Պի վերաբերմունքը. Սկսեք գիտության մեջ

Ամբողջ աշխարհի մաթեմատիկոսները ամեն տարի մարտի 14-ին ուտում են մի կտոր թխվածք, ի վերջո, սա Պիի օրն է՝ ամենահայտնի իռացիոնալ թիվը։ Այս ամսաթիվն ուղղակիորեն կապված է այն թվի հետ, որի առաջին նիշերն են 3.14: Pi-ն շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերությունն է: Քանի որ դա իռացիոնալ է, անհնար է այն գրել որպես կոտորակ: Սա անսահման երկար թիվ է։ Այն հայտնաբերվել է հազարավոր տարիներ առաջ և այդ ժամանակից ի վեր մշտապես ուսումնասիրվել է, բայց արդյոք Պիին որևէ գաղտնիք մնաց: Հնագույն ծագումից մինչև անորոշ ապագա, ահա ամենահետաքրքիր փաստերը pi-ի մասին:

Անգիր անելով Պի

Տասնորդական կետից հետո թվերը հիշելու ռեկորդը պատկանում է հնդիկ Ռաջվեեր Միենային, ով կարողացել է անգիր անել 70000 թվանշան՝ նա ռեկորդ է սահմանել 2015 թվականի մարտի 21-ին։ Մինչ այդ ռեկորդակիրը չինացի Չաո Լուն էր, ով կարողացել էր անգիր անել 67890 թվանշան՝ այս ռեկորդը սահմանվել էր 2005թ. Ոչ պաշտոնական ռեկորդակիրը Ակիրա Հարագուչին է, ով 2005 թվականին տեսագրել է իր 100000 թվանշանների կրկնությունը և վերջերս հրապարակել է մի տեսանյութ, որտեղ կարողանում է հիշել 117000 թվանշան։ Պաշտոնական ռեկորդ կդառնա միայն այն դեպքում, եթե այս տեսահոլովակը ձայնագրվի Գինեսի ռեկորդների գրքի ներկայացուցչի ներկայությամբ, և առանց հաստատման այն մնում է միայն տպավորիչ փաստ, բայց ձեռքբերում չի համարվում։ Մաթեմատիկայի սիրահարները սիրում են անգիր անել Pi թիվը: Շատ մարդիկ օգտագործում են տարբեր մնեմոնիկ մեթոդներ, ինչպիսիք են պոեզիան, որտեղ յուրաքանչյուր բառի տառերի թիվը նույնն է, ինչ pi-ն: Յուրաքանչյուր լեզու ունի նման արտահայտությունների իր տարբերակները, որոնք օգնում են հիշել ինչպես առաջին մի քանի թվանշանները, այնպես էլ ամբողջ հարյուրը:

Գոյություն ունի Pi լեզու

Գրականությամբ տարված՝ մաթեմատիկոսները հայտնագործեցին մի բարբառ, որտեղ բոլոր բառերի տառերի թիվը համապատասխանում է Pi-ի թվանշաններին ճշգրիտ հերթականությամբ։ Գրող Մայք Քիթը նույնիսկ գիրք է գրել՝ Not a Wake, որն ամբողջությամբ գրված է Pi լեզվով։ Նման ստեղծագործության սիրահարներն իրենց աշխատանքները գրում են տառերի քանակին և թվերի նշանակությանը լիովին համապատասխան: Սա գործնական կիրառություն չունի, բայց բավականին տարածված ու հայտնի երեւույթ է խանդավառ գիտնականների շրջանակներում։

Էքսպոնենցիալ աճ

Pi-ն անսահման թիվ է, ուստի մարդիկ, ըստ սահմանման, երբեք չեն կարողանա պարզել այս թվի ճշգրիտ թվերը: Այնուամենայնիվ, տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը մեծապես աճել է Pi-ի առաջին օգտագործումից հետո: Նույնիսկ բաբելոնացիներն էին դա օգտագործում, բայց երեքի և մեկ ութերորդի մասնաբաժինը բավական էր նրանց համար։ Չինացիները և Հին Կտակարանը ստեղծողները լիովին սահմանափակված էին երեքով. 1665 թվականին սըր Իսահակ Նյուտոնը հաշվարկել էր pi-ի 16 նիշ։ 1719 թվականին ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Թոմ Ֆանտե դե Լագնին հաշվարկել էր 127 թվանշան։ Համակարգիչների հայտնվելը արմատապես բարելավել է մարդու գիտելիքները Pi-ի մասին: 1949-1967 թվականներին մարդուն հայտնի թվանշանների թիվը 2037-ից հասել է 500000-ի: Ոչ վաղ անցյալում շվեյցարացի գիտնական Փիթեր Թրուբը կարողացավ հաշվարկել Pi-ի 2,24 տրիլիոն նիշ: Սա տևեց 105 օր: Իհարկե, սա սահմանը չէ։ Հավանական է, որ տեխնոլոգիայի զարգացմամբ հնարավոր կլինի նույնիսկ ավելի ճշգրիտ ցուցանիշ հաստատել. քանի որ Pi-ն անսահման է, ճշգրտության սահմանափակում պարզապես չկա, և միայն համակարգչային տեխնոլոգիայի տեխնիկական հատկանիշները կարող են սահմանափակել այն:

Pi-ի ձեռքով հաշվարկ

Եթե ​​ցանկանում եք ինքներդ գտնել համարը, կարող եք օգտագործել հնաոճ տեխնիկան՝ ձեզ հարկավոր կլինի քանոն, բանկա և թել, կարող եք նաև օգտագործել անկյունաչափ և մատիտ։ Սափոր օգտագործելու բացասական կողմն այն է, որ այն պետք է լինի կլոր, և ճշգրտությունը կորոշվի նրանով, թե որքան լավ է մարդը կարող պարանը փաթաթել դրա շուրջը: Հնարավոր է շրջանագիծ նկարել անկյունաչափով, բայց դա նաև հմտություն և ճշգրտություն է պահանջում, քանի որ անհավասար շրջանակը կարող է լրջորեն խեղաթյուրել ձեր չափումները: Ավելի ճշգրիտ մեթոդը ներառում է երկրաչափության օգտագործումը: Շրջանակը բաժանեք բազմաթիվ հատվածների, օրինակ՝ պիցցայի կտորների, այնուհետև հաշվարկեք ուղիղ գծի երկարությունը, որը յուրաքանչյուր հատվածը կվերածի հավասարաչափ եռանկյունու: Կողմերի գումարը կտա մոտավոր թվով pi: Որքան շատ հատվածներ օգտագործեք, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի թիվը: Իհարկե, ձեր հաշվարկներում դուք չեք կարողանա մոտենալ համակարգչի արդյունքներին, այնուամենայնիվ, այս պարզ փորձերը թույլ են տալիս ավելի մանրամասն հասկանալ, թե ինչ է Pi-ն ընդհանրապես և ինչպես է այն օգտագործվում մաթեմատիկայի մեջ:

Pi-ի հայտնաբերումը

Հին բաբելոնացիները Pi թվի գոյության մասին գիտեին արդեն չորս հազար տարի առաջ։ Բաբելոնյան տախտակները Pi-ն հաշվարկում են 3,125, իսկ եգիպտական ​​մաթեմատիկական պապիրուսը պարունակում է 3,1605 թիվը։ Աստվածաշնչում Pi թիվը տրված է հնացած երկարությամբ՝ կանգուններով, իսկ հույն մաթեմատիկոս Արքիմեդը օգտագործել է Պյութագորասի թեորեմը՝ Պին նկարագրելու համար՝ եռանկյան կողմերի երկարության և մակերեսի երկրաչափական հարաբերակցությունը։ Ֆիգուրները շրջանակների ներսում և դրսում: Այսպիսով, կարելի է վստահորեն ասել, որ Pi-ն ամենահին մաթեմատիկական հասկացություններից մեկն է, թեև այս թվի ճշգրիտ անվանումը հայտնվել է համեմատաբար վերջերս:

Pi-ի նոր մոտեցում

Նույնիսկ մինչ pi-ն կապված էր շրջանակների հետ, մաթեմատիկոսներն արդեն ունեին այս թիվը նույնիսկ անվանելու բազմաթիվ եղանակներ: Օրինակ՝ հնագույն մաթեմատիկայի դասագրքերում կարելի է գտնել լատիներեն արտահայտություն, որը մոտավորապես կարելի է թարգմանել որպես «այն մեծություն, որը ցույց է տալիս երկարությունը, երբ տրամագիծը բազմապատկվում է դրանով»։ Իռացիոնալ թիվը հայտնի դարձավ, երբ շվեյցարացի գիտնական Լեոնհարդ Էյլերը օգտագործեց այն 1737 թվականին եռանկյունաչափության իր աշխատության մեջ։ Այնուամենայնիվ, pi-ի հունական խորհրդանիշը դեռևս չի օգտագործվել. դա տեղի է ունեցել միայն քիչ հայտնի մաթեմատիկոս Ուիլյամ Ջոնսի գրքում: Նա օգտագործել է այն դեռևս 1706 թվականին, սակայն այն երկար ժամանակ անտեսվել է։ Ժամանակի ընթացքում գիտնականներն ընդունեցին այս անվանումը, և այժմ սա անվան ամենահայտնի տարբերակն է, թեև նախկինում այն ​​կոչվում էր նաև Լյուդոլֆի համար:

Արդյո՞ք pi-ն նորմալ է:

Pi թիվը միանշանակ տարօրինակ է, բայց ինչպե՞ս է այն ենթարկվում նորմալ մաթեմատիկական օրենքներին: Գիտնականներն արդեն լուծել են այս իռացիոնալ թվի հետ կապված բազմաթիվ հարցեր, սակայն որոշ առեղծվածներ դեռևս մնում են։ Օրինակ, հայտնի չէ, թե որքան հաճախ են օգտագործվում բոլոր թվանշանները. 0-ից 9 թվերը պետք է օգտագործվեն հավասար համամասնությամբ: Այնուամենայնիվ, վիճակագրությունը կարելի է հետևել առաջին տրիլիոն թվանշաններով, բայց քանի որ թիվը անսահման է, անհնար է որևէ բան հաստատապես ապացուցել։ Կան այլ խնդիրներ, որոնք դեռևս խուսափում են գիտնականներից: Հնարավոր է, որ գիտության հետագա զարգացումը օգնի լույս սփռել դրանց վրա, սակայն այս պահին դա դուրս է մնում մարդկային բանականության սահմաններից։

Pi-ն աստվածային է հնչում

Գիտնականները չեն կարողանում պատասխանել Pi թվի վերաբերյալ որոշ հարցերի, սակայն ամեն տարի ավելի լավ են հասկանում դրա էությունը։ Արդեն տասնութերորդ դարում ապացուցվեց այս թվի իռացիոնալությունը։ Բացի այդ, ապացուցվել է, որ թիվը տրանսցենդենտալ է։ Սա նշանակում է, որ չկա հստակ բանաձև, որը թույլ կտա ռացիոնալ թվերի միջոցով հաշվարկել pi-ն։

Դժգոհություն Պի

Շատ մաթեմատիկոսներ պարզապես սիրահարված են Պիին, բայց կան այնպիսիք, ովքեր կարծում են, որ այդ թվերը առանձնահատուկ նշանակություն չունեն։ Բացի այդ, նրանք պնդում են, որ Tau թիվը, որը երկու անգամ մեծ է Pi-ից, ավելի հարմար է օգտագործել որպես իռացիոնալ: Տաուն ցույց է տալիս շրջագծի և շառավիղի փոխհարաբերությունը, որը, ոմանց կարծիքով, ավելի տրամաբանական հաշվարկի մեթոդ է ներկայացնում։ Այնուամենայնիվ, անհնար է միանշանակորեն ինչ-որ բան որոշել այս հարցում, և մեկը և մյուսը միշտ կունենան կողմնակիցներ, երկու մեթոդներն էլ կյանքի իրավունք ունեն, այնպես որ սա պարզապես հետաքրքիր փաստ է, և ոչ թե պատճառ մտածելու, որ չպետք է. օգտագործեք Pi թիվը:

Ո՞րն է pi թիվըմենք գիտենք ու հիշում ենք դպրոցից: Այն հավասար է 3,1415926-ի և այլն... Բավական է, որ սովորական մարդն իմանա, որ այս թիվը ստացվում է շրջանագծի շրջագիծը տրամագծի վրա բաժանելով։ Բայց շատերը գիտեն, որ Pi թիվը հայտնվում է անսպասելի ոլորտներում ոչ միայն մաթեմատիկայի և երկրաչափության, այլև ֆիզիկայի մեջ: Դե, եթե խորանաք այս թվի բնույթի մանրամասների մեջ, ապա թվերի անվերջ շարքի մեջ կարող եք տեսնել բազմաթիվ անակնկալներ: Հնարավո՞ր է, որ Պին թաքցնում է տիեզերքի ամենախոր գաղտնիքները:

Անսահման թիվ

Pi թիվը ինքնին առաջանում է մեր աշխարհում որպես շրջանագծի երկարություն, որի տրամագիծը հավասար է մեկի: Բայց, չնայած այն հանգամանքին, որ Pi-ին հավասար հատվածը բավականին վերջավոր է, Pi թիվը սկսվում է 3.1415926-ի նման և գնում դեպի անվերջություն այն թվերի շարքերում, որոնք երբեք չեն կրկնվում: Առաջին զարմանալի փաստն այն է, որ այս թիվը, որն օգտագործվում է երկրաչափության մեջ, չի կարող արտահայտվել որպես ամբողջ թվերի կոտորակ: Այլ կերպ ասած, դուք չեք կարող դա գրել որպես երկու թվերի հարաբերակցություն a/b: Բացի այդ, Pi թիվը տրանսցենդենտալ է: Սա նշանակում է, որ չկա այնպիսի հավասարում (բազմանդամ) ամբողջ թվային գործակիցներով, որի լուծումը կլիներ Pi-ն։

Այն, որ Pi թիվը տրանսցենդենտ է, ապացուցվել է 1882 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս ֆոն Լինդեմանի կողմից։ Հենց այս ապացույցը դարձավ այն հարցի պատասխանը, թե հնարավո՞ր է կողմնացույցով և քանոնով քառակուսի գծել, որի մակերեսը հավասար է տվյալ շրջանագծի մակերեսին։ Այս խնդիրը հայտնի է որպես շրջանագծի քառակուսիների որոնում, որը հնագույն ժամանակներից անհանգստացրել է մարդկությանը: Թվում էր, թե այս խնդիրն ունի պարզ լուծում և մոտ է բացահայտմանը։ Բայց դա pi-ի անհասկանալի հատկությունն էր, որը ցույց էր տալիս, որ շրջանագծի քառակուսի կազմելու խնդիրը լուծում չունի։

Առնվազն չորսուկես հազարամյակների ընթացքում մարդկությունը փորձում է ստանալ pi-ի ավելի ճշգրիտ արժեքը: Օրինակ, Աստվածաշնչում Թագավորների 1-ին գրքում (7:23) pi թիվը վերցված է 3-ի:

Ճշգրտությամբ ուշագրավ է, որ Pi-ի արժեքը կարելի է գտնել Գիզայի բուրգերում՝ բուրգերի պարագծի և բարձրության հարաբերակցությունը 22/7 է։ Այս կոտորակը տալիս է Pi-ի մոտավոր արժեքը, որը հավասար է 3,142-ի... Եթե, իհարկե, եգիպտացիները պատահաբար նման հարաբերակցություն չեն սահմանել։ Նույն արժեքը արդեն Pi թվի հաշվարկի առնչությամբ ստացել է մ.թ.ա III դարում մեծ Արքիմեդը։

Ահմես պապիրուսում՝ հին եգիպտական ​​մաթեմատիկայի դասագրքում, որը թվագրվում է մ.թ.ա 1650 թվականին, Pi-ն հաշվարկվում է որպես 3.160493827:

Հին հնդկական տեքստերում մ.թ.ա. 9-րդ դարում ամենաճշգրիտ արժեքը արտահայտվել է 339/108 թվով, որը հավասար է 3,1388 ...

Արքիմեդից հետո գրեթե երկու հազար տարի մարդիկ փորձում էին գտնել pi-ի հաշվարկման ուղիներ: Նրանց թվում կային ինչպես հայտնի, այնպես էլ անհայտ մաթեմատիկոսներ։ Օրինակ՝ հռոմեացի ճարտարապետ Մարկ Վիտրուվիուս Պոլլիոն, եգիպտացի աստղագետ Կլավդիոս Պտղոմեոսը, չինացի մաթեմատիկոս Լյու Հուին, հնդիկ իմաստուն Արիաբհատան, միջնադարյան մաթեմատիկոս Լեոնարդոն Պիզայից, հայտնի որպես Ֆիբոնաչի, արաբ գիտնական Ալ-Խվարեզմին, որի անունից է բառը։ հայտնվեց «ալգորիթմը». Նրանք բոլորը և շատ այլ մարդիկ փնտրում էին Pi-ի հաշվարկման ամենաճշգրիտ մեթոդները, բայց մինչև 15-րդ դարը նրանք երբեք տասնորդական կետից հետո 10 նիշից ավելի չէին ստանում՝ հաշվարկների բարդության պատճառով:

Ի վերջո, 1400 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս Մադավան Սանգամագրամից հաշվարկեց Pi-ն մինչև 13 թվանշանների ճշգրտությամբ (չնայած վերջին երկուսում նա դեռ սխալ էր թույլ տվել):

Նշանների քանակը

17-րդ դարում Լայբնիցը և Նյուտոնը հայտնաբերեցին անվերջ փոքր մեծությունների վերլուծությունը, որը հնարավորություն տվեց ավելի առաջադեմ հաշվարկել pi-ն՝ ուժային շարքերի և ինտեգրալների միջոցով։ Ինքը՝ Նյուտոնը, հաշվարկել է 16 տասնորդական նիշ, բայց դա չի նշել իր գրքերում, դա հայտնի է դարձել նրա մահից հետո: Նյուտոնը պնդում էր, որ նա միայն ձանձրույթից է հաշվարկել Pi-ին:

Մոտավորապես միևնույն ժամանակ, այլ քիչ հայտնի մաթեմատիկոսներ նույնպես առաջ քաշվեցին՝ առաջարկելով Pi թիվը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջոցով հաշվարկելու նոր բանաձևեր։

Օրինակ, ահա 1706 թվականին աստղագիտության ուսուցիչ Ջոն Մաչինի կողմից Pi-ը հաշվարկելու համար օգտագործված բանաձևը՝ PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239): Օգտագործելով վերլուծության մեթոդները՝ Մաչինը այս բանաձևից ստացավ Pi թիվը հարյուր տասնորդական թվերով:

Ի դեպ, նույն 1706 թվականին Pi թիվը հունարեն տառի տեսքով ստացել է պաշտոնական նշանակում. այն օգտագործել է Ուիլյամ Ջոնսը մաթեմատիկայի վերաբերյալ իր աշխատության մեջ՝ վերցնելով հունարեն «ծայրամաս» բառի առաջին տառը, որը նշանակում է. «շրջանակ». 1707 թվականին ծնված մեծ Լեոնհարդ Էյլերը հանրահռչակեց այս անվանումը, որն այժմ հայտնի է ցանկացած դպրոցականի։

Մինչ համակարգիչների դարաշրջանը, մաթեմատիկոսները մտահոգված էին հնարավորինս շատ նշանների հաշվարկով: Այս առումով երբեմն հետաքրքրասիրություններ էին լինում։ Սիրողական մաթեմատիկոս Վ. Շենքսը 1875 թվականին հաշվարկել է pi-ի 707 նիշ։ Այս յոթ հարյուր նշանները հավերժացել են Փարիզի բացահայտումների պալատի պատին 1937 թվականին։ Սակայն ինը տարի անց ուշադիր մաթեմատիկոսները պարզեցին, որ միայն առաջին 527 նիշերն են ճիշտ հաշվարկված։ Թանգարանը ստիպված էր արժանապատիվ ծախսեր կատարել սխալն ուղղելու համար. այժմ բոլոր թվերը ճիշտ են։

Երբ համակարգիչները հայտնվեցին, Pi-ի թվանշանների թիվը սկսեց հաշվարկվել բոլորովին աներևակայելի կարգերով։

1946 թվականին ստեղծված ENIAC առաջին էլեկտրոնային համակարգիչներից մեկը, որը հսկայական էր և այնքան ջերմություն էր առաջացնում, որ սենյակը տաքանում էր մինչև 50 աստիճան Ցելսիուս, հաշվարկեց Pi-ի առաջին 2037 թվանշանները: Այս հաշվարկը մեքենային խլել է 70 ժամ։

Քանի որ համակարգիչները բարելավվում էին, pi-ի մասին մեր գիտելիքները գնալով ավելի ու ավելի էին գնում դեպի անսահմանություն: 1958 թվականին հաշվարկվել է թվի 10 հազար նիշ։ 1987 թվականին ճապոնացիները հաշվարկել են 10,013,395 նիշ։ 2011 թվականին ճապոնացի հետազոտող Շիգերու Հոնդոն անցել է 10 տրիլիոն նշագիծը։

Ուրիշ որտեղ կարող եք գտնել Pi?

Այսպիսով, հաճախ Pi թվի մասին մեր գիտելիքները մնում են դպրոցական մակարդակում, և մենք հաստատ գիտենք, որ այս թիվը առաջին հերթին անփոխարինելի է երկրաչափության մեջ:

Բացի շրջանագծի երկարության և մակերեսի բանաձևերից, Pi թիվը օգտագործվում է էլիպսների, գնդերի, կոնների, գլանների, էլիպսոիդների և այլնի բանաձևերում. ինչ-որ տեղ բանաձևերը պարզ են և հեշտ հիշվող, և ինչ-որ տեղ դրանք պարունակում են շատ բարդ ինտեգրալներ:

Այնուհետև մաթեմատիկական բանաձևերում կարող ենք հանդիպել Pi թիվը, որտեղ առաջին հայացքից երկրաչափությունը չի երևում։ Օրինակ՝ 1/(1-x^2)-ի անորոշ ինտեգրալը Pi-ն է։

Pi-ն հաճախ օգտագործվում է սերիաների վերլուծության մեջ: Օրինակ, ահա մի պարզ շարք, որը համընկնում է pi-ին.

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = PI/4

Սերիաների շարքում pi-ն ամենաանսպասելիորեն հայտնվում է հայտնի Riemann zeta ֆունկցիայի մեջ: Այդ մասին հակիրճ ասել չի լինի, միայն կասենք, որ մի օր Pi թիվը կօգնի պարզ թվերի հաշվարկման բանաձև գտնել։

Եվ դա բացարձակապես զարմանալի է. Pi-ն հայտնվում է մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ «արքայական» բանաձևերից երկուսում՝ Ստիրլինգի բանաձևում (որն օգնում է գտնել գործոնի և գամմա ֆունկցիայի մոտավոր արժեքը) և Էյլերի բանաձևում (որը վերաբերում է այնքան, որքան հինգ մաթեմատիկական հաստատուններ):

Այնուամենայնիվ, հավանականությունների տեսության մաթեմատիկոսներին սպասվում էր ամենաանսպասելի հայտնագործությունը։ Pi-ն նույնպես այնտեղ է:

Օրինակ, երկու թվերի համեմատաբար պարզ լինելու հավանականությունը 6/PI^2 է։

Պին հայտնվում է 18-րդ դարի Բուֆոնի ասեղ նետելու խնդրի մեջ. որքա՞ն է հավանականությունը, որ նախշով թղթի վրա նետված ասեղը կհատի գծերից մեկը: Եթե ​​ասեղի երկարությունը L է, իսկ գծերի միջև հեռավորությունը՝ L, և r > L, ապա մենք կարող ենք մոտավորապես հաշվարկել Pi-ի արժեքը՝ օգտագործելով 2L/rPI հավանականության բանաձևը: Պարզապես պատկերացրեք՝ մենք կարող ենք Pi-ն ստանալ պատահական իրադարձություններից: Եվ, ի դեպ, Pi-ն առկա է հավանականության նորմալ բաշխման մեջ, հայտնվում է հայտնի Գաուսի կորի հավասարման մեջ։ Արդյո՞ք սա նշանակում է, որ pi-ն ավելի հիմնարար է, քան շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերակցությունը:

Պիին կարող ենք հանդիպել նաև ֆիզիկայում։ Պին հայտնվում է Կուլոնի օրենքում, որը նկարագրում է երկու լիցքերի փոխազդեցության ուժը, Կեպլերի երրորդ օրենքում, որը ցույց է տալիս Արեգակի շուրջ մոլորակի պտույտի ժամանակաշրջանը և նույնիսկ տեղի է ունենում ջրածնի ատոմի էլեկտրոնային ուղեծրերի դասավորության մեջ։ Եվ, կրկին, ամենաանհավանականն այն է, որ Pi թիվը թաքնված է Հայզենբերգի անորոշության սկզբունքի՝ քվանտային ֆիզիկայի հիմնարար օրենքի բանաձևում։

Պիի գաղտնիքները

Կարլ Սագանի «Կոնտակտ» վեպում, որը հիմնված է համանուն ֆիլմի վրա, այլմոլորակայինները հերոսուհուն հայտնում են, որ Պիի նշանների շարքում կա Աստծո գաղտնի ուղերձը։ Որոշակի դիրքից թվի թվերը դադարում են պատահական լինել և ներկայացնում են մի ծածկագիր, որում գրանցված են Տիեզերքի բոլոր գաղտնիքները:

Այս վեպն իրականում արտացոլում էր այն հանելուկը, որը գրավում է ամբողջ մոլորակի մաթեմատիկոսների միտքը. Արդյո՞ք Pi թիվը նորմալ թիվ է, որի թվանշանները ցրված են նույն հաճախականությամբ, թե՞ այս թվի հետ ինչ-որ բան այն չէ: Եվ չնայած գիտնականները հակված են առաջին տարբերակին (բայց դա չեն կարող ապացուցել), Պին շատ խորհրդավոր տեսք ունի։ Մի ճապոնացի մի անգամ հաշվարկել է, թե քանի անգամ են 0-ից 9 թվերը հայտնվում pi-ի առաջին տրիլիոն թվանշաններում: Եվ ես տեսա, որ 2, 4 և 8 թվերն ավելի տարածված են, քան մնացածը։ Սա կարող է լինել այն ակնարկներից մեկը, որ Pi-ն այնքան էլ նորմալ չէ, և դրա թվերն իսկապես պատահական չեն:

Եկեք հիշենք այն ամենը, ինչ կարդացինք վերևում և հարցնենք ինքներս մեզ, ո՞ր իռացիոնալ և տրանսցենդենտալ թիվն է այդքան տարածված իրական աշխարհում:

Եվ սպասվում են այլ տարօրինակություններ. Օրինակ՝ Pi-ի առաջին քսան թվանշանների գումարը 20 է, իսկ առաջին 144 թվանշանների գումարը հավասար է «գազանի թվին» 666։

Ամերիկյան «Կասկածյալը» հեռուստասերիալի գլխավոր հերոս, պրոֆեսոր Ֆինչը ուսանողներին ասել է, որ pi-ի անսահմանության պատճառով նրանում կարող է առաջանալ թվերի ցանկացած համակցություն՝ սկսած ձեր ծննդյան ամսաթվի թվերից մինչև ավելի բարդ թվեր: Օրինակ, 762-րդ դիրքում կա վեց ինը հաջորդականություն։ Այս դիրքը կոչվում է Ֆեյնմանի կետ՝ հայտնի ֆիզիկոսի անունով, ով նկատել է այս հետաքրքիր համադրությունը։

Մենք նաև գիտենք, որ Pi թիվը պարունակում է 0123456789 հաջորդականությունը, բայց այն գտնվում է 17,387,594,880-րդ նիշի վրա։

Այս ամենը նշանակում է, որ Pi թվի անսահմանության մեջ կարելի է գտնել ոչ միայն թվերի հետաքրքիր համակցություններ, այլև «Պատերազմ և խաղաղություն» կոդավորված տեքստը, Աստվածաշունչը և նույնիսկ Տիեզերքի Գլխավոր Գաղտնիքը, եթե այն գոյություն ունի։

Ի դեպ, Աստվածաշնչի մասին. Մաթեմատիկայի հայտնի ժողովրդականացնող Մարտին Գարդները 1966 թվականին հայտարարեց, որ Pi թվի միլիոներորդ նշանը (այդ ժամանակ դեռևս անհայտ) կլինի 5 թիվը: Նա իր հաշվարկները բացատրեց նրանով, որ Աստվածաշնչի անգլերեն տարբերակում 2010 թ. 3-րդ գիրք, 14-րդ գլուխ, 16-մ հատված (3-14-16) յոթերորդ բառը պարունակում է հինգ տառ. Միլիոնը ստացվել է ութ տարի անց։ Թիվ հինգն էր։

Արժե՞ արդյոք սրանից հետո պնդել, որ pi թիվը պատահական է:

Ես երբեք չեմ մտածել Պիի ծագման պատմության մասին։ Ես բավականին հետաքրքիր փաստեր կարդացի Լայբնիցի և Նյուտոնի մասին։ Նյուտոնը հաշվարկել է 16 տասնորդական նիշ, բայց չի ասել իր գրքում: Շնորհակալություն լավ հոդվածի համար:

Պատասխանել

Մի անգամ ֆորումում կարդացի մոգության մասին, որ PI թիվը ոչ միայն կախարդական նշանակություն ունի, այլ նաև ծիսական: Շատ ծեսեր կապված են այս թվի հետ և օգտագործվել են մոգերի կողմից այս թվի հայտնաբերման հնագույն ժամանակներից:

Պատասխանել

pi-ի առաջին քսան թվանշանների գումարը 20 է… Սա լո՞ւրջ է: Երկուական համակարգում, այնպես չէ՞:

Պատասխանել

1. Պատասխանել

   1. 100-ը ոչ թե առաջին 20 թվանշանների գումարն է, այլ 20 տասնորդական թիվը:

      Պատասխանել

1. տրամագծով = 1, շրջագիծը = pi, և, հետևաբար, շրջանը երբեք չի փակվի:

   Պատասխանել

ԹԻՎ էջ - շրջանագծի շրջագծի և դրա տրամագծի հարաբերակցությունը, - արժեքը հաստատուն է և կախված չէ շրջանագծի չափից: Այս հարաբերությունն արտահայտող թիվը սովորաբար նշվում է հունարեն 241 տառով («perijereia»-ից՝ շրջան, ծայրամաս)։ Այս անվանումը տարածված է դարձել Լեոնհարդ Էյլերի աշխատությունից հետո՝ հղում անելով 1736 թվականին, բայց այն առաջին անգամ օգտագործվել է Ուիլյամ Ջոնսի կողմից (1675–1749) 1706 թվականին: Ինչպես ցանկացած իռացիոնալ թիվ, այն ներկայացված է անսահման ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակի միջոցով.

էջ= 3.141592653589793238462643… Շրջանների և կլոր մարմինների հետ կապված գործնական հաշվարկների կարիքը ստիպեց մեզ փնտրել 241 մոտարկումներ՝ օգտագործելով ռացիոնալ թվեր արդեն հին ժամանակներում: Տեղեկություն այն մասին, որ շրջագիծը տրամագծից ուղիղ երեք անգամ ավելի է, հայտնաբերվել է Հին Միջագետքի սեպագիր տախտակներում։ Նույն թվի արժեքը էջԱստվածաշնչի տեքստում կա նաև. «Եվ նա ձուլածո պղնձից ծով շինեց, ծայրից ծայր այն տասը կանգուն էր, ամբողջովին կլոր, հինգ կանգուն բարձրությամբ, և երեսուն կանգուն շարանը գրկեց այն» (1): Թագավորներ 7.23): Այդպես վարվեցին հին չինացիները: Բայց արդեն 2 հազ. Հին եգիպտացիները ավելի ճշգրիտ արժեք էին օգտագործում 241 թվի համար, որը ստացվում է տրամագծով շրջանագծի տարածքի բանաձևից. դ:

Ռինդ պապիրուսի 50-րդ խնդրից այս կանոնը համապատասխանում է 4(8/9) 2 » 3.1605 արժեքին։ Ռինդայի պապիրուսը, որը գտնվել է 1858 թվականին, անվանվել է իր առաջին տիրոջ անունով, այն պատճենել է գրագիր Ահմեսը մ. դարում։ մ.թ.ա. Թեեւ ինչպես են եգիպտացիները ստացել բանաձեւն ինքնին, համատեքստից պարզ չէ։ Այսպես կոչված մոսկովյան պապիրուսում, որը պատճենել է որոշակի ուսանող մ.թ.ա. 1800-1600թթ. Ավելի հին տեքստից, մոտավորապես մ.թ.ա. 1900 թ., կա ևս մեկ հետաքրքիր խնդիր «4½ բացվածքով» զամբյուղի մակերեսը հաշվարկելու վերաբերյալ: Հայտնի չէ, թե ինչ ձևով է եղել զամբյուղը, բայց բոլոր հետազոտողները համաձայն են, որ այստեղ համարը էջվերցված է նույն մոտավոր արժեքը 4(8/9) 2։

Հասկանալու համար, թե ինչպես են հին գիտնականները ստացել այս կամ այն ​​արդյունքը, պետք է փորձել լուծել խնդիրը՝ օգտագործելով միայն այն ժամանակվա գիտելիքներն ու հաշվարկների մեթոդները։ Սա հենց այն է, ինչ անում են հնագույն տեքստերի հետազոտողները, սակայն լուծումները, որ նրանք կարողանում են գտնել, պարտադիր չէ, որ «նույնը» լինեն։ Շատ հաճախ մեկ առաջադրանքի համար առաջարկվում են մի քանի լուծումներ, յուրաքանչյուրն իր ճաշակով կարող է ընտրել, բայց ոչ ոք չի կարող ասել, որ այն օգտագործվել է հնում։ Շրջանի տարածքի վերաբերյալ, մաթեմատիկայի պատմության բազմաթիվ գրքերի հեղինակ Ա.Է. Ռայկի վարկածը հավանական է թվում. տրամագծով շրջանագծի տարածքը. դհամեմատվում է շուրջը նկարագրված քառակուսու տարածքի հետ, որից հերթով հանվում են կողքերով փոքր քառակուսիները (նկ. 1): Մեր նշման մեջ հաշվարկները նման կլինեն հետևյալին. առաջին մոտավորմամբ՝ շրջանագծի տարածքը. Սհավասար է կողմի հետ քառակուսու մակերեսի տարբերությանը դև չորս փոքր քառակուսիների ընդհանուր մակերեսը ԲԱՅՑխնջույքի հետ դ:

Այս վարկածը հաստատվում է Մոսկվայի պապիրուսի խնդիրներից մեկում կատարված նմանատիպ հաշվարկներով, որտեղ առաջարկվում է հաշվարկել.

6-րդ դարից։ մ.թ.ա. մաթեմատիկան արագ զարգացել է Հին Հունաստանում։ Հին հունական երկրաչափերն էին, ովքեր խստորեն ապացուցեցին, որ շրջանագծի շրջագիծը համաչափ է նրա տրամագծին ( լ = 2էջ Ռ; Ռշրջանագծի շառավիղն է, լ -դրա երկարությունը), իսկ շրջանագծի մակերեսը շրջագծի և շառավղի արտադրյալի կեսն է.

Ս = ½ լ Ռ = էջ Ռ 2 .

Այս վկայությունը վերագրվում է Եվդոքսոս Կնիդոսացուն և Արքիմեդեսին։

3-րդ դարում մ.թ.ա. Արքիմեդը գրավոր Շրջանակ չափելու մասինհաշվարկել է շրջանագծի մեջ գրված և դրա շուրջը նկարագրված կանոնավոր բազմանկյունների պարագծերը (նկ. 2)՝ 6-ից մինչև 96 անկյուն: Այսպիսով նա հաստատեց, որ թիվը էջգտնվում է 3 10/71-ի և 3 1/7-ի միջև, այսինքն. 3.14084< էջ < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (էջ» 3.14166) գտել է հայտնի աստղագետ, եռանկյունաչափության ստեղծող Կլավդիոս Պտղոմեոսը (2-րդ դար), բայց այն չի գործածվել։

Հնդիկներն ու արաբները հավատում էին դրան էջ= . Այս արժեքը տալիս է նաև հնդիկ մաթեմատիկոս Բրահմագուպտան (598 - մոտ 660)։ Չինաստանում գիտնականները 3-րդ դ. օգտագործել է 3 7/50 արժեքը, որն ավելի վատ է, քան Արքիմեդի մոտավորությունը, սակայն 5-րդ դ. Ցու Չուն Չժի (մոտ 430 - մոտ 501) ստացել է համար էջմոտավոր 355/113 ( էջ» 3.1415927): Այն մնաց անհայտ եվրոպացիների համար և նորից գտավ հոլանդացի մաթեմատիկոս Ադրիան Անտոնիսը միայն 1585 թվականին: Այս մոտավորությունը սխալ է տալիս միայն յոթերորդ տասնորդական տեղում:

Ավելի ճշգրիտ մոտավորության որոնում էջշարունակվեց հետագա. Օրինակ, ալ-Քաշին (15-րդ դարի առաջին կես) մ Տրակտատ շրջանագծի մասին(1427) հաշվարկել է 17 տասնորդական տեղ էջ. Եվրոպայում նույն իմաստը հայտնաբերվել է 1597 թ. Դա անելու համար նա պետք է հաշվարկեր սովորական 800 335 168 գոնի կողմը: Հոլանդացի գիտնական Լյուդոլֆ Վան Զեյլենը (1540–1610) դրա համար գտել է 32 ճիշտ տասնորդական տեղ (հրատարակվել է հետմահու 1615 թվականին), այս մոտավորությունը կոչվում է Լյուդոլֆի թիվ։

Թիվ էջհայտնվում է ոչ միայն երկրաչափական խնդիրների լուծման ժամանակ. Ֆ. Վիետայի ժամանակներից (1540–1603) պարզ օրենքներով կազմված որոշ թվաբանական հաջորդականությունների սահմանների որոնումը հանգեցրել է նույն թվին. էջ. Այս պատճառով թվաքանակը որոշելիս էջՄասնակցել են գրեթե բոլոր հայտնի մաթեմատիկոսները՝ Ֆ. Վիետ, Հ. Հյուգենս, Ջ. Ուոլիս, Գ. Վ. Լայբնից, Լ. Էյլեր։ 241-ի համար ստացել են տարբեր արտահայտություններ՝ անվերջ արտադրյալի, շարքի գումարի, անվերջ կոտորակի տեսքով։

Օրինակ, 1593 թվականին Ֆ. Վիետը (1540–1603 թթ.) ստացել է բանաձևը.

1658 թվականին անգլիացի Ուիլյամ Բրոունքերը (1620–1684) թվի ներկայացում գտավ. էջորպես անվերջ շարունակվող կոտորակ

սակայն, հայտնի չէ, թե ինչպես է նա հասել այս արդյունքին։

1665 թվականին Ջոն Ուոլիսը (1616–1703) ապացուցեց դա

Այս բանաձեւը կրում է նրա անունը։ 241 թվի գործնական որոշման համար այն քիչ օգտակար է, բայց օգտակար է տարբեր տեսական հիմնավորումներում։ Այն մտավ գիտության պատմության մեջ որպես անսահման աշխատանքների առաջին օրինակներից մեկը։

Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը (1646–1716) 1673 թվականին սահմանեց հետևյալ բանաձևը.

թիվ արտահայտող էջ/4 որպես շարքի գումար: Այնուամենայնիվ, այս շարքը շատ դանդաղ է համընկնում: Հաշվարկելու համար էջճշգրիտ մինչև տասը նիշ, անհրաժեշտ կլիներ, ինչպես ցույց տվեց Իսահակ Նյուտոնը, գտնել 5 միլիարդ թվերի գումարը և դրա վրա ծախսել շուրջ հազար տարի շարունակական աշխատանք:

Լոնդոնյան մաթեմատիկոս Ջոն Մաչինը (1680–1751) 1706 թվականին՝ կիրառելով բանաձևը.

ստացավ արտահայտությունը

որը մինչ օրս համարվում է լավագույններից մեկը մոտավոր հաշվարկի համար էջ. Նույն տասը ճշգրիտ տասնորդական թվերը գտնելու համար անհրաժեշտ է ընդամենը մի քանի ժամ ձեռքով հաշվարկ: Ինքը՝ Ջոն Մաչինը, հաշվարկել է էջ 100 ճիշտ նիշով:

Օգտագործելով նույն տողը arctg-ի համար xև բանաձևեր

թվի արժեքը էջստացված համակարգչում հարյուր հազար տասնորդական թվերի ճշգրտությամբ: Նման հաշվարկները հետաքրքրություն են ներկայացնում պատահական և կեղծ պատահական թվեր հասկացության հետ կապված։ Նշված թվով նիշերի պատվիրված հավաքածուի վիճակագրական մշակում էջցույց է տալիս, որ այն ունի պատահական հաջորդականության շատ հատկանիշներ:

Թիվը հիշելու մի քանի զվարճալի եղանակներ կան էջավելի ճիշտ, քան ընդամենը 3.14-ը: Օրինակ՝ սովորելով հետևյալ քառատողը, հեշտությամբ կարող եք անվանել յոթ տասնորդական տեղ էջ:

Պարզապես պետք է փորձել

Եվ հիշեք ամեն ինչ այնպես, ինչպես կա.

Երեք, տասնչորս, տասնհինգ

իննսուն երկու և վեց.

(Ս. Բոբրով Magic Bicorn)

Հետևյալ բառակապակցությունների յուրաքանչյուր բառի տառերի քանակը հաշվելով նաև թվի արժեքը էջ:

«Ի՞նչ գիտեմ շրջանակների մասին»: ( էջ» 3.1416): Այս ասացվածքն առաջարկել է Յա.Ի.Պերելմանը։

«Ուրեմն ես գիտեմ Պի կոչվող համարը: -Բա լավ արեցիր։ ( էջ» 3.1415927):

«Իմացեք և իմացեք թվի հետևում հայտնի թվի մեջ, թե ինչպես կարելի է հաջողություն նկատել» ( էջ» 3.14159265359):

Մոսկվայի դպրոցներից մեկի ուսուցիչը հորինեց հետևյալ տողը. «Ես դա գիտեմ և հիանալի հիշում եմ», իսկ նրա աշակերտը զվարճալի շարունակություն կազմեց. «Շատ նշաններ ինձ համար ավելորդ են, ապարդյուն»: Այս երկտողը թույլ է տալիս սահմանել 12 թվանշան:

Եվ ահա թե ինչ տեսք ունեն թվի 101 թվանշանները էջառանց կլորացման

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

Մեր օրերում համակարգչի օգնությամբ թվի արժեքը էջհաշվարկվում է միլիոնավոր ճիշտ թվանշաններով, բայց նման ճշգրտություն ոչ մի հաշվարկում պետք չէ։ Բայց թվի վերլուծական որոշման հնարավորությունը ,

Վերջին բանաձևում համարիչը պարունակում է բոլոր պարզ թվերը, և հայտարարները դրանցից տարբերվում են մեկով, իսկ հայտարարը համարիչից մեծ է, եթե ունի 4 ձև։ n+ 1, և ավելի քիչ այլ կերպ:

Չնայած 16-րդ դարի վերջից, ի. քանի որ ձևավորվել են ռացիոնալ և իռացիոնալ թվեր հասկացությունները, շատ գիտնականներ համոզված են եղել, որ էջ- թիվը իռացիոնալ է, բայց միայն 1766 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս Յոհան Հայնրիխ Լամբերտը (1728–1777), հիմնվելով Էյլերի կողմից հայտնաբերված էքսպոնենցիալ և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև կապի վրա, խստորեն ապացուցեց դա: Թիվ էջչի կարող ներկայացվել որպես պարզ կոտորակ, անկախ նրանից, թե որքան մեծ են համարիչը և հայտարարը:

1882 թվականին Մյունխենի համալսարանի պրոֆեսոր Կարլ Լուի Ֆերդինանդ Լինդեմանը (1852–1939), օգտագործելով ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ք. Էրմիտի ստացած արդյունքները, ապացուցեց, որ. էջ- տրանսցենդենտալ թիվ, այսինքն. դա ոչ մի հանրահաշվական հավասարման արմատը չէ a n x n + a n– 1 x n– 1 + … + ա 1 x + a 0 = 0 ամբողջ թվային գործակիցներով: Այս ապացույցը վերջ դրեց շրջանագծի քառակուսի դնելու ամենահին մաթեմատիկական խնդրի պատմությանը: Հազարամյակներ շարունակ այս խնդիրը չի ենթարկվում մաթեմատիկոսների ջանքերին, «շրջանի քառակուսիացում» արտահայտությունը դարձել է անլուծելի խնդրի հոմանիշ։ Եվ ամբողջը պարզվեց, որ թվի տրանսցենդենտալ բնույթի մեջ է էջ.

Ի հիշատակ այս հայտնագործության՝ Մյունխենի համալսարանի մաթեմատիկական լսարանի դիմացի դահլիճում կանգնեցվել է Լինդեմանի կիսանդրին։ Նրա անվան պատվանդանի վրա պատկերված է մի շրջան, որը հատում է հավասար մակերեսով քառակուսի, որի ներսում գրված է տառը. էջ.

Մարինա Ֆեդոսովա

Ներածություն

Հոդվածը պարունակում է մաթեմատիկական բանաձևեր, ուստի կարդալու համար այցելեք կայք՝ դրանց ճիշտ ցուցադրման համար:\(\pi \) թիվը հարուստ պատմություն ունի։ Այս հաստատունը նշանակում է շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերությունը:

Գիտության մեջ \(\pi \) թիվը օգտագործվում է ցանկացած հաշվարկում, որտեղ կան շրջանակներ։ Սկսած սոդայի տարայի ծավալից մինչև արբանյակների ուղեծրերը։ Եվ ոչ միայն շրջանակներ: Իրոք, կոր գծերի ուսումնասիրության ժամանակ \(\pi \) թիվը օգնում է հասկանալ պարբերական և տատանողական համակարգերը։ Օրինակ, էլեկտրամագնիսական ալիքները և նույնիսկ երաժշտությունը:

1706 թվականին բրիտանացի գիտնական Ուիլյամ Ջոնսի (1675-1749) «Մաթեմատիկական նոր ներածություն» գրքում առաջին անգամ օգտագործվել է հունական այբուբենի \(\pi\) տառը՝ 3.141592 թիվը նշելու համար։ .. Այս նշանակումը գալիս է հունարեն περιφερεια - շրջան, ծայրամաս և περιµετρoς - պարագծային բառերի սկզբնական տառից: Ընդհանուր ընդունված անվանումը դարձավ Լեոնհարդ Էյլերի աշխատանքից հետո 1737 թ.

երկրաչափական ժամանակաշրջան

Ցանկացած շրջանագծի երկարության և նրա տրամագծի հարաբերակցության կայունությունը վաղուց է նկատվել։ Միջագետքի բնակիչներն օգտագործել են \(\pi \) թվի բավականին կոպիտ մոտարկում։ Ինչպես հետևում է հնագույն խնդիրներից, նրանք իրենց հաշվարկներում օգտագործում են \(\pi ≈ 3 \) արժեքը։

\(\pi \)-ի ավելի ճշգրիտ արժեք օգտագործվել է հին եգիպտացիների կողմից: Լոնդոնում և Նյու Յորքում պահվում են հին եգիպտական ​​պապիրուսի երկու մաս, որը կոչվում է «Ռինդա պապիրուս»։ Պապիրուսը կազմել է գրագիր Արմեսը մ.թ.ա. մոտ 2000-1700 թվականներին: Արմեսն իր պապիրուսում գրել է, որ \(r\) շառավղով շրջանագծի մակերեսը հավասար է քառակուսու մակերեսին, որի կողմը հավասար է \(\frac(8)(9) \) շրջանագծի տրամագծից \(\frac(8)(9) \cdot 2r \), այսինքն \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \): Հետևաբար \(\pi = 3,16\):

Հին հույն մաթեմատիկոս Արքիմեդը (մ.թ.ա. 287-212 թթ.) առաջին անգամ խնդիր է դրել գիտական ​​հիմունքներով չափել շրջանը: Նա ստացել է միավոր \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Մեթոդը բավականին պարզ է, բայց եռանկյունաչափական գործառույթների պատրաստի աղյուսակների բացակայության դեպքում կպահանջվի արմատի արդյունահանում: Բացի այդ, մոտարկումը \(\pi \)-ին շատ դանդաղ է համընկնում. յուրաքանչյուր կրկնության դեպքում սխալը նվազում է միայն չորս գործոնով:

Վերլուծական ժամանակաշրջան

Չնայած դրան, մինչև 17-րդ դարի կեսերը եվրոպացի գիտնականների բոլոր փորձերը՝ հաշվարկելու \ (\ pi \) թիվը կրճատվեցին մինչև բազմանկյունի կողմերը մեծացնելուն։ Օրինակ, հոլանդացի մաթեմատիկոս Լյուդոլֆ վան Զեյլենը (1540-1610) հաշվարկել է \(\pi \) թվի մոտավոր արժեքը 20 տասնորդական թվանշանների ճշգրտությամբ։

Դա պարզելու համար նրանից պահանջվեց 10 տարի: Արքիմեդի մեթոդով մակագրված և շրջագծված բազմանկյունների կողմերի թիվը կրկնապատկելով՝ նա ստացավ \(60 \cdot 2^(29) \) - քառակուսի \(\pi \) 20-ով հաշվարկելու համար։ տասնորդական տեղեր:

Նրա մահից հետո նրա ձեռագրերում հայտնաբերվել են \(\pi \) թվի ևս 15 ճշգրիտ թվանշաններ։ Լյուդոլֆը կտակել է, որ իր գտած նշանները փորագրված են եղել իր տապանաքարի վրա։ Նրա պատվին \(\pi \) թիվը երբեմն կոչվում էր «Լյուդոլֆի թիվ» կամ «Լյուդոլֆի հաստատուն»։

Առաջիններից մեկը, ով ներկայացրեց Արքիմեդի մեթոդից տարբերվող մեթոդ, Ֆրանսուա Վիետն էր (1540-1603): Նա եկավ այն արդյունքի, որ շրջանագիծը, որի տրամագիծը հավասար է մեկի, ունի մակերես.

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

Մյուս կողմից, տարածքը \(\frac(\pi)(4) \): Փոխարինելով և պարզեցնելով արտահայտությունը՝ մենք կարող ենք ստանալ հետևյալ անսահման արտադրյալի բանաձևը՝ \(\frac(\pi)(2) \) մոտավոր արժեքը հաշվարկելու համար.

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Ստացված բանաձևը \(\pi \) թվի առաջին ճշգրիտ վերլուծական արտահայտությունն է: Բացի այս բանաձևից, Վիետը, օգտագործելով Արքիմեդի մեթոդը, տվել է ներգծված և շրջագծված բազմանկյունների օգնությամբ՝ սկսած 6-անկյունից և վերջացրած \(2^(16) \cdot 6 \) կողմերով բազմանկյունով, \(\pi \) թվի մոտավորությունը 9 ճիշտ նշանով։

Անգլիացի մաթեմատիկոս Ուիլյամ Բրոունքերը (1620-1684) օգտագործեց շարունակական կոտորակը հետևյալ կերպ հաշվարկելու համար.

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots))))))) \]

\(\frac(4)(\pi) \) թվի մոտավորությունը հաշվարկելու այս մեթոդը պահանջում է բավականին շատ հաշվարկներ գոնե մի փոքր մոտարկում ստանալու համար։

Փոխարինման արդյունքում ստացված արժեքները կա՛մ մեծ են, կա՛մ փոքր, քան \(\pi \) թիվը և ամեն անգամ ավելի մոտ են իրական արժեքին, բայց 3.141592 արժեքը ստանալու համար բավական մեծ հաշվարկ կպահանջվի:

Մեկ այլ անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոն Մաչինը (1686-1751) 1706 թվականին օգտագործեց 1673 թվականին Լայբնիցի կողմից ստացված բանաձևը 100 տասնորդական թվերով \(\pi \) թիվը հաշվարկելու համար և այն կիրառեց հետևյալ կերպ.

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

Շարքը արագորեն համընկնում է և կարող է օգտագործվել \(\pi \) թիվը մեծ ճշգրտությամբ հաշվարկելու համար: Այս տեսակի բանաձևերը օգտագործվել են համակարգչային դարաշրջանում մի քանի ռեկորդներ սահմանելու համար:

17-րդ դարում Փոփոխական մեծության մաթեմատիկայի ժամանակաշրջանի սկզբով սկսվեց \(\pi \) հաշվարկի նոր փուլ։ Գերմանացի մաթեմատիկոս Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը (1646-1716) 1673 թվականին գտավ \(\pi \ թվի ընդլայնումը), ընդհանուր ձևով այն կարելի է գրել հետևյալ անվերջ շարքով.

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

Շարքը ստացվում է x = 1-ը փոխարինելով \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) - \cdots\)

Լեոնհարդ Էյլերը մշակում է Լայբնիցի գաղափարը arctg x-ի համար շարքերի օգտագործման վերաբերյալ իր աշխատության մեջ \(\pi \) թիվը հաշվարկելիս: 1738 թվականին գրված «De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi» (Մոտավոր թվերով շրջանագծի քառակուսման արտահայտման տարբեր մեթոդների մասին) տրակտատը քննարկում է Լայբնիցի բանաձևով հաշվարկների բարելավման մեթոդները։

Էյլերը գրում է, որ աղեղային շոշափող շարքը ավելի արագ կմիանա, եթե արգումենտը հակված է զրոյի: \(x = 1\)-ի համար շարքի կոնվերգենցիան շատ դանդաղ է. մինչև 100 նիշ ճշգրտությամբ հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել շարքի \(10^(50)\) պայմանները: Դուք կարող եք արագացնել հաշվարկները՝ նվազեցնելով փաստարկի արժեքը: Եթե ​​վերցնենք \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), ապա կստանանք շարքը.

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 - \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Ըստ Էյլերի, եթե վերցնենք այս շարքի 210 անդամ, ապա կստանանք թվի 100 ճիշտ թվանշան։ Ստացված շարքը անհարմար է, քանի որ անհրաժեշտ է իմանալ \(\sqrt(3)\) իռացիոնալ թվի բավականաչափ ճշգրիտ արժեքը: Նաև, իր հաշվարկներում, Էյլերն օգտագործել է աղեղային շոշափումների ընդլայնումները ավելի փոքր փաստարկների աղեղային շոշափումների գումարի մեջ.

\[որտեղ x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Հրապարակվել են \(\pi \) հաշվարկի բոլոր բանաձևերը, որոնք Էյլերը օգտագործել է իր նոթատետրերում։ Հրատարակված աշխատություններում և նոթատետրերում նա հաշվի է առել 3 տարբեր շարքեր աղեղի շոշափումը հաշվելու համար, ինչպես նաև բազմաթիվ հայտարարություններ է արել տվյալ ճշտությամբ \(\pi \) մոտավոր արժեք ստանալու համար անհրաժեշտ գումարելի տերմինների քանակի վերաբերյալ։

Հետագա տարիներին \(\pi \) թվի արժեքի ճշգրտումը տեղի ունեցավ ավելի ու ավելի արագ: Այսպես, օրինակ, 1794 թվականին Ջորջ Վեգան (1754-1802) արդեն հայտնաբերել է 140 նշան, որոնցից միայն 136-ն է ճիշտ պարզվել:

Հաշվողական ժամանակաշրջան

20-րդ դարը նշանավորվեց \(\pi \) թվի հաշվարկի բոլորովին նոր փուլով։ Հնդիկ մաթեմատիկոս Սրինիվասա Ռամանուջանը (1887-1920) հայտնաբերել է \(\pi \) շատ նոր բանաձևեր: 1910թ.-ին նա ստացավ Թեյլորի շարքում աղեղի շոշափողի ընդլայնման միջոցով \(\pi\) հաշվելու բանաձևը.

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

k=100-ով ձեռք է բերվում \(\pi \) թվի 600 ճիշտ թվանշանների ճշգրտություն։

Համակարգիչների հայտնվելը հնարավորություն է տվել ավելի կարճ ժամանակահատվածում զգալիորեն բարձրացնել ստացված արժեքների ճշգրտությունը: 1949 թվականին ENIAC-ի միջոցով գիտնականների մի խումբ Ջոն ֆոն Նոյմանի (1903-1957) գլխավորությամբ ընդամենը 70 ժամում ստացան \(\pi\) 2037 տասնորդական տեղեր: Դեյվիդ և Գրեգորի Չուդնովսկիները 1987 թվականին ստացան մի բանաձև, որով նրանք կարողացան մի քանի ռեկորդ սահմանել \(\pi \) հաշվարկում.

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Շարքի յուրաքանչյուր անդամ տալիս է 14 թվանշան: 1989 թվականին ստացվել է 1 011 196 691 տասնորդական տեղ։ Այս բանաձևը հարմար է անձնական համակարգիչների վրա \(\pi \) հաշվարկելու համար: Այս պահին եղբայրները Նյու Յորքի համալսարանի պոլիտեխնիկական ինստիտուտի դասախոսներ են։

Վերջին կարևոր զարգացումը 1997 թվականին Սայմոն Պլաֆի կողմից բանաձեւի հայտնաբերումն էր: Այն թույլ է տալիս հանել \(\pi \) թվի ցանկացած տասնվեցական թվանշան՝ առանց նախորդները հաշվարկելու։ Բանաձևը կոչվում է «Bailey-Borwain-Pluff formula»՝ ի պատիվ այն հոդվածի հեղինակների, որտեղ առաջին անգամ հրապարակվել է բանաձևը։ Այն կարծես այսպիսին է.

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) - \frac(2)(8k+4) ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

2006թ.-ին Սայմոնը, օգտագործելով PSLQ-ը, մշակեց \(\pi \) հաշվելու մի քանի գեղեցիկ բանաձևեր: Օրինակ,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) - 1) - \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

որտեղ \(q = e^(\pi)\): 2009 թվականին ճապոնացի գիտնականները, օգտագործելով T2K Tsukuba System սուպերհամակարգիչը, ստացան \(\pi \) թիվը 2,576,980,377,524 տասնորդական թվերով։ Հաշվարկները տևել են 73 ժամ 36 րոպե։ Համակարգիչը հագեցած էր 640 չորս միջուկանի AMD Opteron պրոցեսորներով, որոնք ապահովում էին վայրկյանում 95 տրիլիոն գործողությունների կատարում:

\(\pi \) հաշվարկի հաջորդ ձեռքբերումը պատկանում է ֆրանսիացի ծրագրավորող Ֆաբրիս Բելարդին, ով 2009թ. վերջին Fedora 10-ով աշխատող իր անհատական ​​համակարգչով սահմանեց ռեկորդ՝ հաշվարկելով \(\pi\ թվի 2,699,999,990,000 տասնորդական տեղերը): Վերջին 14 տարիների ընթացքում սա առաջին համաշխարհային ռեկորդն է, որը սահմանվել է առանց սուպերհամակարգչի օգտագործման։ Բարձր կատարողականության համար Ֆաբրիսն օգտագործել է Չուդնովսկի եղբայրների բանաձեւը. Ընդհանուր առմամբ, հաշվարկը տևել է 131 օր (103 օր հաշվարկ և 13 օր ստուգում): Բելարի ձեռքբերումը ցույց տվեց, որ նման հաշվարկների համար պարտադիր չէ սուպերհամակարգիչ ունենալ։

Ընդամենը վեց ամիս անց Ֆրանսուայի ռեկորդը գերազանցեցին ինժեներներ Ալեքսանդր Յին և երգիչ Կոնդոն։ 5 տրիլիոն տասնորդական նիշ \(\pi\) ռեկորդ սահմանելու համար օգտագործվել է նաև անհատական ​​համակարգիչ, բայց ավելի տպավորիչ բնութագրերով՝ երկու Intel Xeon X5680 պրոցեսոր 3,33 ԳՀց հաճախականությամբ, 96 ԳԲ օպերատիվ հիշողություն, 38 ՏԲ սկավառակի հիշողություն և գործող: համակարգ Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Հաշվարկների համար Ալեքսանդրը և Սինգերը օգտագործել են Չուդնովսկի եղբայրների բանաձևը. Հաշվարկի գործընթացը տևել է 90 օր և 22 ՏԲ սկավառակի տարածություն: 2011 թվականին նրանք սահմանեցին ևս մեկ ռեկորդ՝ հաշվարկելով 10 տրիլիոն տասնորդական նիշ \(\pi \) թվի համար։ Հաշվարկները կատարվել են նույն համակարգչով, որը սահմանել էր իրենց նախորդ ռեկորդը և ընդհանուր առմամբ տևել է 371 օր։ 2013-ի վերջին Ալեքսանդրը և Սինգերուն բարելավեցին ռեկորդը՝ հասնելով \(\pi\) թվի 12,1 տրիլիոն նիշերի, ինչը նրանց հաշվարկելու համար պահանջվեց ընդամենը 94 օր։ Արդյունավետության այս բարելավումը ձեռք է բերվում ծրագրաշարի կատարողականի օպտիմալացման, պրոցեսորային միջուկների քանակի ավելացման և ծրագրային ապահովման սխալների հանդուրժողականության զգալի բարելավման միջոցով:

Ներկայիս ռեկորդը Ալեքսանդր Յիի և Սինգերու Կոնդոյի ռեկորդն է, որը կազմում է \(\pi \) 12,1 տրիլիոն տասնորդական տեղ:

Այսպիսով, մենք ուսումնասիրեցինք հին ժամանակներում օգտագործվող \(\pi \) թվի հաշվարկման մեթոդները, վերլուծական մեթոդները, ինչպես նաև ուսումնասիրեցինք \(\pi \) թվի հաշվարկման ժամանակակից մեթոդներն ու գրառումները համակարգիչների վրա:

Աղբյուրների ցանկ

1. Ժուկով Ա.Վ. Ամենուր տարածված համարը Pi - M.: LKI Publishing House, 2007 - 216 p.
2. Ֆ.Ռուդիո. Շրջանակի քառակուսի վրա՝ հարցի պատմության հավելվածով, կազմված Ֆ.Ռուդիոյի կողմից։ / Rudio F. - M .: ONTI NKTP ԽՍՀՄ, 1936. - 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - Springer, 2001. - 270p.
4. Շուխման, Է.Վ. Pi-ի մոտավոր հաշվարկը, օգտագործելով մի շարք arctg x-ի համար Լեոնհարդ Էյլերի հրատարակված և չհրապարակված աշխատություններում / E.V. Շուխման. - Գիտության և տեխնիկայի պատմություն, 2008 - թիվ 4: - P. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuliaturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae: 1744 - Հատոր 9 - 222-236 p.
6. Shumikhin, S. Number Pi. 4000 տարվա պատմություն / S. Shumikhin, A. Shumikhina. - M.: Eksmo, 2011. - 192 p.
7. Բորվեյն, Ջ.Մ. Ռամանուջան և Պի. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Գիտության աշխարհում. 1988թ.՝ թիվ 4։ - S. 58-66.
8. Ալեքս Յի. թվային աշխարհ. Մուտքի ռեժիմ՝ numberworld.org

Հավանեցի՞ք:

Պատմեք

13 հունվարի, 2017թ

***

Ի՞նչն է ընդհանուր Lada Priora-ի անիվի, ամուսնական մատանու և ձեր կատվի բաժակապնակների միջև: Իհարկե, դուք կասեք գեղեցկություն և ոճ, բայց ես համարձակվում եմ վիճել ձեզ հետ։ Pi!Սա այն թիվն է, որը միավորում է բոլոր շրջանակները, շրջաններն ու կլորությունը, որոնց թվում են, մասնավորապես, մայրիկիս մատանին և հորս սիրելի մեքենայի անիվը և նույնիսկ իմ սիրելի Մուրզիկի կատվի բաժակապնակը: Ես պատրաստ եմ գրազ գալ, որ ամենահայտնի ֆիզիկական և մաթեմատիկական հաստատունների վարկանիշում Pi թիվը, անկասկած, կզբաղեցնի առաջին տողը: Բայց ի՞նչ կա դրա հետևում։ Միգուցե մաթեմատիկոսների ինչ-որ սարսափելի անեծքե՞ր: Փորձենք հասկանալ այս հարցը։

Ո՞րն է «Pi» թիվը և որտեղից է այն առաջացել:

Ժամանակակից թվերի նշանակում π (Pi)հայտնվեց անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոնսոնի շնորհիվ 1706 թ. Սա հունարեն բառի առաջին տառն է περιφέρεια (ծայրամաս կամ շրջագիծ). Նրանց համար, ովքեր երկար ժամանակ անցել են մաթեմատիկայի միջով, և բացի այդ, անցյալում, մենք հիշում ենք, որ Pi թիվը շրջանագծի շրջագծի և դրա տրամագծի հարաբերությունն է: Արժեքը հաստատուն է, այսինքն՝ հաստատուն է ցանկացած շրջանագծի համար՝ անկախ նրա շառավղից։ Մարդիկ այս մասին գիտեին դեռ հին ժամանակներից։ Այսպիսով, Հին Եգիպտոսում Pi թիվը հավասար էր 256/81 հարաբերակցությանը, իսկ վեդայական տեքստերում տրված է 339/108 արժեքը, մինչդեռ Արքիմեդն առաջարկեց հարաբերակցությունը 22/7։ Բայց pi թիվը արտահայտելու ոչ այս, ոչ էլ շատ այլ եղանակներ ճշգրիտ արդյունք չեն տվել։

Պարզվեց, որ Pi թիվը համապատասխանաբար տրանսցենդենտալ է և իռացիոնալ։ Սա նշանակում է, որ այն չի կարող ներկայացվել որպես պարզ կոտորակ։ Եթե ​​այն արտահայտվում է տասնորդականով, ապա տասնորդական կետից հետո թվանշանների հաջորդականությունը կհասնի անսահմանության, ընդ որում՝ առանց պարբերաբար կրկնվելու։ Ի՞նչ է նշանակում այս ամենը: Շատ պարզ. Ցանկանու՞մ եք իմանալ ձեր հավանած աղջկա հեռախոսահամարը։ Այն, անշուշտ, կարելի է գտնել Pi-ի տասնորդական կետից հետո թվանշանների հաջորդականության մեջ:

Հեռախոսը կարող եք դիտել այստեղ ↓

Pi թիվը մինչև 10000 նիշ:

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Չե՞ք գտել: Հետո նայիր.

Ընդհանուր առմամբ, դա կարող է լինել ոչ միայն հեռախոսահամար, այլ ցանկացած տեղեկատվություն, որը կոդավորված է թվերի միջոցով: Օրինակ, եթե մենք թվային տեսքով ներկայացնում ենք Ալեքսանդր Սերգեևիչ Պուշկինի բոլոր գործերը, ապա դրանք պահվում էին Պի թվով նույնիսկ նախքան նա գրելը, նույնիսկ նախքան իր ծնվելը: Սկզբունքորեն դրանք դեռ պահպանվում են այնտեղ։ Ի դեպ, մաթեմատիկոսների հայհոյանքներն են π ներկա են նաև, և ոչ միայն մաթեմատիկոսները։ Մի խոսքով, Փին ամեն ինչ ունի, նույնիսկ մտքեր, որոնք կայցելեն ձեր լուսավոր գլխին վաղը, վաղը, մեկ տարի հետո, կամ գուցե երկուսից։ Սրան հավատալը շատ դժվար է, բայց եթե նույնիսկ ձևացնենք, թե հավատում ենք, ավելի դժվար կլինի այնտեղից տեղեկատվություն ստանալ և վերծանել։ Այսպիսով, այս թվերի մեջ խորանալու փոխարեն, գուցե ավելի հեշտ լինի մոտենալ ձեր հավանած աղջկան և նրանից համար խնդրել: Բայց նրանց համար, ովքեր հեշտ ճանապարհներ չեն փնտրում, լավ, կամ պարզապես հետաքրքրված են, թե որն է Pi թիվը, Ես առաջարկում եմ հաշվարկների մի քանի եղանակ. Հաշվեք առողջությանը։

Ո՞րն է Pi-ի արժեքը: Դրա հաշվարկման մեթոդները.

1. Փորձարարական մեթոդ.Եթե ​​pi-ն շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերակցությունն է, ապա մեր առեղծվածային հաստատունը գտնելու, հավանաբար, առաջին և ամենաակնհայտ միջոցը կլինի ձեռքով կատարել բոլոր չափումները և հաշվարկել pi-ը՝ օգտագործելով π=l/d բանաձևը: Որտեղ l-ն շրջանագծի շրջագիծն է, իսկ d-ը՝ նրա տրամագիծը: Ամեն ինչ շատ պարզ է, դուք պարզապես պետք է զինվեք թելով՝ շրջապատը որոշելու համար, քանոն՝ տրամագիծը և, փաստորեն, հենց թելի երկարությունը գտնելու համար, և հաշվիչ, եթե խնդիրներ ունեք սյունակի բաժանման հետ։ . Կաթսա կամ վարունգի բանկա կարող է չափված նմուշ լինել, կարևոր չէ, գլխավորը: այնպես, որ հիմքը շրջան է:

Դիտարկվող հաշվարկման մեթոդը ամենապարզն է, բայց, ցավոք, այն ունի երկու նշանակալի թերություն, որոնք ազդում են ստացված Pi թվի ճշգրտության վրա: Նախ՝ չափիչ գործիքների սխալը (մեր դեպքում սա թելով քանոն է), և երկրորդ՝ երաշխիք չկա, որ մեր չափած շրջանակը կունենա ճիշտ ձև։ Ուստի զարմանալի չէ, որ մաթեմատիկան մեզ տվել է π հաշվելու շատ այլ մեթոդներ, որտեղ ճշգրիտ չափումներ կատարելու կարիք չկա։

2. Լայբնից շարք.Կան մի քանի անսահման շարքեր, որոնք թույլ են տալիս ճշգրիտ հաշվարկել pi-ի քանակը մեծ թվով տասնորդական վայրերում: Ամենապարզ շարքերից մեկը Լայբնիցի շարքն է։ π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
Պարզ է՝ համարիչով վերցնում ենք կոտորակներ 4-ով (սա վերևում է) և հայտարարի կենտ թվերի հաջորդականությունից մեկ թիվ (սա ներքևում է), հաջորդաբար գումարում և հանում ենք դրանք իրար հետ և ստացեք Pi թիվը: Որքան շատ լինեն մեր պարզ գործողությունների կրկնությունները կամ կրկնությունները, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի արդյունքը: Պարզ, բայց ոչ արդյունավետ, ի դեպ, Pi-ի ճշգրիտ արժեքը տասը տասնորդական տեղ ստանալու համար պահանջվում է 500000 կրկնություն: Այսինքն՝ դժբախտ քառյակը պետք է բաժանենք 500 000 անգամ, իսկ սրանից բացի 500 000 անգամ պետք է հանենք և գումարենք ստացված արդյունքները։ Ցանկանու՞մ եք փորձել:

3. Նիլականտա շարքը.Հաջորդիվ Լայբնիցի հետ շփոթելու ժամանակ չկա՞: Կա այլընտրանք. Nilakanta շարքը, թեև այն մի փոքր ավելի բարդ է, թույլ է տալիս մեզ ավելի արագ ստանալ ցանկալի արդյունքը։ π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11) *12) - (4/(12*13*14) ...Կարծում եմ, եթե ուշադիր նայես սերիալի սկզբնական հատվածը, ամեն ինչ պարզ է դառնում, իսկ մեկնաբանություններն ավելորդ են։ Այս մասին մենք ավելի հեռուն ենք գնում:

4. Մոնտե Կառլոյի մեթոդ Pi-ի հաշվարկման բավականին հետաքրքիր մեթոդ Մոնտե Կառլոյի մեթոդն է։ Նման շռայլ անուն նա ստացել է Մոնակոյի թագավորության համանուն քաղաքի պատվին։ Եվ սրա պատճառը պատահական է։ Ոչ, դա պատահական չի անվանվել, պարզապես մեթոդը հիմնված է պատահական թվերի վրա, և ի՞նչը կարող է լինել ավելի պատահական, քան այն թվերը, որոնք ընկնում են Մոնտե Կառլոյի կազինո ռուլետկաների վրա: Pi-ի հաշվարկը այս մեթոդի միակ կիրառումը չէ, քանի որ հիսունականներին այն օգտագործվում էր ջրածնային ռումբի հաշվարկներում։ Բայց եկեք չշեղվենք.

Վերցնենք քառակուսի, որի կողմը հավասար է 2r, և դրա մեջ գրեք շառավղով շրջան r. Հիմա, եթե դուք պատահականորեն կետեր եք դնում քառակուսու մեջ, ապա հավանականությունը Պոր կետը տեղավորվում է շրջանագծի մեջ, դա շրջանագծի և քառակուսու մակերեսների հարաբերությունն է: P \u003d S cr / S q \u003d 2πr 2 / (2r) 2 \u003d π / 4.

Այժմ այստեղից մենք արտահայտում ենք Pi թիվը π=4P. Մնում է միայն փորձնական տվյալներ ձեռք բերել և գտնել P հավանականությունը՝ որպես շրջանագծի հարվածների հարաբերակցություն N քրհրապարակին հարվածել N քառ.. Ընդհանուր առմամբ, հաշվարկման բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը. π=4N cr / N քառ.

Նշեմ, որ այս մեթոդն իրականացնելու համար պարտադիր չէ գնալ կազինո, բավական է օգտագործել ծրագրավորման ցանկացած քիչ թե շատ պարկեշտ լեզու։ Դե, արդյունքների ճշգրտությունը կախված կլինի սահմանված միավորների քանակից, համապատասխանաբար, որքան շատ, այնքան ճշգրիտ: Հաջողություն եմ մաղթում 😉

Տաու համարը (եզրակացության փոխարեն):

Մարդիկ, ովքեր հեռու են մաթեմատիկայից, ամենայն հավանականությամբ չգիտեն, բայց այնպես է ստացվել, որ Pi թիվը ունի իրենից երկու անգամ մեծ եղբայր։ Սա Tau(τ) թիվն է, և եթե Pi-ն շրջագծի և տրամագծի հարաբերությունն է, ապա Tau-ն այդ երկարության և շառավղի հարաբերությունն է։ Եվ այսօր որոշ մաթեմատիկոսների կողմից առաջարկներ կան հրաժարվել Pi թիվը և այն փոխարինել Tau-ով, քանի որ դա շատ առումներով ավելի հարմար է: Բայց առայժմ դրանք միայն առաջարկություններ են, և ինչպես Լև Դավիդովիչ Լանդաուն ասաց. «Նոր տեսությունը սկսում է գերիշխել, երբ հնի կողմնակիցները մահանում են»: