Զուգահեռ ուղիղ սահմանում և օրինակներ. Զուգահեռ գծեր

Երկու ուղիղների զուգահեռության նշաններ

Թեորեմ 1. Եթե, երբ երկու ուղիղ հատվում են սեկանտով.

խաչված անկյունները հավասար են, կամ

համապատասխան անկյունները հավասար են, կամ

միակողմանի անկյունների գումարը 180° է, ապա

գծերը զուգահեռ են(նկ. 1):

Ապացույց. Մենք սահմանափակվում ենք 1-ին դեպքի ապացուցմամբ։

Թող a և b հատվող ուղիղները լինեն խաչաձև, իսկ AB անկյունները՝ հավասար: Օրինակ՝ ∠ 4 = ∠ 6. Ապացուցենք, որ a || բ.

Ենթադրենք a և b ուղիղները զուգահեռ չեն։ Այնուհետև դրանք հատվում են M ինչ-որ կետում և, հետևաբար, 4 կամ 6 անկյուններից մեկը կլինի ABM եռանկյան արտաքին անկյունը: Որոշակիության համար թող ∠ 4 լինի ABM եռանկյան արտաքին անկյունը, իսկ ∠ 6՝ ներքինը: Եռանկյան արտաքին անկյան թեորեմից հետևում է, որ ∠ 4-ը մեծ է ∠ 6-ից, և դա հակասում է պայմանին, ինչը նշանակում է, որ a և 6 ուղիղները չեն կարող հատվել, ուստի դրանք զուգահեռ են:

Եզրակացություն 1. Նույն ուղիղին ուղղահայաց հարթության երկու տարբեր ուղիղներ զուգահեռ են(նկ. 2):

Մեկնաբանություն. Թեորեմ 1-ի 1-ին դեպքը մենք հենց նոր ապացուցեցինք, կոչվում է հակասության միջոցով ապացուցման մեթոդ կամ աբսուրդի վերածում: Այս մեթոդը ստացել է իր առաջին անվանումը, քանի որ փաստարկի սկզբում արվում է ենթադրություն, որը հակասում է (հակառակ) ապացուցման կարիքին։ Այն կոչվում է աբսուրդի տանող այն պատճառով, որ, հիմնավորելով արված ենթադրության հիման վրա, գալիս ենք անհեթեթ եզրակացության (դեպի աբսուրդ): Նման եզրակացություն ստանալը մեզ ստիպում է մերժել սկզբում արված ենթադրությունը և ընդունել այն, որն անհրաժեշտ էր ապացուցել։

Առաջադրանք 1.Կառուցեք տրված M կետով անցնող և տրված a ուղիղին զուգահեռ ուղիղ՝ չանցնելով M կետով:

Լուծում. Մ կետի միջով ուղիղ գծում ենք p ուղղագիծ a-ին (նկ. 3):

Այնուհետև M կետով b ուղիղ ենք գծում p ուղղին ուղղահայաց: b ուղիղը զուգահեռ է a տողին՝ համաձայն թեորեմ 1-ի եզրակացության։

Դիտարկված խնդրից բխում է կարևոր եզրակացություն.
Տրված գծի վրա չգտնվող կետի միջոցով միշտ հնարավոր է տրվածին զուգահեռ ուղիղ գծել.

Զուգահեռ ուղիղների հիմնական հատկությունը հետևյալն է.

Զուգահեռ ուղիղների աքսիոմա. Տրված կետի միջով, որը չի ընկած տվյալ ուղիղի վրա, անցնում է տրվածին զուգահեռ միայն մեկ ուղիղ։

Դիտարկենք զուգահեռ ուղիղների որոշ հատկություններ, որոնք բխում են այս աքսիոմից:

1) Եթե ուղիղը հատում է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկը, ապա այն հատում է նաև մյուսը (նկ. 4):

2) Եթե երկու տարբեր ուղիղներ զուգահեռ են երրորդ ուղղին, ապա դրանք զուգահեռ են (նկ. 5):

Ճիշտ է նաև հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 2. Եթե երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են լայնակի, ապա.

խաչաձեւ անկյունները հավասար են;

համապատասխան անկյունները հավասար են;

միակողմանի անկյունների գումարը 180° է։

Եզրակացություն 2. Եթե ​​ուղիղը ուղղահայաց է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկին, ապա այն նաև ուղղահայաց է մյուսին.(տես նկ. 2):

Մեկնաբանություն. Թեորեմ 2-ը կոչվում է 1-ին թեորեմի հակադարձ: Թեորեմ 1-ի եզրակացությունը 2-րդ թեորեմի պայմանն է: Իսկ թեորեմ 1-ի պայմանը թեորեմ 2-ի եզրակացությունն է: Ամեն թեորեմ չէ, որ ունի հակադարձ, այսինքն, եթե տվյալ թեորեմը ճիշտ է, ապա հակադարձ թեորեմը կարող է կեղծ լինել:

Եկեք դա բացատրենք՝ օգտագործելով ուղղահայաց անկյունների թեորեմի օրինակը: Այս թեորեմը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ՝ եթե երկու անկյունները ուղղահայաց են, ապա դրանք հավասար են։ Հակադարձ թեորեմը կլինի հետևյալը. եթե երկու անկյունները հավասար են, ապա դրանք ուղղահայաց են: Եվ սա, իհարկե, ճիշտ չէ։ Պարտադիր չէ, որ երկու հավասար անկյունները ուղղահայաց լինեն:

Օրինակ 1.Երկու զուգահեռ գծերը հատվում են երրորդով: Հայտնի է, որ երկու ներքին միակողմանի անկյունների տարբերությունը 30° է։ Գտեք այս անկյունները:

Լուծում. Թող Նկար 6-ը համապատասխանի պայմանին:

Այս հոդվածը զուգահեռ գծերի և զուգահեռ գծերի մասին է։ Նախ տրված է հարթության վրա և տարածության մեջ զուգահեռ ուղիղների սահմանումը, ներկայացվում են նշումներ, տրվում են զուգահեռ ուղիղների օրինակներ և գրաֆիկական նկարազարդումներ։ Հաջորդիվ քննարկվում են գծերի զուգահեռության նշաններն ու պայմանները։ Եզրափակելով՝ ցույց են տրված ուղիղների զուգահեռության ապացուցման բնորոշ խնդիրների լուծումները, որոնք տրված են հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում և եռաչափ տարածության մեջ ուղիղի որոշակի հավասարումներով։

Էջի նավարկություն.

Զուգահեռ գծեր - հիմնական տեղեկատվություն:

Սահմանում.

Հարթության մեջ երկու տող են կոչվում զուգահեռ, եթե չունեն ընդհանուր կետեր։

Սահմանում.

Եռաչափ տարածության երկու տողերը կոչվում են զուգահեռ, եթե նրանք պառկած են նույն հարթության վրա և չունեն ընդհանուր կետեր։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ տարածության մեջ զուգահեռ ուղիղների սահմանման «եթե նրանք նույն հարթության մեջ են» դրույթը շատ կարևոր է: Եկեք պարզաբանենք այս կետը. եռաչափ տարածության երկու ուղիղները, որոնք չունեն ընդհանուր կետեր և չեն գտնվում նույն հարթության վրա, զուգահեռ չեն, այլ հատվում են:

Ահա զուգահեռ գծերի մի քանի օրինակ: Նոթատետրի թերթիկի հակառակ եզրերը գտնվում են զուգահեռ գծերի վրա: Ուղիղ գծերը, որոնց երկայնքով տան պատի հարթությունը հատում է առաստաղի և հատակի հարթությունները, զուգահեռ են։ Երկաթուղային ռելսերը հարթ գետնի վրա նույնպես կարող են դիտարկվել որպես զուգահեռ գծեր:

Զուգահեռ գծերը նշելու համար օգտագործեք «» նշանը: Այսինքն, եթե a և b ուղիղները զուգահեռ են, ապա կարող ենք համառոտ գրել a b:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. եթե a և b ուղիղները զուգահեռ են, ապա կարող ենք ասել, որ a ուղիղը զուգահեռ է b ուղղին, ինչպես նաև, որ b ուղիղը զուգահեռ է a ուղիղին:

Հնչեցնենք մի պնդում, որը կարևոր դեր է խաղում հարթության վրա զուգահեռ ուղիղների ուսումնասիրության մեջ. տվյալ գծի վրա չգտնվող կետով անցնում է տվյալին զուգահեռ միակ ուղիղը։ Այս պնդումն ընդունվում է որպես փաստ (դա չի կարող ապացուցվել պլանաչափության հայտնի աքսիոմների հիման վրա), և այն կոչվում է զուգահեռ ուղիղների աքսիոմ։

Տարածության դեպքում թեորեմը վավեր է. տարածության ցանկացած կետով, որը չի գտնվում տվյալ գծի վրա, անցնում է մեկ ուղիղ ուղիղ տվյալին զուգահեռ։ Այս թեորեմը հեշտությամբ ապացուցվում է՝ օգտագործելով զուգահեռ ուղիղների վերը նշված աքսիոմը (դրա ապացույցը կարող եք գտնել 10-11-րդ դասարանների երկրաչափության դասագրքում, որը նշված է հոդվածի վերջում՝ հղումների ցանկում):

Տարածության դեպքում թեորեմը վավեր է. տարածության ցանկացած կետով, որը չի գտնվում տվյալ գծի վրա, անցնում է մեկ ուղիղ ուղիղ տվյալին զուգահեռ։ Այս թեորեմը հեշտությամբ կարելի է ապացուցել՝ օգտագործելով վերը նշված զուգահեռ ուղիղների աքսիոմը։

Ուղիների զուգահեռություն - զուգահեռության նշաններ և պայմաններ:

Գծերի զուգահեռության նշանուղիղների զուգահեռ լինելու բավարար պայման է, այսինքն՝ պայման, որի կատարումը երաշխավորում է գծերի զուգահեռ լինելը։ Այսինքն, այս պայմանի կատարումը բավարար է գծերի զուգահեռ լինելու փաստը հաստատելու համար։

Կան նաև անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ հարթության վրա և եռաչափ տարածության մեջ ուղիղների զուգահեռության համար։

Բացատրենք «անհրաժեշտ և բավարար պայման զուգահեռ գծերի համար» արտահայտության իմաստը։

Մենք արդեն զբաղվել ենք զուգահեռ գծերի բավարար պայմանով։ Ո՞րն է «անհրաժեշտ պայմանը զուգահեռ գծերի համար»: «Անհրաժեշտ» անունից պարզ է դառնում, որ այս պայմանի կատարումն անհրաժեշտ է զուգահեռ գծերի համար։ Այսինքն, եթե գծերի զուգահեռ լինելու անհրաժեշտ պայմանը չկա, ապա ուղիղները զուգահեռ չեն։ Այսպիսով, անհրաժեշտ և բավարար պայման զուգահեռ գծերի համարպայման է, որի կատարումը և՛ անհրաժեշտ է, և՛ բավարար զուգահեռ գծերի համար։ Այսինքն՝ սա մի կողմից ուղիղների զուգահեռության նշան է, իսկ մյուս կողմից՝ սա մի հատկություն է, որն ունեն զուգահեռ ուղիղները։

Նախքան ուղիղների զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայման ձևակերպելը, նպատակահարմար է հիշել մի քանի օժանդակ սահմանումներ։

Հատված գիծուղիղ է, որը հատում է տրված երկու չհամընկնող ուղիղները։

Երբ երկու ուղիղ գծերը հատվում են լայնակի հետ, ձևավորվում են ութ չմշակված: Գծերի զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմանի ձևակերպման մեջ այսպես կոչված խաչաձեւ պառկած, համապատասխանԵվ միակողմանի անկյուններ. Եկեք դրանք ցույց տանք գծագրում:

Թեորեմ.

Եթե ​​հարթության մեջ երկու ուղիղները հատվում են լայնակի միջոցով, ապա դրանց զուգահեռ լինելու համար անհրաժեշտ է և բավարար, որ հատվող անկյունները հավասար լինեն, կամ համապատասխան անկյունները հավասար լինեն, կամ միակողմանի անկյունների գումարը հավասար լինի 180-ի: աստիճաններ։

Եկեք ցույց տանք հարթության վրա գծերի զուգահեռության այս անհրաժեշտ և բավարար պայմանի գրաֆիկական նկարազարդումը:

Այս պայմանների ապացույցները ուղիղների զուգահեռության համար կարող եք գտնել 7-9-րդ դասարանների երկրաչափության դասագրքերում:

Նկատի ունեցեք, որ այս պայմանները կարող են օգտագործվել նաև եռաչափ տարածության մեջ. գլխավորն այն է, որ երկու ուղիղ գծերը և հատվածը գտնվում են նույն հարթության վրա:

Ահա ևս մի քանի թեորեմներ, որոնք հաճախ օգտագործվում են ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար։

Թեորեմ.

Եթե ​​հարթության երկու ուղիղները զուգահեռ են երրորդ ուղղին, ապա դրանք զուգահեռ են: Այս չափանիշի ապացույցը բխում է զուգահեռ ուղիղների աքսիոմից։

Նմանատիպ պայման կա եռաչափ տարածության զուգահեռ գծերի համար։

Թեորեմ.

Եթե ​​տարածության մեջ երկու ուղիղ զուգահեռ են երրորդ գծին, ապա դրանք զուգահեռ են: Այս չափանիշի ապացույցը քննարկվում է 10-րդ դասարանի երկրաչափության դասերին։

Եկեք նկարագրենք նշված թեորեմները:

Ներկայացնենք ևս մեկ թեորեմ, որը թույլ է տալիս ապացուցել հարթության վրա ուղիղների զուգահեռությունը։

Թեորեմ.

Եթե ​​հարթության երկու ուղիղները ուղղահայաց են երրորդ գծին, ապա դրանք զուգահեռ են:

Տիեզերքում ուղիղների համար կա նմանատիպ թեորեմ:

Թեորեմ.

Եթե ​​եռաչափ տարածության երկու ուղիղները ուղղահայաց են նույն հարթությանը, ապա դրանք զուգահեռ են։

Եկեք նկարենք այս թեորեմներին համապատասխան նկարներ։

Վերը ձևակերպված բոլոր թեորեմները, չափանիշները և անհրաժեշտ ու բավարար պայմանները հիանալի են երկրաչափության մեթոդներով ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար։ Այսինքն՝ երկու տրված ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար պետք է ցույց տալ, որ դրանք զուգահեռ են երրորդ ուղղին, կամ ցույց տալ խաչաձև ընկած անկյունների հավասարությունը և այլն։ Ավագ դպրոցում երկրաչափության դասերին լուծվում են նմանատիպ բազմաթիվ խնդիրներ։ Այնուամենայնիվ, պետք է նշել, որ շատ դեպքերում հարմար է օգտագործել կոորդինատային մեթոդը՝ հարթության վրա կամ եռաչափ տարածության մեջ ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար։ Ձևակերպենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում նշված ուղիղների զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմանները։

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղների զուգահեռությունը:

Հոդվածի այս պարբերությունում մենք կձևակերպենք անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ զուգահեռ գծերի համարուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում՝ կախված այս ուղիղները սահմանող հավասարումների տեսակից, և մենք կտանք նաև բնորոշ խնդիրների մանրամասն լուծումներ։

Սկսենք Օքսի ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի հարթության վրա երկու ուղիղների զուգահեռության պայմանից։ Նրա ապացույցը հիմնված է գծի ուղղության վեկտորի սահմանման և հարթության վրա գծի նորմալ վեկտորի սահմանման վրա։

Թեորեմ.

Որպեսզի հարթության մեջ երկու չհամընկնող ուղիղները զուգահեռ լինեն, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այս ուղիղների ուղղության վեկտորները լինեն համագիծ, կամ այս ուղիղների նորմալ վեկտորները լինեն համագիծ, կամ մեկ ուղիղի ուղղության վեկտորը ուղղահայաց լինի նորմալին։ երկրորդ տողի վեկտորը.

Ակնհայտ է, որ հարթության վրա երկու ուղիղների զուգահեռության պայմանը կրճատվում է մինչև (ուղիների ուղղության վեկտորներ կամ ուղիղների նորմալ վեկտորներ) կամ մինչև (մեկ ուղիղի ուղղության վեկտոր և երկրորդ տողի նորմալ վեկտոր): Այսպիսով, եթե և են a և b ուղիղների ուղղության վեկտորները, և Եվ համապատասխանաբար a և b ուղիղների նորմալ վեկտորներ են, ապա a և b ուղիղների զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմանը կգրվի այսպես. , կամ , կամ, որտեղ t-ը իրական թիվ է: Իր հերթին, a և b ուղիղների ուղեցույցների և (կամ) նորմալ վեկտորների կոորդինատները հայտնաբերվում են ուղիղների հայտնի հավասարումների միջոցով:

Մասնավորապես, եթե ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում a ուղիղը Oxy-ը սահմանում է ձևի ընդհանուր ուղիղ հավասարումը. և ուղիղ գիծ բ - , ապա այս ուղիղների նորմալ վեկտորներն ունեն կոորդինատներ և համապատասխանաբար, իսկ a և b ուղիղների զուգահեռության պայմանը կգրվի որպես .

Եթե ​​a ուղիղը համապատասխանում է ձևի անկյունային գործակից ունեցող ուղիղի և b-ի հավասարմանը, ապա այս ուղիղների նորմալ վեկտորները ունեն կոորդինատներ և, և այդ ուղիղների զուգահեռության պայմանը ձև է ստանում. . Հետևաբար, եթե ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության գծերը զուգահեռ են և կարող են սահմանվել անկյունային գործակիցներով ուղիղների հավասարումներով, ապա ուղիղների անկյունային գործակիցները հավասար կլինեն։ Եվ հակառակը. եթե ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա չհամընկնող գծերը կարելի է ճշտել հավասար անկյունային գործակիցներով գծի հավասարումներով, ապա այդպիսի ուղիղները զուգահեռ են։

Եթե ​​ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում a և b ուղիղները որոշվում են ձևի հարթության վրա գծի կանոնական հավասարումներով. Եվ , կամ ձևի հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ Եվ համապատասխանաբար, այս ուղիղների ուղղության վեկտորներն ունեն կոորդինատներ և , իսկ a և b ուղիղների զուգահեռության պայմանը գրվում է որպես .

Դիտարկենք մի քանի օրինակների լուծումներ:

Օրինակ.

Արդյո՞ք ուղիղները զուգահեռ են: Իսկ ?

Լուծում.

Եկեք վերաշարադրենք գծի հավասարումը հատվածներում՝ գծի ընդհանուր հավասարման տեսքով. . Այժմ մենք կարող ենք տեսնել, որ դա գծի նորմալ վեկտորն է , a-ն գծի նորմալ վեկտորն է։ Այս վեկտորները համագիծ չեն, քանի որ չկա t իրական թիվ, որի հավասարությունը ( ). Հետևաբար, հարթության վրա ուղիղների զուգահեռության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը բավարարված չէ, հետևաբար տրված ուղիղները զուգահեռ չեն։

Պատասխան.

Ոչ, գծերը զուգահեռ չեն։

Օրինակ.

Արդյո՞ք ուղիղ գծերը զուգահեռ են:

Լուծում.

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը իջեցնենք անկյունային գործակցով ուղիղ գծի հավասարմանը. Ակնհայտ է, որ ուղիղների հավասարումները և նույնը չեն (այս դեպքում տրված ուղիղները նույնը կլինեին) և ուղիղների անկյունային գործակիցները հավասար են, հետևաբար սկզբնական ուղիղները զուգահեռ են։

Այս հոդվածում մենք կխոսենք զուգահեռ գծերի մասին, կտանք սահմանումներ և կուրվագծենք զուգահեռության նշաններն ու պայմանները։ Տեսական նյութն ավելի պարզ դարձնելու համար մենք կօգտագործենք նկարազարդումներ և բնորոշ օրինակների լուծումներ:

Yandex.RTB R-A-339285-1 Սահմանում 1

Հարթության վրա զուգահեռ գծեր– հարթության վրա երկու ուղիղ գիծ, ​​որոնք չունեն ընդհանուր կետեր:

Սահմանում 2

Զուգահեռ գծեր եռաչափ տարածության մեջ- երկու ուղիղ գծեր եռաչափ տարածության մեջ, որոնք ընկած են նույն հարթության վրա և չունեն ընդհանուր կետեր:

Հարկ է նշել, որ տարածության մեջ զուգահեռ ուղիղները որոշելու համար չափազանց կարևոր է «նույն հարթության մեջ ընկած» պարզաբանումը. եռաչափ տարածության երկու տողերը, որոնք չունեն ընդհանուր կետեր և չեն գտնվում նույն հարթության մեջ, զուգահեռ չեն։ , բայց հատվող։

Զուգահեռ գծերը նշելու համար սովորական է օգտագործել ∥ նշանը: Այսինքն, եթե տրված a և b ուղիղները զուգահեռ են, ապա այս պայմանը պետք է հակիրճ գրվի հետևյալ կերպ. a ‖ b. Բառային առումով ուղիղների զուգահեռությունը նշանակվում է հետևյալ կերպ. a և b ուղիղները զուգահեռ են, կամ a ուղիղը զուգահեռ է b ուղղին, կամ b ուղիղը զուգահեռ է a ուղիղին:

Եկեք ձևակերպենք մի հայտարարություն, որը կարևոր դեր է խաղում ուսումնասիրվող թեմայի մեջ:

Աքսիոմա

Տրված գծին չպատկանող կետով անցնում է տրվածին զուգահեռ միակ ուղիղը։ Այս պնդումը չի կարող ապացուցվել պլանաչափության հայտնի աքսիոմների հիման վրա։

Այն դեպքում, երբ խոսքը տարածության մասին է, թեորեմը ճիշտ է.

Թեորեմ 1

Տարածության ցանկացած կետի միջով, որը չի պատկանում տվյալ գծին, կլինի մեկ ուղիղ ուղիղ, որը զուգահեռ է տրվածին:

Այս թեորեմը հեշտ է ապացուցել վերը նշված աքսիոմի հիման վրա (երկրաչափության ծրագիր 10-11-րդ դասարանների համար):

Զուգահեռության չափանիշը բավարար պայման է, որի կատարումը երաշխավորում է գծերի զուգահեռությունը։ Այսինքն՝ այս պայմանի կատարումը բավարար է զուգահեռության փաստը հաստատելու համար։

Մասնավորապես, հարթության և տարածության վրա գծերի զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ կան։ Բացատրենք. անհրաժեշտ նշանակում է պայման, որի կատարումն անհրաժեշտ է զուգահեռ գծերի համար. եթե այն չի կատարվում, գծերը զուգահեռ չեն։

Եթե ​​ամփոփենք, ապա ուղիղների զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայման է այն պայմանը, որի պահպանումը անհրաժեշտ և բավարար է, որպեսզի ուղիղները միմյանց զուգահեռ լինեն։ Սա մի կողմից զուգահեռության նշան է, մյուս կողմից՝ զուգահեռ գծերին բնորոշ հատկություն։

Նախքան անհրաժեշտ և բավարար պայմանի ճշգրիտ ձևակերպումը տալը, հիշենք մի քանի լրացուցիչ հասկացություններ.

Սահմանում 3

Հատված գիծ– ուղիղ գիծ, ​​որը հատում է տրված երկու չհամընկնող ուղիղները:

Երկու ուղիղ գիծ հատելով՝ լայնականը կազմում է ութ չմշակված անկյուն։ Անհրաժեշտ և բավարար պայման ձևակերպելու համար մենք կօգտագործենք անկյունների այնպիսի տեսակներ, ինչպիսիք են խաչաձև, համապատասխան և միակողմանի: Եկեք դրանք ցույց տանք նկարազարդման մեջ.

Թեորեմ 2

Եթե ​​հարթության երկու ուղիղները հատվում են լայնակի միջոցով, ապա տվյալ ուղիղները զուգահեռ լինելու համար անհրաժեշտ է և բավարար, որ հատվող անկյունները հավասար լինեն, կամ համապատասխան անկյունները հավասար լինեն, կամ միակողմանի անկյունների գումարը հավասար լինի. 180 աստիճան:

Եկեք գրաֆիկորեն պատկերացնենք հարթության վրա ուղիղների զուգահեռության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը.

Այս պայմանների ապացույցն առկա է 7-9-րդ դասարանների երկրաչափության ծրագրում:

Ընդհանրապես, այս պայմանները կիրառելի են նաև եռաչափ տարածության համար, չնայած այն հանգամանքին, որ երկու տողերն ու սեկանտը պատկանում են նույն հարթությանը։

Եկեք նշենք ևս մի քանի թեորեմներ, որոնք հաճախ օգտագործվում են ուղիղների զուգահեռ լինելու փաստն ապացուցելու համար։

Թեորեմ 3

Հարթության վրա երրորդին զուգահեռ երկու ուղիղները զուգահեռ են միմյանց: Այս հատկանիշն ապացուցված է վերը նշված զուգահեռականության աքսիոմի հիման վրա։

Թեորեմ 4

Եռաչափ տարածության մեջ երրորդին զուգահեռ երկու ուղիղները զուգահեռ են միմյանց:

Նշանի ապացույցն ուսումնասիրվում է 10-րդ դասարանի երկրաչափություն ուսումնական ծրագրում։

Ներկայացնենք այս թեորեմների օրինակը.

Նշենք ևս մեկ զույգ թեորեմներ, որոնք ապացուցում են ուղիղների զուգահեռությունը։

Թեորեմ 5

Հարթության վրա երրորդին ուղղահայաց երկու ուղիղները զուգահեռ են միմյանց:

Եկեք ձևակերպենք նման բան եռաչափ տարածության համար:

Թեորեմ 6

Եռաչափ տարածության մեջ երրորդին ուղղահայաց երկու ուղիղները զուգահեռ են միմյանց:

Եկեք պատկերացնենք.

Վերոհիշյալ բոլոր թեորեմները, նշանները և պայմանները հնարավորություն են տալիս հարմար կերպով ապացուցել ուղիղների զուգահեռությունը՝ օգտագործելով երկրաչափության մեթոդները։ Այսինքն՝ ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար կարելի է ցույց տալ, որ համապատասխան անկյունները հավասար են, կամ ցույց տալ, որ երկու տրված ուղիղները ուղղահայաց են երրորդին և այլն։ Բայց նկատի ունեցեք, որ հաճախ ավելի հարմար է օգտագործել կոորդինատային մեթոդը՝ հարթության վրա կամ եռաչափ տարածության մեջ ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար:

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղների զուգահեռությունը

Տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղ գիծը որոշվում է հնարավոր տեսակներից մեկի հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարմամբ։ Նմանապես, ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում եռաչափ տարածության մեջ սահմանված ուղիղ գիծը համապատասխանում է տարածության ուղիղ գծի որոշ հավասարումների:

Եկեք գրենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղների զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմանները՝ կախված տվյալ ուղիղները նկարագրող հավասարման տեսակից։

Սկսենք հարթության վրա ուղիղների զուգահեռության պայմանից։ Այն հիմնված է գծի ուղղության վեկտորի և հարթության վրա գծի նորմալ վեկտորի սահմանումների վրա:

Թեորեմ 7

Որպեսզի հարթության վրա երկու չհամընկնող ուղիղները զուգահեռ լինեն, անհրաժեշտ է և բավարար, որ տվյալ ուղիղների ուղղության վեկտորները լինեն համագիծ, կամ տրված ուղիղների նորմալ վեկտորները՝ միակողմանի, կամ մեկ ուղիղի ուղղության վեկտորը ուղղահայաց լինի. մյուս տողի նորմալ վեկտորը:

Ակնհայտ է դառնում, որ հարթության վրա ուղիղների զուգահեռության պայմանը հիմնված է վեկտորների համագծի կամ երկու վեկտորների ուղղահայացության պայմանի վրա։ Այսինքն, եթե a → = (a x, a y) և b → = (b x, b y) a և b ուղիղների ուղղության վեկտորներ են.

և n b → = (n b x, n b y) a և b տողերի նորմալ վեկտորներ են, ապա վերը նշված անհրաժեշտ և բավարար պայմանը գրում ենք հետևյալ կերպ. a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y կամ n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y կամ a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0, որտեղ t-ն իրական թիվ է: Ուղղորդիչների կամ ուղիղ վեկտորների կոորդինատները որոշվում են ուղիղ գծերի տրված հավասարումներով։ Դիտարկենք հիմնական օրինակները։

1. Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում a տողը որոշվում է գծի ընդհանուր հավասարմամբ՝ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; ուղիղ գիծ b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0: Այնուհետև տրված ուղիղների նորմալ վեկտորները կունենան կոորդինատներ (A 1, B 1) և (A 2, B 2) համապատասխանաբար։ Զուգահեռության պայմանը գրում ենք հետևյալ կերպ.

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. A ուղիղը նկարագրվում է y = k 1 x + b 1 ձևի թեքությամբ գծի հավասարմամբ: Ուղիղ գիծ b - y = k 2 x + b 2. Այնուհետև տրված ուղիղների նորմալ վեկտորները կունենան կոորդինատներ (k 1, - 1) և (k 2, - 1) համապատասխանաբար, և զուգահեռության պայմանը կգրենք հետևյալ կերպ.

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Այսպիսով, եթե ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա զուգահեռ ուղիղները տրված են անկյունային գործակիցներով հավասարումներով, ապա տվյալ ուղիղների անկյունային գործակիցները հավասար կլինեն։ Եվ ճիշտ է հակառակ պնդումը՝ եթե ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա չհամընկնող ուղիղները որոշվում են նույնական անկյունային գործակիցներով ուղիղի հավասարումներով, ապա այս տրված ուղիղները զուգահեռ են։

1. Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում a և b ուղիղները որոշվում են հարթության վրա տողի կանոնական հավասարումներով՝ x - x 1 a x = y - y 1 a y և x - x 2 b x = y - y 2 b y կամ պարամետրային հավասարումներով. մի գիծ հարթության վրա՝ x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y և x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y:

Այնուհետև տրված ուղիղների ուղղության վեկտորները համապատասխանաբար կլինեն՝ a x, a y և b x, b y, իսկ զուգահեռության պայմանը կգրենք հետևյալ կերպ.

a x = t b x a y = t b y

Եկեք նայենք օրինակներին:

Օրինակ 1

Տրված է երկու տող՝ 2 x - 3 y + 1 = 0 և x 1 2 + y 5 = 1: Անհրաժեշտ է որոշել, թե արդյոք դրանք զուգահեռ են:

Լուծում

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով գրենք ընդհանուր հավասարման տեսքով.

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Մենք տեսնում ենք, որ n a → = (2, - 3) 2 x - 3 y + 1 = 0 տողի նորմալ վեկտորն է, իսկ n b → = 2, 1 5 x 1 2 + y 5 տողի նորմալ վեկտորն է։ = 1.

Ստացված վեկտորները համագիծ չեն, քանի որ չկա այնպիսի արժեք, որ հավասարությունը ճիշտ լինի.

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Այսպիսով, հարթության վրա ուղիղների զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմանը բավարարված չէ, ինչը նշանակում է, որ տվյալ ուղիղները զուգահեռ չեն։

Պատասխան.տրված ուղիղները զուգահեռ չեն։

Օրինակ 2

Տրված են y = 2 x + 1 և x 1 = y - 4 2 տողերը։ Արդյո՞ք դրանք զուգահեռ են:

Լուծում

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը x 1 = y - 4 2 փոխակերպենք թեքության հետ ուղիղ գծի հավասարման.

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Մենք տեսնում ենք, որ y = 2 x + 1 և y = 2 x + 4 ուղիղների հավասարումները նույնը չեն (եթե այլ կերպ լիներ, ուղիղները կհամընկնեին) և ուղիղների անկյունային գործակիցները հավասար են, ինչը նշանակում է. տրված գծերը զուգահեռ են:

Փորձենք այլ կերպ լուծել խնդիրը։ Նախ ստուգենք՝ արդյոք տրված տողերը համընկնում են։ Մենք օգտագործում ենք y = 2 x + 1 ուղղի ցանկացած կետ, օրինակ, (0, 1), այս կետի կոորդինատները չեն համապատասխանում x 1 = y - 4 2 տողի հավասարմանը, ինչը նշանակում է, որ գծերը կատարում են. չի համընկնում.

Հաջորդ քայլը պետք է պարզել, թե արդյոք բավարարված է տվյալ ուղիղների զուգահեռության պայմանը։

y = 2 x + 1 ուղիղի նորմալ վեկտորը n a → = (2 , - 1) վեկտորն է, իսկ երկրորդ տրված ուղիղի ուղղության վեկտորը b → = (1 , 2) է։ Այս վեկտորների սկալյար արտադրյալը զրո է.

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Այսպիսով, վեկտորները ուղղահայաց են. սա մեզ ցույց է տալիս սկզբնական գծերի զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմանի կատարումը։ Նրանք. տրված ուղիղները զուգահեռ են։

Պատասխան.այս տողերը զուգահեռ են:

Եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար օգտագործվում է հետևյալ անհրաժեշտ և բավարար պայմանը.

Թեորեմ 8

Որպեսզի եռաչափ տարածության մեջ երկու չհամընկնող ուղիղները զուգահեռ լինեն, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այդ ուղիղների ուղղության վեկտորները լինեն համագիծ:

Նրանք. Հաշվի առնելով եռաչափ տարածության ուղիղների հավասարումները, հարցի պատասխանը՝ դրանք զուգահեռ են, թե ոչ, գտնում ենք՝ որոշելով տվյալ ուղիղների ուղղության վեկտորների կոորդինատները, ինչպես նաև ստուգելով դրանց համակողմանիության վիճակը։ Այլ կերպ ասած, եթե a → = (a x, a y, a z) և b → = (b x, b y, b z) համապատասխանաբար a և b ուղիղների ուղղության վեկտորներն են, ապա որպեսզի դրանք զուգահեռ լինեն, գոյությունը. Նման իրական թվի t անհրաժեշտ է, որպեսզի հավասարությունը պահպանվի.

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Օրինակ 3

Տրված են x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 և x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ տողերը։ Անհրաժեշտ է ապացուցել այս տողերի զուգահեռությունը։

Լուծում

Խնդրի պայմանները տրված են տարածության մի ուղիղի կանոնական հավասարումներով և տարածության մեկ այլ տողի պարամետրական հավասարումներով։ Ուղղորդող վեկտորներ ա → և b → տրված տողերն ունեն կոորդինատներ՝ (1, 0, - 3) և (2, 0, - 6):

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , ապա a → = 1 2 · b → .

Հետևաբար, բավարարված է տարածության մեջ ուղիղների զուգահեռության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը։

Պատասխան.ապացուցված է տրված ուղիղների զուգահեռությունը։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության պրակտիկան և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկատվությունը մեզ թույլ է տալիս կապվել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների հետ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հրապարակային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Էջ 3 3-ից

Հարց 21.Որքա՞ն է եռանկյան անկյունը տրված գագաթին:
Պատասխանել. A գագաթին ABC եռանկյան անկյունը AB և AC կես ուղիղներով կազմված անկյունն է: Որոշվում են նաև B և C գագաթներում եռանկյան անկյունները։

Հարց 22.Ո՞ր հատվածներն են կոչվում հավասար:
Պատասխանել.Հատվածները կոչվում են հավասար, եթե դրանց երկարությունները հավասար են:
Հարց 23. Ո՞ր անկյուններն են կոչվում հավասար:
Պատասխանել.Անկյունները կոչվում են հավասար, եթե նրանց աստիճանի չափումները հավասար են։
Հարց 24.Ո՞ր եռանկյուններն են կոչվում հավասար:
Պատասխանել.Եռանկյունները կոչվում են համահունչ, եթե դրանց համապատասխան կողմերը հավասար են, իսկ համապատասխան անկյունները՝ հավասար։ Այս դեպքում համապատասխան անկյունները պետք է ընկնեն համապատասխան կողմերի հակառակ կողմում:
Հարց 25.Ինչպե՞ս են նկարում նշված հավասար եռանկյունների համապատասխան կողմերն ու անկյունները:
Պատասխանել.Գծագրում հավասար հատվածները սովորաբար նշվում են մեկ, երկու կամ երեք գծերով, իսկ հավասար անկյունները՝ մեկ, երկու կամ երեք աղեղներով։

Հարց 26.Օգտագործելով Նկար 23-ը, բացատրեք այս եռանկյունի հավասարության առկայությունը:
Պատասխանել.

Եկեք ունենանք ABC եռանկյուն և a ճառագայթ (նկ. 23, ա): Տեղափոխենք ABC եռանկյունը այնպես, որ նրա A գագաթը հավասարեցվի a ճառագայթի սկզբին, B գագաթը գտնվում է a ճառագայթի վրա, իսկ C գագաթը գտնվում է տրված կիսահարթության մեջ՝ հարաբերական a ճառագայթին և դրա երկարացմանը: Այս նոր դիրքում մեր եռանկյան գագաթները կնշանակենք A 1, B 1, C 1 (նկ. 23, բ):
A 1 B 1 C 1 եռանկյունը հավասար է ABC եռանկյունին:
Հարց 27.Ո՞ր ուղիղներն են կոչվում զուգահեռ: Ո՞ր նշանն է օգտագործվում զուգահեռ գծերը նշելու համար:
Պատասխանել.Երկու ուղիղները կոչվում են զուգահեռ, եթե դրանք չեն հատվում: Գծերի զուգահեռությունը նշելու համար օգտագործվում է նշանը

Հարց 28.Նշե՛ք զուգահեռ ուղիղների հիմնական հատկությունը:
Պատասխանել.Տրված գծի վրա չգտնվող կետի միջով հարթության վրա կարելի է գծել տվյալին զուգահեռ առավելագույնը մեկ ուղիղ։
Հարց 29.Բերե՛ք թեորեմի օրինակ:
Պատասխանել.Եթե ​​եռանկյան գագաթներից ոչ մեկի միջով չանցնող ուղիղը հատում է նրա կողմերից մեկը, ապա այն հատում է մյուս երկու կողմերից միայն մեկը։