압축 봉의 안정성 임계 응력 오일러 공식. 임계력에 대한 오일러 공식

강의 7

압축봉의 안정성

압축봉의 안정성 개념. 오일러 공식. 막대 고정 방법에 대한 임계력의 의존성. 오일러 공식의 적용 한계. 야신스키 공식. 지속 가능성 계산.

압축봉의 안정성 개념

길이 방향 압축력 F가 가해지는 직선 축이 있는 막대를 생각해 보겠습니다. 힘의 크기와 막대의 매개변수(재료, 길이, 모양 및 단면 치수)에 따라 직선 평형 모양은 다음과 같을 수 있습니다. 안정적이거나 불안정합니다.

로드의 평형 유형을 결정하기 위해 작은 가로 하중 Q로 로드에 작용하도록 합시다. 결과적으로 로드는 곡선 축이 있는 새로운 평형 위치로 이동합니다. 가로 하중이 종료된 후 막대가 원래(직선) 위치로 돌아가면 직선 형태의 평형이 안정적입니다(그림 7.1a). 횡력 Q의 작용이 종료된 후 막대가 원래 위치로 돌아가지 않는 경우 직선 형태의 평형이 불안정합니다(그림 7.1b).

따라서 안정성은 방해하는 하중의 작용으로 인해 원래 위치에서 약간 벗어난 후 이 하중이 종료되면 로드가 자발적으로 원래 위치로 돌아갈 수 있는 능력입니다. 막대의 직선 평형 형상이 불안정해지는 가장 작은 종방향 압축력을 임계력이라고 합니다.

중앙 압축 로드의 고려된 작동 방식은 이론적입니다. 실제로 압축력은 약간의 편심으로 작용할 수 있으며 로드는 약간(작긴 하지만) 초기 곡률을 가질 수 있습니다. 따라서 막대의 세로 하중이 시작될 때부터 굽힘이 관찰됩니다. 연구에 따르면 압축력이 임계력보다 작은 한 막대 변형이 작아집니다. 힘이 임계값에 도달하면 처짐이 무한정 증가하기 시작합니다. 이 기준(압축력의 제한된 증가와 함께 처짐의 무제한 증가)은 좌굴의 기준으로 사용됩니다.

탄성 평형의 안정성 손실은 막대의 압축 동안뿐만 아니라 비틀림, 굽힘 및 보다 복잡한 유형의 변형 중에도 발생합니다.

오일러 공식

두 개의 힌지 지지대(그림 7.2)로 고정된 직선 축이 있는 막대를 고려하십시오. 막대에 작용하는 종방향 압축력이 임계값에 도달하고 막대가 가장 강성이 낮은 평면에서 구부러져 있다고 가정합니다. 최소 강성의 평면은 단면의 축 관성 모멘트가 최소값을 갖는 단면의 주 중심 축에 수직으로 위치합니다.

(7.1)

여기서 M은 굽힘 모멘트입니다. I min은 단면의 최소 관성 모멘트입니다.

무화과에서. 7.2 굽힘 모멘트 찾기

(7.2)

무화과에. 7.2 임계력의 작용으로 인한 굽힘 모멘트는 양수이고 처짐은 음수입니다. 허용되는 기호에 동의하기 위해 빼기 기호가 종속됩니다(7.2).

편향 함수를 결정하기 위해 (7.2)를 (7.1)에 대입하면 미분 방정식을 얻습니다.

(7.3)

(7.4)

고등 수학 과정에서 방정식 (7.3)의 해는 다음 형식을 갖는 것으로 알려져 있습니다.

여기서 A, B는 적분 상수입니다.

(7.5)에서 적분 상수를 결정하기 위해 경계 조건을 사용합니다.

구부러진 막대의 경우 계수 A와 B는 동시에 0이 될 수 없습니다(그렇지 않으면 막대가 구부러지지 않음). 그렇기 때문에

식 (7.6)과 (7.4), 우리는

(7.7)

실제적으로 중요한 것은 임계력의 0이 아닌 가장 작은 값입니다. 따라서 n=1을 (7.7)에 대입하면 최종적으로

(7.8)

의존성(7.8)을 오일러 공식이라고 합니다.

임계력 의존성

로드 고정 방법에서

식 (7.8)은 막대가 가장자리에 위치한 2개의 힌지 지지대에 의해 고정된 경우에 얻어졌습니다. 막대를 고정하는 다른 방법의 경우 일반화된 오일러 공식을 사용하여 임계력을 결정합니다.

(7.9)

여기서 μ는 막대 고정 방법을 고려한 길이 감소 계수입니다.

막대를 고정하는 가장 일반적인 방법과 해당 길이 감소 계수가 그림 1에 나와 있습니다. 7.3.

오일러 공식의 적용 한계. 야신스키의 공식

피 오일러 공식을 유도할 때 안정성을 상실한 순간에 Hooke의 법칙이 만족되는 조건을 사용하였다. 좌굴 순간 막대의 응력은 다음과 같습니다.

어디
- 로드 유연성; A는 막대의 단면적입니다.

안정성이 상실되는 순간, Hooke의 법칙은 다음 조건에서 만족됩니다.

여기서 σpc는 막대 재료의 비례 한계입니다.
- 로드의 첫 번째 궁극적인 유연성. 강철의 경우 St3 λ pr1 = 100.

따라서 오일러 공식은 조건 (7.10)이 만족될 때 유효합니다.

로드의 유연성이 간격에 있는 경우
그러면 막대는 탄성-소성 변형 영역에서 안정성을 잃게 되며 오일러 공식을 사용할 수 없습니다. 이 경우 임계력은 Yasinsky의 실험식에 의해 결정됩니다.

여기서, b는 실험 계수입니다. 강철 St3의 경우 a = 310 MPa, b = 1.14 MPa.

막대의 두 번째 극한 유연성은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

여기서 σ t는 막대 재료의 항복 강도입니다. 강철의 경우 St3 λ pr2 = 60.

조건 λ ≤ λ pr2가 충족되면 임계 응력(Yasinsky에 따르면)이 막대 재료의 항복 강도를 초과합니다. 따라서 이 경우 임계력을 결정하기 위해 관계식을 사용합니다.

(7.12)

입력 그림의 예로서. 7.4는 강 St3용 봉의 유연성에 대한 임계 응력의 의존성을 보여줍니다.

지속 가능성 계산

안정성 조건을 사용하여 안정성 분석 수행

(7.13)

안정성을 계산할 때 허용되는 응력;

- 안정성 요인.

안정성 계산의 허용 응력은 압축 계산의 허용 응력을 기준으로 합니다.

(7.14)

여기서 φ는 좌굴 계수(또는 주요 허용 응력 감소)입니다. 이 계수는 0 ≤ φ ≤ 1 내에서 다양합니다.

플라스틱 소재를 고려하여

공식 (7.13) 및 (7.14)는 다음을 의미합니다.

(7.15)

막대의 재료와 유연성에 따른 좌굴 계수 값은 참고 문헌에 나와 있습니다.

가장 흥미로운 것은 안정성 조건에서 설계 계산입니다. 이러한 유형의 계산을 통해 다음이 알려져 있습니다. 설계 방식(계수 μ), 외부 압축력 F, 재료(허용 응력 [σ]) 및 막대의 길이 l, 단면 모양. 단면의 치수를 결정할 필요가 있습니다.

어려움은 임계 응력을 결정하는 공식을 알 수 없다는 사실에 있습니다. 단면 치수가 없으면 막대의 유연성을 결정할 수 없습니다. 따라서 계산은 연속 근사법으로 수행됩니다.

1) 초기값을 받아들인다 = 0.5. 단면적 결정

2) 면적별로 단면 치수를 찾습니다.

3) 얻은 단면 치수를 사용하여 막대의 유연성을 계산하고 유연성에 따라 좌굴 계수의 최종 값 .

4) 값이 일치하지 않는 경우 그리고 두 번째 근사를 수행합니다. 두 번째 근사에서 φ의 초기 값은 다음과 같습니다.
. 등.

계수 φ의 초기 값과 최종 값이 5% 이하로 다를 때까지 계산을 반복합니다. 대답으로 우리는 마지막 근사에서 얻은 치수 값을 수락합니다.

임계 응력을 찾기 위해서는 임계력, 즉 약간 휘어진 압축봉의 균형을 유지할 수 있는 가장 작은 축방향 압축력을 계산해야 합니다.

이 문제는 1744년 St. Petersburg Academy of Sciences L. Euler의 Academician에 의해 처음 해결되었습니다.

문제의 공식화 자체가 과정의 이전에 고려된 모든 섹션과 다르다는 점에 유의하십시오. 이전에 주어진 외부 하중 하에서 로드의 변형을 결정했다면 여기서 역 문제를 제기합니다. 압축된 로드의 축 곡률이 주어지면 축 방향 압축력의 값을 결정해야 합니다. 아르 자형그러한 왜곡이 가능합니다.

끝 부분에 힌지가 달린 일정한 단면의 직선 막대를 고려하십시오. 지지대 중 하나는 막대의 해당 끝을 세로 방향으로 움직일 수 있습니다 (그림 3). 우리는 막대의 자체 무게를 무시합니다.

그림 3."오일러 문제"의 계산 방식

우리는 중앙에 적용된 세로 압축력을 로드에 로드하고 최소 강성의 평면에서 매우 약간의 곡률을 제공합니다. 막대가 구부러진 상태로 유지되기 때문에 가능합니다.

막대의 굽힘 변형은 매우 작은 것으로 가정하므로 문제를 해결하기 위해 막대의 굽힘 축에 대한 근사 미분 방정식을 사용할 수 있습니다. 점에서 좌표의 원점 선택 하지만그림 3과 같이 좌표축의 방향은 다음과 같습니다.

(1)

멀리서 섹션을 가져 가라. 엑스원산지에서; 이 섹션의 곡선 축의 세로 좌표는 ~에, 굽힘 모멘트는

원래 계획에 따르면 굽힘 모멘트는 음수로 판명되는 반면 선택한 축 방향의 세로 좌표는 ~에긍정적인 것으로 밝혀졌습니다. (봉이 아래로 돌출되어 구부러져 있다면 모멘트는 양수이고, ~에- 음수 및 .)

방금 주어진 미분 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

방정식의 양변을 다음으로 나눕니다. EJ다음 형식으로 가져옴을 통해 분수를 나타냅니다.

이 방정식의 일반 적분 형식은 다음과 같습니다.

이 솔루션에는 세 가지 미지수가 있습니다. 통합 상수 하지만그리고 비임계력의 크기는 우리에게 알려져 있지 않기 때문에 가치.

막대 끝의 경계 조건은 두 가지 방정식을 제공합니다.

점 A에서 x = 0 편향 ~에 = 0,

입력 엑스= 1 ~에 = 0.

첫 번째 조건에서 따릅니다(cos kx =1)

따라서 구부러진 축은 다음 방정식을 갖는 정현파입니다.

(2)

두 번째 조건을 적용하여 이 방정식에 대입합니다.

~에= 0 및 엑스 = 엘

우리는 얻는다:

이것으로부터 다음 중 하나는 하지만또는 클 0과 같습니다.

만약에 하지만 0과 같으면 방정식 (2)에서 막대의 모든 섹션에서의 처짐이 0과 같게 됩니다. 즉 막대는 직선으로 유지됩니다. 이것은 우리 결론의 초기 전제와 모순됩니다. 그러므로 죄 클= 0이고 값은 다음과 같은 무한 계열 값을 가질 수 있습니다.

여기서 임의의 정수입니다.

따라서, 그리고 그 이후로

즉, 약간 휘어진 로드의 균형을 유지할 수 있는 하중은 이론적으로 여러 값을 가질 수 있습니다. 그러나 좌굴이 가능하게 되는 축방향 압축력의 가장 작은 값을 구하고 실용적인 관점에서 흥미롭기 때문에 취해야 한다.

첫 번째 루트 =0은 문제의 초기 데이터에 해당하지 않는 0과 같아야 합니다. 따라서 이 루트는 폐기되어야 하고 값은 가장 작은 루트로 취해야 합니다. 그런 다음 임계력에 대한 표현을 얻습니다.

따라서 로드의 사인 곡선형 축이 더 많은 변곡점을 가질수록 임계력은 더 커야 합니다. 보다 완전한 연구는 공식 (1)로 정의된 평형 형태가 불안정하다는 것을 보여줍니다. 그들은 지점에서 중간 지지대가있는 경우에만 안정적인 형태로 전달됩니다. 입력그리고 에서(그림 1).

그림 1

따라서 작업이 해결됩니다. 우리 막대의 경우 가장 작은 임계력은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

곡선 축은 정현파를 나타냅니다.

적분 상수의 값 하지만정의되지 않은 채로 남아있다. 사인파 방정식에 넣으면 물리적 의미가 밝혀집니다. 그러면 (즉, 막대 길이의 중간에) 값이 수신됩니다.

수단, 하지만- 이것은 길이의 중간 부분에서 막대의 처짐입니다. 힘의 임계값에서 아르 자형곡선 막대의 평형은 직선 모양에서 다양한 편차로 가능합니다. 이러한 편차만 작으면 편향이 자연스럽습니다. 에프정의되지 않은 채로 남아 있습니다.

동시에, 곡선 축의 근사 미분 방정식을 사용할 권리가 있을 정도로 작아야 합니다. 즉, 1에 비해 여전히 작습니다.

임계력 값을 구하면 힘을 막대의 단면적으로 나누어 임계 응력 값을 즉시 찾을 수 있습니다 에프; 단면적의 국부적인 약화가 극히 약한 영향을 미치는 막대의 변형을 고려하여 임계력의 값을 결정했기 때문에 공식은 관성 모멘트를 포함하므로 일반적입니다. 임계 응력을 계산할 때와 안정성 조건을 컴파일할 때 로드의 약해진 단면적이 아닌 전체 계산에 들어갑니다. 그러면 평등할 것이다.

따라서 이러한 유연성을 갖는 압축봉의 면적을 강도조건에 따라서만 선택하면 직선형의 안정성 상실로 인해 봉이 무너지게 된다.

처음으로 압축봉의 안정성 문제가 제기되었습니다. 오일러는 임계력에 대한 계산식을 도출했고 그 값은 막대 고정 방법에 크게 의존한다는 것을 보여주었습니다. 오일러 방법의 아이디어는 직선 외에도 일정한 하중에서 막대의 인접한(즉, 원래에 임의로 가까운) 곡선 평형 형태가 가능한 조건을 설정하는 것입니다.

힘에 의해 압축되어 끝이 힌지 된 직선 막대가 있다고 가정 해 봅시다. 피= 피케이, 는 약간의 수평력에 의해 직선 평형에서 벗어나 수평력을 제거한 후에도 구부러진 상태를 유지했습니다(그림 13.4). 막대의 처짐이 작은 경우 축의 대략적인 미분 방정식은 빔의 가로 굽힘의 경우와 같은 형태를 갖습니다.

좌표의 원점과 하단의 중심을 결합하여 축을 지시합니다. ~에로드의 처짐 방향 및 축 엑스- 막대의 축을 따라.

좌굴 이론에서는 압축력을 양수로 간주하는 것이 일반적입니다. 따라서 고려되는 막대의 현재 단면에서 굽힘 모멘트를 결정하면 다음을 얻습니다.

그러나, Fig. 13.4, 축의 선택된 방향 ~에 // <0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси ~에반대로, 그러면 표시가 동시에 변경됩니다. ~에그리고 ~에// 방정식(13.2)의 오른쪽에 있는 빼기 기호는 그대로 유지됩니다.

따라서 막대의 탄성선 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

.

가정 α 2 =르크/EI, 우리는 선형 균질 미분 방정식을 얻습니다

,

그의 일반 적분

여기 ㅏ그리고 비- 로드 고정 조건, 소위 경계 또는 경계 조건에서 결정된 적분 상수.

그림 1에서 보는 바와 같이 로드 하단의 수평 변위. 13.4는 0과 같습니다. 엑스=0 편향 ~에=0. 이 조건은 다음과 같은 경우 충족됩니다. 비=0. 따라서 막대의 곡선 축은 사인 곡선입니다.

.

막대 상단의 수평 변위도 0이므로

.

일정한 ㅏ, 로드의 최대 처짐은 0과 같을 수 없습니다. ㅏ=0이면 직선 형태의 평형만 가능하며, 곡선 형태의 평형도 가능한 조건을 찾고 있습니다. 따라서 반드시 죄α 엘=0. 다음과 같은 경우 막대의 곡선 평형 형태가 존재할 수 있습니다. α 엘가치를 취하다 π ,2π ,.Nπ . 값 α 엘이 솔루션은 경우에 해당하므로 0과 같을 수 없습니다.

평등화 α 엘= Nπ 그리고 대체

우리는 얻는다

.

식 (13.5)를 오일러 공식이라고 합니다. 임계력을 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 르크로드가 두 개의 주요 평면 중 하나에서 좌굴될 때 이 조건에서만 방정식(13.2)이 유효하고 따라서 공식(13.5)이 유효하기 때문입니다.

로드의 좌굴은 로드가 이 방향으로 구부러지는 것을 방지하는 특수 장치가 없는 경우 가장 강성이 낮은 방향으로 발생합니다. 따라서 오일러 공식에서 다음을 대체해야 합니다. 나분-로드 단면의 주요 중심 관성 모멘트 중 가장 작은 것.

막대의 최대 처짐 값 ㅏ주어진 솔루션에서 정의되지 않은 상태로 유지되며 임의적이지만 작은 것으로 간주됩니다.

공식 (13.5)에 의해 결정된 임계력의 값은 계수에 따라 다릅니다. N. 이 계수의 기하학적 의미를 알아봅시다.

위에서 우리는 막대의 구부러진 축이 사인 곡선임을 확인했으며, 그 방정식은 대체 후 α =π N/엘식으로 (13.4) 형식을 취합니다

.

정현파 N=1, N=2는 그림에 나와 있습니다. 13.5. 값임을 쉽게 알 수 있다. N막대가 구부러지는 사인 곡선의 반파 수를 나타냅니다. 분명히 막대는 (13.5)에 따라 가장 작은 N가장 작은 임계력에 해당합니다. 이 첫 번째 임계력만이 실제 물리적 의미를 갖습니다.

예를 들어, 힌지가 달린 막대는 임계력의 가장 작은 값에 도달하자마자 구부러질 것입니다. N=1, 이 막대의 지지 장치로 인해 사인파의 반파를 따라 구부러질 수 있기 때문입니다. 해당하는 임계력 N=2, N\u003d 3 이상은 중간 지지대가 있는 경우에만 달성할 수 있습니다(그림 13.6). 중간 고정 장치가 없는 경첩식 끝단 지지대가 있는 로드의 경우 첫 번째 임계력은 실질적인 의미를 갖습니다.

.

공식(13.5)은 다음과 같이 유도 끝이 경첩이 있는 막대뿐만 아니라 정수 수의 반파를 따라 좌굴 중에 구부러지는 막대에 대해서도 유효합니다. 예를 들어 로드의 임계력을 결정할 때 이 공식을 적용해 보겠습니다. 로드의 지지 장치는 끝단의 길이 방향 변위만 허용합니다(단부가 내장된 스탠드). 그림 13.7에서 알 수 있듯이 이 경우 곡선 축의 반파 수는 N=2 및 결과적으로 주어진 지지 장치가 있는 막대에 대한 임계력

.

한쪽이 꼬이고 다른 쪽 끝이 없는 랙(그림 13.8)이 힘에 의해 압축된다고 가정해 봅시다. 아르 자형.

힘이 된다면 피= 피케이, 그런 다음 직선에 추가하여 랙 균형의 곡선 형태도 존재할 수 있습니다(그림 13.8의 점선).

그림에 표시된 랙의 구부러진 축의 미분 방정식. 13.8 좌표축 체계는 같은 형태를 갖는다.

이 방정식의 일반적인 솔루션은 다음과 같습니다.

이 솔루션을 명백한 경계 조건에 종속: 와이=0에서 엑스=0 및 와이/ = 0에서 엑스= 엘, 우리는 얻는다 비=0, ㅏα 코사인α 엘= 0.

기둥이 구부러져 있다고 가정했으므로 값은 ㅏ 0과 같을 수 없습니다. 따라서, 코사인α 엘= 0. 이 방정식의 0이 아닌 가장 작은 근 α 엘= π /2는 첫 번째 임계력을 정의합니다.

,

이것은 정현파를 따라 막대의 굽힘에 해당합니다.

.

가치 α 엘=3π /2, α 엘=5π /2 등은 위와 같이 큰 값에 해당합니다. 피케이및 중간 지지대가 있는 경우에만 실질적으로 존재할 수 있는 랙의 곡선 축의 보다 복잡한 형태.

두 번째 예로, 한쪽 끝이 꼬이고 두 번째 끝이 힌지 연결된 랙을 고려하십시오(그림 13.9). 로드 축의 곡률로 인해 피= 피케이힌지 지지대 측면에서 수평 반력이 발생합니다. 아르 자형. 따라서 막대의 현재 단면에서 굽힘 모멘트

.α :

이 방정식의 가장 작은 근이 첫 번째 임계력을 결정합니다. 이 방정식은 선택 방법으로 해결됩니다. 이 방정식의 0이 아닌 가장 작은 근이 α 엘= 4.493=1.43 π .

취득 α 엘= 1.43 π , 임계력에 대해 다음 식을 얻습니다.

여기 μ =1/N- 반파의 수의 역수 N막대가 구부러지는 사인 곡선. 일정한 μ 길이 감소 계수라고 하며 제품은 μ 엘- 로드 길이 감소. 감소된 길이는 이 막대가 구부러지는 사인 곡선의 반파장입니다.

막대 끝의 힌지 고정의 경우를 메인 케이스라고합니다. 위로부터 막대를 고정하는 모든 경우에 대한 임계력은 막대의 실제 길이가 감소된 길이로 대체될 때 주요 경우에 대한 공식으로 계산할 수 있습니다. μ 엘.

감소 계수 μ 일부 랙의 경우 그림에 나와 있습니다. 17.10.

안정성과 임계력의 개념. 설계 및 검증 계산.

구조 및 구조물에서 막대의 길이에 비해 단면 치수가 1~2개 작은 비교적 길고 가는 막대의 부품이 많이 사용됩니다. 축 방향 압축 하중의 작용 하에서 이러한 막대의 거동은 짧은 막대가 압축될 때와 근본적으로 다른 것으로 판명되었습니다. 압축력 F가 Fcr과 동일한 특정 임계값에 도달하면 긴 막대의 평형 직선 모양 불안정한 것으로 판명되고 Fcr이 초과되면 막대가 집중적으로 구부러지기 시작합니다(팽창). 이 경우, 탄성 롱의 새로운 (순간) 평형 상태는 이미 새로운 곡선 형태가 됩니다. 이 현상을 안정성 손실이라고 합니다.

쌀. 37. 안정성 상실

안정성(Stability) - 외부 영향 하에서 균형의 위치나 형태를 유지하는 신체의 능력.

임계력(Fcr) - 하중이 초과되면 신체의 원래 모양(위치)의 안정성이 손실됩니다. 안정 상태:

Fmax ≤ Fcr, (25)

압축봉의 안정성. 오일러 문제.

압축된 막대의 좌굴을 일으키는 임계력을 결정할 때 막대는 완벽하게 직선이고 힘 F는 중앙에 엄격하게 가해집니다. 동일한 힘 값에서 두 가지 형태의 평형이 존재할 가능성을 고려하여 압축 막대의 임계 하중 문제는 1744년에 L. 오일러에 의해 해결되었습니다.

쌀. 38. 압축봉

길이 방향 힘 F에 의해 압축된 끝단에서 피벗식으로 지지되는 막대를 고려하십시오. 어떤 이유로 막대가 축의 작은 곡률을 받았고 그 결과 굽힘 모멘트 M이 나타났다고 가정합니다.

여기서 y는 x 좌표가 있는 임의의 섹션에서 막대의 처짐입니다.

임계력을 결정하기 위해 탄성선의 근사 미분 방정식을 사용할 수 있습니다.

(26)

변환을 수행한 후 임계력은 n = 1(정현파의 반파가 막대의 길이를 따라 맞음) 및 J = Jmin(막대가 구부러진 상태)에서 최소값을 취함을 알 수 있습니다. 관성 모멘트가 가장 작은 축)

(27)

이 식은 오일러의 공식입니다.

막대 고정 조건에 대한 임계력의 의존성.

오일러의 공식은 소위 기본 경우에 대해 얻어졌습니다. 끝에서 막대의 힌지 지지를 가정합니다. 실제로 막대를 고정하는 다른 경우가 있습니다. 이 경우 이전 단락에서와 같이 적절한 경계 조건으로 보의 굽힘 축의 미분 방정식을 풀면 이러한 경우 각각에 대한 임계력을 결정하는 공식을 얻을 수 있습니다. 그러나 안정성 손실의 경우 사인파의 반파가 막대의 길이를 따라 맞아야 함을 기억하면 더 간단한 기술을 사용할 수 있습니다.

끝에서 막대를 고정하는 몇 가지 특징적인 경우를 고려하고 다양한 유형의 고정에 대한 일반 공식을 얻습니다.

쌀. 39. 로드 고정의 다양한 경우

오일러의 일반 공식:

(28)

여기서 μ·l = l pr - 막대의 감소된 길이; l은 막대의 실제 길이입니다. μ는 감소된 길이의 계수로, 이 막대에 대한 임계력이 힌지 빔에 대한 임계력과 같아지도록 막대의 길이를 변경해야 하는 횟수를 나타냅니다. (감소된 길이 계수의 또 다른 해석: μ는 좌굴의 경우 사인파의 반파형이 주어진 유형의 고정에 대한 로드 길이의 어느 부분에 맞는지를 보여줍니다.)

따라서 최종 안정성 조건은 다음 형식을 취합니다.

(29)

압축 막대의 안정성에 대한 두 가지 유형의 계산인 검증 및 설계를 고려해 보겠습니다.

계산 확인

안정성 확인 절차는 다음과 같습니다.

단면의 알려진 치수와 모양 및 막대 고정 조건을 기반으로 유연성을 계산합니다.

참조 표에 따라 허용 응력에 대한 감소 계수를 찾은 다음 안정성에 대한 허용 응력을 결정합니다.

최대 응력과 허용 안정성 응력을 비교합니다.

설계 계산

설계 계산에서(주어진 하중에 대한 단면을 선택하기 위해) 계산 공식에 두 개의 미지의 양이 있습니다. 원하는 단면적 A와 미지의 계수 φ(φ는 로드의 유연성에 따라 달라지므로 따라서 미지의 영역 A). 따라서 섹션을 선택할 때 일반적으로 연속 근사 방법을 사용해야 합니다.

일반적으로 첫 번째 시도에서 φ 1 \u003d 0.5 ... 0.6이 취해지고 단면적은 첫 번째 근사에서 결정됩니다

찾은 영역 A1에 따라 단면이 선택되고 막대의 유연성이 첫 번째 근사값 λ1에서 계산됩니다. λ를 알면 새로운 값 φ′1을 찾습니다.

재료의 선택과 섹션의 합리적인 모양.

재료 선택. 모든 기계적 특성의 Euler 공식에는 Young's modulus만 포함되어 있기 때문에, Young's modulus는 모든 강종에서 거의 동일하기 때문에 매우 유연한 Rod의 안정성을 높이기 위해 고강도 재료를 사용하는 것은 권장하지 않습니다.

유연성이 낮은 막대의 경우 고급 강철을 사용하는 것이 정당합니다. 그 이유는 이러한 강철의 항복 강도가 증가하면 임계 응력이 증가하여 안정성 마진이 증가하기 때문입니다.

이르쿠츠크 주립 교통 대학교

연구실 #16

징계로 "재료의 힘"

임계력의 실험적 결정

세로 굽힘용

PM학과

연구실 #16

좌굴 임계력의 실험적 결정

목적:탄성체에서 압축강봉의 좌굴현상 연구

단계. 압축된 임계 하중 값의 실험적 결정

다양한 고정 방법을 사용하여 막대를 이론과 비교하고

가치.

일반 조항

압축 막대는 잘 알려진 조건에 따라 강도를 테스트하기에 충분하지 않습니다.

,

여기서 [σ]는 로드 재료에 대한 허용 응력이고, 피 - 압축력 에프 - 단면적.

실제로 엔지니어는 압축을 받는 유연한 로드, 얇은 압축 판, 얇은 벽 구조를 처리하며, 이러한 손상은 지지력 손실이 아니라 안정성 손실로 인해 발생합니다.

안정성의 상실은 원래 형태의 평형 상실로 이해됩니다.

재료의 저항은 압축에서 작동하는 구조 요소의 안정성을 고려합니다.

축 방향 압축력이 가해지는 길고 가는 막대(그림 1)를 고려하십시오. 피 .

피< 피 크 피 > 피크

쌀. 하나.축방향 압축력을 받는 로드 피 .

작은 힘 값의 경우 에프막대는 직선을 유지하면서 압축됩니다. 또한 로드가 이 위치에서 작은 횡방향 하중에 의해 편향되면 구부러지지만 제거되면 로드는 직선 상태로 돌아갑니다. 이것은 주어진 힘에 대해 피 막대의 직선 평형 형태는 안정적입니다.

계속해서 압축력을 높이면 피 , 그런 다음 일부 값에서 직선 형태의 평형이 불안정해지고 막대의 새로운 형태의 평형이 발생합니다. 곡선형(그림 1, b) . 로드의 굽힘으로 인해 섹션에 굽힘 모멘트가 나타나 추가 응력이 발생하고 로드가 갑자기 무너질 수 있습니다.

길이 방향의 힘에 의해 압축된 긴 막대의 곡률을 좌굴 .

막대의 직선 형태가 안정된 상태에서 가장 큰 압축력 값을 비판적인 - 피 크.

임계 하중에 도달하면 평형의 원래 형태에 급격한 질적 변화가 발생하여 구조가 파손됩니다. 따라서 임계력은 파괴 하중으로 간주됩니다.

오일러와 야신스키 공식

압축 막대의 임계력을 결정하는 문제는 1744년 St. Petersburg Academy of Sciences L. Euler에 의해 처음 해결되었습니다. 오일러 공식은

(1)

어디 이자형 – 막대 재료의 탄성 계수; 제이분- 로드 단면의 가장 작은 관성 모멘트 축을 중심으로 최소입니다. 엑스 , 또는 축 주위 와이 );

(μ· 엘 )은 막대의 감소된 길이이며, 이것은 막대의 길이의 곱입니다. 엘 막대의 끝을 고정하는 방법에 따라 달라지는 계수 μ에 의해.

계수 μ ~라고 불리는 길이 감소 계수 ; 막대의 끝을 고정하는 가장 일반적인 경우의 값은 그림 1에 나와 있습니다. 2:

하지만- 로드의 양쪽 끝이 힌지되어 서로 접근할 수 있습니다.

비- 한쪽 끝은 단단히 고정되고 다른 쪽 끝은 자유 롭습니다.

입력- 한쪽 끝은 힌지이고 다른 쪽 끝은 "크로스 플로팅 씰"이 있습니다.

G - 한쪽 끝은 단단히 고정되고 다른 쪽 끝은 "크로스 플로팅 씰"이 있습니다.

디- 한쪽 끝은 단단히 고정되고 다른 쪽 끝은 힌지 이동식 지지대입니다.

이자형- 양쪽 끝이 단단히 고정되어 있지만 서로 접근할 수 있습니다.

이러한 예에서 계수가 μ 좌굴 동안 막대의 탄성 라인의 반파 수의 역수입니다.

쌀. 2.계수 μ 가장 자주

막대의 끝을 고정하는 경우가 발생합니다.

압축력의 임계값에 해당하는 압축 막대 단면의 수직 응력은 임계값이라고도 합니다.

오일러 공식을 기반으로 정의합니다.

(2)

단면의 기하학적 특성 나분, 공식에 의해 결정

~라고 불리는 단면의 회전 반경 (c축에 대해 제이분). 직사각형 단면용

(3)을 고려하면 공식 (2)는 다음과 같은 형식을 취합니다.

(4)

St. Petersburg Institute of Railway Engineers F.S. 교수의 제안에 따라 막대의 감소된 길이와 단면의 최소 회전 반경의 비율. Yasinsky(1856-1899)는 로드 유연성 그리고 문자로 표시되는 λ :

이 무차원 수량은 로드의 길이, 고정 방식 및 단면 특성과 같은 매개변수를 동시에 반영합니다.

마지막으로 (5)를 식 (4)에 대입하면 다음을 얻습니다.

오일러의 공식을 유도할 때 막대의 재질이 탄성이고 Hooke의 법칙을 따른다고 가정했습니다. 따라서 오일러 공식은 비례 한계 σ보다 작은 응력에서만 적용될 수 있습니다. hc, 즉 언제

이 조건은 오일러 공식의 적용 가능성 한계를 결정합니다.

이 부등식의 오른쪽에 있는 양을 최고의 유연성 :

그 값은 막대 재료의 물리적 및 기계적 특성에 따라 다릅니다.

연강용 St. 3, σ hc= 200MPa, 이자형 = 2· 10 5 MPa:

유사하게, 다른 재료에 대한 궁극적인 유연성의 가치를 계산할 수 있습니다: 주철의 경우 λ ~ 전에= 80, 소나무용 λ ~ 전에 = 110.

따라서 오일러 공식은 유연성이 극한 유연성보다 크거나 같은 막대에 적용할 수 있습니다.

λ ≥ λ ~ 전에

이것은 다음과 같이 이해되어야 합니다. 로드의 유연성이 극한 유연성보다 크면 임계력은 오일러 공식에 의해 결정되어야 합니다.

~에 λ < λ ~ 전에막대에 대한 오일러 공식은 적용되지 않습니다. 이 경우 봉의 유연성이 한계보다 작을 때 경험적 야신스키의 공식 :

σ 크 = ㅏ – 비 λ , (7)

어디 하지만 그리고 비 - 주어진 재료에 대해 일정한 실험적으로 결정된 계수; 그들은 스트레스의 차원을 가지고 있습니다.

유연성의 일부 가치를 위해 λ ~에 대한스트레스 σ 크, 공식 (7)에 의해 계산된 는 극한 압축 응력, 즉 항복 강도 σ와 같아집니다. 티연성 재료 또는 압축 강도 σ 태양- 취성 재료용. 낮은 유연성의 막대( λ < λ ~에 대한) 안정성에 의존하지 않고 단순 압축 하에서의 강도에 의존합니다.

따라서 유연성에 따라 안정성에 대한 압축 로드의 계산이 다르게 수행됩니다.