Երկրաչափական առաջընթացների գումարի բանաձևը. Երկրաչափական առաջընթաց

Դասի նպատակը՝ ուսանողներին ծանոթացնել հաջորդականության նոր տեսակին՝ անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա:
Առաջադրանքներ.
թվային հաջորդականության սահմանի նախնական գաղափարի ձևակերպում.
ծանոթանալ անվերջ պարբերական կոտորակները սովորականի փոխարկելու մեկ այլ եղանակի հետ՝ օգտագործելով անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը.
դպրոցականների անհատականության ինտելեկտուալ որակների զարգացում, ինչպիսիք են տրամաբանական մտածողությունը, գնահատող գործողությունների կարողությունը, ընդհանրացումը.
գործունեության կրթություն, փոխօգնություն, կոլեկտիվիզմ, հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ։

Բեռնել:

Նախադիտում:

Հարակից դաս «Անսահման նվազող երկրաչափական առաջընթաց» (հանրահաշիվ, դասարան 10)

Դասի նպատակը. ուսանողներին ծանոթացնելով նոր տեսակի հաջորդականության՝ անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա:

Առաջադրանքներ.

թվային հաջորդականության սահմանի նախնական գաղափարի ձևակերպում. ծանոթանալ անվերջ պարբերական կոտորակները սովորականի փոխարկելու մեկ այլ եղանակի հետ՝ օգտագործելով անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը.

դպրոցականների անհատականության ինտելեկտուալ որակների զարգացում, ինչպիսիք են տրամաբանական մտածողությունը, գնահատող գործողությունների կարողությունը, ընդհանրացումը.

գործունեության կրթություն, փոխօգնություն, կոլեկտիվիզմ, հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ։

Սարքավորումներ: համակարգչային դասարան, պրոյեկտոր, էկրան.

Դասի տեսակը: Դաս - նոր թեմայի յուրացում:

Դասերի ժամանակ

I. Օրգ. պահ. Հաղորդագրություն դասի թեմայի և նպատակի մասին:

II. Ուսանողների գիտելիքների թարմացում.

9-րդ դասարանում սովորել եք թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացներ։

Հարցեր

1. Թվաբանական առաջընթացի սահմանում.

(Թվաբանական առաջընթացը այն հաջորդականությունն է, որի յուրաքանչյուր անդամ,

Երկրորդից սկսած հավասարվում է նախորդ անդամին՝ ավելացված նույն թվով)։

2. Բանաձև n - թվաբանական առաջընթացի անդամ

3. Առաջինի գումարի բանաձեւը n թվաբանական առաջընթացի անդամներ.

( կամ )

4. Երկրաչափական պրոգրեսիայի սահմանում.

(Երկրաչափական առաջընթացը ոչ զրոյական թվերի հաջորդականությունն է,

Որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ անդամին, բազմապատկելով

նույն թիվը):

5. Բանաձև n երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը

6. Առաջինի գումարի բանաձեւը n երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամներ.

7. Ինչ բանաձեւեր դեռ գիտեք:

(, որտեղ; ;

; , )

Առաջադրանքներ

1. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է բանաձևով a n = 7 - 4n: Գտեք 10-ը: (-33)

2. Թվաբանական առաջընթաց a 3 = 7 և a 5 = 1: Գտեք 4. (4)

3. Թվաբանական առաջընթաց a 3 = 7 և a 5 = 1: Գտեք 17-ը: (-35)

4. Թվաբանական առաջընթաց a 3 = 7 և a 5 = 1: Գտեք S 17: (-187)

5. Երկրաչափական պրոգրեսիայի համարգտնել հինգերորդ տերմինը.

6. Երկրաչափական պրոգրեսիայի համարգտե՛ք n-րդ անդամը.

7. Էքսպոնենցիալ b 3 = 8 և b 5 = 2: Գտեք b 4. (4)

8. Էքսպոնենցիալ b 3 = 8 և b 5 = 2: Գտեք b 1 և q.

9. Էքսպոնենցիալ b 3 = 8 և b 5 = 2: Գտեք S 5. (62)

III. Նոր թեմայի ուսումնասիրություն(ցուցադրական ներկայացում):

Դիտարկենք 1-ի հավասար կողմ ունեցող քառակուսի, գծենք ևս մեկ քառակուսի, որի կողմը լինի առաջին քառակուսու կեսը, ապա ևս մեկը, որի կողմը երկրորդի կեսն է, հաջորդը և այլն։ Ամեն անգամ, երբ նոր քառակուսու կողմը նախորդի կեսն է:

Արդյունքում ստացանք քառակուսիների կողմերի հաջորդականություներկրաչափական պրոգրեսիա կազմելով հայտարարով.

Եվ, ինչ շատ կարևոր է, որքան շատ կառուցենք նման հրապարակներ, այնքան քառակուսի կողմը փոքր կլինի։Օրինակ ,

Նրանք. քանի որ n թիվը մեծանում է, առաջընթացի տերմինները զրոյական են:

Այս գործչի օգնությամբ կարելի է դիտարկել ևս մեկ հաջորդականություն.

Օրինակ՝ քառակուսիների մակերեսների հաջորդականությունը.

Եվ, կրկին, եթե n ավելանում է անորոշ ժամանակով, ապա տարածքը մոտենում է զրոյին կամայականորեն փակվում է:

Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ. Հավասարակողմ եռանկյուն, որի կողմը 1 սմ է: Կառուցենք հաջորդ եռանկյունը 1-ին եռանկյան կողմերի միջնակետերում գագաթներով, ըստ եռանկյան միջնագծի թեորեմի. 2-րդ և այլն: Կրկին ստանում ենք եռանկյունների կողմերի երկարությունների հաջորդականություն։

ժամը .

Եթե ​​դիտարկենք բացասական հայտարարով երկրաչափական պրոգրեսիա.

Հետո, նորից, աճող թվերով n զրո առաջընթացի մոտեցման պայմանները:

Ուշադրություն դարձնենք այս հաջորդականությունների հայտարարներին. Ամենուր հայտարարները 1 մոդուլից պակաս էին:

Կարելի է եզրակացնել. երկրաչափական պրոգրեսիան անվերջ նվազող կլինի, եթե նրա հայտարարի մոդուլը 1-ից փոքր լինի։

Առջևի աշխատանք.

Սահմանում:

Երկրաչափական պրոգրեսիան կոչվում է անվերջ նվազող, եթե նրա հայտարարի մոդուլը մեկից փոքր է:.

Սահմանման օգնությամբ կարելի է լուծել այն հարցը, թե արդյոք երկրաչափական պրոգրեսիան անսահման նվազում է, թե ոչ։

Առաջադրանք

Արդյո՞ք հաջորդականությունը անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա է, եթե այն տրված է բանաձևով.

Լուծում:

Գտնենք ք.

; ; ; .

այս երկրաչափական պրոգրեսիան անսահման նվազում է։

բ) այս հաջորդականությունը անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա չէ:

Դիտարկենք քառակուսի, որի կողմը հավասար է 1-ի, այն կիսեք կիսով չափ, կեսերից մեկը կրկին կիսով չափ և այլն: Ստացված բոլոր ուղղանկյունների մակերեսները կազմում են անսահման նվազող երկրաչափական առաջընթաց.

Այս կերպ ստացված բոլոր ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար կլինի 1-ին քառակուսու մակերեսին և հավասար 1-ի։

Բայց այս հավասարության ձախ կողմում անսահման թվով անդամների գումարն է:

Դիտարկենք առաջին n անդամների գումարը:

Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարի բանաձևի համաձայն այն հավասար է.

Եթե ​​n ավելանում է անորոշ ժամանակով, ապա

կամ . Հետեւաբար, այսինքն. .

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարըկա հաջորդականության սահմանափակում S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

Օրինակ՝ առաջընթացի համար,

մենք ունենք

Որովհետեւ

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարըկարելի է գտնել բանաձևի միջոցով.

III. Արտացոլում և համախմբում(առաջադրանքների կատարում):

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Ամփոփելով.

Ի՞նչ հաջորդականությամբ հանդիպեցիք այսօր։

Սահմանեք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա:

Ինչպե՞ս ապացուցել, որ երկրաչափական պրոգրեսիան անսահմանորեն նվազում է:

Տրե՛ք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը:

V. Տնային աշխատանք.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Նախադիտում:

Ներկայացումների նախադիտումն օգտագործելու համար ստեղծեք Google հաշիվ (հաշիվ) և մուտք գործեք՝ https://accounts.google.com

Սլայդների ենթագրեր.

Բոլորը պետք է կարողանան հետևողական մտածել, վերջնական դատել և հերքել սխալ եզրակացությունները՝ ֆիզիկոս և բանաստեղծ, տրակտորիստ և քիմիկոս: Է.Կոլման Մաթեմատիկայի մեջ պետք է հիշել ոչ թե բանաձևերը, այլ մտածողության գործընթացները։ Վ.Պ. Էրմակով Ավելի հեշտ է գտնել շրջանագծի քառակուսին, քան գերազանցել մաթեմատիկոսին: Օգոստոս դե Մորգան Ո՞ր գիտությունը կարող է լինել ավելի վեհ, ավելի հիացմունքի արժանի մարդկության համար, քան մաթեմատիկան: Ֆրանկլին

Անսահման նվազող երկրաչափական առաջընթաց 10-րդ դասարան

Ի. Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացներ: Հարցեր 1. Թվաբանական առաջընթացի սահմանում. Թվաբանական առաջընթացը այն հաջորդականությունն է, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նույն թվին ավելացված նախորդ անդամին: 2. Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը. 3. Թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարի բանաձեւը. 4. Երկրաչափական պրոգրեսիայի սահմանում. Երկրաչափական առաջընթացը ոչ զրոյական թվերի հաջորդականությունն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ անդամին, որը բազմապատկվում է նույն թվով 5-ով: Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը: 6. Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարի բանաձեւը.

II. Թվաբանական առաջընթաց. Առաջադրանքներ Թվաբանական առաջընթացը տրվում է a n = 7 – 4 n բանաձևով Գտեք a 10: (-33) 2. Թվաբանական առաջընթացում a 3 = 7 և a 5 = 1: Գտեք 4. (4) 3. Թվաբանական առաջընթացում a 3 = 7 և a 5 = 1: Գտեք 17-ը: (-35) 4. Թվաբանական առաջընթացում a 3 = 7 և a 5 = 1: Գտեք S 17: (-187)

II. Երկրաչափական առաջընթաց. Առաջադրանքներ 5. Երկրաչափական առաջընթացի համար գտե՛ք հինգերորդ անդամը 6. Երկրաչափական պրոգրեսիայի համար գտե՛ք n-րդ անդամը: 7. Էքսպոնենցիալ b 3 = 8 և b 5 = 2: Գտեք b 4. (4) 8. Երկրաչափական պրոգրեսիայում b 3 = 8 և b 5 = 2: Գտեք b 1 և q. 9. Երկրաչափական պրոգրեսիայում b 3 = 8 եւ b 5 = 2: Գտեք S 5. (62)

Սահմանում. Երկրաչափական պրոգրեսիան համարվում է անվերջ նվազող, եթե նրա հայտարարի մոդուլը մեկից փոքր է:

Խնդիր №1 Արդյո՞ք հաջորդականությունը անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա է, եթե տրված է բանաձևով. Լուծում. ա) այս երկրաչափական պրոգրեսիան անվերջ նվազող է։ բ) այս հաջորդականությունը անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա չէ:

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … հաջորդականության սահմանն է։ Օրինակ, պրոգրեսիայի համար մենք ունենք Քանի որ անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը կարելի է գտնել բանաձևով.

Առաջադրանքների կատարում Գտե՛ք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը առաջին անդամով 3, երկրորդը՝ 0,3: 2. Թիվ 13; Թիվ 14; դասագիրք, էջ 138 3. Թիվ 15 (1; 3); #16 (1;3) #18 (1;3); 4. Թիվ 19; Թիվ 20։

Ի՞նչ հաջորդականությամբ հանդիպեցիք այսօր։ Սահմանեք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա: Ինչպե՞ս ապացուցել, որ երկրաչափական պրոգրեսիան անսահմանորեն նվազում է: Տրե՛ք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը: Հարցեր

Հայտնի լեհ մաթեմատիկոս Հյուգո Շտայնհաուսը կատակով պնդում է, որ կա օրենք, որը ձևակերպված է հետևյալ կերպ՝ մաթեմատիկոսն ավելի լավ կանի դա։ Այսինքն, եթե վստահես երկու հոգու, որոնցից մեկը մաթեմատիկոս է, անել ցանկացած աշխատանք, որը նրանք չգիտեն, ապա արդյունքը միշտ կլինի հետևյալը՝ մաթեմատիկոսը դա ավելի լավ կանի։ Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972 թ.

Այս թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար, այսինքն՝ յուրաքանչյուր անդամ նախորդից տարբերվում է q անգամով։ (Մենք կենթադրենք, որ q ≠ 1, հակառակ դեպքում ամեն ինչ չափազանց տրիվիալ է): Հեշտ է տեսնել, որ երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի ընդհանուր բանաձևը b n = b 1 q n – 1 է; b n և b m թվերով տերմինները տարբերվում են q n – m անգամ:

Արդեն Հին Եգիպտոսում նրանք գիտեին ոչ միայն թվաբանական, այլեւ երկրաչափական պրոգրեսիա: Ահա, օրինակ, առաջադրանք Rhind պապիրուսից. «Յոթ դեմքեր ունեն յոթ կատու. Յուրաքանչյուր կատու ուտում է յոթ մուկ, յուրաքանչյուր մուկ ուտում է յոթ հասկ եգիպտացորեն, յուրաքանչյուր հասկից կարող է յոթ չափ գարի աճեցնել: Որքա՞ն մեծ են այս շարքի թվերը և դրանց գումարը:

Բրինձ. 1. Հին Եգիպտոսի երկրաչափական պրոգրեսիայի խնդիր

Այս առաջադրանքը բազմիցս կրկնվել է տարբեր տատանումներով այլ ժողովուրդների մեջ այլ ժամանակներում: Օրինակ՝ գրված XIII դ. Պիզայի Լեոնարդո (Ֆիբոնաչի) «Աբակուսի գիրքը» խնդիր ունի, երբ Հռոմ գնալու ճանապարհին հայտնվում են 7 պառավներ (ակնհայտորեն ուխտավորներ), որոնցից յուրաքանչյուրն ունի 7 ջորի, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի 7 պարկ, որոնցից յուրաքանչյուրը։ պարունակում է 7 հաց, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի 7 դանակ, որոնցից յուրաքանչյուրը գտնվում է 7 պատյանով։ Խնդիրը հարցնում է, թե քանի ապրանք կա:

Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Այս բանաձևը կարելի է ապացուցել, օրինակ, հետևյալ կերպ. S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1:

B 1 q n թիվը գումարենք S n-ին և ստացվի.

S n + b 1 qn = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn – 1 + b 1 qn = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn –1) q = b 1 + S nq .

Այսպիսով, S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), և մենք ստանում ենք անհրաժեշտ բանաձևը.

Արդեն VI դարով թվագրվող Հին Բաբելոնի կավե տախտակներից մեկի վրա։ մ.թ.ա ե., պարունակում է 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 գումարը: Ճիշտ է, ինչպես մի շարք այլ դեպքերում, մենք չգիտենք, թե որտեղից է այս փաստը հայտնի բաբելոնացիներին: .

Երկրաչափական առաջընթացի արագ աճը մի շարք մշակույթներում, մասնավորապես, Հնդկաստանում, բազմիցս օգտագործվում է որպես տիեզերքի անսահմանության տեսողական խորհրդանիշ: Շախմատի ի հայտ գալու մասին հայտնի լեգենդում տիրակալը հնարավորություն է տալիս իրենց գյուտարարին ինքն իրեն պարգև ընտրել, և նա խնդրում է այնքան ցորենի հատիկներ, որոնք կստացվեն, եթե մեկը դրվի շախմատի տախտակի առաջին խցում։ , երկրորդում՝ երկու, երրորդում՝ չորս, չորրորդում՝ ութ և այլն, ամեն անգամ թիվը կրկնապատկվում է։ Վլադիկան կարծում էր, որ դա առավելագույնը մի քանի պարկ է, բայց նա սխալ հաշվարկեց։ Հեշտ է նկատել, որ շախմատի տախտակի բոլոր 64 քառակուսիների համար գյուտարարը պետք է ստանար (2 64 - 1) հատիկ, որն արտահայտվում է որպես 20 նիշանոց թիվ. նույնիսկ եթե Երկրի ամբողջ մակերեսը ցանվեր, անհրաժեշտ քանակությամբ սերմեր հավաքելու համար կպահանջվեր առնվազն 8 տարի: Այս լեգենդը երբեմն մեկնաբանվում է որպես շախմատային խաղի մեջ թաքնված գրեթե անսահմանափակ հնարավորությունների հիշատակում։

Այն փաստը, որ այս թիվն իսկապես 20 նիշ է, հեշտ է տեսնել.

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (ավելի ճշգրիտ հաշվարկը տալիս է 1.84 10 19): Բայց հետաքրքիր է՝ կարո՞ղ եք պարզել, թե ինչ թվով է ավարտվում այս թիվը։

Երկրաչափական պրոգրեսիան մեծանում է, եթե հայտարարը բացարձակ արժեքով մեծ է 1-ից, կամ նվազում է, եթե այն մեկից փոքր է: Վերջին դեպքում q n թիվը կարող է կամայականորեն փոքր դառնալ բավական մեծ n-ի համար: Մինչ աճող էքսպոնենցիալն անսպասելի արագ է աճում, նվազող էքսպոնենցիալը նույնքան արագ է նվազում:

Որքան մեծ է n, այնքան ավելի թույլ է qn թիվը տարբերվում զրոյից, և այնքան ավելի մոտ է S n \u003d b 1 (1 - qn) / (1 - q) երկրաչափական առաջընթացի n անդամների գումարը S \u003d b 1 թվին: / (1 - ք) . (Այսպես պատճառաբանեց, օրինակ, Ֆ. Վիետը): S թիվը կոչվում է անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար։ Այնուամենայնիվ, երկար դարեր մաթեմատիկոսների համար բավականաչափ պարզ չէր հարցը, թե որն է ԲՈԼՈՐ երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարման իմաստը իր անսահման թվով տերմիններով:

Նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա կարելի է տեսնել, օրինակ, Զենոնի «Կծում» և «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիաներում։ Առաջին դեպքում հստակ ցույց է տրվում, որ ամբողջ ճանապարհը (ենթադրենք 1 երկարություն) անսահման թվով հատվածների գումարն է 1/2, 1/4, 1/8 և այլն։ Իհարկե, այդպես է։ վերջավոր գումարի անսահման երկրաչափական պրոգրեսիայի մասին պատկերացումների տեսակետից։ Եվ այնուամենայնիվ, ինչպե՞ս կարող է դա լինել:

Բրինձ. 2. Առաջընթաց 1/2 գործակցով

Աքիլլեսի մասին ապորիայում իրավիճակը մի փոքր ավելի բարդ է, քանի որ այստեղ առաջընթացի հայտարարը հավասար է ոչ թե 1/2-ի, այլ ինչ-որ այլ թվի։ Թող, օրինակ, Աքիլլեսը վազի v արագությամբ, կրիան շարժվի u արագությամբ, իսկ նրանց միջև սկզբնական հեռավորությունը l է։ Աքիլլեսը կվազի այս հեռավորությունը l/v ժամանակում, կրիան այս ընթացքում կտեղափոխվի lu/v հեռավորություն: Երբ Աքիլլեսը վազում է այս հատվածով, նրա և կրիայի միջև հեռավորությունը կհավասարվի l (u/v) 2 և այլն: Պարզվում է, որ կրիայի հետ հասնելը նշանակում է գտնել անսահման նվազող երկրաչափական առաջընթացի գումարը առաջինի հետ: l տերմինը և u / v հայտարարը: Այս գումարը՝ այն հատվածը, որը Աքիլեսն ի վերջո կվազի դեպի կրիայի հետ հանդիպման կետը, հավասար է l / (1 - u / v) \u003d lv / (v - u) . Բայց, դարձյալ, ինչպես պետք է մեկնաբանել այս արդյունքը և ինչու է դա ընդհանրապես իմաստավորված, երկար ժամանակ այնքան էլ պարզ չէր։

Բրինձ. 3. Երկրաչափական պրոգրեսիա 2/3 գործակցով

Երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը օգտագործվել է Արքիմեդի կողմից պարաբոլայի հատվածի մակերեսը որոշելիս: Թող պարաբոլայի տրված հատվածը սահմանազատվի AB ակորդով, իսկ պարաբոլայի D կետի շոշափողը զուգահեռ լինի AB-ին: Թող C լինի AB-ի միջնակետը, E-ը AC-ի միջնակետը, F-ը CB-ի միջնակետը: DC-ին զուգահեռ գծեր գծե՛ք A, E, F, B կետերով; թող D կետում գծված շոշափողն այս ուղիղները հատվեն K, L, M, N կետերում: Նկարենք նաև AD և DB հատվածները։ Թող EL ուղիղը հատի AD ուղիղը G կետում, պարաբոլան՝ H կետում; FM ուղիղը հատում է DB ուղիղը Q կետում, պարաբոլան՝ R կետում։ Համաձայն կոնային հատվածների ընդհանուր տեսության՝ DC-ն պարաբոլայի տրամագիծն է (այսինքն՝ նրա առանցքին զուգահեռ հատված); այն և D կետի շոշափողը կարող են ծառայել որպես կոորդինատային առանցքներ x և y, որոնցում պարաբոլայի հավասարումը գրված է որպես y 2 \u003d 2px (x-ը հեռավորությունն է D-ից մինչև տվյալ տրամագծի ցանկացած կետ, y-ը a-ի երկարությունն է: տրամագծի այս կետից մինչև պարաբոլայի ինչ-որ կետ տրված շոշափողին զուգահեռ հատված):

Պարաբոլային հավասարման ուժով DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , և ​​քանի որ DK = 2DL, ապա KA = 4LH: Քանի որ KA = 2LG , LH = HG : Պարաբոլայի ADB հատվածի մակերեսը հավասար է ΔADB եռանկյունու մակերեսին և AHD և DRB հատվածների տարածքներին միասին: Իր հերթին, AHD հատվածի տարածքը նմանապես հավասար է AHD եռանկյունու մակերեսին և մնացած AH և HD հատվածներին, որոնցից յուրաքանչյուրի հետ կարելի է կատարել նույն գործողությունը՝ բաժանվել եռանկյունու (Δ) և մնացած երկու հատվածները () և այլն.

ΔAHD եռանկյան մակերեսը հավասար է ΔALD եռանկյան մակերեսի կեսին (նրանք ունեն ընդհանուր հիմք AD, իսկ բարձրությունները տարբերվում են 2 անգամ), որն իր հերթին հավասար է մակերեսի կեսին։ եռանկյունը ΔAKD, և, հետևաբար, եռանկյան ΔACD տարածքի կեսը: Այսպիսով, ΔAHD եռանկյան մակերեսը հավասար է ΔACD եռանկյան տարածքի քառորդին: Նմանապես, ΔDRB եռանկյան մակերեսը հավասար է ΔDFB եռանկյան տարածքի քառորդին: Այսպիսով, ∆AHD և ∆DRB եռանկյունների մակերեսները, միասին վերցրած, հավասար են ∆ADB եռանկյան մակերեսի քառորդին: AH, HD, DR և RB հատվածների վրա կիրառվող այս գործողությունը կրկնելով՝ նրանցից կընտրվեն նաև եռանկյուններ, որոնց մակերեսը, միասին վերցրած, 4 անգամ փոքր կլինի ΔAHD և ΔDRB եռանկյունների մակերեսից: միասին վերցրած, և, հետևաբար, 16 անգամ պակաս, քան եռանկյունու մակերեսը ΔADB: և այլն:

Այսպիսով, Արքիմեդն ապացուցեց, որ «ուղիղ գծի և պարաբոլայի միջև պարփակված յուրաքանչյուր հատված եռանկյան չորս երրորդն է՝ ունենալով նույն հիմքը և հավասար բարձրությունը»։

Երկրաչափական առաջընթացոչ պակաս կարևոր մաթեմատիկայի, քան թվաբանության մեջ։ Երկրաչափական առաջընթացը b1, b2,..., b[n] թվերի այնպիսի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը ստացվում է նախորդը բազմապատկելով հաստատուն թվով։ Այս թիվը, որը նաև բնութագրում է առաջընթացի աճի կամ նվազման տեմպերը, կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարև նշել

Երկրաչափական պրոգրեսիայի ամբողջական նշանակման համար, բացի հայտարարից, անհրաժեշտ է իմանալ կամ որոշել դրա առաջին անդամը։ Հայտարարի դրական արժեքի համար առաջընթացը միապաղաղ հաջորդականություն է, և եթե թվերի այս հաջորդականությունը միապաղաղ նվազում է և միապաղաղ աճում է, երբ. Գործնականում չի դիտարկվում այն ​​դեպքը, երբ հայտարարը հավասար է մեկին, քանի որ մենք ունենք միանման թվերի հաջորդականություն, և դրանց գումարումը գործնական հետաքրքրություն չի ներկայացնում.

Երկրաչափական առաջընթացի ընդհանուր տերմինհաշվարկված ըստ բանաձևի

Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարըորոշվում է բանաձևով

Դիտարկենք դասական երկրաչափական պրոգրեսիայի խնդիրների լուծումները: Սկսենք հասկանալու ամենապարզից:

Օրինակ 1. Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 27 է, իսկ հայտարարը՝ 1/3: Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամները:

Լուծում. Խնդրի պայմանը գրում ենք ձևի մեջ

Հաշվարկների համար մենք օգտագործում ենք երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը

Դրա հիման վրա մենք գտնում ենք պրոգրեսիայի անհայտ անդամների

Ինչպես տեսնում եք, երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանները հաշվարկելը դժվար չէ։ Առաջընթացն ինքնին այսպիսի տեսք կունենա

Օրինակ 2. Տրված են երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին երեք անդամները՝ 6; -12; 24. Գտի՛ր հայտարարը և յոթերորդ անդամը:

Լուծում՝ երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը հաշվում ենք՝ ելնելով դրա սահմանումից

Ստացանք փոփոխական երկրաչափական պրոգրեսիա, որի հայտարարը -2 է: Յոթերորդ անդամը հաշվարկվում է բանաձևով

Այս խնդիրը լուծված է.

Օրինակ 3. Երկրաչափական պրոգրեսիա է տրված նրա անդամներից երկուսի կողմից . Գտե՛ք առաջընթացի տասներորդ անդամը:

Լուծում:

Բանաձևերի միջոցով գրենք տրված արժեքները

Ըստ կանոնների՝ անհրաժեշտ կլիներ գտնել հայտարարը, այնուհետև փնտրել ցանկալի արժեքը, բայց տասներորդ անդամի համար մենք ունենք.

Նույն բանաձևը կարելի է ձեռք բերել մուտքային տվյալների հետ պարզ մանիպուլյացիաների հիման վրա: Շարքի վեցերորդ անդամը բաժանում ենք մյուսի, արդյունքում ստանում ենք

Եթե ​​ստացված արժեքը բազմապատկվում է վեցերորդ անդամով, ապա ստանում ենք տասներորդը

Այսպիսով, նման խնդիրների դեպքում, արագ ձևով պարզ փոխակերպումների օգնությամբ դուք կարող եք գտնել ճիշտ լուծումը։

Օրինակ 4. Երկրաչափական առաջընթացը տրվում է կրկնվող բանաձևերով

Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը և առաջին վեց անդամների գումարը:

Լուծում:

Տրված տվյալները գրում ենք հավասարումների համակարգի տեսքով

Արտահայտի՛ր հայտարարը՝ երկրորդ հավասարումը բաժանելով առաջինի վրա

Գտե՛ք առաջընթացի առաջին անդամը առաջին հավասարումից

Երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը գտնելու համար հաշվե՛ք հետևյալ հինգ անդամները

Դիտարկենք մի շարք.

7 28 112 448 1792...

Միանգամայն պարզ է, որ նրա ցանկացած տարրի արժեքը նախորդից ուղիղ չորս անգամ մեծ է։ Այսպիսով, այս շարքը առաջընթաց է:

Երկրաչափական պրոգրեսիան թվերի անսահման հաջորդականություն է, որի հիմնական առանձնահատկությունն այն է, որ հաջորդ թիվը ստացվում է նախորդից՝ բազմապատկելով որոշակի թվով։ Սա արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով.

a z +1 =a z q, որտեղ z-ն ընտրված տարրի թիվն է:

Համապատասխանաբար, z ∈ Ն.

Այն ժամանակահատվածը, երբ դպրոցում ուսումնասիրվում է երկրաչափական պրոգրեսիա, 9-րդ դասարանն է: Օրինակները կօգնեն ձեզ հասկանալ հայեցակարգը.

0.25 0.125 0.0625...

Այս բանաձևի հիման վրա առաջընթացի հայտարարը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

Ո՛չ q, ո՛չ b z-ն չեն կարող զրո լինել: Նաև պրոգրեսիայի տարրերից յուրաքանչյուրը չպետք է հավասար լինի զրոյի։

Համապատասխանաբար, շարքի հաջորդ թիվը պարզելու համար անհրաժեշտ է վերջինը բազմապատկել q-ով։

Այս առաջընթացը նշելու համար դուք պետք է նշեք դրա առաջին տարրը և հայտարարը: Դրանից հետո հնարավոր է գտնել հետագա տերմիններից որևէ մեկը և դրանց գումարը։

Սորտերի

Կախված q և a 1-ից, այս առաջընթացը բաժանվում է մի քանի տեսակների.

• Եթե ​​և՛ a 1-ը, և՛ q-ը մեկից մեծ են, ապա նման հաջորդականությունը երկրաչափական առաջընթաց է, որն աճում է յուրաքանչյուր հաջորդ տարրի հետ: Նման օրինակը ներկայացված է ստորև։

Օրինակ՝ a 1 =3, q=2 - երկու պարամետրերն էլ մեկից մեծ են:

Այնուհետև թվային հաջորդականությունը կարելի է գրել այսպես.

3 6 12 24 48 ...

• Եթե ​​|ք| մեկից պակաս, այսինքն՝ դրանով բազմապատկելը համարժեք է բաժանմանը, ապա նմանատիպ պայմաններով առաջընթացը նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա է։ Նման օրինակը ներկայացված է ստորև։

Օրինակ՝ a 1 =6, q=1/3 - a 1-ը մեկից մեծ է, q-ն փոքր է:

Այնուհետև թվային հաջորդականությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

6 2 2/3 ... - ցանկացած տարր 3 անգամ մեծ է նրան հաջորդող տարրից:

• Նշան-փոփոխական. Եթե ​​ք<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Օրինակ՝ a 1 = -3, q = -2 - երկու պարամետրերն էլ զրոյից փոքր են:

Այնուհետև հաջորդականությունը կարելի է գրել այսպես.

3, 6, -12, 24,...

Բանաձևեր

Երկրաչափական առաջընթացների հարմար օգտագործման համար կան բազմաթիվ բանաձևեր.

• z-րդ անդամի բանաձևը. Թույլ է տալիս հաշվարկել տարրը որոշակի թվի տակ՝ առանց նախորդ թվերը հաշվարկելու:

Օրինակ:ք = 3, ա 1 = 4. Պահանջվում է հաշվարկել առաջընթացի չորրորդ տարրը:

Լուծում:ա 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Առաջին տարրերի գումարը, որոնց թիվը զ. Թույլ է տալիս հաշվարկել հաջորդականության բոլոր տարրերի գումարը մինչևա զներառական։

Քանի որ (1-ք) հայտարարի մեջ է, ապա (1 - q)≠ 0, հետևաբար q հավասար չէ 1-ի:

Նշում. եթե q=1, ապա առաջընթացը կլինի անվերջ կրկնվող թվերի շարք:

Երկրաչափական առաջընթացի գումարը, օրինակներ.ա 1 = 2, ք= -2. Հաշվեք S 5.

Լուծում:Ս 5 = 22 - հաշվարկ բանաձևով.

• Գումարը, եթե |ք| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Օրինակ:ա 1 = 2 , ք= 0,5. Գտեք գումարը.

Լուծում:Սզ = 2 · = 4

Սզ = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Որոշ հատկություններ.

• բնորոշ հատկություն. Եթե ​​հետեւյալ պայմանը կատարվում է ցանկացածի համարզ, ապա տրված թվերի շարքը երկրաչափական պրոգրեսիա է.

ա զ 2 = ա զ -1 · աz+1

• Նաև երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած թվի քառակուսին կարելի է գտնել տվյալ շարքի ցանկացած այլ երկու թվի քառակուսիները ավելացնելով, եթե դրանք հավասար են այս տարրից:

ա զ 2 = ա զ - տ 2 + ա զ + տ 2 , որտեղտայս թվերի միջև եղած հեռավորությունն է:

• Տարրերտարբերվում են քմեկ անգամ.
• Պրոգրեսիայի տարրերի լոգարիթմները նույնպես պրոգրեսիա են կազմում, բայց արդեն թվաբանական, այսինքն՝ նրանցից յուրաքանչյուրը որոշակի թվով մեծ է նախորդից։

Որոշ դասական խնդիրների օրինակներ

Ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչ է երկրաչափական առաջընթացը, կարող են օգնել 9-րդ դասարանի լուծումներով օրինակները:

• Պայմանները:ա 1 = 3, ա 3 = 48. Գտի՛րք.

Լուծում. յուրաքանչյուր հաջորդ տարր ավելի մեծ է, քան նախորդըք մեկ անգամ.Անհրաժեշտ է որոշ տարրեր արտահայտել մյուսների միջոցով՝ օգտագործելով հայտարարը:

հետևաբար,ա 3 = ք 2 · ա 1

Փոխարինման ժամանակք= 4

• Պայմանները:ա 2 = 6, ա 3 = 12. Հաշվել S 6:

Լուծում:Դա անելու համար բավական է գտնել q՝ առաջին տարրը և այն փոխարինել բանաձևով։

ա 3 = ք· ա 2 , հետևաբար,ք= 2

ա 2 = ք ա 1,Ահա թե ինչու ա 1 = 3

S 6 = 189

• · ա 1 = 10, ք= -2. Գտեք առաջընթացի չորրորդ տարրը:

Լուծում. դա անելու համար բավական է չորրորդ տարրն արտահայտել առաջինի և հայտարարի միջոցով:

a 4 = q 3· ա 1 = -80

Դիմումի օրինակ.

• Բանկի հաճախորդը ավանդ է ներդրել 10000 ռուբլու չափով, որի պայմաններով ամեն տարի հաճախորդը դրա 6%-ը կավելացնի մայր գումարին: Որքա՞ն գումար կմնա հաշվին 4 տարի հետո:

Լուծում Նախնական գումարը 10 հազար ռուբլի է: Այսպիսով, ներդրումից մեկ տարի անց հաշիվը կունենա 10,000 + 10,000 գումար. · 0,06 = 10000 1,06

Ըստ այդմ, մեկ տարի անց հաշվում եղած գումարը կարտայայտվի հետևյալ կերպ.

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

Այսինքն՝ ամեն տարի այդ գումարն ավելանում է 1,06 անգամ։ Սա նշանակում է, որ 4 տարի հետո հաշվում միջոցների չափը գտնելու համար բավական է գտնել պրոգրեսիայի չորրորդ տարրը, որը տրվում է առաջին տարրով, որը հավասար է 10 հազարի, իսկ հայտարարը հավասար է 1,06-ի։

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Գումարը հաշվարկելու առաջադրանքների օրինակներ.

Տարբեր խնդիրների դեպքում օգտագործվում է երկրաչափական պրոգրեսիա։ Գումարը գտնելու օրինակ կարելի է բերել հետևյալ կերպ.

ա 1 = 4, ք= 2, հաշվարկիրS5.

Լուծում. հաշվարկի համար անհրաժեշտ բոլոր տվյալները հայտնի են, պարզապես անհրաժեշտ է դրանք փոխարինել բանաձևով:

Ս 5 = 124

• ա 2 = 6, ա 3 = 18. Հաշվիր առաջին վեց տարրերի գումարը:

Լուծում:

Գեոմ. առաջընթաց, յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը q անգամ մեծ է նախորդից, այսինքն՝ գումարը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ տարրը.ա 1 և հայտարարք.

ա 2 · ք = ա 3

ք = 3

Նմանապես, մենք պետք է գտնենքա 1 , իմանալովա 2 Եվք.

ա 1 · ք = ա 2

ա 1 =2

Ս 6 = 728.

Այժմ դիտարկենք անսահման երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարման հարցը: Տրված անվերջ պրոգրեսիայի մասնակի գումարն անվանենք նրա առաջին անդամների գումարը։ Նշանակե՛ք մասնակի գումարը նշանով

Յուրաքանչյուր անսահման առաջընթացի համար

կարելի է նրա մասնակի գումարներից (նաև անվերջ) հաջորդականություն կազմել

Թող անսահմանափակ աճով հաջորդականությունը սահման ունենա

Այս դեպքում S թիվը, այսինքն՝ առաջընթացի մասնակի գումարների սահմանը, կոչվում է անսահման պրոգրեսիայի գումար։ Մենք կապացուցենք, որ անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիան միշտ գումար ունի, և այս գումարի բանաձևը կբերենք (կարող ենք նաև ցույց տալ, որ անվերջ առաջընթացի համար գումար չկա, գոյություն չունի):

Մասնակի գումարի արտահայտությունը գրում ենք որպես պրոգրեսիայի անդամների գումար՝ ըստ բանաձևի (91.1) և համարում մասնակի գումարի սահմանը.

89-րդ կետի թեորեմից հայտնի է դառնում, որ նվազող պրոգրեսիայի համար. ուստի, կիրառելով տարբերությունների սահմանային թեորեմը, գտնում ենք

(այստեղ կիրառվում է նաև կանոնը՝ հաստատուն գործոնը հանվում է սահմանի նշանից)։ Ապացուցված է գոյությունը, և միևնույն ժամանակ ստացվում է անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը.

Հավասարությունը (92.1) կարելի է գրել նաև որպես

Այստեղ կարող է պարադոքսալ թվալ, որ լավ սահմանված վերջավոր արժեք է վերագրվում տերմինների անսահման բազմության գումարին:

Այս իրավիճակը բացատրելու համար կարելի է պարզ օրինակ տալ։ Դիտարկենք քառակուսի, որի կողմը հավասար է մեկին (նկ. 72): Եկեք այս քառակուսին հորիզոնական գծով բաժանենք երկու հավասար մասերի և վերին մասը կիրառենք ներքևի վրա, որպեսզի 2-րդ և կողքերով ուղղանկյուն ձևավորվի: Դրանից հետո այս ուղղանկյան աջ կեսը կրկին հորիզոնական գծով կիսում ենք կիսով չափ, իսկ վերին մասը ամրացնում ստորինին (ինչպես ցույց է տրված նկ. 72-ում)։ Շարունակելով այս գործընթացը՝ մենք 1-ին հավասար տարածք ունեցող սկզբնական քառակուսին անընդհատ վերածում ենք հավասար չափի ֆիգուրների (ընդունելով նոսրացող աստիճաններով սանդուղքի տեսք)։

Այս գործընթացի անսահման շարունակմամբ քառակուսու ամբողջ տարածքը քայքայվում է անսահման թվով տերմինների՝ 1-ի հավասար հիմքերով և բարձրություններով ուղղանկյունների տարածքների: դրա գումարը

այսինքն, ինչպես և սպասվում էր, հավասար է հրապարակի մակերեսին:

Օրինակ. Գտե՛ք հետևյալ անվերջ առաջընթացների գումարները.

Լուծում, ա) Մենք նշում ենք, որ այս առաջընթացը Հետևաբար, (92.2) բանաձևով մենք գտնում ենք

բ) Այստեղ նշանակում է, որ նույն բանաձևով (92.2) ունենք

գ) Մենք գտնում ենք, որ այս առաջընթացը Հետևաբար, այս առաջընթացը գումար չունի:

Բաժին 5-ում ցուցադրվել է անվերջ նվազող պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևի կիրառումը պարբերական տասնորդական կոտորակի սովորական կոտորակի վերածելու համար:

Զորավարժություններ

1. Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը 3/5 է, իսկ նրա առաջին չորս անդամների գումարը՝ 13/27։ Գտե՛ք առաջընթացի առաջին անդամը և հայտարարը:

2. Գտե՛ք չորս թվեր, որոնք կազմում են փոփոխական երկրաչափական պրոգրեսիա, որոնցում երկրորդ անդամը առաջինից փոքր է 35-ով, իսկ երրորդը չորրորդից մեծ է 560-ով:

3. Ցույց տալ what if հաջորդականությունը

կազմում է անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա, այնուհետև հաջորդականությունը

ցանկացած ձևի համար անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա: Արդյո՞ք այս պնդումը տեղին է

Ստացե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների արտադրյալի բանաձևը: