기하급수적으로 하지 마십시오. 산술 및 기하학적 진행
관련 수업 "무한하게 감소하는 기하학적 진행"(대수학, 10 학년)
수업의 목적:무한히 감소하는 기하학적 진행 - 새로운 종류의 시퀀스를 학생들에게 소개합니다.
장비:프로젝터 스크린.
수업 유형:수업 - 새로운 주제 마스터하기.
수업 중
나 . 조직 순간. 수업의 주제와 목적에 대한 메시지.
II . 학생들의 지식을 업데이트합니다.
9학년 때, 당신은 산술과 기하학적 진행을 공부했습니다.
질문
1. 산술 진행의 정의. (산술 진행은 두 번째부터 시작하여 각 항이 동일한 숫자에 이전 항을 더한 것과 같은 수열입니다.)
2. 공식 N- 산술 진행의 멤버( 
)
3. 첫 번째 합에 대한 공식 N산술 진행의 구성원입니다.
(
또는 
)
4. 기하학적 진행의 정의. (기하학적 진행은 0이 아닌 숫자의 시퀀스이며, 각 항은 두 번째부터 시작하여 이전 항에 동일한 숫자를 곱한 것과 같습니다.)
5. 공식 N-기하학적 진행의 두 번째 멤버( 
)
6. 첫 번째 합에 대한 공식 N기하학적 진행의 구성원. ( 
)
7. 아직도 어떤 공식을 알고 있습니까?
(
, 어디 
; 
; 
; 
, 
)
5. 기하학적 진행을 위해 
다섯 번째 항을 찾으십시오. 
6. 기하학적 진행을 위해 찾기 N-번째 멤버. 
7. 기하급수적으로 비 3 = 8 그리고 비 5 = 2 . 찾다 비 4 . (4)
8. 기하급수적으로 비
3
= 8
그리고 비
5
= 2
. 찾다 비
1
그리고
큐
. 
9. 기하급수적으로 비 3 = 8 그리고 비 5 = 2 . 찾다 에스 5 . (62)
III . 새로운 주제 탐색(시연 프레젠테이션).
한 변이 1인 정사각형을 생각해 봅시다. 한 변이 첫 번째 정사각형의 절반인 정사각형을 그리고 다른 정사각형을 그리고 그 변의 절반이 두 번째 정사각형인 정사각형을 그린 다음 다음 정사각형을 그리도록 합시다. 새 정사각형의 면이 이전 정사각형의 절반이 될 때마다.
결과적으로, 우리는 정사각형의 변의 시퀀스를 얻었습니다. 
분모로 기하학적 진행을 형성합니다.
그리고 매우 중요한 것은 그러한 정사각형을 더 많이 만들수록 정사각형의 측면이 더 작아질 것입니다. 예를 들어,
저것들. 숫자 n이 증가함에 따라 진행 조건은 0에 접근합니다.
이 그림의 도움으로 하나의 시퀀스를 더 고려할 수 있습니다.
예를 들어, 정사각형 영역의 순서는 다음과 같습니다.
. 그리고 다시 만약 N무한정 증가하면 영역이 임의로 0에 가까워집니다.
한 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 한 변이 1cm인 정삼각형. 삼각형 정중선 정리에 따라 첫 번째 삼각형의 변의 중점에 꼭짓점이 있는 다음 삼각형을 구성해 보겠습니다. 두 번째 변은 첫 번째 변의 절반과 같고, 세 번째 변은 변의 절반입니다. 2차 등 다시 우리는 삼각형의 변의 길이 시퀀스를 얻습니다.
~에 
.
음의 분모를 가진 기하학적 진행을 고려한다면.
그러면 다시 숫자가 늘어나면서 N진행 조건은 0에 접근합니다.
이 수열의 분모에 주목합시다. 모든 곳에서 분모는 1 모듈로 미만이었습니다.
분모의 계수가 1보다 작으면 기하학적 진행이 무한히 감소한다는 결론을 내릴 수 있습니다.
정의:
기하학적 진행은 분모의 계수가 1보다 작으면 무한히 감소한다고 합니다. 
.
정의의 도움으로 기하학적 진행이 무한히 감소하는지 여부에 대한 질문을 해결할 수 있습니다.
작업
다음 공식으로 주어지면 시퀀스는 무한히 감소하는 기하학적 진행입니다.
; 
.
해결책:
. 찾자 큐
.
; 
; 
; 
.
이 기하학적 진행은 무한히 감소하고 있습니다.
비)이 시퀀스는 무한히 감소하는 기하학적 진행이 아닙니다.
한 변이 1인 정사각형을 고려하십시오. 반으로 나누고 반 중 하나를 다시 반으로 나누는 식으로 진행합니다. 모든 결과 직사각형의 영역은 무한히 감소하는 기하학적 진행을 형성합니다. 
이 방법으로 얻은 모든 직사각형의 면적의 합은 첫 번째 정사각형의 면적과 같고 1과 같습니다. 
수업의 목적: 학생들에게 새로운 종류의 시퀀스를 소개하는 것 - 무한히 감소하는 기하학적 진행.
작업:
숫자 시퀀스의 한계에 대한 초기 아이디어의 공식화;
무한히 감소하는 기하학적 진행의 합에 대한 공식을 사용하여 무한 주기 분수를 일반 분수로 변환하는 또 다른 방법에 대해 알고 있습니다.
논리적 사고, 평가 행동 능력, 일반화와 같은 학생 성격의 지적 자질 개발;
활동 교육, 상호 지원, 집단주의, 주제에 대한 관심.
다운로드:
시사:
관련 수업 "무한하게 감소하는 기하학적 진행"(대수학, 10 학년)
수업의 목적: 무한히 감소하는 기하학적 진행 - 새로운 종류의 시퀀스를 학생들에게 소개합니다.
작업:
숫자 시퀀스의 한계에 대한 초기 아이디어의 공식화; 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합에 대한 공식을 사용하여 무한 주기 분수를 일반 분수로 변환하는 또 다른 방법에 대해 알고 있습니다.
논리적 사고, 평가 행동 능력, 일반화와 같은 학생 성격의 지적 자질 개발;
활동 교육, 상호 지원, 집단주의, 주제에 대한 관심.
장비: 컴퓨터 수업, 프로젝터, 스크린.
수업 유형: 수업 - 새로운 주제 마스터하기.
수업 중
I. 조직 순간. 수업의 주제와 목적에 대한 메시지.
Ⅱ. 학생들의 지식을 업데이트합니다.
9학년 때, 당신은 산술과 기하학적 진행을 공부했습니다.
질문
1. 산술 진행의 정의.
(산술 진행은 각 구성원이,
두 번째부터 시작하여 이전 항과 동일하며 동일한 숫자가 추가됨).
2. 공식 n - 산술 진행의 멤버
3. 첫 번째 합에 대한 공식 N 산술 진행의 구성원입니다.
( 또는 )
4. 기하학적 진행의 정의.
(기하학적 진행은 0이 아닌 숫자의 시퀀스입니다.
두 번째부터 시작하는 각 항은 이전 항과 같으며 다음을 곱합니다.
같은 숫자).
5. 공식 n 기하학적 진행의 th 항
6. 첫 번째 합에 대한 공식 N 기하학적 진행의 구성원.
7. 아직도 어떤 공식을 알고 있습니까?
(, 어디 ; ;
; , )
작업
1. 산술 진행은 공식으로 주어집니다. n = 7 - 4n. 10을 찾으십시오. (-33)
2. 산술 진행 a 3 = 7 및 a 5 = 1 . 찾기 4 . (4)
3. 산술 진행 a 3 = 7 및 a 5 = 1 . 17을 찾으십시오. (-35)
4. 산술 진행 a 3 = 7 및 a 5 = 1 . 찾기 S 17 . (-187)
5. 기하학적 진행을 위해다섯 번째 항을 찾으십시오.
6. 기하학적 진행을 위해 n번째 항을 찾습니다.
7. 기하급수적으로 b 3 = 8 및 b 5 = 2 . b 4 를 찾습니다. (4)
8. 기하급수적으로 b 3 = 8 및 b 5 = 2 . b 1 과 q 를 구합니다.
9. 기하급수적으로 b 3 = 8 및 b 5 = 2 . 찾기 S 5 . (62)
III. 새로운 주제 탐색(시연 프레젠테이션).
한 변이 1인 정사각형을 생각해 봅시다. 한 변이 첫 번째 정사각형의 절반인 정사각형을 그리고 다른 정사각형을 그리고 그 변의 절반이 두 번째 정사각형인 정사각형을 그린 다음 다음 정사각형을 그리도록 합시다. 새 정사각형의 면이 이전 정사각형의 절반이 될 때마다.
결과적으로, 우리는 정사각형의 변의 시퀀스를 얻었습니다.분모로 기하학적 진행을 형성.
그리고 매우 중요한 것은 그러한 정사각형을 더 많이 만들수록 정사각형의 측면이 더 작아질 것입니다.예를 들어 ,
저것들. 숫자 n이 증가함에 따라 진행 조건은 0에 접근합니다.
이 그림의 도움으로 하나의 시퀀스를 더 고려할 수 있습니다.
예를 들어, 정사각형 영역의 순서는 다음과 같습니다.
그리고 다시, 만약 n 무한정 증가하면 영역이 임의로 0에 가까워집니다.
한 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 한 변이 1cm인 정삼각형. 삼각형 정중선 정리에 따라 첫 번째 삼각형의 변의 중점에 꼭짓점이 있는 다음 삼각형을 구성해 보겠습니다. 두 번째 변은 첫 번째 변의 절반과 같고, 세 번째 변은 변의 절반입니다. 2차 등 다시 우리는 삼각형의 변의 길이 시퀀스를 얻습니다.
에 .
음의 분모를 가진 기하학적 진행을 고려한다면.
그러면 다시 숫자가 늘어나면서 N 진행 조건은 0에 접근합니다.
이 수열의 분모에 주목합시다. 모든 곳에서 분모는 1 모듈로 미만이었습니다.
분모의 계수가 1보다 작으면 기하학적 진행이 무한히 감소한다는 결론을 내릴 수 있습니다.
전면 작업입니다.
정의:
기하학적 진행은 분모의 계수가 1보다 작으면 무한히 감소한다고 합니다..
정의의 도움으로 기하학적 진행이 무한히 감소하는지 여부에 대한 질문을 해결할 수 있습니다.
작업
다음 공식으로 주어지면 시퀀스는 무한히 감소하는 기하학적 진행입니다.
해결책:
q를 찾아보자.
; ; ; .
이 기하학적 진행은 무한히 감소하고 있습니다.
비) 이 시퀀스는 무한히 감소하는 기하학적 진행이 아닙니다.
한 변이 1인 정사각형을 고려하십시오. 반으로 나누고 반 중 하나를 다시 반으로 나누는 식으로 진행합니다. 모든 결과 직사각형의 영역은 무한히 감소하는 기하학적 진행을 형성합니다.
이 방법으로 얻은 모든 직사각형의 면적의 합은 첫 번째 정사각형의 면적과 같고 1과 같습니다.
그러나 이 평등의 왼쪽에는 무한한 수의 항의 합이 있습니다.
처음 n개의 항의 합을 고려하십시오.
기하학적 진행의 처음 n항의 합에 대한 공식에 따르면 다음과 같습니다..
만약 n 무한정 증가한다.
또는 . 따라서 즉. .
무한히 감소하는 기하학적 진행의 합시퀀스 제한이 있습니다 S 1 , S 2 , S 3 , … , S n , …
예를 들어 진행을 위해,
우리는
때문에
무한히 감소하는 기하학적 진행의 합공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.
III. 반성과 통합(작업 완료).
№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. 요약.
오늘은 어떤 순서로 만나셨나요?
무한히 감소하는 기하학적 진행을 정의합니다.
기하학적 진행이 무한히 감소함을 증명하는 방법은 무엇입니까?
무한히 감소하는 기하학적 진행의 합에 대한 공식을 제공하십시오.
V. 숙제.
2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
시사:
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슬라이드 캡션:
물리학자와 시인, 트랙터 운전자와 화학자 등 누구나 일관되게 생각하고, 결정적으로 판단하고, 잘못된 결론을 논박할 수 있어야 합니다. E.Kolman 수학에서는 공식이 아니라 사고의 과정을 기억해야 합니다. VP Ermakov 수학자를 속이는 것보다 원의 제곱을 찾는 것이 더 쉽습니다. 아우구스투스 드 모르간 어떤 과학이 수학보다 더 고귀하고 더 훌륭하고 인류에게 더 유용할 수 있겠습니까? 프랭클린
무한히 감소하는 기하학적 진행 등급 10
나. 산술 및 기하학적 진행. 질문 1. 산술 진행의 정의. 산술 진행은 두 번째부터 시작하여 각 항이 동일한 숫자에 더해진 이전 항과 동일한 수열입니다. 2. 산술 진행의 n번째 멤버의 공식. 3. 산술 진행의 처음 n개 요소의 합에 대한 공식. 4. 기하학적 진행의 정의. 기하학적 진행은 0이 아닌 숫자의 시퀀스로, 각 구성원은 두 번째부터 시작하여 이전 구성원에 동일한 숫자 5를 곱한 것과 같습니다. 기하학적 진행의 n번째 구성원 공식입니다. 6. 기하학적 진행의 처음 n개 요소의 합에 대한 공식.
Ⅱ. 산술 진행. 과제 산술 진행은 a n = 7 – 4 n Find a 10 공식으로 제공됩니다. (-33) 2. 산술 진행에서 a 3 = 7 및 a 5 = 1 . 찾기 4 . (4) 3. 산술 진행에서 a 3 = 7 및 a 5 = 1 . 17을 찾으십시오. (-35) 4. 산술 진행에서 a 3 = 7 및 a 5 = 1 . 찾기 S 17 . (-187)
Ⅱ. 기하학적 진행. 과제 5. 기하급수적으로는 5번째 항을 구합니다. 6. 기하급수적으로는 n번째 항을 구합니다. 7. 기하급수적으로 b 3 = 8이고 b 5 = 2입니다. b 4 를 찾습니다. (4) 8. 기하학적 진행에서 b 3 = 8 및 b 5 = 2 . b 1 과 q 를 구합니다. 9. 기하학적 진행에서 b 3 = 8 및 b 5 = 2. 찾기 S 5 . (62)
정의: 기하학적 진행은 분모의 계수가 1보다 작으면 무한히 감소한다고 합니다.
문제 №1은 다음 공식으로 주어지면 무한히 감소하는 기하학적 진행입니다. 솔루션: a) 이 기하학적 진행은 무한히 감소합니다. b) 이 시퀀스는 무한히 감소하는 기하학적 진행이 아닙니다.
무한히 감소하는 기하학적 진행의 합은 시퀀스 S 1 , S 2 , S 3 , … , S n , … 의 극한입니다. 예를 들어, 진행의 경우 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.
작업 완료 첫 번째 항 3, 두 번째 0.3으로 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합을 찾습니다. 2. 제13호 14번; 교과서, p.138 3. No. 15(1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. 제19호 20번.
오늘은 어떤 순서로 만나셨나요? 무한히 감소하는 기하학적 진행을 정의합니다. 기하학적 진행이 무한히 감소함을 증명하는 방법은 무엇입니까? 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합에 대한 공식을 제공하십시오. 질문
유명한 폴란드 수학자 Hugo Steinghaus는 농담으로 다음과 같이 공식화된 법칙이 있다고 주장합니다. 수학자가 더 잘할 것입니다. 즉, 한 명은 수학자인 두 사람에게 그들이 모르는 작업을 수행하도록 위임하면 결과는 항상 다음과 같습니다. 수학자가 더 잘 수행할 것입니다. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972
첫 번째 수준
기하학적 진행. 예시가 포함된 종합 가이드(2019)
숫자 시퀀스
자, 이제 앉아서 몇 가지 숫자를 쓰기 시작하겠습니다. 예를 들어:
아무 숫자나 쓸 수 있으며 원하는 만큼 숫자를 입력할 수 있습니다(이 경우에는 숫자). 우리가 얼마나 많은 숫자를 쓰든, 우리는 항상 그 중 어느 것이 첫 번째인지, 어느 것이 두 번째인지, 마지막까지 계속 말할 수 있습니다. 즉, 우리는 번호를 매길 수 있습니다. 다음은 숫자 시퀀스의 예입니다.
숫자 시퀀스는 각각 고유한 번호를 할당할 수 있는 일련의 숫자입니다.
예를 들어 시퀀스의 경우:
할당된 번호는 하나의 시퀀스 번호에만 해당됩니다. 즉, 시퀀스에 3초 숫자가 없습니다. 두 번째 숫자(-th 숫자와 같은)는 항상 동일합니다.
숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 -번째 멤버라고 합니다.
우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 어떤 문자(예:)라고 부르고 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.
우리의 경우:
가장 일반적인 진행 유형은 산술 및 기하입니다. 이 주제에서는 두 번째 종류에 대해 이야기할 것입니다. 기하학적 진행.
기하학적 진행과 그 역사가 왜 필요한가요?
고대에도 이탈리아 수학자 피사의 승려 레오나르도(피보나치로 더 잘 알려짐)는 무역의 실질적인 필요를 다루었습니다. 스님은 물품의 무게를 측정하는 데 사용할 수 있는 가장 작은 무게의 수를 결정하는 작업에 직면해 있었습니다. 그의 글에서 피보나치는 그러한 가중치 시스템이 최적임을 증명합니다. 이것은 사람들이 기하학적 진행을 다루어야 하는 첫 번째 상황 중 하나입니다. 이것은 여러분이 아마 들어봤을 것이고 적어도 일반적으로 알고 있을 것입니다. 주제를 완전히 이해했다면 왜 그러한 시스템이 최적인지 생각해 보십시오.
현재 생활 실습에서 이전 기간 동안 계정에 누적 된 금액에 대해이자 금액이 청구 될 때 은행에 돈을 투자 할 때 기하학적 진행이 나타납니다. 즉, 저축은행에 정기예금을 예치하면 1년 후에 예금이 원래 금액에서 증가합니다. 새 금액은 기여금을 곱한 값과 같습니다. 다른 해에는 이 금액이 증가할 것입니다. i.е. 그 때 얻은 금액에 다시 곱하는 식입니다. 유사한 상황이 소위 계산하는 문제에 설명되어 있습니다. 복리- 백분율은 이전 이자를 고려하여 계정에 있는 금액에서 매번 가져옵니다. 우리는 이러한 작업에 대해 잠시 후에 이야기할 것입니다.
기하학적 진행이 적용되는 더 많은 간단한 경우가 있습니다. 예를 들어, 인플루엔자의 확산: 한 사람이 사람을 감염시키고, 차례로 다른 사람을 감염시켰고, 따라서 두 번째 감염 파동-사람과 그들은 차례로 다른 사람을 감염시켰습니다... 등등 .. .
그건 그렇고, 같은 MMM인 금융 피라미드는 기하학적 진행의 속성에 따른 단순하고 건조한 계산입니다. 흥미로운? 알아봅시다.
기하학적 진행.
숫자 시퀀스가 있다고 가정해 보겠습니다.
당신은 그것이 쉽고 그러한 수열의 이름이 그 구성원의 차이를 갖는 산술적 수열이라고 대답할 것입니다. 다음과 같은 것은 어떻습니까?
다음 숫자에서 이전 숫자를 빼면 새로운 차이(등)를 얻을 때마다 시퀀스가 확실히 존재하고 쉽게 알아차릴 수 있음을 알 수 있습니다. 각 다음 숫자는 이전 숫자보다 몇 배 더 큽니다. !
이러한 유형의 시퀀스를 기하학적 진행하고 표시됩니다.
기하 수열( )은 첫 번째 항이 0과 다르고 두 번째 항부터 시작하는 각 항이 이전 항과 같으며 같은 수를 곱한 수열입니다. 이 숫자를 기하학적 진행의 분모라고 합니다.
첫 번째 항( )이 같지 않고 랜덤하지 않다는 제약 조건입니다. 아무 것도 없고 첫 번째 항이 여전히 동일하고 q가 hmm .. let이라고 가정해 보겠습니다. 그러면 다음과 같이 나타납니다.
이것은 진전이 없다는 데 동의합니다.
알다시피, 0이 아닌 다른 숫자인 경우에도 동일한 결과를 얻습니다. 이 경우 전체 숫자 시리즈는 모두 0이거나 하나의 숫자이고 나머지는 모두 0이기 때문에 단순히 진행이 없습니다.
이제 기하학적 진행의 분모, 즉 약에 대해 더 자세히 이야기합시다.
반복합시다 : - 이것은 숫자입니다. 각 후속 용어가 변경되는 횟수기하학적 진행.
그것이 무엇이라고 생각합니까? 맞습니다. 양수와 음수입니다. 하지만 0은 아닙니다(우리는 이에 대해 조금 더 높게 이야기했습니다).
우리가 긍정적 인 것을 가지고 있다고 가정 해 봅시다. 우리의 경우를 보자. 두 번째 항은 무엇이며? 다음과 같이 쉽게 대답할 수 있습니다.
괜찮아. 따라서 진행의 모든 후속 구성원이 동일한 기호를 갖는 경우 - 긍정적 인.
음수라면? 예를 들어, 두 번째 항은 무엇이며?
완전히 다른 이야기야
이 진행의 기간을 계산하십시오. 얼마 받았어요? 나는 가지고있다. 따라서, 그렇다면 기하학적 진행 조건의 기호가 번갈아 나타납니다. 즉, 구성원의 부호가 번갈아 가며 진행되는 경우 분모는 음수입니다. 이 지식은 이 주제에 대한 문제를 해결할 때 자신을 테스트하는 데 도움이 될 수 있습니다.
이제 조금 연습해 봅시다. 어떤 숫자 시퀀스가 기하 수열이고 어떤 것이 산술 시퀀스인지 확인하려고 합니다.
알았다? 답변 비교:
- 기하학적 진행 - 3, 6.
- 산술 진행 - 2, 4.
- 1, 5, 7과 같이 산술이나 기하학적 진행이 아닙니다.
마지막 진행으로 돌아가서 산술에서와 같은 방식으로 용어를 찾아 보겠습니다. 짐작하셨겠지만 두 가지 방법으로 찾을 수 있습니다.
우리는 각 항을 연속적으로 곱합니다.
따라서 설명 된 기하학적 진행의 - 번째 멤버는 동일합니다.
이미 추측했듯이 이제 기하학적 진행의 모든 구성원을 찾는 데 도움이 되는 공식을 도출할 수 있습니다. 아니면 단계적으로 th 멤버를 찾는 방법을 설명하면서 이미 직접 가져오셨나요? 그렇다면 추론의 정확성을 확인하십시오.
이 진행의 -번째 멤버를 찾는 예를 통해 이를 설명하겠습니다.
다시 말해:
주어진 기하학적 진행의 구성원의 가치를 찾으십시오.
일어난? 답변 비교:
기하학적 진행의 각 이전 구성원을 연속적으로 곱할 때 이전 방법에서와 정확히 동일한 숫자를 얻었다는 점에 유의하십시오.
이 공식을 "비인격화"해 보겠습니다. 일반 형식으로 가져와 다음을 얻습니다.
파생 공식은 양수와 음수 모든 값에 대해 참입니다. 다음 조건으로 기하학적 진행의 항을 계산하여 직접 확인하십시오. , a.
계산하셨나요? 결과를 비교해 보겠습니다.
회원과 같은 방법으로 진행의 회원을 찾는 것이 가능하지만 오산의 가능성이 있음에 동의하십시오. 그리고 기하학적 진행의 항을 이미 찾았다면 공식의 "잘린" 부분을 사용하는 것보다 더 쉬울 수 있습니다.
무한히 감소하는 기하학적 진행.
더 최근에 우리는 0보다 크거나 작을 수 있는 것에 대해 이야기했지만 기하학적 진행이라고 불리는 특별한 값이 있습니다 무한히 감소.
왜 그런 이름이 있다고 생각합니까?
먼저, 멤버로 구성된 몇 가지 기하학적 진행을 적어 보겠습니다.
그렇다면 다음과 같이 가정해 보겠습니다.
각 후속 항이 이전 항보다 적지만 숫자가 있습니까? 당신은 즉시 "아니오"라고 대답합니다. 이것이 무한 감소가 감소하고 감소하지만 결코 0이되지 않는 이유입니다.
이것이 시각적으로 어떻게 보이는지 명확하게 이해하기 위해 진행 상황을 그래프로 그려봅시다. 따라서 우리의 경우 수식은 다음 형식을 취합니다.
차트에서 우리는 의존성을 구축하는 데 익숙합니다.
표현식의 본질은 변경되지 않았습니다. 첫 번째 항목에서 서수에 대한 기하 진행 요소 값의 종속성을 보여 주었고 두 번째 항목에서 단순히 기하 진행 요소의 값을 취했습니다. 서수는 as가 아니라 as로 지정되었습니다. 그래프를 그리는 일만 남았습니다.
당신이 무엇을 얻었는지 보자. 내가 얻은 차트는 다음과 같습니다.
보다? 함수는 감소하고 0이 되는 경향이 있지만 절대 교차하지 않으므로 무한히 감소합니다. 그래프에 포인트를 표시하고 동시에 좌표와 의미는 다음과 같습니다.
첫 번째 항도 같은 경우 기하학적 진행의 그래프를 도식적으로 묘사하십시오. 이전 차트와 어떤 차이점이 있는지 분석해 보세요.
관리하셨나요? 내가 얻은 차트는 다음과 같습니다.
기하 진행 주제의 기본 사항을 완전히 이해했으므로 이것이 무엇인지, 용어를 찾는 방법 및 무한히 감소하는 기하 진행이 무엇인지도 알았으므로 주요 속성으로 이동하겠습니다.
기하학적 진행의 속성.
산술 진행의 구성원의 속성을 기억합니까? 예, 예, 이 진행의 구성원의 이전 및 이후 값이 있을 때 특정 수의 진행 값을 찾는 방법. 기억나요? 이:
이제 우리는 기하학적 진행의 조건에 대해 정확히 동일한 질문에 직면해 있습니다. 그러한 공식을 도출하기 위해 그리기와 추론을 시작합시다. 매우 쉽습니다. 잊어버린 경우 직접 꺼낼 수 있습니다.
우리가 알고 있는 또 다른 간단한 기하학적 진행을 살펴보겠습니다. 찾는 방법? 산술 진행으로 이것은 쉽고 간단하지만 여기에서는 어떻습니까? 사실, 기하학에서도 복잡한 것은 없습니다. 공식에 따라 우리에게 주어진 각 값을 칠하기만 하면 됩니다.
당신은 묻습니다. 이제 우리는 그것으로 무엇을 합니까? 예, 매우 간단합니다. 먼저 이 공식을 그림으로 표현하고 값에 도달하기 위해 다양한 조작을 시도해 보겠습니다.
우리는 주어진 숫자에서 추상화하고 공식을 통한 표현에만 집중할 것입니다. 인접한 용어를 알고 주황색으로 강조 표시된 값을 찾아야 합니다. 그 결과 우리가 얻을 수있는 다양한 행동을 시도합시다.
덧셈.
두 개의 표현식을 추가하고 다음을 얻습니다.
이 표현에서 보시다시피 어떤 식으로든 표현할 수 없으므로 다른 옵션인 빼기를 시도합니다.
빼기.
보시다시피 이것으로도 표현할 수 없으므로 이러한 표현을 서로 곱하려고합니다.
곱셈.
이제 우리가 가지고 있는 것을 주의 깊게 살펴보고 찾아야 할 것과 비교하여 우리에게 주어진 기하학적 진행의 항을 곱합니다.
내가 무슨 말을 하는지 맞춰봐? 올바르게, 그것을 찾으려면 서로 곱한 원하는 숫자에 인접한 기하학적 진행 숫자의 제곱근을 취해야 합니다.
여기 있습니다. 당신은 기하학적 진행의 속성을 추론했습니다. 이 공식을 일반적인 형태로 작성해 보십시오. 일어난?
언제 조건을 잊으셨습니까? 예를 들어, 에서 그것이 중요한 이유에 대해 생각해보십시오. 이 경우 어떻게 됩니까? 맞습니다. 공식은 다음과 같으므로 완전히 말도 안되는 소리입니다.
따라서 이 제한을 잊지 마십시오.
이제 무엇인지 계산해 봅시다.
정답 - ! 계산할 때 두 번째 가능한 값을 잊지 않았다면 훌륭한 동료이고 즉시 훈련을 진행할 수 있으며, 잊었다면 아래에서 분석한 내용을 읽고 답에 두 근을 모두 써야 하는 이유에 주목하세요. .
하나는 값이 있고 다른 하나는 값이 있는 기하학적 진행을 모두 그리고 둘 다 존재할 권리가 있는지 확인합니다.
이러한 기하학적 진행이 존재하는지 여부를 확인하려면 주어진 모든 구성원 간에 동일한지 확인해야 합니까? 첫 번째 및 두 번째 경우에 대해 q를 계산합니다.
왜 우리가 두 개의 답변을 작성해야 하는지 알 수 있습니까? 필요한 용어의 부호는 그것이 양수인지 음수인지에 달려 있기 때문입니다! 그리고 우리는 그것이 무엇인지 모르기 때문에 플러스와 마이너스로 답을 모두 써야합니다.
이제 요점을 마스터하고 기하학적 진행 속성에 대한 공식을 추론했으므로 찾고, 알고,
귀하의 답변을 올바른 답변과 비교하십시오.
원하는 숫자에 인접한 기하학적 진행의 구성원 값이 주어지지 않았지만 그와 같은 거리에 있다면 어떻게 될까요? 예를 들어, 우리는 찾아서 주어져야 합니다. 이 경우 파생된 공식을 사용할 수 있습니까? 처음부터 공식을 도출할 때와 마찬가지로 각 값이 무엇으로 구성되어 있는지 설명하면서 이 가능성을 동일한 방식으로 확인하거나 반박합니다.
무엇을 얻었습니까?
이제 다시 유심히 보세요.
그리고 그에 따라:
이것으로부터 우리는 공식이 작동한다는 결론을 내릴 수 있습니다 이웃과 뿐만 아니라기하학적 진행의 원하는 조건뿐만 아니라 등거리회원들이 찾는 것에서.
따라서 원래 공식은 다음과 같습니다.
즉, 첫 번째 경우에 우리가 그렇게 말했다면 이제 더 작은 자연수와 같을 수 있다고 말합니다. 가장 중요한 것은 주어진 두 숫자에 대해 동일해야 한다는 것입니다.
특정 예를 연습하고 극도로 주의하십시오!
- , . 찾다.
- , . 찾다.
- , . 찾다.
결정했다? 나는 당신이 매우 세심하고 작은 캐치를 발견했기를 바랍니다.
우리는 결과를 비교합니다.
처음 두 경우에 위의 공식을 침착하게 적용하고 다음 값을 얻습니다.
세 번째 경우에, 우리에게 주어진 번호의 일련 번호를 주의 깊게 고려하여, 우리가 찾고 있는 번호와 같은 거리에 있지 않다는 것을 이해합니다. 이전 번호이지만 위치에서 제거되었으므로 불가능합니다. 수식을 적용합니다.
그것을 해결하는 방법? 실제로는 보이는 것만큼 어렵지 않습니다! 우리에게 주어진 각 숫자와 원하는 숫자가 무엇으로 구성되어 있는지 적어 봅시다.
그래서 우리는 가지고 있습니다. 우리가 그들과 함께 무엇을 할 수 있는지 보자. 분할을 제안합니다. 우리는 다음을 얻습니다:
데이터를 다음 공식으로 대체합니다.
우리가 찾을 수 있는 다음 단계 - 이를 위해 결과 숫자의 세제곱근을 취해야 합니다.
이제 우리가 가진 것을 다시 살펴봅시다. 우리는 가지고 있지만 찾을 필요가 있으며 차례로 다음과 같습니다.
계산에 필요한 모든 데이터를 찾았습니다. 공식을 다음과 같이 대체하십시오.
우리의 대답: .
다른 동일한 문제를 직접 해결해 보십시오.
주어진: ,
찾다:
얼마 받았어요? 나는 가지고있다 - .
보시다시피 실제로 필요합니다. 하나의 공식만 기억하세요- . 나머지는 모두 어려움 없이 언제든지 스스로 철회할 수 있습니다. 이렇게하려면 종이에 가장 간단한 기하학적 진행을 쓰고 위의 공식에 따라 각 숫자가 동일한 것을 적어 두십시오.
기하학적 진행의 항의 합.
이제 주어진 간격에서 기하학적 진행의 항의 합을 빠르게 계산할 수 있는 공식을 고려하십시오.
유한 기하 진행의 항의 합에 대한 공식을 도출하기 위해 위 방정식의 모든 부분을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다:
자세히 살펴보십시오. 마지막 두 공식의 공통점은 무엇입니까? 맞습니다. 예를 들어 첫 번째와 마지막 구성원을 제외한 일반 구성원 등입니다. 2차 방정식에서 1차 방정식을 빼도록 합시다. 무엇을 얻었습니까?
이제 기하학적 진행의 구성원의 공식을 통해 표현하고 결과 표현을 마지막 공식으로 대체하십시오.
식을 그룹화합니다. 다음을 얻어야 합니다.
표현하는 일만 남았습니다.
따라서 이 경우 .
만약? 그러면 어떤 공식이 작동합니까? 에서 기하학적 진행을 상상해보십시오. 그녀는 어떤가요? 일련의 동일한 숫자가 각각 올바르게 공식은 다음과 같습니다.
산술 및 기하학적 진행과 마찬가지로 많은 전설이 있습니다. 그 중 하나가 체스의 창시자 세스의 전설입니다.
많은 사람들이 체스 게임이 인도에서 발명되었다는 것을 알고 있습니다. 힌두교 왕이 그녀를 만났을 때, 그는 그녀의 재치와 그녀에게서 가능한 다양한 위치에 기뻐했습니다. 왕은 신하 중 한 사람이 그것을 발명했다는 것을 알게 되자 개인적으로 그에게 상을 주기로 결정했습니다. 그는 발명가를 불러 자신이 원하는 것은 무엇이든 물어보라고 명령했고, 가장 솜씨 있는 소원도 들어주겠다고 약속했습니다.
세타는 생각할 시간을 달라고 했고, 다음날 세타가 왕 앞에 나타났을 때, 세타는 비할 데 없이 겸손한 요청으로 왕을 놀라게 했다. 그는 체스판의 첫 번째 칸에 한 알의 밀을, 두 번째 칸에, 세 번째 칸에, 네 번째 칸에 밀 등을 요구했습니다.
왕은 화가 나서 Seth를 쫓아내며 그 종의 요청은 왕의 관대함을 받을 가치가 없다고 말했지만 종이 판자의 모든 칸에 대한 곡식을 받을 것이라고 약속했습니다.
이제 문제는 기하학적 진행의 구성원 합계에 대한 공식을 사용하여 Seth가 받아야 하는 곡물의 수를 계산하는 것입니다.
토론을 시작하겠습니다. 조건에 따라 Seth는 체스판의 첫 번째 셀에 대해 밀알을 요청했고, 두 번째 셀에 대해, 세 번째 셀에 대해, 네 번째 셀에 대해 등을 요청했기 때문에 문제는 기하급수적 진행에 관한 것임을 알 수 있습니다. 이 경우 평등은 무엇입니까?
오른쪽.
체스판의 총 셀입니다. 각각, . 우리는 모든 데이터를 가지고 있으며 공식에 대입하고 계산하는 것만 남아 있습니다.
주어진 숫자의 적어도 대략적인 "스케일"을 나타내기 위해 우리는 차수의 속성을 사용하여 변환합니다:
물론 원하는 경우 계산기를 사용하여 결과가 어떤 숫자인지 계산할 수 있으며, 그렇지 않은 경우 내 말을 받아들여야 합니다. 표현식의 최종 값은 다음과 같습니다.
즉:
5조조조조억억조.
Fuh) 이 숫자의 엄청난 양을 상상하고 싶다면 곡물의 전체 양을 수용하기 위해 필요한 헛간 크기를 추정하십시오.
헛간 높이가 m이고 너비가 m이면 길이가 km로 확장되어야 합니다. 지구에서 태양까지의 거리의 두 배.
왕이 수학에 강했다면 그는 과학자 자신에게 곡물을 세도록 제안할 수 있었습니다. 왜냐하면 100만 곡물을 세려면 최소한 하루는 지칠 줄 모르고 세어야 하기 때문입니다. 평생 동안 곡물을 세어야 했습니다.
이제 우리는 기하 진행의 항의 합에 대한 간단한 문제를 풀 것입니다.
5학년 학생인 Vasya는 독감에 걸렸지만 계속 학교에 다니고 있습니다. 매일 Vasya는 두 사람을 감염시키고, 차례로 두 사람을 더 감염시키는 식입니다. 한 반에 딱 한 명. 학급 전체가 독감에 걸리는 날은 며칠입니까?
따라서 기하학적 진행의 첫 번째 구성원은 Vasya, 즉 사람입니다. 기하급수적인 멤버로, 도착 첫날 감염시킨 두 사람이다. 진행 구성원의 총합은 학생 수 5A와 같습니다. 따라서 우리는 다음과 같은 진행 상황에 대해 이야기하고 있습니다.
기하학적 진행의 항의 합에 대한 공식으로 데이터를 대체해 보겠습니다.
학급 전체가 며칠 안에 아플 것입니다. 공식과 숫자를 믿지 않습니까? 학생들의 "감염"을 직접 묘사하십시오. 일어난? 나에게 어떻게 보이는지보십시오 :
모든 사람이 한 사람을 감염시키고 수업에 사람이 있다면 학생들이 독감에 걸리는 날을 스스로 계산하십시오.
어떤 가치를 얻었습니까? 모든 사람들이 하루가 지나면 아프기 시작하는 것으로 나타났습니다.
보시다시피, 그러한 작업과 그에 대한 그림은 피라미드와 비슷하며 각 후속 작업은 새로운 사람들을 "가져옵니다". 그러나 머지 않아 후자가 누구도 끌 수 없는 순간이 옵니다. 우리의 경우 클래스가 격리되어 있다고 상상하면 from의 사람이 체인()을 닫습니다. 따라서 한 사람이 다른 두 명의 참가자를 데려오면 돈이 주어진 금융 피라미드에 연루된 경우 그 사람(또는 일반적인 경우)은 각각 아무도 데려오지 않고 이 금융 사기에 투자한 모든 것을 잃을 것입니다 .
위에서 말한 모든 것은 기하학적 진행이 감소하거나 증가하는 것을 의미하지만, 기억하시겠지만 우리에게는 특별한 종류가 있습니다. 즉 무한히 감소하는 기하학적 진행이 있습니다. 구성원의 합계를 계산하는 방법은 무엇입니까? 그리고 이러한 유형의 진행에 특정 기능이 있는 이유는 무엇입니까? 함께 알아봅시다.
따라서 우선 다음 예제에서 무한히 감소하는 기하학적 진행의 그림을 다시 살펴보겠습니다.
이제 조금 더 일찍 파생된 기하학적 진행의 합에 대한 공식을 살펴보겠습니다.
또는
우리는 무엇을 위해 노력하고 있습니까? 맞습니다. 그래프는 0에 가까운 경향이 있음을 보여줍니다. 즉, 식을 계산할 때 각각 거의 같을 때 거의 얻을 수 있습니다. 이와 관련하여 우리는 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합을 계산할 때 이 대괄호가 동일할 것이기 때문에 무시할 수 있다고 믿습니다.
- 공식은 무한히 감소하는 기하학적 진행의 항의 합입니다.
중요한!조건이 명시적으로 합을 찾아야 한다고 명시하는 경우에만 무한히 감소하는 기하학적 진행의 항의 합에 대한 공식을 사용합니다. 끝없는회원 수.
특정 숫자 n이 표시되면 또는 경우에도 n항의 합에 대한 공식을 사용합니다.
그리고 이제 연습을 해보자.
- 및를 사용하여 기하 진행의 첫 번째 항의 합을 구합니다.
- 및를 사용하여 무한히 감소하는 기하 진행의 항의 합을 찾으십시오.
나는 당신이 매우 조심하기를 바랍니다. 답변 비교:
이제 기하학적 진행에 대한 모든 것을 알았고 이론에서 실습으로 이동할 때입니다. 시험에서 발견되는 가장 일반적인 지수 문제는 복리 문제입니다. 우리가 이야기 할 것은 그들에 관한 것입니다.
복리 이자를 계산하는 문제.
복리식이라는 말을 들어보셨을 겁니다. 그녀가 무엇을 의미하는지 이해합니까? 그렇지 않다면, 그 과정 자체를 깨닫고 기하학적 진행이 그것과 어떤 관련이 있는지 즉시 이해할 것이기 때문에 알아내자.
우리는 모두 은행에 가서 예금에 대한 다른 조건이 있음을 알고 있습니다. 이것은 기간과 추가 유지 관리 및 간단하고 복잡한 두 가지 다른 계산 방법을 사용하는이자입니다.
에서 단순한 호기심모든 것이 다소 명확합니다. 이자는 예금 기간이 끝날 때 한 번 부과됩니다. 즉, 연간 100루블을 넣는 것에 대해 이야기하는 경우 연말에만 적립됩니다. 따라서 보증금이 끝날 때까지 루블을 받게됩니다.
복리는 옵션입니다 이자 대문자, 즉. 예금 금액에 추가하고 초기 소득이 아닌 누적 예금 금액에서 소득을 계산합니다. 대문자는 지속적으로 발생하지 않지만 일정 주기로 발생합니다. 일반적으로 이러한 기간은 동일하며 대부분의 경우 은행은 월, 분기 또는 1년을 사용합니다.
우리가 연간 동일한 루블을 모두 넣지 만 보증금의 월간 대문자를 사용한다고 가정 해 봅시다. 우리는 무엇을 얻습니까?
여기 다 이해되시죠? 그렇지 않다면 차근차근 해보자.
우리는 은행에 루블을 가져왔습니다. 월말까지 우리 계정에 루블과 그에 대한 이자가 포함된 금액이 있어야 합니다.
동의하다?
대괄호에서 꺼내면 다음을 얻을 수 있습니다.
동의합니다. 이 공식은 이미 처음에 작성한 공식과 더 유사합니다. 백분율을 처리하는 것이 남아 있습니다.
문제의 상태에서 우리는 연간에 대해 이야기합니다. 아시다시피, 우리는 곱하지 않습니다. 백분율을 소수로 변환합니다. 즉,
오른쪽? 이제 당신은 그 번호가 어디에서 왔냐고 묻습니다. 매우 간단합니다!
나는 반복한다: 문제의 상태는 연간발생한 이자 월간 간행물. 아시다시피, 은행은 각각 1년 단위로 매월 연간 이자의 일부를 청구합니다.
알았어? 이제 이자가 매일 계산된다고 말하면 공식의 이 부분이 어떻게 생겼는지 작성해 보십시오.
관리하셨나요? 결과를 비교해 보겠습니다.
잘 했어! 우리의 작업으로 돌아가 봅시다. 누적 된 예금 금액에이자가 부과된다는 점을 고려하여 두 번째 달에 우리 계정에 얼마가 입금 될 것인지 적어 두십시오.
나에게 일어난 일은 다음과 같습니다.
또는 다른 말로:
나는 당신이 이미 패턴을 발견했고 이 모든 것에서 기하학적 진행을 보았다고 생각합니다. 회원이 무엇과 같을지, 즉 월말에 얼마나 많은 돈을 받게 될지 쓰십시오.
완료? 확인 중!
보시다시피 은행에 1년 동안 단리로 돈을 넣으면 루블을 받고 복리로 넣으면 루블을 받습니다. 이점은 작지만 이것은 1년 동안에만 발생하지만 장기간 동안 자본화는 훨씬 더 수익성이 있습니다.
다른 유형의 복리 문제를 고려하십시오. 당신이 알아 낸 후에 그것은 당신에게 기초가 될 것입니다. 따라서 작업은 다음과 같습니다.
Zvezda는 2000년 달러 자본으로 업계에 투자하기 시작했습니다. 2001년부터 매년 전년도 자본금에 해당하는 이익을 내고 있다. 만약 이익이 유통에서 인출되지 않았다면 Zvezda 회사는 2003년 말에 얼마나 많은 이익을 얻게 될까요?
2000년 Zvezda 회사의 수도.
- 2001년 Zvezda 회사의 수도.
- 2002년 Zvezda 회사의 수도.
- 2003년 Zvezda 회사의 수도.
또는 간단히 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
우리의 경우:
2000년, 2001년, 2002년, 2003년.
각기:
루블
이 문제에서는 백분율이 ANNUALLY로 주어지고 ANNUALLY로 계산되기 때문에 나눗셈이 없습니다. 즉, 복리 문제를 읽을 때 몇 퍼센트가 주어지는지, 어떤 기간에 청구되는지에주의를 기울이고 나서야 계산을 진행하십시오.
이제 기하학적 진행에 대한 모든 것을 알게 되었습니다.
훈련.
- 그것이 알려진 경우 기하학적 진행의 항을 찾고,
- 기하 진행의 첫 번째 항의 합을 구하고, 알고 있는 경우
- MDM Capital은 2003년 달러 자본으로 업계에 투자하기 시작했습니다. 그녀는 2004년부터 매년 전년도 자본금과 동일한 수익을 내고 있다. 회사 "MSK Cash Flows"는 2005년에 $10,000의 금액으로 업계에 투자하기 시작하여 2006년에 그 금액의 이익을 내기 시작했습니다. 2007년 말에 한 회사의 자본이 다른 회사의 자본을 얼마나 초과합니까? 만약 이윤이 유통에서 인출되지 않았다면?
대답:
- 문제의 조건이 진행이 무한하다고 말하지 않고 특정 구성원 수의 합을 찾아야 하기 때문에 계산은 다음 공식에 따라 수행됩니다.
회사 "MDM 캐피탈":2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- 100%, 즉 2배로 증가합니다.
각기:
루블
MSK 현금 흐름:2005년, 2006년, 2007년.
- 즉, 시간만큼 증가합니다.
각기:
루블
루블
요약해보자.
1) 기하 수열( )은 첫 번째 항이 0과 다른 숫자 시퀀스이며 두 번째 항부터 각 항은 이전 항과 같으며 같은 수를 곱한 것입니다. 이 숫자를 기하학적 진행의 분모라고 합니다.
2) 기하 진행의 구성원 방정식 -.
3) and를 제외한 모든 값을 사용할 수 있습니다.
- 그렇다면 진행의 모든 후속 구성원이 동일한 부호를 갖습니다. 긍정적 인;
- 그렇다면 진행의 모든 후속 멤버 대체 기호;
- 때 - 진행을 무한 감소라고 합니다.
4) , at - 기하학적 진행의 속성(이웃 멤버)
또는
, at (등거리 조건)
찾으면 잊지마세요 두 가지 답이 있어야 합니다..
예를 들어,
5) 기하학적 진행의 구성원의 합은 다음 공식으로 계산됩니다.
또는
진행이 무한히 감소하는 경우:
또는
중요한!조건이 무한 수의 항의 합을 찾는 것이 필요하다고 명시적으로 명시되어 있는 경우에만 무한히 감소하는 기하학적 진행의 항의 합에 대한 공식을 사용합니다.
6) 복리 이자에 대한 작업은 자금이 순환에서 인출되지 않은 경우 기하학적 진행의 th 구성원의 공식에 따라 계산됩니다.
기하학적 진행. 메인에 대한 간략한 소개
기하학적 진행( )는 첫 번째 항이 0과 다른 숫자 시퀀스이며 두 번째 항부터 시작하는 각 항은 이전 항과 같으며 동일한 숫자를 곱합니다. 이 번호는 기하학적 진행의 분모.
기하학적 진행의 분모 and를 제외한 모든 값을 사용할 수 있습니다.
- 그렇다면 진행의 모든 후속 구성원이 동일한 부호를 갖습니다. 그들은 양수입니다.
- 그렇다면 진행의 모든 후속 구성원은 기호를 대체합니다.
- 때 - 진행을 무한 감소라고 합니다.
기하학적 진행의 구성원 방정식 - .
기하학적 진행의 항의 합공식에 의해 계산:
또는
산수와 함께 기하학적 진행은 9학년의 학교 대수학 과정에서 공부하는 중요한 숫자 시리즈입니다. 이 기사에서는 기하학적 진행의 분모와 그 값이 속성에 미치는 영향을 고려할 것입니다.
기하학적 진행의 정의
우선, 이 숫자 시리즈의 정의를 제공합니다. 기하학적 진행은 첫 번째 요소에 분모라는 상수를 연속적으로 곱하여 형성되는 일련의 유리수입니다.
예를 들어 시리즈 3, 6, 12, 24, ...의 숫자는 기하학적 진행입니다. 왜냐하면 3(첫 번째 요소)에 2를 곱하면 6이 되기 때문입니다. 6에 2를 곱하면 다음을 얻습니다. 12 등이 있습니다.
고려 중인 시퀀스의 구성원은 일반적으로 기호 ai로 표시되며, 여기서 i는 시리즈의 요소 수를 나타내는 정수입니다.
진행에 대한 위의 정의는 수학 언어로 다음과 같이 작성할 수 있습니다. a = bn-1 * a1, 여기서 b는 분모입니다. 이 공식을 확인하는 것은 쉽습니다. n = 1이면 b1-1 = 1이고 a1 = a1이 됩니다. n = 2이면 = b * a1이고 다시 고려 중인 일련의 숫자 정의에 도달합니다. n의 큰 값에 대해서도 유사한 추론을 계속할 수 있습니다.
기하학적 진행의 분모
숫자 b는 전체 숫자 시리즈가 가질 문자를 완전히 결정합니다. 분모 b는 양수, 음수 또는 1보다 크거나 작을 수 있습니다. 위의 모든 옵션은 다른 시퀀스로 이어집니다.
- b > 1. 유리수가 증가하고 있습니다. 예를 들어, 1, 2, 4, 8, ... 요소 a1이 음수이면 전체 시퀀스는 모듈로만 증가하지만 숫자의 부호를 고려하면 감소합니다.
- b = 1. 일반적으로 동일한 유리수 시리즈가 있기 때문에 이러한 경우를 진행이라고 하지 않습니다. 예: -4, -4, -4.
합계 공식
고려 중인 진행 유형의 분모를 사용하여 특정 문제를 고려하기 전에 처음 n개 요소의 합에 대한 중요한 공식이 주어져야 합니다. 공식은 Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1)입니다.
진행 멤버의 재귀 시퀀스를 고려하면 이 표현식을 직접 얻을 수 있습니다. 또한 위의 공식에서 임의의 개수의 항의 합을 구하려면 첫 번째 요소와 분모만 알면 충분합니다.
무한히 감소하는 수열
무엇인지에 대한 설명이 위에 있었습니다. 이제 Sn의 공식을 알았으니 이 수열에 적용해 봅시다. 계수가 1을 초과하지 않는 숫자는 큰 거듭제곱으로 올릴 때 0이 되는 경향이 있으므로, 즉 -1이면 b∞ => 0입니다.
차이 (1 - b)는 분모 값에 관계없이 항상 양수이므로 무한히 감소하는 기하 진행 S∞의 합계 부호는 첫 번째 요소 a1의 부호에 의해 고유하게 결정됩니다.
이제 우리는 획득한 지식을 특정 숫자에 적용하는 방법을 보여줄 몇 가지 문제를 고려할 것입니다.
작업 번호 1. 진행 및 합계의 알려지지 않은 요소 계산
기하학적 진행이 주어지면 진행의 분모는 2이고 첫 번째 요소는 3입니다. 7번째와 10번째 항은 무엇이며 7개의 초기 요소의 합은 얼마입니까?
문제의 조건은 매우 간단하며 위의 공식을 직접 사용합니다. 따라서 숫자 n을 가진 요소를 계산하기 위해 표현식 a = bn-1 * a1을 사용합니다. 7번째 요소에 대해 a7 = b6 * a1, 알려진 데이터를 대입하면 다음을 얻습니다. a7 = 26 * 3 = 192. 10번째 요소에 대해서도 동일한 작업을 수행합니다: a10 = 29 * 3 = 1536.
합계에 대해 잘 알려진 공식을 사용하고 계열의 처음 7개 요소에 대해 이 값을 결정합니다. S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381입니다.
작업 번호 2. 진행의 임의 요소의 합계 결정
-2를 지수 진행 bn-1 * 4의 분모라고 하자. 여기서 n은 정수입니다. 이 시리즈의 5 번째에서 10 번째 요소까지의 합계를 결정해야합니다.
제기된 문제는 알려진 공식을 사용하여 직접 해결할 수 없습니다. 2가지 다른 방법으로 해결할 수 있습니다. 완전성을 위해 우리는 둘 다 제시합니다.
방법 1. 아이디어는 간단합니다. 첫 번째 항의 해당하는 두 합을 계산한 다음 하나에서 다른 항을 빼야 합니다. 더 작은 합계 계산: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. 이제 큰 합계를 계산합니다. S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20입니다. 마지막 식에서는 문제의 조건에 따라 계산해야 하는 합계에 5번째 항목이 이미 포함되어 있으므로 4개 항목만 합산했습니다. 마지막으로 S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344의 차이를 취합니다.
방법 2. 숫자를 대입하고 계산하기 전에 해당 계열의 항 m과 n 사이의 합계에 대한 공식을 얻을 수 있습니다. 우리는 방법 1에서와 똑같은 방식으로 행동합니다. 단지 먼저 합계의 상징적 표현으로 작업합니다. Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . 알려진 숫자를 결과 표현식으로 대체하고 최종 결과를 계산할 수 있습니다. S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
작업 번호 3. 분모는 무엇입니까?
a1 = 2라고 하고 무한 합이 3이고 이것이 감소하는 일련의 숫자라는 것이 알려져 있는 경우 기하학적 진행의 분모를 찾습니다.
문제의 조건에 따라 어떤 공식을 사용하여 문제를 풀어야 하는지 추측하는 것은 어렵지 않습니다. 물론, 무한히 감소하는 진행의 합을 위해. 우리는 다음을 가지고 있습니다: S∞ = a1 / (1 - b). 분모를 표현하는 곳: b = 1 - a1 / S∞. 알려진 값을 대체하고 필요한 숫자를 얻는 것이 남아 있습니다: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 또는 -0.333 (3). 이러한 유형의 시퀀스에 대해 계수 b가 1을 넘어서는 안 된다는 것을 기억한다면 이 결과를 정성적으로 확인할 수 있습니다. 보시다시피 |-1 / 3|
작업 번호 4. 일련 번호 복원
숫자 시리즈의 2개의 요소가 주어졌다고 가정해 보겠습니다. 예를 들어 5번째는 30이고 10번째는 60입니다. 이러한 데이터에서 전체 시리즈를 복원할 필요가 있습니다. 이 데이터가 기하학적 진행의 속성을 충족한다는 것을 알고 있기 때문입니다.
문제를 해결하려면 먼저 알려진 각 구성원에 대해 해당 표현식을 기록해야 합니다. a5 = b4 * a1 및 a10 = b9 * a1이 있습니다. 이제 두 번째 표현식을 첫 번째 표현식으로 나누면 a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5가 됩니다. 여기에서 문제의 조건 b = 1.148698에서 알려진 구성원 비율의 5차 근을 취하여 분모를 결정합니다. 결과 숫자를 알려진 요소에 대한 표현식 중 하나로 대체하면 a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966을 얻습니다.
따라서, 우리는 진행 bn의 분모가 무엇인지, 기하학적 진행 bn-1 * 17.2304966 = an을 찾았습니다. 여기서 b = 1.148698입니다.
기하학적 진행은 어디에 사용됩니까?
이 수치 계열을 실제로 적용하지 않으면 그 연구는 순전히 이론적인 관심으로 축소될 것입니다. 그러나 그러한 응용 프로그램이 있습니다.
가장 유명한 3가지 예는 다음과 같습니다.
- 민첩한 아킬레스가 느린 거북이를 따라잡을 수 없다는 제노의 역설은 무한히 감소하는 수열의 개념을 사용하여 해결됩니다.
- 밀알을 체스판의 각 셀에 배치하여 1개의 곡물을 1번째 셀에, 2개 - 2번째, 3개 - 3번째 등으로 배치하면 18446744073709551615개의 곡물이 모든 셀을 채우는 데 필요합니다. 보드!
- "하노이의 탑" 게임에서 한 막대에서 다른 막대로 디스크를 재배열하려면 2n - 1 작업을 수행해야 합니다.
모든 자연수가 N 실수와 일치 엔 , 다음 그들은 주어진 숫자 시퀀스 :
ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . , 엔 , . . . .
따라서 숫자 시퀀스는 자연 인수의 함수입니다.
숫자 ㅏ 1 ~라고 불리는 시퀀스의 첫 번째 멤버 , 숫자 ㅏ 2 — 시퀀스의 두 번째 멤버 , 숫자 ㅏ 3 — 제삼 등. 숫자 엔 ~라고 불리는 시퀀스의 n번째 멤버 , 그리고 자연수 N — 그의 번호 .
이웃 2명의 회원으로부터 엔 그리고 엔 +1 멤버 시퀀스 엔 +1 ~라고 불리는 후속 (쪽으로 엔 ), 하지만 엔 — 이전 (쪽으로 엔 +1 ).
시퀀스를 지정하려면 임의의 번호로 시퀀스 멤버를 찾을 수 있는 방법을 지정해야 합니다.
종종 순서는 다음과 같이 주어집니다. n번째 항 공식 , 즉 번호로 시퀀스 멤버를 결정할 수 있는 공식입니다.
예를 들어,
양의 홀수 시퀀스는 공식으로 주어질 수 있습니다.
엔= 2N- 1,
그리고 교대 순서 1 그리고 -1 - 공식
비 N = (-1)N +1 . ◄
순서를 결정할 수 있다 반복 공식, 즉, 일부에서 시작하여 이전(하나 이상의) 구성원을 통해 시퀀스의 모든 구성원을 표현하는 공식입니다.
예를 들어,
만약 ㅏ 1 = 1 , 하지만 엔 +1 = 엔 + 5
ㅏ 1 = 1,
ㅏ 2 = ㅏ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
ㅏ 3 = ㅏ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
ㅏ 4 = ㅏ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
ㅏ 5 = ㅏ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
만약에 1= 1, 2 = 1, 엔 +2 = 엔 + 엔 +1 , 숫자 시퀀스의 처음 7개 멤버는 다음과 같이 설정됩니다.
1 = 1,
2 = 1,
3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,
4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,
5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,
ㅏ 6 = ㅏ 4 + ㅏ 5 = 3 + 5 = 8,
ㅏ 7 = ㅏ 5 + ㅏ 6 = 5 + 8 = 13. ◄
시퀀스 수 결정적인 그리고 끝없는 .
시퀀스라고 하는 궁극적 인 제한된 수의 구성원이 있는 경우. 시퀀스라고 하는 끝없는 무한히 많은 구성원이 있는 경우.
예를 들어,
두 자리 자연수의 시퀀스:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
결정적인.
소수 시퀀스:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
끝없는. ◄
시퀀스라고 하는 증가 , 두 번째부터 시작하여 각 구성원이 이전 구성원보다 큰 경우.
시퀀스라고 하는 쇠약해지는 , 두 번째부터 시작하여 각 구성원이 이전 구성원보다 작은 경우.
예를 들어,
2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . 오름차순입니다.
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . 내림차순입니다. ◄
숫자가 증가함에 따라 요소가 감소하지 않거나 반대로 증가하지 않는 수열을 호출합니다. 단조로운 시퀀스 .
특히 단조 시퀀스는 증가 시퀀스와 감소 시퀀스입니다.
산술 진행
산술 진행 시퀀스가 호출되며, 각 멤버는 두 번째 멤버부터 시작하여 동일한 번호가 추가된 이전 멤버와 동일합니다.
ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . , 엔, . . .
임의의 자연수에 대한 산술 진행입니다. N 조건 충족:
엔 +1 = 엔 + 디,
어디 디 - 어떤 숫자.
따라서 주어진 산술 진행의 다음 요소와 이전 요소 간의 차이는 항상 일정합니다.
2 - ㅏ 1 = 3 - ㅏ 2 = . . . = 엔 +1 - 엔 = 디.
숫자 디 ~라고 불리는 산술 진행의 차이.
산술 진행을 설정하려면 첫 번째 항과 차를 지정하는 것으로 충분합니다.
예를 들어,
만약 ㅏ 1 = 3, 디 = 4 , 시퀀스의 처음 5개 항은 다음과 같이 찾습니다.
1 =3,
2 = 1 + 디 = 3 + 4 = 7,
3 = 2 + 디= 7 + 4 = 11,
4 = 3 + 디= 11 + 4 = 15,
ㅏ 5 = ㅏ 4 + 디= 15 + 4 = 19. ◄
첫 번째 항을 사용한 산술 진행의 경우 ㅏ 1 그리고 차이 디 그녀의 N
엔 = 1 + (N- 1)디.
예를 들어,
산술 진행의 30번째 항을 구하다
1, 4, 7, 10, . . .
1 =1, 디 = 3,
30 = 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = 1 + (N- 2)디,
엔= 1 + (N- 1)디,
엔 +1 = ㅏ 1 + nd,
그럼 분명히
| 엔=
| n-1 + n+1
|
| 2
|
두 번째부터 시작하여 산술 진행의 각 요소는 이전 및 후속 요소의 산술 평균과 같습니다.
숫자 a, b 및 c는 그 중 하나가 다른 둘의 산술 평균과 같은 경우에만 일부 산술 진행의 연속적인 구성원입니다.
예를 들어,
엔 = 2N- 7 , 는 산술 진행입니다.
위의 문장을 사용해보자. 우리는 다음을 가지고 있습니다:
엔 = 2N- 7,
n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,
n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.
따라서,
| n+1 + n-1
| =
| 2N- 5 + 2N- 9
| = 2N- 7 = 엔,
|
| 2
| 2
|
◄
참고 N - 산술 진행의 멤버는 다음을 통해서만 찾을 수 있는 것이 아닙니다. ㅏ 1 , 그러나 또한 이전 케이
엔 = 케이 + (N- 케이)디.
예를 들어,
~을위한 ㅏ 5 쓸 수 있다
5 = 1 + 4디,
5 = 2 + 3디,
5 = 3 + 2디,
5 = 4 + 디. ◄
엔 = 엔케이 + kd,
엔 = n+k - kd,
그럼 분명히
| 엔=
| ㅏ n-k
+a n+k
|
| 2
|
두 번째부터 시작하는 산술 진행의 모든 구성원은 이 산술 진행의 구성원 합계의 절반과 동일하게 간격을 두고 있습니다.
또한 모든 산술 진행에 대해 평등은 참입니다.
에이엠 + 엔 = 에이 k + 에르,
m + n = k + l.
예를 들어,
산술 진행에서
1) ㅏ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ㅏ 9 + ㅏ 11 )/2;
2) 28 = 10 = 3 + 7디= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) 2 + 12 = 5 + 9, 왜냐하면
2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
에스앤= 1 + 2 + 3 + . . .+ 엔,
첫 번째 N 산술 진행의 구성원은 항의 수로 극단 항의 합을 반으로 곱한 것과 같습니다.
이로부터 특히 다음과 같이 조건을 합산해야 하는 경우
케이, 케이 +1 , . . . , 엔,
그러면 이전 공식은 구조를 유지합니다.
예를 들어,
산술 진행에서 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
에스 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = 에스 10 - 에스 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
산술 진행이 주어지면 수량 ㅏ 1 , 엔, 디, N그리고에스 N 두 공식으로 연결:
따라서 이러한 양 중 세 개의 값이 주어지면 다른 두 양의 해당 값은 두 개의 미지수가 있는 두 개의 방정식 시스템으로 결합된 이러한 공식에서 결정됩니다.
산술 진행은 단조 시퀀스입니다. 여기서:
- 만약 디 > 0 , 그 다음 증가하고 있습니다.
- 만약 디 < 0 , 그러면 감소하고 있습니다.
- 만약 디 = 0 , 그러면 시퀀스가 고정됩니다.
기하학적 진행
기하학적 진행 시퀀스가 호출되며, 각 용어는 두 번째 항목부터 시작하여 이전 항목과 같으며 동일한 숫자를 곱합니다.
비 1 , 비 2 , 비 3 , . . . , 비앤, . . .
임의의 자연수에 대한 기하학적 진행입니다. N 조건 충족:
비앤 +1 = 비앤 · 큐,
어디 큐 ≠ 0 - 어떤 숫자.
따라서 이 기하학적 진행의 다음 항과 이전 항의 비율은 상수입니다.
비 2 / 비 1 = 비 3 / 비 2 = . . . = 비앤 +1 / 비앤 = 큐.
숫자 큐 ~라고 불리는 기하학적 진행의 분모.
기하학적 진행을 설정하려면 첫 번째 항과 분모를 지정하는 것으로 충분합니다.
예를 들어,
만약 비 1 = 1, 큐 = -3 , 시퀀스의 처음 5개 항은 다음과 같이 찾습니다.
나 1 = 1,
나 2 = 나 1 · 큐 = 1 · (-3) = -3,
나 3 = 나 2 · 큐= -3 · (-3) = 9,
나 4 = 나 3 · 큐= 9 · (-3) = -27,
비 5 = 비 4 · 큐= -27 · (-3) = 81. ◄
비 1 그리고 분모 큐 그녀의 N -번째 항은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.
비앤 = 비 1 · q n -1 .
예를 들어,
기하학적 진행의 일곱 번째 항을 찾으십시오 1, 2, 4, . . .
비 1 = 1, 큐 = 2,
비 7 = 비 1 · 큐 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = 나 1 · q n -2 ,
비앤 = 나 1 · q n -1 ,
비앤 +1 = 비 1 · q n,
그럼 분명히
비앤 2 = 비앤 -1 · 비앤 +1 ,
두 번째부터 시작하는 기하학적 진행의 각 요소는 이전 및 후속 요소의 기하 평균(비례)과 같습니다.
그 반대도 참이므로 다음 주장이 성립합니다.
숫자, b 및 c는 그 중 하나의 제곱이 다른 둘의 곱과 같을 때, 즉 숫자 중 하나가 다른 둘의 기하학적 평균인 경우에만 일부 기하학적 진행의 연속적인 구성원입니다.
예를 들어,
공식에 의해 주어진 시퀀스를 증명하자 비앤= -3 2 N , 는 기하학적 진행입니다. 위의 문장을 사용해보자. 우리는 다음을 가지고 있습니다:
비앤= -3 2 N,
비앤 -1 = -3 2 N -1 ,
비앤 +1 = -3 2 N +1 .
따라서,
비앤 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = 비앤 -1 · 비앤 +1 ,
이는 필요한 주장을 증명합니다. ◄
참고 N 기하학적 진행의 일 항은 다음을 통해서만 찾을 수 있는 것이 아닙니다. 비 1 , 그러나 이전 용어도 b k , 공식을 사용하는 것으로 충분합니다.
비앤 = b k · q n - 케이.
예를 들어,
~을위한 비 5 쓸 수 있다
ㄴ 5 = 나 1 · 큐 4 ,
ㄴ 5 = 나 2 · 질문 3,
ㄴ 5 = 나 3 · Q2,
ㄴ 5 = 나 4 · 큐. ◄
비앤 = b k · q n - 케이,
비앤 = 비앤 - 케이 · ㅁㅁ,
그럼 분명히
비앤 2 = 비앤 - 케이· 비앤 + 케이
두 번째부터 시작하여 기하학적 진행의 모든 구성원의 제곱은 그로부터 등거리에 있는 이 진행의 구성원의 곱과 같습니다.
또한 모든 기하학적 진행에 대해 평등은 true입니다.
비엠· 비앤= b k· 비엘,
중+ N= 케이+ 엘.
예를 들어,
기하급수적으로
1) 비 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = 비 5 · 비 7 ;
2) 1024 = 비 11 = 비 6 · 큐 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) 비 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = 비 4 · 비 8 ;
4) 비 2 · 비 7 = 비 4 · 비 5 , 왜냐하면
비 2 · 비 7 = 2 · 64 = 128,
비 4 · 비 5 = 8 · 16 = 128. ◄
에스앤= 비 1 + 비 2 + 비 3 + . . . + 비앤
첫 번째 N 분모가 있는 기하학적 진행의 구성원 큐 ≠ 0 공식에 의해 계산:
그리고 언제 큐 = 1 - 공식에 따라
에스앤= ㄴ.b. 1
조건을 합산해야 하는 경우
b k, b k +1 , . . . , 비앤,
다음 공식이 사용됩니다.
| 에스앤- 에스케이 -1 = b k + b k +1 + . . . + 비앤 = b k · | 1 - q n -
케이 +1
| . |
| 1 - 큐
|
예를 들어,
기하급수적으로 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
에스 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = 에스 10 - 에스 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
기하학적 진행이 주어지면 수량은 다음과 같습니다. 비 1 , 비앤, 큐, N그리고 에스앤 두 공식으로 연결:
따라서 이러한 양 중 세 개의 값이 주어지면 다른 두 양의 해당 값은 두 개의 미지수가 있는 두 개의 방정식 시스템으로 결합된 이러한 공식에서 결정됩니다.
첫 번째 항이 있는 기하학적 진행의 경우 비 1 그리고 분모 큐 다음이 일어난다 단조 속성 :
- 다음 조건 중 하나가 충족되면 진행이 증가합니다.
비 1 > 0 그리고 큐> 1;
비 1 < 0 그리고 0 < 큐< 1;
- 다음 조건 중 하나가 충족되면 진행이 감소합니다.
비 1 > 0 그리고 0 < 큐< 1;
비 1 < 0 그리고 큐> 1.
만약에 큐< 0 , 그러면 기하학적 진행은 부호 교대입니다. 홀수 항은 첫 번째 항과 동일한 부호를 가지며 짝수 항은 반대 부호를 갖습니다. 교대하는 기하학적 진행이 단조롭지 않다는 것은 분명합니다.
최초의 제품 N 기하학적 진행의 항은 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.
P n= 나 1 · 나 2 · 나 3 · . . . · 비앤 = (나 1 · 비앤) N / 2 .
예를 들어,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
무한히 감소하는 기하학적 진행
무한히 감소하는 기하학적 진행 분모 계수가 다음보다 작은 무한 기하 진행이라고 합니다. 1 , 즉
|큐| < 1 .
무한히 감소하는 기하학적 진행은 감소 시퀀스가 아닐 수 있습니다. 이것은 케이스에 맞습니다
1 < 큐< 0 .
이러한 분모를 사용하면 시퀀스는 부호가 번갈아 나타납니다. 예를 들어,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
무한히 감소하는 기하학적 진행의 합 첫 번째의 합이 되는 숫자의 이름을 지정하십시오. N 숫자의 무제한 증가와 진행 조건 N . 이 숫자는 항상 유한하며 다음 공식으로 표현됩니다.
| 에스= 비 1 + 비 2 + 비 3 + . . . = | 비 1
| . |
| 1 - 큐
|
예를 들어,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
산술과 기하학적 진행 사이의 관계
산술 및 기하학적 진행은 밀접하게 관련되어 있습니다. 두 가지 예만 살펴보겠습니다.
ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . 디 , 그 다음에
에이 1 , 에이 2 , 에이 3 , . . . b d .
예를 들어,
1, 3, 5, . . . — 차이가 있는 산술 진행 2 그리고
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . 분모가 있는 기하학적 진행입니다. 7 2 . ◄
비 1 , 비 2 , 비 3 , . . . 분모가 있는 기하학적 진행입니다. 큐 , 그 다음에
로그 a b 1, 로그 a b 2, 로그 a b 3, . . . — 차이가 있는 산술 진행 기록하다큐 .
예를 들어,
2, 12, 72, . . . 분모가 있는 기하학적 진행입니다. 6 그리고
엘지 2, 엘지 12, 엘지 72, . . . — 차이가 있는 산술 진행 엘지 6 . ◄
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