일반적인 작업의 솔루션입니다. 시험 작업의 함수 범위 함수 값 집합을 검색하는 방법

기능은 모델입니다. X를 독립 변수의 값 집합으로 정의합시다 // 독립은 모든 것을 의미합니다.

함수는 집합 X에서 독립 변수의 각 값에 대해 종속 변수의 유일한 값을 찾을 수 있도록 하는 규칙입니다. // 즉. 모든 x에는 하나의 y가 있습니다.

정의에 따르면 독립 변수(x로 표시하고 모든 값을 취할 수 있음)와 종속 변수(y 또는 f(x)로 표시하며 다음과 같은 경우 함수에서 계산됨)의 두 가지 개념이 있습니다. 우리는 x)를 대체합니다.

예를 들어 y=5+x

1. 독립은 x이므로 임의의 값을 취합니다. x = 3

2. 이제 y를 계산하므로 y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8입니다. (y는 x에 의존하기 때문에 우리가 대체하는 x는 그러한 y를 얻습니다)

변수 y는 기능적으로 변수 x에 종속적이며 이는 y = f(x)로 표시됩니다.

예를 들어.

1.y=1/x. (과대 과장이라고 함)

2. y=x^2. (포물선이라고 함)

3.y=3x+7. (직선이라고 함)

4. y \u003d √ x. (포물선의 가지라고 함)

독립 변수(x로 표시)를 함수의 인수라고 합니다.

기능 범위

함수 인수가 취하는 모든 값의 집합을 함수의 영역이라고 하며 D(f) 또는 D(y)로 표시됩니다.

1.,2.,3.,4에 대해 D(y)를 고려하십시오.

1. D(y)= (∞; 0) and (0;+∞) // 0을 제외한 실수의 전체 집합.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / 모든 많은 실수

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / 모든 많은 실수

4. D(y) \u003d. 이 세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다.

파생 상품은 모두에게 긍정적입니다. 엑스간격에서 (-1; 1) 즉, 아크사인 함수는 정의의 전체 영역에 걸쳐 증가합니다. 따라서 다음에서 가장 작은 값을 취합니다. x=-1, 그리고 가장 큰 x=1.

우리는 arcsine 함수의 범위를 얻었습니다. .

함수 값 집합 찾기 세그먼트에 .

결정.

주어진 세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다.

세그먼트에 속하는 극점을 결정합시다. :

많은 작업으로 인해 특정 세그먼트 또는 전체 정의 영역에서 함수 값 집합을 검색하게 됩니다. 이러한 작업에는 다양한 표현 평가, 불평등 해결이 포함됩니다.

이 글에서 우리는 함수의 범위를 정의하고 그것을 찾는 방법을 고려하고 간단한 예제에서 복잡한 예제까지의 솔루션을 자세히 분석합니다. 모든 자료는 명확성을 위해 그래픽 삽화와 함께 제공됩니다. 그래서 이 기사는 함수의 범위를 찾는 방법에 대한 질문에 대한 자세한 답변입니다.

정의.

구간 X에서 함수 y = f(x)의 값 집합전체를 반복할 때 취하는 함수의 모든 값 집합이라고 합니다.

정의.

함수 y = f(x)의 범위정의 영역에서 모든 x를 반복할 때 취하는 함수의 모든 값의 집합이라고 합니다.

함수의 범위는 E(f) 로 표시됩니다.

함수의 범위와 함수의 값 집합은 같은 것이 아닙니다. 함수 y = f(x)의 값 집합을 찾을 때 간격 X가 함수의 도메인과 일치하는 경우 이러한 개념은 동일한 것으로 간주됩니다.

또한 방정식 y=f(x) 의 우변에 있는 표현식에 대해 함수의 범위를 변수 x와 혼동하지 마십시오. 표현식 f(x)에 대해 변수 x의 허용된 값의 영역은 함수 y=f(x) 의 정의 영역입니다.

그림은 몇 가지 예를 보여줍니다.

기능 그래프는 굵은 파란색 선, 가는 빨간색 선은 점근선, 빨간색 점과 Oy 축의 선은 해당 기능의 범위를 나타냅니다.

보시다시피 함수의 범위는 함수의 그래프를 y축에 투영하여 얻습니다. 단일 숫자(첫 번째 경우), 숫자 집합(두 번째 경우), 세그먼트(세 번째 경우), 간격(네 번째 경우), 열린 광선(다섯 번째 경우), 합집합(여섯 번째 경우) 등이 될 수 있습니다. .

그렇다면 함수의 범위를 찾기 위해 무엇을 해야 할까요?

가장 간단한 경우부터 시작하겠습니다. 구간에서 연속 함수 y = f(x)의 값 집합을 결정하는 방법을 보여줍니다.

세그먼트에서 연속적인 함수는 해당 세그먼트의 최대값과 최소값에 도달하는 것으로 알려져 있습니다. 따라서 세그먼트의 원래 기능 값 세트는 세그먼트가 됩니다 . 따라서 우리의 작업은 간격에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 것으로 축소됩니다.

예를 들어, arcsine 함수의 범위를 찾아봅시다.

예시.

함수 y = arcsinx 의 범위를 지정합니다.

결정.

아크사인의 정의 영역은 세그먼트 [-1; 하나] . 이 세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다.

도함수는 구간(-1; 1)의 모든 x에 대해 양수입니다. 즉, 아크사인 함수는 전체 정의 영역에서 증가합니다. 따라서 x = -1에서 가장 작은 값을 취하고 x = 1에서 가장 큰 값을 취합니다.

우리는 arcsine 함수의 범위를 얻었습니다. .

예시.

함수 값 집합 찾기 세그먼트에.

결정.

주어진 세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다.

세그먼트에 속하는 극점을 정의해 보겠습니다.

세그먼트의 끝과 점에서 원래 함수의 값을 계산합니다. :

따라서 세그먼트의 함수 값 집합은 세그먼트입니다. .

이제 구간 (a; b) , 에서 연속 함수 y = f(x)의 값 집합을 찾는 방법을 보여줍니다.

먼저, 우리는 극한 점, 함수의 극한, 주어진 간격에서 함수의 증가 및 감소 간격을 결정합니다. 다음으로, 구간의 끝에서 계산하고 (또는) 무한대에서 한계를 계산합니다(즉, 구간의 경계 또는 무한대에서 함수의 동작을 연구합니다). 이 정보는 그러한 간격에서 함수 값 세트를 찾는 데 충분합니다.

예시.

간격 (-2; 2)에서 함수 값 세트를 결정하십시오.

결정.

구간 (-2; 2)에 해당하는 함수의 극한점을 찾아봅시다.

점 x = 0은 도함수가 통과할 때 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌고 함수의 그래프가 증가에서 감소로 이동하기 때문에 최대점입니다.

함수의 해당 최대값입니다.

x가 오른쪽에서 -2가 되는 경향이 있고 왼쪽에서 x가 2로 경향이 있을 때, 즉 단측 한계를 찾을 때 함수의 동작을 알아보겠습니다.

우리가 얻은 것: 인수가 -2에서 0으로 변경되면 함수 값이 마이너스 무한대에서 마이너스 1/4로 증가합니다(x = 0에서 함수의 최대값), 인수가 0에서 2로 변경되면 함수 값은 마이너스 무한대로 감소합니다. 따라서 구간(-2; 2)에 대한 함수 값 집합은 .

예시.

간격에 접선 함수 y = tgx의 값 집합을 지정합니다.

결정.

구간에 대한 탄젠트 함수의 도함수는 양수입니다. , 이는 기능의 증가를 나타냅니다. 구간 경계에서 함수의 동작을 연구합니다.

따라서 인수가 에서 로 변경되면 함수의 값이 마이너스 무한대에서 플러스 무한대로 증가합니다. 즉, 이 간격의 접선 값 집합은 모든 실수의 집합입니다.

예시.

자연 로그 함수 y = lnx 의 범위를 찾습니다.

결정.

자연 로그 함수는 인수의 양수 값에 대해 정의됩니다. . 이 구간에서 미분은 양수입니다. , 이것은 그것에 대한 기능의 증가를 나타냅니다. 인수가 오른쪽에서 0으로 향하는 경향이 있고 x로서의 극한이 무한대를 더하는 경향이 있는 함수의 단측 극한을 찾아보겠습니다.

x가 0에서 플러스 무한대로 변할 때 함수의 값이 마이너스 무한대에서 플러스 무한대로 증가한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 자연 로그 함수의 범위는 실수의 전체 집합입니다.

예시.

결정.

이 함수는 모든 실수 x 값에 대해 정의됩니다. 극한점과 함수의 증가 및 감소 간격을 결정합시다.

따라서 함수는 에서 감소하고 에서 증가하며 x = 0이 최대점이며, 함수의 해당 최대값.

무한대에서 함수의 동작을 살펴보겠습니다.

따라서 무한대에서 함수의 값은 점근적으로 0에 접근합니다.

인수가 마이너스 무한대에서 0(최대점)으로 변경될 때 함수의 값이 0에서 9로(함수의 최대값까지) 증가하고 x가 0에서 플러스 무한대로 변경될 때, 함수의 값은 9에서 0으로 감소합니다.

개략도를보십시오.

이제 함수의 범위가 임을 분명히 알 수 있습니다.

간격에서 함수 y = f(x)의 값 집합을 찾는 것은 유사한 연구가 필요합니다. 우리는 이제 이러한 경우에 대해 자세히 다루지 않을 것입니다. 우리는 아래의 예에서 그것들을 볼 것입니다.

함수 y = f(x)의 영역을 여러 구간의 합집합이라고 합니다. 이러한 함수의 범위를 찾을 때 각 간격의 값 집합이 결정되고 합집합이 취해집니다.

예시.

함수의 범위를 찾습니다.

결정.

우리 함수의 분모는 0, 즉 .

먼저 열린 광선에서 함수의 값 집합을 찾아보겠습니다.

함수 도함수 이 구간에서 음수, 즉 함수가 감소합니다.

우리는 인수가 무한대를 빼는 경향이 있을 때 함수의 값이 1에 점근적으로 접근한다는 것을 발견했습니다. x가 마이너스 무한대에서 2로 변경되면 함수의 값이 1에서 마이너스 무한대로 감소합니다. 즉, 고려한 간격에서 함수는 값 집합을 취합니다. 함수의 값이 도달하지 않기 때문에 단일성을 포함하지 않고 마이너스 무한대에서만 점근적으로 경향이 있습니다.

우리는 열린 빔에 대해서도 유사하게 행동합니다.

이 간격에서도 기능이 감소합니다.

이 간격의 함수 값 집합은 집합입니다.

따라서 원하는 기능 값 범위는 집합과 의 합집합입니다.

그래픽 그림입니다.

이와는 별도로 주기적 기능에 대해 이야기해야 합니다. 주기 함수의 범위는 이 함수의 주기에 해당하는 간격의 값 집합과 일치합니다.

예시.

사인 함수 y = sinx 의 범위를 찾습니다.

결정.

이 함수는 주기가 2파이인 주기적입니다. 세그먼트를 가져와서 값 세트를 정의해 보겠습니다.

세그먼트에는 두 개의 극점 및 가 포함됩니다.

이 지점에서 함수의 값을 계산하고 세그먼트 경계에서 가장 작은 값과 가장 큰 값을 선택합니다.

따라서, .

예시.

함수의 범위 찾기 .

결정.

우리는 아크코사인의 범위가 0에서 파이까지의 세그먼트라는 것을 알고 있습니다. 즉, 또는 다른 게시물에서. 기능 arccosx는 x축을 따라 이동하고 늘림으로써 얻을 수 있습니다. 이러한 변환은 범위에 영향을 미치지 않으므로, . 기능 에서 오는 Oy 축을 따라 세 번 스트레칭, 즉, . 변환의 마지막 단계는 y축을 따라 4단위 아래로 이동하는 것입니다. 이것은 우리를 이중 불평등으로 이끈다

따라서 원하는 값 범위는 .

다른 예에 대한 솔루션을 제공하지만 설명은 생략합니다(완전히 유사하므로 필수 사항은 아닙니다).

예시.

기능 범위 정의 .

결정.

우리는 형식으로 원래 기능을 씁니다. . 지수 함수의 범위는 간격입니다. 즉, . 그 다음에

따라서, .

그림을 완성하려면 정의 영역에서 연속적이지 않은 함수의 범위를 찾는 것에 대해 이야기해야 합니다. 이 경우 정의 영역은 중단점을 기준으로 간격으로 나뉘며 각각에서 값 집합을 찾습니다. 얻은 값 세트를 결합하여 원래 함수의 값 범위를 얻습니다. 왼쪽의 3을 기억하는 것이 좋습니다. 함수의 값은 마이너스 1이 되는 경향이 있고, x가 오른쪽의 3인 경향이 있을 때, 함수의 값은 무한대를 더하는 경향이 있습니다.

따라서 함수의 정의 영역은 세 개의 구간으로 나뉩니다.

간격에 우리는 기능이 있습니다 . 그때부터

따라서 간격에 대한 원래 함수의 값 집합은 [-6;2] 입니다.

절반 간격에 상수 함수 y = -1이 있습니다. 즉, 간격에 대한 원래 함수의 값 집합은 단일 요소로 구성됩니다.

함수는 인수의 모든 유효한 값에 대해 정의됩니다. 함수의 증가 및 감소 간격을 찾으십시오.

도함수는 x=-1 및 x=3 에서 사라집니다. 이 점을 실제 축에 표시하고 얻은 간격에서 도함수의 부호를 결정합니다.

기능은 다음과 같이 감소합니다. , [-1; 3] , x=-1 최소 포인트, x=3 최대 포인트.

해당하는 최소 및 최대 기능을 계산합니다.

무한대에서 함수의 동작을 확인합시다.

두 번째 한계는 에서 계산되었습니다.

개략도를 만들어 봅시다.

인수가 마이너스 무한대에서 -1로 변경되면 함수 값은 플러스 무한대에서 -2e로 감소하고 인수가 -1에서 3으로 변경되면 인수가 에서 변경될 때 함수 값이 -2e에서 , 3에서 더하기 무한대까지, 함수 값은 0에서 0으로 감소하지만 0에는 도달하지 않습니다.

종종 문제 해결의 틀에서 정의 영역이나 세그먼트에서 함수 값 집합을 찾아야 합니다. 예를 들어, 이것은 다양한 유형의 부등식을 풀고 표현식을 평가할 때 수행해야 합니다.

이 자료의 일부로 우리는 함수의 범위가 무엇인지, 계산할 수 있는 주요 방법을 제공하고, 다양한 복잡성 정도의 문제를 분석할 것입니다. 명확성을 위해 개별 위치는 그래프로 표시됩니다. 이 기사를 읽고 나면 함수의 범위를 포괄적으로 이해할 수 있을 것입니다.

기본 정의부터 시작하겠습니다.

정의 1

어떤 간격 x에서 함수 y = f(x)의 값 집합은 모든 값 x ∈ X를 반복할 때 이 함수가 취하는 모든 값의 집합입니다.

정의 2

함수 y = f(x)의 범위는 x ∈ (f) 범위에서 값 x를 반복할 때 취할 수 있는 모든 값의 집합입니다.

일부 기능의 범위는 일반적으로 E(f) 로 표시됩니다.

함수의 값 집합의 개념이 항상 해당 값의 영역과 동일한 것은 아니라는 점에 유의하십시오. 이러한 개념은 값 집합을 찾을 때 x 값의 범위가 함수의 영역과 일치하는 경우에만 동일합니다.

우변 y = f (x) 의 표현식에 대해 변수 x 의 범위와 범위를 구별하는 것도 중요합니다. 식 f(x)에 대해 허용 가능한 값 x의 영역은 이 함수의 정의 영역이 됩니다.

다음은 몇 가지 예를 보여주는 그림입니다. 파란색 선은 함수의 그래프, 빨간색은 점근선, 빨간색 점과 y축의 선은 함수의 범위입니다.

분명히 함수의 범위는 함수의 그래프를 축 O y 에 투영하여 얻을 수 있습니다. 동시에 단일 숫자 또는 숫자 집합, 세그먼트, 간격, 열린 광선, 숫자 간격의 합집합 등이 될 수 있습니다.

함수의 범위를 찾는 주요 방법을 고려하십시오.

[ a ; ㄴ] . 우리는 특정 간격에서 연속적인 함수가 최소값과 최대값, 즉 최대값 m a x x ∈ a 에 도달한다는 것을 알고 있습니다. b f(x) 및 가장 작은 값 m i n x ∈ a ; b f (x) . 따라서 세그먼트 m i n x ∈ a 를 얻습니다. bf(x) ; m x x ∈ a ; b f (x) , 원래 함수의 값 세트를 포함합니다. 그런 다음 이 세그먼트에서 지정된 최소 및 최대 점을 찾기만 하면 됩니다.

아크사인 값의 범위를 결정해야 하는 문제를 생각해 봅시다.

실시예 1

상태:범위 y = a rc sin x 를 찾습니다.

결정

일반적으로 아크사인 정의 영역은 [ - 1 ; 하나 ] . 지정된 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 결정해야 합니다.

y "= a rc 죄 x" = 1 1 - x 2

우리는 함수의 도함수가 구간 [-1 ; 1 ], 즉 정의의 전체 영역에 걸쳐 아크사인 함수가 증가할 것입니다. 이것은 x가 -1일 때 가장 작은 값을 취하고 x가 1일 때 가장 큰 값을 취한다는 것을 의미합니다.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a rc sin x = a rc sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a rc sin x = a rc sin 1 = π 2

따라서 아크사인 함수의 범위는 E(ar c sin x) = - π 2 와 같습니다. 파이 2 .

답변: E (arc sin x) \u003d - π 2; 파이 2

실시예 2

상태:주어진 구간에서 범위 y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2를 계산합니다. 4] .

결정

주어진 구간에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 계산하기만 하면 됩니다.

극점을 결정하려면 다음 계산을 수행해야 합니다.

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1, 4 및 l 및 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2.59 ∈ 1;4

이제 세그먼트의 끝과 점 x 2 = 15 - 33 8 에서 주어진 함수의 값을 찾아 보겠습니다. x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

이것은 기능 값 세트가 세그먼트 117-165 33 512에 의해 결정됨을 의미합니다. 32 .

답변: 117 - 165 33 512 ; 32 .

구간 (a ; b) 에서 연속 함수 y = f (x) 의 값 집합을 찾는 단계로 이동하고 a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

가장 큰 점과 가장 작은 점, 그리고 주어진 간격에서 증가 및 감소 간격을 결정하는 것으로 시작하겠습니다. 그런 다음 간격 끝에서 단측 한계 및/또는 무한대에서 한계를 계산해야 합니다. 즉, 주어진 조건에서 함수의 동작을 결정해야 합니다. 이를 위해 필요한 모든 데이터가 있습니다.

실시예 3

상태:구간 (- 2 ; 2) 에서 함수 y = 1 x 2 - 4 의 범위를 계산합니다.

결정

주어진 간격에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 결정합니다.

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

이 지점에서 함수의 부호가 바뀌고 그래프가 감소하기 시작하기 때문에 최대값은 0입니다. 그림 참조:

즉, y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 이 함수의 최대값이 됩니다.

이제 오른쪽이 -2이고 왼쪽이 +2인 경향이 있는 x에 대한 함수의 동작을 정의해 보겠습니다. 즉, 단측 한계를 찾습니다.

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

인수가 -2에서 0으로 변경되면 함수 값이 마이너스 무한대에서 -1 4로 증가한다는 것을 알았습니다. 그리고 인수가 0에서 2로 변경되면 함수의 값이 마이너스 무한대로 감소합니다. 따라서 필요한 간격에서 주어진 함수의 값 집합은 (- ∞ ; - 1 4 ] 입니다.

답변: (- ∞ ; - 1 4 ] .

실시예 4

상태: 주어진 간격 - π 2 에서 y = t g x 값의 집합을 나타냅니다. 파이 2 .

결정

우리는 일반적으로 접선의 도함수가 - π 2라는 것을 알고 있습니다. π 2는 양수, 즉 함수가 증가합니다. 이제 함수가 주어진 경계 내에서 어떻게 작동하는지 정의해 보겠습니다.

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

인수가 -π 2에서 π 2로 변경될 때 마이너스 무한대에서 플러스 무한대로 함수 값의 증가를 얻었으며, 이 함수의 솔루션 세트는 모든 실수 세트가 될 것이라고 말할 수 있습니다 숫자.

답변: - ∞ ; + ∞ .

실시예 5

상태:자연 로그 함수 y = ln x 의 범위를 결정합니다.

결정

우리는 이 함수가 인수 D(y) = 0 의 양수 값에 대해 정의된다는 것을 알고 있습니다. +∞ . 주어진 간격의 미분은 양수입니다: y " = ln x " = 1 x . 이것은 기능이 증가한다는 것을 의미합니다. 다음으로, 인수가 0(오른쪽에서)이 되고 x가 무한대가 되는 경우에 대한 단측 극한을 정의해야 합니다.

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

우리는 x 값이 0에서 플러스 무한대로 변할 때 함수의 값이 마이너스 무한대에서 플러스 무한대로 증가한다는 것을 발견했습니다. 이것은 모든 실수의 집합이 자연 로그 함수의 범위임을 의미합니다.

답변:모든 실수의 집합은 자연 로그 함수의 범위입니다.

실시예 6

상태:함수 y = 9 x 2 + 1 의 범위를 결정합니다.

결정

이 함수는 x가 실수인 경우에 정의됩니다. 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값과 증가 및 감소 간격을 계산해 보겠습니다.

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

결과적으로 x ≥ 0이면 이 함수가 감소한다고 결정했습니다. x ≤ 0이면 증가 ; 변수가 0 일 때 최대 점 y (0) = 9 0 2 + 1 = 9를 갖습니다.

함수가 무한대에서 어떻게 동작하는지 봅시다.

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

이 경우 함수의 값이 점근적으로 0에 접근한다는 것을 기록에서 알 수 있습니다.

요약하자면, 인수가 마이너스 무한대에서 0으로 변경되면 함수의 값이 0에서 9로 증가합니다. 인수 값이 0에서 더하기 무한대로 이동함에 따라 해당 함수 값은 9에서 0으로 감소합니다. 우리는 이것을 그림으로 묘사했습니다:

함수의 범위가 E(y) = (0 ; 9 ]

답변:전자(y) = (0 ; 9 ]

간격 [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , 그러면 우리는 정확히 동일한 연구를 수행해야 할 것입니다. 우리는 이러한 경우를 아직 분석하지 않을 것이며 나중에 문제에서 만날 것입니다 .

그러나 특정 기능의 영역이 여러 구간의 합집합이라면 어떻게 될까요? 그런 다음 이러한 각 간격에서 값 세트를 계산하고 결합해야 합니다.

실시예 7

상태: y = x x - 2 의 범위가 무엇인지 결정합니다.

결정

함수의 분모가 0으로 바뀌면 안 되기 때문에 D(y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .

첫 번째 세그먼트 - ∞ 에서 함수 값 세트를 정의하는 것으로 시작하겠습니다. 2, 개방형 빔입니다. 우리는 그것에 대한 함수가 감소할 것이라는 것을 알고 있습니다. 즉, 이 함수의 도함수는 음수가 될 것입니다.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

그런 다음 인수가 마이너스 무한대로 변경되는 경우 함수의 값은 1에 점근적으로 접근합니다. x의 값이 마이너스 무한대에서 2로 변경되면 값은 1에서 마이너스 무한대로 감소합니다. 이 세그먼트의 함수는 간격 - ∞ 에서 값을 취합니다. 하나 . 함수의 값이 도달하지 않고 점근적으로 접근하기 때문에 우리는 추론에서 통일성을 배제합니다.

개방형 빔 2용 ; + ∞ 우리는 정확히 동일한 작업을 수행합니다. 그것에 대한 기능도 감소하고 있습니다.

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

이 세그먼트의 함수 값은 집합 1에 의해 결정됩니다. +∞ . 이것은 우리가 필요로하는 조건에 지정된 함수의 값 범위가 집합의 합집합이 될 것임을 의미합니다 - ∞; 1과 1 ; +∞ .

답변:전자(y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ .

이것은 차트에서 볼 수 있습니다.

특별한 경우는 주기적 함수입니다. 값의 영역은 이 함수의 기간에 해당하는 간격의 값 집합과 일치합니다.

실시예 8

상태:사인 y = sin x 의 범위를 결정합니다.

결정

사인은 주기적인 함수를 말하며 주기는 2파이입니다. 우리는 세그먼트 0을 취합니다. 2 π 그리고 그 값의 집합이 무엇인지 확인하십시오.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

0 이내 ; 2 π 이 함수는 극점 π 2 와 x = 3 π 2 를 갖습니다. 함수의 값이 세그먼트의 경계뿐만 아니라 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택하는 것과 같은 값을 계산해 보겠습니다.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, 최대 x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

답변: E(sinx) = - 1 ; 하나 .

지수, 지수, 대수, 삼각, 역삼각과 같은 함수의 범위를 알아야 하는 경우 기본 기본 함수에 대한 기사를 다시 읽는 것이 좋습니다. 여기에 제시된 이론을 통해 거기에 지정된 값을 테스트할 수 있습니다. 문제를 푸는 데 종종 필요하기 때문에 배우는 것이 바람직합니다. 주요 기능의 범위를 알면 기하 변환을 사용하여 기본 기능에서 얻은 기능의 범위를 쉽게 찾을 수 있습니다.

실시예 9

상태:범위 y = 3 a rc cos x 3 + 5 π 7 - 4 를 결정합니다.

결정

우리는 0에서 파이까지의 세그먼트가 역코사인의 범위라는 것을 알고 있습니다. 즉, E(ar c cos x) = 0 ; π 또는 0 ≤ a rc cos x ≤ π . O x 축을 따라 이동하고 늘림으로써 아크 코사인에서 함수 a rc cos x 3 + 5 π 7을 얻을 수 있지만 그러한 변환은 우리에게 아무 것도 제공하지 않습니다. 따라서 0 ≤ a rc cos x 3 + 5 π 7 ≤ π 입니다.

함수 3 a rc cos x 3 + 5 π 7 은 역 코사인 a rc cos x 3 + 5 π 7 에서 y축을 따라 늘여서 얻을 수 있습니다. 0 ≤ 3 a rc cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . 최종 변환은 O y 축을 따라 4개의 값만큼 이동하는 것입니다. 결과적으로 우리는 이중 부등식을 얻습니다.

0 - 4 ≤ 3 a rc cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

필요한 범위는 E(y) = - 4 와 같습니다. 3 파이 - 4 .

답변:전자(y) = - 4 ; 3 파이 - 4 .

설명 없이 예를 하나 더 작성해 보겠습니다. 그것은 이전 것과 완전히 유사합니다.

실시예 10

상태:함수 y = 2 2 x - 1 + 3 의 범위가 무엇인지 계산하십시오.

결정

조건에 주어진 함수를 y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3 으로 다시 작성해 보겠습니다. 거듭제곱 함수 y = x - 1 2 의 경우 범위는 구간 0 에서 정의됩니다. + ∞ , 즉 x - 1 2 > 0 . 이 경우:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

따라서 E(y) = 3 ; +∞ .

답변:전자(y) = 3 ; +∞ .

이제 연속적이지 않은 함수의 범위를 찾는 방법을 살펴보겠습니다. 이렇게하려면 전체 영역을 간격으로 나누고 각각에서 값 세트를 찾은 다음 우리가 가진 것을 결합해야합니다. 이를 더 잘 이해하려면 주요 유형의 함수 중단점을 검토하는 것이 좋습니다.

실시예 11

상태:주어진 함수 y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >삼 . 범위를 계산하십시오.

결정

이 함수는 모든 x 값에 대해 정의됩니다. -3 및 3과 같은 인수 값으로 연속성을 분석해 보겠습니다.

lim x → - 3 - 0 f(x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f(x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f(x) ≠ lim x → - 3 + 0 f(x)

인수 - 3 의 값으로 복구할 수 없는 첫 번째 종류의 불연속성이 있습니다. 접근하면 함수의 값은 -2 sin 3 2 - 4 가 되고 x 가 오른쪽에서 -3 으로 갈수록 값은 -1 이 됩니다.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

점 3에 제2종 불연속성의 제거할 수 없는 불연속성이 있습니다. 함수가 경향이있을 때 그 값은 1에 접근하고 오른쪽의 동일한 지점을 경향이 - 무한대입니다.

이것은 이 함수의 전체 정의 영역이 3개의 구간으로 분할된다는 것을 의미합니다 (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

그 중 첫 번째 함수는 y \u003d 2 sin x 2 - 4입니다. -1 ≤ sin x ≤ 1 이므로 다음을 얻습니다.

1 ≤ 죄 x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

이것은 이 구간(- ∞ ; - 3 ]에서 함수의 값 집합이 [- 6 ; 2 ]임을 의미합니다.

절반 간격 (- 3 ; 3 ]에서 우리는 상수 함수 y = - 1 을 얻습니다. 결과적으로이 경우 전체 값 세트는 하나의 숫자로 줄어 듭니다 - 1 .

두 번째 간격에서 3 ; + ∞ y = 1 x - 3 함수가 있습니다. y " = - 1 (x - 3) 2이기 때문에 감소합니다.< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

따라서 x > 3에 대한 원래 함수의 값 집합은 집합 0입니다. +∞ . 이제 결과를 결합해 보겠습니다. E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

답변:전자(y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

솔루션은 그래프에 표시됩니다.

실시예 12

조건: y = x 2 - 3 e x 함수가 있습니다. 값 집합을 결정합니다.

결정

실수인 모든 인수 값에 대해 정의됩니다. 이 기능이 증가하고 감소할 간격을 결정해 보겠습니다.

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

x = - 1 이고 x = 3 이면 도함수가 0 이 된다는 것을 알고 있습니다. 우리는 이 두 점을 축에 놓고 결과 간격에서 도함수가 갖는 부호를 찾습니다.

함수는 (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ )만큼 감소하고 [ - 1 ; 삼]. 최소 포인트는 -1, 최대 -3입니다.

이제 해당 함수 값을 찾아보겠습니다.

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

무한대에서 함수의 동작을 살펴보겠습니다.

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

두 번째 극한을 계산하기 위해 L'Hopital의 법칙이 사용되었습니다. 그래프에 솔루션을 표시해 보겠습니다.

인수가 마이너스 무한대에서 -1로 변경되면 함수의 값이 플러스 무한대에서 -2e로 감소함을 보여줍니다. 3에서 더하기 무한대로 변경되면 값은 6 e - 3에서 0으로 감소하지만 0에는 도달하지 않습니다.

따라서 E(y) = [ - 2 e ; +∞) .

답변:전자(y) = [-2e ; +∞)

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

기능의 개념과 이에 연결된 모든 것은 전통적으로 복잡하며 완전히 이해되지 않았습니다. 기능 연구와 시험 준비에서 특별한 걸림돌은 기능의 정의 영역과 값(변경)의 범위입니다.
종종 학생들은 기능의 영역과 값의 영역 간의 차이를 이해하지 못합니다.
그리고 학생들이 함수의 정의 영역을 찾는 작업을 마스터할 수 있다면 함수의 값 집합을 찾는 작업은 상당한 어려움을 야기합니다.
이 기사의 목적: 함수의 값을 찾는 방법에 익숙해지기.
이 주제를 고려한 결과 이론적 자료를 연구하고 함수 값 집합을 찾기 위한 문제 해결 방법을 고려했으며 학생들의 독립적인 작업을 위해 교훈 자료를 선택했습니다.
이 기사는 수학 선택 과목의 선택 수업에서 "기능의 범위"주제를 공부할 때 기말고사와 입학 시험을 준비할 때 교사가 사용할 수 있습니다.

I. 기능의 범위 결정.

함수 y = f(x)의 값 E(y)의 영역(집합)은 이러한 숫자 y 0 의 집합입니다. 각각에 대해 다음과 같은 숫자 x 0이 있습니다. f(x 0) = y 0 .

주요 기본 기능의 범위를 기억합시다.

테이블을 고려하십시오.

기능	많은 가치
y = kx + b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	전자(y) =
y = 코스 x	E(y) = [-1;1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = 아크신 x	E(y) = [-π/2 ; 파이/2]
y = 아르코스 x	전자(y) =
y = 아크탄 x	E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0, π)

짝수 차수의 모든 다항식의 범위는 간격이며, 여기서 n은 이 다항식의 가장 큰 값입니다.

Ⅱ. 함수의 범위를 찾는 데 사용되는 함수 속성

함수의 값 집합을 성공적으로 찾으려면 기본 기본 함수의 속성, 특히 해당 정의 영역, 값 범위 및 단조성의 특성에 대해 잘 알고 있어야 합니다. 함수 값 집합을 찾는 데 가장 자주 사용되는 연속적이고 단조로운 미분 가능한 함수의 속성을 제시하겠습니다.

속성 2와 3은 일반적으로 해당 영역에서 연속적인 기본 함수의 속성과 함께 사용됩니다. 이 경우 간단한 방법을 사용하여 함수의 단조성을 결정할 수 있다면 속성 1을 기반으로 함수 값 집합을 찾는 문제에 대한 가장 간단하고 짧은 솔루션을 얻을 수 있습니다. 또한 함수가 짝수 또는 홀수, 주기적 등인 경우 문제의 해결이 더욱 단순화됩니다. 따라서 함수 값 집합을 찾는 문제를 해결할 때 함수의 다음 속성을 확인하고 필요에 따라 사용해야 합니다.

• 연속성;
• 단조;
• 미분성;
• 짝수, 홀수, 주기적 등

함수 값 집합을 찾기 위한 간단한 작업은 대부분 다음을 지향합니다.

a) 가장 단순한 추정 및 제한의 사용: (2 x > 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1 등)

b) 전체 정사각형을 선택하려면 x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) 삼각 표현식의 변환: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) 함수 x 1/3 + 2 x-1의 단조성을 사용하여 R만큼 증가합니다.

III. 기능 범위를 찾는 방법을 고려하십시오.

a) 복잡한 함수 인수 값의 순차적 찾기;
b) 평가 방법
c) 기능의 연속성과 단조성의 속성을 사용합니다.
d) 파생 상품의 사용
e) 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값의 사용;
f) 그래픽 방식
g) 매개변수 도입 방법;
h) 역함수 방법.

우리는 구체적인 예를 통해 이러한 방법의 본질을 밝힐 것입니다.

예 1: 범위 찾기 이(이)함수 y = 로그 0.5(4 - 2 3 x - 9 x).

복잡한 함수 인수의 값을 순차적으로 찾아 이 예제를 해결해 봅시다. 로그 아래에서 전체 제곱을 선택하면 함수를 변환합니다.

y = 로그 0.5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = 로그 0.5 (5 - (3 x + 1) 2)

그리고 복잡한 인수의 값 세트를 순차적으로 찾으십시오.

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5) – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

나타내다 티= 5 – (3 x +1) 2 , 여기서 -∞≤ t≤4. 따라서 문제는 광선에서 함수 y = log 0.5 t의 값 집합을 찾는 것으로 축소됩니다. (-∞;4) . 함수 y = log 0.5 t는 에서만 정의되므로 광선(-∞;4)의 값 집합은 간격(0,4)의 함수 값 집합과 일치합니다. 대수 함수의 정의 영역(0;+∞)과 광선(-∞;4)의 교차점. 구간(0;4)에서 이 함수는 연속적이고 감소합니다. ~에 티> 0이면 +∞가 되는 경향이 있으며, 티 = 4는 값 -2를 취하므로 전자(y) =(-2, +∞).

예 2: 함수의 범위 찾기

y = cos7x + 5cosx

우리는 이 예제를 추정 방법으로 해결할 것입니다. 그 핵심은 연속 함수를 위와 아래에서 추정하고 함수가 추정의 하한과 상한에 도달함을 증명하는 것입니다. 이 경우 추정치의 하한에서 상한까지의 간격과 함수 값 세트의 일치는 함수의 연속성과 이에 대한 다른 값의 부재에 의해 결정됩니다.

부등식 -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5에서 추정값 -6≤y?6을 얻습니다. x = p 및 x = 0의 경우 함수는 -6 및 6 값을 사용합니다. 하한과 상한에 도달합니다. 연속 함수 cos7x와 cosx의 선형 조합으로 함수 y는 전체 숫자 축을 따라 연속적이므로 연속 함수의 속성에 따라 -6에서 6까지의 모든 값을 취하며 그 값만 취합니다. , 부등식 -6≤y?6으로 인해 다른 값은 불가능합니다. 따라서, 이(이)= [-6;6].

예 3: 범위 찾기 에(에)기능 f(x)= cos2x + 2cosx.

이중각 코사인 공식을 사용하여 함수를 변환합니다. f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 및 표시 티= 코스크스. 그 다음에 f(x)= 2t 2 + 2t – 1. 이후 E(코스) =

[-1;1], 함수의 범위 f(x)함수 g의 값 세트와 일치 (티)\u003d 2t 2 + 2t - 1 세그먼트 [-1; 1]에서 그래픽 방법으로 찾을 수 있습니다. 구간 [-1; 1]에 함수 y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0.5) 2 - 1.5를 플로팅하면 다음을 찾습니다. 에(에) = [-1,5; 3].

참고 – 매개변수에 대한 많은 문제는 주로 방정식 및 부등식의 해결 가능성 및 솔루션 수와 관련된 함수 값 집합을 찾는 것으로 축소됩니다. 예를 들어, 방정식 f(x)= 다음 경우에만 풀 수 있습니다.

AE(에프)유사하게, 방정식 f(x)= a는 어떤 간격 X에 위치한 적어도 하나의 근을 가지거나, 함수의 값 집합에 속하거나 속하지 않는 경우에만 이 간격에 근이 없습니다. f(x)간격 X. 우리는 또한 함수와 부등식의 값 세트를 사용하여 연구합니다 f(x)≠ㅏ, f(x)>등 특히, f(x)≠그리고 x의 모든 허용 가능한 값에 대해, 만약 a E(f)

예 4. 매개 변수 a의 값에 대해 방정식 (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4)는 세그먼트 [-4;-1]에 단일 루트를 갖습니다.

(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a 형식으로 방정식을 작성합시다. 마지막 방정식은 함수의 값 집합에 속하는 경우에만 세그먼트 [-4;-1]에 하나 이상의 루트를 갖습니다. f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) 세그먼트 [-4;-1]. 함수의 연속성과 단조성의 속성을 이용하여 이 집합을 찾아보자.

세그먼트 [-4;-1]에서 함수 y = xІ + 4는 연속적이고 감소하며 양수이므로 함수 g(x) = 1/(x 2 + 4)는 연속적이며 이 세그먼트에서 증가합니다. 양의 함수로 나눌 때 함수의 단조성의 특성이 반대로 변경되기 때문입니다. 기능 h(x) =(x + 5) 1/2은 연속적이며 해당 영역에서 증가합니다. D(h) =[-5;+∞), 특히 [-4;-1] 구간에서 역시 양수입니다. 그런 다음 기능 f(x)=g(x) h(x), 두 개의 연속, 증가 및 양수 함수의 곱으로 연속적이고 세그먼트 [-4;-1]에서 증가하므로 [-4;-1]의 값 집합은 세그먼트 [ f(-4); f(-1)] = . 따라서 방정식은 구간 [-4;-1]에 대한 해를 가지며 0.05 ≤ a ≤ 0.4에 대한 유일한 해(연속 단조 함수의 속성에 따라)를 갖습니다.

논평. 방정식의 해결 가능성 f(x) = 에이일부 간격에서 X는 매개 변수 값에 속하는 것과 동일합니다. ㅏ함수 값 집합 f(x) X에서. 따라서 함수의 값 집합 f(x)간격 X에서 매개변수 값 세트와 일치 ㅏ, 방정식 f(x) = 에이간격 X에 하나 이상의 루트가 있습니다. 특히 값의 범위 에(에)기능 f(x)매개변수 값 세트와 일치 ㅏ, 방정식 f(x) = 에이적어도 하나의 루트가 있습니다.

예 5: 범위 찾기 에(에)기능

매개변수를 도입하여 예제를 해결해 보겠습니다. 에(에)매개변수 값 세트와 일치 ㅏ, 방정식

적어도 하나의 루트가 있습니다.

a=2일 때 방정식은 미지수 x에서 0이 아닌 계수를 갖는 선형 - 4x - 5 = 0이므로 솔루션이 있습니다. ≠2의 경우 방정식은 2차이므로 판별식인 경우에만 풀 수 있습니다.

점 a = 2가 세그먼트에 속하기 때문에

그런 다음 원하는 매개변수 값 세트 ㅏ,따라서 값의 범위 에(에)전체 세그먼트가 됩니다.

함수의 값 집합을 찾을 때 매개변수를 도입하는 방법의 직접적인 개발로, x에 대한 방정식을 푸는 데 필요한 역함수 방법을 고려할 수 있습니다. f(x)=y, y를 매개변수로 고려합니다. 이 방정식에 고유한 솔루션이 있는 경우 x=g(y), 범위 에(에)원래 기능 f(x)정의 영역과 일치 D(g)역함수 지(y). 만약 방정식이 f(x)=y여러 솔루션이 있습니다 x = g 1 (y), x \u003d g 2 (y)등등, 그럼 에(에)함수 정의 범위의 합집합과 같습니다. g1(y), g2(y)등.

예 6: 범위 찾기 이(이)함수 y = 5 2/(1-3x).

방정식에서

역함수 x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) 및 해당 도메인 찾기 디(x):

x에 대한 방정식은 고유한 솔루션을 가지므로

E(y) = D(x) = (0, 1)(25;+∞).

함수의 도메인이 여러 간격으로 구성되거나 다른 간격의 함수가 다른 공식으로 제공되는 경우 함수의 도메인을 찾으려면 각 간격에서 함수 값 집합을 찾고 해당 값을 취해야 합니다. 노동 조합.

예 7: 범위 찾기 f(x)그리고 f(f(x)), 어디

f(x)광선(-∞;1]에서 4 x + 9 4 -x + 3 표현식과 일치합니다. t = 4 x. 그 다음에 f(x) = t + 9/t + 3, 여기서 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x)광선에서 (-∞;1]은 함수의 값 세트와 일치합니다. 지(t) = t + 9/t + 3, 도함수를 사용하여 찾은 구간 (0;4]에서 g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. 구간 (0;4] 도함수에서 지'(t)에서 정의되고 사라집니다. t=3. 0시<티<3 она отрицательна, а при 3<티<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция 지(t)감소하고 구간 (3;4)에서 증가하여 전체 구간 (0;4)에서 연속적으로 유지되므로 g (3)= 9 - 구간(0; 4)에서 이 함수의 가장 작은 값이지만 가장 큰 값은 존재하지 않으므로 다음과 같은 경우 t→0올바른 기능 g(t)→+∞.그런 다음 연속 함수의 속성에 의해 함수의 값 집합 지(t)간격 (0;4]에 따라 값 집합 f(x)(-∞;-1]에 광선이 있습니다.

이제 간격을 결합하여 - 함수 값 집합 f(f(x)), 나타내다 t = f(x). 그 다음에 f(f(x)) = f(t), 어디 티기능 f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 그리고 다시 5에서 9까지의 모든 값을 취합니다. 범위 E(fІ) = E(f(f(x))) =.

마찬가지로, z = f(f(x)), 범위를 찾을 수 있습니다 E(f3)기능 f(f(f(x))) = f(z), 여기서 5 ≤ z ≤ 9 등 확인 E(f 3) = .

함수 값 집합을 찾는 가장 보편적인 방법은 주어진 간격에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 사용하는 것입니다.

예 8. 매개 변수의 값 아르 자형불평등 8 x - 피 ≠ 2x+1 – 2x모든 -1 ≤ x에 대해 유지< 2.

나타내다 t = 2 x, 우리는 불평등을 다음과 같이 씁니다. 피 ≠ t 3 - 2t 2 + t. 처럼 t = 2 x는 지속적으로 증가하는 함수입니다. 아르 자형,그런 다음 -1 ≤ x에 대해< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0.5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда 아르 자형함수 값과 다름 f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + t 0.5 ≤ t에서< 4.

먼저 함수의 값 집합을 찾습니다. f(t)모든 곳에서 도함수가 있는 구간에서 f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. 따라서, f(t)미분 가능하므로 세그먼트에서 연속적입니다. 방정식에서 f'(t) = 0함수의 임계점 찾기 t=1/3, t=1,첫 번째는 세그먼트에 속하지 않고 두 번째는 세그먼트에 속합니다. 처럼 f(0.5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36,그런 다음 미분 가능한 함수의 속성에 의해 0이 가장 작고 36이 함수의 가장 큰 값입니다. f(t)세그먼트에. 그 다음에 f(t),연속 함수로 0에서 36까지의 모든 값을 세그먼트에 취하고 값 36은 다음과 같은 경우에만 취합니다. t=4, 그래서 0.5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка }