Հրահանգ

Առաջադրանք 1.
Գտե՛ք եռանկյան բոլոր կողմերի երկարությունները, եթե հայտնի է, որ մի ոտքը մյուսից 1 սմ երկար է, իսկ եռանկյունը 28 սմ է։

Լուծում.
Գրեք տարածքի հիմնական բանաձևը S = (a*b)/2 = 28: Հայտնի է, որ b = a + 1, այս արժեքը փոխարինեք բանաձևով. 28 = (a*(a+1))/2:
Բացեք փակագծերը, ստացեք քառակուսային հավասարում մեկ անհայտ a^2 + a - 56 = 0:
Գտեք սա՝ հաշվարկելով D = 1 + 224 = 225 դիսկրիմինանտը: Հավասարումն ունի երկու լուծում՝ a_1 = (-1 + √225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 և a_2 = (-1 - √ 225)/2 = (-1 - 15)/2 = -8:
Երկրորդը իմաստ չունի, քանի որ հատվածի երկարությունը չի կարող բացասական լինել, ուստի a = 7 (սմ):
Գտե՛ք երկրորդ ոտքի երկարությունը b = a + 1 = 8 (սմ):
Երրորդ կողմի երկարությունը մնում է։ Համաձայն Պյութագորասի թեորեմի ուղղանկյուն եռանկյան համար c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64, հետևաբար c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10.6 (սմ):

Առաջադրանք 2.
Գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյան բոլոր կողմերի երկարությունները, եթե հայտնի է, որ դրա մակերեսը 14 սմ է, իսկ ACB անկյունը 30° է:

Լուծում.
Գրե՛ք S = (a*b)/2 = 14 հիմնական բանաձևը։
Այժմ արտահայտե՛ք ոտքերի երկարությունները հիպոթենուսի և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալի միջոցով՝ ըստ ուղղանկյուն եռանկյան հատկության.
a = c*cos(ACB) = c*cos(30°) = c*(√3/2) ≈ 0.87*c.
b = c*sin(ACB) = c*sin(30°) = c*(1/2) = 0.5*c.

Ստացված արժեքները փոխարինեք տարածքի բանաձևով.
14 = (0.87*0.5*c^2)/2, որտեղից.
28 ≈ 0,435 * s^2 → c = √64,4 ≈ 8 (սմ):
Դուք գտել եք հիպոթենուսի երկարությունը, հիմա գտե՛ք մյուս երկու կողմերի երկարությունները.
a = 0,87 * c = 0,87 * 8 ≈ 7 (սմ), b = 0,5 * c = 0,5 * 8 = 4 (սմ):

Առնչվող տեսանյութեր

Նախ, եկեք պայմանավորվենք նշագրման մասին: Ոտքը կոչվում է ուղղանկյուն եռանկյան կողմ, որը կից է ուղիղ անկյան հետ (այսինքն՝ մյուս կողմի հետ կազմում է 90 աստիճանի անկյուն)։ Մենք կհամաձայնվենք նշել a և b ոտքերի երկարությունները: Ոտքերին հակառակ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների արժեքները համապատասխանաբար կկոչվեն A և B: Հիպոթենուսը ուղղանկյուն եռանկյան այն կողմն է, որը գտնվում է ուղիղ անկյան հակառակ կողմը (այսինքն, այն գտնվում է ուղիղ անկյան դիմաց՝ եռանկյան մյուս կողմերի հետ ձևավորելով սուր անկյուններ)։ Հիպոթենուսի երկարությունը նշանակենք s-ով: Պահանջվող տարածքը նշե՛ք Ս.

Հրահանգ

Կիրառեք S = (a ^ 2) / (2 * tg (A)) բանաձևը, եթե ձեզ տրված է ոտքերից միայն մեկը (a), բայց այս ոտքին (A) հակառակ անկյունը նույնպես հայտնի է: «^2» նշանը նշանակում է քառակուսի:

Օգտագործեք S=(a^2)*tg(B)/2 d բանաձևը, եթե ձեզ տրված է ոտքերից միայն մեկը (a), բայց դուք նաև գիտեք այս ոտքին հարող անկյունը (B):

Առնչվող տեսանյութեր

Աղբյուրներ:

• «Մաթեմատիկական ձեռնարկ բուհերի դիմորդների համար», խմբ. Գ.Ն. Յակովլևա, 1982 թ.

Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև կապը ներառված է մաթեմատիկայի մի ճյուղում, որը կոչվում է եռանկյունաչափություն: Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը գտնելու համար բավական է իմանալ Պյութագորասի թեորեմը, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները և ունենալ որոշ միջոցներ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները գտնելու համար, օրինակ՝ հաշվիչ կամ Բրադիսի աղյուսակներ։ Ստորև դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը գտնելու խնդիրների հիմնական դեպքերը:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• Հաշվիչ, Bradis սեղաններ:

Հրահանգ

Եթե ​​տրված է սուր անկյուններից մեկը, օրինակ՝ A, իսկ ոտքերից մեկը, օրինակ՝ a, ապա հիպոթենուսը և մյուս ոտքը հաշվարկվում են հարաբերություններից՝ b=a*tg(A), c=a. *sin(A).

Օգտակար խորհուրդ

Այն դեպքում, երբ դուք չգիտեք հաշվարկի համար անհրաժեշտ անկյուններից մեկի սինուսի կամ կոսինուսի արժեքը, կարող եք օգտագործել Bradis աղյուսակները, որոնք ապահովում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները մեծ թվով անկյունների համար: Բացի այդ, ժամանակակից հաշվիչներն ի վիճակի են հաշվարկել անկյունների սինուսները և կոսինուսները:

Աղբյուրներ:

• ինչպես հաշվարկել ուղղանկյուն եռանկյան կողմը 2019թ

Հուշում 4. Ինչպես գտնել ուղղանկյուն եռանկյան հիմքը

Նման պատկերում, ինչպիսին է ուղղանկյուն եռանկյունը, անպայմանորեն կա կողմերի հստակ հարաբերակցություն միմյանց նկատմամբ: Նրանցից երկուսին իմանալով՝ միշտ կարող ես գտնել երրորդին։ Ինչպես դա կարելի է անել, դուք կսովորեք ստորև ներկայացված հրահանգներից:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - հաշվիչ.

Հրահանգ

Երկու ոտքերը քառակուսի դարձրեք և ավելացրեք դրանք a2 + b2: Արդյունքը հիպոթենուսն է ( հիմք) c2 քառակուսու վրա: Հաջորդը, դուք պարզապես պետք է արդյունահանեք արմատը վերջինից, և հայտնաբերվում է հիպոթենուսը: Այս մեթոդը պարզ է և հեշտ օգտագործման համար: Գլխավորը՝ կուսակցություններ գտնելու գործընթացում եռանկյունԱյսպիսով, մի մոռացեք արմատը հանել նախնական արդյունքից, որպեսզի խուսափեք ամենատարածված սխալից: Բանաձևը ստացվել է աշխարհում ամենահայտնի Պյութագորասի թեորեմի շնորհիվ, որը բոլոր աղբյուրներում ունի հետևյալ տեսքը՝ a2+b2 = c2:

a ոտքերից մեկը բաժանեք իր հակառակ անկյան sin α-ի սինուսով: Այն դեպքում, երբ կողմերը և սինուսները հայտնի են վիճակում, հիպոթենուսը գտնելու այս տարբերակը ընդունելի կլինի: Բանաձևն այս դեպքում կունենա շատ պարզ ձև՝ c=a/sin α: Զգույշ եղեք բոլոր հաշվարկներով.

Ա կողմը բազմապատկեք երկուսով: Հիպոթենուզը հաշվարկված է: Սա, թերևս, մեզ ձեռք գտնելու ամենատարրական միջոցն է: Բայց, ցավոք, այս մեթոդը կիրառվում է միայն մեկ դեպքում, եթե այն կողմը, որը գտնվում է անկյան հակառակ աստիճանի չափով, հավասար է երեսուն թվին: Եթե ​​կա մեկը, կարող եք վստահ լինել, որ այն միշտ կլինի հիպոթենուզի ուղիղ կեսը: Համապատասխանաբար, դուք պարզապես պետք է կրկնապատկեք այն, և վերջ:

a ոտքը բաժանեք դրան կից cos α անկյան կոսինուսի վրա: Այս մեթոդը հարմար է միայն այն դեպքում, եթե դուք գիտեք ոտքերից մեկը և դրան հարող անկյան կոսինուսը: Այս մեթոդը հիշեցնում է ավելի վաղ ձեզ արդեն ներկայացվածին, որում օգտագործվում է նաև ոտքը, բայց կոսինուսի փոխարեն՝ հակառակ անկյան սինուսը։ Միայն այս դեպքում այն ​​կունենա մի փոքր այլ տեսք՝ с=a/ cos α։ Այսքանը:

Խորհուրդ 5. Ինչպե՞ս գտնել անկյունը, եթե հայտնի են ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը

Tre քառակուսի, որի անկյուններից մեկն ուղիղ է (հավասար է 90 °), կոչվում է ուղիղ անկյուն։ Նրա ամենաերկար կողմը միշտ գտնվում է ուղիղ անկյան դիմաց և կոչվում է հիպոթենուս, իսկ մյուս երկուսը կողմերըկոչվում են չմուշկներ: Եթե ​​հայտնի են այս երեք կողմերի երկարությունները, ապա գտե՛ք եռանկյան բոլոր անկյունների արժեքները քառակուսիև դժվար չէ, քանի որ իրականում անհրաժեշտ է հաշվարկել միայն անկյուններից մեկը: Դա կարելի է անել մի քանի ձևով.

Հրահանգ

Օգտագործեք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանման մեծությունները (α, β, γ) հաշվարկելու համար ուղղանկյուն տրիով: Այդպիսին է, օրինակ, սուր անկյան սինուսի համար, ինչպիսին է հակառակ ոտքի երկարության հարաբերությունը հիպոթենուսի երկարությանը: Այսպիսով, եթե ոտքերի երկարությունները (A և B) և հիպոթենուսը (C), ապա դուք կարող եք գտնել, օրինակ, α անկյան սինուսը, որը գտնվում է A ոտքի դիմաց՝ բաժանելով երկարությունը: կողմերըԵվ երկարության համար կողմերը C (hypotenuse): sin(α)=A/C. Իմանալով այս անկյան սինուսի արժեքը, դուք կարող եք գտնել դրա արժեքը աստիճաններով՝ օգտագործելով սինուսի հակադարձ ֆունկցիան՝ աղեղը: Այսինքն, α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C): Նույն կերպ, դուք կարող եք գտնել սուր անկյան արժեքը եռանկյունու մեջ: քառակուսիե, բայց դա անհրաժեշտ չէ: Քանի որ բոլոր անկյունների գումարը քառակուսի a-ն 180° է, իսկ տր քառակուսիԵթե ​​անկյուններից մեկը հավասար է 90°-ի, ապա երրորդ անկյան արժեքը կարելի է հաշվարկել որպես 90°-ի և գտնված անկյան արժեքի տարբերություն՝ β=180°-90°-α=90°-α։

Սինուսը սահմանելու փոխարեն կարող եք օգտագործել սուր անկյան կոսինուսի սահմանումը, որը ձևակերպվում է որպես ցանկալի անկյան հարակից ոտքի երկարության հարաբերակցություն հիպոթենուսի երկարությանը. cos(α)=B/: Գ. Եվ ահա, օգտագործեք հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիան (արկկոզին)՝ անկյան արժեքը աստիճաններով գտնելու համար՝ α=arccos(cos(α))=arccos(B/C): Դրանից հետո, ինչպես նախորդ քայլում, մնում է գտնել բացակայող անկյան արժեքը՝ β=90°-α։

Դուք կարող եք օգտագործել նմանատիպ շոշափող - այն արտահայտվում է ցանկալի անկյան դիմաց գտնվող ոտքի երկարության հարաբերակցությամբ հարակից ոտքի երկարության հետ՝ tg(α)=A/B: Անկյունի արժեքը աստիճաններով կրկին որոշվում է հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի միջոցով՝ α=arctg(tg(α))=arctg(A/B): Բացակայող անկյան բանաձեւը կմնա անփոփոխ՝ β=90°-α:

Առնչվող տեսանյութեր

Հուշում 6. Ինչպես գտնել ուղղանկյուն եռանկյան կողմի երկարությունը

Եռանկյունը համարվում է ուղղանկյուն, եթե նրա անկյուններից մեկն ուղղանկյուն է: Կողք եռանկյունգտնվում է ուղիղ անկյան դիմաց, կոչվում է հիպոթենուս, իսկ մյուս երկուսը կողմերը- կաթետերներ. Ուղղանկյան կողմերի երկարությունները գտնելու համար եռանկյուն, կարող է օգտագործվել մի քանի եղանակներով.

Հրահանգ

1. Հայտնի են երկու ոտքերի արժեքները

Այս դեպքում ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.
S=0.5ab

2. Հայտնի է մեկ ոտքը և հիպոթենուսը

Նման պայմաններում առավել տրամաբանական է օգտագործել Պյութագորասի թեորեմը և վերը նշված բանաձևը.
S = 0,5∙sqrt(c^2-a^2)∙a,
որտեղ sqrt-ը քառակուսի արմատն է, c^2-a^2-ը հիպոթենուսի և ոտքի քառակուսու տարբերությունը ցույց տվող արմատական ​​արտահայտությունն է:

3. Հաշվի առնելով եռանկյան բոլոր կողմերի արժեքները

Նման խնդիրների համար կարող եք օգտագործել Heron բանաձևը.
S = (p-a) (p-b),
որտեղ p-ը կիսաշրջագիծն է, որը գտնում ենք հետևյալ արտահայտությամբ՝ p = 0,5∙ (a+b+c)

4. Հայտնի է մեկ ոտքը և անկյունը

Այստեղ արժե դիմել եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին։ Օրինակ՝ tg(1) = 1/сtg(1) = b/a: Այսինքն՝ այս հարաբերակցության շնորհիվ հնարավոր է որոշել անհայտ ոտքի արժեքը։ Այնուհետև խնդիրը կրճատվում է մինչև առաջին կետը։

5. Հայտնի հիպոթենուզա և անկյուն

Այս դեպքում օգտագործվում են նաև սինուսի և կոսինուսի եռանկյունաչափական ֆունկցիաները՝ cos(2)=1/sin(2) = b/c։ Այնուհետեւ խնդրի լուծումը կրճատվում է հոդվածի երկրորդ պարբերության վրա։

Առնչվող տեսանյութեր

Հուշում 11. Ինչպե՞ս են կոչվում ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը

սահմանումը նման է առաջինին: Ուղղանկյուն եռանկյունը եռանկյուն է, որն ունի երկու կողմ, որոնք ուղղահայաց են:

Հիպոթենուս և ոտքեր

Սուր և բութ եռանկյունիներում անկյունների գագաթները միացնող հատվածները պարզապես կոչվում են կողմեր։ Կողքն այլ անուններ ունի. Նրանք, որոնք կից են ուղիղ անկյան տակ, կոչվում են ոտքեր: Ուղղանկյունին հակառակ կողմը կոչվում է հիպոթենուս: Հունարենից թարգմանված «hypotenuse» բառը նշանակում է «ձգված», իսկ «ոտքը»՝ «ուղղահայաց»:

Հիպոթենուսի և ոտքերի միջև հարաբերությունները

Ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերը փոխկապակցված են որոշակի հարաբերակցությամբ, ինչը մեծապես հեշտացնում է հաշվարկները: Օրինակ, իմանալով ոտքերի չափերը, կարող եք հաշվարկել հիպոթենուսի երկարությունը: Այս հարաբերակցությունը, որն անվանվել է այն հայտնաբերողի անունով, կոչվել է Պյութագորասի թեորեմ և ունի հետևյալ տեսքը.

c2=a2+b2, որտեղ c-ն հիպոթենուսն է, a-ն և b-ն ոտքեր են: Այսինքն՝ հիպոթենուսը հավասար կլինի ոտքերի քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատին։ Ոտքերից որևէ մեկը գտնելու համար բավական է մյուս ոտքի քառակուսին հանել հիպոթենուսի քառակուսուց և ստացված տարբերությունից հանել քառակուսի արմատը։

Հարակից և հակառակ ոտքը

Գծե՛ք ACB ուղղանկյուն եռանկյուն: C տառը օգտագործվում է ուղիղ անկյան գագաթը նշելու համար, A-ն և B-ն սուր անկյունների գագաթներն են: Յուրաքանչյուր անկյան դիմաց գտնվող կողմերը հարմարորեն կոչվում են a, b և c՝ նրանց դիմացի անկյունների անուններից հետո: Դիտարկենք A անկյունը: Ոտքը a, քանի որ այն հակառակ կլինի, ոտքը b - հարակից: Հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունը կոչվում է. Այս եռանկյունաչափական ֆունկցիան կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով sinA=a/c բանաձեւը: Հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունը կոչվում է կոսինուս: Այն հաշվարկվում է բանաձեւով՝ cosA=b/c։

Այսպիսով, իմանալով անկյունը և կողմերից մեկը, այս բանաձևերով հնարավոր է հաշվարկել մյուս կողմը։ Երկու ոտքերը նույնպես կապված են եռանկյունաչափական հարաբերություններով։ Հակառակի հարակից հարաբերակցությունը կոչվում է շոշափող, իսկ հարակից հարակից հարաբերակցությունը՝ կոտանգենս։ Այս հարաբերակցությունները կարող են արտահայտվել tgA=a/b կամ ctgA=b/a բանաձևերով։

Եռանկյունը հարթ երկրաչափական պատկեր է, որի մեկ անկյունը հավասար է 90 °: Միևնույն ժամանակ, երկրաչափության մեջ հաճախ պահանջվում է հաշվարկել նման գործչի տարածքը: Ինչպես դա անել, մենք կպատմենք հետագա:

Ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսը որոշելու ամենապարզ բանաձևը

Սկզբնական տվյալներ, որտեղ՝ a և b-ն եռանկյան ուղիղ անկյան տակից դուրս եկող կողմերն են:

Այսինքն՝ մակերեսը հավասար է ուղիղ անկյան տակից դուրս եկած երկու կողմերի արտադրյալի կեսին։ Իհարկե, կա Հերոնի բանաձևը, որն օգտագործվում է սովորական եռանկյունու տարածքը հաշվարկելու համար, բայց արժեքը որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ երեք կողմերի երկարությունը: Համապատասխանաբար, դուք ստիպված կլինեք հաշվարկել հիպոթենուսը, և սա լրացուցիչ ժամանակ է:

Գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը՝ օգտագործելով Հերոնի բանաձևը

Սա հայտնի և օրիգինալ բանաձև է, բայց դրա համար դուք պետք է հաշվարկեք հիպոթենուսը երկու ոտքերի երկայնքով՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը:

Այս բանաձևում a, b, c-ն եռանկյան կողմերն են, իսկ p-ն կիսաշրջագիծն է:

Գտեք ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը տրված հիպոթենուսի և անկյունի համար

Եթե ​​ձեր խնդրի մեջ ոչ մի ոտք հայտնի չէ, ապա դուք չեք կարողանա օգտագործել ամենապարզ մեթոդը։ Արժեքը որոշելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել ոտքերի երկարությունը: Դա արվում է պարզապես ներառված անկյան հիպոթենուսի և կոսինուսի միջոցով:

b=c×cos(α)

Իմանալով ոտքերից մեկի երկարությունը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, կարող եք հաշվել ճիշտ անկյան տակից դուրս եկող երկրորդ կողմը։

b 2 \u003d c 2 -a 2

Այս բանաձևում c-ն և a-ն համապատասխանաբար հիպոթենուս և ոտք են: Այժմ դուք կարող եք հաշվարկել տարածքը, օգտագործելով առաջին բանաձեւը: Նույն կերպ կարելի է հաշվարկել ոտքերից մեկը՝ հաշվի առնելով երկրորդը և անկյունը։ Այս դեպքում ցանկալի կողմերից մեկը հավասար կլինի ոտքի արտադրյալին և անկյան շոշափմանը: Տարածքը հաշվարկելու այլ եղանակներ կան, սակայն, իմանալով հիմնական թեորեմներն ու կանոնները, հեշտությամբ կարող եք գտնել ցանկալի արժեքը։

Եթե ​​դուք չունեք եռանկյան կողմերից ոչ մեկը, այլ միայն միջնագիծը և անկյուններից մեկը, ապա կարող եք հաշվարկել կողմերի երկարությունը: Դա անելու համար օգտագործեք միջնագծի հատկությունները՝ ուղղանկյուն եռանկյունը երկուսի բաժանելու համար: Համապատասխանաբար, այն կարող է հանդես գալ որպես հիպոթենուս, եթե դուրս է գալիս սուր անկյան տակ։ Պյութագորասի թեորեմի օգնությամբ գտեք եռանկյան այն կողմերի երկարությունը, որոնք դուրս են գալիս ուղիղ անկյան տակ:

Ինչպես տեսնում եք, իմանալով հիմնական բանաձևերը և Պյութագորասի թեորեմը, կարող եք հաշվարկել ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսը, որն ունի միայն անկյուններից մեկը և կողմերից մեկի երկարությունը:

Ինչպես հիշում եք երկրաչափության դպրոցական ծրագրից, եռանկյունը պատկեր է, որը ձևավորվում է երեք հատվածներից, որոնք միացված են երեք կետերով, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա: Եռանկյունը կազմում է երեք անկյուն, այստեղից էլ պատկերի անվանումը։ Սահմանումը կարող է տարբեր լինել. Եռանկյունը կարելի է անվանել նաև երեք անկյուն ունեցող բազմանկյուն, պատասխանը նույնքան ճշմարիտ կլինի։ Եռանկյունները բաժանվում են ըստ պատկերների հավասար կողմերի քանակի և անկյունների մեծության: Այսպիսով, տարբերակեք այնպիսի եռանկյուններ, ինչպիսիք են հավասարաչափ, հավասարակողմ և մասշտաբային, ինչպես նաև համապատասխանաբար ուղղանկյուն, սուր և բութ անկյուն:

Եռանկյունի մակերեսը հաշվարկելու շատ բանաձևեր կան: Ընտրեք, թե ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը, այսինքն. որ բանաձեւն օգտագործել, միայն դուք: Բայց հարկ է նշել միայն որոշ նշումներ, որոնք օգտագործվում են բազմաթիվ բանաձևերում եռանկյունու տարածքը հաշվարկելու համար: Այսպիսով, հիշեք.

S-ը եռանկյան մակերեսն է,

a, b, c եռանկյան կողմերն են,

h եռանկյան բարձրությունն է,

R-ը շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է,

p-ը կիսաշրջագիծն է:

Ահա հիմնական նշումները, որոնք կարող են օգտակար լինել, եթե ամբողջովին մոռացել եք երկրաչափության ընթացքը: Եռանկյունու անհայտ և առեղծվածային տարածքը հաշվարկելու առավել հասկանալի և ոչ բարդ տարբերակները կտրվեն ստորև: Դա դժվար չէ և օգտակար կլինի ինչպես ձեր տան կարիքների, այնպես էլ ձեր երեխաներին օգնելու համար: Եկեք հիշենք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել եռանկյունու մակերեսը այնքան հեշտ, որքան տանձը խփելը.

Մեր դեպքում եռանկյունու մակերեսն է՝ S = ½ * 2,2 սմ * 2,5 սմ = 2,75 քառ. Հիշեք, որ տարածքը չափվում է քառակուսի սանտիմետրերով (քմ):

Ուղղանկյուն եռանկյունը և դրա մակերեսը:

Ուղղանկյուն եռանկյունը եռանկյուն է, որի մեկ անկյունը հավասար է 90 աստիճանի (հետևաբար կոչվում է ուղղանկյուն եռանկյուն): Ուղղանկյունը ձևավորվում է երկու ուղղահայաց գծերով (եռանկյան դեպքում՝ երկու ուղղահայաց հատված)։ Ուղղանկյուն եռանկյունում կարող է լինել միայն մեկ ուղիղ անկյուն, քանի որ Ցանկացած եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը 180 աստիճան է: Ստացվում է, որ ևս 2 անկյունները պետք է բաժանեն իրենց միջև մնացած 90 աստիճանը, օրինակ՝ 70 և 20, 45 և 45 և այլն։ Այսպիսով, դուք հիշեցիք հիմնականը, մնում է սովորել, թե ինչպես գտնել ուղղանկյուն եռանկյունու տարածքը: Պատկերացրեք, որ մեր դիմաց ունենք այսպիսի ուղղանկյուն եռանկյուն, և մենք պետք է գտնենք դրա մակերեսը Ս.

1. Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը որոշելու ամենահեշտ ձևը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

Մեր դեպքում ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսն է՝ S = 2,5 սմ * 3 սմ / 2 = 3,75 քառ.

Սկզբունքորեն, այլևս անհրաժեշտ չէ ստուգել եռանկյունու տարածքը այլ ձևերով, քանի որ առօրյա կյանքում դա օգտակար կլինի, և միայն այս մեկը կօգնի։ Բայց կան նաև տարբերակներ՝ եռանկյունու տարածքը սուր անկյուններով չափելու համար:

2. Հաշվարկման այլ մեթոդների համար դուք պետք է ունենաք կոսինուսների, սինուսների և շոշափողների աղյուսակ: Ինքներդ դատեք, ահա ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսները հաշվարկելու որոշ տարբերակներ, որոնք դեռ կարող եք օգտագործել.

Մենք որոշեցինք օգտագործել առաջին բանաձևը և փոքր բծերով (նոթատետրում նկարեցինք և օգտագործեցինք հին քանոն և անկյունաչափ), բայց ստացանք ճիշտ հաշվարկ.

S \u003d (2.5 * 2.5) / (2 * 0.9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1.2): Նման արդյունքներ ստացանք 3.6=3.7, բայց հաշվի առնելով բջիջների տեղաշարժը, կարող ենք ներել այս նրբերանգը։

Isosceles եռանկյունին և դրա մակերեսը:

Եթե ​​դուք կանգնած եք հավասարաչափ եռանկյունու բանաձևը հաշվարկելու առաջադրանքով, ապա ամենահեշտ ձևը հիմնականն օգտագործելն է և, ինչպես համարվում է եռանկյունու տարածքի դասական բանաձևը:

Բայց նախ, նախքան հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը գտնելը, մենք կիմանանք, թե ինչպիսի պատկեր է դա: Հավասարաչափ եռանկյունը եռանկյուն է, որի երկու կողմերը նույն երկարությունն են: Այս երկու կողմերը կոչվում են կողմեր, երրորդ կողմը կոչվում է հիմք։ Մի շփոթեք հավասարաչափ եռանկյունին հավասարակողմի հետ, այսինքն. հավասարակողմ եռանկյուն, որի բոլոր երեք կողմերը հավասար են: Նման եռանկյունում առանձնահատուկ հակումներ չկան դեպի անկյունները, ավելի ճիշտ՝ դրանց չափերը։ Այնուամենայնիվ, հավասարաչափ եռանկյունու հիմքի անկյունները հավասար են, բայց տարբերվում են հավասար կողմերի միջև եղած անկյունից: Այսպիսով, դուք արդեն գիտեք առաջին և հիմնական բանաձևը, մնում է պարզել, թե ինչ այլ բանաձևեր են հայտնի հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը որոշելու համար.

Ուղղանկյուն եռանկյունին իրականում հանդիպում է գրեթե ամեն անկյունում: Այս գործչի հատկությունների իմացությունը, ինչպես նաև դրա տարածքը հաշվարկելու ունակությունը, անկասկած, օգտակար կլինեն ձեզ ոչ միայն երկրաչափության, այլև կյանքի իրավիճակներում խնդիրների լուծման համար:

եռանկյունի երկրաչափություն

Տարրական երկրաչափության մեջ ուղղանկյուն եռանկյունը այն պատկերն է, որը բաղկացած է երեք միացված հատվածներից, որոնք կազմում են երեք անկյուն (երկու սուր և մեկ ուղիղ): Ուղղանկյուն եռանկյունը բնօրինակ պատկեր է, որը բնութագրվում է մի շարք կարևոր հատկություններով, որոնք կազմում են եռանկյունաչափության հիմքը: Ի տարբերություն սովորական եռանկյունու, ուղղանկյուն գործչի կողմերն ունեն իրենց անունները.

• Հիպոթենուսը եռանկյան ամենաերկար կողմն է, որը գտնվում է ուղիղ անկյան դիմաց:
• Ոտքեր - հատվածներ, որոնք կազմում են ուղիղ անկյուն: Կախված դիտարկվող անկյունից, ոտքը կարող է հարևան լինել (այս անկյունը ձևավորելով հիպոթենուսով) կամ հակառակ (անկյան հակառակ ընկած): Ոչ ուղղանկյուն եռանկյունների համար ոտքեր չկան:

Հենց ոտքերի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է կազմում եռանկյունաչափության հիմքը. սինուսները, շոշափողներն ու հատվածները սահմանվում են որպես ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերակցություն:

Ուղղանկյուն եռանկյուն իրականում

Այս ցուցանիշը լայնորեն կիրառվում է իրականում։ Եռանկյունները օգտագործվում են դիզայնի և տեխնոլոգիայի մեջ, ուստի գործչի տարածքի հաշվարկը պետք է կատարվի ինժեներների, ճարտարապետների և դիզայներների կողմից: Տետրաեդրների կամ պրիզմայի հիմքերը ունեն եռանկյունու ձև՝ եռաչափ ֆիգուրներ, որոնք հեշտ է հանդիպել առօրյա կյանքում: Բացի այդ, քառակուսին իրականության մեջ «հարթ» ուղղանկյուն եռանկյունու ամենապարզ պատկերն է: Քառակուսին փականագործ, գծանկարչական, շինարարական և ատաղձագործական գործիք է, որն օգտագործվում է թե՛ դպրոցականների, թե՛ ինժեներների կողմից անկյուններ կառուցելու համար:

Եռանկյունի մակերեսը

Երկրաչափական պատկերի մակերեսը քանակական գնահատական ​​է այն բանի, թե հարթության որքան մասն է սահմանափակված եռանկյան կողմերից: Սովորական եռանկյունու մակերեսը կարելի է գտնել հինգ եղանակով՝ օգտագործելով Հերոնի բանաձևը կամ գործելով այնպիսի փոփոխականներով, ինչպիսիք են ներգծված կամ շրջագծված շրջանագծի հիմքը, կողմը, անկյունը և շառավիղը: Տարածքի ամենապարզ բանաձևը արտահայտվում է հետևյալ կերպ.

որտեղ a-ն եռանկյան կողմն է, h-ը նրա բարձրությունն է:

Ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու բանաձևը նույնիսկ ավելի պարզ է.

որտեղ a-ն և b-ն ոտքեր են:

Աշխատելով մեր առցանց հաշվիչի հետ՝ դուք կարող եք հաշվարկել եռանկյունու մակերեսը՝ օգտագործելով երեք զույգ պարամետրեր.

• երկու ոտք;
• ոտքը և հարակից անկյունը;
• ոտքը և հակառակ անկյունը:

Առաջադրանքներում կամ առօրյա իրավիճակներում ձեզ կտրամադրվեն փոփոխականների տարբեր համակցություններ, ուստի հաշվիչի այս ձևը թույլ է տալիս հաշվարկել եռանկյունու մակերեսը մի քանի ձևով: Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Իրական կյանքի օրինակներ

Կերամիկական սալիկ

Ենթադրենք, ցանկանում եք խոհանոցի պատերը երեսպատել կերամիկական սալիկներով, որոնք ունեն ուղղանկյուն եռանկյունու տեսք։ Սալիկների սպառումը որոշելու համար դուք պետք է պարզեք երեսպատման մեկ տարրի տարածքը և մշակման ենթակա մակերեսի ընդհանուր մակերեսը: Ենթադրենք, դուք պետք է մշակեք 7 քմ. Մեկ տարրի ոտքերի երկարությունը յուրաքանչյուրը 19 սմ է, ապա սալիկի մակերեսը հավասար կլինի.

Սա նշանակում է, որ մեկ տարրի մակերեսը կազմում է 24,5 քառակուսի սանտիմետր կամ 0,01805 քմ։ Իմանալով այս պարամետրերը, կարող եք հաշվարկել, որ պատի 7 քառակուսի մետրը ավարտելու համար ձեզ հարկավոր է 7 / 0,01805 = 387 երեսպատման սալիկ:

դպրոցական առաջադրանք

Ենթադրենք, որ դպրոցական երկրաչափության խնդիրում պահանջվում է գտնել ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը՝ իմանալով միայն, որ մի ոտքի կողմը 5 սմ է, իսկ հակառակ անկյան արժեքը՝ 30 աստիճան։ Մեր առցանց հաշվիչը ուղեկցվում է նկարազարդմամբ, որը ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերն ու անկյունները: Եթե ​​կողմը a = 5 սմ է, ապա դրա հակառակ անկյունը ալֆա անկյունն է, որը հավասար է 30 աստիճանի: Մուտքագրեք այս տվյալները հաշվիչի ձևի մեջ և ստացեք արդյունքը.

Այսպիսով, հաշվիչը ոչ միայն հաշվարկում է տվյալ եռանկյունու տարածքը, այլև որոշում է հարակից ոտքի և հիպոթենուսի երկարությունը, ինչպես նաև երկրորդ անկյան արժեքը:

Եզրակացություն

Ուղղանկյուն եռանկյունները մեր կյանքում հանդիպում են բառացիորեն յուրաքանչյուր անկյունում: Նման թվերի տարածքը որոշելը ձեզ օգտակար կլինի ոչ միայն երկրաչափության դպրոցական առաջադրանքները լուծելիս, այլև առօրյա և մասնագիտական ​​գործունեության մեջ:

Ավագ դպրոցի երկրաչափության դասերին մեզ բոլորիս սովորեցնում էին եռանկյունների մասին: Սակայն դպրոցական ուսումնական ծրագրի շրջանակներում մենք ստանում ենք միայն ամենաանհրաժեշտ գիտելիքները և սովորում հաշվարկի ամենատարածված և ստանդարտ մեթոդները։ Կա՞ն այս արժեքը գտնելու անսովոր ուղիներ:

Որպես ներածություն հիշենք, թե որ եռանկյունն է համարվում ուղղանկյուն եռանկյուն, ինչպես նաև նշանակենք տարածք հասկացությունը։

Ուղղանկյուն եռանկյունը փակ երկրաչափական պատկեր է, որի անկյուններից մեկը հավասար է 90 0-ի։ Սահմանման ինտեգրալ հասկացություններն են ոտքերը և հիպոթենուսը: Ոտքերը երկու կողմեր ​​են, որոնք միացման կետում ուղիղ անկյուն են կազմում: Հիպոթենուսը ճիշտ անկյան հակառակ կողմն է: Ուղղանկյուն եռանկյունը կարող է լինել հավասարաչափ (նրա երկու կողմերը նույն չափը կլինեն), բայց երբեք հավասարակողմ (բոլոր կողմերն ունեն նույն երկարությունը): Բարձրության, միջինի, վեկտորների և մաթեմատիկական այլ տերմինների սահմանումները մանրամասն չեն վերլուծվի: Դրանք հեշտ է գտնել տեղեկատու գրքերում:

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը: Ի տարբերություն ուղղանկյունների, կանոնը մասին

սահմանման մեջ կողմերի արտադրանքը վավեր չէ: Խոսելով տերմինների չոր լեզվով, ապա եռանկյան մակերեսը հասկացվում է որպես այս գործչի հատկությունը՝ զբաղեցնելու հարթության մի մասը՝ արտահայտված թվով: Բավական դժվար է հասկանալ, տեսնում եք: Մենք չենք փորձի խորանալ սահմանման մեջ, մեր նպատակը սա չէ. Եկեք անցնենք հիմնականին` ինչպե՞ս գտնել ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսը: Մենք ինքներս չենք կատարի հաշվարկները, մենք կնշենք միայն բանաձևերը։ Դա անելու համար սահմանենք նշումը՝ A, B, C - եռանկյան կողմերը, ոտքերը՝ AB, BC: ACB անկյունը ուղիղ է: S-ը եռանկյան մակերեսն է, h n-ն եռանկյան բարձրությունն է, որտեղ nn-ն այն կողմն է, որի վրա այն իջեցվել է:

Մեթոդ 1. Ինչպես գտնել ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը, եթե հայտնի է նրա ոտքերի չափը

Մեթոդ 2. Գտե՛ք հավասարաչափ ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը

Մեթոդ 3. Մակերեսի հաշվարկ ուղղանկյան միջով

Ուղղանկյուն եռանկյունը լրացնում ենք քառակուսի (եթե եռանկյունը

isosceles) կամ ուղղանկյուն: Մենք ստանում ենք պարզ քառանկյուն, որը կազմված է 2 նույնական ուղղանկյուն եռանկյուններից: Այս դեպքում դրանցից մեկի տարածքի արժեքը հավասար կլինի ստացված գործչի տարածքի կեսին: Ուղղանկյան S-ը հաշվարկվում է կողմերի արտադրյալով: Այս արժեքը նշում ենք M-ով: Տարածքի ցանկալի արժեքը հավասար կլինի M-ի կեսին:

Մեթոդ 4. «Պյութագորասյան շալվար». Հայտնի Պյութագորասի թեորեմը

Մենք բոլորս հիշում ենք նրա ձևակերպումը. «ոտքերի քառակուսիների գումարը…»: Բայց ոչ բոլորը կարող են

ասենք, իսկ ահա մի քանի «շալվար». Փաստն այն է, որ ի սկզբանե Պյութագորասը ուսումնասիրել է ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի վրա կառուցված հարաբերությունները: Քառակուսիների կողմերի հարաբերակցության օրինաչափություններ հայտնաբերելով՝ նա կարողացավ դուրս բերել բոլորիս հայտնի բանաձևը։ Այն կարող է օգտագործվել, երբ կողմերից մեկի արժեքը անհայտ է:

Մեթոդ 5. Ինչպես գտնել ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը՝ օգտագործելով Հերոնի բանաձևը

Սա նաև բավականին պարզ հաշվարկ է: Բանաձևը ներառում է եռանկյան տարածքի արտահայտությունը նրա կողմերի թվային արժեքների առումով: Հաշվարկների համար անհրաժեշտ է իմանալ եռանկյան բոլոր կողմերի մեծությունը:

S = (p-AC)*(p-BC), որտեղ p = (AB+BC+AC)*0.5

Բացի վերը նշվածից, եռանկյունի նման խորհրդավոր գործչի չափը գտնելու բազմաթիվ այլ եղանակներ կան: Դրանցից՝ ներգծված կամ շրջագծված շրջանագծի մեթոդով հաշվարկ, գագաթների կոորդինատների միջոցով հաշվարկ, վեկտորների, բացարձակ արժեքների, սինուսների, շոշափողների օգտագործում։