažėjantis – mažėja, mažėja, bet niekada netampa nuliu.

Norėdami aiškiai suprasti, kaip tai atrodo vizualiai, pabandykime nubraižyti savo progreso grafiką. Taigi mūsų atveju formulė yra tokia:

Diagramose esame įpratę kurti priklausomybę nuo:

Išraiškos esmė nepasikeitė: pirmajame įraše parodėme geometrinės progresijos nario reikšmės priklausomybę nuo eilės skaičiaus, o antrame įraše tiesiog paėmėme geometrinės progresijos nario reikšmę, ir eilės numeris buvo nurodytas ne kaip, o kaip. Belieka nubraižyti grafiką.
Pažiūrėkime, ką gavai. Štai diagramą, kurią gavau:

Matyti? Funkcija mažėja, linkusi į nulį, bet niekada jos nekerta, todėl be galo mažėja. Pažymėkime savo taškus grafike ir tuo pačiu ką reiškia koordinatė ir:

Pabandykite schematiškai pavaizduoti geometrinės progresijos grafiką, jei jo pirmasis narys taip pat lygus. Išanalizuokite, kuo skiriasi ankstesnė diagrama?

Ar susitvarkei? Štai diagramą, kurią gavau:

Dabar, kai visiškai supratote geometrinės progresijos temos pagrindus: žinote, kas tai yra, žinote, kaip rasti jos terminą, taip pat žinote, kas yra be galo mažėjanti geometrinė progresija, pereikime prie pagrindinės jos savybės.

geometrinės progresijos savybė.

Ar prisimenate aritmetinės progresijos narių savybę? Taip, taip, kaip rasti tam tikro progresijos skaičiaus reikšmę, kai yra ankstesnės ir vėlesnės šios progresijos narių reikšmės. Prisiminėte? Tai:

Dabar susiduriame su lygiai tuo pačiu klausimu dėl geometrinės progresijos sąlygų. Norėdami gauti tokią formulę, pradėkime piešti ir samprotauti. Pamatysi, tai labai lengva, o jei pamirši, galėsi ir pats išsinešti.

Paimkime dar vieną paprastą geometrinę progresiją, kurioje žinome ir. Kaip rasti? Su aritmetine progresija tai lengva ir paprasta, bet kaip čia yra? Tiesą sakant, geometrijoje taip pat nėra nieko sudėtingo – tereikia nupiešti kiekvieną mums pateiktą reikšmę pagal formulę.

Klausiate, o ką dabar su tuo daryti? Taip, labai paprasta. Pirmiausia pavaizduokime šias formules paveiksle ir pabandykime su jomis atlikti įvairias manipuliacijas, kad gautume vertę.

Mes abstrahuojamės nuo mums pateiktų skaičių, sutelksime dėmesį tik į jų išraišką formule. Turime rasti oranžine spalva paryškintą reikšmę, žinodami šalia jos esančius terminus. Pabandykime su jais atlikti įvairius veiksmus, kurių pasekoje galime gauti.

Papildymas.
Pabandykime pridėti dvi išraiškas ir gausime:

Iš šios išraiškos, kaip matote, niekaip nepavyks išreikšti, todėl bandysime kitą variantą – atimtį.

Atimtis.

Kaip matote, iš to irgi negalime išreikšti, todėl pabandysime šiuos posakius padauginti vienas iš kito.

Daugyba.

Dabar atidžiai pažiūrėkite, ką turime, padaugindami mums pateiktos geometrinės progresijos terminus, palyginti su tuo, ką reikia rasti:

Atspėk apie ką aš kalbu? Teisingai, norėdami jį rasti, turime paimti kvadratinę šaknį iš geometrinės progresijos skaičių, esančių šalia norimo skaičiaus, padaugintų vieną iš kito:

Štai jums. Jūs pats išvedėte geometrinės progresijos savybę. Pabandykite parašyti šią formulę bendra forma. Įvyko?

Pamiršote būklę kada? Pagalvokite, kodėl tai svarbu, pavyzdžiui, pabandykite tai apskaičiuoti patys, adresu. Kas atsitinka šiuo atveju? Teisingai, visiška nesąmonė, nes formulė atrodo taip:

Todėl nepamirškite šio apribojimo.

Dabar paskaičiuokime, kas yra

Teisingas atsakymas - ! Jei skaičiuodami nepamiršote antrosios galimos reikšmės, tada esate puikus kolega ir galite iškart pereiti į mokymą, o jei pamiršote, perskaitykite, kas analizuojama žemiau ir atkreipkite dėmesį, kodėl atsakyme turi būti parašytos abi šaknys .

Nubraižykime abi savo geometrines progresijas – vieną su reikšme, o kitą su reikšme ir patikrinkime, ar abi turi teisę egzistuoti:

Norint patikrinti, ar tokia geometrinė progresija egzistuoja, ar ne, reikia išsiaiškinti, ar ji yra vienoda tarp visų jos pateiktų narių? Apskaičiuokite q pirmajam ir antrajam atvejui.

Sužinok, kodėl turime parašyti du atsakymus? Nes reikiamo termino ženklas priklauso nuo to, teigiamas ar neigiamas! Ir kadangi mes nežinome, kas tai yra, turime rašyti abu atsakymus su pliusu ir minusu.

Dabar, kai įsisavinote pagrindinius dalykus ir išvedėte geometrinės progresijos savybės formulę, suraskite, žinokite ir

Palyginkite savo atsakymus su teisingais:

Ką manote, o jei mums būtų pateiktos ne geometrinės progresijos narių reikšmės, esančios šalia norimo skaičiaus, o vienodu atstumu nuo jo. Pavyzdžiui, mums reikia rasti, ir duota ir. Ar šiuo atveju galime naudoti formulę, kurią išvedėme? Pabandykite patvirtinti arba paneigti šią galimybę tuo pačiu būdu, apibūdindami, iš ko susideda kiekviena reikšmė, kaip tai padarėte išvedant formulę nuo pat pradžių.
Ką tu gavai?

Dabar dar kartą atidžiai pažiūrėkite.
ir atitinkamai:

Iš to galime daryti išvadą, kad formulė veikia ne tik su kaimynais su norimais geometrinės progresijos nariais, bet ir su vienodu atstumu iš ko nariai ieško.

Taigi mūsų pradinė formulė tampa:

Tai yra, jei pirmuoju atveju taip sakėme, dabar sakome, kad jis gali būti lygus bet kuriam natūraliajam skaičiui, kuris yra mažesnis. Svarbiausia, kad abu nurodyti skaičiai būtų vienodi.

Praktikuokite su konkrečiais pavyzdžiais, tik būkite labai atsargūs!

1. , . Rasti.
2. , . Rasti.
3. , . Rasti.

Nusprendėte? Tikiuosi, buvote labai dėmesingi ir pastebėjote nedidelį laimikį.

Mes lyginame rezultatus.

Pirmaisiais dviem atvejais ramiai taikome aukščiau pateiktą formulę ir gauname šias reikšmes:

Trečiuoju atveju, atidžiai išnagrinėję mums duotų numerių eilės numerius, suprantame, kad jie nėra vienodai nutolę nuo mūsų ieškomo numerio: tai yra ankstesnis numeris, bet išimtas vietoje, todėl tai neįmanoma. taikyti formulę.

Kaip tai išspręsti? Iš tikrųjų tai nėra taip sunku, kaip atrodo! Užrašykime su jumis, iš ko susideda kiekvienas mums duotas skaičius ir norimas skaičius.

Taigi mes turime ir. Pažiūrėkime, ką galime su jais padaryti. Siūlau skirstytis. Mes gauname:

Mes pakeičiame savo duomenis į formulę:

Kitas žingsnis, kurį galime rasti - tam turime paimti gauto skaičiaus kubo šaknį.

Dabar dar kartą pažiūrėkime, ką turime. Turime, bet turime rasti, ir tai, savo ruožtu, yra lygi:

Radome visus skaičiavimui reikalingus duomenis. Pakeiskite formulę:

Mūsų atsakymas: .

Pabandykite patys išspręsti kitą problemą:
Duota: ,
Rasti:

Kiek gavai? Aš turiu - .

Kaip matote, iš tikrųjų jums reikia prisimink tik vieną formulę- . Visa kita galite be jokių sunkumų bet kuriuo metu atsiimti patys. Norėdami tai padaryti, tiesiog užrašykite paprasčiausią geometrinę progresiją ant popieriaus lapo ir užrašykite, kam pagal aukščiau pateiktą formulę yra lygus kiekvienas jos skaičius.

Geometrinės progresijos narių suma.

Dabar apsvarstykite formules, leidžiančias greitai apskaičiuoti geometrinės progresijos terminų sumą tam tikrame intervale:

Norėdami gauti baigtinės geometrinės progresijos narių sumos formulę, visas aukščiau pateiktos lygties dalis padauginame iš. Mes gauname:

Atidžiai pažiūrėkite: ką bendro turi paskutinės dvi formulės? Taip, pavyzdžiui, bendri nariai ir pan., išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį narį. Pabandykime atimti 1-ąją lygtį iš 2-osios. Ką tu gavai?

Dabar išreikškite geometrinės progresijos nario formulę ir pakeiskite gautą išraišką paskutine formule:

Grupuokite išraišką. Turėtumėte gauti:

Viskas, ką reikia padaryti, tai išreikšti:

Atitinkamai, šiuo atveju.

Kas, jeigu? Kokia formulė tada veikia? Įsivaizduokite geometrinę progresiją ties. Kokia ji? Teisingai identiškų skaičių serija, atitinkamai, formulė atrodys taip:

Kaip ir su aritmetine ir geometrine progresija, yra daug legendų. Viena jų – legenda apie Setą, šachmatų kūrėją.

Daugelis žmonių žino, kad šachmatų žaidimas buvo išrastas Indijoje. Kai induistų karalius ją sutiko, jis džiaugėsi jos sąmoju ir galimų joje pozicijų įvairove. Sužinojęs, kad jį sugalvojo vienas iš jo pavaldinių, karalius nusprendė jam asmeniškai atlyginti. Jis pasikvietė išradėją ir liepė jo prašyti, ko tik nori, pažadėdamas išpildyti net sumaniausią norą.

Seta paprašė laiko pagalvoti, o kai kitą dieną Seta pasirodė karaliui, jis nustebino karalių neprilygstamu savo prašymo kuklumu. Prašė kviečių grūdo pirmam šachmatų lentos langeliui, kviečių – antram, trečiam, ketvirtam ir t.t.

Karalius supyko ir išvijo Setą, sakydamas, kad tarno prašymas nevertas karališkojo dosnumo, bet pažadėjo, kad tarnas gaus savo grūdus už visas lentos ląsteles.

O dabar kyla klausimas: naudodamiesi geometrinės progresijos narių sumos formule apskaičiuokite, kiek grūdelių turėtų gauti Setas?

Pradėkime diskutuoti. Kadangi pagal sąlygą Setas prašė kviečio grūdo pirmai šachmatų lentos ląstelei, antrai, trečiai, ketvirtai ir t.t., matome, kad problema susijusi su geometrine progresija. Kas šiuo atveju yra lygu?
Teisingai.

Iš viso šachmatų lentos langelių. Atitinkamai,. Turime visus duomenis, belieka tik pakeisti formulę ir apskaičiuoti.

Norėdami bent apytiksliai pavaizduoti tam tikro skaičiaus „masteles“, transformuojame naudodami laipsnio savybes:

Žinoma, jei norite, galite paimti skaičiuotuvą ir paskaičiuoti, kokiu skaičiumi atsidursite, o jei ne, teks patikėti mano žodžiu: galutinė išraiškos reikšmė bus.
T.y:

kvintilijonas kvadrilijonas trilijonas milijardų milijonų tūkstančių tūkstančių.

Fuh) Jei norite įsivaizduoti šio skaičiaus milžinišką dydį, įvertinkite, kokio dydžio tvartas būtų reikalingas visam grūdų kiekiui sutalpinti.
Esant m tvarto aukščiui ir m pločiui, jo ilgis turėtų nusitęsti iki km, t.y. du kartus toliau nei nuo Žemės iki Saulės.

Jei karalius būtų stiprus matematikoje, jis galėtų pasiūlyti pačiam mokslininkui suskaičiuoti grūdus, nes norint suskaičiuoti milijoną grūdų, jam reikėtų bent paros nenuilstamo skaičiavimo, o atsižvelgiant į tai, kad reikia skaičiuoti kvintilijonus, grūdus tektų skaičiuoti visą gyvenimą.

O dabar išspręsime paprastą uždavinį dėl geometrinės progresijos narių sumos.
Vasya, 5 klasės mokinė, susirgo gripu, bet toliau lanko mokyklą. Kiekvieną dieną Vasya užkrečia du žmones, kurie savo ruožtu užkrečia dar du žmones ir pan. Klasėje tik vienas žmogus. Po kiek dienų visa klasė susirgs gripu?

Taigi pirmasis geometrinės progresijos narys yra Vasja, tai yra, žmogus. geometrinės progresijos narys, tai yra du žmonės, kuriuos jis užkrėtė pirmąją savo atvykimo dieną. Bendra pažangos narių suma lygi mokinių skaičiui 5A. Atitinkamai, mes kalbame apie progresą, kuriame:

Pakeiskime savo duomenis į geometrinės progresijos terminų sumos formulę:

Visa klasė susirgs per kelias dienas. Netikite formulėmis ir skaičiais? Pabandykite patys pavaizduoti mokinių „užsikrėtimą“. Įvyko? Pažiūrėkite, kaip man atrodo:

Paskaičiuokite patys, kiek dienų mokiniai susirgtų gripu, jei visi užkrėstų žmogų, o klasėje buvo žmogus.

Kokią vertę gavai? Paaiškėjo, kad po paros visi pradėjo sirgti.

Kaip matote, tokia užduotis ir jai skirtas piešinys primena piramidę, į kurią kiekviena sekanti „atneša“ naujų žmonių. Tačiau anksčiau ar vėliau ateina momentas, kai pastarasis negali nieko patraukti. Mūsų atveju, jei įsivaizduojame, kad klasė yra izoliuota, asmuo iš uždaro grandinę (). Taigi, jei asmuo būtų įtrauktas į finansinę piramidę, kurioje pinigai buvo duodami, jei atsineštumėte dar du dalyvius, tai asmuo (ar apskritai) niekam neatsivestų, atitinkamai prarastų viską, ką investavo į šią finansinę aferą. .

Viskas, kas buvo pasakyta aukščiau, reiškia mažėjančią arba didėjančią geometrinę progresiją, tačiau, kaip prisimenate, turime ypatingą rūšį – be galo mažėjančią geometrinę progresiją. Kaip apskaičiuoti jos narių sumą? Ir kodėl tokio tipo progresas turi tam tikrų savybių? Išsiaiškinkime tai kartu.

Taigi, pradedantiesiems, dar kartą pažvelkime į šį be galo mažėjančios geometrinės progresijos paveikslėlį iš mūsų pavyzdžio:

O dabar pažiūrėkime į geometrinės progresijos sumos formulę, gautą kiek anksčiau:
arba

Ko mes siekiame? Tiesa, diagrama rodo, kad ji linkusi į nulį. Tai yra, kai jis bus beveik lygus, atitinkamai, skaičiuodami išraišką, gausime beveik. Šiuo atžvilgiu manome, kad skaičiuojant be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą, į šį skliaustą galima nepaisyti, nes jis bus lygus.

- formulė yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių suma.

SVARBU! Be galo mažėjančios geometrinės progresijos terminų sumos formulę naudojame tik tuo atveju, jei sąlyga aiškiai nurodo, kad reikia rasti sumą begalinis narių skaičius.

Jei nurodytas konkretus skaičius n, tai naudojame formulę n narių sumai, net jei arba.

O dabar pasitreniruokime.

1. Raskite pirmųjų geometrinės progresijos narių sumą su ir.
2. Raskite be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių sumą su ir.

Tikiuosi, buvai labai atsargus. Palyginkite mūsų atsakymus:

Dabar jūs žinote viską apie geometrinę progresiją ir laikas pereiti nuo teorijos prie praktikos. Dažniausiai per egzaminą aptinkamos eksponentinės problemos yra sudėtinės palūkanų problemos. Būtent apie juos ir kalbėsime.

Sudėtinių palūkanų skaičiavimo problemos.

Jūs tikriausiai girdėjote apie vadinamąją sudėtinių palūkanų formulę. Ar supranti, ką ji turi omenyje? Jei ne, tai išsiaiškinkime, nes supratę patį procesą iš karto suprasite, ką geometrinė progresija turi su tuo.

Visi einame į banką ir žinome, kad indėlių sąlygos yra skirtingos: ir terminas, ir papildoma priežiūra, ir palūkanos su dviem skirtingais jų apskaičiavimo būdais – paprastas ir sudėtingas.

NUO paprastas palūkanas viskas daugmaž aišku: palūkanos skaičiuojamos vieną kartą pasibaigus indėlio terminui. Tai yra, jei mes kalbame apie 100 rublių per metus, tada jie bus įskaityti tik metų pabaigoje. Atitinkamai, iki indėlio pabaigos gausime rublių.

Sudėtinės palūkanos yra variantas, kuriame palūkanų kapitalizacija, t.y. jų pridėjimas prie indėlio sumos ir vėlesnis pajamų skaičiavimas ne nuo pradinės, o nuo sukauptos indėlio sumos. Didžiosios raidės nevyksta nuolat, o tam tikru periodiškumu. Paprastai tokie laikotarpiai yra vienodi ir dažniausiai bankai naudoja mėnesį, ketvirtį ar metus.

Tarkime, mes įdedame visus tuos pačius rublius per metus, bet su mėnesine indėlio kapitalizacija. Ką mes gauname?

Ar tu čia viską supranti? Jei ne, eikime žingsnis po žingsnio.

Į banką atnešėme rublių. Iki mėnesio pabaigos sąskaitoje turėtų būti suma, kurią sudaro mūsų rubliai ir jų palūkanos, tai yra:

Sutinku?

Galime jį išimti iš laikiklio ir tada gauname:

Sutikite, ši formulė jau panašesnė į tą, kurią rašėme pradžioje. Belieka susitvarkyti su procentais

Problemos sąlygomis mums pasakojama apie met. Kaip žinote, mes nedauginame iš - konvertuojame procentus į dešimtaines dalis, tai yra:

Tiesa? Dabar klausiate, iš kur toks skaičius? Labai paprasta!
Kartoju: problemos būklė sako apie METINIS priskaičiuotos palūkanos MĖNESIO. Kaip žinia, atitinkamai per metus mėnesių bankas iš mūsų priskaičiuos dalį metinių palūkanų per mėnesį:

Supratau? Dabar pabandykite parašyti, kaip atrodytų ši formulės dalis, jei sakyčiau, kad palūkanos skaičiuojamos kasdien.
Ar susitvarkei? Palyginkime rezultatus:

Šauniai padirbėta! Grįžkime prie savo užduoties: užsirašykite, kiek bus įskaityta į mūsų sąskaitą antrą mėnesį, atsižvelgiant į tai, kad nuo sukauptos indėlio sumos skaičiuojamos palūkanos.
Štai kas man atsitiko:

Arba, kitaip tariant:

Manau, kad jūs jau pastebėjote modelį ir matėte geometrinę progresiją visame tame. Parašykite, kam bus lygus jo narys, arba, kitaip tariant, kiek pinigų gausime mėnesio pabaigoje.
Padaryta? Tikrinama!

Kaip matote, jei įdėsite pinigus į banką metams su paprastomis palūkanomis, tada gausite rublius, o jei padėsite pagal sudėtinį kursą, gausite rublius. Nauda nedidelė, bet tai atsitinka tik per metus, tačiau ilgesniam laikotarpiui kapitalizacija yra daug pelningesnė:

Apsvarstykite kitą sudėtinių palūkanų problemos tipą. Po to, ką sugalvojai, tau bus elementaru. Taigi užduotis yra tokia:

„Zvezda“ pradėjo investuoti į pramonę 2000 m., turėdama dolerio kapitalą. Nuo 2001 metų kiekvienais metais uždirbo pelną, prilygstantį praėjusių metų kapitalui. Kiek pelno Zvezda gaus 2003 metų pabaigoje, jei pelnas nebus išimtas iš apyvartos?

Įmonės „Zvezda“ kapitalas 2000 m.
- Zvezda įmonės kapitalas 2001 m.
- Zvezda įmonės kapitalas 2002 m.
- Zvezda bendrovės kapitalas 2003 m.

Arba galime trumpai parašyti:

Mūsų atveju:

2000, 2001, 2002 ir 2003 m.

Atitinkamai:
rublių
Atkreipkite dėmesį, kad šioje užduotyje mes neturime padalijimo nei pagal, nei pagal, nes procentas pateikiamas METAIS ir skaičiuojamas KASmet. Tai yra, skaitydami sudėtinių palūkanų problemą, atkreipkite dėmesį į tai, koks procentas yra nurodytas ir kokiu laikotarpiu jis imamas, ir tik tada pereikite prie skaičiavimų.
Dabar jūs žinote viską apie geometrinę progresiją.

Treniruotės.

1. Raskite geometrinės progresijos narį, jei žinoma, kad ir
2. Raskite geometrinės progresijos pirmųjų narių sumą, jei žinoma, kad ir
3. MDM Capital pradėjo investuoti į pramonę 2003 m. su dolerio kapitalu. Nuo 2004 metų kiekvienais metais ji uždirbo pelną, prilygstantį praėjusių metų kapitalui. Bendrovė „MSK Cash Flows“ į pramonę pradėjo investuoti 2005 metais 10 000 USD, 2006 metais pradėdama nešti pelną. Kiek dolerių vienos įmonės kapitalas viršija kitos įmonės kapitalą 2007 m. pabaigoje, jei pelnas nebūtų išimtas iš apyvartos?

Atsakymai:

1. Kadangi uždavinio sąlyga nesako, kad progresija yra begalinė ir reikia rasti konkretaus jos narių skaičiaus sumą, skaičiuojama pagal formulę:
2. 
   Įmonė "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 m.
   - padidėja 100%, tai yra 2 kartus.
   Atitinkamai:
   rublių
   MSK pinigų srautai:

   2005, 2006, 2007 m.
   - padidėja, tai yra, kartus.
   Atitinkamai:
   rublių
   rublių

Apibendrinkime.

1) Geometrinė progresija ( ) yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.

2) Geometrinės progresijos narių lygtis -.

3) gali turėti bet kokią reikšmę, išskyrus ir.

• jei, tai visi paskesni progresijos nariai turi tą patį ženklą – jie teigiamas;
• jei, tai visi tolesni progresijos nariai alternatyvūs ženklai;
• kai – progresija vadinama be galo mažėjančia.

4) , at - geometrinės progresijos savybė (gretimi nariai)

arba
, esant (vienodo atstumo terminai)

Kai surasi, nepamiršk turėtų būti du atsakymai..

Pavyzdžiui,

5) Geometrinės progresijos narių suma apskaičiuojama pagal formulę:
arba

Jei progresas be galo mažėja, tada:
arba

SVARBU! Be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių sumos formulę naudojame tik tuo atveju, jei sąlyga aiškiai nurodo, kad būtina rasti begalinio skaičiaus narių sumą.

6) Sudėtinių palūkanų užduotys taip pat apskaičiuojamos pagal geometrinės progresijos nario formulę, jei lėšos nebuvo išimtos iš apyvartos:

GEOMETRINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Geometrinė progresija( ) yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis numeris vadinamas geometrinės progresijos vardiklis.

Geometrinės progresijos vardiklis gali turėti bet kokią reikšmę, išskyrus ir.

• Jei, tada visi tolesni progresijos nariai turi tą patį ženklą - jie yra teigiami;
• jei, tada visi paskesni progresavimo nariai keičia ženklus;
• kai – progresija vadinama be galo mažėjančia.

Geometrinės progresijos narių lygtis - .

Geometrinės progresijos narių suma apskaičiuojamas pagal formulę:
arba

Geometrinė progresija kartu su aritmetika yra svarbi skaičių eilutė, kuri tiriama mokyklos algebros kurse 9 klasėje. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime geometrinės progresijos vardiklį ir kaip jo vertė veikia jos savybes.

Geometrinės progresijos apibrėžimas

Pirmiausia pateikiame šios skaičių serijos apibrėžimą. Geometrinė progresija yra racionaliųjų skaičių seka, sudaryta paeiliui padauginus jos pirmąjį elementą iš pastovaus skaičiaus, vadinamo vardikliu.

Pavyzdžiui, skaičiai serijose 3, 6, 12, 24, ... yra geometrinė progresija, nes 3 (pirmasis elementas) padauginus iš 2, gauname 6. Jei 6 padauginsime iš 2, gausime 12 ir pan.

Nagrinėjamos sekos nariai dažniausiai žymimi simboliu ai, kur i yra sveikasis skaičius, nurodantis elemento skaičių serijoje.

Aukščiau pateiktą progresijos apibrėžimą matematikos kalba galima parašyti taip: an = bn-1 * a1, kur b yra vardiklis. Šią formulę patikrinti nesunku: jei n = 1, tai b1-1 = 1, ir gauname a1 = a1. Jei n = 2, tai an = b * a1, ir vėl pasiekiame nagrinėjamos skaičių serijos apibrėžimą. Panašūs samprotavimai gali būti tęsiami ir didelėms n reikšmėms.

Geometrinės progresijos vardiklis

Skaičius b visiškai nustato, kokį simbolį turės visa skaičių serija. Vardiklis b gali būti teigiamas, neigiamas arba didesnis arba mažesnis už vieną. Visos aukščiau pateiktos parinktys lemia skirtingas sekas:

• b > 1. Didėja racionaliųjų skaičių serija. Pavyzdžiui, 1, 2, 4, 8, ... Jei elementas a1 yra neigiamas, tai visa seka didės tik modulo, bet mažės atsižvelgiant į skaičių ženklą.
• b = 1. Dažnai toks atvejis nevadinamas progresija, nes yra eilinė identiškų racionaliųjų skaičių eilutė. Pavyzdžiui, -4, -4, -4.

Sumos formulė

Prieš pradedant nagrinėti konkrečias problemas, naudojant nagrinėjamos progresijos tipo vardiklį, reikia pateikti svarbią formulę pirmųjų n elementų sumai. Formulė yra tokia: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Šią išraišką galite gauti patys, jei atsižvelgsite į rekursyvią progresijos narių seką. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateiktoje formulėje pakanka žinoti tik pirmąjį elementą ir vardiklį, kad būtų galima rasti savavališko skaičiaus terminų sumą.

Be galo mažėjanti seka

Aukščiau buvo paaiškinta, kas tai yra. Dabar, žinodami Sn formulę, pritaikykime ją šiai skaičių serijai. Kadangi bet kuris skaičius, kurio modulis neviršija 1, linkęs į nulį, kai jis padidinamas iki didelių laipsnių, tai yra, b∞ => 0, jei -1

Kadangi skirtumas (1 - b) visada bus teigiamas, nepaisant vardiklio reikšmės, be galo mažėjančios geometrinės progresijos S∞ sumos ženklą vienareikšmiškai lemia jo pirmojo elemento a1 ženklas.

Dabar panagrinėsime keletą problemų, kur parodysime, kaip įgytas žinias pritaikyti konkretiems skaičiams.

Užduotis numeris 1. Nežinomų progresijos elementų ir sumos apskaičiavimas

Atsižvelgiant į geometrinę progresiją, progresijos vardiklis yra 2, o pirmasis jos elementas yra 3. Kokie bus jos 7 ir 10 nariai ir kokia yra septynių pradinių elementų suma?

Problemos sąlyga yra gana paprasta ir apima tiesioginį aukščiau pateiktų formulių naudojimą. Taigi, norėdami apskaičiuoti elementą su skaičiumi n, naudojame išraišką an = bn-1 * a1. 7-ajam elementui turime: a7 = b6 * a1, pakeitę žinomus duomenis, gauname: a7 = 26 * 3 = 192. Tą patį darome su 10-uoju nariu: a10 = 29 * 3 = 1536.

Naudojame gerai žinomą sumos formulę ir nustatome šią reikšmę pirmiesiems 7 serijos elementams. Turime: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Užduotis numeris 2. Savavališkų progresijos elementų sumos nustatymas

Tegu -2 yra eksponentinės progresijos bn-1 * 4 vardiklis, kur n yra sveikas skaičius. Būtina nustatyti sumą nuo 5 iki 10 šios serijos elemento imtinai.

Iškeltos problemos negalima tiesiogiai išspręsti naudojant žinomas formules. Ją galima išspręsti 2 skirtingais būdais. Dėl išsamumo pateikiame abu.

1 būdas. Jo idėja paprasta: reikia apskaičiuoti dvi atitinkamas pirmųjų narių sumas, o paskui iš vienos atimti kitą. Apskaičiuokite mažesnę sumą: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Dabar apskaičiuojame didelę sumą: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Atkreipkite dėmesį, kad paskutinėje išraiškoje buvo susumuoti tik 4 terminai, nes 5-asis jau yra įtrauktas į sumą, kurią reikia apskaičiuoti pagal uždavinio sąlygą. Galiausiai imame skirtumą: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2 būdas. Prieš pakeisdami skaičius ir skaičiuodami, galite gauti sumos tarp nagrinėjamos eilutės terminų m ir n formulę. Mes veikiame lygiai taip pat, kaip ir 1 metodu, tik pirmiausia dirbame su simboliniu sumos vaizdavimu. Turime: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Galite pakeisti žinomus skaičius į gautą išraišką ir apskaičiuoti galutinį rezultatą: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Užduotis numeris 3. Kas yra vardiklis?

Tegu a1 = 2, raskite geometrinės progresijos vardiklį, jei begalinė jos suma lygi 3 ir žinoma, kad tai mažėjanti skaičių seka.

Pagal problemos būklę nesunku atspėti, kokia formule jai spręsti. Žinoma, be galo mažėjančios progresijos sumai. Turime: S∞ = a1 / (1 - b). Iš kur išreiškiame vardiklį: b = 1 - a1 / S∞. Belieka pakeisti žinomas reikšmes ir gauti reikiamą skaičių: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 arba -0,333 (3). Šį rezultatą galime patikrinti kokybiškai, jei atsiminsime, kad tokio tipo sekos modulis b neturi viršyti 1. Kaip matote, |-1 / 3|

Užduotis numeris 4. Skaičių serijos atkūrimas

Tegu pateikiami 2 skaičių eilutės elementai, pavyzdžiui, 5-asis lygus 30, o 10-asis – 60. Iš šių duomenų reikia atkurti visą eilutę žinant, kad ji tenkina geometrinės progresijos savybes.

Norėdami išspręsti problemą, pirmiausia turite užsirašyti atitinkamą kiekvieno žinomo nario išraišką. Turime: a5 = b4 * a1 ir a10 = b9 * a1. Dabar antrąją išraišką padaliname iš pirmosios, gauname: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Iš čia mes nustatome vardiklį, paimdami penktojo laipsnio šaknį iš narių santykio, žinomo iš uždavinio sąlygos, b = 1,148698. Gautą skaičių pakeičiame viena iš žinomo elemento išraiškų, gauname: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Taigi, mes nustatėme, kas yra progresijos bn vardiklis, o geometrinė progresija bn-1 * 17.2304966 = an, kur b = 1.148698.

Kur naudojamos geometrinės progresijos?

Jei šios skaitinės serijos praktiškai nebūtų taikomos, jos tyrimas būtų sumažintas iki grynai teorinio intereso. Bet yra tokia programa.

Žemiau pateikiami 3 garsiausi pavyzdžiai:

• Zenono paradoksas, kai judrusis Achilas negali pasivyti lėto vėžlio, sprendžiamas naudojant be galo mažėjančios skaičių sekos koncepciją.
• Jei kviečių grūdai bus dedami į kiekvieną šachmatų lentos langelį taip, kad 1 grūdas būtų dedamas į 1 langelį, 2 - 2, 3 - 3 ir tt, tada visoms ląstelėms užpildyti reikės 18446744073709551615 grūdų. lenta!
• Žaidime „Tower of Hanoi“, norint pertvarkyti diskus iš vieno strypo į kitą, reikia atlikti 2n – 1 operacijas, tai yra jų skaičius auga eksponentiškai nuo naudojamų diskų skaičiaus n.

Jei kiekvienas natūralusis skaičius n atitinka tikrąjį skaičių a n , tada jie sako, kad duota skaičių seka :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Taigi, skaitinė seka yra natūralaus argumento funkcija.

Skaičius a 1 paskambino pirmasis sekos narys , numeris a 2 — antrasis sekos narys , numeris a 3 — trečias ir tt Skaičius a n paskambino n-asis sekos narys , ir natūralusis skaičius n — jo numeris .

Iš dviejų kaimyninių narių a n Ir a n +1 narių sekos a n +1 paskambino vėliau (link a n ), bet a n — ankstesnis (link a n +1 ).

Norėdami nurodyti seką, turite nurodyti metodą, leidžiantį rasti sekos narį su bet kokiu skaičiumi.

Dažnai seka pateikiama su n-ojo termino formulės , tai yra formulė, leidžianti nustatyti sekos narį pagal jo skaičių.

Pavyzdžiui,

teigiamų nelyginių skaičių seka gali būti pateikta formule

a n= 2n- 1,

ir kaitaliojimosi seka 1 Ir -1 - formulė

b n = (-1)n +1 . ◄

Seka gali būti nustatyta pasikartojanti formulė, tai yra formulė, išreiškianti bet kurį sekos narį, pradedant kai kuriais, per ankstesnius (vieną ar kelis) narius.

Pavyzdžiui,

jeigu a 1 = 1 , bet a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeigu a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada pirmieji septyni skaitinės sekos nariai nustatomi taip:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekos gali būti galutinis Ir begalinis .

Seka vadinama galutinis jei ji turi baigtinį narių skaičių. Seka vadinama begalinis jei ji turi be galo daug narių.

Pavyzdžiui,

dviženklių natūraliųjų skaičių seka:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

galutinis.

Pirminių skaičių seka:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

begalinis. ◄

Seka vadinama didėja , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra didesnis už ankstesnįjį.

Seka vadinama silpsta , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra mažesnis už ankstesnįjį.

Pavyzdžiui,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . yra didėjanti seka;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . yra mažėjanti seka. ◄

Vadinama seka, kurios elementai didėjant skaičiui nemažėja arba, atvirkščiai, nedidėja monotoniška seka .

Visų pirma monotoninės sekos yra didėjančios ir mažėjančios sekos.

Aritmetinė progresija

Aritmetinė progresija vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, prie kurio pridedamas toks pat skaičius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus aritmetinė progresija n sąlyga įvykdyta:

a n +1 = a n + d,

kur d - kažkoks skaičius.

Taigi skirtumas tarp kito ir ankstesnio tam tikros aritmetinės progresijos narių visada yra pastovus:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Skaičius d paskambino aritmetinės progresijos skirtumas.

Norint nustatyti aritmetinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir skirtumą.

Pavyzdžiui,

jeigu a 1 = 3, d = 4 , tada pirmieji penki sekos nariai randami taip:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmetinei progresijai su pirmuoju nariu a 1 ir skirtumas d ją n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Pavyzdžiui,

rasti trisdešimtąjį aritmetinės progresijos narį

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

tada aišku

a n=	a n-1 + a n+1
	2

kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui.

skaičiai a, b ir c yra tam tikros aritmetinės progresijos nariai iš eilės tada ir tik tada, kai vienas iš jų yra lygus kitų dviejų aritmetiniam vidurkiui.

Pavyzdžiui,

a n = 2n- 7 , yra aritmetinė progresija.

Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Vadinasi,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Prisimink tai n -tąjį aritmetinės progresijos narį galima rasti ne tik per a 1 , bet ir visus ankstesnius a k

a n = a k + (n- k)d.

Pavyzdžiui,

dėl a 5 galima parašyti

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

tada aišku

a n=	a n-k +a n+k
	2

bet kuris aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus pusei šios aritmetinės progresijos narių sumos, vienodu atstumu nuo jos.

Be to, bet kuriai aritmetinei progresijai yra teisinga lygybė:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, nes

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

Pirmas n aritmetinės progresijos nariai yra lygūs pusės kraštutinių narių sumos sandaugai iš narių skaičiaus:

Iš to visų pirma išplaukia, kad jei būtina terminus sumuoti

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada ankstesnė formulė išlaiko savo struktūrą:

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jei pateikiama aritmetinė progresija, tada dydžiai a 1 , a n, d, n IrS n susieta dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungtos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Aritmetinė progresija yra monotoniška seka. Kur:

• jeigu d > 0 , tada jis didėja;
• jeigu d < 0 , tada jis mažėja;
• jeigu d = 0 , tada seka bus stacionari.

Geometrinė progresija

geometrinė progresija vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajai, padaugintai iš to paties skaičiaus.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus geometrinė progresija n sąlyga įvykdyta:

b n +1 = b n · q,

kur q ≠ 0 - kažkoks skaičius.

Taigi kito šios geometrinės progresijos nario santykis su ankstesniu yra pastovus skaičius:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Skaičius q paskambino geometrinės progresijos vardiklis.

Norint nustatyti geometrinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir vardiklį.

Pavyzdžiui,

jeigu b 1 = 1, q = -3 , tada pirmieji penki sekos nariai randami taip:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ir vardiklis q ją n - terminą galima rasti pagal formulę:

b n = b 1 · q n -1 .

Pavyzdžiui,

Raskite septintą geometrinės progresijos narį 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

tada aišku

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

kiekvienas geometrinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių geometriniam vidurkiui (proporcinei).

Kadangi teisinga ir atvirkščiai, galioja toks teiginys:

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros geometrinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vieno iš jų kvadratas yra lygus kitų dviejų sandaugai, tai yra, vienas iš skaičių yra kitų dviejų geometrinis vidurkis.

Pavyzdžiui,

įrodykime, kad formulės pateikta seka b n= -3 2 n , yra geometrinė progresija. Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Vadinasi,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kuris įrodo reikalingą teiginį. ◄

Prisimink tai n geometrinės progresijos terminą galima rasti ne tik per b 1 , bet ir bet kuris ankstesnis terminas b k , kuriai pakanka naudoti formulę

b n = b k · q n - k.

Pavyzdžiui,

dėl b 5 galima parašyti

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · 2 k,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

tada aišku

b n 2 = b n - k· b n + k

bet kurio geometrinės progresijos nario kvadratas, pradedant nuo antrojo, yra lygus šios progresijos narių, nutolusių nuo jos vienodu atstumu, sandaugai.

Be to, bet kuriai geometrinei progresijai galioja lygybė:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Pavyzdžiui,

eksponentiškai

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , nes

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

Pirmas n geometrinės progresijos nariai su vardikliu q ≠ 0 apskaičiuojamas pagal formulę:

Ir kada q = 1 - pagal formulę

S n= n.b. 1

Atkreipkite dėmesį, kad jei mums reikia susumuoti terminus

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada naudojama formulė:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Pavyzdžiui,

eksponentiškai 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jei pateikiama geometrinė progresija, tada dydžiai b 1 , b n, q, n Ir S n susieta dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos bet kurių trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungtos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Geometrinei progresijai su pirmuoju nariu b 1 ir vardiklis q vyksta šie dalykai monotoniškumo savybės :

• progresavimas didėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 Ir q> 1;

b 1 < 0 Ir 0 < q< 1;

• Progresas mažėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 Ir 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ir q> 1.

Jeigu q< 0 , tada geometrinė progresija yra ženklų kaitaliojama: jos nelyginiai terminai turi tą patį ženklą kaip ir pirmasis narys, o lyginiai terminai turi priešingą ženklą. Akivaizdu, kad kintamoji geometrinė progresija nėra monotoniška.

Pirmojo gaminys n Geometrinės progresijos terminai gali būti apskaičiuojami pagal formulę:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Pavyzdžiui,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Be galo mažėjanti geometrinė progresija

Be galo mažėjanti geometrinė progresija vadinama begaline geometrine progresija, kurios vardiklio modulis yra mažesnis už 1 , t.y

|q| < 1 .

Atminkite, kad be galo mažėjanti geometrinė progresija gali būti ne mažėjanti seka. Tai tinka šiuo atveju

1 < q< 0 .

Su tokiu vardikliu seka yra kintamoji. Pavyzdžiui,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma įvardykite skaičių, į kurį sueina pirmoji suma n progresavimo terminai su neribotu skaičiaus padidėjimu n . Šis skaičius visada yra baigtinis ir išreiškiamas formule

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Pavyzdžiui,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetinės ir geometrinės progresijos ryšys

Aritmetinė ir geometrinė progresijos yra glaudžiai susijusios. Panagrinėkime tik du pavyzdžius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , tada

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Pavyzdžiui,

1, 3, 5, . . . — aritmetinė progresija su skirtumu 2 Ir

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . yra geometrinė progresija su vardikliu 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . yra geometrinė progresija su vardikliu q , tada

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetinė progresija su skirtumu žurnalas aq .

Pavyzdžiui,

2, 12, 72, . . . yra geometrinė progresija su vardikliu 6 Ir

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetinė progresija su skirtumu lg 6 . ◄