Միջին ուղղահայացության սահմանում. Եռանկյան չորս հիանալի կետեր

Միջին ուղղահայաց (միջին ուղղահայացկամ միջնորդ) տրված հատվածին ուղղահայաց և նրա միջնակետով անցնող ուղիղ գիծ է։

Հատկություններ

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$որտեղ ենթակետը ցույց է տալիս այն կողմը, որին գծված է ուղղահայացը, $Ս$եռանկյան մակերեսն է, և ենթադրվում է նաև, որ կողմերը կապված են անհավասարություններով $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; գ.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$և $p\_c\backslash geq\; p\_b.$Այլ կերպ ասած, եռանկյունու համար ամենափոքր ուղղահայաց կիսորդը վերաբերում է միջին հատվածին:

Գրեք ակնարկ «Միջին ուղղահայաց» հոդվածի վերաբերյալ

Նշումներ

Ուղղահայաց կիսադիրը բնութագրող հատված

Կուտուզովը, դադարեցնելով ծամել, զարմացած նայեց Վոլցոգենին, կարծես չհասկանալով, թե ինչ են իրեն ասում։ Վոլցոգենը, նկատելով des alten Herrn-ի (ծեր ջենթլմենի (գերմանացի)) հուզմունքը, ժպտալով ասաց.
- Ես ինձ իրավասու չէի համարում թաքցնելու ձեր տիրակալությունից այն, ինչ տեսա... Զորքերը կատարյալ անկարգության մեջ են...
- Տեսել ես? Տեսա՞ր... - խոժոռված բղավեց Կուտուզովը, արագ վեր կենալով և առաջ շարժվելով դեպի Վոլցոգեն: «Ինչպե՞ս ես համարձակվում… ինչպես ես համարձակվում…», գոռաց նա՝ ձեռքերը թափահարելով և խեղդվելով սպառնալից շարժումներ անելով: -Ինչպե՞ս եք համարձակվում, հարգելի պարոն, սա ինձ ասեք։ Դու ոչինչ չգիտես։ Գեներալ Բարքլիին ինձնից ասեք, որ նրա տեղեկությունները սխալ են, և որ ճակատամարտի իրական ընթացքը ինձ՝ գլխավոր հրամանատարին, ավելի լավ է հայտնի, քան իրեն։
Վոլցոգենն ուզում էր ինչ-որ բան առարկել, բայց Կուտուզովն ընդհատեց նրան։
- Հակառակորդը ձախից հետ է մղվում, իսկ աջ թեւում պարտվում։ Եթե ​​լավ չեք տեսել, հարգելի պարոն, ապա ձեզ թույլ մի տվեք ասել այն, ինչ չգիտեք։ Խնդրում եմ, գնացեք գեներալ Բարքլի մոտ և նրան փոխանցեք վաղը թշնամու վրա հարձակվելու իմ անփոխարինելի մտադրությունը», - խստորեն ասաց Կուտուզովը: Բոլորը լուռ էին, և լսվում էր ծեր գեներալի ծանր շնչառությունը։ -Ամեն տեղ վանված, ինչի համար շնորհակալ եմ Աստծուն ու մեր քաջ բանակին։ Թշնամին ջախջախված է, և վաղը մենք նրան դուրս կքշենք ռուսական սուրբ հողից, - ասաց Կուտուզովը՝ խաչակնքելով. և հանկարծ լաց եղավ։ Վոլցոգենը, ուսերը թոթվելով և շրթունքները ոլորելով, լուռ մի կողմ քաշվեց՝ զարմանալով uber diese Eingenommenheit des alten Herrn-ի վրա։ [ծեր ջենթլմենի այս բռնակալության վրա. (գերմաներեն)]
«Այո, ահա նա, իմ հերոսը», - ասաց Կուտուզովը թմբլիկ, գեղեցկադեմ սև մազերով գեներալին, որն այդ ժամանակ մտնում էր հողաթմբը: Դա Ռաևսկին էր, ով ամբողջ օրն անցկացրել էր Բորոդինոյի դաշտի գլխավոր կետում։
Ռաևսկին հայտնում է, որ զորքերը ամուր կանգնած են իրենց տեղերում, և որ ֆրանսիացիներն այլևս չեն համարձակվում հարձակվել։ Նրան լսելուց հետո Կուտուզովը ֆրանսերեն ասաց.
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes պարտավորեցնում է թոշակառուին: [Ուրեմն դուք չե՞ք կարծում, ինչպես մյուսները, որ մենք պետք է նահանջե՞նք։]

Հրահանգ

Շրջանակների հատման կետերով գիծ գծե՛ք։ Դուք ստացել եք տվյալ հատվածին ուղղահայաց կիսորդը:

Հիմա մեզ տրվի կետ և գիծ։ Այս կետից պետք է ուղղահայաց գծել, ասեղը դնել կետի վրա: Գծե՛ք շառավղով շրջան (շառավիղը պետք է լինի կետից ուղիղ, որպեսզի շրջանագիծը կարողանա հատել գիծը երկու կետով): Այժմ դուք ունեք երկու կետ գծի վրա: Այս կետերը ստեղծում են գիծ: Կառուցեք հատվածին ուղղահայաց կիսորդը, ծայրերը ստացված կետերն են՝ համաձայն վերը քննարկված ալգորիթմի։ Ուղղահայացը պետք է անցնի մեկնարկային կետով:

Ուղիղ գծեր կառուցելը տեխնիկական գծագրության հիմքն է: Այժմ դա ավելի ու ավելի է արվում գրաֆիկական խմբագրիչների օգնությամբ, որոնք դիզայներին տալիս են մեծ հնարավորություններ։ Այնուամենայնիվ, որոշ շինարարական սկզբունքներ մնում են նույնը, ինչ դասական գծագրության մեջ՝ օգտագործելով մատիտ և քանոն:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - թուղթ;
• - մատիտ;
• - քանոն;
• - համակարգիչ AutoCAD ծրագրով:

Հրահանգ

Սկսեք դասական կառուցվածքից: Որոշեք այն հարթությունը, որում գծեք գիծը: Թող սա լինի թղթի թերթիկի հարթությունը: Կախված խնդրի պայմաններից, դասավորեք . Դրանք կարող են լինել կամայական, բայց հնարավոր է, որ տրվի կոորդինատային համակարգ։ Կամայական կետերը դնում են այնտեղ, որտեղ ձեզ ամենաշատն է դուր գալիս: Նշեք դրանք A և B: Օգտագործեք քանոն՝ դրանք միացնելու համար: Ըստ աքսիոմի՝ միշտ կարելի է ուղիղ գիծ գծել երկու կետի միջով, ընդ որում՝ միայն մեկ։

Գծե՛ք կոորդինատային համակարգ: Թող ձեզ տրվեն A կետերը (x1; y1): Դրանց համար անհրաժեշտ է x առանցքի երկայնքով մի կողմ դնել անհրաժեշտ թիվը և նշված կետով y առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ գծել։ Այնուհետև y1-ին հավասար արժեք գծեք համապատասխան առանցքի երկայնքով: Նշված կետից ուղղահայաց գծե՛ք, մինչև այն հատվի հետ: Նրանց հատման վայրը կլինի A կետը: Նույն կերպ գտե՛ք B կետը, որի կոորդինատները կարելի է նշանակել (x2; y2): Միացրեք երկու կետերը:

AutoCAD-ում ուղիղ գիծ կարելի է կառուցել մի քանի . «by» ֆունկցիան սովորաբար սահմանվում է լռելյայն: Գտեք «Տուն» ներդիրը վերևի ընտրացանկում: Դուք կտեսնեք Գծագրական վահանակը ձեր առջև: Գտեք ուղիղ գծով կոճակը և սեղմեք դրա վրա:

AutoCAD-ը նաև թույլ է տալիս սահմանել երկուսի կոորդինատները: Հավաքեք ներքևում հրամանի տող(_xline): Սեղմեք Enter: Մուտքագրեք առաջին կետի կոորդինատները և սեղմեք նաև enter: Նույն կերպ սահմանի՛ր երկրորդ կետը։ Այն կարող է նաև նշվել մկնիկի սեղմումով` կուրսորը տեղադրելով ցանկալի կետէկրան.

AutoCAD-ում դուք կարող եք ուղիղ գիծ կառուցել ոչ միայն երկու կետով, այլև թեքության անկյան տակ: Նկարել համատեքստի ընտրացանկից ընտրեք ուղիղ գիծ, ​​այնուհետև «Անկյուն» տարբերակը: Մեկնարկային կետը կարող է սահմանվել մկնիկի սեղմումով կամ , ինչպես նախորդ մեթոդով: Այնուհետև սահմանեք անկյունի չափը և սեղմեք Enter: Լռելյայնորեն, գիծը կտեղադրվի ցանկալի անկյան տակ դեպի հորիզոնական:

Առնչվող տեսանյութեր

Բարդ գծագրի վրա (գծապատկեր) ուղղահայացությունուղիղ և Ինքնաթիռորոշվում է հիմնական դրույթներով՝ եթե մի կողմ Աջ անկյունըզուգահեռ Ինքնաթիռկանխատեսումներ, այնուհետև ուղիղ անկյունը նախագծվում է այս հարթության վրա առանց խեղաթյուրման. եթե ուղիղը ուղղահայաց է երկու հատվող ուղիղներին Ինքնաթիռ, սրան ուղղահայաց է Ինքնաթիռ.

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• Մատիտ, քանոն, անկյունաչափ, եռանկյուն:

Հրահանգ

Օրինակ. M կետի միջով նկարիր ուղղահայաց ԻնքնաթիռՆկարել ուղղահայաց Ինքնաթիռ, սրա մեջ երկու հատվող գծեր են ընկած Ինքնաթիռ, և կառուցիր նրանց ուղղահայաց ուղիղ: Այս երկու հատվող գծերը ընտրվում են ճակատային և հորիզոնական: Ինքնաթիռ.

Ճակատային f(f1f2) ուղիղ գիծ է, որի մեջ ընկած է Ինքնաթիռև ճակատին զուգահեռ Ինքնաթիռկանխատեսումներ П2. Այսպիսով, f2-ը նրա բնական արժեքն է, իսկ f1-ը միշտ զուգահեռ է x12-ին: A2 կետից h2 զուգահեռ անցկացրեք x12-ին և ստացեք 12 կետը B2C2-ի վրա:

11 կապի կետի պրոյեկցիոն գծի օգնությամբ В1С1-ի վրա: Միացեք A1-ի հետ - սա h1 է - հորիզոնականի բնական չափը: B1 կետից նկարեք f1‖x12, A1C1-ի վրա ստացեք 21 կետը: Գտեք 22 կետը A2C2-ի վրա՝ օգտագործելով պրոյեկցիոն միացման գիծը: Միացեք B2 կետին - սա կլինի f2 - ճակատի ամբողջական չափը:

Կառուցված բնական հորիզոնականներ h1 և f2 ուղղահայաց ելուստների ելուստների. Ինքնաթիռ. M2 կետից գծեք նրա ճակատային պրոյեկցիան a2 90 անկյան տակ

Եռանկյունու մեջ կան այսպես կոչված չորս ուշագրավ կետեր՝ միջնամասերի հատման կետը։ Բիսեկտորների հատման կետը, բարձրությունների հատման կետը և ուղղահայաց կիսորդների հատման կետը: Դիտարկենք դրանցից յուրաքանչյուրը:

Եռանկյան միջինների հատման կետը

Թեորեմ 1

Եռանկյան միջինների հատման վրաԵռանկյան միջինները հատվում են մի կետում և հատման կետը բաժանում են $2:1$ հարաբերությամբ՝ սկսած գագաթից:

Ապացույց.

Դիտարկենք $ABC$ եռանկյունը, որտեղ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ նրա միջինն է: Քանի որ միջնագծերը բաժանում են կողմերը կիսով չափ: Դիտարկենք $A_1B_1$ միջին գիծը (նկ. 1):

Նկար 1. Եռանկյան միջնագիծը

Թեորեմ 1-ով $AB||A_1B_1$ և $AB=2A_1B_1$, հետևաբար $\անկյուն ABB_1=\անկյուն BB_1A_1,\ \անկյուն BAA_1=\անկյուն AA_1B_1$: Այսպիսով, $ABM$ և $A_1B_1M$ եռանկյունները նման են առաջինում նմանությունեռանկյուններ. Հետո

Նմանապես ապացուցված է, որ

Թեորեմն ապացուցված է.

Եռանկյան կիսորդների հատման կետը

Թեորեմ 2

Եռանկյան կիսատների հատման վրաԵռանկյան կիսադիրները հատվում են մի կետում:

Ապացույց.

Դիտարկենք $ABC$ եռանկյունը, որտեղ $AM,\ BP,\ CK$ են նրա կիսորդները: Թող $O$ կետը լինի $AM\ և\ BP$ կիսորդների հատման կետը: Այս կետից գծեք եռանկյան կողմերին ուղղահայաց (նկ. 2):

Գծապատկեր 2. Եռանկյան կիսադիրներ

Թեորեմ 3

Չընդլայնված անկյան կիսադիրի յուրաքանչյուր կետ իր կողմերից հավասար է:

Թեորեմ 3-ով մենք ունենք՝ $OX=OZ,\ OX=OY$: Ուստի $OY=OZ$: Հետևաբար, $O$ կետը հավասար է $ACB$ անկյան կողմերից և, հետևաբար, գտնվում է իր $CK$ կիսաչափի վրա:

Թեորեմն ապացուցված է.

Եռանկյան ուղղահայաց կիսորդների հատման կետը

Թեորեմ 4

Եռանկյան կողմերի ուղղահայաց կիսորդները հատվում են մեկ կետում:

Ապացույց.

Թող տրվի $ABC$ եռանկյունը, $n,\ m,\ p$ նրա ուղղահայաց կիսորդները։ Թող $O$ կետը լինի $n\ և\ m$ ուղղահայաց կիսորդների հատման կետը (նկ. 3):

Նկար 3. Եռանկյան ուղղահայաց կիսորդներ

Ապացույցի համար մեզ անհրաժեշտ է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 5

Հատվածին ուղղահայաց կիսադիրի յուրաքանչյուր կետը հավասար է տվյալ հատվածի ծայրերից:

Թեորեմ 3-ով մենք ունենք՝ $OB=OC,\ OB=OA$: Այսպիսով, $OA=OC$: Սա նշանակում է, որ $O$ կետը հավասար է $AC$ հատվածի ծայրերից և, հետևաբար, գտնվում է իր $p$ ուղղահայաց կիսագծի վրա։

Թեորեմն ապացուցված է.

Եռանկյան բարձրությունների հատման կետը

Թեորեմ 6

Եռանկյան բարձրությունները կամ դրանց ընդարձակումները հատվում են մեկ կետում:

Ապացույց.

Դիտարկենք $ABC$ եռանկյունը, որտեղ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ նրա բարձրությունն է: Եռանկյան յուրաքանչյուր գագաթի միջով գծիր գագաթին հակառակ կողմին զուգահեռ: Ստանում ենք $A_2B_2C_2$ նոր եռանկյուն (նկ. 4):

Նկար 4. Եռանկյան բարձրությունները

Քանի որ $AC_2BC$ և $B_2ABC$ զուգահեռներ են ընդհանուր կողմով, ապա $AC_2=AB_2$, այսինքն $A$ կետը $C_2B_2$ կողմի միջնակետն է։ Նմանապես, մենք ստանում ենք, որ $B$ կետը $C_2A_2$ կողմի միջնակետն է, իսկ $C$ կետը $A_2B_2$ կողմի միջնակետն է: Կառուցումից ունենք $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$: Հետևաբար $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$-ը $A_2B_2C_2$ եռանկյան ուղղահայաց կիսորդներն են: Այնուհետև թեորեմ 4-ով մենք ունենք, որ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ բարձրությունները հատվում են մեկ կետում: