Բարդ անհավասարությունների լուծում առցանց. Որոշ կետեր այն մասին, թե ինչպես են լուծվում անհավասարությունները

Նախ, որոշ բառեր, որպեսզի զգալ խնդիրը, որը լուծում է միջակայքի մեթոդը: Ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք հետևյալ անհավասարությունը.

(x − 5) (x + 3) > 0

Որո՞նք են տարբերակները: Առաջին բանը, որ գալիս է ուսանողների մեծամասնության մտքին, կանոններն են՝ «գումարած անգամ գումարած գումարածը» և «մինուս անգամ մինուսը գումարած է» կանոնները: Հետևաբար, բավական է դիտարկել այն դեպքը, երբ երկու փակագծերը դրական են՝ x − 5 > 0 և x + 3 > 0: Այնուհետև մենք դիտարկում ենք նաև այն դեպքը, երբ երկու փակագծերը բացասական են. x − 5:< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Ավելի առաջադեմ ուսանողները կհիշեն (գուցե), որ ձախ կողմում քառակուսի ֆունկցիա է, որի գրաֆիկը պարաբոլա է: Ավելին, այս պարաբոլան հատում է OX առանցքը x = 5 և x = −3 կետերում: Հետագա աշխատանքի համար անհրաժեշտ է բացել փակագծերը։ Մենք ունենք:

x 2 − 2x − 15 > 0

Այժմ պարզ է, որ պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, քանի որ գործակից a = 1 > 0: Փորձենք գծել այս պարաբոլայի դիագրամը.

Ֆունկցիան զրոյից մեծ է, որտեղ այն անցնում է OX առանցքից վեր: Մեր դեպքում դրանք (−∞ −3) և (5; +∞) ընդմիջումներն են. սա է պատասխանը։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ նկարը ճշգրիտ է ֆունկցիայի դիագրամ, ոչ թե նրա ժամանակացույցը: Քանի որ իրական գծապատկերի համար դուք պետք է հաշվեք կոորդինատները, հաշվարկեք օֆսեթները և այլ անհեթեթություններ, որոնք հիմա մեզ ընդհանրապես պետք չեն:

Ինչու են այս մեթոդները անարդյունավետ:

Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք նույն անհավասարության երկու լուծում։ Երկուսն էլ շատ ծանրաբեռնված են ստացվել։ Առաջին որոշումը ծագում է, պարզապես մտածեք դրա մասին: անհավասարությունների համակարգերի ամբողջություն է։ Երկրորդ լուծումը նույնպես այնքան էլ հեշտ չէ՝ պետք է հիշել պարաբոլայի գրաֆիկը և մի շարք այլ մանր փաստեր։

Դա շատ պարզ անհավասարություն էր։ Այն ունի ընդամենը 2 բազմապատկիչ։ Հիմա պատկերացրեք, որ կլինի ոչ թե 2 բազմապատկիչ, այլ առնվազն 4: Օրինակ.

(x − 7) (x − 1) (x + 4) (x + 9)< 0

Ինչպե՞ս լուծել նման անհավասարությունը: Անցնե՞լ կողմ և դեմ բոլոր հնարավոր համակցությունները: Այո, մենք ավելի արագ կքնենք, քան լուծում գտնենք։ Գրաֆիկ նկարելը նույնպես տարբերակ չէ, քանի որ պարզ չէ, թե ինչպես է նման ֆունկցիան իրեն պահում կոորդինատային հարթության վրա:

Նման անհավասարությունների համար անհրաժեշտ է լուծման հատուկ ալգորիթմ, որը մենք կքննարկենք այսօր։

Ո՞րն է միջակայքի մեթոդը

Ինտերվալ մեթոդը հատուկ ալգորիթմ է, որը նախատեսված է f (x) > 0 և f (x) ձևի բարդ անհավասարությունների լուծման համար:< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Լուծեք f (x) \u003d 0 հավասարումը: Այսպիսով, անհավասարության փոխարեն մենք ստանում ենք հավասարում, որը շատ ավելի հեշտ է լուծել.
2. Կոորդինատային գծի վրա նշե՛ք ստացված բոլոր արմատները։ Այսպիսով, ուղիղ գիծը կբաժանվի մի քանի ընդմիջումներով.
3. Պարզեք f (x) ֆունկցիայի նշանը (գումարած կամ մինուս) ամենաաջ միջակայքում: Դա անելու համար բավական է f (x)-ով փոխարինել ցանկացած թիվ, որը կլինի բոլոր նշված արմատներից աջ.
4. Նշեք նշանները այլ ընդմիջումներով: Դրա համար բավական է հիշել, որ յուրաքանչյուր արմատից անցնելիս նշանը փոխվում է։

Այսքանը: Դրանից հետո մնում է միայն դուրս գրել մեզ հետաքրքրող միջակայքերը։ Դրանք նշվում են «+» նշանով, եթե անհավասարությունը եղել է f (x) > 0 ձևով, կամ «−» նշանով, եթե անհավասարությունը եղել է f (x) ձևով:< 0.

Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ միջակայքի մեթոդը ինչ-որ թիթեղ է: Բայց գործնականում ամեն ինչ շատ պարզ կլինի։ Դա մի փոքր պրակտիկա է պահանջում, և ամեն ինչ պարզ կդառնա: Նայեք օրինակներին և ինքներդ համոզվեք.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

(x − 2) (x + 7)< 0

Մենք աշխատում ենք ինտերվալների մեթոդի վրա։ Քայլ 1. Անհավասարությունը փոխարինիր հավասարմամբ և լուծիր այն.

(x − 2) (x + 7) = 0

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի.

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Երկու արմատ ստացավ. Անցեք քայլ 2. նշեք այս արմատները կոորդինատային գծի վրա: Մենք ունենք:

Այժմ քայլ 3. մենք գտնում ենք ֆունկցիայի նշանը ամենաաջ միջակայքում (նշված կետից x = 2): Դա անելու համար հարկավոր է վերցնել ցանկացած թիվ, որը մեծ է x = 2 թվից: Օրինակ, վերցնենք x = 3 (բայց ոչ ոք չի արգելում վերցնել x = 4, x = 10 և նույնիսկ x = 10000): Մենք ստանում ենք.

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

Մենք ստանում ենք, որ f (3) = 10 > 0, ուստի մենք գումարած նշան ենք դնում ամենաաջ միջակայքում:

Մենք անցնում ենք վերջին կետին. անհրաժեշտ է նշել նշանները մնացած ընդմիջումներով: Հիշեք, որ յուրաքանչյուր արմատից անցնելիս նշանը պետք է փոխվի։ Օրինակ, x = 2 արմատի աջ կողմում կա գումարած (մենք դրանում համոզվեցինք նախորդ քայլում), ուստի ձախ կողմում պետք է լինի մինուս:

Այս մինուսը տարածվում է ամբողջ միջակայքի վրա (−7; 2), ուստի x = −7 արմատից աջ մինուս կա։ Հետևաբար, x = −7 արմատից ձախ կա գումարած: Մնում է այս նշանները նշել կոորդինատային առանցքի վրա։ Մենք ունենք:

Վերադառնանք սկզբնական անհավասարությանը, որն այսպիսի տեսք ուներ.

(x − 2) (x + 7)< 0

Այսպիսով, ֆունկցիան պետք է լինի զրոյից փոքր: Սա նշանակում է, որ մեզ հետաքրքրում է մինուս նշանը, որը տեղի է ունենում միայն մեկ միջակայքում՝ (−7; 2): Սա կլինի պատասխանը։

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0

Քայլ 1. ձախ կողմը հավասարեցրեք զրոյի.

(x + 9) (x - 3) (1 - x) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1:

Հիշեք. արտադրյալը զրո է, երբ գործոններից գոնե մեկը զրո է: Այդ իսկ պատճառով մենք իրավունք ունենք զրոյի հավասարեցնել յուրաքանչյուր առանձին փակագիծ։

Քայլ 2. նշեք բոլոր արմատները կոորդինատային գծի վրա.

Քայլ 3. պարզել ամենաաջ բացվածքի նշանը: Մենք վերցնում ենք ցանկացած թիվ, որը մեծ է x = 1-ից: Օրինակ, մենք կարող ենք վերցնել x = 10: Մենք ունենք.

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9) (10 − 3) (1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

Քայլ 4. Տեղադրեք մնացած նշանները: Հիշեք, որ յուրաքանչյուր արմատից անցնելիս նշանը փոխվում է։ Արդյունքում մեր նկարը կունենա հետևյալ տեսքը.

Այսքանը: Մնում է միայն գրել պատասխանը։ Մեկ այլ հայացք նետեք սկզբնական անհավասարությանը.

(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0

Սա f (x) ձևի անհավասարությունն է< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Սա է պատասխանը։

Նշում ֆունկցիայի նշանների մասին

Պրակտիկան ցույց է տալիս, որ ինտերվալային մեթոդի ամենամեծ դժվարությունները ծագում են վերջին երկու քայլերից, այսինքն. նշաններ տեղադրելիս. Շատ ուսանողներ սկսում են շփոթվել՝ ինչ թվեր վերցնել և որտեղ դնել նշաններ:

Ընդմիջման մեթոդը վերջապես հասկանալու համար հաշվի առեք երկու դիտողություն, որոնց վրա այն կառուցված է.

1. Շարունակական ֆունկցիան փոխում է նշանը միայն կետերում որտեղ այն հավասար է զրոյի. Նման կետերը կոորդինատային առանցքը բաժանում են մասերի, որոնց ներսում ֆունկցիայի նշանը երբեք չի փոխվում։ Դրա համար մենք լուծում ենք f (x) \u003d 0 հավասարումը և գտնված արմատները նշում ենք ուղիղ գծի վրա: Գտնված թվերը պլյուսները մինուսներից բաժանող «սահմանային» կետերն են։
2. Ցանկացած միջակայքում ֆունկցիայի նշանը պարզելու համար բավական է այս միջակայքից ցանկացած թիվ փոխարինել ֆունկցիայի մեջ։ Օրինակ, (−5; 6) միջակայքի համար մենք կարող ենք վերցնել x = −4, x = 0, x = 4 և նույնիսկ x = 1,29374, եթե ցանկանանք: Ինչու է դա կարևոր: Այո, քանի որ շատ ուսանողներ սկսում են կրծել կասկածները: Օրինակ՝ ի՞նչ, եթե x = −4-ի համար մենք ստանում ենք գումարած, իսկ x = 0-ի համար՝ մինուս: Նման բան երբեք չի լինի։ Նույն միջակայքում գտնվող բոլոր կետերը տալիս են նույն նշանը: Հիշեք սա.

Դա այն ամենն է, ինչ դուք պետք է իմանաք միջակայքի մեթոդի մասին: Իհարկե, մենք այն ապամոնտաժել ենք ամենապարզ տեսքով։ Կան ավելի բարդ անհավասարություններ՝ ոչ խիստ, կոտորակային և կրկնվող արմատներով։ Նրանց համար կարող եք կիրառել նաև ինտերվալ մեթոդը, բայց սա առանձին մեծ դասի թեմա է։

Այժմ ես կցանկանայի վերլուծել մի առաջադեմ հնարք, որը կտրուկ պարզեցնում է միջակայքի մեթոդը: Ավելի ճիշտ, պարզեցումը ազդում է միայն երրորդ քայլի վրա՝ գծի ամենաաջ հատվածի նշանի հաշվարկի վրա: Չգիտես ինչու, այս տեխնիկան դպրոցներում չի անցկացվում (համենայն դեպս ինձ ոչ ոք դա չի բացատրել): Բայց ապարդյուն, իրականում այս ալգորիթմը շատ պարզ է:

Այսպիսով, ֆունկցիայի նշանը թվային առանցքի աջ հատվածում է: Այս կտորն ունի (a; +∞) ձևը, որտեղ a-ն f (x) = 0 հավասարման ամենամեծ արմատն է: Որպեսզի չփչենք մեր ուղեղը, դիտարկենք կոնկրետ օրինակ.

(x − 1) (2 + x ) (7 − x)< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Մենք ստացանք 3 արմատ. Մենք թվարկում ենք դրանք աճման կարգով՝ x = −2, x = 1 և x = 7: Ակնհայտ է, որ ամենամեծ արմատը x = 7 է:

Նրանց համար, ում համար ավելի հեշտ է գրաֆիկորեն տրամաբանելը, ես կնշեմ այս արմատները կոորդինատային գծի վրա: Տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում.

Պահանջվում է գտնել f (x) ֆունկցիայի նշանը ամենաաջ միջակայքում, այսինքն. վրա (7; +∞): Բայց ինչպես արդեն նշել ենք, նշանը որոշելու համար այս միջակայքից կարող եք վերցնել ցանկացած թիվ։ Օրինակ, դուք կարող եք վերցնել x = 8, x = 150 և այլն: Իսկ հիմա՝ նույն տեխնիկան, որը դպրոցներում չեն սովորեցնում՝ անսահմանությունը որպես թիվ ընդունենք։ Ավելի ճիշտ՝ գումարած անսահմանություն, այսինքն. +∞.

«Ձեզ քարկոծե՞լ են. Ինչպե՞ս կարող եք անսահմանությունը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ: միգուցե, դուք հարցնում եք. Բայց մտածեք դրա մասին. մեզ պետք չէ բուն ֆունկցիայի արժեքը, մեզ անհրաժեշտ է միայն նշանը: Հետևաբար, օրինակ, f (x) = −1 և f (x) = −938 740 576 215 արժեքները նշանակում են նույն բանը. ֆունկցիան բացասական է այս միջակայքում: Հետևաբար, ձեզնից պահանջվում է միայն գտնել այն նշանը, որը տեղի է ունենում անսահմանության մեջ, և ոչ թե ֆունկցիայի արժեքը:

Իրականում անսահմանությունը փոխարինելը շատ պարզ է: Եկեք վերադառնանք մեր գործառույթին.

f(x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x)

Պատկերացրեք, որ x-ը շատ մեծ թիվ է: Մի միլիարդ կամ նույնիսկ տրիլիոն: Այժմ տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում յուրաքանչյուր փակագծում։

Առաջին փակագիծ՝ (x − 1): Ի՞նչ կլինի, եթե միլիարդից հանեք մեկը: Արդյունքը կլինի միլիարդից քիչ տարբերվող թիվ, և այս թիվը կլինի դրական։ Նմանապես երկրորդ փակագծով. (2 + x): Եթե ​​միլիարդը երկուսին գումարենք, կոպեկներով միլիարդը կստացվի՝ սա դրական թիվ է։ Վերջապես երրորդ փակագիծը՝ (7 − x ): Այստեղ կլինի մինուս միլիարդը, որից «հոշոտվել» է յոթի տեսքով մի խղճուկ պատառ։ Նրանք. ստացված թիվը մինուս միլիարդից շատ չի տարբերվի՝ բացասական կլինի։

Մնում է գտնել ամբողջ ստեղծագործության նշանը։ Քանի որ առաջին փակագծերում ունեինք պլյուս, իսկ վերջին փակագծում՝ մինուս, մենք ստանում ենք հետևյալ կառուցվածքը.

(+) · (+) · (−) = (−)

Վերջնական նշանը մինուս է: Կարևոր չէ, թե որն է բուն ֆունկցիայի արժեքը։ Հիմնական բանը այն է, որ այս արժեքը բացասական է, այսինքն. ամենաաջ միջակայքում կա մինուս նշան: Մնում է լրացնել միջակայքի մեթոդի չորրորդ քայլը՝ դասավորել բոլոր նշանները։ Մենք ունենք:

Սկզբնական անհավասարությունն այսպիսի տեսք ուներ.

(x − 1) (2 + x ) (7 − x)< 0

Ուստի մեզ հետաքրքրում է մինուս նշանով նշված միջակայքերը։ Պատասխանը գրում ենք.

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Դա այն ամբողջ հնարքն է, որը ես ուզում էի պատմել: Եզրափակելով, կա ևս մեկ անհավասարություն, որը լուծվում է ինտերվալ մեթոդով՝ օգտագործելով անսահմանությունը։ Լուծումը տեսողականորեն կրճատելու համար քայլերի համարներ և մանրամասն մեկնաբանություններ չեմ գրի։ Ես կգրեմ միայն այն, ինչ իրականում պետք է գրել իրական խնդիրներ լուծելիս.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

x (2x + 8) (x − 3) > 0

Անհավասարությունը փոխարինում ենք հավասարմամբ և լուծում.

x (2x + 8) (x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3:

Մենք բոլոր երեք արմատները նշում ենք կոորդինատային գծի վրա (անմիջապես նշաններով).

Կոորդինատային առանցքի աջ կողմում կա պլյուս, քանի որ ֆունկցիան նման է.

f(x) = x(2x + 8)(x - 3)

Իսկ եթե փոխարինենք անսահմանությունը (օրինակ՝ միլիարդը), ապա կստանանք երեք դրական փակագծեր։ Քանի որ սկզբնական արտահայտությունը պետք է լինի զրոյից մեծ, մեզ հետաքրքրում են միայն պլյուսները: Մնում է գրել պատասխանը.

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Եվ այսօր ոչ բոլորը կարող են լուծել ռացիոնալ անհավասարությունները։ Ավելի ճիշտ՝ ոչ միայն բոլորը կարող են որոշել։ Քչերը կարող են դա անել:
Կլիչկո

Այս դասը ծանր է լինելու: Այնքան կոշտ, որ միայն Ընտրյալները կհասնեն դրա ավարտին: Ուստի, կարդալուց առաջ խորհուրդ եմ տալիս հեռացնել կանանց, կատուներին, հղի երեխաներին և ...

Լավ, իրականում դա բավականին պարզ է: Ենթադրենք, դուք տիրապետել եք միջակայքի մեթոդին (եթե այն չեք տիրապետել, խորհուրդ եմ տալիս վերադառնալ և կարդալ) և սովորել եք լուծել $P\left(x \right) \gt 0$ ձևի անհավասարությունները, որտեղ $P \left(x \right)$-ը մի քանի բազմանդամ կամ բազմանդամների արտադրյալ է:

Կարծում եմ, որ ձեզ համար դժվար չի լինի լուծել, օրինակ, այսպիսի խաղ (ի դեպ, փորձեք տաքացման համար).

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \ձախ(2((x)^(2))+3x+4 \աջ)\ձախ(4x+25 \աջ) \gt 0; \\ & x\ ձախ (2((x)^(2))-3x-20 \աջ)\ձախ (x-1 \աջ)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \աջ))^(6))\le 0. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Հիմա եկեք մի փոքր բարդացնենք խնդիրը և դիտարկենք ոչ միայն բազմանդամները, այլ ձևի այսպես կոչված ռացիոնալ կոտորակները.

որտեղ $P\left(x \right)$ և $Q\left(x \right)$ նույն բազմանդամներն են $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, կամ նման բազմանդամների արտադրյալը:

Սա կլինի ռացիոնալ անհավասարություն։ Հիմնական կետը $x$ փոփոխականի առկայությունն է հայտարարում։ Օրինակ, ահա ռացիոնալ անհավասարությունները.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\ ձախ (7x+1 \աջ)\ ձախ (11x+2 \աջ)) (13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\ձախ(3-x \աջ))^(2))\ձախ(4-((x)^( 2)) \աջ))\ge 0. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Եվ սա ոչ թե ռացիոնալ, այլ ամենատարածված անհավասարությունն է, որը լուծվում է միջակայքի մեթոդով.

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Նայելով առաջ՝ ես անմիջապես կասեմ՝ ռացիոնալ անհավասարությունները լուծելու առնվազն երկու եղանակ կա, բայց բոլորն էլ այս կամ այն ​​կերպ կրճատվում են մեզ արդեն հայտնի միջակայքերի մեթոդով։ Ուստի այս մեթոդները վերլուծելուց առաջ հիշենք հին փաստերը, հակառակ դեպքում նոր նյութից իմաստ չի լինի։

Այն, ինչ դուք արդեն պետք է իմանաք

Շատ կարևոր փաստեր չկան։ Մեզ իսկապես պետք է ընդամենը չորս:

Կրճատված բազմապատկման բանաձևեր

Այո, այո. նրանք մեզ հետապնդելու են մաթեմատիկայի դպրոցական ծրագրի ողջ ընթացքում: Եվ նաև համալսարանում: Այս բանաձևերից շատերը կան, բայց մեզ անհրաժեշտ է միայն հետևյալը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \աջ))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((ա)^(3))+((բ)^(3))=\ձախ(ա+բ \աջ)\ձախ(((ա)^(2))-աբ+(բ) ^(2))\աջ); \\ & ((ա)^(3))-((բ)^(3))=\ձախ(ա-բ \աջ)\ձախ(((ա)^(2))+աբ+(բ)^( 2))\աջ): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ուշադրություն դարձրեք վերջին երկու բանաձևերին. սա խորանարդների գումարն ու տարբերությունն է (և ոչ թե գումարի կամ տարբերության խորանարդը): Դրանք հեշտ է հիշել, եթե նկատում եք, որ առաջին փակագծի նշանը նույնն է, ինչ սկզբնական արտահայտության նշանը, իսկ երկրորդ փակագծում՝ սկզբնական արտահայտության նշանի հակառակը։

Գծային հավասարումներ

Սրանք $ax+b=0$ ձևի ամենապարզ հավասարումներ են, որտեղ $a$ և $b$ սովորական թվեր են, իսկ $a\ne 0$։ Այս հավասարումը հեշտ է լուծել.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Նշում եմ, որ մենք իրավունք ունենք բաժանել $a$ գործակցի վրա, քանի որ $a\ne 0$։ Այս պահանջը միանգամայն տրամաբանական է, քանի որ $a=0$-ով մենք ստանում ենք հետևյալը.

Նախ, այս հավասարման մեջ $x$ փոփոխական չկա: Սա, ընդհանուր առմամբ, չպետք է մեզ շփոթեցնի (սա տեղի է ունենում, ասենք, երկրաչափության մեջ, և բավականին հաճախ), բայց, այնուամենայնիվ, մենք այլևս գծային հավասարում չենք։

Երկրորդ, այս հավասարման լուծումը կախված է բացառապես $b$ գործակիցից։ Եթե ​​$b$-ը նույնպես զրո է, ապա մեր հավասարումը $0=0$ է։ Այս հավասարությունը միշտ ճշմարիտ է. հետևաբար, $x$-ը ցանկացած թիվ է (սովորաբար գրվում է որպես $x\in \mathbb(R)$): Եթե ​​$b$ գործակիցը հավասար չէ զրոյի, ապա $b=0$ հավասարությունը երբեք չի բավարարվում, այսինքն. պատասխաններ չկան (գրել $x\in \varnothing $ և կարդալ «լուծումների հավաքածուն դատարկ է»):

Այս բոլոր բարդություններից խուսափելու համար մենք պարզապես ենթադրում ենք $a\ne 0$, ինչը մեզ ոչ մի կերպ չի սահմանափակում հետագա մտորումները:

Քառակուսային հավասարումներ

Հիշեցնեմ, որ սա կոչվում է քառակուսի հավասարում.

Այստեղ ձախ կողմում երկրորդ աստիճանի բազմանդամ է, և կրկին $a\ne 0$ (հակառակ դեպքում, քառակուսի հավասարման փոխարեն ստանում ենք գծային): Հետևյալ հավասարումները լուծվում են դիսկրիմինանտի միջոցով.

1. Եթե ​​$D \gt 0$, մենք ստանում ենք երկու տարբեր արմատներ;
2. Եթե ​​$D=0$, ապա արմատը կլինի մեկ, բայց երկրորդ բազմակի (ինչպիսի՞ բազմապատիկություն է դա և ինչպես հաշվի առնել, դրա մասին ավելի ուշ)։ Կամ կարող ենք ասել, որ հավասարումն ունի երկու նույնական արմատներ.
3. $D \lt 0$-ի համար ընդհանրապես արմատներ չկան, իսկ $a((x)^(2))+bx+c$ ցանկացած $x$-ի համար բազմանդամի նշանը համընկնում է $a գործակցի նշանի հետ։ $. Սա, ի դեպ, շատ օգտակար փաստ է, որը չգիտես ինչու մոռացվում է պատմել հանրահաշվի դասերին։

Արմատներն իրենք են հաշվարկվում հայտնի բանաձևի համաձայն.

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Այստեղից էլ, ի դեպ, խտրականի սահմանափակումները։ Ի վերջո, բացասական թվի քառակուսի արմատ գոյություն չունի։ Ինչ վերաբերում է արմատներին, ապա շատ ուսանողների գլխում սարսափելի խառնաշփոթ կա, ուստի ես հատուկ գրանցեցի մի ամբողջ դաս. ինչ է արմատը հանրահաշվում և ինչպես հաշվարկել այն, ես խորհուրդ եմ տալիս կարդալ այն: :)

Գործողություններ ռացիոնալ կոտորակների հետ

Այն ամենը, ինչ գրված էր վերևում, դուք արդեն գիտեք, եթե ուսումնասիրել եք ինտերվալների մեթոդը: Բայց այն, ինչ մենք հիմա կվերլուծենք, նախկինում նմանը չունի. սա բոլորովին նոր փաստ է։

Սահմանում. Ռացիոնալ կոտորակը ձևի արտահայտությունն է

\[\frac(P\ ձախ (x \աջ)) (Q \ ձախ (x \աջ))\]

որտեղ $P\left(x \right)$ և $Q\left(x \right)$ բազմանդամներ են:

Ակնհայտ է, որ նման կոտորակից հեշտ է անհավասարություն ստանալ, բավական է միայն աջ վերագրել «ավելի քան» կամ «պակաս» նշանը: Եվ մի փոքր այն կողմ կտեսնենք, որ նման խնդիրների լուծումը հաճույք է, այնտեղ ամեն ինչ շատ պարզ է։

Խնդիրները սկսվում են, երբ մեկ արտահայտության մեջ կան մի քանի նման կոտորակներ: Դրանք պետք է հասցվեն ընդհանուր հայտարարի, և հենց այս պահին են մեծ թվով հարձակողական սխալներ թույլ տալիս։

Հետևաբար, ռացիոնալ հավասարումները հաջողությամբ լուծելու համար անհրաժեշտ է ամուր տիրապետել երկու հմտությունների.

1. $P\left(x \right)$ բազմանդամի գործոնացում;
2. Փաստորեն, կոտորակները բերելով ընդհանուր հայտարարի:

Ինչպե՞ս ֆակտորիզացնել բազմանդամը: Շատ պարզ. Եկեք ունենանք ձևի բազմանդամ

Հավասարեցնենք զրոյի։ Մենք ստանում ենք $n$-րդ աստիճանի հավասարումը.

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( ա)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Ենթադրենք, մենք լուծեցինք այս հավասարումը և ստացանք $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (մի անհանգստացեք. շատ դեպքերում չեն լինի այս արմատներից երկուսից ավելին): Այս դեպքում մեր սկզբնական բազմանդամը կարող է վերագրվել այսպես.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & P\ ձախ (x \աջ)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))(x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\ձախ(x) -((x)_(1)) \աջ)\cdot \left(x-((x)_(2)) \աջ)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \աջ) \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը: Խնդրում ենք նկատի ունենալ. $((a)_(n))$ առաջատար գործակիցը ոչ մի տեղ չի անհետացել. այն կլինի առանձին գործոն փակագծերի առջև, և անհրաժեշտության դեպքում այն ​​կարող է տեղադրվել այս փակագծերից որևէ մեկի մեջ (պրակտիկան ցույց է տալիս. որ $((a)_ (n))\ne \pm 1$-ով գրեթե միշտ արմատների մեջ կոտորակներ կան):

Առաջադրանք. Պարզեցրեք արտահայտությունը.

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Որոշում. Նախ, եկեք նայենք հայտարարներին. դրանք բոլորը գծային երկանդամներ են, և այստեղ ֆակտորիզացնելու բան չկա: Այսպիսով, եկեք ֆակտորիզացնենք համարիչները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))+x-20=\ձախ (x+5 \աջ)\ձախ (x-4 \աջ); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\ձախ(x-\frac(3)(2) \աջ)\ձախ(x-1 \աջ)=\ձախ(2x- 3 \ աջ) \ ձախ (x-1 \ աջ); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\ձախ(x+2 \աջ)\ձախ(x-\frac(2)(5) \աջ)=\ձախ(x +2 \աջ)\ձախ (2-5x \աջ): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. երկրորդ բազմանդամում «2» ավագ գործակիցը, մեր սխեմային լիովին համապատասխան, սկզբում հայտնվեց փակագծի դիմաց, այնուհետև ներառվեց առաջին փակագծում, քանի որ այնտեղից դուրս եկավ կոտորակ:

Նույնը եղավ երրորդ բազմանդամում, միայն թե այնտեղ էլ տերմինների հերթականությունը շփոթված է։ Այնուամենայնիվ, «−5» գործակիցն ի վերջո ընդգրկվեց երկրորդ փակագծում (հիշեք. կարող եք գործակից մուտքագրել մեկ և միայն մեկ փակագծում), ինչը մեզ փրկեց կոտորակային արմատների հետ կապված անհարմարություններից:

Ինչ վերաբերում է առաջին բազմանդամին, ապա այնտեղ ամեն ինչ պարզ է. դրա արմատները որոնվում են կա՛մ ստանդարտ ձևով՝ դիսկրիմինանտի միջոցով, կա՛մ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը:

Եկեք վերադառնանք սկզբնական արտահայտությանը և վերագրենք այն համարիչներով՝ բաժանված գործոնների.

\[\ սկիզբ (մատրիցան) \frac (\ ձախ (x + 5 \ աջ) \ ձախ (x-4 \ աջ)) (x-4) -\ frac (\ ձախ (2x-3 \ աջ) \ ձախ ( x-1 \աջ))(2x-3)-\frac(\ ձախ (x+2 \աջ)\ձախ (2-5x \աջ))(x+2)= \\ =\ձախ (x+5) \աջ)-\ձախ(x-1 \աջ)-\ձախ(2-5x \աջ)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \վերջ (մատրիցան)\]

Պատասխան՝ $5x+4$։

Ինչպես տեսնում եք, ոչ մի բարդ բան չկա: Մի քիչ 7-8-րդ դասարանի մաթեմատիկա ու վերջ։ Բոլոր փոխակերպումների իմաստն այն է, որ բարդ և սարսափելի արտահայտությունը վերածվի պարզ և հեշտ աշխատելու բանի:

Այնուամենայնիվ, միշտ չէ, որ այդպես կլինի: Այսպիսով, հիմա մենք կդիտարկենք ավելի լուրջ խնդիր:

Բայց նախ եկեք պարզենք, թե ինչպես կարելի է երկու կոտորակ բերել ընդհանուր հայտարարի: Ալգորիթմը չափազանց պարզ է.

1. Գործոնացնել երկու հայտարարները;
2. Դիտարկենք առաջին հայտարարը և դրան գումարենք երկրորդ հայտարարում առկա, բայց առաջինում բացակայող գործոնները: Ստացված արդյունքը կլինի ընդհանուր հայտարարը.
3. Պարզեք, թե սկզբնական կոտորակներից յուրաքանչյուրին ինչ գործոններ են պակասում, որպեսզի հայտարարները հավասարվեն ընդհանուրին:

Միգուցե այս ալգորիթմը ձեզ կթվա պարզապես տեքստ, որում կան «շատ տառեր»: Այսպիսով, եկեք նայենք կոնկրետ օրինակին:

Առաջադրանք. Պարզեցրեք արտահայտությունը.

\[\left(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \աջ)\cdot \ձախ(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \աջ)\]

Որոշում. Նման ծավալուն առաջադրանքները լավագույնս լուծվում են մասերով։ Դուրս գրենք, թե ինչ է գրված առաջին փակագծում.

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Ի տարբերություն նախորդ խնդրի, այստեղ հայտարարներն այնքան էլ պարզ չեն։ Եկեք ֆակտորիզացնենք դրանցից յուրաքանչյուրը։

$((x)^(2))+2x+4$ քառակուսի եռանկյունը չի կարող գործոնացվել, քանի որ $((x)^(2))+2x+4=0$ հավասարումը արմատներ չունի (տարբերիչը բացասական է) . Այն թողնում ենք անփոփոխ։

Երկրորդ հայտարարը` $((x)^(3))-8$ խորանարդ բազմանդամը, ավելի մանրամասն ուսումնասիրելուց հետո խորանարդների տարբերությունն է և հեշտությամբ կարող է քայքայվել` օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը.

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x) ^(2))+2x+4 \աջ)\]

Ուրիշ ոչինչ չի կարելի հաշվի առնել, քանի որ առաջին փակագիծը պարունակում է գծային երկանդամ, իսկ երկրորդը մեզ արդեն ծանոթ կառույց է, որն իրական արմատներ չունի։

Վերջապես, երրորդ հայտարարը գծային երկանդամ է, որը չի կարող քայքայվել: Այսպիսով, մեր հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\ ձախ (x-2 \աջ)\ձախ (((x)^(2))+2x+4 \աջ))-\frac(1)(x-2)\]

Ակնհայտ է, որ $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ կլինի ընդհանուր հայտարարը, և բոլոր կոտորակները դրան կրճատելու համար դուք. անհրաժեշտ է բազմապատկել առաջին կոտորակը $\left(x-2 \right)$-ի, իսկ վերջինը՝ $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$-ի: Այնուհետև մնում է միայն բերել հետևյալը.

\[\ սկիզբ (մատրիցան) \frac(x\cdot \ ձախ (x-2 \աջ)) (\ ձախ (x-2 \աջ)\ ձախ ((x)^(2))+2x+4 \ աջ))+\frac(((x)^(2))+8)(\ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ))- \frac(1\cdot \ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ))(\ ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x)^(2))+2x +4 \աջ))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \աջ)+\left(((x)^(2))+8 \աջ)-\ձախ((x) )^(2))+2x+4 \աջ))(\ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\ձախ(x-2 \աջ)\ձախ (((x)^(2))+2x+4 \աջ))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\ ձախ (x-2 \աջ)\ ձախ (((x)^(2))+2x+4 \աջ)): \\ \վերջ (մատրիցան)\]

Ուշադրություն դարձրեք երկրորդ տողին. երբ հայտարարն արդեն ընդհանուր է, այսինքն. երեք առանձին կոտորակների փոխարեն գրել ենք մեկ մեծ, պետք չէ անմիջապես ազատվել փակագծերից։ Ավելի լավ է գրել լրացուցիչ տող և նշել, որ, ասենք, երրորդ կոտորակից առաջ մինուս է եղել, և այն ոչ մի տեղ չի գնա, այլ «կկախվի» փակագծի դիմացի համարիչում: Սա ձեզ կփրկի բազմաթիվ սխալներից:

Դե, վերջին տողում օգտակար է ֆակտորիզացնել համարիչը։ Ընդ որում, սա ճշգրիտ քառակուսի է, և մեզ կրկին օգնության են հասնում կրճատված բազմապատկման բանաձևերը։ Մենք ունենք:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ))= \frac(((\ձախ(x-2 \աջ))^(2)))(\ ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Հիմա նույն կերպ զբաղվենք երկրորդ փակագծով։ Այստեղ ես ուղղակի կգրեմ հավասարությունների շղթա.

\[\սկիզբ(մատրիցան) \frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x) ^ (2))) (\ ձախ (x-2 \ աջ) \ ձախ (x + 2 \ աջ)) -\ frac (2) (2-x) = \\ =\ frac (((x) ^(2))) (\ ձախ (x-2 \աջ)\ ձախ (x+2 \աջ))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2))) (\ ձախ (x-2 \ աջ) \ ձախ (x + 2 \ աջ)) +\ frac (2 \ cdot \ ձախ (x + 2 \ աջ)) (\ ձախ (x-2 \ աջ) )\cdot \left(x+2 \աջ))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \աջ))(\left(x-2) \աջ)\ձախ(x+2 \աջ))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\ ձախ (x-2 \աջ)\ձախ(x+2 \աջ) ): \\ \վերջ (մատրիցան)\]

Մենք վերադառնում ենք սկզբնական խնդրին և նայում ապրանքին.

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\ ձախ (x-2) \աջ)\ձախ(x+2 \աջ))=\frac(1)(x+2)\]

Պատասխան՝ \[\frac(1)(x+2)\]:

Այս խնդրի իմաստը նույնն է, ինչ նախորդը. ցույց տալ, թե որքան կարող են պարզեցնել ռացիոնալ արտահայտությունները, եթե խելամտորեն մոտենաք դրանց փոխակերպմանը:

Եվ հիմա, երբ դուք գիտեք այս ամենը, եկեք անցնենք այսօրվա դասի հիմնական թեմային՝ կոտորակային ռացիոնալ անհավասարությունների լուծում: Ընդ որում, նման պատրաստումից հետո անհավասարություններն իրենք ընկույզի պես կկտկտեն: :)

Ռացիոնալ անհավասարությունների լուծման հիմնական միջոցը

Ռացիոնալ անհավասարությունները լուծելու առնվազն երկու մոտեցում կա. Այժմ մենք կդիտարկենք դրանցից մեկը՝ դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում ընդհանուր ընդունվածը:

Բայց նախ նկատենք մի կարևոր մանրամասն. Բոլոր անհավասարությունները բաժանվում են երկու տեսակի.

1. Խիստ՝ $f\left(x \աջ) \gt 0$ կամ $f\left(x \աջ) \lt 0$;
2. Ոչ խիստ՝ $f\left(x \right)\ge 0$ կամ $f\left(x \աջ)\le 0$։

Երկրորդ տեսակի անհավասարությունները հեշտությամբ կրճատվում են առաջինին, ինչպես նաև հավասարմանը.

Այս փոքրիկ «ավելացումը» $f\left(x \right)=0$ հանգեցնում է այնպիսի տհաճ բանի, ինչպիսին են լրացված կետերը. մենք դրանք հանդիպեցինք ինտերվալ մեթոդով: Հակառակ դեպքում, խիստ և ոչ խիստ անհավասարությունների միջև տարբերություններ չկան, ուստի եկեք վերլուծենք ունիվերսալ ալգորիթմը.

1. Հավաքեք բոլոր ոչ զրոյական տարրերը անհավասարության նշանի մի կողմում: Օրինակ, ձախ կողմում;
2. Բոլոր կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի (եթե այդպիսի մի քանի կոտորակ կա), բերեք նմանները: Այնուհետև, հնարավորության դեպքում, գործոնացրեք համարիչը և հայտարարը: Այսպես թե այնպես, մենք ստանում ենք $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ ձևի անհավասարություն, որտեղ տիզը անհավասարության նշանն է։
3. Համարիչը հավասարեցրեք զրոյի՝ $P\left(x \right)=0$։ Մենք լուծում ենք այս հավասարումը և ստանում ենք $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $(x)_(3))$, ... Այնուհետև մենք պահանջում ենք որ հայտարարը հավասար չէ զրոյի՝ $Q\left(x \right)\ne 0$։ Իհարկե, ըստ էության, մենք պետք է լուծենք $Q\left(x \right)=0$ հավասարումը, և ստանում ենք $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) արմատները: $, $x_(3 )^(*)$, ... (իրական խնդիրներում դժվար թե այդպիսի երեքից ավելի արմատներ լինեն)։
4. Այս բոլոր արմատները (և՛ աստղանիշներով, և՛ առանց աստղանիշներով) նշում ենք մեկ թվային տողի վրա, և առանց աստղերի արմատները ներկված են, իսկ աստղերով արմատները դուրս են հանվում:
5. Մենք դնում ենք գումարած և մինուս նշանները, ընտրում ենք մեզ անհրաժեշտ միջակայքերը: Եթե ​​անհավասարությունն ունի $f\left(x \right) \gt 0$ ձևը, ապա պատասխանը կլինի «գումարած» նշանով նշված միջակայքերը։ Եթե ​​$f\left(x \right) \lt 0$, ապա մենք դիտարկում ենք միջակայքերը «մինուսներով»:

Պրակտիկան ցույց է տալիս, որ 2-րդ և 4-րդ կետերը մեծագույն դժվարություններ են առաջացնում՝ իրավասու փոխակերպումներ և թվերի ճիշտ դասավորություն աճման կարգով: Դե, վերջին քայլում, չափազանց զգույշ եղեք. մենք միշտ ցուցանակներ ենք տեղադրում հիման վրա վերջին անհավասարությունը, որը գրված է հավասարումներին անցնելուց առաջ. Սա ունիվերսալ կանոն է, որը ժառանգվել է ինտերվալային մեթոդից:

Այսպիսով, կա սխեմա. Եկեք պարապենք.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Որոշում. Մենք ունենք $f\left(x \right) \lt 0$ ձևի խիստ անհավասարություն։ Ակնհայտ է, որ մեր սխեմայի 1-ին և 2-րդ կետերն արդեն ավարտված են. անհավասարության բոլոր տարրերը հավաքված են ձախ կողմում, ոչինչ պետք չէ բերել ընդհանուր հայտարարի: Այսպիսով, եկեք անցնենք երրորդ կետին:

Սահմանեք համարիչը զրոյի՝

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x-3=0; \\ &x=3. \վերջ (հավասարեցնել)\]

Իսկ հայտարարը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այս վայրում շատերը խրվում են, քանի որ, տեսականորեն, դուք պետք է գրեք $x+7\ne 0$, ինչպես պահանջում է ODZ-ը (դուք չեք կարող բաժանել զրոյի, այսքանը): Բայց, ի վերջո, ապագայում մենք դուրս կգանք հայտարարից ստացված կետերը, այնպես որ չպետք է ևս մեկ անգամ բարդացնեք ձեր հաշվարկները. ամենուր գրեք հավասարության նշան և մի անհանգստացեք: Դրա համար ոչ ոք միավորներ չի հանի: :)

Չորրորդ կետ. Ստացված արմատները թվային տողի վրա նշում ենք.

Բոլոր կետերը ծակված են, քանի որ անհավասարությունը խիստ է

Նշում: բոլոր կետերը ծակված են, քանի որ սկզբնական անհավասարությունը խիստ է. Եվ այստեղ դա այլևս նշանակություն չունի. այս կետերը եկել են համարիչից, թե հայտարարից:

Դե, տեսեք նշանները. Վերցրեք ցանկացած թիվ $((x)_(0)) \gt 3$: Օրինակ, $((x)_(0))=100$ (բայց դուք կարող եք նույնքան լավ վերցնել $((x)_(0))=3.1$ կամ $((x)_(0)) = 1\000\000$): Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, բոլոր արմատներից աջ մենք ունենք դրական տարածք։ Եվ յուրաքանչյուր արմատից անցնելիս նշանը փոխվում է (միշտ չէ, որ այդպես կլինի, բայց ավելի ուշ): Այսպիսով, մենք անցնում ենք հինգերորդ կետին. մենք տեղադրում ենք նշանները և ընտրում ենք ճիշտը.

Մենք վերադառնում ենք վերջին անհավասարությանը, որը եղել է մինչև հավասարումները լուծելը։ Իրականում այն ​​համընկնում է սկզբնականի հետ, քանի որ մենք այս առաջադրանքում ոչ մի փոխակերպում չենք կատարել։

Քանի որ անհրաժեշտ է լուծել $f\left(x \right) \lt 0$ ձևի անհավասարությունը, ես ստվերեցի $x\in \left(-7;3 \right)$ միջակայքը, դա միակն է։ նշված է մինուս նշանով. Սա է պատասխանը։

Պատասխան՝ $x\in \left(-7;3 \աջ)$

Այսքանը: Դժվա՞ր է։ Ոչ, դժվար չէ։ Իսկապես, դա հեշտ գործ էր։ Հիմա եկեք մի փոքր բարդացնենք առաքելությունը և դիտարկենք ավելի «շքեղ» անհավասարություն։ Այն լուծելիս ես այլևս նման մանրամասն հաշվարկներ չեմ տա, ուղղակի ուրվագծեմ առանցքային կետերը։ Ընդհանուր առմամբ, մենք դա կդասավորենք այնպես, ինչպես դա կանեինք անկախ աշխատանքի կամ քննության ժամանակ: :)

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\frac(\ձախ(7x+1 \աջ)\ձախ(11x+2 \աջ))(13x-4)\ge 0\]

Որոշում. Սա $f\left(x \right)\ge 0$ ձևի ոչ խիստ անհավասարություն է: Բոլոր ոչ զրոյական տարրերը հավաքված են ձախ կողմում, չկան տարբեր հայտարարներ: Անցնենք հավասարումների։

Համարիչ:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (7x+1 \աջ)\ձախ (11x+2 \աջ)=0 \\ & 7x+1=0\Աջ սլաք ((x)_(1))=-\ ֆրակ (1) (7); \\ & 11x+2=0\Աջ սլաք ((x)_(2))=-\frac(2)(11): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Հայտարար:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ես չգիտեմ, թե ինչպիսի այլասերված է այս խնդիրը, բայց արմատները այնքան էլ լավ չեն ստացվել. դժվար կլինի դրանք դասավորել թվային տողի վրա: Իսկ եթե ամեն ինչ քիչ թե շատ պարզ է $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ արմատով (սա միակ դրական թիվն է, այն կլինի աջ կողմում), ապա $: ((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ և $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ պահանջում են լրացուցիչ ուսումնասիրություն. որն է ավելի մեծ է?

Դուք կարող եք պարզել սա, օրինակ.

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Հուսով եմ, կարիք չկա բացատրելու, թե ինչու է $-(2)/(14)\ թվային կոտորակը; \gt -(2)/(11)\;$? Անհրաժեշտության դեպքում խորհուրդ եմ տալիս հիշել, թե ինչպես կատարել գործողություններ կոտորակներով:

Եվ մենք բոլոր երեք արմատները նշում ենք թվային տողի վրա.

Համարիչից կետերը ստվերվում են, հայտարարից՝ կտրված

Մենք ցուցանակներ ենք տեղադրում. Օրինակ, դուք կարող եք վերցնել $((x)_(0))=1$ և պարզել նշանը այս պահին.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & f\ ձախ (x \աջ)=\frac (\ ձախ (7x+1 \աջ)\ ձախ (11x+2 \աջ)) (13x-4); \\ & f\left(1 \աջ)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \աջ))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Հավասարումներից առաջ վերջին անհավասարությունը $f\left(x \right)\ge 0$ էր, ուստի մեզ հետաքրքրում է գումարած նշանը:

Ստացանք երկու բազմություն՝ մեկը սովորական հատված է, իսկ մյուսը բաց ճառագայթ է թվային տողի վրա։

Պատասխան՝ $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right ) $

Կարևոր նշում այն ​​թվերի մասին, որոնք մենք փոխարինում ենք՝ պարզելու նշանը ամենաաջ միջակայքում: Պարտադիր չէ փոխարինել ամենաաջ արմատին մոտ թվով: Դուք կարող եք վերցնել միլիարդներ կամ նույնիսկ «գումարած-անսահմանություն» - այս դեպքում փակագծում, համարիչի կամ հայտարարի բազմանդամի նշանը որոշվում է բացառապես առաջատար գործակցի նշանով:

Եկեք ևս մեկ նայենք $f\left(x \right)$ ֆունկցիային վերջին անհավասարությունից.

Այն պարունակում է երեք բազմանդամ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((P)_(1))\ձախ (x \աջ)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\ ձախ (x \աջ)=11x+2; \\ & Q\ ձախ (x\աջ) = 13x-4: \վերջ (հավասարեցնել)\]

Դրանք բոլորը գծային երկանդամներ են, և բոլորն ունեն դրական գործակիցներ (7, 11 և 13 թվեր)։ Հետևաբար, շատ մեծ թվերը փոխարինելիս, բազմանդամներն իրենք նույնպես դրական կլինեն: :)

Այս կանոնը կարող է չափազանց բարդ թվալ, բայց միայն սկզբում, երբ վերլուծում ենք շատ հեշտ խնդիրները։ Լուրջ անհավասարությունների դեպքում «գումարած անսահմանություն» փոխարինումը թույլ կտա մեզ պարզել նշանները շատ ավելի արագ, քան ստանդարտ $((x)_(0))=100$:

Մենք շատ շուտով կբախվենք նման մարտահրավերների։ Բայց նախ, եկեք դիտարկենք կոտորակային ռացիոնալ անհավասարությունները լուծելու այլընտրանքային եղանակ:

Այլընտրանքային ճանապարհ

Այս տեխնիկան ինձ առաջարկել է իմ ուսանողներից մեկը: Ես ինքս երբեք չեմ օգտագործել այն, բայց պրակտիկան ցույց է տվել, որ շատ ուսանողների համար իսկապես ավելի հարմար է անհավասարությունները լուծել այս կերպ։

Այսպիսով, սկզբնական տվյալները նույնն են։ Մենք պետք է լուծենք կոտորակային ռացիոնալ անհավասարություն.

\[\frac(P\ ձախ (x \աջ)) (Q\ ձախ (x \աջ)) \gt 0\]

Եկեք մտածենք՝ ինչո՞ւ է $Q\left(x \right)$ բազմանդամն ավելի վատ, քան $P\left(x \right)$ բազմանդամը։ Ինչո՞ւ պետք է դիտարկենք արմատների առանձին խմբեր (աստղանիշով և առանց աստղանիշով), մտածենք դակված կետերի մասին և այլն։ Դա պարզ է՝ կոտորակն ունի սահմանման տիրույթ, ըստ որի կոտորակն իմաստ ունի միայն այն դեպքում, երբ նրա հայտարարը տարբերվում է զրոյից։

Հակառակ դեպքում, համարիչի և հայտարարի միջև տարբերություններ չկան՝ մենք նույնպես հավասարեցնում ենք այն զրոյի, փնտրում արմատները, հետո դրանք նշում ենք թվային տողի վրա։ Ուրեմն ինչո՞ւ չփոխարինել կոտորակային բարը (իրականում բաժանման նշանը) սովորական բազմապատկմամբ և գրել DHS-ի բոլոր պահանջները որպես առանձին անհավասարություն։ Օրինակ, այսպես.

\[\frac(P\ ձախ (x \աջ)) (Q\ ձախ (x \աջ)) \gt 0\Աջ սլաք \ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & P\ ձախ (x \աջ)\cdot Q \ ձախ (x \աջ) \gt 0, \\ & Q\ ձախ (x \աջ)\ne 0. \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այս մոտեցումը կնվազեցնի խնդիրը մինչև ինտերվալների մեթոդը, բայց դա բացարձակապես չի բարդացնի լուծումը: Ի վերջո, ամեն դեպքում, մենք $Q\left(x \right)$ բազմանդամը կհավասարեցնենք զրոյի։

Տեսնենք, թե ինչպես է այն աշխատում իրական առաջադրանքների վրա:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Որոշում. Այսպիսով, եկեք անցնենք միջակայքի մեթոդին.

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Աջ սլաք \ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (x+8 \աջ)\ձախ (x-11 \աջ) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ։\]

Առաջին անհավասարությունը լուծվում է տարրական կարգով. Պարզապես յուրաքանչյուր փակագիծ դրեք զրոյի՝

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x+8=0\Աջ սլաք ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Աջ սլաք ((x)_(2))=11: \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Երկրորդ անհավասարության դեպքում ամեն ինչ նույնպես պարզ է.

Իրական գծի վրա նշում ենք $((x)_(1))$ և $((x)_(2))$ կետերը։ Նրանք բոլորը ծակված են, քանի որ անհավասարությունը խիստ է.

Պարզվել է, որ աջ կետը երկու անգամ ծակվել է։ Սա լավ է:

Ուշադրություն դարձրեք $x=11$ կետին։ Ստացվում է, որ «կրկնակի ծակված» է՝ մի կողմից ծակում ենք անհավասարության ծանրության պատճառով, մյուս կողմից՝ ՕՁ-ի լրացուցիչ պահանջի պատճառով։

Ամեն դեպքում դա ընդամենը ծակված կետ կլինի։ Հետևաբար, մենք նշաններ ենք դնում $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ անհավասարության համար - վերջինը, որը մենք տեսանք մինչև հավասարումները լուծելը.

Մեզ հետաքրքրում են դրական շրջանները, քանի որ լուծում ենք $f\left(x \right) \gt 0$ ձևի անհավասարությունը, և մենք դրանք գունավորելու ենք։ Մնում է միայն գրել պատասխանը։

Պատասխանել. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \աջ)$

Օգտագործելով այս լուծումը որպես օրինակ, ես կցանկանայի ձեզ զգուշացնել սկսնակ ուսանողների շրջանում տարածված սխալի մասին: Այսինքն՝ անհավասարությունների մեջ երբեք փակագծեր մի բացեք։ Ընդհակառակը, փորձեք ամեն ինչ հաշվի առնել. սա կհեշտացնի լուծումը և կփրկի ձեզ շատ խնդիրներ:

Հիմա եկեք ավելի դժվար բան փորձենք։

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\frac(\ձախ(2x-13 \աջ)\ձախ(12x-9 \աջ))(15x+33)\le 0\]

Որոշում. Սա $f\left(x \right)\le 0$ ձևի ոչ խիստ անհավասարություն է, ուստի այստեղ դուք պետք է ուշադիր հետևեք լրացված կետերին:

Անցնենք միջակայքի մեթոդին.

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (2x-13 \աջ)\ձախ (12x-9 \աջ)\ձախ (15x+33 \աջ)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Անցնենք հավասարմանը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (2x-13 \աջ)\ձախ (12x-9 \աջ)\ձախ (15x+33 \աջ)=0 \\ & 2x-13=0\Աջ սլաք ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Աջ սլաք ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\Աջ սլաք ((x)_(3))=-2,2. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք հաշվի ենք առնում լրացուցիչ պահանջը.

Ստացված բոլոր արմատները թվային տողի վրա նշում ենք.

Եթե ​​կետը միաժամանակ և՛ բռունցքով, և՛ լրացվում է, ապա այն համարվում է բռունցքված:

Կրկին երկու կետ «համընկնում են» միմյանց՝ սա նորմալ է, միշտ այդպես կլինի։ Կարևոր է միայն հասկանալ, որ այն կետը, որը նշված է և որպես բռունցքով դուրս, և լրացված, իրականում բռունցքված կետ է: Նրանք. «Կորցնելն» ավելի ուժեղ գործողություն է, քան «վերջ նկարելը»:

Սա բացարձակապես տրամաբանական է, քանի որ ծակելով մենք նշում ենք կետեր, որոնք ազդում են ֆունկցիայի նշանի վրա, բայց իրենք չեն մասնակցում պատասխանին։ Եվ եթե ինչ-որ պահի թիվը դադարում է մեզ հարմարվել (օրինակ, այն չի ընկնում ODZ-ի մեջ), մենք այն ջնջում ենք քննարկումից մինչև առաջադրանքի ավարտը:

Ընդհանրապես, վերջ տվեք փիլիսոփայությանը։ Մենք դասավորում ենք նշանները և ներկում այն ​​ընդմիջումներով, որոնք նշված են մինուս նշանով.

Պատասխանել. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \աջ]$:

Եվ կրկին ես ուզում էի ձեր ուշադրությունը հրավիրել այս հավասարման վրա.

\[\ ձախ (2x-13 \աջ)\ ձախ (12x-9 \աջ)\ ձախ (15x+33 \աջ)=0\]

Եվս մեկ անգամ. երբեք մի բացեք փակագծեր նման հավասարումների մեջ։ Դուք միայն դժվարացնում եք դա ձեզ համար: Հիշեք. արտադրյալը զրո է, երբ գործոններից գոնե մեկը զրո է: Հետևաբար, այս հավասարումը պարզապես «քանդվում է» մի քանի փոքրերի, որոնք մենք լուծեցինք նախորդ խնդրի մեջ։

Հաշվի առնելով արմատների բազմությունը

Նախորդ խնդիրներից հեշտ է հասկանալ, որ ամենադժվարը հենց ոչ խիստ անհավասարություններն են, քանի որ դրանցում պետք է հետևել լրացված կետերին։

Բայց աշխարհում կա ավելի մեծ չարիք՝ դրանք անհավասարությունների բազմաթիվ արմատներ են: Այստեղ արդեն անհրաժեշտ է հետևել ոչ թե լրացված կետերին. այստեղ անհավասարության նշանը կարող է հանկարծակի չփոխվել նույն կետերով անցնելիս։

Այս դասում մենք դեռ նման բան չենք դիտարկել (չնայած, որ նման խնդիր հաճախ հանդիպում էր ինտերվալ մեթոդում): Այսպիսով, եկեք ներկայացնենք նոր սահմանում.

Սահմանում. $((\left(x-a \right))^(n))=0$ հավասարման արմատը հավասար է $x=a$-ի և կոչվում է $n$th բազմակիության արմատ։

Իրականում, մեզ առանձնապես չի հետաքրքրում բազմակիության ճշգրիտ արժեքը։ Կարևոր է միայն այս $n$ թիվը զույգ է, թե կենտ։ Որովհետեւ:

1. Եթե ​​$x=a$-ը զույգ բազմակի արմատ է, ապա նրա միջով անցնելիս ֆունկցիայի նշանը չի փոխվում.
2. Եվ հակառակը, եթե $x=a$ կենտ բազմակի արմատ է, ապա ֆունկցիայի նշանը կփոխվի։

Կենտ բազմակի արմատի հատուկ դեպք այս դասում քննարկված բոլոր նախորդ խնդիրներն են. այնտեղ բազմապատկությունը ամենուր հավասար է մեկի:

Եվ հետագա. Նախքան խնդիրների լուծումը սկսելը, ես կցանկանայի ձեր ուշադրությունը հրավիրել մի նրբության վրա, որն ակնհայտ է թվում փորձառու ուսանողի համար, բայց շատ սկսնակների մոտ ապշած է: Այսինքն:

Բազմապատկության $n$ արմատն առաջանում է միայն այն դեպքում, երբ ամբողջ արտահայտությունը բարձրացվում է այս հզորության՝ $((\left(x-a \right))^(n))$, և ոչ $\left(((x)^(n) )-a\right)$.

Կրկին $((\left(x-a \right))^(n))$-ը մեզ տալիս է $x=a$ բազմակի $n$ արմատը, բայց $\left(((x)^( փակագծը n)) -a \right)$ կամ, ինչպես հաճախ է պատահում, $(a-((x)^(n)))$-ը մեզ տալիս է առաջին բազմակի արմատ (կամ երկու արմատ, եթե $n$-ը զույգ է): , անկախ նրանից, թե ինչն է հավասար $n$-ի։

Համեմատել.

\[((\ձախ(x-3 \աջ))^(5))=0\Աջ սլաք x=3\ձախ(5k \աջ)\]

Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. ամբողջ փակագիծը բարձրացվել է հինգերորդ հզորության, ուստի ելքի ժամանակ մենք ստացել ենք հինգերորդ աստիճանի արմատը: Իսկ հիմա:

\[\ձախ(((x)^(2))-4 \աջ)=0\Աջ սլաք ((x)^(2))=4\Աջ սլաք x=\pm 2\]

Մենք ստացանք երկու արմատ, բայց երկուսն էլ ունեն առաջին բազմապատկությունը։ Կամ ահա ևս մեկը.

\[\ ձախ (((x)^(10))-1024 \աջ)=0\Աջ սլաք ((x)^(10))=1024\Աջ սլաք x=\pm 2\]

Եվ մի շփոթվեք տասներորդ աստիճանով։ Հիմնական բանը այն է, որ 10-ը զույգ թիվ է, ուստի ելքում ունենք երկու արմատ, և երկուսն էլ նորից ունեն առաջին բազմապատկությունը:

Ընդհանրապես, զգույշ եղեք. բազմապատկությունը տեղի է ունենում միայն այն ժամանակ, երբ աստիճանը վերաբերում է ամբողջ փակագծին, ոչ միայն փոփոխականին.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\frac(((x)^(2))((\ ձախ(6-x \աջ))^(3))\ձախ(x+4 \աջ))((\ձախ(x+7) \աջ))^(5)))\ge 0\]

Որոշում. Փորձենք լուծել այն այլընտրանքային ճանապարհով՝ կոնկրետից ապրանքին անցնելու միջոցով.

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((x)^(2))((\ձախ(6-x \աջ))^(3)\ձախ(x+4 \աջ)\cdot ( (\left(x+7 \աջ))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \աջ))^(5))\ne 0. \\ \վերջ (հավասարեցնել )\ճիշտ.\]

Մենք գործ ունենք առաջին անհավասարության հետ՝ օգտագործելով ինտերվալ մեթոդը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((x)^(2))((\ձախ(6-x \աջ))^(3))\ձախ(x+4 \աջ)\cdot ((\ձախ( x+7 \աջ))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Աջ սլաք x=0\ձախ (2k \աջ); \\ & ((\ ձախ (6-x \աջ)) ^ (3)) = 0 \ Աջ սլաք x=6 \ ձախ (3k \աջ); \\ & x+4=0\Աջ սլաք x=-4; \\ & ((\ ձախ (x+7 \աջ)) ^ (5)) = 0 \ Աջ սլաք x=-7 \ ձախ (5k \աջ): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Բացի այդ, մենք լուծում ենք երկրորդ անհավասարությունը։ Փաստորեն, մենք դա արդեն լուծել ենք, բայց որպեսզի վերանայողները լուծումը սխալ չգտնեն, ավելի լավ է նորից լուծենք.

\[((\ձախ(x+7 \աջ))^(5))\ne 0\Աջ սլաք x\ne -7\]

Նկատի ունեցեք, որ վերջին անհավասարության մեջ բազմապատկություններ չկան: Իսկապես, ի՞նչ տարբերություն, թե քանի անգամ հատել $x=-7$ կետը թվային տողի վրա: Առնվազն մեկ անգամ, առնվազն հինգ անգամ - արդյունքը կլինի նույնը `ծակված կետ:

Եկեք նշենք այն ամենը, ինչ մենք ստացանք թվային տողում.

Ինչպես ասացի, $x=-7$ կետը ի վերջո դուրս կգա: Բազմապատկությունները դասավորվում են ինտերվալ մեթոդով անհավասարության լուծման հիման վրա։

Մնում է տեղադրել նշանները.

Քանի որ $x=0$ կետը զույգ բազմակի արմատ է, նշանը դրա միջով անցնելիս չի փոխվում։ Մնացած կետերը տարօրինակ բազմապատիկություն ունեն, և նրանց հետ ամեն ինչ պարզ է:

Պատասխանել. $x\in \left(-\infty;-7 \աջ)\bigcup \left[ -4;6 \աջ]$

Նորից ուշադրություն դարձրեք $x=0$-ին։ Հավասարաչափության պատճառով առաջանում է հետաքրքիր էֆեկտ՝ ամեն ինչ, որ գտնվում է ձախ կողմում, ներկված է վերևում, աջը՝ նույնպես, և կետն ինքնին ամբողջությամբ ներկված է:

Հետևաբար, պատասխանը ձայնագրելիս մեկուսացման կարիք չկա: Նրանք. դուք պետք չէ գրել $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$-ի նման մի բան (չնայած ֆորմալ առումով նման պատասխանը նույնպես ճիշտ կլինի): Փոխարենը մենք անմիջապես գրում ենք $x\in \left[ -4;6 \right]$:

Նման ազդեցությունները հնարավոր են միայն նույնիսկ բազմակի արմատների համար: Իսկ հաջորդ առաջադրանքում կհանդիպենք այս էֆեկտի հակառակ «դրսեւորմանը»։ Պատրա՞ստ եք:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\frac(((\left(x-3 \աջ))^(4))\left(x-4 \աջ))(((\left(x-1 \աջ))^(2)) \ձախ (7x-10-((x)^(2)) \աջ))\ge 0\]

Որոշում. Այս անգամ մենք շարժվելու ենք ստանդարտ սխեմայով. Սահմանեք համարիչը զրոյի՝

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ձախ(x-3 \աջ))^(4))\ձախ(x-4 \աջ)=0; \\ & ((\ ձախ (x-3 \աջ)) ^ (4)) = 0 \ Աջ սլաք ((x)_(1)) = 3 \ ձախ (4k \աջ); \\ & x-4=0\Աջ սլաք ((x)_(2))=4: \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Իսկ հայտարարը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ(x-1 \աջ))^(2))\ձախ(7x-10-((x)^(2)) \աջ)=0; \\ & ((\ ձախ (x-1 \աջ)) ^ (2)) = 0 \ Աջ սլաք x_(1) ^ (*) = 1 \ ձախ (2k \աջ); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Աջ սլաք x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2: \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Քանի որ մենք լուծում ենք $f\left(x \աջ)\ge 0$ ձևի ոչ խիստ անհավասարություն, հայտարարի արմատները (որոնք ունեն աստղանիշներ) կկտրվեն, իսկ համարիչից ստացված արմատները կնկարվեն: .

Մենք դասավորում ենք նշանները և շոշափում «պլյուսով» նշված հատվածները.

$x=3$ կետը մեկուսացված է։ Սա պատասխանի մի մասն է

Վերջնական պատասխանը գրելուց առաջ ուշադիր նայեք նկարին.

1. $x=1$ կետն ունի զույգ բազմապատկություն, բայց ինքնին ծակված է: Հետևաբար, այն պետք է մեկուսացված լինի պատասխանում. պետք է գրել $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, և ոչ թե $x\in։ \left(-\ infty ;2\աջ)$:
2. $x=3$ կետը նույնպես ունի զույգ բազմապատկություն և ստվերված է։ Նշանների դասավորությունը ցույց է տալիս, որ կետն ինքնին մեզ հարմար է, բայց մի քայլ դեպի ձախ և աջ, և մենք հայտնվում ենք մի տարածքում, որը հաստատ մեզ չի համապատասխանում: Նման կետերը կոչվում են մեկուսացված և գրվում են $x\in \ձախ\( 3 \աջ\)$:

Ստացված բոլոր կտորները միավորում ենք ընդհանուր հավաքածուի մեջ և գրում պատասխանը։

Պատասխան՝ $x\in \left(-\infty;1 \աջ)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\(3 \աջ\)\bigcup \left[ 4;5 \աջ) $

Սահմանում. Անհավասարության լուծումը նշանակում է գտնել դրա բոլոր լուծումների ամբողջությունը, կամ ապացուցեք, որ այս հավաքածուն դատարկ է:

Թվում է՝ ի՞նչը կարող է անհասկանալի լինել այստեղ։ Այո, բանն այն է, որ կոմպլեկտները կարելի է տարբեր կերպ նշել: Վերաշարադրենք վերջին խնդրի պատասխանը.

Մենք բառացիորեն կարդում ենք գրվածը. «x» փոփոխականը պատկանում է որոշակի բազմության, որը ստացվում է չորս առանձին բազմությունների միությամբ («U» խորհրդանիշը).

• $\left(-\infty ;1 \right)$ միջակայքը, որը բառացի նշանակում է «բոլոր թվերը մեկից փոքր են, բայց ոչ ինքնին մեկը»;
• Ընդմիջումը $\left(1;2 \right)$ է, այսինքն. «բոլոր թվերը 1-ի և 2-ի միջև, բայց ոչ 1-ին և 2-րդ համարները»:
• $\left\( 3 \right\)$ բազմությունը՝ բաղկացած մեկ թվից՝ երեք;
• $\left[ 4;5 \right)$ միջակայքը, որը պարունակում է բոլոր թվերը 4-ի և 5-ի միջև, գումարած ինքնին 4-ը, բայց ոչ 5-ը:

Երրորդ կետն այստեղ հետաքրքիր է. Ի տարբերություն ինտերվալների, որոնք սահմանում են թվերի անսահման բազմություն և միայն նշում են այդ բազմությունների սահմանները, $\left\( 3 \right\)$ բազմությունը թվարկումով սահմանում է ճշգրիտ մեկ թիվ։

Հասկանալու համար, որ մենք թվարկում ենք հավաքածուի մեջ ներառված հատուկ թվերը (և ոչ սահմաններ կամ որևէ այլ բան սահմանում), օգտագործվում են գանգուր բրեկետներ: Օրինակ, $\left\( 1;2 \right\)$ նշումը հենց նշանակում է «մի շարք, որը բաղկացած է երկու թվերից՝ 1 և 2», բայց ոչ 1-ից 2 հատված: Ոչ մի դեպքում մի շփոթեք այս հասկացությունները: .

Բազմապատկության գումարման կանոն

Դե, այսօրվա դասի վերջում մի փոքրիկ թիթեղ Պավել Բերդովից։ :)

Ուշադիր ուսանողները, հավանաբար, արդեն իրենց հարց են տվել՝ ի՞նչ կլինի, եթե համարիչում և հայտարարում գտնվեն նույն արմատները։ Այսպիսով, գործում է հետևյալ կանոնը.

Միանման արմատների բազմապատկություններ են ավելացվում: Միշտ. Նույնիսկ եթե այս արմատը տեղի է ունենում և՛ համարիչում, և՛ հայտարարում:

Երբեմն ավելի լավ է որոշել, քան խոսել: Այսպիսով, մենք լուծում ենք հետևյալ խնդիրը.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \աջ)\ձախ((x)^(2))+ 9x+14 \աջ))\ge 0\]

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Առայժմ ոչ մի առանձնահատուկ բան։ Սահմանեք հայտարարը զրո.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \ձախ(((x)^(2))-16 \աջ)\ձախ(((x)^(2))+9x+14 \աջ)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Աջ սլաք x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Աջ սլաք x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Գտնվում են երկու նույնական արմատներ՝ $((x)_(1))=-2$ և $x_(4)^(*)=-2$: Երկուսն էլ ունեն առաջին բազմապատկությունը: Հետևաբար, դրանք փոխարինում ենք $x_(4)^(*)=-2$ մեկ արմատով, բայց 1+1=2 բազմապատիկությամբ։

Բացի այդ, կան նաև նույնական արմատներ՝ $((x)_(2))=-4$ և $x_(2)^(*)=-4$: Նրանք նույնպես առաջին բազմակի են, ուստի մնում է միայն $x_(2)^(*)=-4$ 1+1=2 բազմապատկությունից։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. երկու դեպքում էլ մենք թողել ենք հենց «կտրված» արմատը, իսկ «ներկվածը» ուշադրությունից հանել ենք: Որովհետև նույնիսկ դասի սկզբում մենք պայմանավորվեցինք. եթե կետը միաժամանակ և՛ բռունցքով հարվածում է, և՛ ներկվում, ապա մենք այն դեռ համարում ենք բռունցքված:

Արդյունքում մենք ունենք չորս արմատ, և բոլորն էլ հանված են.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_ (2) ^ (*) = -4 \ ձախ (2k \աջ); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\ձախ (2k \աջ): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք դրանք նշում ենք թվային տողի վրա՝ հաշվի առնելով բազմակիությունը.

Մենք տեղադրում ենք ցուցանակները և ներկում մեզ հետաքրքրող տարածքների վրա.

Ամեն ինչ. Առանց առանձին կետերի և այլ այլասերությունների: Պատասխանը կարող եք գրել։

Պատասխանել. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \աջ)$:

բազմապատկման կանոն

Երբեմն էլ ավելի տհաճ իրավիճակ է առաջանում. մի քանի արմատ ունեցող հավասարումը ինքնին բարձրացվում է որոշակի հզորության: Սա փոխում է բոլոր սկզբնական արմատների բազմակարծությունը:

Սա հազվադեպ է, ուստի ուսանողների մեծ մասը նման խնդիրներ լուծելու փորձ չունի: Եվ այստեղ կանոնը հետևյալն է.

Երբ հավասարումը բարձրացվում է $n$ հզորության, նրա բոլոր արմատների բազմապատկությունը նույնպես մեծանում է $n$ գործակցով։

Այլ կերպ ասած, հզորության բարձրացումը հանգեցնում է բազմապատկման միևնույն ուժի վրա: Որպես օրինակ վերցնենք այս կանոնը.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\frac(x((\ ձախ(((x)^(2))-6x+9 \աջ))^(2))((\ ձախ(x-4 \աջ))^(5)) )(((\ձախ(2-x \աջ))^(3))((\ձախ(x-1 \աջ))^(2))\le 0\]

Որոշում. Սահմանեք համարիչը զրոյի՝

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի: Առաջին բազմապատկիչով ամեն ինչ պարզ է՝ $x=0$։ Եվ ահա, որտեղից սկսվում են խնդիրները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (((x)^(2))-6x+9 \աջ))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\ձախ (2k \աջ); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\ ձախ (2k \աջ)\ձախ (2k \աջ) \ \ & ((x)_(2))=3\ձախ (4k \աջ) \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, $((x)^(2))-6x+9=0$ հավասարումը ունի երկրորդ բազմակի եզակի արմատը՝ $x=3$։ Այնուհետև ամբողջ հավասարումը քառակուսի է դրվում: Հետևաբար, արմատի բազմակիությունը կլինի $2\cdot 2=4$, որը մենք վերջապես գրեցինք։

\[((\ձախ(x-4 \աջ))^(5))=0\Աջ սլաք x=4\ձախ(5k \աջ)\]

Հայտարարի հետ նույնպես խնդիր չկա.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (2-x \աջ))^(3))(\ ձախ (x-1 \աջ)) ^(2))=0; \\ & ((\ ձախ (2-x \աջ)) ^ (3)) = 0 \ Աջ սլաք x_(1) ^ (*) = 2 \ ձախ (3k \աջ); \\ & ((\left(x-1 \աջ))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \աջ): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ընդհանուր առմամբ մենք հինգ միավոր ենք ստացել՝ երկու բռունցքով հարվածել, երեքը՝ լրացված: Համարիչի և հայտարարի մեջ համընկնող արմատներ չկան, ուստի մենք դրանք պարզապես նշում ենք թվային տողի վրա.

Մենք դասավորում ենք նշանները՝ հաշվի առնելով բազմակարծությունները և ներկում մեզ հետաքրքրող միջակայքերը.

Կրկին մեկ մեկուսացված կետ և մեկ ծակված

Նույնիսկ բազմակի արմատների պատճառով մենք կրկին ստացանք մի քանի «ոչ ստանդարտ» տարրեր: Սա $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ է, ոչ թե $x\in \left[ 0;2 \աջ)$, և նաև $ մեկուսացված կետ: x\in \ձախ\( 3 \աջ\)$:

Պատասխանել. $x\in \left[ 0;1 \աջ)\bigcup \left(1;2 \աջ)\bigcup \left\(3 \աջ\)\bigcup \ձախ[ 4;+\infty \աջ)$

Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ այնքան էլ դժվար չէ։ Հիմնական բանը ուշադրությունն է: Այս դասի վերջին բաժինը նվիրված է վերափոխումներին՝ հենց նրանց, որոնք մենք քննարկել ենք հենց սկզբում:

Նախակփոփոխություններ

Անհավասարությունները, որոնք մենք կքննարկենք այս բաժնում, բարդ չեն: Սակայն, ի տարբերություն նախորդ առաջադրանքների, այստեղ դուք պետք է կիրառեք հմտություններ ռացիոնալ կոտորակների տեսությունից՝ ֆակտորիզացիա և կրճատում ընդհանուր հայտարարի:

Այս հարցը մանրամասն քննարկեցինք այսօրվա դասի հենց սկզբում։ Եթե ​​վստահ չեք, որ հասկանում եք, թե ինչի մասին է խոսքը, խստորեն խորհուրդ եմ տալիս վերադառնալ և կրկնել։ Որովհետև իմաստ չունի խճճել անհավասարությունների լուծման մեթոդները, եթե «լողում ես» կոտորակների փոխակերպման մեջ։

Տնային առաջադրանքների մեջ, ի դեպ, կլինեն նաև բազմաթիվ նմանատիպ առաջադրանքներ։ Դրանք տեղադրվում են առանձին ենթաբաժնում: Եվ այնտեղ դուք կգտնեք շատ ոչ տրիվիալ օրինակներ։ Բայց սա կլինի տնային աշխատանքի մեջ, բայց հիմա վերլուծենք մի երկու նման անհավասարություն։

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Որոշում. Ամեն ինչ տեղափոխելով ձախ.

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, բացում ենք փակագծերը, համարիչում տալիս ենք նման տերմիններ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \frac(x\cdot x)(\ ձախ (x-1 \աջ)\cdot x)-\frac(\ ձախ (x-2 \աջ)\ձախ (x-1 \ աջ))(x\cdot \left(x-1 \աջ))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \աջ))(x\left(x-1 \աջ)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \աջ))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \աջ))\le 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այժմ մենք ունենք դասական կոտորակային ռացիոնալ անհավասարություն, որի լուծումն այլեւս դժվար չէ։ Ես առաջարկում եմ այն ​​լուծել այլընտրանքային մեթոդով՝ ընդմիջումների մեթոդով.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (3x-2 \աջ)\cdot x\cdot \left(x-1 \աջ)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1: \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Մի մոռացեք այն սահմանափակումը, որը գալիս է հայտարարից.

Մենք նշում ենք բոլոր թվերն ու սահմանափակումները թվային տողի վրա.

Բոլոր արմատները ունեն առաջին բազմապատկությունը: Ոչ մի խնդիր. Մենք պարզապես տեղադրում ենք ցուցանակները և ներկում մեզ անհրաժեշտ տարածքների վրա.

Դա բոլորն է: Պատասխանը կարող եք գրել։

Պատասխանել. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \աջ)$:

Իհարկե, սա շատ պարզ օրինակ էր։ Այսպիսով, հիմա եկեք ավելի սերտ նայենք խնդրին: Եվ, ի դեպ, այս առաջադրանքի մակարդակը միանգամայն համահունչ է 8-րդ դասարանում այս թեմայով ինքնուրույն և վերահսկողական աշխատանքին։

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Որոշում. Ամեն ինչ տեղափոխելով ձախ.

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Երկու կոտորակներն էլ ընդհանուր հայտարարի բերելուց առաջ այս հայտարարները բաժանում ենք գործոնների։ Հանկարծ նույն փակագծերը դուրս գան. Առաջին հայտարարի դեպքում հեշտ է.

\[((x)^(2))+8x-9=\ձախ(x-1 \աջ)\ձախ(x+9 \աջ)\]

Երկրորդը մի քիչ ավելի բարդ է։ Ազատորեն ավելացրեք հաստատուն բազմապատկիչ այն փակագծին, որտեղ հայտնաբերվել է կոտորակը: Հիշեք. սկզբնական բազմանդամն ուներ ամբողջ թվային գործակիցներ, ուստի մեծ է հավանականությունը, որ ֆակտորիզացիան կունենա նաև ամբողջ թվային գործակիցներ (իրականում դա միշտ կլինի, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ տարբերակիչն իռացիոնալ է):

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & 3((x)^(2))-5x+2=3\ձախ(x-1 \աջ)\ձախ(x-\frac(2)(3) \աջ)= \\ & =\ ձախ (x-1 \աջ)\ձախ (3x-2 \աջ) \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, կա ընդհանուր փակագիծ՝ $\left(x-1 \right)$: Մենք վերադառնում ենք անհավասարությանը և երկու կոտորակներն էլ բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

\[\ սկիզբ (հավասարեցնել) & \frac (1) (\ ձախ (x-1 \աջ)\ ձախ (x+9 \աջ)) -\frac (1) (\ ձախ (x-1 \աջ)\ ձախ (3x-2\աջ))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \ձախ(3x-2 \աջ)-1\cdot \ձախ(x+9 \աջ))(\ ձախ (x-1 \աջ)\ձախ (x+9 \աջ )\left(3x-2 \աջ))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\ ձախ (x-1 \աջ)\ձախ (x+9 \աջ)\ձախ (3x-2 \աջ))\ge 0; \\ & \frac (2x-11) (\ ձախ (x-1 \ աջ) \ ձախ (x + 9 \ աջ) \ ձախ (3x-2 \ աջ)) \ ge 0; \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Սահմանեք հայտարարը զրո.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (x-1 \աջ)\ձախ (x+9 \աջ)\ձախ (3x-2 \աջ)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \վերջ( շարել)\]

Ոչ մի բազմապատկություն և ոչ մի համընկնող արմատ: Մենք ուղիղ գծի վրա նշում ենք չորս թվեր.

Մենք տեղադրում ենք նշանները.

Գրում ենք պատասխանը.

Պատասխան՝ $x\in \left(-\infty;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ ճիշտ) $.

Ամեն ինչ! Այդպես, ես կարդացի մինչև այս տողը: :)

Հոդվածում մենք կքննարկենք անհավասարությունների լուծում. Եկեք պարզ խոսենք դրա մասին ինչպես կառուցել անհավասարությունների լուծումհստակ օրինակներով!

Մինչև օրինակներով անհավասարությունների լուծումը դիտարկելը, անդրադառնանք հիմնական հասկացություններին։

Անհավասարությունների ներածություն

անհավասարությունկոչվում է արտահայտություն, որում ֆունկցիաները միացված են հարաբերական >, . Անհավասարությունները կարող են լինել և՛ թվային, և՛ այբբենական:
Երկու հարաբերական նշաններով անհավասարությունները կոչվում են կրկնակի, երեքի հետ՝ եռակի և այլն։ Օրինակ:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
ա(x) > կամ կամ ոչ նշան պարունակող անհավասարությունները խիստ են:
Անհավասարության լուծումփոփոխականի ցանկացած արժեք է, որի համար այս անհավասարությունը ճշմարիտ է:
"Լուծե՛ք անհավասարությունը«նշանակում է, որ պետք է գտնել դրա բոլոր լուծումների հավաքածուն։ Կան տարբեր անհավասարությունների լուծման մեթոդներ. Համար անհավասարության լուծումներօգտագործել թվային տող, որն անսահման է: Օրինակ, լուծել անհավասարությունը x > 3-ը 3-ից + միջակայք է, և 3 թիվը ներառված չէ այս միջակայքում, ուստի գծի կետը նշանակվում է դատարկ շրջանով, քանի որ անհավասարությունը խիստ է.
+
Պատասխանը կլինի՝ x (3; +):
x=3 արժեքը ներառված չէ լուծումների բազմության մեջ, ուստի փակագիծը կլոր է։ Անսահմանության նշանը միշտ փակվում է փակագծում: Նշանը նշանակում է «պատկանելություն»։
Մտածեք, թե ինչպես լուծել անհավասարությունները՝ օգտագործելով մեկ այլ օրինակ նշանով.
x2
-+
x=2 արժեքը ներառված է լուծումների բազմության մեջ, ուստի քառակուսի փակագիծը և գծի կետը նշանակվում է լցված շրջանով։
Պատասխանը կլինի՝ x

Պարզ ասած, մոդուլը «թիվ է առանց մինուսի»: Եվ դա այս երկակիության մեջ է (ինչ-որ տեղ պետք չէ որևէ բան անել սկզբնական համարի հետ, բայց ինչ-որ տեղ պետք է այնտեղից մի քանի մինուս հեռացնել) և սկսնակ ուսանողների համար բոլոր դժվարությունները կայանում են:

Կա նաև երկրաչափական սահմանում. Իմանալը նույնպես օգտակար է, բայց դրան կանդրադառնանք միայն բարդ և որոշ հատուկ դեպքերում, որտեղ երկրաչափական մոտեցումն ավելի հարմար է, քան հանրահաշվականը (փչացող՝ ոչ այսօր)։

Սահմանում. Թող իրական գծի վրա նշվի $a$ կետը։ Այնուհետև մոդուլը $\left| x-a \right|$-ն այս տողի $x$ կետից մինչև $a$ կետի հեռավորությունն է:

Եթե ​​նկար եք նկարում, կստանաք այսպիսի բան.

Գրաֆիկական մոդուլի սահմանում

Այսպես թե այնպես, նրա հիմնական հատկությունը անմիջապես բխում է մոդուլի սահմանումից. թվի մոդուլը միշտ ոչ բացասական արժեք է. Այս փաստը կդառնա կարմիր թել, որն անցնում է այսօրվա մեր ողջ պատմության մեջ:

Անհավասարությունների լուծում. Տարածության մեթոդ

Հիմա անդրադառնանք անհավասարություններին։ Դրանցից շատերը կան, բայց մեր խնդիրն է հիմա կարողանանք լուծել դրանցից գոնե ամենապարզը։ Նրանք, որոնք կրճատվում են գծային անհավասարությունների, ինչպես նաև ընդմիջումների մեթոդի վրա:

Ես ունեմ երկու մեծ ձեռնարկ այս թեմայի վերաբերյալ (ի դեպ, շատ, ՇԱՏ օգտակար - խորհուրդ եմ տալիս սովորել).

1. Անհավասարությունների միջակայքի մեթոդը (հատկապես դիտեք տեսանյութը);
2. Կոտորակային-ռացիոնալ անհավասարությունները շատ ծավալուն դաս են, բայց դրանից հետո ընդհանրապես հարցեր չեն մնա։

Եթե ​​դուք գիտեք այս ամենը, եթե «եկեք անցնենք անհավասարությունից հավասարման» արտահայտությունը ձեզ պատի դեմ սպանելու անորոշ ցանկություն չի առաջացնում, ապա դուք պատրաստ եք. բարի գալուստ դժոխք դասի հիմնական թեմային: :)

1. «Ֆունկցիայից պակաս մոդուլ» ձևի անհավասարություններ.

Սա մոդուլների հետ կապված ամենահաճախ հանդիպող առաջադրանքներից մեկն է: Ձևի անհավասարությունը լուծելու համար պահանջվում է.

\[\ձախ| f\աջ| \ltg\]

Ցանկացած բան կարող է գործել որպես $f$ և $g$ ֆունկցիաներ, բայց սովորաբար դրանք բազմանդամներ են: Նման անհավասարությունների օրինակներ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ| 2x+3\աջ| \ltx+7; \\ & \ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ|+3\ձախ(x+1 \աջ) \lt 0; \\ & \ձախ| ((x)^(2))-2\ձախ| x \աջ|-3 \իրավունք| \lt 2. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Նրանք բոլորը լուծվում են բառացիորեն մեկ տողում ըստ սխեմայի.

\[\ձախ| f\աջ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \ ձախ (\Rightarrow \ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\վերջ (հավասարեցնել) \ճիշտ.\ճիշտ)\]

Հեշտ է տեսնել, որ մենք ազատվում ենք մոդուլից, բայց փոխարենը ստանում ենք կրկնակի անհավասարություն (կամ, որը նույնն է, երկու անհավասարությունների համակարգ): Բայց այս անցումը հաշվի է առնում բացարձակապես բոլոր հնարավոր խնդիրները. եթե մոդուլի տակ գտնվող թիվը դրական է, մեթոդն աշխատում է. եթե բացասական է, այն դեռ աշխատում է; և նույնիսկ եթե $f$ կամ $g$-ի փոխարեն ամենաանհամարժեք ֆունկցիան լինի, մեթոդը դեռ կաշխատի:

Բնականաբար, հարց է առաջանում՝ ավելի հեշտ չէ՞։ Ցավոք, դուք չեք կարող: Սա է մոդուլի ամբողջ իմաստը:

Բայց բավական է փիլիսոփայելը: Եկեք լուծենք մի քանի խնդիր.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| 2x+3\աջ| \ltx+7\]

Որոշում. Այսպիսով, մենք ունենք «մոդուլը պակաս է» ձևի դասական անհավասարություն, նույնիսկ փոխակերպելու բան չկա: Մենք աշխատում ենք ըստ ալգորիթմի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ| f\աջ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \ձախ| 2x+3\աջ| \lt x+7\Աջ սլաք -\ձախ(x+7 \աջ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մի շտապեք բացել փակագծերը, որոնց նախորդում է «մինուսը». միանգամայն հնարավոր է, որ շտապողականության պատճառով վիրավորական սխալ թույլ տաք։

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Խնդիրը հասցվել է երկու տարրական անհավասարության։ Մենք նշում ենք դրանց լուծումները զուգահեռ իրական գծերի վրա.

Շատերի խաչմերուկ

Այս հավաքածուների խաչմերուկը կլինի պատասխանը:

Պատասխան՝ $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \աջ)$

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ|+3\ձախ(x+1 \աջ) \lt 0\]

Որոշում. Այս առաջադրանքը մի փոքր ավելի բարդ է։ Սկզբից մենք մեկուսացնում ենք մոդուլը՝ երկրորդ տերմինը տեղափոխելով աջ.

\[\ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ| \lt -3\ձախ(x+1 \աջ)\]

Ակնհայտ է, որ մենք կրկին ունենք «մոդուլն ավելի քիչ» ձևի անհավասարություն, ուստի մենք ազատվում ենք մոդուլից արդեն հայտնի ալգորիթմի համաձայն.

\[-\ ձախ (-3 \ ձախ (x + 1 \ աջ) \ աջ) \ lt ((x) ^ (2)) + 2x-3 \lt -3 \ ձախ (x + 1 \ աջ) \]

Հիմա ուշադրություն. մեկը կասի, որ ես մի քիչ այլասերված եմ այս բոլոր փակագծերով։ Բայց ևս մեկ անգամ հիշեցնում եմ, որ մեր առանցքային նպատակն է ճիշտ լուծել անհավասարությունը և ստանալ պատասխանը. Հետագայում, երբ դուք հիանալի տիրապետում եք այն ամենին, ինչ նկարագրված է այս դասում, կարող եք այլասերել ինքներդ ձեզ այնպես, ինչպես ցանկանում եք՝ բացեք փակագծերը, ավելացրեք մինուսներ և այլն։

Եվ սկզբի համար մենք պարզապես ազատվում ենք ձախ կողմի կրկնակի մինուսից.

\[-\ ձախ (-3 \ ձախ (x + 1 \ աջ) \ աջ) = \ ձախ (-1 \ աջ) \ cdot \ ձախ (-3 \ աջ) \ cdot \ ձախ (x + 1 \ աջ) =3 \ ձախ (x + 1 \ աջ) \]

Այժմ բացենք բոլոր փակագծերը կրկնակի անհավասարության մեջ.

Անցնենք կրկնակի անհավասարությանը։ Այս անգամ հաշվարկներն ավելի լուրջ են լինելու.

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \վերջ( հավասարեցնել)\աջ։\]

Երկու անհավասարություններն էլ քառակուսի են և լուծվում են ինտերվալ մեթոդով (դրա համար եմ ասում. եթե չգիտես ինչ է, ավելի լավ է դեռ մոդուլներ չվերցնես)։ Մենք անցնում ենք առաջին անհավասարության հավասարմանը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ ձախ (x+5 \աջ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, ելքը թերի քառակուսի հավասարում է, որը լուծվում է տարրական կարգով։ Հիմա անդրադառնանք համակարգի երկրորդ անհավասարությանը։ Այնտեղ դուք պետք է կիրառեք Վիետայի թեորեմը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \ձախ (x-3 \աջ)\ձախ (x+2 \աջ)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ստացված թվերը նշում ենք երկու զուգահեռ ուղիղների վրա (առաջին անհավասարության համար առանձին, երկրորդի համար՝ առանձին).

Կրկին, քանի որ մենք լուծում ենք անհավասարությունների համակարգ, մեզ հետաքրքրում է ստվերավորված բազմությունների խաչմերուկը՝ $x\in \left(-5;-2 \right)$։ Սա է պատասխանը։

Պատասխան՝ $x\in \left(-5;-2 \աջ)$

Կարծում եմ, այս օրինակներից հետո լուծման սխեման շատ պարզ է.

1. Մեկուսացրեք մոդուլը` տեղափոխելով բոլոր մյուս տերմինները անհավասարության հակառակ կողմ: Այսպիսով մենք ստանում ենք $\left| ձևի անհավասարություն f\աջ| \ltg$.
2. Լուծեք այս անհավասարությունը՝ ազատվելով մոդուլից, ինչպես նկարագրված է վերևում։ Ինչ-որ պահի անհրաժեշտ կլինի կրկնակի անհավասարությունից անցնել երկու անկախ արտահայտությունների համակարգի, որոնցից յուրաքանչյուրն արդեն կարելի է առանձին լուծել։
3. Ի վերջո, մնում է միայն խաչել այս երկու անկախ արտահայտությունների լուծումները - և վերջ, մենք կստանանք վերջնական պատասխանը։

Նմանատիպ ալգորիթմ գոյություն ունի հետևյալ տիպի անհավասարությունների համար, երբ մոդուլը մեծ է ֆունկցիայից։ Այնուամենայնիվ, կա մի երկու լուրջ «բայց». Այս «բայցերի» մասին կխոսենք հիմա։

2. «Մոդուլը մեծ է ֆունկցիայից» ձևի անհավասարություններ.

Նրանք այսպիսի տեսք ունեն.

\[\ձախ| f\աջ| \gt g\]

Նմա՞ն է նախորդին: Թվում է. Այնուամենայնիվ, նման խնդիրները լուծվում են բոլորովին այլ կերպ. Ֆորմալ կերպով սխեման հետևյալն է.

\[\ձախ| f\աջ| \gt g\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ։\]

Այլ կերպ ասած, մենք դիտարկում ենք երկու դեպք.

1. Նախ, մենք պարզապես անտեսում ենք մոդուլը. մենք լուծում ենք սովորական անհավասարությունը.
2. Այնուհետև, փաստորեն, բացում ենք մոդուլը մինուս նշանով, այնուհետև անհավասարության երկու մասերը բազմապատկում ենք −1-ով՝ նշանով։

Այս դեպքում տարբերակները համակցված են քառակուսի փակագծով, այսինքն. Մենք ունենք երկու պահանջների համադրություն.

Նորից ուշադրություն դարձրեք՝ մեր առջև ոչ թե համակարգ է, այլ ագրեգատ, հետևաբար Պատասխանում բազմությունները համակցված են, ոչ թե հատվում. Սա հիմնարար տարբերություն է նախորդ պարբերությունից:

Ընդհանուր առմամբ, շատ ուսանողներ շատ են շփոթում արհմիությունների և խաչմերուկների հետ, ուստի եկեք մեկընդմիշտ նայենք այս հարցին.

• «∪»-ը կապակցման նշան է: Փաստորեն, սա ոճավորված «U» տառ է, որը մեզ է հասել անգլերենից և «Union»-ի հապավումն է, այսինքն. «Ասոցիացիաներ».
• «∩»-ը հատման նշանն է։ Այս խաբեբայությունը ոչ մի տեղից չեկավ, այլ ուղղակի հայտնվեց որպես «∪»-ի ընդդիմություն։

Որպեսզի հիշելն էլ ավելի հեշտ լինի, ակնոցներ պատրաստելու համար ուղղակի ոտքեր ավելացրեք այս նշաններին (ուղղակի մի մեղադրեք ինձ հիմա թմրամոլության և ալկոհոլիզմի խթանման մեջ. եթե լրջորեն ուսումնասիրում եք այս դասը, ուրեմն արդեն թմրամոլ եք).

Բազմությունների խաչմերուկի և միավորման միջև տարբերությունը

Ռուսերեն թարգմանված՝ սա նշանակում է հետևյալը. բայց խաչմերուկը (համակարգը) ներառում է միայն այն տարրերը, որոնք գտնվում են և՛ առաջին հավաքածուում, և՛ երկրորդում։ Հետևաբար, բազմությունների խաչմերուկը երբեք ավելի մեծ չէ, քան սկզբնաղբյուրների հավաքածուները:

Այսպիսով, ավելի պարզ դարձավ. Հոյակապ է. Անցնենք պրակտիկային։

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| 3x+1 \աջ| \gt 5-4x\]

Որոշում. Մենք գործում ենք ըստ սխեմայի.

\[\ձախ| 3x+1 \աջ| \gt 5-4x\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\ձախ (5-4x \աջ) \\\վերջ (հավասարեցնել) \ ճիշտ.\]

Մենք լուծում ենք յուրաքանչյուր բնակչության անհավասարությունը.

\[\ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

\[\ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ։\]

\[\ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ։\]

Ստացված յուրաքանչյուր բազմություն նշում ենք թվային տողի վրա, այնուհետև միավորում ենք դրանք.

Կոմպլեկտների միություն

Ակնհայտորեն պատասխանն է՝ $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Պատասխան՝ $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \աջ)$

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ| \gtx\]

Որոշում. Դե? Ոչ, միեւնույն է։ Մոդուլով անհավասարությունից մենք անցնում ենք երկու անհավասարությունների բազմության.

\[\ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ| \gt x\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Մենք լուծում ենք յուրաքանչյուր անհավասարություն: Դժբախտաբար, արմատներն այնտեղ այնքան էլ լավ չեն լինի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Երկրորդ անհավասարության մեջ կա նաև մի քիչ խաղ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այժմ մենք պետք է նշենք այս թվերը երկու առանցքների վրա՝ յուրաքանչյուր անհավասարության համար մեկ առանցք: Այնուամենայնիվ, դուք պետք է նշեք կետերը ճիշտ հաջորդականությամբ. որքան մեծ է թիվը, այնքան կետը տեղափոխվում է աջ:

Եվ այստեղ մենք սպասում ենք տեղադրման: Եթե ​​ամեն ինչ պարզ է $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (առաջինի համարիչի պայմանները. Կոտորակը փոքր է երկրորդի համարիչի անդամներից, ուստի գումարը նույնպես ավելի փոքր է՝ $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt թվերով: (21)) (2)$ նույնպես դժվարություն չի լինի (դրական թիվն ակնհայտորեն ավելի բացասական է), բայց վերջին զույգի հետ ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ: Ո՞րն է ավելի մեծ՝ $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ կամ $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$: Թվային ուղիղների վրա կետերի դասավորությունը և, ըստ էության, պատասխանը կախված կլինի այս հարցի պատասխանից։

Այսպիսով, եկեք համեմատենք.

\[\սկիզբ(մատրիցան) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\ end (matrix)\]

Մենք մեկուսացրինք արմատը, ստացանք ոչ բացասական թվեր անհավասարության երկու կողմերում, ուստի իրավունք ունենք երկու կողմերն էլ քառակուսի դնել.

\[\ սկիզբ (մատրիցան) ((\ ձախ (2 +\ sqrt (13) \աջ)) ^ (2)) \ vee ((\ ձախ (\ sqrt (21) \ աջ)) ^ (2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\վերջ (մատրիցան)\]

Կարծում եմ՝ խելամիտ չէ, որ $4\sqrt(13) \gt 3$, այնպես որ $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, վերջապես առանցքների կետերը կդասավորվեն այսպես.

Տգեղ արմատների դեպք

Հիշեցնեմ, որ մենք լուծում ենք բազմություն, ուստի պատասխանը կլինի միացումը, այլ ոչ թե ստվերային բազմությունների հատումը։

Պատասխան՝ $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Ինչպես տեսնում եք, մեր սխեման հիանալի է աշխատում ինչպես պարզ, այնպես էլ շատ դժվար առաջադրանքների համար: Այս մոտեցման միակ «թույլ կետն» այն է, որ դուք պետք է ճիշտ համեմատեք իռացիոնալ թվերը (և հավատացեք ինձ, դրանք միայն արմատներ չեն): Բայց առանձին (և շատ լուրջ դաս) կնվիրվի համեմատության հարցերին։ Եվ մենք առաջ ենք շարժվում:

3. Ոչ բացասական «պոչերով» անհավասարություններ.

Այսպիսով, մենք հասանք ամենահետաքրքիրին: Սրանք ձևի անհավասարություններ են.

\[\ձախ| f\աջ| \gt\ձախ| g\աջ|\]

Ընդհանուր առմամբ, այն ալգորիթմը, որի մասին մենք հիմա խոսելու ենք, ճիշտ է միայն մոդուլի համար: Այն աշխատում է բոլոր անհավասարություններում, որտեղ աջ և ձախ կողմում կան երաշխավորված ոչ բացասական արտահայտություններ.

Ի՞նչ անել այս առաջադրանքների հետ: Պարզապես հիշեք.

Ոչ բացասական պոչերով անհավասարությունների դեպքում երկու կողմերն էլ կարող են բարձրացվել ցանկացած բնական ուժի: Լրացուցիչ սահմանափակումներ չեն լինի։

Նախևառաջ, մեզ կհետաքրքրի քառակուսիացումը. այն այրում է մոդուլները և արմատները.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ(\ձախ| f \աջ| \աջ))^(2))=((զ)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \աջ))^(2))=f. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Պարզապես մի շփոթեք սա քառակուսու արմատը վերցնելու հետ.

\[\sqrt(((f)^(2)))=\ձախ| f \աջ|\ne f\]

Անհամար սխալներ են թույլ տրվել, երբ ուսանողը մոռացել է տեղադրել մոդուլը: Բայց սա բոլորովին այլ պատմություն է (դրանք, ասես, իռացիոնալ հավասարումներ են), ուստի մենք հիմա դրան չենք խորանա։ Եկեք ավելի լավ լուծենք մի քանի խնդիր.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| x+2 \աջ|\ge \ձախ| 1-2x \աջ|\]

Որոշում. Մենք անմիջապես նկատում ենք երկու բան.

1. Սա ոչ խիստ անհավասարություն է։ Թվային գծի կետերը կհանվեն:
2. Անհավասարության երկու կողմերն էլ ակնհայտորեն ոչ բացասական են (սա մոդուլի հատկությունն է՝ $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$):

Հետևաբար, մենք կարող ենք քառակուսի դնել անհավասարության երկու կողմերը՝ մոդուլից ազատվելու և խնդիրը լուծելու համար՝ օգտագործելով սովորական միջակայքի մեթոդը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ(\ձախ| x+2 \աջ| \աջ))^(2))\ge ((\ձախ(\ձախ| 1-2x \աջ| \աջ) )^(2)); \\ & ((\ ձախ (x+2 \աջ)) ^ (2))\ge ((\ ձախ (2x-1 \աջ)) ^ (2)): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Վերջին քայլում ես մի փոքր խաբեցի. ես փոխեցի տերմինների հաջորդականությունը՝ օգտագործելով մոդուլի հավասարությունը (փաստորեն, $1-2x$ արտահայտությունը բազմապատկեցի −1-ով)։

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ ձախ (2x-1 \աջ))^(2))-((\ ձախ(x+2 \աջ))^(2))\le 0; \\ & \ ձախ (\ ձախ (2x-1 \ աջ) - \ ձախ (x + 2 \ աջ) \ աջ) \ cdot \ ձախ (\ ձախ (2x-1 \ աջ) + \ ձախ (x + 2 \ աջ)\աջ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \աջ)\le 0; \\ & \left(x-3 \աջ)\cdot \left(3x+1 \աջ)\le 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք լուծում ենք ինտերվալ մեթոդով. Անհավասարությունից անցնենք հավասարման.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (x-3 \աջ)\ձախ (3x+1 \աջ)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Գտնված արմատները նշում ենք թվային տողի վրա։ Եվս մեկ անգամ. բոլոր կետերը ստվերված են, քանի որ սկզբնական անհավասարությունը խիստ չէ:

Ազատվել մոդուլի նշանից

Հատկապես համառի համար հիշեցնեմ՝ նշանները վերցնում ենք վերջին անհավասարությունից, որը գրվել է մինչև հավասարմանը անցնելը։ Եվ մենք ներկում ենք նույն անհավասարության մեջ պահանջվող տարածքները: Մեր դեպքում սա $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ է:

վերջ։ Խնդիրը լուծված է.

Պատասխան՝ $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| ((x)^(2))+x+1 \աջ|\le \ձախ| ((x)^(2))+3x+4 \աջ|\]

Որոշում. Մենք ամեն ինչ անում ենք նույնը. Չեմ մեկնաբանի, միայն տեսեք գործողությունների հաջորդականությունը։

Եկեք հրապարակենք այն.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (\ձախ| ((x)^(2))+x+1 \աջ| \աջ))^(2))\le ((\ձախ(\ձախ | ((x)^(2))+3x+4 \աջ| \աջ))^(2)); \\ & ((\ ձախ (((x)^(2))+x+1 \աջ))^(2))\le ((\ ձախ (((x)^(2))+3x+4 \աջ))^(2)); \\ & ((\ ձախ (((x)^(2))+x+1 \աջ))^(2))-((\ ձախ (((x)^(2))+3x+4 \ աջ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \աջ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \աջ)\left(2((x)^(2))+4x+5 \աջ)\le 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Տարածության մեթոդ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (-2x-3 \աջ)\ձախ (2((x)^(2))+4x+5 \աջ)=0 \\ & -2x-3=0\ Աջ սլաք x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Թվային տողի վրա կա միայն մեկ արմատ.

Պատասխանը մի ամբողջ տիրույթ է

Պատասխան՝ $x\in \ձախ[ -1.5;+\infty \աջ)$:

Մի փոքրիկ նշում վերջին առաջադրանքի մասին. Ինչպես ճշգրիտ նշեց իմ ուսանողներից մեկը, այս անհավասարության մեջ երկու ենթամոդուլային արտահայտություններն էլ ակնհայտորեն դրական են, ուստի մոդուլի նշանը կարող է բաց թողնել առանց առողջությանը վնաս պատճառելու:

Բայց սա արդեն բոլորովին այլ մտածողության մակարդակ է և այլ մոտեցում՝ պայմանականորեն կարելի է անվանել հետևանքների մեթոդ։ Նրա մասին՝ առանձին դասում։ Իսկ հիմա եկեք անցնենք այսօրվա դասի վերջին մասին և դիտարկենք ունիվերսալ ալգորիթմ, որը միշտ աշխատում է: Նույնիսկ այն ժամանակ, երբ նախորդ բոլոր մոտեցումներն անզոր էին: :)

4. Ընտրանքների թվարկման մեթոդ

Իսկ եթե այս բոլոր հնարքները չաշխատե՞ն։ Եթե ​​անհավասարությունը չի վերածվում ոչ բացասական պոչերի, եթե հնարավոր չէ մեկուսացնել մոդուլը, եթե ընդհանրապես ցավ-տխրություն-կարոտ:

Այնուհետև ասպարեզ է մտնում բոլոր մաթեմատիկայի «ծանր հրետանին»՝ թվարկման մեթոդը։ Ինչ վերաբերում է մոդուլի անհավասարություններին, ապա այն ունի հետևյալ տեսքը.

1. Դուրս գրեք ենթամոդուլի բոլոր արտահայտությունները և հավասարեցրեք դրանք զրոյի;
2. Լուծե՛ք ստացված հավասարումները և նշե՛ք գտնված արմատները մեկ թվային տողի վրա;
3. Ուղիղ գիծը կբաժանվի մի քանի հատվածների, որոնցում յուրաքանչյուր մոդուլ ունի ֆիքսված նշան և, հետևաբար, միանշանակորեն ընդլայնվում է.
4. Լուծեք անհավասարությունը յուրաքանչյուր այդպիսի հատվածի վրա (հուսալիության համար կարող եք առանձին դիտարկել 2-րդ պարբերությունում ձեռք բերված սահմանային արմատները): Միավորեք արդյունքները, սա կլինի պատասխանը: :)

Դե, ինչպե՞ս: Թույլ? Հեշտությամբ! Միայն երկար ժամանակ։ Եկեք տեսնենք գործնականում.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| x+2 \աջ| \lt\ձախ| x-1 \աջ|+x-\frac(3)(2)\]

Որոշում. Այս հիմարությունը չի հանգում այնպիսի անհավասարությունների, ինչպիսին $\left|-ն է f\աջ| \lt g$, $\ձախ| f\աջ| \gt g$ կամ $\ ձախ| f\աջ| \lt\ձախ| g \right|$, ուրեմն եկեք առաջ գնանք:

Մենք դուրս ենք գրում ենթամոդուլային արտահայտությունները, հավասարեցնում դրանք զրոյի և գտնում ենք արմատները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x+2=0\Աջ սլաք x=-2; \\ & x-1=0\Աջ սլաք x=1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ընդհանուր առմամբ, մենք ունենք երկու արմատ, որոնք թվային գիծը բաժանում են երեք հատվածի, որոնց ներսում յուրաքանչյուր մոդուլ բացահայտվում է եզակի.

Թվային գիծը բաժանել ենթամոդուլային ֆունկցիաների զրոներով

Դիտարկենք յուրաքանչյուր բաժին առանձին:

1. Թող $x \lt -2$: Այնուհետև ենթամոդուլի երկու արտահայտություններն էլ բացասական են, և սկզբնական անհավասարությունը վերաշարադրվում է հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & -\ ձախ (x+2 \աջ) \lt -\ ձախ (x-1 \աջ)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք ստացանք բավականին պարզ սահմանափակում. Եկեք այն հատենք սկզբնական ենթադրությամբ, որ $x \lt -2$:

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\Աջ սլաք x\in \varnothing \]

Ակնհայտ է, որ $x$ փոփոխականը չի կարող միաժամանակ լինել −2-ից փոքր, բայց 1,5-ից մեծ: Այս ոլորտում լուծումներ չկան։

1.1. Առանձին դիտարկենք սահմանային դեպքը՝ $x=-2$։ Պարզապես այս թիվը փոխարինենք սկզբնական անհավասարությամբ և ստուգենք՝ այն պահպանվում է:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ. \ձախ| x+2 \աջ| \lt \ձախ| x-1 \աջ|+x-1,5 \աջ|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \ձախ| -3 \աջ|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ակնհայտ է, որ հաշվարկների շղթան մեզ հանգեցրել է սխալ անհավասարության։ Հետևաբար, սկզբնական անհավասարությունը նույնպես սխալ է, և $x=-2$-ը ներառված չէ պատասխանի մեջ։

2. Հիմա թող $-2 \lt x \lt 1$: Ձախ մոդուլն արդեն կբացվի «պլյուսով», բայց աջը դեռ «մինուսով» է։ Մենք ունենք:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x+2 \lt -\ձախ (x-1 \աջ)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Կրկին մենք հատվում ենք սկզբնական պահանջի հետ.

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ։ Աջ սլաք x\in \varnothing \]

Եվ կրկին լուծումների դատարկ բազմություն, քանի որ չկան թվեր, որոնք և՛ −2,5-ից փոքր են, և՛ −2-ից մեծ:

2.1. Եվ կրկին հատուկ դեպք՝ $x=1$։ Մենք փոխարինում ենք սկզբնական անհավասարության մեջ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ. \ձախ| x+2 \աջ| \lt \ձախ| x-1 \աջ|+x-1,5 \աջ|)_(x=1)) \\ & \ձախ| 3\աջ| \lt\ձախ| 0 \աջ|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Նախորդ «հատուկ դեպքի» նման, $x=1$ թիվը ակնհայտորեն ներառված չէ պատասխանի մեջ։

3. Գծի վերջին հատվածը՝ $x \gt 1$։ Այստեղ բոլոր մոդուլները ընդլայնվում են գումարած նշանով.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \վերջ (հավասարեցնել)\ ]

Եվ կրկին մենք հատում ենք գտնված բազմությունը սկզբնական սահմանափակումով.

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ։ Աջ սլաք x\ ձախում (4,5;+\infty) \ճիշտ)\]

Վերջապես! Մենք գտել ենք այն միջակայքը, որը կլինի պատասխանը։

Պատասխան՝ $x\in \left(4,5;+\infty \աջ)$

Վերջապես, մեկ նշում, որը կարող է փրկել ձեզ հիմար սխալներից իրական խնդիրներ լուծելիս.

Մոդուլներով անհավասարությունների լուծումները սովորաբար թվային տողի վրա շարունակական բազմություններ են՝ ընդմիջումներ և հատվածներ: Մեկուսացված կետերը շատ ավելի հազվադեպ են: Եվ նույնիսկ ավելի հազվադեպ է պատահում, որ լուծման սահմանները (հատվածի վերջը) համընկնում են դիտարկվող միջակայքի սահմանի հետ։

Հետևաբար, եթե սահմանները (այդ շատ «հատուկ դեպքերը») ներառված չեն պատասխանի մեջ, ապա այդ սահմաններից ձախ-աջ հատվածները նույնպես գրեթե անկասկած չեն ներառվի պատասխանում: Եվ հակառակը՝ սահմանը մտավ ի պատասխան, ինչը նշանակում է, որ դրա շուրջ որոշ հատվածներ նույնպես պատասխաններ են լինելու։

Հաշվի առեք սա, երբ ստուգեք ձեր լուծումները:

Փոփոխականների հետ անհավասարությունների մասին նախնական տեղեկատվություն ստանալուց հետո անցնում ենք դրանց լուծման հարցին։ Վերլուծենք գծային անհավասարությունների լուծումը մեկ փոփոխականով և դրանց լուծման բոլոր մեթոդները ալգորիթմներով և օրինակներով։ Դիտարկվելու են միայն մեկ փոփոխականով գծային հավասարումներ:

Ի՞նչ է գծային անհավասարությունը:

Նախ անհրաժեշտ է սահմանել գծային հավասարում և պարզել դրա ստանդարտ ձևը և ինչպես է այն տարբերվելու մյուսներից: Դպրոցական դասընթացից մենք ունենք, որ անհավասարությունները հիմնարար տարբերություն չունեն, ուստի պետք է օգտագործել մի քանի սահմանումներ։

Սահմանում 1

Գծային անհավասարություն մեկ փոփոխականով x-ը a x + b > 0 ձևի անհավասարությունն է, երբ >-ի փոխարեն օգտագործվում է որևէ անհավասարության նշան:< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Սահմանում 2

Անհավասարումներ a x< c или a · x >c , երբ x-ը փոփոխական է, իսկ a-ն և c-ն որոշ թվեր, կոչվում է գծային անհավասարություններ մեկ փոփոխականով.

Քանի որ ոչինչ չի ասվում այն ​​մասին, թե արդյոք գործակիցը կարող է հավասար լինել 0-ի, ապա 0 x > c և 0 x ձևի խիստ անհավասարություն< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Նրանց տարբերություններն են.

• առաջինում a · x + b > 0 նշումը, իսկ երկրորդում a · x > c;
• զրոյական գործակցի թույլատրելիությունը a , a ≠ 0 - առաջինում, իսկ a = 0 - երկրորդում:

Ենթադրվում է, որ a x + b > 0 և a x > c անհավասարությունները համարժեք են, քանի որ դրանք ստացվում են տերմինը մի մասից մյուսը փոխանցելով: 0 · x + 5 > 0 անհավասարությունը լուծելը կհանգեցնի նրան, որ այն պետք է լուծել, և a = 0 դեպքը չի աշխատի:

Սահմանում 3

Համարվում է, որ x մեկ փոփոխականի գծային անհավասարությունները ձևի անհավասարություններ են a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0և a x + b ≥ 0, որտեղ a-ն և b-ն իրական թվեր են: x-ի փոխարեն կարող է լինել սովորական թիվ։

Կանոնից ելնելով ունենք, որ 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 կոչվում են գծային։

Ինչպես լուծել գծային անհավասարությունը

Նման անհավասարությունները լուծելու հիմնական միջոցը համարժեք փոխակերպումների օգտագործումն է՝ տարրական անհավասարությունները գտնելու համար x.< p (≤ , >, ≥), p-ն ինչ-որ թիվ է, a ≠ 0-ի համար և a ձևով< p (≤ , >, ≥) a = 0-ի համար:

Մեկ փոփոխականով անհավասարություն լուծելու համար կարելի է կիրառել ինտերվալ մեթոդը կամ ներկայացնել այն գրաֆիկորեն։ Նրանցից ցանկացածը կարող է օգտագործվել առանձին:

Օգտագործելով համարժեք փոխակերպումներ

Լուծել a x + b ձևի գծային անհավասարություն< 0 (≤ , >, ≥), անհրաժեշտ է կիրառել անհավասարության համարժեք փոխակերպումներ։ Գործակիցը կարող է լինել զրոյական կամ չլինել: Դիտարկենք երկու դեպքն էլ։ Պարզաբանելու համար անհրաժեշտ է հավատարիմ մնալ 3 կետից բաղկացած սխեմային՝ գործընթացի էությունը, ալգորիթմը, բուն լուծումը։

Սահմանում 4

Գծային անհավասարության լուծման ալգորիթմ a x + b< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0-ի համար

• b թիվը կտեղափոխվի անհավասարության աջ կողմ հակառակ նշանով, ինչը թույլ կտա մեզ գալ x-ի համարժեքին։< − b (≤ , > , ≥) ;
• անհավասարության երկու մասերը կբաժանվեն 0-ի ոչ հավասար թվի վրա։ Ընդ որում, երբ a-ն դրական է, նշանը մնում է, երբ a-ն բացասական է՝ փոխվում է հակառակի։

Դիտարկենք այս ալգորիթմի կիրառումը օրինակների լուծման համար:

Օրինակ 1

Լուծե՛ք 3 · x + 12 ≤ 0 ձևի անհավասարություն:

Որոշում

Այս գծային անհավասարությունն ունի a = 3 և b = 12: Այսպիսով, x-ի a գործակիցը հավասար չէ զրոյի։ Կիրառենք վերը նշված ալգորիթմները և լուծենք.

Անհրաժեշտ է 12 տերմինը տեղափոխել անհավասարության մեկ այլ մաս՝ դիմացի նշանի փոփոխությամբ։ Այնուհետև մենք ստանում ենք 3 · x ≤ − 12 ձևի անհավասարություն: Անհրաժեշտ է երկու մասերը բաժանել 3-ի։ Նշանը չի փոխվի, քանի որ 3-ը դրական թիվ է։ Մենք ստանում ենք, որ (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , որը կտա x ≤ − 4 արդյունքը:

x ≤ − 4 ձևի անհավասարությունը համարժեք է։ Այսինքն՝ 3 x + 12 ≤ 0-ի լուծումը ցանկացած իրական թիվ է, որը փոքր է կամ հավասար է 4-ի: Պատասխանը գրվում է որպես x ≤ − 4 անհավասարություն կամ (− ∞ , − 4 ] ձևի թվային միջակայք։

Վերևում նկարագրված ամբողջ ալգորիթմը գրված է հետևյալ կերպ.

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Պատասխան. x ≤ − 4 կամ (− ∞ , − 4 ] .

Օրինակ 2

Նշեք անհավասարության բոլոր հասանելի լուծումները − 2, 7 · z > 0:

Որոշում

Պայմանից տեսնում ենք, որ a գործակիցը z-ում հավասար է - 2-ի, 7-ի, իսկ b-ն բացահայտորեն բացակայում է կամ հավասար է զրոյի: Դուք չեք կարող օգտագործել ալգորիթմի առաջին քայլը, բայց անմիջապես անցեք երկրորդին:

Հավասարման երկու մասերը բաժանում ենք 2, 7 թվի վրա։ Քանի որ թիվը բացասական է, անհրաժեշտ է անհավասարության նշանը փոխել հակառակի։ Այսինքն, մենք ստանում ենք, որ (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Մենք գրում ենք ամբողջ ալգորիթմը կարճ ձևով.

− 2, 7 z > 0; զ< 0 .

Պատասխան.զ< 0 или (− ∞ , 0) .

Օրինակ 3

Լուծե՛ք անհավասարությունը - 5 · x - 15 22 ≤ 0:

Որոշում

Ըստ պայմանի տեսնում ենք, որ անհավասարությունը պետք է լուծել x փոփոխականի a գործակցով, որը հավասար է - 5-ի, b գործակցով, որը համապատասխանում է կոտորակին - 15 22: Անհրաժեշտ է լուծել ալգորիթմով անհավասարությունը, այսինքն՝ տեղափոխել - 15 22 հակառակ նշանով մեկ այլ մաս, երկու մասերը բաժանել - 5-ի, փոխել անհավասարության նշանը.

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Աջ կողմի վերջին անցման ժամանակ օգտագործվում է տարբեր նշաններով թվեր բաժանելու կանոնը 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, որից հետո մենք սովորական կոտորակը բաժանում ենք բնական թվով - 15 22: 5 \ u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22:

Պատասխան. x ≥ - 3 22 և [ - 3 22 + ∞) .

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ a = 0: a x + b ձևի գծային արտահայտություն< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Ամեն ինչ հիմնված է անհավասարության լուծման սահմանման վրա։ x-ի ցանկացած արժեքի համար մենք ստանում ենք b ձևի թվային անհավասարություն< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Բոլոր դատողությունները մենք դիտարկում ենք գծային անհավասարությունների լուծման ալգորիթմի տեսքով 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Սահմանում 5

Բ ձևի թվային անհավասարություն< 0 (≤ , >, ≥) ճշմարիտ է, ապա սկզբնական անհավասարությունը լուծում ունի ցանկացած արժեքի համար, և սխալ, երբ սկզբնական անհավասարությունը լուծումներ չունի:

Օրինակ 4

Լուծե՛ք 0 · x + 7 > 0 անհավասարությունը:

Որոշում

Այս գծային անհավասարությունը 0 · x + 7 > 0 կարող է ընդունել ցանկացած x արժեք: Այնուհետև մենք ստանում ենք 7 > 0 ձևի անհավասարություն: Վերջին անհավասարությունը համարվում է ճշմարիտ, ուստի ցանկացած թիվ կարող է լինել դրա լուծումը:

Պատասխանելինտերվալ (− ∞ , + ∞) .

Օրինակ 5

Գտե՛ք 0 · x − 12, 7 ≥ 0 անհավասարության լուծումը:

Որոշում

Փոխարինելով x փոփոխականը ցանկացած թվով՝ մենք ստանում ենք, որ անհավասարությունը կունենա − 12 , 7 ≥ 0 ձև: Դա սխալ է։ Այսինքն՝ 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 լուծումներ չունի։

Պատասխան.լուծումներ չկան.

Դիտարկենք գծային անհավասարությունների լուծումը, որտեղ երկու գործակիցները հավասար են զրոյի:

Օրինակ 6

Որոշե՛ք անլուծելի անհավասարություն 0 · x + 0 > 0 և 0 · x + 0 ≥ 0-ից:

Որոշում

X-ի փոխարեն ցանկացած թիվ փոխարինելիս ստանում ենք 0 > 0 և 0 ≥ 0 ձևի երկու անհավասարություն: Առաջինը սխալ է. Սա նշանակում է, որ 0 x + 0 > 0 լուծումներ չունի, իսկ 0 x + 0 ≥ 0-ն ունի անսահման թվով լուծումներ, այսինքն՝ ցանկացած թիվ:

Պատասխանել 0 x + 0 > 0 անհավասարությունը չունի լուծումներ, իսկ 0 x + 0 ≥ 0 լուծումներ ունի:

Այս մեթոդը դիտարկվում է մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում։ Ինտերվալ մեթոդն ի վիճակի է լուծելու տարբեր տեսակի անհավասարություններ, այդ թվում՝ գծային:

Միջակայքի մեթոդը կիրառվում է գծային անհավասարությունների դեպքում, երբ x գործակցի արժեքը հավասար չէ 0-ի։ Հակառակ դեպքում, դուք ստիպված կլինեք հաշվարկել այլ մեթոդով:

Սահմանում 6

Տարածության մեթոդը հետևյալն է.

• y = a x + b ֆունկցիայի ներդրում;
• որոնել զրոներ՝ սահմանման տիրույթը միջակայքերի բաժանելու համար.
• դրանց հասկացության համար նշանների որոշում ընդմիջումներով:

Եկեք հավաքենք a x + b գծային հավասարումների լուծման ալգորիթմ< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0-ի համար՝ օգտագործելով միջակայքի մեթոդը.

• գտնելով y = a · x + b ֆունկցիայի զրոները a · x + b = 0 ձևի հավասարումը լուծելու համար: Եթե ​​a ≠ 0, ապա լուծումը կլինի միակ արմատը, որը կընդունի x 0 նշանակումը;
• կոորդինատային գծի կառուցում x 0 կոորդինատով կետի պատկերով, խիստ անհավասարությամբ, կետը նշանակվում է բռունցքով, ոչ խիստ անհավասարությամբ՝ ստվերվում է.
• y = a x + b ֆունկցիայի նշանների որոշում միջակայքերի վրա, դրա համար անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի արժեքները միջակայքի կետերում.
• կոորդինատային գծի > կամ ≥ նշաններով անհավասարության լուծումը դրական բացվածքից վեր ավելացվում է ելուստ,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Դիտարկենք գծային անհավասարության լուծման մի քանի օրինակներ՝ օգտագործելով միջակայքի մեթոդը:

Օրինակ 6

Լուծե՛ք − 3 · x + 12 > 0 անհավասարությունը:

Որոշում

Ալգորիթմից հետևում է, որ նախ պետք է գտնել − 3 · x + 12 = 0 հավասարման արմատը։ Մենք ստանում ենք, որ − 3 · x = − 12, x = 4: Անհրաժեշտ է պատկերել կոորդինատային գիծը, որտեղ նշում ենք 4-րդ կետը։ Այն կծակվի, քանի որ անհավասարությունը խիստ է։ Դիտարկենք ստորև ներկայացված գծագիրը:

Անհրաժեշտ է որոշել նշանները ընդմիջումների վրա. Այն (− ∞ , 4) ինտերվալի վրա որոշելու համար անհրաժեշտ է հաշվել y = − 3 · x + 12 ֆունկցիան x = 3-ի համար։ Այստեղից մենք ստանում ենք, որ − 3 3 + 12 = 3 > 0: Բացի վրա նշանը դրական է:

Մենք որոշում ենք նշանը միջակայքից (4, + ∞), այնուհետև փոխարինում ենք x \u003d 5 արժեքը: Մենք ունենք − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Անհավասարության լուծումը կատարում ենք > նշանով, իսկ ելքը կատարվում է դրական բացվածքի վրա։ Դիտարկենք ստորև ներկայացված գծագիրը:

Գծագրից երևում է, որ ցանկալի լուծումն ունի (− ∞ , 4) կամ x ձևը։< 4 .

Պատասխանել(− ∞ , 4) կամ x< 4 .

Հասկանալու համար, թե ինչպես կարելի է գրաֆիկորեն ներկայացնել, անհրաժեշտ է որպես օրինակ դիտարկել 4 գծային անհավասարություններ՝ 0, 5 x − 1:< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 և 0, 5 x − 1 ≥ 0: Դրանց լուծումները կլինեն x< 2 , x ≤ 2 , x >2 և x ≥ 2: Դրա համար գծե՛ք y = 0 , 5 · x − 1 գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ստորև։

Պարզ է, որ

Սահմանում 7

• 0 , 5 x − 1 անհավասարության լուծում< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• 0 , 5 x − 1 ≤ 0 լուծումը այն միջակայքն է, որտեղ y = 0, 5 x − 1 ֆունկցիան 0 x-ից ցածր է կամ համընկնում է;
• 0 , 5 x − 1 > 0 լուծումը համարվում է այն միջակայքը, որտեղ ֆունկցիան գտնվում է O x-ի վերևում;
• 0 , 5 x − 1 ≥ 0 լուծումը այն միջակայքն է, որտեղ գրաֆիկը բարձր է O x-ից կամ համընկնում է:

Անհավասարությունների գրաֆիկական լուծման իմաստը այն բացերը գտնելն է, որոնք պետք է պատկերված լինեն գրաֆիկի վրա։ Այս դեպքում մենք ստանում ենք, որ ձախ կողմն ունի y \u003d a x + b, իսկ աջ կողմը ունի y \u003d 0, և այն համընկնում է մոտ x-ի հետ:

Սահմանում 8

y = a x + b ֆունկցիայի գծագրումը կատարվում է.

• a x + b անհավասարությունը լուծելիս< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• a x + b ≤ 0 անհավասարությունը լուծելիս որոշվում է այն միջակայքը, որտեղ գրաֆիկը ցուցադրվում է O x առանցքի տակ կամ համընկնում է.
• a x + b > 0 անհավասարությունը լուծելիս որոշվում է միջակայքը, որտեղ գրաֆիկը ցուցադրվում է O x-ի վերևում;
• a x + b ≥ 0 անհավասարությունը լուծելիս որոշվում է այն միջակայքը, որտեղ գրաֆիկը O x-ից բարձր է կամ համընկնում է:

Օրինակ 7

Լուծե՛ք անհավասարությունը՝ 5 · x - 3 > 0՝ օգտագործելով գրաֆիկը:

Որոշում

Անհրաժեշտ է կառուցել գծային ֆունկցիայի գրաֆիկ՝ 5 · x - 3 > 0 ։ Այս ուղիղը նվազում է, քանի որ x-ի գործակիցը բացասական է: O x - 5 · x - 3 > 0-ի հետ նրա հատման կետի կոորդինատները որոշելու համար ստանում ենք - 3 5 արժեքը: Եկեք գծագրենք այն:

Անհավասարության լուծումը > նշանով, ապա պետք է ուշադրություն դարձնել O x-ի վերևի միջակայքին։ Ինքնաթիռի անհրաժեշտ հատվածը կարմիրով ընդգծում ենք ու ստանում

Պահանջվող բացը կարմիր գույնի O x մասն է: Այսպիսով, բաց թվի ճառագայթը - ∞ , - 3 5 կլինի անհավասարության լուծումը: Եթե ​​պայմանով նրանք ունենային ոչ խիստ անհավասարություն, ապա անհավասարության լուծում կլիներ նաև կետի արժեքը՝ 3 5։ Եվ կհամընկներ O x-ի հետ:

Պատասխանել: - ∞ , - 3 5 կամ x< - 3 5 .

Գրաֆիկական լուծումն օգտագործվում է, երբ ձախ կողմը կհամապատասխանի y = 0 x + b ֆունկցիային, այսինքն՝ y = b ։ Այնուհետև գիծը զուգահեռ կլինի O x-ին կամ համընկնում է b \u003d 0-ում: Այս դեպքերը ցույց են տալիս, որ անհավասարությունը կարող է լուծումներ չունենալ, կամ ցանկացած թիվ կարող է լուծում լինել։

Օրինակ 8

Որոշեք 0 x + 7 անհավասարություններից< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Որոշում

y = 0 x + 7 պատկերը y = 7 է, այնուհետև կտրվի O x-ին զուգահեռ ուղիղ գծով և O x-ից բարձր կոորդինատային հարթություն: Այսպիսով, 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

y \u003d 0 x + 0 ֆունկցիայի գրաֆիկը համարվում է y \u003d 0, այսինքն՝ տողը համընկնում է O x-ի հետ։ Այսպիսով, 0 · x + 0 ≥ 0 անհավասարությունն ունի բազմաթիվ լուծումներ:

ՊատասխանելԵրկրորդ անհավասարությունն ունի x-ի ցանկացած արժեքի լուծում:

Գծային անհավասարություններ

Անհավասարությունների լուծումը կարելի է կրճատել մինչև գծային հավասարման լուծում, որոնք կոչվում են գծային անհավասարություններ։

Այս անհավասարությունները դիտարկվել են դպրոցական դասընթացում, քանի որ դրանք անհավասարությունների լուծման հատուկ դեպք էին, ինչը հանգեցրեց փակագծերի բացմանը և համանման տերմինների կրճատմանը։ Օրինակ, համարեք, որ 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x:

Վերևում տրված անհավասարությունները միշտ վերածվում են գծային հավասարման: Դրանից հետո բացվում են փակագծերը և տրվում են նմանատիպ տերմիններ՝ փոխանցված տարբեր մասերից՝ նշանը փոխելով հակառակի։

5 − 2 x > 0 անհավասարությունը գծային դարձնելիս այն ներկայացնում ենք այնպես, որ այն ունենա − 2 x + 5 > 0 ձև, իսկ երկրորդը փոքրացնելու համար ստանում ենք 7 (x − 1): ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Պետք է բացել փակագծերը, բերել նման տերմիններ, բոլոր տերմինները տեղափոխել ձախ կողմ և բերել նման տերմիններ։ Այն կարծես այսպիսին է.

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Սա լուծում է բերում գծային անհավասարության:

Այս անհավասարությունները համարվում են գծային, քանի որ ունեն լուծման նույն սկզբունքը, որից հետո հնարավոր է դրանք հասցնել տարրական անհավասարությունների։

Այս տեսակի անհավասարությունը լուծելու համար անհրաժեշտ է այն իջեցնել գծայինի: Դա պետք է արվի այսպես.

Սահմանում 9

• բաց փակագծեր;
• հավաքել փոփոխականները ձախ կողմում, իսկ թվերը՝ աջ կողմում;
• բերել նման պայմաններ;
• երկու մասերը բաժանեք x գործակցի վրա:

Օրինակ 9

Լուծե՛ք 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 անհավասարությունը։

Որոշում

Ընդլայնում ենք փակագծերը, ապա ստանում ենք 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 ձևի անհավասարություն։ Նման անդամները փոքրացնելուց հետո ունենում ենք, որ 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17: Ժամկետները ձախից աջ տեղափոխելուց հետո ստանում ենք, որ 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 ։ Այսպիսով, այն ունի 32 ≤ 0 ձևի անհավասարություն 0 · x + 32 ≤ 0 հաշվարկով ստացված արդյունքից: Երևում է, որ անհավասարությունը կեղծ է, ինչը նշանակում է, որ պայմանով տրված անհավասարությունը լուծումներ չունի։

Պատասխանել: լուծումներ չկան:

Հարկ է նշել, որ կան բազմաթիվ այլ տեսակի անհավասարություններ, որոնք կարող են կրճատվել գծայինի կամ վերը նշված տեսակի անհավասարության: Օրինակ՝ 5 2 x − 1 ≥ 1 էքսպոնենցիալ հավասարում է, որը վերածվում է գծային լուծման 2 · x − 1 ≥ 0: Այս դեպքերը կքննարկվեն այս տեսակի անհավասարությունները լուծելիս:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter