Kaip parašyti kvadratinę lygtį. internetinis skaičiuotuvas

Paprastesniu būdu. Norėdami tai padaryti, išimkite z iš skliaustų. Gaunate: z(az + b) = 0. Veiksnius galima užrašyti: z=0 ir az + b = 0, nes abu gali baigtis nuliu. Žymėjime az + b = 0 antrąjį perkeliame į dešinę su kitu ženklu. Iš čia gauname z1 = 0 ir z2 = -b/a. Tai yra originalo šaknys.

Jei yra nepilna lygtis, kurios forma yra az² + c \u003d 0, šiuo atveju jos randamos tiesiog perkeliant laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę. Taip pat pakeiskite jo ženklą. Gaunate įrašą az² \u003d -s. Išreikškite z² = -c/a. Paimkite šaknį ir užrašykite du sprendinius – teigiamą ir neigiamą kvadratinės šaknies reikšmę.

pastaba

Jei lygtyje yra trupmeninių koeficientų, padauginkite visą lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad pašalintumėte trupmenas.

Mokėti spręsti kvadratines lygtis būtina ir moksleiviams, ir studentams, kartais tai gali padėti suaugusiajam kasdieniame gyvenime. Yra keletas specifinių sprendimo būdų.

Kvadratinių lygčių sprendimas

A*x^2+b*x+c=0 formos kvadratinė lygtis. Koeficientas x yra norimas kintamasis, a, b, c – skaitiniai koeficientai. Atminkite, kad „+“ ženklas gali pasikeisti į „-“.

Norėdami išspręsti šią lygtį, turite naudoti Vieta teoremą arba rasti diskriminantą. Labiausiai paplitęs būdas yra rasti diskriminantą, nes kai kurioms a, b, c reikšmėms negalima naudoti Vieta teoremos.

Norėdami rasti diskriminantą (D), turite parašyti formulę D=b^2 - 4*a*c. D reikšmė gali būti didesnė už, mažesnė už nulį arba lygi nuliui. Jei D yra didesnis arba mažesnis už nulį, tada bus dvi šaknys, jei D = 0, tada lieka tik viena šaknis, tiksliau galime pasakyti, kad D šiuo atveju yra dvi lygiavertės šaknys. Pakeiskite žinomus koeficientus a, b, c į formulę ir apskaičiuokite reikšmę.

Suradę diskriminantą, norėdami rasti x, naudokite formules: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a čia sqrt yra funkcija, paimanti nurodyto skaičiaus kvadratinę šaknį. Apskaičiavę šias išraiškas, rasite dvi savo lygties šaknis, po kurių lygtis laikoma išspręsta.

Jei D yra mažesnis už nulį, jis vis tiek turi šaknis. Mokykloje šis skyrius praktiškai nėra studijuojamas. Universiteto studentai turėtų žinoti, kad po šaknimi yra neigiamas skaičius. Atsikratome jo, atskirdami įsivaizduojamą dalį, tai yra, -1 po šaknimi visada yra lygus įsivaizduojamam elementui "i", kuris padauginamas iš šaknies su tuo pačiu teigiamu skaičiumi. Pavyzdžiui, jei D=sqrt(-20), po transformacijos gaunamas D=sqrt(20)*i. Po šios transformacijos lygties sprendimas sumažinamas iki to paties šaknų radinio, kaip aprašyta aukščiau.

Vietos teorema susideda iš x(1) ir x(2) reikšmių parinkimo. Naudojamos dvi identiškos lygtys: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Be to, labai svarbus dalykas yra ženklas prieš koeficientą b, atminkite, kad šis ženklas yra priešingas lygtyje esančiam ženklui. Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad apskaičiuoti x(1) ir x(2) yra labai paprasta, tačiau sprendžiant susidursite su tuo, kad skaičius teks parinkti tiksliai.

Kvadratinių lygčių sprendimo elementai

Remiantis matematikos taisyklėmis, kai kurie gali būti koeficientai: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, jei jums pavyko tokiu būdu transformuoti šią kvadratinę lygtį naudojant matematines formules, nedvejodami užrašykite atsakymą. x(1) ir x(2) bus lygūs gretimiems skliaustuose esantiems koeficientams, bet su priešingu ženklu.

Taip pat nepamirškite apie neišsamias kvadratines lygtis. Galbūt jums trūksta kai kurių terminų, jei taip, tada visi jo koeficientai yra tiesiog lygūs nuliui. Jei prieš x^2 arba x nėra nieko, tada koeficientai a ir b yra lygūs 1.

Kvadratinė lygtis – lengva išspręsti! *Toliau tekste „KU“. Draugai, atrodytų, kad matematikoje tai gali būti lengviau nei išspręsti tokią lygtį. Tačiau kažkas man pasakė, kad daugelis žmonių turi problemų su juo. Nusprendžiau pažiūrėti, kiek parodymų „Yandex“ suteikia užklausai per mėnesį. Štai kas atsitiko, pažiūrėkite:

Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad per mėnesį šios informacijos ieško apie 70 000 žmonių, o štai vasara, o kas bus per mokslo metus – prašymų bus dvigubai daugiau. Tai nenuostabu, nes šios informacijos ieško seniai mokyklą baigę ir egzaminui besiruošiantys vaikinai ir merginos, atgaivinti atmintį stengiasi ir moksleiviai.

Nepaisant to, kad yra daug svetainių, kuriose pasakojama, kaip išspręsti šią lygtį, aš nusprendžiau taip pat prisidėti ir paskelbti medžiagą. Pirma, noriu, kad lankytojai apsilankytų mano svetainėje pagal šį prašymą; antra, kituose straipsniuose, kai pasirodys kalba „KU“, duosiu nuorodą į šį straipsnį; trečia, aš jums papasakosiu šiek tiek daugiau apie jo sprendimą, nei paprastai rašoma kitose svetainėse. Pradėkime! Straipsnio turinys:

Kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

kur koeficientai a,bir su savavališkais skaičiais su a≠0.

Mokyklos kurse medžiaga pateikiama tokia forma - lygčių padalijimas į tris klases atliekamas sąlygiškai:

1. Turėkite dvi šaknis.

2. * Turėti tik vieną šaknį.

3. Neturi šaknų. Čia verta paminėti, kad jie neturi tikrų šaknų

Kaip apskaičiuojamos šaknys? Tiesiog!

Apskaičiuojame diskriminantą. Po šiuo „siaubingu“ žodžiu slypi labai paprasta formulė:

Šaknies formulės yra tokios:

*Šias formules reikia žinoti mintinai.

Galite iš karto užsirašyti ir nuspręsti:

Pavyzdys:

1. Jei D > 0, tai lygtis turi dvi šaknis.

2. Jei D = 0, tai lygtis turi vieną šaknį.

3. Jei D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pažiūrėkime į lygtį:

Šia proga, kai diskriminantas yra nulis, mokyklos kursas sako, kad gaunama viena šaknis, čia ji lygi devynioms. Teisingai, taip, bet...

Šis vaizdas yra šiek tiek neteisingas. Tiesą sakant, yra dvi šaknys. Taip, taip, nenustebkite, pasirodo dvi lygios šaknys, o kad būtų matematiškai tikslūs, atsakyme turėtų būti parašytos dvi šaknys:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet taip yra – mažas nukrypimas. Mokykloje gali užsirašyti ir pasakyti, kad yra tik viena šaknis.

Dabar toks pavyzdys:

Kaip žinome, neigiamo skaičiaus šaknis nėra išgaunama, todėl šiuo atveju sprendimo nėra.

Tai yra visas sprendimų priėmimo procesas.

Kvadratinė funkcija.

Štai kaip sprendimas atrodo geometriškai. Tai nepaprastai svarbu suprasti (ateityje viename iš straipsnių išsamiai išanalizuosime kvadratinės nelygybės sprendimą).

Tai yra formos funkcija:

kur x ir y yra kintamieji

a, b, c yra pateikti skaičiai, kur a ≠ 0

Grafikas yra parabolė:

Tai yra, paaiškėja, kad išsprendę kvadratinę lygtį, kurioje "y" lygi nuliui, randame parabolės susikirtimo taškus su x ašimi. Šių taškų gali būti du (diskriminantas yra teigiamas), vienas (diskriminantas yra nulis) arba nė vieno (diskriminantas yra neigiamas). Daugiau apie kvadratinę funkciją Galite peržiūrėti Innos Feldman straipsnis.

Apsvarstykite pavyzdžius:

1 pavyzdys: nuspręskite 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atsakymas: x 1 = 8 x 2 = -12

* Galite iš karto padalyti kairę ir dešinę lygties puses iš 2, tai yra, supaprastinti. Skaičiavimai bus lengvesni.

2 pavyzdys: Nuspręsk x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac = (–22) 2 –4, 1, 121 = 484–484 = 0

Gavome x 1 \u003d 11 ir x 2 \u003d 11

Atsakyme leidžiama rašyti x = 11.

Atsakymas: x = 11

3 pavyzdys: Nuspręsk x 2 – 8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 -4ac = (-8) 2 -4, 1, 72 = 64 - 288 = -224

Diskriminantas yra neigiamas, realiaisiais skaičiais sprendimo nėra.

Atsakymas: nėra sprendimo

Diskriminantas yra neigiamas. Yra sprendimas!

Čia kalbėsime apie lygties sprendimą tuo atveju, kai gaunamas neigiamas diskriminantas. Ar žinote ką nors apie kompleksinius skaičius? Čia nenagrinėsiu, kodėl ir kur jie atsirado ir koks jų konkretus vaidmuo ir būtinybė matematikoje, tai yra didelio atskiro straipsnio tema.

Kompleksinio skaičiaus samprata.

Šiek tiek teorijos.

Kompleksinis skaičius z yra formos skaičius

z = a + bi

kur a ir b yra realieji skaičiai, i yra vadinamasis įsivaizduojamas vienetas.

a+bi yra VIENAS SKAIČIUS, o ne priedas.

Įsivaizduojamas vienetas yra lygus minus vieneto šaknei:

Dabar apsvarstykite lygtį:

Gaukite dvi konjuguotas šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis.

Apsvarstykite specialius atvejus, kai koeficientas "b" arba "c" yra lygus nuliui (arba abu yra lygūs nuliui). Jie lengvai išsprendžiami be jokių diskriminavimo priemonių.

1 atvejis. Koeficientas b = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuokime:

Pavyzdys:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2 atvejis. Koeficientas c = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuoti, koeficientuoti:

* Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.

Pavyzdys:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 arba x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3 atvejis. Koeficientai b = 0 ir c = 0.

Čia aišku, kad lygties sprendimas visada bus x = 0.

Naudingos koeficientų savybės ir modeliai.

Yra savybių, kurios leidžia išspręsti lygtis su dideliais koeficientais.

ax 2 + bx+ c=0 lygybė

a + b+ c = 0, tada

— jei lygties koeficientams ax 2 + bx+ c=0 lygybė

a+ su =b, tada

Šios savybės padeda išspręsti tam tikros rūšies lygtį.

1 pavyzdys: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koeficientų suma yra 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, taigi

2 pavyzdys: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Lygybė a+ su =b, reiškia

Koeficientų dėsningumai.

1. Jei lygtyje ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jei lygtyje ax 2 - bx + c \u003d 0, koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jei lygtyje ax 2 + bx - c = 0 koeficientas "b" lygus (a 2 – 1), o koeficientas „c“ skaičiais lygus koeficientui "a", tada jo šaknys lygios

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jei lygtyje ax 2 - bx - c \u003d 0, koeficientas "b" yra lygus (a 2 - 1), o koeficientas c yra skaitiniu būdu lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietos teorema.

Vietos teorema pavadinta garsaus prancūzų matematiko Francois Vieta vardu. Naudojant Vietos teoremą, galima išreikšti savavališko KU šaknų sumą ir sandaugą jo koeficientais.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Apibendrinant, skaičius 14 duoda tik 5 ir 9. Tai yra šaknys. Turėdami tam tikrų įgūdžių, naudodami pateiktą teoremą, galite iškart žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių.

Vietos teorema, be to. patogu, nes įprastu būdu (per diskriminantą) išsprendus kvadratinę lygtį galima patikrinti gautas šaknis. Aš rekomenduoju tai daryti visą laiką.

PERDAVIMO METODAS

Šiuo metodu koeficientas "a" dauginamas iš laisvojo termino, tarsi "perkeliamas" į jį, todėl jis vadinamas perdavimo būdas.Šis metodas naudojamas, kai lengva rasti lygties šaknis naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Jeigu a± b+c≠ 0, tada naudojama perdavimo technika, pavyzdžiui:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Pagal Vieta teoremą (2) lygtyje nesunku nustatyti, kad x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Gautas lygties šaknis reikia padalyti iš 2 (kadangi du buvo „išmesti“ iš x 2), gauname

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Koks yra loginis pagrindas? Pažiūrėkite, kas vyksta.

(1) ir (2) lygčių diskriminantai yra šie:

Jei pažvelgsite į lygčių šaknis, gaunami tik skirtingi vardikliai, o rezultatas tiksliai priklauso nuo koeficiento x 2:

Antrosios (modifikuotos) šaknys yra 2 kartus didesnės.

Todėl rezultatą padalijame iš 2.

*Jei ridename tris vienodus, tai rezultatą dalijame iš 3 ir t.t.

Atsakymas: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie ir egzaminas.

Apie jo svarbą pasakysiu trumpai - TURĖKITE MESTI greitai ir negalvodami, reikia mintinai žinoti šaknų ir diskriminanto formules. Daugelis užduočių, kurios yra USE užduočių dalis, yra susijusios su kvadratinės lygties (įskaitant geometrines) sprendimu.

Į ką verta atkreipti dėmesį!

1. Lygties forma gali būti „numanoma“. Pavyzdžiui, galimas toks įrašas:

15+ 9x 2 - 45x = 0 arba 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 arba 15 -5x + 10x 2 = 0.

Turite jį pateikti į standartinę formą (kad nesusipainiotumėte sprendžiant).

2. Atsiminkite, kad x yra nežinoma reikšmė ir ji gali būti žymima bet kuria kita raide – t, q, p, h ir kt.

Kopievskajos kaimo vidurinė mokykla

10 kvadratinių lygčių sprendimo būdų

Vadovas: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematikos mokytojas

s.Kopyevo, 2007 m

1. Kvadratinių lygčių raidos istorija

1.1 Kvadratinės lygtys senovės Babilone

1.2 Kaip Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis

1.3 Kvadratinės lygtys Indijoje

1.4 Kvadratinės lygtys al-Khwarizmi

1.5 Kvadratinės lygtys Europoje XIII – XVII a

1.6 Apie Vietos teoremą

2. Kvadratinių lygčių sprendimo metodai

Išvada

Literatūra

1. Kvadratinių lygčių raidos istorija

1.1 Kvadratinės lygtys senovės Babilone

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su karinio pobūdžio žemės plotų ir žemės darbų paieška, astronomijos raida ir pati matematika. Kvadratinės lygtys sugebėjo išspręsti apie 2000 m. e. babiloniečiai.

Naudodamiesi šiuolaikine algebrine žyma, galime pasakyti, kad jų dantiraščio tekstuose, be nepilnų, yra ir tokių, pavyzdžiui, pilnų kvadratinių lygčių:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Šių lygčių sprendimo taisyklė, nurodyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma pateiktų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti.

Nepaisant aukšto Babilono algebros išsivystymo lygio, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinių lygčių sprendimo metodų.

1.2 Kaip Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis.

Diofanto aritmetikoje nėra sistemingo algebros išdėstymo, tačiau joje yra sistemingų uždavinių, lydimų paaiškinimų ir išspręstų formuluojant įvairaus laipsnio lygtis.

Rengdamas lygtis, Diofantas sumaniai pasirenka nežinomuosius, kad supaprastintų sprendimą.

Štai, pavyzdžiui, viena iš jo užduočių.

11 užduotis.„Rasti du skaičius žinant, kad jų suma yra 20, o sandauga yra 96“

Diofantas teigia taip: iš uždavinio sąlygos išplaukia, kad norimi skaičiai nėra lygūs, nes jei jie būtų lygūs, tada jų sandauga būtų lygi ne 96, o 100. Taigi vienas iš jų bus didesnis nei pusė jų sumos, t.y. 10+x, kitas yra mažesnis, t.y. 10-ųjų. Skirtumas tarp jų 2x .

Taigi lygtis:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 – x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Iš čia x = 2. Vienas iš norimų skaičių yra 12 , kita 8 . Sprendimas x = -2 nes Diofanto nėra, nes graikų matematika žinojo tik teigiamus skaičius.

Jei šią problemą išspręsime pasirinkę vieną iš norimų skaičių kaip nežinomą, tada prieisime prie lygties sprendimo

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20m + 96 = 0. (2)

Akivaizdu, kad Diofantas supaprastina sprendimą, pasirinkdamas norimų skaičių pusę skirtumo kaip nežinomą; jam pavyksta problemą redukuoti iki nepilnos kvadratinės lygties (1) sprendimo.

1.3 Kvadratinės lygtys Indijoje

Kvadratinių lygčių problemos jau randamos astronominiame trakte „Aryabhattam“, kurį 499 metais sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (7 a.) išdėstė bendrą kvadratinių lygčių sprendimo taisyklę, sumažintą iki vienos kanoninės formos:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

(1) lygtyje koeficientai, išskyrus a, taip pat gali būti neigiamas. Brahmaguptos taisyklė iš esmės sutampa su mūsų.

Senovės Indijoje vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas buvo įprasti. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išmokęs žmogus pranoksta kito šlovę viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas“. Užduotys dažnai būdavo aprengiamos poetine forma.

Čia yra viena iš garsaus XII amžiaus Indijos matematiko problemų. Bhaskara.

13 užduotis.

„Švelnus beždžionių pulkas ir dvylika vynmedžių...

Suvalgę jėgų, linksminomės. Jie pradėjo šokinėti, kabėti ...

Aštunta jų dalis aikštėje Kiek ten buvo beždžionių,

Pasilinksminimai pievoje. Pasakyk man, šitame pulke?

Bhaskaros sprendimas rodo, kad jis žinojo apie kvadratinių lygčių šaknų dvireikšmes (3 pav.).

13 uždavinį atitinkanti lygtis yra tokia:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara rašo prisidengdamas:

x 2 - 64x = -768

ir, norėdamas užpildyti kairę šios lygties pusę iki kvadrato, jis prideda prie abiejų pusių 32 2 , gaunu tada:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x – 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratinės lygtys al-Khorezmi

Al-Khorezmi algebrinis traktatas pateikia tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikaciją. Autorius išvardija 6 lygčių tipus, išreikšdamas jas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, t.y. ax 2 + c = b X.

2) „Kvadratai lygūs skaičiui“, t.y. kirvis 2 = s.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, t.y. ah = s.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, t.y. ax 2 + c = b X.

5) „Kvadratai ir šaknys lygūs skaičiui“, t.y. ah 2+ bx = s.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, t.y. bx + c \u003d kirvis 2.

Al-Khwarizmi, kuris vengė naudoti neigiamus skaičius, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos yra sudėjimai, o ne atimtys. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendinių. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-muqabala metodus. Jo sprendimai, žinoma, ne visiškai sutampa su mūsų. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikėtų pažymėti, kad, pavyzdžiui, sprendžiant nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį

al-Khorezmi, kaip ir visi matematikai iki XVII amžiaus, neatsižvelgia į nulinį sprendimą, tikriausiai todėl, kad jis neturi reikšmės konkrečiose praktinėse problemose. Spręsdamas visas kvadratines lygtis, al-Khorezmi nustato sprendimo taisykles, o tada geometrinius įrodymus, naudodamas tam tikrus skaitinius pavyzdžius.

14 užduotis.„Kvadratas ir skaičius 21 yra lygūs 10 šaknų. Rasti šaknį" (darant prielaidą, kad lygties šaknis x 2 + 21 = 10x).

Autoriaus sprendimas skamba maždaug taip: padalinkite šaknų skaičių per pusę, gausite 5, padauginkite iš 5, iš sandaugos atimkite 21, lieka 4. Paimkite šaknį iš 4, gausite 2. Iš 5 atimkite 2, jūs gauti 3, tai bus norima šaknis. Arba pridėkite 2 prie 5, tai duos 7, tai taip pat yra šaknis.

Traktatas al - Khorezmi yra pirmoji mūsų knyga, kurioje sistemingai išdėstyta kvadratinių lygčių klasifikacija ir pateiktos jų sprendimo formulės.

1.5 Kvadratinės lygtys Europoje XIII - XVII šimtmečius

Kvadratinių lygčių sprendimo formulės pagal al-Khorezmi modelį Europoje pirmą kartą buvo pateiktos „Abako knygoje“, kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardo Fibonacci. Šis didelės apimties kūrinys, atspindintis tiek islamo šalių, tiek senovės Graikijos matematikos įtaką, išsiskiria tiek išbaigtumu, tiek pateikimo aiškumu. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių problemų sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje pradėjo taikyti neigiamus skaičius. Jo knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis užduočių iš „Abako knygos“ perėjo į beveik visus XVI – XVII amžiaus Europos vadovėlius. ir iš dalies XVIII.

Bendra kvadratinių lygčių sprendimo taisyklė, sumažinta iki vienos kanoninės formos:

x 2+ bx = su,

visoms galimoms koeficientų ženklų kombinacijoms b , su Europoje suformulavo tik 1544 m. M. Stiefel.

Vieta turi bendrą kvadratinės lygties sprendimo formulės išvestį, tačiau Vieta atpažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli buvo vieni pirmųjų XVI a. Atsižvelkite į teigiamas ir neigiamas šaknis. Tik XVII a. Girardo, Dekarto, Niutono ir kitų mokslininkų darbo dėka kvadratinių lygčių sprendimo būdas įgauna šiuolaikišką išvaizdą.

1.6 Apie Vietos teoremą

Teoremą, išreiškiančią ryšį tarp kvadratinės lygties koeficientų ir jos šaknų, pavadintą Vieta, jis pirmą kartą suformulavo taip 1591 m.: „Jeigu B + D padaugintas iš A - A 2 , lygus BD, tada A lygus AT ir lygus D ».

Norint suprasti Vietą, reikia tai atsiminti BET, kaip ir bet kuris balsis, jam reiškė nežinomybę (mūsų X), balsiai AT, D- nežinomybės koeficientai. Šiuolaikinės algebros kalba aukščiau pateikta Vietos formuluotė reiškia: jeigu

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Išreikšdamas ryšį tarp lygčių šaknų ir koeficientų bendromis formulėmis, parašytomis simboliais, Vietas nustatė lygčių sprendimo metodų vienodumą. Tačiau Vietos simbolika dar toli nuo šiuolaikinės formos. Jis nepripažino neigiamų skaičių, todėl spręsdamas lygtis atsižvelgė tik į tuos atvejus, kai visos šaknys yra teigiamos.

2. Kvadratinių lygčių sprendimo metodai

Kvadratinės lygtys yra pagrindas, ant kurio remiasi didingas algebros statinys. Kvadratinės lygtys plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines, eksponencines, logaritmines, iracionaliąsias ir transcendentines lygtis bei nelygybes. Visi žinome, kaip spręsti kvadratines lygtis nuo mokyklos (8 klasės) iki baigimo.

Tiesiog. Pagal formules ir aiškias paprastas taisykles. Pirmajame etape

reikia duotą lygtį perkelti į standartinę formą, t.y. į vaizdą:

Jei lygtis jums jau pateikta tokia forma, jums nereikia atlikti pirmojo etapo. Svarbiausia yra teisinga

nustatyti visus koeficientus a, b ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė.

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis . Kaip matote, norėdami rasti x, mes

naudoti tik a, b ir c. Tie. šansai iš kvadratinė lygtis. Tiesiog atsargiai įdėkite

vertybes a, b ir cį šią formulę ir suskaičiuokite. Pakeiskite su jųženklai!

pavyzdžiui, lygtyje:

a =1; b = 3; c = -4.

Pakeiskite reikšmes ir parašykite:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Dažniausios klaidos – supainiojimas su vertybių ženklais a, b ir su. Atvirkščiai, su pakeitimu

neigiamas vertes į šaknų skaičiavimo formulę. Čia išsaugo detali formulė

su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, padarykite tai!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

čia a = -6; b = -5; c = -1

Viską dažome detaliai, kruopščiai, nieko nepraleisdami su visais ženklais ir skliausteliais:

Dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių.

Pirmas priėmimas. Nebūk tingus anksčiau sprendžiant kvadratinę lygtį suteikite jį į standartinę formą.

Ką tai reiškia?

Tarkime, po bet kokių transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknų formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c.

Teisingai sukurkite pavyzdį. Pirma, x kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvasis narys. Kaip šitas:

Atsikratykite minuso. Kaip? Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

O dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir užbaigti pavyzdį.

Spręskite patys. Turėtumėte gauti šaknis 2 ir -1.

Antrasis priėmimas. Patikrinkite savo šaknis! Autorius Vietos teorema.

Išspręsti pateiktas kvadratines lygtis, t.y. jei koeficientas

x2+bx+c=0,

tadax 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Pilnai kvadratinei lygčiai, kurioje a≠1:

x 2+bx+c=0,

padalykite visą lygtį iš a:

→ →

kur x 1 ir x 2 – lygties šaknys.

Trečias priėmimas. Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginti

bendro vardiklio lygtis.

Išvada. Praktiniai patarimai:

1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį perkeliame į standartinę formą, pastatome teisingai.

2. Jei kvadrate prieš x yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname viską padaugindami

lygtys -1.

3. Jei koeficientai yra trupmeniniai, pašaliname trupmenas, padauginę visą lygtį iš atitinkamos

veiksnys.

4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienetui, sprendimą galima nesunkiai patikrinti pagal

Ši tema iš pradžių gali pasirodyti sudėtinga dėl daugybės ne tokių paprastų formulių. Ne tik pačios kvadratinės lygtys turi ilgus įrašus, bet ir šaknys randamos per diskriminantą. Iš viso yra trys naujos formulės. Nelabai lengva prisiminti. Tai įmanoma tik dažnai sprendžiant tokias lygtis. Tada visos formulės įsimins pačios.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Čia siūlomas jų aiškus žymėjimas, kai pirmiausia rašomas didžiausias laipsnis, o po to - mažėjančia tvarka. Dažnai pasitaiko situacijų, kai terminai skiriasi. Tada geriau perrašyti lygtį kintamojo laipsnio mažėjimo tvarka.

Pristatykime žymėjimą. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.

Jei priimsime šiuos žymėjimus, visos kvadratinės lygtys bus sumažintos iki tokio žymėjimo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Ši formulė žymima skaičiumi vienu.

Pateikus lygtį neaišku, kiek šaknų bus atsakyme. Kadangi visada galimas vienas iš trijų variantų:

• tirpalas turės dvi šaknis;
• atsakymas bus vienas skaičius;
• Lygtis iš viso neturi šaknų.

Ir nors sprendimas neprieinamas iki galo, sunku suprasti, kuris iš variantų konkrečiu atveju iškris.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotys gali turėti skirtingus įrašus. Jie ne visada atrodys kaip bendra kvadratinės lygties formulė. Kartais pritrūks kai kurių terminų. Tai, kas buvo parašyta aukščiau, yra visa lygtis. Jei pašalinsite antrą ar trečią terminą, gausite kažką kito. Šie įrašai dar vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik nepilnais.

Be to, gali išnykti tik tie terminai, kurių koeficientai „b“ ir „c“. Skaičius „a“ jokiomis aplinkybėmis negali būti lygus nuliui. Nes tokiu atveju formulė virsta tiesine lygtimi. Neišsamios lygčių formos formulės bus tokios:

Taigi, yra tik dviejų tipų, be pilnųjų, yra ir nepilnų kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra numeris du, o antroji - trys.

Diskriminantas ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Šis skaičius turi būti žinomas, kad būtų galima apskaičiuoti lygties šaknis. Jį visada galima apskaičiuoti, nesvarbu, kokia būtų kvadratinės lygties formulė. Norėdami apskaičiuoti diskriminantą, turite naudoti žemiau parašytą lygybę, kuri turės skaičių keturi.

Pakeitę koeficientų reikšmes į šią formulę, galite gauti skaičius su skirtingais ženklais. Jei atsakymas yra taip, tada lygties atsakymas bus dvi skirtingos šaknys. Esant neigiamam skaičiui, kvadratinės lygties šaknų nebus. Jei jis lygus nuliui, atsakymas bus vienas.

Kaip išsprendžiama visa kvadratinė lygtis?

Tiesą sakant, šis klausimas jau pradėtas svarstyti. Nes pirmiausia reikia rasti diskriminantą. Išaiškinus, kad yra kvadratinės lygties šaknys ir žinomas jų skaičius, reikia naudoti kintamųjų formules. Jei yra dvi šaknys, tuomet reikia taikyti tokią formulę.

Kadangi jame yra ženklas „±“, bus dvi reikšmės. Po kvadratinės šaknies ženklu esanti išraiška yra diskriminantas. Todėl formulę galima perrašyti kitaip.

Formulė penkta. Iš to paties įrašo matyti, kad jei diskriminantas yra nulis, tada abi šaknys įgis tokias pačias reikšmes.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar nėra parengtas, tada prieš taikant diskriminacines ir kintamąsias formules geriau užsirašyti visų koeficientų reikšmes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pačioje pradžioje kyla painiava.

Kaip sprendžiama nepilna kvadratinė lygtis?

Čia viskas daug paprasčiau. Net nereikia papildomų formulių. Ir nereikės tų, kurie jau parašyti diskriminantui ir nežinomam.

Pirma, apsvarstykite nepilną lygtį numeris du. Šioje lygybėje iš skliaustų išimamas nežinomas dydis ir išspręsta tiesinė lygtis, kuri liks skliausteliuose. Atsakymas turės dvi šaknis. Pirmasis būtinai lygus nuliui, nes yra faktorius, susidedantis iš paties kintamojo. Antrasis gaunamas sprendžiant tiesinę lygtį.

Nebaigta lygtis, esanti skaičiumi trys, išspręsta perkeliant skaičių iš kairės lygties pusės į dešinę. Tada reikia padalyti iš koeficiento prieš nežinomąjį. Belieka tik ištraukti kvadratinę šaknį ir nepamiršti jos užsirašyti du kartus priešingais ženklais.

Toliau pateikiami keli veiksmai, padedantys išmokti išspręsti visų rūšių lygybes, kurios virsta kvadratinėmis lygtimis. Jie padės mokiniui išvengti klaidų dėl neatidumo. Šie trūkumai yra prastų pažymių priežastis studijuojant plačią temą „Kvadratinės lygtys (8 klasė)“. Vėliau šių veiksmų nereikės nuolat atlikti. Nes bus stabilus įprotis.

• Pirmiausia turite parašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu, o tada - be laipsnio, o paskutinis - tik skaičius.

• Jei prieš koeficientą „a“ atsiranda minusas, tai gali apsunkinti pradedančiajam studijuoti kvadratines lygtis. Geriau jo atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš „-1“. Tai reiškia, kad visi terminai pakeis ženklą į priešingą.

• Lygiai taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad vardikliai panaikintų.

Pavyzdžiai

Būtina išspręsti šias kvadratines lygtis:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmoji lygtis: x 2 - 7x \u003d 0. Ji neišsami, todėl išspręsta taip, kaip aprašyta formulėje numeris antroji.

Po skliaustų pasirodo: x (x - 7) \u003d 0.

Pirmoji šaknis įgauna reikšmę: x 1 \u003d 0. Antroji bus rasta iš tiesinės lygties: x - 7 \u003d 0. Nesunku pastebėti, kad x 2 = 7.

Antroji lygtis: 5x2 + 30 = 0. Vėlgi nepilna. Tik ji išspręsta taip, kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygties pusę: 5x 2 = 30. Dabar reikia padalyti iš 5. Pasirodo: x 2 = 6. Atsakymai bus skaičiai: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trečioji lygtis: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Čia ir žemiau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės perrašant jas į standartinę formą: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Dabar atėjo laikas naudoti antrąją naudingas patarimas ir viską padauginkite iš minus vieno . Pasirodo x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Pagal ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminantą: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Tai yra teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta aukščiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Juos reikia skaičiuoti pagal penktąją formulę. Pagal jį paaiškėja, kad x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ketvirtoji lygtis x 2 + 8 + 3x \u003d 0 paverčiama taip: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jos diskriminantas yra lygus šiai reikšmei: -23. Kadangi šis skaičius yra neigiamas, atsakymas į šią užduotį bus toks: „Šaknų nėra“.

Penktąją lygtį 12x + x 2 + 36 = 0 reikia perrašyti taip: x 2 + 12x + 36 = 0. Pritaikius diskriminanto formulę, gaunamas skaičius nulis. Tai reiškia, kad jis turės vieną šaknį, būtent: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šeštoji lygtis (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) reikalauja transformacijų, kurios susideda iš to, kad prieš atidarant skliaustus reikia pateikti panašius terminus. Vietoj pirmojo bus tokia išraiška: x 2 + 2x + 1. Po lygybės pasirodys šis įrašas: x 2 + 3x + 2. Suskaičiavus panašius narius, lygtis bus tokia forma: x 2 - x \u003d 0. Jis tapo neužbaigtas . Panašus į jį jau buvo laikomas šiek tiek didesnis. To šaknys bus skaičiai 0 ir 1.