Sokan hallottak már az aritmetikai sorozatról, de nem mindenki tudja jól, mi az. Ebben a cikkben megadjuk a megfelelő definíciót, és megvizsgáljuk azt a kérdést is, hogyan lehet megtalálni az aritmetikai sorozat különbségét, és számos példát adunk.

Matematikai definíció

Tehát, ha aritmetikai vagy algebrai progresszióról beszélünk (ezek a fogalmak ugyanazt definiálják), akkor ez azt jelenti, hogy van néhány számsor, amely eleget tesz a következő törvénynek: a sorozatban minden két szomszédos szám azonos értékkel tér el. Matematikailag ez így van leírva:

Itt n az a n elem számát jelenti a sorozatban, a d pedig a progresszió különbségét (a neve a bemutatott képletből következik).

Mit jelent a d különbség ismerete? Arról, hogy a szomszédos számok milyen messze vannak egymástól. A d ismerete azonban szükséges, de nem elégséges feltétele a teljes progresszió meghatározásának (helyreállításának). Tudnia kell még egy számot, amely a szóban forgó sorozat bármely eleme lehet, például egy 4, a10, de általában az első számot használják, azaz egy 1-et.

Képletek a progresszió elemeinek meghatározásához

Általánosságban elmondható, hogy a fenti információk már elegendőek a konkrét problémák megoldásához. Mindazonáltal, mielőtt egy aritmetikai sorozatot megadnánk, és meg kell találni a különbségét, bemutatunk néhány hasznos képletet, megkönnyítve ezzel a későbbi feladatmegoldási folyamatot.

Könnyen kimutatható, hogy az n számú sorozat bármely eleme megtalálható a következőképpen:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Valóban, ezt a képletet mindenki ellenőrizheti egy egyszerű felsorolással: ha n = 1-et helyettesítünk, akkor megkapjuk az első elemet, ha n = 2-t, akkor a kifejezés megadja az első szám és a különbség összegét, és így tovább .

Sok feladat feltételeit úgy állítják össze, hogy egy ismert számpárhoz, amelyeknek a számai is adottak a sorozatban, vissza kell állítani a teljes számsort (meg kell keresni a különbséget és az első elemet). Most általánosságban fogjuk megoldani ezt a problémát.

Tehát tegyük fel, hogy kapunk két elemet n és m számokkal. A fenti képlet segítségével két egyenletrendszert állíthatunk össze:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Az ismeretlen mennyiségek megtalálásához egy jól ismert egyszerű módszert alkalmazunk egy ilyen rendszer megoldására: a bal és jobb részt páronként kivonjuk, miközben az egyenlőség érvényben marad. Nekünk van:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Így kiszűrtünk egy ismeretlent (a 1). Most felírhatjuk a végső kifejezést d meghatározásához:

d = (a n - a m) / (n - m), ahol n > m

Nagyon egyszerű képletet kaptunk: ahhoz, hogy a d különbséget a feladat feltételeinek megfelelően számítsuk ki, csak maguknak az elemeknek és azok sorszámának különbségeinek arányát kell felvenni. Egy fontos pontra kell figyelni: a különbségeket a "senior" és a "junior" tagok között vesszük, azaz n> m ("senior" - azaz a sorozat elejétől távolabb állva abszolút értéke lehet vagy többé-kevésbé több "fiatalabb" elem).

A progresszió d különbségének kifejezését be kell cserélni bármelyik egyenletbe a feladat megoldásának elején, hogy megkapjuk az első tag értékét.

Számítástechnika-fejlődés korunkban sok iskolás az interneten próbál megoldást találni a feladataira, ezért gyakran felmerülnek az ilyen típusú kérdések: keresse meg az aritmetikai sorozat különbségét az interneten. Ilyen kérésre a kereső számos weboldalt jelenít meg, amelyekre fellépve meg kell adni a feltételből ismert adatokat (lehet akár a progresszió két tagja, akár ezek egy részének összege) és azonnal választ kap. Mindazonáltal a probléma megoldásának ilyen megközelítése terméketlen a tanuló fejlődése és a rábízott feladat lényegének megértése szempontjából.

Megoldás képletek használata nélkül

Oldjuk meg az első feladatot, miközben nem használjuk a fenti képleteket. Legyenek adottak a sorozat elemei: a6 = 3, a9 = 18. Határozzuk meg a számtani progresszió különbségét!

Az ismert elemek sorban egymáshoz közel helyezkednek el. Hányszor kell hozzáadni a d különbséget a legkisebbhez, hogy a legnagyobb legyen? Háromszor (első alkalommal d hozzáadásával a 7. elemet kapjuk, a második alkalommal a nyolcadik, végül a harmadik alkalommal a kilencedik elemet). Milyen számot kell háromszor hozzáadni háromhoz, hogy 18 legyen? Ez az ötös szám. Igazán:

Így az ismeretlen különbség d = 5.

Természetesen a megoldást a megfelelő képlet segítségével is meg lehetett csinálni, de ez nem szándékosan történt. A probléma megoldásának részletes magyarázata világos és szemléletes példává kell, hogy váljon annak, hogy mi is az aritmetikai progresszió.

Az előzőhöz hasonló feladat

Most oldjunk meg egy hasonló problémát, de változtassuk meg a bemeneti adatokat. Tehát meg kell találnia, ha a3 = 2, a9 = 19.

Természetesen ismét folyamodhat a „homlokon” megoldási módszerhez. De mivel a sorozat elemei adottak, amelyek viszonylag távol vannak egymástól, egy ilyen módszer nem válik túl kényelmessé. De a kapott képlet használata gyorsan elvezet minket a válaszhoz:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2,83

Itt kerekítettük a végső számot. Hogy ez a kerekítés mennyi hibához vezetett, az az eredmény ellenőrzésével ítélhető meg:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Ez az eredmény mindössze 0,1%-kal tér el a feltételben megadott értéktől. Ezért a használt századokra kerekítés jó választásnak tekinthető.

A képlet alkalmazásának feladatai egy tagra

Nézzünk egy klasszikus példát az ismeretlen d meghatározásának problémájára: keressük meg az aritmetikai haladás különbségét, ha a1 = 12, a5 = 40.

Ha egy ismeretlen algebrai sorozat két számot adunk meg, és az egyik az a 1 elem, akkor nem kell sokáig gondolkodni, hanem azonnal alkalmazni kell az a n tag képletét. Ebben az esetben a következőkkel rendelkezünk:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Pontos számot kaptunk felosztáskor, így nincs értelme a kiszámított eredmény pontosságát ellenőrizni, ahogy az előző bekezdésben történt.

Oldjunk meg egy másik hasonló feladatot: meg kell találnunk az aritmetikai haladás különbségét, ha a1 = 16, a8 = 37.

Az előzőhöz hasonló megközelítést alkalmazunk, és megkapjuk:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Mit kell még tudni az aritmetikai progresszióról?

Az ismeretlen különbség vagy egyes elemek megtalálásának problémái mellett gyakran meg kell oldani a sorozat első tagjainak összegével kapcsolatos problémákat is. Ezeknek a problémáknak a mérlegelése túlmutat a cikk témáján, azonban az információk teljessége érdekében bemutatunk egy általános képletet a sorozat n számának összegére:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Első szint

Aritmetikai progresszió. Részletes elmélet példákkal (2019)

Numerikus sorozat

Tehát üljünk le és kezdjünk el néhány számot írni. Például:
Bármilyen számot írhat, és annyi lehet, amennyit akar (esetünkben ezek). Akárhány számot írunk, mindig meg tudjuk mondani, hogy melyik az első, melyik a második, és így tovább az utolsóig, vagyis meg tudjuk őket számozni. Ez egy példa egy számsorozatra:

Numerikus sorozat
Például a sorozatunkhoz:

A hozzárendelt szám csak egy sorszámra vonatkozik. Más szóval, nincs három másodperces szám a sorozatban. A második szám (mint a -edik szám) mindig ugyanaz.
A számot tartalmazó számot a sorozat -edik tagjának nevezzük.

Általában az egész sorozatot valamilyen betűnek hívjuk (például), és ennek a sorozatnak minden tagja - ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

A mi esetünkben:

Tegyük fel, hogy van egy numerikus sorozatunk, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő.
Például:

stb.
Az ilyen numerikus sorozatot aritmetikai sorozatnak nevezzük.
A „progresszió” kifejezést Boethius római szerző már a 6. században bevezette, és tágabb értelemben egy végtelen számsorozatként értelmezték. Az "aritmetika" elnevezést a folytonos arányok elméletéből vették át, amellyel az ókori görögök foglalkoztak.

Ez egy numerikus sorozat, amelynek minden tagja megegyezik az előzővel, ugyanazzal a számmal hozzáadva. Ezt a számot aritmetikai sorozat különbségének nevezzük, és jelöljük.

Próbáld meg meghatározni, hogy mely számsorozatok aritmetikai sorozatok, és melyek nem:

a)
b)
c)
d)

Megvan? Hasonlítsa össze válaszainkat:
Is számtani progresszió - b, c.
Nem számtani progresszió - a, d.

Térjünk vissza az adott progresszióhoz () és próbáljuk megtalálni a th tagjának értékét. Létezik két megtalálásának módja.

1. Módszer

Addig adhatunk a progressziószám előző értékéhez, amíg el nem érjük a progresszió edik tagját. Még jó, hogy nincs sok összefoglalni valónk – csak három érték:

Tehát a leírt aritmetikai progresszió -edik tagja egyenlő.

2. Módszer

Mi van, ha meg kell találnunk a progresszió th tagjának értékét? Az összegzés több mint egy órát vett volna igénybe, és nem tény, hogy nem hibáztunk volna a számok összeadásakor.
Természetesen a matematikusok kitaláltak egy olyan módszert, amellyel nem kell egy számtani sorozat különbségét hozzáadni az előző értékhez. Nézze meg alaposan a rajzolt képet... Biztosan már észrevett egy bizonyos mintát, nevezetesen:

Például nézzük meg, miből áll ennek az aritmetikai sorozatnak a -edik tagja:


Más szavakkal:

Igyekezz önállóan megkeresni ezen a módon ennek az aritmetikai sorozatnak egy tagjának értékét.

Számított? Hasonlítsa össze bejegyzéseit a válasszal:

Ügyeljen arra, hogy pontosan ugyanazt a számot kapta, mint az előző módszernél, amikor egy aritmetikai sorozat tagjait egymás után hozzáadtuk az előző értékhez.
Próbáljuk meg „személyteleníteni” ezt a képletet – általános formába hozzuk, és megkapjuk:

Aritmetikai progresszió egyenlete.

Az aritmetikai progresszió vagy nő, vagy csökken.

Növekvő- olyan progressziók, amelyekben a kifejezések minden következő értéke nagyobb, mint az előző.
Például:

Csökkenő- olyan progressziók, amelyekben a kifejezések minden további értéke kisebb, mint az előző.
Például:

A származtatott képletet egy aritmetikai sorozat növekvő és csökkenő tagjának számításakor is használják.
Vizsgáljuk meg a gyakorlatban.
Adunk egy aritmetikai sorozatot, amely a következő számokból áll:

Azóta:

Így meg voltunk győződve arról, hogy a képlet mind csökkenő, mind pedig növekvő aritmetikai progresszióban működik.
Próbáld meg egyedül megkeresni ennek az aritmetikai sorozatnak a -edik és -edik tagját.

Hasonlítsuk össze az eredményeket:

Aritmetikai progresszió tulajdonsága

Bonyolítsuk le a feladatot – származtatjuk az aritmetikai progresszió tulajdonságát.
Tegyük fel, hogy a következő feltételt kapjuk:
- aritmetikai progresszió, keresse meg az értéket.
Könnyű, mondja, és elkezd számolni a már ismert képlet szerint:

Legyen a, akkor:

Teljesen igaza van. Kiderült, hogy először megtaláljuk, majd hozzáadjuk az első számhoz, és megkapjuk, amit keresünk. Ha a progressziót kis értékek képviselik, akkor nincs benne semmi bonyolult, de mi van, ha a feltételben számokat adunk? Egyetértek azzal, hogy a számítások során hibákat követhetnek el.
Most gondolja át, meg lehet-e oldani ezt a problémát egy lépésben bármilyen képlet segítségével? Természetesen igen, és most megpróbáljuk elővenni.

Az aritmetikai progresszió kívánt tagját úgy jelöljük, hogy ismerjük a megtalálásának képletét - ez ugyanaz, mint amit az elején levezettünk:
, akkor:

• a progresszió előző tagja:
• a progresszió következő tagja:

Összegezzük a progresszió előző és következő tagjait:

Kiderül, hogy a progresszió előző és következő tagjának összege kétszerese a közöttük lévő progresszió tag értékének. Más szóval, egy ismert korábbi és egymást követő értékekkel rendelkező progressziótag értékének meghatározásához össze kell adni őket, és el kell osztani.

Így van, ugyanaz a számunk. Javítsuk meg az anyagot. Számolja ki maga a továbblépés értékét, mert ez egyáltalán nem nehéz.

Szép munka! Szinte mindent tudsz a fejlődésről! Már csak egy képletet kell kideríteni, amelyet a legenda szerint minden idők egyik legnagyobb matematikusa, a "matematikusok királya" - Carl Gauss - könnyen kikövetkeztetett magának...

Amikor Carl Gauss 9 éves volt, a tanár, aki azzal volt elfoglalva, hogy a többi osztályból származó tanulók munkáját ellenőrizze, a következő feladatot tette fel az órán: „Számítsa ki az összes természetes szám összegét maximumtól (más források szerint legfeljebb) bezárólag! " Mi volt a tanár meglepetése, amikor az egyik tanítványa (Karl Gauss volt) egy perc múlva helyes választ adott a feladatra, míg a vakmerő osztálytársa hosszas számolás után rossz eredményt kapott...

A fiatal Carl Gauss észrevett egy olyan mintát, amelyet könnyen észrevehet.
Tegyük fel, hogy van egy -ti tagokból álló számtani sorozatunk: Meg kell találnunk a számtani sorozat adott tagjainak összegét. Természetesen az összes értéket manuálisan is összeadhatjuk, de mi van akkor, ha meg kell találnunk a tagok összegét a feladatban, ahogyan azt Gauss kereste?

Ábrázoljuk a nekünk adott fejlődést. Nézze meg alaposan a kiemelt számokat, és próbáljon meg különféle matematikai műveleteket végrehajtani velük.


Megpróbálták? mit vettél észre? Helyesen! Összegük egyenlő

Most válaszoljon, hány ilyen pár lesz a nekünk adott progresszióban? Természetesen az összes számnak pontosan a fele.
Abból a tényből kiindulva, hogy egy számtani sorozat két tagjának összege egyenlő, és hasonló egyenlő párok összege, azt kapjuk, hogy a teljes összeg egyenlő:
.
Így bármely aritmetikai progresszió első tagjának összegének képlete a következő lesz:

Egyes feladatokban nem ismerjük a th tagot, de ismerjük a progressziókülönbséget. Próbáld meg az összegképletben behelyettesíteni a th tag képletét.
Mit kaptál?

Szép munka! Most térjünk vissza a Carl Gaussnak adott feladathoz: számolja ki magának, hogy mennyi a -ediktől kezdődő számok összege és a -ediktől kezdődő számok összege!

mennyit kaptál?
Gauss kiderült, hogy a tagok összege egyenlő, és a tagok összege. Így döntöttél?

Valójában az aritmetikai sorozat tagjainak összegének képletét az ókori görög tudós, Diophantus bizonyította be a 3. században, és ezalatt az idő alatt a szellemes emberek nagy erővel használták az aritmetikai sorozat tulajdonságait.
Képzeljük el például az ókori Egyiptomot és az akkori legnagyobb épületet - egy piramis építését... Az ábra az egyik oldalát mutatja.

Hol van itt a fejlődés, mondod? Nézd meg alaposan, és keress mintát a homoktömbök számában a piramisfal minden sorában.


Miért nem egy aritmetikai sorozat? Számolja meg, hány tömbre van szükség egy fal építéséhez, ha tömbtéglákat helyeznek az alapba. Remélem, nem úgy fog számolni, hogy az ujját a monitoron mozgatja, emlékszel az utolsó képletre és mindarra, amit az aritmetikai progresszióról mondtunk?

Ebben az esetben a folyamat a következőképpen néz ki:
Aritmetikai progresszió különbség.
Egy aritmetikai sorozat tagjainak száma.
Helyettesítsük be az adatainkat az utolsó képletekbe (a blokkok számát kétféleképpen számoljuk).

1. módszer.

2. módszer.

És most már a monitoron is számolhat: hasonlítsa össze a kapott értékeket a piramisunkban lévő blokkok számával. Megegyezett? Jól tetted, elsajátítottad egy aritmetikai sorozat th tagjának összegét.
Természetesen nem lehet piramist építeni a tövében lévő tömbökből, de? Próbálja kiszámolni, hány homoktégla szükséges egy ilyen feltétellel rendelkező fal építéséhez.
Sikerült?
A helyes válasz a blokkok:

Edzés

Feladatok:

1. Masha formába lendül a nyárra. Minden nap növeli a guggolások számát. Hányszor fog Mása guggolni hetek alatt, ha már az első edzésen guggolt.
2. Mennyi a benne lévő páratlan számok összege.
3. A rönktároláskor a favágók úgy rakják egymásra azokat, hogy minden felső réteg eggyel kevesebb rönköt tartalmazzon, mint az előző. Hány rönk van egy falazatban, ha a falazat alapja rönk.

Válaszok:

1. Határozzuk meg az aritmetikai progresszió paramétereit. Ebben az esetben
   (hetek = napok).

   Válasz: Két héten belül Masha-nak naponta egyszer guggolnia kell.

2. Első páratlan szám, utolsó szám.
   Aritmetikai progresszió különbség.
   A páratlan számok száma felében azonban ellenőrizze ezt a tényt az aritmetikai sorozat -edik tagjának megtalálására szolgáló képlettel:

   A számok páratlan számokat tartalmaznak.
   A rendelkezésre álló adatokat behelyettesítjük a képletbe:

   Válasz: A benne foglalt páratlan számok összege egyenlő.

3. Emlékezzünk vissza a piramisokkal kapcsolatos problémára. A mi esetünkben a , mivel minden felső réteg egy rönkvel lecsökken, csak egy csomó réteg van, azaz.
   Helyettesítse be az adatokat a képletben:

   Válasz: A falazatban rönkök vannak.

Összegezve

1. - olyan numerikus sorozat, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő. Növekszik és csökken.
2. Képlet keresése egy aritmetikai sorozat edik tagját a - képlettel írjuk fel, ahol a számok száma a sorozatban.
3. Egy aritmetikai sorozat tagjainak tulajdonsága- - ahol - a számok száma a progresszióban.
4. Egy aritmetikai sorozat tagjainak összege kétféleképpen lehet megtalálni:
   
   , ahol az értékek száma.

ARITMETIKAI PROGRESSZIÓ. ÁTLAGOS SZINT

Numerikus sorozat

Üljünk le és kezdjünk el néhány számot írni. Például:

Bármilyen számot írhat, és annyi lehet, amennyit csak akar. De mindig meg lehet állapítani, hogy melyikük az első, melyik a második, és így tovább, vagyis meg tudjuk számozni őket. Ez egy példa egy számsorozatra.

Numerikus sorozat számok halmaza, amelyek mindegyikéhez egyedi szám rendelhető.

Más szóval, minden szám társítható egy bizonyos természetes számhoz, és csak egy. És ezt a számot nem fogjuk hozzárendelni egyetlen másik számhoz sem ebből a készletből.

A számot tartalmazó számot a sorozat -edik tagjának nevezzük.

Általában az egész sorozatot valamilyen betűnek hívjuk (például), és ennek a sorozatnak minden tagja - ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

Nagyon kényelmes, ha a sorozat -edik tagja valamilyen képlettel megadható. Például a képlet

beállítja a sorrendet:

A képlet pedig a következő sorrend:

Például egy aritmetikai sorozat egy sorozat (az első tag egyenlő, és a különbség). Vagy (, különbség).

n-edik tagképlet

Ismétlődő képletnek nevezzük azt a képletet, amelyben a -edik tag kiderítéséhez ismerni kell az előzőt vagy több korábbit:

Ahhoz, hogy egy ilyen képlet segítségével megtaláljuk például a progresszió edik tagját, ki kell számítanunk az előző kilencet. Például hadd. Akkor:

Nos, most már világos, mi a képlet?

Minden sorban összeadjuk, megszorozzuk valamilyen számmal. Miért? Nagyon egyszerű: ez a jelenlegi tag száma mínusz:

Most sokkal kényelmesebb, igaz? Ellenőrizzük:

Döntsd el magad:

A számtani sorozatban keresse meg az n-edik tag képletét és keresse meg a századik tagot.

Megoldás:

Az első tag egyenlő. És mi a különbség? És itt van:

(végül is azért hívják különbségnek, mert egyenlő a progresszió egymást követő tagjainak különbségével).

Tehát a képlet:

Ekkor a századik tag:

Mennyi az összes természetes szám összege től ig?

A legenda szerint a nagy matematikus, Carl Gauss, 9 éves fiú lévén, néhány perc alatt kiszámolta ezt az összeget. Észrevette, hogy az első és az utolsó szám összege egyenlő, a második és az utolsó előtti szám összege megegyezik, a harmadik és a 3. végösszege megegyezik, és így tovább. Hány ilyen pár van? Így van, pontosan fele az összes szám számának. Így,

Bármely aritmetikai progresszió első tagjának összegének általános képlete a következő lesz:

Példa:
Keresse meg az összes kétjegyű többszörös összegét!

Megoldás:

Az első ilyen szám ez. Minden következőt úgy kapunk, hogy hozzáadunk egy számot az előzőhöz. Így a számunkra érdekes számok az első taggal és a különbséggel aritmetikai sorozatot alkotnak.

Ennek a haladásnak a képlete a következő:

Hány tag van a folyamatban, ha mindegyiknek két számjegyűnek kell lennie?

Nagyon könnyű: .

A progresszió utolsó tagja egyenlő lesz. Akkor az összeg:

Válasz: .

Most döntsd el magad:

1. A sportoló minden nap 1 méterrel többet fut, mint előző nap. Hány kilométert fog futni hetek múlva, ha km m-t futott az első napon?
2. Egy kerékpáros minden nap több mérföldet tesz meg, mint az előző. Az első napon km-t utazott. Hány napig kell autóval megtennie egy kilométert? Hány kilométert fog megtenni az utazás utolsó napján?
3. A hűtőszekrény ára a boltban minden évben ugyanennyivel csökken. Határozza meg, mennyivel csökkent évente egy hűtőszekrény ára, ha rubelért kínálták, hat évvel később pedig rubelért adták el.

Válaszok:

1. Itt a legfontosabb az aritmetikai progresszió felismerése és paramétereinek meghatározása. Ebben az esetben (hetek = napok). Meg kell határoznia ennek a haladásnak az első tagjainak összegét:
   .
   Válasz:
2. Itt van megadva:, meg kell találni.
   Nyilvánvalóan ugyanazt az összegképletet kell használnia, mint az előző feladatban:
   .
   Cserélje ki az értékeket:

   A gyökér nyilván nem illik, szóval a válasz.
   Számítsuk ki az elmúlt nap során megtett távolságot a -edik tag képletével:
   (km).
   Válasz:

3. Adott: . Megtalálja: .
   Nem lesz könnyebb:
   (dörzsölés).
   Válasz:

ARITMETIKAI PROGRESSZIÓ. RÖVIDEN A FŐRŐL

Ez egy numerikus sorozat, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő.

Az aritmetikai progresszió növekszik () és csökken ().

Például:

A számtani sorozat n-edik tagjának megtalálásának képlete

képletként van felírva, ahol a számok száma a folyamatban.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak tulajdonsága

Könnyűvé teszi a progresszió tagjának megtalálását, ha a szomszédos tagjai ismertek – hol van a progresszióban lévő számok száma.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak összege

Kétféleképpen találhatja meg az összeget:

Hol van az értékek száma.

Hol van az értékek száma.

A „számtani progresszió” témát az általános algebrai kurzusban tanulják az iskolákban a 9. osztályban. Ez a téma a számsorok matematikájának további elmélyült tanulmányozása szempontjából fontos. Ebben a cikkben megismerkedünk a számtani progresszióval, annak különbségével, valamint azokkal a tipikus feladatokkal, amelyekkel az iskolások szembesülhetnek.

Az algebrai progresszió fogalma

A numerikus progresszió olyan számsorozat, amelyben minden következő elem levonható az előzőből, ha valamilyen matematikai törvényt alkalmazunk. A progressziónak két egyszerű típusa van: a geometriai és az aritmetikai, amelyet algebrainak is neveznek. Foglalkozzunk vele részletesebben.

Képzeljünk el valamilyen racionális számot, jelöljük a 1 szimbólummal, ahol az index a sorszámát jelzi a vizsgált sorozatban. Adjunk hozzá egy másik számot 1-hez, jelöljük d-vel. Ekkor a sorozat második eleme a következőképpen tükrözhető: a 2 = a 1 + d. Most adjuk hozzá ismét d-t, így kapjuk: a 3 = a 2 + d. Ezt a matematikai műveletet folytatva egy egész számsort kaphat, amelyet aritmetikai sorozatnak nevezünk.

Amint az a fentiekből érthető, a sorozat n-edik elemének megtalálásához a következő képletet kell használnia: a n = a 1 + (n-1) * d. Valóban, ha n=1-et behelyettesítünk a kifejezésbe, azt kapjuk, hogy a 1 = a 1, ha n = 2, akkor a képletből következik: a 2 = a 1 + 1*d, és így tovább.

Például, ha az aritmetikai progresszió különbsége 5, és egy 1 = 1, akkor ez azt jelenti, hogy a kérdéses típus számsorai így néznek ki: 1, 6, 11, 16, 21, ... Ahogy Ön láthatja, minden tagja 5-tel több, mint az előző .

Aritmetikai progresszió különbség képletek

A vizsgált számsor fenti definíciójából az következik, hogy annak meghatározásához két számot kell ismerni: a 1-et és d-t. Ez utóbbit e progresszió különbségének nevezzük. Egyedülállóan meghatározza az egész sorozat viselkedését. Valóban, ha d pozitív, akkor a számsorok folyamatosan növekednek, ellenkezőleg, negatív d esetén a sorozatban szereplő számok csak modulo nőnek, míg abszolút értékük csökken az n szám növekedésével.

Mi a különbség az aritmetikai sorozat között? Tekintsük az érték kiszámításához használt két fő képletet:

1. d = a n+1 -a n, ez a képlet közvetlenül következik a vizsgált számsor definíciójából.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), ezt a kifejezést úgy kapjuk meg, hogy kifejezzük d-t a cikk előző bekezdésében megadott képletből. Vegye figyelembe, hogy ez a kifejezés határozatlan (0/0) lesz, ha n=1. Ennek oka az a tény, hogy a sorozat legalább 2 elemét ismerni kell a különbség meghatározásához.

Ez a két alapképlet a progressziókülönbség megtalálásával kapcsolatos bármely probléma megoldására használható. Van azonban egy másik képlet, amelyet szintén tudnia kell.

Az első elemek összege

A képletet, amellyel a történelmi bizonyítékok szerint egy algebrai progresszió tetszőleges számú tagjának összegét meg lehet határozni, először a XVIII. századi matematika "hercege", Carl Gauss szerezte meg. Egy német tudós, amikor még egy falusi iskola általános osztályaiban járt, észrevette, hogy a természetes számok 1-től 100-ig történő összeadásához először az első és az utolsó elemet kell összeadni (a kapott érték egyenlő lesz az utolsó előtti és a második, az utolsó előtti és a harmadik elem összegére, és így tovább), majd ezt a számot meg kell szorozni ezen összegek számával, azaz 50-nel.

Az a képlet, amely egy adott példán a megadott eredményt tükrözi, tetszőleges esetre általánosítható. Így fog kinézni: S n = n/2*(a n + a 1). Megjegyezzük, hogy a megadott érték megtalálásához nem szükséges a d különbség ismerete, ha a progresszió két tagja (a n és a 1) ismert.

1. példa. Határozza meg a különbséget az a1 és an sorozat két tagjának ismeretében

Megmutatjuk, hogyan kell alkalmazni a fenti képleteket a cikkben. Adjunk egy egyszerű példát: az aritmetikai progresszió különbsége ismeretlen, meg kell határozni, hogy mi lesz egyenlő, ha egy 13 \u003d -5,6 és egy 1 \u003d -12,1.

Mivel a numerikus sorozat két elemének értékét ismerjük, és ezek közül az egyik az első szám, a d különbség meghatározásához a 2-es képletet használhatjuk. Van: d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. A kifejezésben az n=13 értéket használtuk, mivel az ezzel a sorszámmal rendelkező tag ismert.

Az így kapott különbség a progresszió növekedését jelzi, annak ellenére, hogy a probléma feltételében megadott elemek negatív értékűek. Látható, hogy egy 13 >a 1 , bár |a 13 |<|a 1 |.

2. példa. Pozitív progressziós kifejezések az 1. példában

Használjuk az előző példában kapott eredményt egy új feladat megoldására. A következőképpen fogalmazódik meg: melyik sorszámtól kezdenek pozitív értékeket felvenni az 1. példában szereplő progresszió elemei?

Amint látható, az a progresszió, amelyben a 1 = -12,1 és d = 0,54167 növekszik, tehát egy bizonyos számtól a számok csak pozitív értékeket vesznek fel. Ennek az n számnak a meghatározásához egy egyszerű egyenlőtlenséget kell megoldani, amelyet matematikailag a következőképpen írunk fel: a n>0 vagy a megfelelő képlet segítségével átírjuk az egyenlőtlenséget: a 1 + (n-1)*d>0. Meg kell találni az ismeretlen n-t, fejezzük ki: n>-1*a 1 /d + 1. Most már hátra van a különbség ismert értékeinek és a sorozat első tagjának helyettesítése. A következőt kapjuk: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 vagy n>23,338. Mivel n csak egész értékeket vehet fel, a kapott egyenlőtlenségből következik, hogy a sorozat bármely tagja, amelynek száma nagyobb, mint 23, pozitív lesz.

Ellenőrizzük válaszunkat a fenti képlettel, hogy kiszámítsuk ennek az aritmetikai sorozatnak a 23. és 24. elemét. Van: 23 = -12,1 + 22 * ​​0,54167 \u003d -0,18326 (negatív szám); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (pozitív érték). Így a kapott eredmény helyes: n=24-től kezdve a számsor minden tagja nagyobb lesz nullánál.

3. példa. Hány rönk fér bele?

Itt van egy érdekes probléma: a fakitermelés során úgy döntöttek, hogy a fűrészelt rönköket egymásra rakják az alábbi ábrán látható módon. Hány rönköt lehet így egymásra rakni, ha tudjuk, hogy összesen 10 sor fér el?

A rönkök ilyen hajtogatásánál egy érdekesség figyelhető meg: minden következő sor eggyel kevesebb rönköt fog tartalmazni, mint az előző, vagyis van egy algebrai progresszió, melynek különbsége d=1. Feltételezve, hogy az egyes sorban lévő rönkök száma ennek a progressziónak a tagja, és figyelembe véve azt is, hogy a 1 = 1 (csak egy rönk fér el a legfelül), akkor a 10 számot kapjuk. Van: egy 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Vagyis a 10. sorban, amely a földön fekszik, 10 rönk lesz.

Ennek a "piramis" konstrukciónak a teljes mennyiségét a Gauss-képlet segítségével kaphatjuk meg. A következőt kapjuk: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 rönk.