Pirmas lygis

apibrėžtas ratas. Vaizdinis vadovas (2019 m.)

Pirmas klausimas, kuris gali kilti: aprašytas – apie ką?

Na, tiesą sakant, kartais tai atsitinka aplink bet ką, ir mes kalbėsime apie apskritimą, apribotą aplink (kartais sakoma „apie“) trikampį. Kas tai?

O dabar, įsivaizduokite, įvyksta nuostabus faktas:

Kodėl šis faktas stebina?

Bet trikampiai yra skirtingi!

Ir kiekvienam yra ratas, kuris praeis per visas tris viršūnes, tai yra, apibrėžtas apskritimas.

Šio nuostabaus fakto įrodymą galima rasti šiuose teorijos lygiuose, tačiau čia tik pažymime, kad, pavyzdžiui, paėmus keturkampį, tai visai ne visiems yra apskritimas, einantis per keturias viršūnes. Tarkime, lygiagretainis yra puikus keturkampis, o apskritimas, einantis per visas keturias jo viršūnes, nėra!

Ir yra tik stačiakampiui:

Na, ir kiekvienas trikampis visada turi savo apibrėžtą apskritimą! Ir netgi visada gana lengva rasti šio apskritimo centrą.

Ar žinote, kas yra vidurio statmenas?

Dabar pažiūrėkime, kas atsitiks, jei laikysime net tris statmenas trikampio kraštines.

Pasirodo (ir kaip tik tai reikia įrodyti, nors mes to neįrodysime). Visi trys statmenys susikerta viename taške. Pažiūrėkite į paveikslėlį – visi trys viduriniai statmenys susikerta viename taške.

Ar manote, kad apibrėžto apskritimo centras visada yra trikampio viduje? Įsivaizduokite – ne visada!

Bet jei smailaus kampo, tada - viduje:

Ką daryti su stačiu trikampiu?

Ir su papildoma premija:

Kadangi mes kalbame apie apibrėžto apskritimo spindulį: kam jis lygus savavališkam trikampiui? Ir į šį klausimą yra atsakymas: vadinamasis.

Būtent:

Ir žinoma,

1. Apriboto apskritimo egzistavimas ir centras

Čia kyla klausimas: ar toks apskritimas egzistuoja kokiam nors trikampiui? Pasirodo, taip, visiems. Be to, dabar suformuluosime teoremą, kuri taip pat atsako į klausimą, kur yra apibrėžtojo apskritimo centras.

Žiūrėk taip:

Sukaupkime drąsą ir įrodykime šią teoremą. Jei jau perskaitėte temą „“, supratote, kodėl trys bisektoriniai susikerta viename taške, tada jums bus lengviau, bet jei neskaitėte, nesijaudinkite: dabar mes viską išsiaiškinsime išeiti.

Įrodinėjimą atliksime naudodami taškų lokuso (LPT) sąvoką.

Na, pavyzdžiui, ar kamuoliukų rinkinys yra apvalių daiktų „geometrinė vieta“? Ne, žinoma, nes yra apvalių... arbūzų. Bet ar žmonių rinkinys, „geometrinė vieta“, gali kalbėti? Nei, nes yra kūdikių, kurie nemoka kalbėti. Gyvenime paprastai sunku rasti tikros „geometrinės taškų vietos“ pavyzdį. Geometrija yra lengvesnė. Štai, pavyzdžiui, tai, ko mums reikia:

Čia rinkinys yra vidurinis statmenas, o savybė "" yra "būti vienodu atstumu (tašku) nuo atkarpos galų."

Patikrinkime? Taigi, turite įsitikinti dviem dalykais:

1. Bet kuris taškas, esantis vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra jai statmenoje pusiausvyroje.

Sujunkite su ir su. Tada linija yra mediana ir aukštis coliais. Taigi, - lygiašoniai, - įsitikinome, kad bet kuris taškas, esantis ant statmeno bisektoriaus, yra vienodai nutolęs nuo taškų ir.

Paimkite - vidurį ir prijunkite ir. Gavo medianą. Bet - lygiašoniai pagal sąlygą, ne tik mediana, bet ir aukštis, tai yra, mediana statmena. Tai reiškia, kad taškas tiksliai yra ant statmeno bisektoriaus.

Viskas! Mes visiškai patikrinome tą faktą statmenas atkarpos pusiaukampis yra taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo atkarpos galų, vieta.

Viskas gerai, bet ar pamiršome apie apibrėžtą ratą? Visai ne, mes tiesiog paruošėme sau „tilto viršūnę puolimui“.

Apsvarstykite trikampį. Nubrėžkime du vidurinius statmenis ir, tarkime, į atkarpas ir. Jie tam tikru momentu susikirs, kurį mes pavadinsime.

O dabar dėmesio!

Taškas yra ant statmeno bisector;
taškas yra ant statmeno bisektoriaus.
O tai reiškia ir.

Iš to išplaukia keli dalykai:

Pirma, taškas turi gulėti ant trečiojo statmeno atkarpai.

Tai yra, per tašką taip pat turi eiti statmenoji pusiausvyra, o visos trys statmenosios pusės susikerta viename taške.

Antra: jei nubraižome apskritimą, kurio centras yra taške ir spindulys, tai šis apskritimas taip pat eis per tašką ir per tašką, tai yra, jis bus apibrėžtas apskritimas. Tai reiškia, kad jau egzistuoja, kad trijų statmenų bisektorių sankirta yra bet kurio trikampio apibrėžtojo apskritimo centras.

Ir paskutinis dalykas: apie unikalumą. Aišku (beveik), kad tašką galima gauti unikaliu būdu, todėl ir apskritimas yra unikalus. Na, „beveik“ – paliksime tai spręsti jums. Čia mes įrodėme teoremą. Galite sušukti „Ura!“.

O jei problema kyla dėl klausimo „rasti apibrėžto apskritimo spindulį“? Arba atvirkščiai, spindulys nurodytas, bet norite rasti ką nors kita? Ar yra formulė, susiejanti apibrėžto apskritimo spindulį su kitais trikampio elementais?

Atkreipkite dėmesį, kad sinuso teorema tai sako norint rasti apibrėžto apskritimo spindulį, reikia vienos kraštinės (bet kurios!) ir jai priešingo kampo. Štai ir viskas!

3. Apskritimo centras – viduje arba išorėje

Ir dabar kyla klausimas: ar apibrėžtojo apskritimo centras gali būti už trikampio ribų.
Atsakymas: kiek įmanoma. Be to, buku trikampio atveju taip yra visada.

Ir apskritai:

RATUMAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

1. Apskritimas apie trikampį

Tai apskritimas, einantis per visas tris šio trikampio viršūnes.

2. Apriboto apskritimo egzistencija ir centras

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą egzamino išlaikymą, įstojimą į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.

Niekuo tavęs neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamine jums nebus klausiama teorijos.

Jums reikės laiku išspręsti problemas.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.

Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtinai) ir mes jas tikrai rekomenduojame.

Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje - 299 rubliai.
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - 499 rubliai.

Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir spręskite!

Galima pastebėti, kad kiekviena pusė trikampis, statmenas, nubrėžtas iš jo vidurio, ir atkarpos, jungiančios statmenų susikirtimo tašką su viršūnėmis, sudaro du vienodus stačiakampius trikampis. Segmentai MA, MB, MS yra lygūs.

Jums duotas trikampis. Raskite kiekvienos pusės vidurį – paimkite liniuotę ir išmatuokite jos šonus. Padalinkite gautus matmenis per pusę. Atidėkite nuo viršūnių kiekvienoje jo dydžio pusėje. Pažymėkite rezultatus taškais.

Iš kiekvieno taško padėkite statmeną šonui. Šių statmenų susikirtimo taškas bus apibrėžtojo apskritimo centras. Apskritimo centrui rasti pakanka dviejų statmenų. Trečiasis skirtas savęs patikrinimui.

Atkreipkite dėmesį – trikampyje, kur visi kampai smailūs, sankryžos viduje trikampis. Stačiakampiame trikampyje guli ant hipotenuzės. B yra už jos ribų. Be to, statmenas į šoną, priešingą buku kampui, nėra į centrą trikampis, bet lauke.

pastaba

Yra sinuso teorema, kuri nustato ryšį tarp trikampio kraštinių, jo kampų ir apibrėžtojo apskritimo spindulių. Ši priklausomybė išreiškiama formule: a/sina = b/sinb = с/sinc = 2R, kur a, b, c yra trikampio kraštinės; sina, sinb, sinc yra kampų, priešingų šioms kraštinėms, sinusai; R yra apskritimo, kurį galima apibrėžti aplink trikampį, spindulys.

Šaltiniai:

• kaip apibūdinti keturkampio apskritimą

Pagal apibrėžimą, aprašytą ratas turi eiti per visas nurodyto daugiakampio kampines viršūnes. Visiškai nesvarbu, koks tai daugiakampis – trikampis, kvadratas, stačiakampis, trapecija ar dar kažkas. Taip pat nesvarbu, taisyklingas ar netaisyklingas daugiakampis. Tik reikia atsižvelgti į tai, kad aplink juos yra daugiakampiai ratas negalima aprašyti. visada galima aprašyti ratas aplink trikampį. Kalbant apie keturkampius, ratas galima apibūdinti apie kvadratą ar stačiakampį arba lygiašonę trapeciją.

Jums reikės

• Duotas daugiakampis
• Valdovas
• kvadratas
• Pieštukas
• Kompasas
• Protektorius
• Sinusų ir kosinusų lentelės
• Matematinės sąvokos ir formulės
• Pitagoro teorema
• Sinuso teorema
• Kosinuso teorema
• Trikampių panašumo ženklai

Instrukcija

Sukurkite daugiakampį su nurodytais parametrais ir ar galima jį apibrėžti ratas. Jei jums duotas keturkampis, apskaičiuokite jo priešingų kampų sumą. Kiekvienas iš jų turi būti lygus 180 °.

Apibūdinti ratas, reikia apskaičiuoti jo spindulį. Prisiminkite, kur yra apskritimo centras skirtinguose daugiakampiuose. Trikampyje jis yra visų nurodyto trikampio aukščių susikirtimo taške. Kvadrate ir stačiakampiuose - įstrižainių susikirtimo taške, trapecijos - simetrijos ašies susikirtimo taške su linija, jungiančia kraštinių vidurio taškus, ir bet kuriame kitame išgaubtame daugiakampyje - simetrijos ašies susikirtimo taške. statmenos pusės į šonus.

Apskaičiuokite kvadrato ir stačiakampio apskritimo skersmenį naudodami Pitagoro teoremą. Jis bus lygus kvadratinei šaknei iš stačiakampio kraštinių kvadratų sumos. Kvadrato, kurio visos kraštinės yra lygios, įstrižainė lygi kvadratinei šaknei iš dvigubo kraštinės kvadrato. Padalinkite skersmenį iš 2, kad gautumėte spindulį.

Apskaičiuokite trikampio apibrėžto apskritimo spindulį. Kadangi trikampio parametrai pateikti sąlygose, spindulį apskaičiuokite pagal formulę R = a/(2 sinA), kur a yra viena iš trikampio kraštinių, ? yra priešingas kampas. Vietoj šios pusės galite paimti šoną ir priešingą kampą.

Apskaičiuokite trapecijos formos apskritimo spindulį. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) 2*(a+d+c) . Apskaičiuokite trūkstamas reikšmes. Aukštis gali būti apskaičiuojamas naudojant sinuso arba kosinuso teoremą, sąlygose pateikiami trapecijos kraštinių ilgiai ir kampai. Žinodami aukštį ir atsižvelgdami į trikampių panašumus, apskaičiuokite įstrižainę. Po to belieka apskaičiuoti spindulį pagal aukščiau pateiktą formulę.

Susiję vaizdo įrašai

Naudingas patarimas

Norėdami apskaičiuoti apskritimo, apriboto aplink kitą daugiakampį, spindulį, atlikite keletą papildomų konstrukcijų. Gaukite paprastesnes figūras, kurių parametrus žinote.

3 patarimas: kaip nubrėžti stačiakampį trikampį iš smailaus kampo ir hipotenuzės

Statusis trikampis yra trikampis, kurio kampas vienoje iš jo viršūnių yra 90°. Kraštinė, esanti priešinga šiam kampui, vadinama hipotenuse, o kraštinės, esančios priešingos dviem smailiesiems trikampio kampams, vadinamos kojomis. Jei yra žinomas hipotenuzės ilgis ir vieno iš smailiųjų kampų reikšmė, tai šių duomenų pakanka trikampiui sukonstruoti bent dviem būdais.

Tema „Įbrėžti ir apibrėžti apskritimai trikampiuose“ yra viena sunkiausių geometrijos kurse. Ji labai mažai laiko praleidžia klasėje.

Šios temos geometrinės problemos yra įtrauktos į antrąją vidurinės mokyklos kurso USE egzamino darbo dalį. Norint sėkmingai atlikti šias užduotis, reikia gerai išmanyti pagrindinius geometrinius faktus ir turėti tam tikros patirties sprendžiant geometrines problemas.
Kiekvienam trikampiui yra tik vienas apibrėžtas apskritimas. Tai yra apskritimas, kuriame yra visos trys trikampio su nurodytais parametrais viršūnės. Rasti jo spindulį gali prireikti ne tik geometrijos pamokoje. Su tuo nuolat tenka susidurti dizaineriams, pjaustytojams, šaltkalviams ir daugelio kitų profesijų atstovams. Norint rasti jo spindulį, reikia žinoti trikampio parametrus ir jo savybes. Apibrėžto apskritimo centras yra trikampio statmenų bisektorių susikirtimo taške.
Atkreipiu jūsų dėmesį į visas apibrėžtojo apskritimo, o ne tik trikampio, spindulio nustatymo formules. Galima peržiūrėti įrašyto apskritimo formules.

a, b. su - trikampio kraštinės

α - kampas priešingoje pusėjea,
S-trikampio plotas,

p- pusperimetras.

Tada norėdami rasti spindulį ( R) iš apibrėžto apskritimo naudokite formules:

Savo ruožtu trikampio plotą galima apskaičiuoti naudojant vieną iš šių formulių:

Ir čia yra dar keletas formulių.

1. Taisyklingojo trikampio apskritimo spindulys. Jeigu a tada trikampio pusė

2. Apibrėžto apskritimo apie lygiašonį trikampį spindulys. Leisti būti a, b tada yra trikampio kraštinės

Apskritimo, apibrėžto apie trikampį, savybių teoremų įrodymai

Viduryje statmena segmentui

1 apibrėžimas . Viduryje statmena segmentui vadinama tiesė, statmena šiai atkarpai ir einanti per jos vidurį (1 pav.).

1 teorema. Kiekvienas atkarpai statmenos pusės taškas yra tokiu pat atstumu nuo galų šis segmentas.

Įrodymas . Apsvarstykite savavališką tašką D, esantį ant atkarpos AB statmenos pusės (2 pav.), ir įrodykite, kad trikampiai ADC ir BDC yra lygūs.

Tiesą sakant, šie trikampiai yra stačiakampiai trikampiai, kurių kojos AC ir BC yra lygios, o kojos DC yra bendros. Iš trikampių ADC ir BDC lygybės išplaukia atkarpų AD ir DB lygybė. 1 teorema įrodyta.

2 teorema (atvirkščiai į 1 teoremą). Jei taškas yra tokiu pat atstumu nuo atkarpos galų, tada jis yra ant šios atkarpos statmenos pusės.

Įrodymas . Įrodykime 2 teoremą metodu „prieštaravimas“. Tarkime, kad tam tikras taškas E yra tokiu pat atstumu nuo atkarpos galų, bet nėra šiai atkarpai statmenoje pusiausvyroje. Perkelkime šią prielaidą į prieštaravimą. Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai taškai E ir A yra priešingose ​​statmeno bisektoriaus pusėse (3 pav.). Šiuo atveju atkarpa EA tam tikrame taške kerta statmeną pusiausvyrą, kurią pažymėsime raide D.

Įrodykime, kad atkarpa AE yra ilgesnė už atkarpą EB . tikrai,

Taigi, tuo atveju, kai taškai E ir A yra priešingose ​​statmeno bisektoriaus pusėse, gauname prieštaravimą.

Dabar apsvarstykite atvejį, kai taškai E ir A yra toje pačioje statmeno bisektoriaus pusėje (4 pav.). Įrodykime, kad atkarpa EB yra ilgesnė už atkarpą AE . tikrai,

Gautas prieštaravimas užbaigia 2 teoremos įrodymą

Apskritimas, apjuosiantis trikampį

2 apibrėžimas . Apskritimas, apjuosiantis trikampį, vadink apskritimą, einantį per visas tris trikampio viršūnes (5 pav.). Šiuo atveju vadinamas trikampis į apskritimą įbrėžtas trikampis arba įrašytas trikampis.

Apskritimo, apibrėžto apie trikampį, savybės. Sinuso teorema

Paveikslas	Paveikslėlis	Nuosavybė
Viduriniai statmenai į trikampio šonus		susikerta viename taške .
centras apibrėžtas apie smailųjį apskritimo trikampį		Centras aprašytas apie smailaus kampo viduje trikampis.
centras apskritimas, apibrėžtas apie statųjį trikampį		Centras aprašomas apie stačiakampio formos hipotenuzės vidurio taškas .
centras apibrėžtas apie bukąjį apskritimo trikampį		Centras aprašytas apie bukas apskritimo trikampis guli lauke trikampis.
		,
Kvadratas trikampis		S = 2R 2 nuodėmė A nuodėmė B nuodėmė C ,
Apriboto apskritimo spindulys		Bet kurio trikampio lygybė yra teisinga:

Vidurio statmenai į trikampio kraštines

Visos statmenos pusiausvyros nubrėžtas į savavališko trikampio kraštines, susikerta viename taške .

Apskritimas, apjuosiantis trikampį

Bet kurį trikampį galima apibrėžti apskritimu. . Aplink trikampį apibrėžiamo apskritimo centras yra taškas, kuriame susikerta visi statmenai trikampio kraštinės.

Apskritimo, apibrėžto apie smailųjį trikampį, centras

Centras aprašytas apie smailaus kampo apskritimo trikampis guli viduje trikampis.

Apskritimo, apibrėžto apie stačią trikampį, centras

Centras aprašomas apie stačiakampio formos apskritimo trikampis yra hipotenuzės vidurio taškas .

Apskritimo, apibrėžto apie bukąjį trikampį, centras

Centras aprašytas apie bukas apskritimo trikampis guli lauke trikampis.

Bet kuriam trikampiui galioja lygybės (sinuso teorema): , čia a, b, c – trikampio kraštinės, A, B, C – trikampio kampai, R – apibrėžtojo apskritimo spindulys.

Trikampio plotas

Bet kurio trikampio lygybė yra teisinga: S = 2R 2 nuodėmė A nuodėmė B nuodėmė C , kur A, B, C yra trikampio kampai, S yra trikampio plotas, R yra apibrėžto apskritimo spindulys.

Apriboto apskritimo spindulys

Bet kurio trikampio lygybė yra teisinga: kur a, b, c yra trikampio kraštinės, S yra trikampio plotas, R yra apibrėžtojo apskritimo spindulys.

Apskritimo, apibrėžto apie trikampį, savybių teoremų įrodymai

3 teorema. Visi viduriniai statmenys, nubrėžti į savavališko trikampio kraštines, susikerta viename taške.

Įrodymas . Panagrinėkime du statmenus bisektorius, nubrėžtus į trikampio ABC kraštines AC ir AB, ir pažymime jų susikirtimo tašką su raide O (6 pav.).

Kadangi taškas O yra ant atkarpos AC statmenos pusės, tai pagal 1 teoremą galioja ši lygybė:

Kadangi taškas O yra ant atkarpos AB statmenos pusės, tai pagal 1 teoremą galioja ši lygybė:

Taigi lygybė yra teisinga:

iš kur, naudodamiesi 2 teorema, darome išvadą, kad taškas O yra ant atkarpos BC statmenos pusės. Taigi, visi trys statmenos pusiausvyros eina per tą patį tašką, o tai turėjo būti įrodyta.

Pasekmė. Bet kurį trikampį galima apibrėžti apskritimu. . Aplink trikampį apibrėžiamo apskritimo centras yra taškas, kuriame susikerta visi statmenai trikampio kraštinės.

Įrodymas . Nagrinėkime tašką O, kuriame susikerta visi statmenai į trikampio ABC kraštines (6 pav.).

Įrodžius 3 teoremą, gauta tokia lygybė:

iš to seka, kad apskritimas, kurio centras yra taške O ir spinduliai OA , OB , OC eina per visas tris trikampio ABC viršūnes, o tai turėjo būti įrodyta.

Pirmas lygis

apibrėžtas ratas. Vaizdinis vadovas (2019 m.)

Pirmas klausimas, kuris gali kilti: aprašytas – apie ką?

Na, tiesą sakant, kartais tai atsitinka aplink bet ką, ir mes kalbėsime apie apskritimą, apribotą aplink (kartais sakoma „apie“) trikampį. Kas tai?

O dabar, įsivaizduokite, įvyksta nuostabus faktas:

Kodėl šis faktas stebina?

Bet trikampiai yra skirtingi!

Ir kiekvienam yra ratas, kuris praeis per visas tris viršūnes, tai yra, apibrėžtas apskritimas.

Šio nuostabaus fakto įrodymą galima rasti šiuose teorijos lygiuose, tačiau čia tik pažymime, kad, pavyzdžiui, paėmus keturkampį, tai visai ne visiems yra apskritimas, einantis per keturias viršūnes. Tarkime, lygiagretainis yra puikus keturkampis, o apskritimas, einantis per visas keturias jo viršūnes, nėra!

Ir yra tik stačiakampiui:

Na, ir kiekvienas trikampis visada turi savo apibrėžtą apskritimą! Ir netgi visada gana lengva rasti šio apskritimo centrą.

Ar žinote, kas yra vidurio statmenas?

Dabar pažiūrėkime, kas atsitiks, jei laikysime net tris statmenas trikampio kraštines.

Pasirodo (ir kaip tik tai reikia įrodyti, nors mes to neįrodysime). Visi trys statmenys susikerta viename taške. Pažiūrėkite į paveikslėlį – visi trys viduriniai statmenys susikerta viename taške.

Ar manote, kad apibrėžto apskritimo centras visada yra trikampio viduje? Įsivaizduokite – ne visada!

Bet jei smailaus kampo, tada - viduje:

Ką daryti su stačiu trikampiu?

Ir su papildoma premija:

Kadangi mes kalbame apie apibrėžto apskritimo spindulį: kam jis lygus savavališkam trikampiui? Ir į šį klausimą yra atsakymas: vadinamasis.

Būtent:

Ir žinoma,

1. Apriboto apskritimo egzistavimas ir centras

Čia kyla klausimas: ar toks apskritimas egzistuoja kokiam nors trikampiui? Pasirodo, taip, visiems. Be to, dabar suformuluosime teoremą, kuri taip pat atsako į klausimą, kur yra apibrėžtojo apskritimo centras.

Žiūrėk taip:

Sukaupkime drąsą ir įrodykime šią teoremą. Jei jau perskaitėte temą „“, supratote, kodėl trys bisektoriniai susikerta viename taške, tada jums bus lengviau, bet jei neskaitėte, nesijaudinkite: dabar mes viską išsiaiškinsime išeiti.

Įrodinėjimą atliksime naudodami taškų lokuso (LPT) sąvoką.

Na, pavyzdžiui, ar kamuoliukų rinkinys yra apvalių daiktų „geometrinė vieta“? Ne, žinoma, nes yra apvalių... arbūzų. Bet ar žmonių rinkinys, „geometrinė vieta“, gali kalbėti? Nei, nes yra kūdikių, kurie nemoka kalbėti. Gyvenime paprastai sunku rasti tikros „geometrinės taškų vietos“ pavyzdį. Geometrija yra lengvesnė. Štai, pavyzdžiui, tai, ko mums reikia:

Čia rinkinys yra vidurinis statmenas, o savybė "" yra "būti vienodu atstumu (tašku) nuo atkarpos galų."

Patikrinkime? Taigi, turite įsitikinti dviem dalykais:

1. Bet kuris taškas, esantis vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra jai statmenoje pusiausvyroje.

Sujunkite su ir su. Tada linija yra mediana ir aukštis coliais. Taigi, - lygiašoniai, - įsitikinome, kad bet kuris taškas, esantis ant statmeno bisektoriaus, yra vienodai nutolęs nuo taškų ir.

Paimkite - vidurį ir prijunkite ir. Gavo medianą. Bet - lygiašoniai pagal sąlygą, ne tik mediana, bet ir aukštis, tai yra, mediana statmena. Tai reiškia, kad taškas tiksliai yra ant statmeno bisektoriaus.

Viskas! Mes visiškai patikrinome tą faktą statmenas atkarpos pusiaukampis yra taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo atkarpos galų, vieta.

Viskas gerai, bet ar pamiršome apie apibrėžtą ratą? Visai ne, mes tiesiog paruošėme sau „tilto viršūnę puolimui“.

Apsvarstykite trikampį. Nubrėžkime du vidurinius statmenis ir, tarkime, į atkarpas ir. Jie tam tikru momentu susikirs, kurį mes pavadinsime.

O dabar dėmesio!

Taškas yra ant statmeno bisector;
taškas yra ant statmeno bisektoriaus.
O tai reiškia ir.

Iš to išplaukia keli dalykai:

Pirma, taškas turi gulėti ant trečiojo statmeno atkarpai.

Tai yra, per tašką taip pat turi eiti statmenoji pusiausvyra, o visos trys statmenosios pusės susikerta viename taške.

Antra: jei nubraižome apskritimą, kurio centras yra taške ir spindulys, tai šis apskritimas taip pat eis per tašką ir per tašką, tai yra, jis bus apibrėžtas apskritimas. Tai reiškia, kad jau egzistuoja, kad trijų statmenų bisektorių sankirta yra bet kurio trikampio apibrėžtojo apskritimo centras.

Ir paskutinis dalykas: apie unikalumą. Aišku (beveik), kad tašką galima gauti unikaliu būdu, todėl ir apskritimas yra unikalus. Na, „beveik“ – paliksime tai spręsti jums. Čia mes įrodėme teoremą. Galite sušukti „Ura!“.

O jei problema kyla dėl klausimo „rasti apibrėžto apskritimo spindulį“? Arba atvirkščiai, spindulys nurodytas, bet norite rasti ką nors kita? Ar yra formulė, susiejanti apibrėžto apskritimo spindulį su kitais trikampio elementais?

Atkreipkite dėmesį, kad sinuso teorema tai sako norint rasti apibrėžto apskritimo spindulį, reikia vienos kraštinės (bet kurios!) ir jai priešingo kampo. Štai ir viskas!

3. Apskritimo centras – viduje arba išorėje

Ir dabar kyla klausimas: ar apibrėžtojo apskritimo centras gali būti už trikampio ribų.
Atsakymas: kiek įmanoma. Be to, buku trikampio atveju taip yra visada.

Ir apskritai:

RATUMAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

1. Apskritimas apie trikampį

Tai apskritimas, einantis per visas tris šio trikampio viršūnes.

2. Apriboto apskritimo egzistencija ir centras

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą egzamino išlaikymą, įstojimą į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.

Niekuo tavęs neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamine jums nebus klausiama teorijos.

Jums reikės laiku išspręsti problemas.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.

Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtinai) ir mes jas tikrai rekomenduojame.

Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje - 299 rubliai.
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - 499 rubliai.

Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir spręskite!