우리는 소위 순수 굽힘이라고 하는 가장 단순한 경우부터 시작합니다.

순수한 굽힘은 굽힘의 특수한 경우로 빔 섹션의 횡력이 0입니다. 순수한 굽힘은 빔의 자체 무게가 너무 작아 영향을 무시할 수 있을 때만 발생할 수 있습니다. 2개의 지지대에 있는 보의 경우 순

굽힘, 그림에 표시된 88. 이 빔의 섹션에서 Q \u003d 0 및 따라서 M \u003d const; 순수한 굴곡이 있습니다.

순수한 굽힘이있는 빔의 모든 섹션에서 힘은 한 쌍의 힘으로 감소되며, 작용 평면은 빔의 축을 통과하고 모멘트는 일정합니다.

응력은 다음 고려 사항에 따라 결정할 수 있습니다.

1. 보 단면의 기본 영역에 대한 힘의 접선 구성 요소는 작용 평면이 단면 평면에 수직인 한 쌍의 힘으로 축소될 수 없습니다. 단면의 굽힘력은 기본 영역에 대한 작용의 결과입니다.

수직력 만 있으므로 순수한 굽힘으로 응력은 수직 방향으로 만 감소합니다.

2. 기본 플랫폼에 대한 노력이 몇 가지 힘으로 축소되기 위해서는 그 중 긍정적인 것과 부정적인 것이 모두 있어야 합니다. 따라서 인장된 빔 섬유와 압축된 빔 섬유가 모두 존재해야 합니다.

3. 다른 단면의 힘이 동일하기 때문에 단면의 해당 지점에서의 응력은 동일합니다.

표면 근처의 모든 요소를 ​​고려하십시오(그림 89, a). 빔의 표면과 일치하는 아래쪽 면을 따라 힘이 가해지지 않기 때문에 응력도 발생하지 않습니다. 따라서 요소의 윗면에는 응력이 없습니다. 그렇지 않으면 요소가 평형을 이루지 않을 것이기 때문입니다. 높이가 인접한 요소를 고려하면(그림 89, b)

동일한 결론 등. 어떤 요소의 수평면을 따라 응력이 없습니다. 보 표면 근처의 요소부터 시작하여 수평 층을 구성하는 요소를 고려하면(그림 90), 요소의 측면 수직면을 따라 응력이 없다는 결론에 도달합니다. 따라서 모든 요소(그림 91, a)의 응력 상태와 섬유의 한계는 그림 91과 같이 표시되어야 합니다. 91b, 즉 축방향 장력 또는 축방향 압축일 수 있습니다.

4. 외력 적용의 대칭으로 인해 변형 후 빔 길이의 중간을 따라 섹션은 평평하고 빔 축에 수직으로 유지되어야 합니다(그림 92, a). 같은 이유로 빔 길이의 4분의 1에 있는 섹션도 평평하고 빔 축에 수직으로 유지됩니다(그림 92, b). 변형 중 빔의 극단 섹션만 평평하고 빔 축에 수직으로 유지됩니다. 유사한 결론이 빔 길이의 8분의 1에 있는 섹션(그림 92, c) 등에 대해서도 유효합니다. 따라서 빔의 극단 섹션이 굽힘 중에 평평하게 유지되면 어떤 섹션에 대해서도 그대로 유지됩니다

변형 후 곡선 빔의 축에 수직으로 평평하게 유지된다고 말하는 것이 공정합니다. 그러나이 경우 높이에 따른 빔 섬유의 신장률 변화는 연속적으로뿐만 아니라 단조롭게 발생해야한다는 것이 분명합니다. 우리가 동일한 연신율을 갖는 섬유 세트라고 하는 층이라고 하면, 빔의 늘어나거나 압축된 섬유는 섬유 연신율이 0인 층의 반대쪽에 위치해야 한다고 말한 바에 따릅니다. 우리는 연신율이 0인 섬유를 중립이라고 부를 것입니다. 중성 섬유로 구성된 층 - 중성 층; 보의 단면 평면과 중성 레이어의 교차선 -이 섹션의 중성선. 그런 다음 이전 고려 사항을 기반으로 각 섹션에서 빔의 순수한 굽힘으로 이 섹션을 두 부분(영역)으로 나누는 중립선이 있다고 주장할 수 있습니다. 늘어난 섬유 영역(긴장된 영역) 및 압축된 섬유 영역(압축 영역). 따라서 단면의 신장된 부분에 수직 인장응력이 작용해야 하고, 압축된 부분에 압축응력이 작용해야 하며, 중립선의 지점에서 응력은 0과 같아야 합니다.

따라서 일정한 단면적의 빔을 순수하게 구부리면 다음과 같습니다.

1) 단면에는 수직 응력만 작용합니다.

2) 전체 섹션은 늘어나거나 압축된 두 부분(영역)으로 나눌 수 있습니다. 영역의 경계는 수직 응력이 0과 같은 지점에서 단면의 중립선입니다.

3) 빔의 길이 방향 요소(한계에서 모든 섬유)는 축 방향 장력 또는 압축을 받아 인접한 섬유가 서로 상호 작용하지 않습니다.

4) 변형 중 보의 극단면이 평평하고 축에 수직으로 유지되면 모든 단면이 평평하고 곡선 보의 축에 수직으로 유지됩니다.

순수 굽힘에서 빔의 응력 상태

순수한 굽힘을 받는 빔의 요소를 고려하여 결론을 내립니다. 무한히 작은 거리 dx(그림 93)에서 서로 이격되어 있는 섹션 m-m과 n-n 사이에서 측정됩니다. 전항의 (4)항으로 인해, 변형 전 평행했던 단면 mm 및 nn은 굽힘 후 편평한 상태로 유지되어 각도 dQ를 형성하고 중심인 점 C를 지나는 직선을 따라 교차하게 됩니다. 곡률 중성 섬유 NN. 그런 다음 중립 섬유로부터 거리 z에 위치한 그들 사이에 둘러싸인 AB 섬유의 부분(z축의 양의 방향은 굽힘 동안 빔의 볼록부를 향해 취해짐)은 이후에 호 A "B"로 변할 것입니다 변형 중립 섬유 O1O2의 한 부분은 O1O2 호로 바뀌고 길이는 변경되지 않지만 AB 섬유는 신장을 받게 됩니다.

변형 전

변형 후

여기서 p는 중성 섬유의 곡률 반경입니다.

따라서 세그먼트 AB의 절대 연신율은

및 연신율

위치 (3)에 따라 섬유 AB는 축 방향 장력을 받고 탄성 변형이 가해집니다.

이로부터 빔의 높이를 따라 수직 응력이 선형 법칙에 따라 분포된다는 것을 알 수 있습니다(그림 94). 섹션의 모든 기본 섹션에 대한 모든 노력의 동일한 힘은 0과 같아야 하므로

여기서 (5.8)의 값을 대입하면

그러나 마지막 적분은 굽힘력의 작용 평면에 수직인 Oy 축에 대한 정적 모멘트입니다.

0과 같기 때문에 이 축은 단면의 무게 중심 O를 통과해야 합니다. 따라서 빔 단면의 중립선은 굽힘력의 작용 평면에 수직인 직선 yy입니다. 빔 단면의 중립 축이라고 합니다. 그런 다음 (5.8)에서 중립 축에서 동일한 거리에 있는 점에서의 응력이 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

굽힘력이 한 평면에서만 작용하여 해당 평면에서만 굽힘을 일으키는 순수 굽힘의 경우는 평면형 순수 굽힘입니다. 명명 된 평면이 Oz 축을 통과하면이 축에 대한 기본 노력의 모멘트는 0과 같아야합니다.

여기서 (5.8)의 σ 값을 대입하면 다음을 찾을 수 있습니다.

알려진 바와 같이 이 등식의 왼쪽에 있는 적분은 y 및 z 축에 대한 단면의 원심 관성 모멘트이므로

단면의 원심 관성 모멘트가 0인 축을 이 단면의 주 관성 축이라고 합니다. 또한 단면의 무게 중심을 통과하면 단면의 주요 관성 중심 축이라고 할 수 있습니다. 따라서 평평한 순수 굽힘의 경우 굽힘력의 작용 평면 방향과 단면의 중립 축이 후자의 주요 관성 축입니다. 다시 말해, 빔의 평평하고 깨끗한 굽힘을 얻으려면 하중이 임의로 적용될 수 없습니다. 빔 섹션의 주요 관성 축 중 하나를 통과하는 평면에 작용하는 힘으로 줄여야 합니다. 이 경우 관성의 다른 주 중심 축은 단면의 중립 축이 됩니다.

알려진 바와 같이 임의의 축에 대해 대칭인 단면의 경우 대칭축은 주요 관성 중심축 중 하나입니다. 결과적으로, 이 특별한 경우에 우리는 보의 세로축과 단면의 대칭축을 통과하는 평면에 적절한 하중을 가하여 순수한 굽힘을 확실히 얻을 수 있습니다. 대칭축에 수직이고 단면의 무게 중심을 통과하는 직선이 이 단면의 중립축입니다.

중립축의 위치를 ​​설정하면 단면의 어느 지점에서든 응력의 크기를 찾는 것이 어렵지 않습니다. 실제로, 중립 축 yy에 대한 기본 힘의 모멘트의 합은 굽힘 모멘트와 같아야 하므로

(5.8)에서 σ 값을 대입하면

적분은 y축에 대한 단면의 관성 모멘트,

식 (5.8)에서 우리는

제품 EI Y를 보의 굽힘 강성이라고 합니다.

절대값에서 가장 큰 인장응력과 가장 큰 압축응력은 z의 절대값이 가장 큰 부분, 즉 중립축에서 가장 먼 지점에 작용한다. 명칭과 함께, Fig. 95개

Jy / h1의 값은 단면의 신축 저항 모멘트라고하며 Wyr로 표시됩니다. 유사하게, Jy/h2는 압축에 대한 단면의 저항 모멘트라고 불립니다.

Wyc를 나타내므로

따라서

중립 축이 단면의 대칭 축이면 h1 = h2 = h/2이고 결과적으로 Wyp = Wyc이므로 이들을 구별할 필요가 없으며 동일한 지정을 사용합니다.

W y 를 단순히 단면계수라고 부르기 때문에 중립축을 중심으로 대칭인 단면의 경우,

위의 모든 결론은 보의 단면이 구부러졌을 때 평평하고 축에 수직이라는 가정을 기반으로 얻습니다(평평한 단면의 가설). 도시된 바와 같이, 이 가정은 굽힘 동안 빔의 극단(끝) 섹션이 평평하게 유지되는 경우에만 유효합니다. 한편, 평평한 단면의 가설에서 이러한 단면의 기본력은 선형 법칙에 따라 분포되어야 합니다. 따라서 얻어진 평면 순수 굽힘 이론의 타당성을 위해서는 보 끝단의 굽힘 모멘트가 선형 법칙에 따라 단면 높이에 걸쳐 분산된 기본력의 형태로 적용되어야 합니다(그림 1). 96), 단면 보의 높이를 따라 응력 분포의 법칙과 일치합니다. 그러나 Saint-Venant 원리에 기초하여 보의 끝단에 굽힘 모멘트를 적용하는 방법의 변경은 국부적 변형만 유발하며 그 영향은 이들로부터 특정 거리에서만 영향을 미친다고 주장할 수 있습니다. 끝 (섹션의 높이와 거의 동일). 보의 나머지 길이에 위치한 섹션은 평평하게 유지됩니다. 결과적으로, 굽힘 모멘트를 적용하는 모든 방법과 함께 평평한 순수 굽힘 이론은 단면 높이와 거의 같은 끝에서 거리에 위치한 보 길이의 중간 부분 내에서만 유효합니다. 이것으로부터 단면의 높이가 보의 길이 또는 스팬의 절반을 초과하는 경우 이 이론은 분명히 적용할 수 없음이 분명합니다.

빔의 평평한 가로 굽힘. 내부 굽힘력. 내부 힘의 차등 의존성. 굽힘에서 내부 힘의 다이어그램을 확인하기 위한 규칙. 굽힘의 수직 및 전단 응력. 수직 및 전단 응력에 대한 강도 계산.

10. 저항의 단순 유형. 플랫 벤드

10.1. 일반 개념 및 정의

굽힘은 로드가 로드의 세로 축을 통과하는 평면에서 모멘트로 로드되는 하중 유형입니다.

굽힘에서 작동하는 막대를 빔(또는 막대)이라고 합니다. 앞으로는 단면이 적어도 하나의 대칭 축을 갖는 직선 빔을 고려할 것입니다.

재료의 저항에서 굽힘은 평평하고 비스듬하며 복잡합니다.

평평한 굽힘은 보를 굽히는 모든 힘이 보의 대칭 평면 중 하나(주 평면 중 하나에서)에 있는 굽힘입니다.

빔의 주요 관성 평면은 단면의 주요 축과 빔의 기하학적 축(x 축)을 통과하는 평면입니다.

비스듬한 굽힘은 하중이 관성의 주요 평면과 일치하지 않는 한 평면에서 작용하는 굽힘입니다.

복합 굽힘은 하중이 다른(임의) 평면에서 작용하는 굽힘입니다.

10.2. 내부 굽힘력의 결정

굽힘의 두 가지 특징적인 경우를 고려해 보겠습니다. 첫 번째 경우 캔틸레버 빔은 집중된 모멘트 Mo 에 의해 구부러집니다. 두 번째로 집중된 힘 F에 의해.

정신 단면 방법을 사용하고 빔의 차단 부분에 대한 평형 방정식을 컴파일하여 두 경우 모두에서 내부 힘을 결정합니다.

나머지 평형 방정식은 분명히 동일하게 0과 같습니다.

따라서 보 단면에서 평평한 굽힘의 일반적인 경우 6개의 내부 힘 중 2개가 발생합니다. 굽힘 모멘트 M z 및 전단력 Q y (또는 다른 주축에 대해 구부릴 때 - 굽힘 모멘트 M y 및 전단력 Q z ).

이 경우 고려되는 두 가지 하중 사례에 따라 플랫 굽힘은 순수 굽힘과 가로 굽힘으로 나눌 수 있습니다.

순수한 굽힘은 6개의 내부 힘 중 하나만 로드 섹션에서 발생하는 평평한 굽힘입니다. 즉, 굽힘 모멘트입니다(첫 번째 경우 참조).

가로 굽힘- 굽힘, 내부 굽힘 모멘트 외에도 막대 부분에서 횡력도 발생합니다(두 번째 경우 참조).

엄밀히 말하면 순수한 굽힘만이 단순한 저항 유형에 속합니다. 대부분의 경우(충분히 긴 빔의 경우) 횡력의 작용은 강도 계산에서 무시될 수 있기 때문에 횡방향 굽힘은 조건부로 간단한 유형의 저항이라고 합니다.

내부 힘을 결정할 때 다음 기호 규칙을 준수합니다.

1) 횡력 Qy는 고려 중인 빔 요소를 시계 방향으로 회전하려는 경향이 있는 경우 양수로 간주됩니다.

2) 굽힘 모멘트빔 요소가 구부러질 때 요소의 상부 섬유가 압축되고 하부 섬유가 늘어나면 M z는 양수로 간주됩니다(우산 규칙).

따라서 굽힘 중 내부 힘을 결정하는 문제의 솔루션은 다음 계획에 따라 작성됩니다. 1) 첫 번째 단계에서 전체 구조의 평형 조건을 고려하여 필요한 경우 알려지지 않은 반응을 결정합니다. 지지대(캔틸레버 빔의 경우 자유 단부에서 빔을 고려하면 매립에서 반작용이 발견될 수 있고 발견되지 않음에 유의); 2) 두 번째 단계에서 우리는 단면의 경계로 힘의 적용 지점, 보의 모양 또는 치수의 변화 점, 보의 고정 점을 취하여 보의 특성 단면을 선택합니다. 3) 세 번째 단계에서는 각 단면의 보 요소에 대한 평형 조건을 고려하여 보 단면의 내력을 결정합니다.

10.3. 굽힘의 차등 종속성

내부 힘과 외부 굽힘 하중 사이의 몇 가지 관계와 Q 및 M 다이어그램의 특성을 설정해 보겠습니다. 이에 대한 지식은 다이어그램 구성을 용이하게 하고 정확성을 제어할 수 있게 해줍니다. 표기의 편의를 위해 M ≡ M z , Q ≡ Q y 로 표시합니다.

집중된 힘과 모멘트가 없는 곳에서 임의의 하중을 받는 빔의 단면에 작은 요소 dx를 할당해 보겠습니다. 전체 빔이 평형 상태에 있기 때문에 요소 dx는 가해지는 횡력, 굽힘 모멘트 및 외부 하중의 작용으로 평형 상태를 유지합니다. Q 및 M은 일반적으로 빔의 축을 따라 변경되기 때문에 요소 dx의 섹션에는 횡력 Q 및 Q + dQ 뿐만 아니라 굽힘 모멘트 M 및 M + dM 가 있습니다. 선택한 요소의 평형 조건에서 다음을 얻습니다.

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

두 번째 방정식에서 항 q dx(dx /2)를 2차의 극소량으로 무시하면 다음을 찾습니다.

관계식 (10.1), (10.2) 및 (10.3)은굽힘에서 D.I. Zhuravsky의 차등 의존성.

굽힘에서 위의 차등 종속성을 분석하면 굽힘 모멘트 및 전단력 다이어그램을 구성하기 위한 몇 가지 기능(규칙)을 설정할 수 있습니다.

a - 분산 하중 q가 없는 영역에서 다이어그램 Q는 베이스에 평행한 직선으로 제한되고 다이어그램 M - 비스듬한 직선;

b - 보에 분포 하중 q가 가해지는 단면에서 Q 다이어그램은 경사 직선에 의해 제한되고 M 다이어그램은 2차 포물선에 의해 제한됩니다. 동시에 "늘어진 섬유"에 다이어그램 M을 작성하면 pa-

작업은 동작 q의 방향으로 진행되고 극값은 다이어그램 Q가 기준선과 교차하는 섹션에 위치합니다.

c - 집중된 힘이 빔에 가해지는 섹션에서 Q 다이어그램에는 값과 이 힘의 방향으로 점프가 있고 M 다이어그램에는 꼬임이 있고 팁은 이 방향으로 향합니다. 힘; d - 집중 모멘트가 플롯의 빔에 적용되는 단면

re Q에는 변경 사항이 없으며 다이어그램 M에서 이 순간의 값만큼 점프합니다. e - Q > 0인 영역에서 모멘트 M이 증가하고 Q인 영역에서<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. 직선 빔의 순수 굽힘에서의 수직 응력

빔의 순수한 평면 굽힘의 경우를 고려하고 이 경우에 대한 수직 응력을 결정하는 공식을 도출해 보겠습니다. 탄성 이론에서는 순수한 굽힘에서 수직 응력에 대한 정확한 의존성을 얻을 수 있지만 이 문제가 재료의 저항 방법으로 해결된다면 몇 가지 가정을 도입할 필요가 있습니다.

굽힘에 대한 세 가지 가설이 있습니다.

– 평평한 단면 가설 (베르누이의 가설)

- 변형 전의 평평한 부분은 변형 후에도 평평한 상태를 유지하지만 빔 부분의 중립 축이라고 하는 특정 선에 대해서만 회전합니다. 이 경우 중립 축의 한쪽에 누워있는 빔의 섬유가 늘어나고 다른쪽에는 압축됩니다. 중립 축에 놓인 섬유는 길이를 변경하지 않습니다.

b - 정상 응력의 불변성 가설

nii - 중립 축으로부터 동일한 거리 y에서 작용하는 응력은 빔의 너비에 걸쳐 일정합니다.

c – 측면 압력의 부재에 대한 가설 –

회색 세로 섬유는 서로를 누르지 않습니다.

굽힘은 보의 세로 축이 구부러지는 변형 유형입니다. 굽힘 작업을 하는 직선 빔을 빔이라고 합니다. 직선 굽힘은 보에 작용하는 외력이 보의 세로 축과 단면의 주요 관성 축을 통과하는 동일한 평면(힘 평면)에 있는 굽힘입니다.

굴곡은 순수라고합니다, 보의 단면에서 하나의 굽힘 모멘트만 발생하는 경우.

보의 단면에 굽힘 모멘트와 횡력이 동시에 작용하는 굽힘을 가로라고 합니다. 힘 평면과 단면 평면의 교차선을 힘 선이라고 합니다.

빔 굽힘의 내부 힘 계수.

보의 단면에서 평평한 가로 굽힘으로 두 가지 내부 힘 요인이 발생합니다. 가로 방향 힘 Q와 굽힘 모멘트 M. 이를 결정하기 위해 단면 방법이 사용됩니다(강의 1 참조). 보 단면의 횡력 Q는 고려 중인 단면의 한 면에 작용하는 모든 외력의 단면 평면에 대한 투영의 대수적 합과 같습니다.

전단력 Q에 대한 부호 규칙:

보 단면의 굽힘 모멘트 M은 고려 중인 단면의 한 면에 작용하는 모든 외력의 이 단면의 무게 중심에 대한 모멘트의 대수적 합과 같습니다.

굽힘 모멘트 M에 대한 기호 규칙:

Zhuravsky의 차등 의존성.

분산 하중의 강도 q, 횡력 Q 및 굽힘 모멘트 M에 대한 표현 사이에 차등 종속성이 설정됩니다.

이러한 종속성을 기반으로 횡력 Q 및 굽힘 모멘트 M의 다음과 같은 일반적인 다이어그램 패턴을 구별할 수 있습니다.

굽힘의 내부 힘 요인 다이어그램의 특성.

1. 분포 하중이 없는 빔 단면에 플롯 Q가 표시됩니다. 일직선 , 다이어그램의 밑면에 평행하고 다이어그램 M은 경사 직선입니다(그림 a).

2. 집중된 힘이 가해지는 부분에서, Q 다이어그램에는 다음이 있어야 합니다. 도약 ,이 힘의 값과 동일하고 다이어그램에서 M - 한계점 (그림 가).

3. 집중모멘트가 가해지는 구간에서 Q의 값은 변하지 않고 M도는 다음과 같다. 도약 , 이 순간의 값과 동일합니다(그림 26, b).

4. 강도 q의 분포 하중이 있는 빔 섹션에서 다이어그램 Q는 선형 법칙에 따라 변경되고 다이어그램 M은 포물선에 따라 변경되며, 포물선의 볼록성은 분산 하중 방향으로 향합니다. (그림 c, d).

5. 다이어그램의 특성 섹션 내에서 Q가 다이어그램의 베이스와 교차하는 경우 Q = 0인 섹션에서 굽힘 모멘트는 극단값 M max 또는 M min을 갖습니다(그림 d).

정상적인 굽힘 응력.

공식에 의해 결정:

굽힘에 대한 단면의 저항 모멘트는 다음 값입니다.

위험구간구부릴 때 최대 수직 응력이 발생하는 빔의 단면이 호출됩니다.

직접 굽힘의 접선 응력.

에 의해 결정 주라프스키의 공식 직접 빔 굽힘의 전단 응력:

어디서? S ots - 중성선에 대한 세로 섬유 절단 층의 가로 영역의 정적 모멘트.

굽힘 강도 계산.

1. ~에 검증 계산 허용 응력과 비교되는 최대 설계 응력이 결정됩니다.

2. ~에 설계 계산 빔 단면의 선택은 다음 조건에서 이루어집니다.

3. 허용 하중을 결정할 때 허용 굽힘 모멘트는 다음 조건에서 결정됩니다.

구부리는 움직임.

굽힘 하중의 작용으로 보의 축이 구부러집니다. 이 경우 빔의 오목한 부분에 볼록 및 압축에 섬유가 늘어납니다. 또한 단면의 무게 중심이 수직으로 이동하고 중립 축에 대한 회전이 있습니다. 굽힘 중 변형을 특성화하기 위해 다음 개념이 사용됩니다.

빔 편향 Y- 축에 수직인 방향으로 빔 단면의 무게 중심 변위.

무게 중심이 위쪽으로 이동하면 편향이 양수로 간주됩니다. 편향의 양은 빔의 길이에 따라 다릅니다. y=y(z)

단면 회전 각도- 각 섹션이 원래 위치에 대해 회전하는 각도 θ. 단면이 시계 반대 방향으로 회전할 때 회전 각도는 양수로 간주됩니다. 회전 각도 값은 θ = θ(z)의 함수인 빔의 길이에 따라 달라집니다.

변위를 결정하는 가장 일반적인 방법은 모라그리고 Vereshchagin의 법칙.

모어법.

Mohr 방법에 따라 변위를 결정하는 절차:

1. "보조 시스템"이 만들어지고 변위가 결정되는 지점에서 단일 하중이 가해집니다. 선형 변위가 결정되면 해당 방향으로 단위 힘이 가해지고, 각 변위를 결정할 때 단위 모멘트가 적용됩니다.

2. 시스템의 각 섹션에 대해 적용된 하중의 굽힘 모멘트 M f 및 단일 하중의 M 1 -의 표현이 기록됩니다.

3. Mohr 적분은 시스템의 모든 섹션에 대해 계산되고 합산되어 원하는 변위가 생성됩니다.

4. 계산된 변위에 양의 부호가 있으면 방향이 단위 힘의 방향과 일치함을 의미합니다. 음수 기호는 실제 변위가 단위 힘의 방향과 반대임을 나타냅니다.

Vereshchagin의 법칙.

주어진 하중에서 굽힘 모멘트 다이어그램이 임의적이고 단일 하중에서 직선 윤곽선을 갖는 경우 그래픽 분석 방법 또는 Vereshchagin의 규칙을 사용하는 것이 편리합니다.

여기서 A f는 주어진 하중에서 굽힘 모멘트 M f 다이어그램의 영역입니다. y c는 다이어그램 M f의 무게 중심 아래 단일 하중에서 다이어그램의 세로 좌표입니다. EI x - 빔 단면의 단면 강성. 이 공식에 따른 계산은 각 섹션에서 직선 다이어그램에 골절이 없어야 합니다. 값(A f *y c)은 두 다이어그램이 빔의 같은 쪽에 있으면 양수로 간주되고 반대쪽에 있으면 음수로 간주됩니다. 다이어그램의 곱셈의 긍정적 인 결과는 이동 방향이 단위 힘 (또는 모멘트)의 방향과 일치 함을 의미합니다. 복잡한 다이어그램 M f는 무게 중심의 세로 좌표를 쉽게 결정할 수있는 간단한 그림 (소위 "순수한 레이어링"이 사용됨)으로 나누어야합니다. 이 경우 해변 인물의 면적에 무게 중심 아래의 세로 좌표를 곱합니다.

굽히다축의 곡률 변화와 함께 막대의 변형이라고합니다. 구부러진 막대를 호출합니다. 빔.

하중을 가하는 방법과 로드를 고정하는 방법에 따라 다양한 형태의 휨이 발생할 수 있습니다.

막대의 단면에 하중이 작용할 때 굽힘 모멘트만 발생하면 굽힘을 깨끗한.

단면에서 굽힘 모멘트와 함께 횡력도 발생하면 굽힘이 호출됩니다 횡축.

막대 단면의 주 중심축 중 하나를 통과하는 평면에 외력이 있는 경우 굽힘 단순한또는 평평한. 이 경우 하중과 변형 가능한 축은 동일한 평면에 있습니다(그림 1).

쌀. 하나

빔이 평면에서 하중을 받으려면 힌지 이동식, 힌지 고정식, 매립과 같은 지지대를 사용하여 고정해야 합니다.

빔은 기하학적으로 불변해야 하며 최소 연결 수는 3입니다. 기하학적으로 가변적인 시스템의 예가 그림 2a에 나와 있습니다. 기하학적으로 불변 시스템의 예는 그림입니다. 2b, c.

나 B 다)

반응은 정적의 평형 조건에서 결정되는 지지대에서 발생합니다. 지지대의 반작용은 외부 하중입니다.

내부 굽힘력

빔의 세로 축에 수직인 힘이 가해진 로드는 평평한 굽힘을 경험합니다(그림 3). 단면에는 두 가지 내부 힘이 있습니다. 전단력 Q y및 굽힘 모멘트 중지.

내부 힘은 단면 방법에 의해 결정됩니다. 거리에 엑스 점에서 하지만 X축에 수직인 평면에 의해 막대가 두 부분으로 절단됩니다. 빔의 부품 중 하나가 폐기됩니다. 빔 부품의 상호 작용은 내부 힘으로 대체됩니다. 굽힘 모멘트 므즈및 횡력 Q y(그림 4).

국내 노력 므즈그리고 Q y단면으로의 는 평형 조건에서 결정됩니다.

부분에 대한 평형 방정식이 작성됩니다. 에서:

∑와이 = R A - P 1 - Q y \u003d 0.

그 다음에 Q y = 라 – 피1.

산출. 보의 임의의 단면에서 횡력은 그려진 단면의 한 면에 있는 모든 외력의 대수적 합과 같습니다. 횡력은 단면 점을 중심으로 막대를 시계 방향으로 회전하는 경우 양의 힘으로 간주됩니다.

∑중 0 = 라 ∙ 엑스 – 피 1 ∙ (엑스 - ㅏ) – 므즈 = 0

그 다음에 므즈 = 라 ∙ 엑스 – 피 1 ∙ (엑스 – ㅏ)

1. 반응의 정의 라 , 알비 ;

∑MA = 피 ∙ ㅏ – 알비 ∙ 엘 = 0

알비 =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. 첫 번째 섹션에 플롯하기 0 ≤ 엑스 1 ≤ ㅏ

Q y = RA =; M z \u003d R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. 두 번째 섹션에 플로팅 0 ≤ 엑스 2 ≤ 비

Q y = - 알비 = - ; 므즈 = 알비 ∙ 엑스 2 ; 엑스 2 = 0 므즈(0) = 0 엑스 2 = 비므즈(비) =

건축할 때 므즈 양의 좌표는 늘어진 섬유를 향해 그려질 것입니다.

플롯 확인

1. 도표에서 Q y불연속성은 외력이 가해지는 곳에서만 있을 수 있으며 점프의 크기는 그 크기와 일치해야 합니다.

+ = = 피

2. 도표에서 므즈집중 모멘트의 적용 지점에서 불연속성이 발생하고 점프의 크기는 그 크기와 같습니다.

사이의 차등 종속성중, 큐그리고큐

굽힘 모멘트, 횡력 및 분산 하중의 강도 사이에 다음 종속성이 설정됩니다.

q = , Q y =

여기서 q는 분산 하중의 강도,

굽힘시 보의 강도 확인

굽힘시 막대의 강도를 평가하고 보 단면을 선택하기 위해 수직 응력에 대한 강도 조건이 사용됩니다.

굽힘 모멘트는 단면에 분포된 수직 내부 힘의 결과 모멘트입니다.

s = × 와이,

여기서 s는 단면의 임의 지점에서의 수직 응력이고,

와이는 단면의 무게 중심에서 점까지의 거리,

므즈- 단면에 작용하는 굽힘 모멘트,

제이즈막대의 축 관성 모멘트입니다.

강도 확보를 위해 무게중심에서 가장 먼 부분에서 발생하는 최대응력을 계산 와이 = ymax

최대 = × ymax,

= Wz및 s 최대 = .

그러면 수직 응력에 대한 강도 조건의 형식은 다음과 같습니다.

s 최대 = ≤ [s],

여기서 []는 허용 인장 응력입니다.

작업. 정적으로 불확정 보에 대한 다이어그램 Q 및 M을 작성하십시오.다음 공식에 따라 빔을 계산합니다.

N= Σ 아르 자형- 여— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

빔 한번정적으로 불확정입니다. 즉, 하나반응의 "추가" 알 수 없음. "추가" 미지의 경우 지원팀의 대응을 취하겠습니다. 입력 — 알비.

"추가" 연결을 제거하여 주어진 빔에서 얻은 정적으로 결정된 빔을 주 시스템이라고 합니다. (비).

이제 이 시스템을 제시해야 합니다. 동등한주어진. 이렇게 하려면 주 시스템을 로드하십시오. 주어진부하 및 지점에서 입력 적용하다 "추가" 반응 알비(쌀. 입력).

그러나 등가이것 부족한, 그런 빔에서 포인트 입력 아마도 수직으로 이동, 그리고 주어진 빔에서(그림. 하지만 ) 이것은 일어날 수 없습니다. 따라서 우리는 추가합니다 상태, 뭐라고 요 편향 t. 입력주 시스템에서 는 0과 같아야 합니다.. 편향 t. 입력 으로 구성되다 작용 하중 Δ로부터의 편향 에프 그리고 ~에서 "추가" 반응의 편향 Δ 아르 자형.

그럼 우리는 작곡 변위 적합성 조건:

Δ 에프 + Δ 아르 자형=0 (1)

이제 이것들을 계산하는 일만 남았습니다. 움직임(편향).

로딩 중 기초적인체계 주어진 하중(쌀 .G) 그리고 빌드 화물 도표남 여 (쌀. 디 ).

입력 티. 입력 적용 및 빌드 ep. (쌀. 고슴도치 ).

Simpson 공식에 의해 다음을 정의합니다. 하중 편향.

이제 정의하자 "추가" 반응의 작용으로부터의 편향 알비 , 이를 위해 우리는 메인 시스템을 로드합니다 알비 (쌀. 시간 ) 그리고 그 행동의 순간을 플로팅합니다. 씨 (쌀. 그리고 ).

작성 및 결정 방정식 (1):

구축하자 에피. 큐 그리고 중 (쌀. ~에, 난 ).

다이어그램 작성 큐.

줄거리를 만들어보자 중 방법 특징점. 우리는 빔에 점을 배열합니다 - 이들은 빔의 시작과 끝의 점입니다 ( 디,에이 ), 집중 모멘트( 비 ), 또한 균일하게 분포된 하중( 케이 )은 포물선 곡선을 구성하기 위한 추가 점입니다.

점에서 굽힘 모멘트를 결정합니다. 기호의 규칙센티미터. - .

에 있는 순간 입력 다음과 같이 정의됩니다. 먼저 다음을 정의하겠습니다.

가리키다 에게 들여보자 가운데균일하게 분포된 하중이 있는 영역.

다이어그램 작성 중 . 구성 AB – 포물선 곡선("우산"의 규칙), 플롯 BD – 직선 사선.

보의 경우 지지 반력을 결정하고 굽힘 모멘트 다이어그램( 중) 및 전단력( 큐).

1. 우리는 지정 지원편지 하지만 그리고 입력 지원 반응을 지시하십시오. 라 그리고 알비 .

컴파일 평형 방정식.

시험

값을 기록 라 그리고 알비 에 계산 방식.

2. 플로팅 횡력방법 섹션. 우리는 섹션을 배치합니다 특징적인 영역(변경 사이). 차원 스레드에 따르면 - 4섹션, 4섹션.

비서. 1-1 이동하다 왼쪽.

섹션은 섹션을 통과합니다. 균일하게 분포된 하중, 크기 참고 지 1 섹션의 왼쪽에 섹션 시작 전에. 플롯 길이 2m. 기호의 규칙~을위한 큐 - 센티미터.

우리는 발견된 가치를 기반으로 합니다. 도표큐.

비서. 2-2 오른쪽으로 이동.

단면은 하중이 균일하게 분포된 영역을 다시 통과합니다. 지 2 섹션의 오른쪽으로 섹션의 시작 부분으로. 플롯 길이 6m.

다이어그램 작성 큐.

비서. 3-3 오른쪽으로 이동.

비서. 4-4 오른쪽으로 이동합니다.

우리는 건물 도표큐.

3. 건설 다이어그램 M방법 특징점.

특징점- 빔에서 눈에 띄는 점. 이것들은 점들 하지만, 입력, 에서, 디 , 뿐만 아니라 요점 에게 , 여기서 큐=0 그리고 굽힘 모멘트는 극한값을 갖는다. 에서도 가운데콘솔 추가 포인트를 넣어 이자형, 균일하게 분포된 하중 하에서 이 영역에서 다이어그램 중설명 구부러진라인, 그리고 그것은 적어도, 3 포인트들.

따라서 포인트가 배치되고 그 값을 결정하기 위해 진행합니다. 굽힘 모멘트. 표시 규칙 - 참조하십시오..

플롯 NA, 광고 – 포물선 곡선(기계 전문 분야에 대한 "우산" 규칙 또는 건설에 대한 "세일 규칙"), 섹션 DC, SW – 직선 경사 라인.

한 순간 디 결정되어야 한다 왼쪽과 오른쪽 모두점에서 디 . 이 표현의 바로 그 순간 제외 된. 그 시점에 디 우리는 얻는다 둘~의 값 차이점금액으로 중 – 도약그 크기에.

이제 지점에서 순간을 결정해야 합니다. 에게 (큐=0). 그러나 먼저 정의 포인트 위치 에게 , 미지수로 섹션의 시작 부분까지의 거리를 나타냅니다. 엑스 .

티. 에게 속하다 초특징적인 영역, 전단력 방정식(위 참조)

그러나 t의 횡력. 에게 와 동등하다 0 , 하지만 지 2 알 수 없음 엑스 .

우리는 방정식을 얻습니다.

이제 알고 엑스, 한 점에서 순간을 결정하다 에게 오른쪽에.

다이어그램 작성 중 . 시공이 가능한 기계적전문 분야, 양수 값 연기 위로제로 라인에서 "우산" 규칙을 사용합니다.

캔틸레버 보의 주어진 계획에 대해 횡력 Q와 굽힘 모멘트 M의 다이어그램을 플롯하고 원형 단면을 선택하여 설계 계산을 수행해야 합니다.

재질 - 목재, 재질의 설계 저항 R=10MPa, M=14kN·m, q=8kN/m

단단한 종단이 있는 캔틸레버 보에서 다이어그램을 작성하는 두 가지 방법이 있습니다. 이전에 지지 반력을 결정한 일반적인 방법과 지지 반력을 결정하지 않고 단면을 고려하면 보의 자유 끝에서 이동하여 버리는 것입니다. 종료와 함께 왼쪽 부분. 다이어그램을 작성해 봅시다. 평범한방법.

1. 정의 지원 반응.

균일하게 분포된 하중 큐조건부 힘을 대체 Q= 0.84=6.72kN

강체 임베딩에는 수직, 수평 및 모멘트의 세 가지 지지 반력이 있습니다. 이 경우 수평 반력은 0입니다.

찾자 세로지원 반응 라그리고 기준 모멘트 중 ㅏ평형 방정식에서.

오른쪽의 처음 두 섹션에는 횡력이 없습니다. 하중이 균일하게 분포된 단면의 시작 부분(오른쪽) Q=0, 뒤에서 - 반응의 크기 R.A.
3. 빌드하기 위해 섹션에 대한 정의에 대한 표현식을 작성합니다. 우리는 섬유에 모멘트 다이어그램을 플로팅합니다. 아래에.

(단일 순간의 플롯은 이미 이전에 구축되었습니다)

우리는 방정식 (1)을 풀고 EI로 줄입니다.

정적 불확정성 공개, "추가" 반응의 값이 발견됩니다. 정적으로 불확정 빔에 대한 Q 및 M 다이어그램을 플로팅할 수 있습니다... 주어진 빔 구성을 스케치하고 반응 값을 나타냅니다. Rb. 이 빔에서 오른쪽으로 가면 종단에서의 반응을 결정할 수 없습니다.

건물 플롯 Q정적으로 부정확한 빔의 경우

플롯 Q.

플로팅 M

극한점에서 M을 정의합니다. 에게. 먼저 위치를 정의합시다. 우리는 그것까지의 거리를 알 수 없음으로 표시합니다" 엑스". 그 다음에

우리는 M을 플롯합니다.

I-섹션의 전단 응력 결정. 섹션을 고려하십시오 아이빔. S x \u003d 96.9 cm 3; Yx=2030cm4; Q=200kN

전단 응력을 결정하기 위해 사용됩니다. 공식, 여기서 Q는 단면의 횡력, S x 0은 전단 응력이 결정되는 층의 한쪽에 위치한 단면 부분의 정적 모멘트, I x는 전체 십자의 관성 모멘트 단면, b는 전단응력이 결정되는 부분의 단면폭

계산 최고전단 응력:

에 대한 정적 모멘트를 계산해 보겠습니다. 상단 선반:

이제 계산해보자 전단 응력:

우리는 건물 전단 응력 도표:

설계 및 검증 계산. 내부력의 구성된 다이어그램이 있는 빔의 경우 수직 응력에 대한 강도 조건에서 두 채널 형태의 단면을 선택합니다. 전단 강도 조건과 에너지 강도 기준을 사용하여 보의 강도를 확인합니다. 주어진:

구성된 빔을 보여 줍시다. 플롯 Q 및 M

굽힘 모멘트 다이어그램에 따르면 위험한 것은 섹션 C,어느 곳에서 M C \u003d M max \u003d 48.3 kNm.

일반 응력에 대한 강도 조건이 빔의 형태는 σ 최대 \u003d M C / W X ≤σ adm .섹션을 선택해야 합니다. 두 채널에서.

필요한 계산 값 결정 축 단면 계수:

두 채널 형태의 섹션에 대해 수락에 따라 두 채널 №20a, 각 채널의 관성 모멘트 I x =1670cm 4, 그 다음에 전체 단면의 축 방향 저항 모멘트:

과전압(저전압)위험한 지점에서 다음 공식에 따라 계산합니다. 그러면 다음을 얻습니다. 저전압:

이제 다음을 기반으로 빔의 강도를 확인하겠습니다. 전단 응력에 대한 강도 조건.에 따르면 전단력 도표 위험한섹션입니다 섹션 BC 및 섹션 D에서.도표에서 알 수 있듯이, Q 최대 \u003d 48.9kN.

전단응력에 대한 강도조건다음과 같이 보입니다.

채널 번호 20의 경우 a: 영역의 정적 모멘트 S x 1 \u003d 95.9 cm 3, 단면의 관성 모멘트 I x 1 \u003d 1670 cm 4, 벽 두께 d 1 \u003d 5.2 mm, 평균 선반 두께 t 1 \u003d 9.7 mm, 채널 높이 h 1 \u003d 20 cm, 선반 너비 b 1 \u003d 8 cm.

가로용 두 채널의 섹션:

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95.9 \u003d 191.8 cm 3,

나는 x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0.52 \u003d 1.04cm.

가치 결정 최대 전단 응력:

τ 최대 \u003d 48.9 10 3 191.8 10 -6 / 3340 10 -8 1.04 10 -2 \u003d 27 MPa.

본 것처럼, τ 최대<τ adm (27MPa<75МПа).

따라서, 강도 조건이 충족됩니다.

에너지 기준에 따라 빔의 강도를 확인합니다..

고려하지 않음 다이어그램 Q 및 M다음을 따른다 섹션 C는 위험합니다.어느 곳에서 M C = M max = 48.3 kNm 및 Q C = Q max = 48.9 kN.

보내자 단면 C 지점의 응력 상태 분석

정의하자 수직 및 전단 응력여러 수준에서(단면 다이어그램에 표시됨)

수준 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

법선 및 접선 전압:

기본 전압:

수준 2-2: y 2-2 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0.97 \u003d 9.03 cm.

주요 스트레스:

수준 3-3: y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0.97 \u003d 9.03 cm.

수직 및 전단 응력:

주요 스트레스:

극도의 전단 응력:

수준 4-4: y 4-4 =0.

(중간에 수직응력은 0이고 접선응력은 최대이며 접선응력에 대한 강도시험에서 발견됨)

주요 스트레스:

극도의 전단 응력:

레벨 5-5:

수직 및 전단 응력:

주요 스트레스:

극도의 전단 응력:

레벨 6-6:

수직 및 전단 응력:

주요 스트레스:

극도의 전단 응력:

레벨 7-7:

수직 및 전단 응력:

주요 스트레스:

극도의 전단 응력:

수행된 계산에 따르면 응력 도표 σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max 및 τ min그림에 나와 있습니다.

분석이것들 다이어그램 쇼, 이는 빔의 단면에 있습니다. 위험한 지점은 레벨 3-3(또는 5-5), 여기서:

사용 힘의 에너지 기준,우리는 얻는다

등가응력과 허용응력의 비교로부터 강도조건도 만족함을 알 수 있다.

(135.3MPa<150 МПа).

연속보는 모든 스팬에 하중을 가합니다. 연속 빔에 대한 다이어그램 Q 및 M을 작성하십시오.

1. 정의 정적 불확실성의 정도공식에 따른 빔:

n= Sop -3= 5-3 =2,어디 Sop - 알려지지 않은 반응의 수, 3 - 정적 방정식의 수. 이 빔을 해결하려면 다음이 필요합니다. 두 개의 추가 방정식.

2. 표시하다 숫자 0으로 지원순서대로( 0,1,2,3 )

3. 표시하다 스팬 번호 처음부터순서대로( v 1, v 2, v 3)

4. 각 스팬은 다음과 같이 간주됩니다. 단순 빔각 단순 빔에 대한 다이어그램 작성 Q와 M.에 해당하는 것 단순 빔, 우리는 나타낼 것입니다 인덱스 "0"를 가리킨다. 마디 없는빔, 우리는 나타낼 것입니다 이 인덱스가 없으면.따라서 횡력과 굽힘 모멘트는 간단한 빔을 위해.