Származék egyszerű nyelven. Függvény derivált

Állítsa össze az arányt és számítsa ki a határértéket.

Hol tette a deriváltak és a differenciálási szabályok táblázata? Egyetlen korlátnak köszönhetően. Varázslatnak tűnik, de a valóságban - ravaszság és csalás nélkül. A leckén Mi az a származék? Konkrét példákon kezdtem el gondolkodni, ahol a definíció segítségével egy lineáris és másodfokú függvény deriváltjait találtam. Kognitív bemelegítés céljából továbbra is zavarni fogunk derivált táblázat, az algoritmus és a technikai megoldások csiszolása:

1. példa

Valójában egy hatványfüggvény deriváltjának egy speciális esetét kell bizonyítani, amely általában a táblázatban jelenik meg: .

Megoldás technikailag kétféleképpen formalizálható. Kezdjük az első, már ismert megközelítéssel: a létra egy deszkával kezdődik, a derivált függvény pedig egy deriválttal kezdődik egy ponton.

Fontolgat néhány(specifikus) ponthoz tartozó domainek függvény, amelynek deriváltja van. Állítsa be a növekményt ezen a ponton (persze nem továbbo/o -ÉN)és állítsa össze a függvény megfelelő növekményét:

Számítsuk ki a határt:

A 0:0-s bizonytalanságot egy standard technikával szüntetik meg, amely egészen a Krisztus előtti első századig nyúlik vissza. Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt az adjunkt kifejezéssel :

Az ilyen korlát megoldásának technikáját a bevezető leckében részletesen tárgyaljuk. a funkciók határairól.

Mivel az intervallum BÁRMELYIK pontja kiválasztható, így a cserével a következőt kapjuk:

Válasz

Még egyszer örüljünk a logaritmusoknak:

2. példa

Keresse meg a függvény deriváltját a derivált definíciójával!

Megoldás: tekintsünk egy másik megközelítést ugyanazon feladat előmozdítására. Pontosan ugyanaz, de tervezési szempontból racionálisabb. Az ötlet az, hogy a megoldás elején megszabaduljunk az alsó indextől, és a betű helyett a betűt használjuk.

Fontolgat tetszőleges ponthoz tartozó pont domainek függvényt (intervallum ), és állítsa be a lépésközt. És itt egyébként, mint a legtöbb esetben, minden fenntartás nélkül megteheti, mivel a logaritmikus függvény a definíciós tartomány bármely pontján differenciálható.

Ekkor a megfelelő függvény növekménye:

Keressük a származékot:

A könnyű tervezést ellensúlyozza az a zavar, amelyet a kezdők (és nem csak) tapasztalhatnak. Hiszen megszoktuk, hogy az „X” betű a limitben változik! De itt minden más: - egy antik szobor, és - egy élő látogató, aki vidáman sétál a múzeum folyosóján. Vagyis az „x” „mint egy állandó”.

Lépésről lépésre kifejtem a bizonytalanság megszüntetését:

(1) Használja a logaritmus tulajdonságát .

(2) A zárójelben a számlálót a nevező tagjával osztjuk tagonként.

(3) A nevezőben mesterségesen szorozunk és osztunk "x"-szel, hogy kihasználjuk csodálatos határ , míg as elenyésző kiemelkedik.

Válasz: a származék definíciója szerint:

Vagy röviden:

Javaslom két további táblázatos képlet önálló összeállítását:

3. példa

Ebben az esetben az összeállított növekményt azonnal célszerű közös nevezőre redukálni. A feladat hozzávetőleges mintája az óra végén (az első módszer).

3. példa:Megoldás : fontolj meg néhány pontot , amely a funkció körébe tartozik . Állítsa be a növekményt ezen a ponton és állítsa össze a függvény megfelelő növekményét:

Keressük meg a deriváltot egy pontban :

Mivel as bármelyik pontot választhatod funkció hatóköre , akkor és
Válasz : a származék meghatározása szerint

4. példa

Keresse meg a származékot definíció szerint

És itt mindent le kell redukálni csodálatos határ. A megoldást a második módon keretezzük.

Hasonlóképpen számos más táblázatos származékok. A teljes lista megtalálható egy iskolai tankönyvben, vagy például a Fichtenholtz 1. kötetében. Nem látom sok értelmét a könyvekből és a megkülönböztetési szabályok bizonyításaiból való átírásnak - ezeket is a képlet generálja.

4. példa:Megoldás , tulajdonában , és állítson be egy lépésközt

Keressük a származékot:

Kihasználva a csodálatos határt

Válasz : definíció szerint

5. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját , a derivált definíciójával

Megoldás: Használja az első vizuális stílust. Tekintsünk egy ponthoz tartozó pontot, állítsuk be benne az argumentum növekményét. Ekkor a megfelelő függvény növekménye:

Talán néhány olvasó még nem értette meg teljesen azt az elvet, amely szerint növelni kell. Vegyünk egy pontot (számot), és megkeressük benne a függvény értékét: , vagyis a függvénybe ahelyett Az "x"-et be kell cserélni. Most is veszünk egy nagyon specifikus számot, és behelyettesítjük a függvénybe ahelyett"x": . Felírjuk a különbséget, amíg szükséges teljesen zárójelben.

Összeállított függvénynövekmény előnyös azonnal egyszerűsíteni. Minek? A további határ megoldásának megkönnyítése, lerövidítése.

Képleteket használunk, zárójeleket nyitunk, és mindent csökkentünk, ami csökkenthető:

A pulyka kibelezve, a sülttel nincs gond:

Végül is:

Mivel minőségnek bármilyen valós szám választható, behelyettesítjük és megkapjuk .

Válasz: definíció szerint.

Ellenőrzés céljából a származékot a következővel találjuk meg differenciálási szabályok és táblázatok:

Mindig hasznos és kellemes előre tudni a helyes választ, ezért jobb, ha gondolatban vagy vázlaton már a megoldás elején „gyorsan” megkülönböztetjük a javasolt funkciót.

6. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját a derivált definíciójával

Ez egy „csináld magad” példa. Az eredmény a felszínen rejlik:

6. példa:Megoldás : fontolj meg néhány pontot , tulajdonában , és állítsa be az argumentum növekményét benne . Ekkor a megfelelő függvény növekménye:

Számítsuk ki a deriváltot:

Ilyen módon:
Mert as bármely valós szám választható és
Válasz : definíció szerint.

Térjünk vissza a 2. stílushoz:

7. példa

Azonnal derítsük ki, mi történjen. Által komplex függvény differenciálási szabálya:

Megoldás: vegyünk egy tetszőleges ponthoz tartozó pontot, állítsuk be a benne lévő argumentum növekményét és állítsuk össze a függvény növekményét:

Keressük a származékot:

(1) Használat trigonometrikus képlet .

(2) A szinusz alatt kinyitjuk a zárójeleket, a koszinusz alatt hasonló kifejezéseket mutatunk be.

(3) A szinusz alatt a tagokat redukáljuk, a koszinusz alatt tagonként elosztjuk a számlálót a nevezővel.

(4) A szinusz páratlansága miatt kivesszük a „mínuszt”. A koszinusz alatt jelezzük, hogy a kifejezés .

(5) A használandó nevezőt mesterségesen megszorozzuk első csodálatos határ. Így a bizonytalanság megszűnik, átfésüljük az eredményt.

Válasz: definíció szerint

Amint látja, a vizsgált probléma fő nehézsége magának a korlátnak az összetettségén + a csomagolás enyhe eredetiségén nyugszik. A gyakorlatban mindkét tervezési mód találkozik, ezért mindkét megközelítést a lehető legrészletesebben ismertetem. Egyenértékűek, de szubjektív benyomásom szerint mégis célszerűbb, ha a bábuk az 1. opciónál maradnak „X nullával”.

8. példa

A definíció segítségével keresse meg a függvény deriváltját

8. példa:Megoldás : vegyünk egy tetszőleges pontot , tulajdonában , állítsunk be egy növekményt és növelje a függvényt:

Keressük a származékot:

A trigonometrikus képletet használjuk és az első figyelemre méltó határ:

Válasz : definíció szerint

Elemezzük a probléma ritkább változatát:

9. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját egy pontban a derivált definíciójával.

Először is, mi legyen a lényeg? Szám

Számítsuk ki a választ a szokásos módon:

Megoldás: az áttekinthetőség szempontjából ez a feladat sokkal egyszerűbb, mivel a képlet egy konkrét értéket vesz figyelembe helyette.

Beállítunk egy növekményt a pontban, és összeállítjuk a függvény megfelelő növekményét:

Számítsa ki a deriváltot egy pontban:

Nagyon ritka képletet használunk az érintők különbségére és még egyszer csökkentse az oldatot arra első csodálatos határ:

Válasz: a derivált definíciója szerint egy pontban.

A feladat nem olyan nehéz megoldani, és „általános értelemben” - elegendő helyettesíteni vagy egyszerűen, a tervezési módszertől függően. Ebben az esetben természetesen nem számot, hanem derivált függvényt kapunk.

10. példa

A definíció segítségével keresse meg a függvény deriváltját egy ponton (amelyek közül az egyik végtelennek bizonyulhat), amelyről általánosságban már beszéltem elméleti lecke a deriváltról.

Néhány darabonként definiált függvény a gráf „csomópontjain” is differenciálható, például catdog pontban közös deriváltja és közös érintője (abszcissza) van. Görbe, igen különböztethető meg ! Aki szeretné, az az imént megoldott példa mintájára erről maga is meggyőződhet.

©2015-2019 oldal
Minden jog a szerzőket illeti. Ez az oldal nem igényel szerzői jogot, de ingyenesen használható.
Az oldal létrehozásának dátuma: 2017-06-11

Meghatározás. Legyen az $y = f(x) $ függvény definiálva olyan intervallumban, amelyen belül az $x_0 $ pont található. Növeljük a $\Delta x $ értéket az argumentumhoz, hogy ne hagyjuk el ezt az intervallumot. Keresse meg a $\Delta y $ függvény megfelelő növekményét (amikor az $x_0 $ pontból a $x_0 + \Delta x $ pontba megy át), és állítsa össze a $\frac(\Delta y) relációt )(\Delta x) $. Ha ennek a relációnak van határa a $\Delta x \rightarrow 0 \ helyen), akkor a jelzett határérték ún. derivált függvény\(y=f(x) $ az $x_0 $ pontban, és jelölje $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Az y szimbólumot gyakran használják a derivált jelölésére. Vegye figyelembe, hogy az y" = f(x) egy új függvény, de természetesen az y = f(x) függvényhez kapcsolódik, amely minden olyan x pontban definiálható, ahol a fenti határérték létezik. Ezt a függvényt így hívják: az y \u003d f (x) függvény deriváltja.

A származék geometriai jelentése a következőkből áll. Ha egy olyan érintőt, amely nem párhuzamos az y tengellyel, az y \u003d f (x) függvény grafikonjára lehet rajzolni egy x \u003d a abszcisszával rendelkező pontban, akkor f (a) az érintő meredekségét fejezi ki:
$k = f"(a)$

Mivel $k = tg(a) $, a $f"(a) = tg(a) $ egyenlőség igaz.

És most a derivált definícióját közelítő egyenlőségekkel értelmezzük. Legyen az $y = f(x) $ függvénynek deriváltja egy adott $x $ pontban:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ez azt jelenti, hogy az x pont közelében a közelítő egyenlőség $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, azaz $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax$. A kapott közelítő egyenlőség értelmes jelentése a következő: a függvény növekménye „majdnem arányos” az argumentum növekményével, az arányossági együttható pedig a derivált értéke egy adott x pontban. Például az $y = x^2 $ függvényre a $\Delta y \kb. 2x \cdot \Delta x $ közelítő egyenlőség érvényes. Ha gondosan elemezzük a derivált definícióját, azt találjuk, hogy tartalmaz egy algoritmust annak megtalálására.

Fogalmazzuk meg.

Hogyan találjuk meg az y \u003d f (x) függvény deriváltját?

1. Javítsa ki a $x $ értéket, keresse meg a $f(x) $
2. Növelje a $x $ argumentumot $\Delta x $, lépjen egy új pontra $x+ \Delta x $, keresse meg a $f(x+ \Delta x) $
3. Keresse meg a függvény növekményét: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Állítsa össze a $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ relációt
5. Számítsa ki a $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ez a határérték az x-ben lévő függvény deriváltja.

Ha az y = f(x) függvénynek van deriváltja az x pontban, akkor azt az x pontban differenciálhatónak nevezzük. Meghívjuk az y \u003d f (x) függvény deriváltjának megtalálására szolgáló eljárást különbségtétel függvények y = f(x).

Vizsgáljuk meg a következő kérdést: hogyan függ össze egy függvény folytonossága és differenciálhatósága egy pontban?

Legyen az y = f(x) függvény az x pontban differenciálható. Ekkor a függvény grafikonjára az M (x; f (x)) pontban érintőt húzhatunk, és emlékezzünk vissza, az érintő meredeksége egyenlő f "(x) -vel. Az ilyen gráf nem "törhet" az M pont, azaz a függvénynek folytonosnak kell lennie x-ben.

Az „ujjakon” való okoskodás volt. Mutassunk egy szigorúbb érvet. Ha az y = f(x) függvény differenciálható az x pontban, akkor a $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $ egyenlőség teljesül. nulla, akkor $\Delta y $ ) is nullára hajlik, és ez a feltétele a függvény folytonosságának egy pontban.

Így, ha egy függvény egy x pontban differenciálható, akkor abban a pontban is folytonos.

Ennek a fordítottja nem igaz. Például: függvény y = |x| mindenhol folytonos, különösen az x = 0 pontban, de a függvény grafikonjának érintője az „összevonási pontban” (0; 0) nem létezik. Ha egy ponton lehetetlen egy függvény grafikonjához érintőt rajzolni, akkor ezen a ponton nincs derivált.

Még egy példa. Az $y=\sqrt(x) $ függvény folytonos a teljes számegyenesen, beleértve az x = 0 pontot is. És a függvény grafikonjának érintője bármely pontban létezik, beleértve az x = 0 pontot is. De ezen a ponton az érintő egybeesik az y tengellyel, azaz merőleges az abszcissza tengelyre, egyenlete x \u003d 0. Egy ilyen egyenesnek nincs meredeksége, ami azt jelenti, hogy \ ( f "(0) \) sem létezik

Tehát megismerkedtünk egy függvény új tulajdonságával - a differenciálhatósággal. Hogyan állapítható meg, hogy egy függvény megkülönböztethető-e egy függvény grafikonjától?

A válasz valójában fent van. Ha egy függvény grafikonjára egy ponton olyan érintőt lehet húzni, amely nem merőleges az x tengelyre, akkor ezen a ponton a függvény differenciálható. Ha egy ponton a függvény grafikonjának érintője nem létezik, vagy merőleges az x tengelyre, akkor ezen a ponton a függvény nem differenciálható.

Differenciálási szabályok

A derivált megtalálásának műveletét ún különbségtétel. Ennek a műveletnek a végrehajtása során gyakran kell dolgozni hányadosokkal, összegekkel, függvények szorzataival, valamint "függvények függvényeivel", azaz összetett függvényekkel. A derivált definíciója alapján levezethetjük ezt a munkát megkönnyítő differenciálási szabályokat. Ha C egy állandó szám és f=f(x), g=g(x) néhány differenciálható függvény, akkor a következők igazak differenciálási szabályok:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Összetett függvény deriváltja:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Egyes függvények deriváltjainak táblázata

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
Időpont: 2014.11.20

Mi az a származék?

Származékos táblázat.

A derivált a felsőbb matematika egyik fő fogalma. Ebben a leckében ezt a fogalmat mutatjuk be. Ismerkedjünk meg, szigorú matematikai megfogalmazások és bizonyítások nélkül.

Ez a bevezetés lehetővé teszi, hogy:

Az egyszerű feladatok lényegének megértése származékkal;

Sikeresen oldja meg ezeket a nagyon egyszerű feladatokat;

Készülj fel a komolyabb származékos leckékre.

Először is egy kellemes meglepetés.

A derivált szigorú meghatározása a határok elméletén alapul, és a dolog meglehetősen bonyolult. Ez felháborító. De a származék gyakorlati alkalmazása általában nem igényel ilyen kiterjedt és mély ismereteket!

A legtöbb iskolai és egyetemi feladat sikeres elvégzéséhez elég tudni csak néhány kifejezést- a feladat megértéséhez, ill csak néhány szabály- megoldani. És ez az. Ez boldoggá tesz.

Megismerjük egymást?)

Kifejezések és megnevezések.

Az elemi matematikában sok matematikai művelet létezik. Összeadás, kivonás, szorzás, hatványozás, logaritmus stb. Ha ezekhez a műveletekhez még egy műveletet adunk, az elemi matematika magasabb lesz. Ezt az új műveletet ún különbségtétel. Ennek a műveletnek a meghatározását és jelentését külön leckékben tárgyaljuk.

Itt fontos megérteni, hogy a differenciálás csak egy függvény matematikai művelete. Felveszünk bármilyen függvényt, és bizonyos szabályok szerint átalakítjuk. Az eredmény egy új funkció. Ennek az új függvénynek a neve: derivált.

Különbségtétel- művelet egy funkcióra.

Derivált ennek a cselekvésnek az eredménye.

Csakúgy, mint pl. összeg az összeadás eredménye. Vagy magán a felosztás eredménye.

A kifejezések ismeretében legalább a feladatokat meg lehet érteni.) A megfogalmazás a következő: megkeresni egy függvény deriváltját; vegyük a származékot; megkülönböztetni a funkciót; derivált számítani stb. Ez minden azonos. Természetesen vannak összetettebb feladatok is, ahol a derivált (differenciálás) megtalálása csak az egyik lépés lesz a feladat megoldásában.

A derivált kötőjel jelöli a jobb felső sarokban a függvény felett. Mint ez: y" vagy f"(x) vagy Utca) stb.

olvas y stroke, ef stroke x-ből, es stroke te-ből, hát érted...)

A prím egy adott függvény deriváltját is jelölheti, például: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" stb. A derivált gyakran differenciálokkal jelöljük, de ebben a leckében nem foglalkozunk ilyen jelöléssel.

Tegyük fel, hogy megtanultuk megérteni a feladatokat. Nincs más hátra – megtanulni, hogyan oldjuk meg őket.) Hadd emlékeztesselek még egyszer: a származék megtalálása az függvény transzformációja bizonyos szabályok szerint. Ezek a szabályok meglepően kevések.

Egy függvény deriváltjának megtalálásához mindössze három dolgot kell tudnod. Három pillér, amelyen minden megkülönböztetés nyugszik. Íme a három bálna:

1. Származtatott táblázat (differenciálási képletek).

3. Komplex függvény deriváltja.

Kezdjük sorban. Ebben a leckében megvizsgáljuk a származékok táblázatát.

Származékos táblázat.

A világnak végtelen számú funkciója van. Ebben a készletben vannak olyan funkciók, amelyek a legfontosabbak a gyakorlati alkalmazás szempontjából. Ezek a funkciók beletartoznak a természet összes törvényébe. Ezekből a funkciókból, akárcsak a téglából, megszerkesztheti az összes többit. Ezt a függvényosztályt ún elemi függvények. Ezeket a függvényeket tanulmányozzák az iskolában - lineáris, másodfokú, hiperbola stb.

A funkciók megkülönböztetése „a nulláról”, azaz. a derivált meghatározása és a határok elmélete alapján - meglehetősen időigényes dolog. És a matematikusok is emberek, igen, igen!) Szóval leegyszerűsítették az életüket (és minket). Kiszámolták előttünk az elemi függvények deriváltjait. Az eredmény egy derivatív táblázat, ahol minden készen áll.)

Íme, ez a lemez a legnépszerűbb funkciókhoz. A bal oldalon egy elemi függvény, a jobb oldalon a deriváltja.

	Funkció y	y függvény származéka y"
1	C (állandó)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n bármely szám)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	bűn x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
4	e x
5	log a x
5	ln x ( a = e)

Javaslom, hogy ebben a derivált táblázatban fordítsanak figyelmet a függvények harmadik csoportjára. A hatványfüggvény deriváltja az egyik legelterjedtebb képlet, ha nem a leggyakoribb! Világos a célzás?) Igen, a származékok táblázatát érdemes fejből ismerni. Mellesleg ez nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik. Próbáljon több példát megoldani, maga a táblázat emlékezni fog!)

A derivált táblázatos értékének megtalálása, amint Ön is tudja, nem a legnehezebb feladat. Ezért nagyon gyakran az ilyen feladatokban további chipek vannak. Vagy a feladat megfogalmazásában, vagy az eredeti függvényben, ami úgy tűnik, nem szerepel a táblázatban ...

Nézzünk néhány példát:

1. Határozzuk meg az y = x függvény deriváltját! 3

A táblázatban nincs ilyen függvény. De van egy általános származéka a hatványfüggvénynek (harmadik csoport). Esetünkben n=3. Tehát n helyett hármast cserélünk, és gondosan felírjuk az eredményt:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Ennyiről van szó.

Válasz: y" = 3x 2

2. Keresse meg az y = sinx függvény deriváltjának értékét az x = 0 pontban!

Ez a feladat azt jelenti, hogy először meg kell találnia a szinusz deriváltját, majd be kell cserélnie az értéket x = 0 ugyanarra a származékra. Ebben a sorrendben van! Ellenkező esetben előfordul, hogy azonnal behelyettesítenek nullát az eredeti függvénybe... Nem az eredeti függvény értékét kell keresni, hanem az értékét származéka. A derivált, hadd emlékeztessem önöket, már új függvény.

A lemezen találjuk a szinust és a megfelelő deriváltot:

y" = (sinx)" = cosx

Helyettesítsd be a nullát a deriváltba:

y"(0) = cos 0 = 1

Ez lesz a válasz.

3. Különböztesse meg a függvényt:

Mi inspirál?) A származékok táblázatában még közel sincs ilyen függvény.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy függvény megkülönböztetése annyi, mint a függvény deriváltjának megtalálása. Ha elfelejtjük az elemi trigonometriát, akkor a függvényünk deriváltjának megtalálása meglehetősen nehézkes. A táblázat nem segít...

De ha látjuk, hogy a funkciónk az kettős szög koszinusza, akkor azonnal minden jobb lesz!

Igen igen! Ne feledje, hogy az átalakítás az eredeti függvény a megkülönböztetés előtt egészen elfogadható! És előfordul, hogy ez nagyban megkönnyíti az életet. A kettős szög koszinuszának képlete szerint:

Azok. trükkös funkciónk nem más, mint y = cox. És ez egy táblázat függvény. Azonnal megkapjuk:

Válasz: y" = - sin x.

Példa haladóknak és hallgatóknak:

4. Keresse meg egy függvény deriváltját:

A derivált táblázatban természetesen nincs ilyen függvény. De ha emlékszel az elemi matematikára, a hatalommal végzett cselekvésekre... Akkor ezt a függvényt nagyon le lehet egyszerűsíteni. Mint ez:

És az x egy tized hatványára már táblázatos függvény! A harmadik csoport, n=1/10. Közvetlenül a képlet szerint, és írja be:

Ez minden. Ez lesz a válasz.

Remélem, hogy a megkülönböztetés első bálnájával - a származékok táblázatával - minden világos. Marad a két megmaradt bálnával foglalkozni. A következő leckében a megkülönböztetés szabályait tanuljuk meg.

Első szint

Függvény derivált. Átfogó útmutató (2019)

Képzeljen el egy egyenes utat, amely egy dombos területen halad át. Vagyis fel-le jár, de nem fordul jobbra vagy balra. Ha a tengely vízszintesen az út mentén és függőlegesen van irányítva, akkor az útvonal nagyon hasonló lesz valamilyen folytonos függvény grafikonjához:

A tengely egy bizonyos szintű nulla magasság, az életben a tengerszintet használjuk.

Egy ilyen úton haladva mi is haladunk felfelé vagy lefelé. Azt is mondhatjuk: ha az argumentum megváltozik (az abszcissza tengely mentén mozog), a függvény értéke megváltozik (az ordináta tengelye mentén mozog). Most pedig gondoljuk át, hogyan határozzuk meg utunk „meredekségét”? Mi lehet ez az érték? Nagyon egyszerű: mennyit fog változni a magasság egy bizonyos távolságot előrehaladva. Valóban, az út különböző szakaszain egy kilométert előre haladva (az abszcissza mentén) a tengerszinthez képest (az ordináta mentén) eltérő számú métert emelkedünk vagy süllyedünk.

Az előrehaladást jelöljük ("delta x").

A görög betűt (delta) általában a matematikában használják "változást" jelentő előtagként. Vagyis - ez nagyságrendi változás, - változás; akkor mi az? Igaz, méretváltozás.

Fontos: a kifejezés egyetlen entitás, egy változó. Soha nem szabad letépni a „deltát” az „x” vagy bármely más betűről! Azaz például .

Tehát előre, vízszintesen haladtunk tovább. Ha összehasonlítjuk az út vonalát egy függvény grafikonjával, akkor hogyan jelöljük az emelkedést? Természetesen, . Azaz, amikor tovább haladunk, magasabbra emelkedünk.

Könnyű kiszámítani az értéket: ha az elején egy magasságban voltunk, majd a mozgás után egy magasságban, akkor. Ha a végpont alacsonyabbnak bizonyult, mint a kezdőpont, akkor negatív lesz - ez azt jelenti, hogy nem emelkedünk, hanem csökkenünk.

Vissza a "meredekséghez": ez az érték azt jelzi, hogy egységnyi távolságonként mennyivel (meredeken) nő a magasság előre haladva:

Tegyük fel, hogy az út valamely szakaszán km-rel haladva az út km-rel emelkedik. Ekkor a meredekség ezen a helyen egyenlő. És ha az út m-rel haladva km-rel süllyedne? Ekkor a lejtés egyenlő.

Most nézzük meg egy domb tetejét. Ha a szakasz elejét fél kilométerrel a csúcsra viszed, és a végét - fél kilométerrel utána, láthatod, hogy a magasság közel azonos.

Vagyis a mi logikánk szerint kiderül, hogy itt a meredekség majdnem egyenlő a nullával, ami nyilvánvalóan nem igaz. Sok minden változhat néhány mérföld távolságban. A meredekség megfelelőbb és pontosabb becsléséhez kisebb területeket kell figyelembe venni. Például, ha megméri a magasságváltozást egy méter mozgáskor, az eredmény sokkal pontosabb lesz. De lehet, hogy még ez a pontosság sem lesz elég számunkra - elvégre ha van egy oszlop az út közepén, egyszerűen átcsúszhatunk rajta. Milyen távolságot válasszunk akkor? Centiméter? Milliméter? A kevesebb jobb!

A való életben a legközelebbi milliméteres távolság mérése több mint elég. De a matematikusok mindig a tökéletességre törekednek. Ezért a koncepció az volt elenyésző, vagyis a modulo érték kisebb, mint bármely szám, amit meg tudunk nevezni. Például azt mondod: egy trilliomod! Mennyivel kevesebb? És ezt a számot elosztod - és még kevesebb lesz. Stb. Ha azt akarjuk írni, hogy az érték végtelenül kicsi, akkor így írjuk: (azt olvassuk, hogy „x nullára hajlamos”). Nagyon fontos megérteni hogy ez a szám nem egyenlő nullával! De nagyon közel hozzá. Ez azt jelenti, hogy osztható.

A végtelenül kicsivel ellentétes fogalom a végtelenül nagy (). Valószínűleg már találkozott vele, amikor az egyenlőtlenségeken dolgozott: ez a szám modulusban nagyobb, mint bármelyik szám, amelyet el tud képzelni. Ha a lehető legnagyobb számot találja ki, csak szorozza meg kettővel, és még többet kap. A végtelen pedig még annál is több, mint ami történik. Valójában a végtelenül nagy és a végtelenül kicsi fordítottja egymásnak, vagyis at, és fordítva: at.

Most pedig térjünk vissza az utunkra. Az ideálisan számított meredekség az út végtelenül kis szakaszára számított meredekség, azaz:

Megjegyzem, végtelenül kicsi elmozdulásnál a magasságváltozás is végtelenül kicsi lesz. De hadd emlékeztesselek arra, hogy a végtelenül kicsi nem azt jelenti, hogy egyenlő a nullával. Ha végtelenül kicsi számokat osztunk el egymással, akkor például egy teljesen közönséges számot kaphatunk. Vagyis egy kis érték pontosan kétszer akkora lehet, mint egy másik.

Miért ez az egész? Az út, a meredekség... Nem ralira megyünk, hanem matematikát tanulunk. A matematikában pedig minden pontosan ugyanaz, csak másként hívják.

A származék fogalma

A függvény deriváltja a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya az argumentum végtelen kicsiny növekménye mellett.

Növekedés a matematikában változásnak nevezik. Meghívjuk, hogy mennyit változott az argumentum () a tengely mentén történő mozgás során argumentumnövekményés azt jelöljük, hogy a függvény (magasság) mennyit változott a tengely mentén egy távolsággal előrehaladva funkciónövekedésés meg van jelölve.

Tehát egy függvény deriváltja a mikorhoz való viszony. A deriváltot ugyanazzal a betűvel jelöljük, mint a függvényt, csak jobbról fentről egy vonással: vagy egyszerűen. Tehát írjuk fel a derivált képletet a következő jelölésekkel:

Az út analógiájához hasonlóan itt is, amikor a függvény növekszik, a derivált pozitív, ha csökken, akkor negatív.

De a derivált egyenlő nullával? Természetesen. Például, ha sík vízszintes úton haladunk, a meredekség nulla. Valójában a magasság egyáltalán nem változik. Tehát a deriválttal: egy állandó függvény deriváltja (konstans) egyenlő nullával:

mivel egy ilyen függvény növekménye nulla bármely.

Vegyük például a dombtetőt. Kiderült, hogy a szegmens végeit a csúcs ellentétes oldalain lehet elhelyezni úgy, hogy a végek magassága azonos legyen, vagyis a szegmens párhuzamos a tengellyel:

De a nagy szegmensek a pontatlan mérés jelei. A szakaszunkat önmagával párhuzamosan emeljük fel, majd a hossza csökken.

A végén, amikor végtelenül közel vagyunk a csúcshoz, a szakasz hossza végtelenül kicsi lesz. De ugyanakkor párhuzamos maradt a tengellyel, vagyis a magasságkülönbség a végén egyenlő nullával (nem hajlik, de egyenlő). Tehát a származék

Ez a következőképpen értelmezhető: amikor a legfelül állunk, egy kis balra vagy jobbra eltolás elhanyagolhatóan megváltoztatja a magasságunkat.

Van egy tisztán algebrai magyarázat is: a tetejétől balra nő a függvény, jobbra pedig csökken. Ahogy azt már korábban megtudtuk, ha a függvény növekszik, a derivált pozitív, ha csökken, akkor negatív. De simán, ugrások nélkül változik (mert az út sehol sem változtat élesen a lejtését). Ezért a negatív és a pozitív értékek között kell lennie. Ott lesz, ahol a függvény nem növekszik és nem is csökken - a csúcspontban.

Ugyanez igaz a völgyre (az a terület, ahol a függvény bal oldalon csökken, jobb oldalon pedig növekszik):

Egy kicsit bővebben az emelésekről.

Tehát az argumentumot értékre változtatjuk. Milyen értékről változunk? Most mivé lett (érv)? Bármely pontot választhatunk, és most ebből fogunk táncolni.

Tekintsünk egy pontot koordinátával. A benne lévő függvény értéke egyenlő. Ezután ugyanazt a lépést tesszük: növeljük a koordinátát. Most mi az érv? Nagyon könnyű: . Mi most a függvény értéke? Ahová az argumentum kerül, oda a függvény is: . Mi a helyzet a függvény növekményével? Semmi új: még mindig ennyivel változott a függvény:

Gyakorold a lépések keresését:

Keresse meg a függvény növekményét egy olyan pontban, ahol az argumentum növekménye egyenlő.
Ugyanez egy pontban lévő függvényre.

Megoldások:

Különböző pontokon az argumentum azonos növekménye mellett a függvény növekménye eltérő lesz. Ez azt jelenti, hogy a deriváltnak minden pontban megvan a sajátja (erről a legelején beszéltünk - az út meredeksége a különböző pontokon eltérő). Ezért, amikor deriváltot írunk, meg kell jelölnünk, hogy melyik ponton:

Teljesítmény funkció.

A hatványfüggvényt olyan függvénynek nevezzük, ahol az argumentum bizonyos mértékig (logikus, ugye?).

És - bármilyen mértékben: .

A legegyszerűbb eset az, amikor a kitevő:

Keressük a származékát egy pontban. Emlékezzen a származék definíciójára:

Tehát az érv ról -ra változik. Mi a függvénynövekmény?

Növekedés az. De a függvény bármely ponton egyenlő az argumentumával. Ezért:

A származéka a következő:

A származéka a következő:

b) Tekintsük most a másodfokú függvényt (): .

Most emlékezzünk erre. Ez azt jelenti, hogy a növekmény értéke elhanyagolható, mivel végtelenül kicsi, ezért egy másik kifejezéshez képest jelentéktelen:

Tehát van még egy szabályunk:

c) Folytatjuk a logikai sorozatot: .

Ez a kifejezés többféleképpen egyszerűsíthető: nyissa meg az első zárójelet az összeg kockájának rövidített szorzásának képletével, vagy bontsa fel a teljes kifejezést tényezőkre a kockák különbségének képletével. Próbálja meg saját maga megtenni a javasolt módszerek bármelyikével.

Szóval a következőket kaptam:

És még egyszer emlékezz erre. Ez azt jelenti, hogy figyelmen kívül hagyhatunk minden olyan kifejezést, amely tartalmazza:

Kapunk: .

d) Hasonló szabályok érhetők el nagy teljesítményekre:

e) Kiderül, hogy ez a szabály általánosítható egy tetszőleges kitevővel, még csak nem is egész számmal:

(2)

A szabályt megfogalmazhatja a következő szavakkal: „a fokot együtthatóként előrehozzuk, majd csökken”.

Ezt a szabályt később (majdnem a legvégén) be fogjuk bizonyítani. Most nézzünk néhány példát. Keresse meg a függvények deriváltját:

(kétféleképpen: a képlettel és a derivált definíciójával - a függvény növekményének megszámlálásával);

. Akár hiszi, akár nem, ez egy hatalomfüggvény. Ha olyan kérdései vannak, mint „Hogy van? És hol a diploma? ”, Emlékezzen a témára" "!
Igen, igen, a gyök is fok, csak töredéke:.
Tehát a négyzetgyökünk csak hatvány kitevővel:
.
A származékot a nemrég megtanult képlet segítségével keressük:
Ha ezen a ponton ismét homályossá vált, ismételje meg a "" témát !!! (körülbelül egy fok negatív mutatóval)
. Most a kitevő:
És most a definíción keresztül (elfelejtetted már?):
;
.
Most, mint általában, figyelmen kívül hagyjuk a következő kifejezést:
.
. Korábbi esetek kombinációja: .

trigonometrikus függvények.

Itt egy tényt használunk a magasabb matematikából:

Amikor kifejezés.

A bizonyítást az intézet első évében fogod megtanulni (és ahhoz, hogy odáig juss, jól le kell vizsgázni). Most csak grafikusan mutatom be:

Azt látjuk, hogy amikor a függvény nem létezik, a grafikon pontja kilyukad. De minél közelebb van az értékhez, annál közelebb van a függvény ehhez.

Ezenkívül ezt a szabályt egy számológéppel is ellenőrizheti. Igen, igen, ne szégyellje magát, vegyen egy számológépet, még nem tartunk a vizsgán.

Szóval próbáljuk meg: ;

Ne felejtse el radián módba kapcsolni a számológépet!

stb. Azt látjuk, hogy minél kisebb, annál közelebb áll az arány értéke.

a) Tekintsünk egy függvényt. Szokás szerint a növekményét megtaláljuk:

A szinuszok különbségét alakítsuk szorzattá. Ehhez a képletet használjuk (emlékezzen a "" témára):.

Most a származék:

Csináljunk helyettesítést: . Aztán végtelenül kicsinek is végtelenül kicsi: . A kifejezés a következő formában jelenik meg:

És most emlékezünk erre a kifejezéssel. És mi van akkor, ha egy végtelenül kis érték elhanyagolható az összegben (azaz at).

Tehát a következő szabályt kapjuk: a szinusz deriváltja egyenlő a koszinusszal:

Ezek alapvető („tábla”) származékok. Itt vannak egy listában:

Később még néhányat kiegészítünk velük, de ezek a legfontosabbak, mivel ezeket használják leggyakrabban.

Gyakorlat:

Keresse meg egy függvény deriváltját egy pontban;
Keresse meg a függvény deriváltját!

Megoldások:

Először megkeressük a származékot általános formában, majd behelyettesítjük az értékét:
;
.
Itt van valami hasonló a hatványfüggvényhez. Próbáljuk meg elhozni őt
normál nézet:
.
Ok, most már használhatja a képletet:
.
.
. Eeeeeee… Mi az????

Oké, igazad van, még mindig nem tudjuk, hogyan találjunk ilyen származékokat. Itt többféle funkció kombinációját láthatjuk. A velük való együttműködéshez meg kell tanulnia néhány további szabályt:

Kitevő és természetes logaritmus.

A matematikában létezik egy ilyen függvény, amelynek deriváltja bármely esetén megegyezik magának a függvénynek az értékével. Kitevőnek hívják, és egy exponenciális függvény

Ennek a függvénynek az alapja - egy konstans - egy végtelen tizedes tört, vagyis egy irracionális szám (pl. Ezt "Euler-számnak" hívják, ezért betűvel jelölik.

Tehát a szabály:

Nagyon könnyű megjegyezni.

Nos, nem megyünk messzire, azonnal figyelembe vesszük az inverz függvényt. Mi az exponenciális függvény inverze? Logaritmus:

Esetünkben az alap egy szám:

Egy ilyen logaritmust (vagyis egy bázissal rendelkező logaritmust) „természetesnek” nevezünk, és erre egy speciális jelölést használunk: írunk helyette.

Mi egyenlő? Természetesen, .

A természetes logaritmus deriváltja is nagyon egyszerű:

Példák:

Keresse meg a függvény deriváltját!
Mi a függvény deriváltja?

Válaszok: A kitevő és a természetes logaritmus olyan függvények, amelyek deriváltja egyedülállóan egyszerű. Az exponenciális és logaritmikus függvények bármely más bázissal eltérő deriválttal fognak rendelkezni, amelyet később, a differenciálás szabályainak áttekintése után elemezünk.

Differenciálási szabályok

Milyen szabályokat? Megint egy új kifejezés?!...

Különbségtétel a származék megtalálásának folyamata.

Csak és minden. Mi más szó erre a folyamatra? Nem proizvodnovanie... A matematika differenciálját az at függvény nagyon növekményének nevezik. Ez a kifejezés a latin differentia - differencia szóból származik. Itt.

Mindezen szabályok származtatása során két függvényt fogunk használni, például, és. Szükségünk lesz képletekre is a növekedésükhöz:

Összesen 5 szabály van.

Az állandót kivesszük a derivált előjeléből.

Ha - valamilyen állandó szám (konstans), akkor.

Nyilvánvalóan a különbségre is érvényes ez a szabály: .

Bizonyítsuk be. Hagyjuk, vagy könnyebben.

Példák.

Keresse meg a függvények származékait:

azon a ponton;
azon a ponton;
azon a ponton;
azon a ponton.

Megoldások:

(a derivált minden pontban ugyanaz, mivel ez egy lineáris függvény, emlékszel?);

Egy termék származéka

Itt minden hasonló: bevezetünk egy új függvényt, és megtaláljuk a növekedését:

Derivált:

Példák:

Keresse meg a függvények származékait és;
Keresse meg egy függvény deriváltját egy pontban.

Megoldások:

Az exponenciális függvény deriváltja

Most már elegendő tudása ahhoz, hogy megtanulja, hogyan találja meg bármely exponenciális függvény deriváltját, és ne csak a kitevőt (elfelejtette már, hogy mi az?).

Szóval hol van egy szám.

A függvény deriváltját már ismerjük, ezért próbáljuk meg új alapra hozni a függvényünket:

Ehhez egy egyszerű szabályt alkalmazunk: . Akkor:

Nos, sikerült. Most próbálja meg megtalálni a származékot, és ne felejtse el, hogy ez a függvény összetett.

Megtörtént?

Itt ellenőrizd magad:

A képlet nagyon hasonlított a kitevő deriváltjához: ahogy volt, úgy marad, csak egy tényező jelent meg, ami csak egy szám, de nem változó.

Példák:
Keresse meg a függvények származékait:

Válaszok:

Ez csak egy szám, amit számológép nélkül nem lehet kiszámolni, vagyis nem írható le egyszerűbb formában. Ezért ebben a formában hagyjuk a válaszban.

Logaritmikus függvény deriváltja

Itt is hasonló: már ismeri a természetes logaritmus deriváltját:

Ezért, ha a logaritmusból egy tetszőlegest szeretne keresni más alappal, például:

Ezt a logaritmust az alaphoz kell hoznunk. Hogyan lehet megváltoztatni a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most írjuk helyette:

A nevezőről kiderült, hogy csak egy konstans (konstans szám, változó nélkül). A származék nagyon egyszerű:

Az exponenciális és logaritmikus függvények származékai szinte soha nem találhatók meg a vizsgán, de ezek ismerete nem lesz felesleges.

Komplex függvény származéka.

Mi az a "komplex függvény"? Nem, ez nem logaritmus és nem ívtangens. Ezeket a függvényeket nehéz lehet megérteni (bár ha a logaritmus nehéznek tűnik, olvassa el a "Logaritmusok" témakört, és minden sikerülni fog), de a matematika szempontjából a "komplex" szó nem azt jelenti, hogy "nehéz".

Képzeljen el egy kis szállítószalagot: két ember ül, és valamilyen tárggyal valamilyen műveletet végez. Például az első egy csokoládét csomagol egy csomagolóanyagba, a második pedig egy szalaggal köti össze. Kiderült, hogy egy ilyen összetett tárgy: egy csokoládé szalaggal becsomagolva és átkötve. Egy csokoládé szelet elfogyasztásához fordított sorrendben kell végrehajtania az ellenkező lépéseket.

Készítsünk egy hasonló matematikai csővezetéket: először megkeressük egy szám koszinuszát, majd a kapott számot négyzetre emeljük. Szóval adnak egy számot (csokoládé), megkeresem a koszinuszát (csomagolóanyag), majd te négyzetesíted, amit kaptam (szalaggal kötöd). Mi történt? Funkció. Ez egy példa egy összetett függvényre: amikor annak értékének megtalálása érdekében az első műveletet közvetlenül a változóval hajtjuk végre, majd egy másik második műveletet azzal, ami az első eredményeként történt.

Ugyanezeket a műveleteket megtehetjük fordított sorrendben is: először négyzetre teszünk, majd megkeresem a kapott szám koszinuszát:. Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. A komplex függvények fontos jellemzője: ha megváltozik a műveletek sorrendje, megváltozik a funkció.

Más szavakkal, Az összetett függvény olyan függvény, amelynek argumentuma egy másik függvény: .

Az első példában .

Második példa: (ugyanaz). .

Az utolsó művelet, amit végzünk, a neve lesz "külső" funkció, és az elsőként végrehajtott művelet - ill "belső" funkció(ezek informális elnevezések, csak az anyag egyszerű nyelvezetű magyarázatára használom).

Próbáld meg eldönteni, hogy melyik funkció külső és melyik belső:

Válaszok: A belső és külső függvények szétválasztása nagyon hasonlít a változók megváltoztatásához: például a függvényben

Milyen lépéseket tegyünk először? Először kiszámoljuk a szinust, és csak ezután emeljük kockává. Tehát ez egy belső funkció, nem egy külső.
Az eredeti funkció pedig az összetételük: .
Belső: ; külső: .
Vizsga: .
Belső: ; külső: .
Vizsga: .
Belső: ; külső: .
Vizsga: .
Belső: ; külső: .
Vizsga: .

változókat változtatunk és függvényt kapunk.

Nos, most kivonjuk a csokoládét – keressük a származékát. Az eljárás mindig fordított: először megkeressük a külső függvény deriváltját, majd az eredményt megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. Az eredeti példa esetében ez így néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül fogalmazzuk meg a hivatalos szabályt:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

Minden egyszerűnek tűnik, igaz?

Nézzük példákkal:

Megoldások:

1) Belső: ;

Külső: ;

2) Belső: ;

(Csak most ne próbáld csökkenteni! A koszinusz alól nem vesznek ki semmit, emlékszel?)

3) Belső: ;

Külső: ;

Azonnal világos, hogy itt egy háromszintű komplex funkcióról van szó: elvégre ez már önmagában is egy komplex függvény, és mégis kivonjuk belőle a gyökeret, vagyis végrehajtjuk a harmadik műveletet (csomagolóba csokit teszünk). és szalaggal egy aktatáskában). De nincs okunk félni: mindenesetre a megszokott sorrendben „pakoljuk ki” ezt a funkciót: a végétől.

Vagyis először megkülönböztetjük a gyökér, majd a koszinusz, és csak azután a zárójelben lévő kifejezést. És akkor az egészet megszorozzuk.

Ilyen esetekben célszerű a műveleteket számozni. Vagyis képzeljük el, mit tudunk. Milyen sorrendben hajtjuk végre a műveleteket a kifejezés értékének kiszámításához? Nézzünk egy példát:

Minél később hajtják végre a műveletet, annál "külsőbb" lesz a megfelelő funkció. A műveletek sorrendje - mint korábban:

Itt a fészekrakás általában 4 szintű. Határozzuk meg a cselekvés menetét.

1. Radikális kifejezés. .

2. Gyökér. .

3. Sinus. .

4. Négyzet. .

5. Az egészet összerakva:

DERIVÁLT. RÖVIDEN A FŐRŐL

Függvény derivált- a függvény növekményének aránya az argumentum növekményéhez képest, az argumentum végtelenül kicsi növekményével:

Alapvető származékok:

A megkülönböztetés szabályai:

Az állandót kivesszük a derivált előjeléből:

Az összeg származéka:

Származékos termék:

A hányados származéka:

Egy összetett függvény származéka:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

Meghatározzuk a "belső" függvényt, megkeressük a származékát.
Meghatározzuk a "külső" függvényt, megkeressük a származékát.
Az első és a második pont eredményét megszorozzuk.

Egy változó függvényének deriváltja.

Bevezetés.

Ezek a módszertani fejlesztések az Ipar- és Építőmérnöki Kar hallgatóinak szólnak. Ezeket a matematika kurzus programjához kapcsolódóan az „Egy változó függvényeinek differenciálszámítása” részben állítják össze.

A fejlesztések egységes módszertani útmutatót jelentenek, amely tartalmazza: rövid elméleti információkat; "tipikus" feladatok és gyakorlatok részletes megoldásokkal és magyarázatokkal ezekre a megoldásokra; vezérlési lehetőségek.

További gyakorlatok az egyes bekezdések végén. A fejlesztések ilyen felépítése alkalmassá teszi a szakasz önálló elsajátítására a legminimálisabb tanári segítséggel.

§egy. A származék definíciója.

Mechanikai és geometriai jelentés

derivált.

A derivált fogalma a matematikai elemzés egyik legfontosabb fogalma, amely már a 17. században megjelent. A derivált fogalmának kialakulása történetileg két problémával függ össze: a változó mozgás sebességének és a görbe érintőjének problémájával.

Ezek a feladatok eltérő tartalmuk ellenére ugyanahhoz a matematikai művelethez vezetnek, amelyet egy függvényen végre kell hajtani, ez a művelet a matematikában külön nevet kapott. Egy függvény megkülönböztetésének műveletének nevezzük. A differenciálási művelet eredményét deriváltnak nevezzük.

Tehát az y=f(x) függvény deriváltja az x0 pontban a függvény növekményének és az argumentum növekményének a határa (ha létezik)
nál nél
.

A származékot általában a következőképpen jelölik:
.

Tehát definíció szerint

A szimbólumokat a származék jelölésére is használják
.

A származék mechanikai jelentése.

Ha s=s(t) egy anyagi pont egyenes vonalú mozgásának törvénye, akkor
ennek a pontnak a sebessége a t időpontban.

A származék geometriai jelentése.

Ha az y=f(x) függvénynek van deriváltja egy pontban , akkor a függvény grafikonjának érintőjének meredeksége a pontban
egyenlő
.

Példa.

Keresse meg egy függvény deriváltját
azon a ponton =2:

1) Adjunk egy pontot =2 növekmény
. Vedd észre, az.

2) Keresse meg a függvény növekményét a pontban =2:

3) Állítsa össze a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányát:

Keressük meg a reláció határát at
:

Ily módon
.

2. § Egyesek származékai

a legegyszerűbb funkciókat.

A tanulónak meg kell tanulnia konkrét függvények deriváltjainak kiszámítását: y=x,y= és általában y= .

Keresse meg az y=x függvény deriváltját!

azok. (x)′=1.

Keressük meg a függvény deriváltját

Derivált

Hadd
akkor

Könnyen észrevehető egy minta a hatványfüggvény deriváltjainak kifejezéseiben
n=1,2,3-nál.

Következésképpen,

. (1)

Ez a képlet bármely valós n-re érvényes.

Az (1) képlet felhasználásával a következőket kapjuk:

;

Példa.

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez a függvény az űrlap függvényének speciális esete

nál nél
.

Az (1) képlet segítségével megkaptuk

Az y=sin x és y=cos x függvények deriváltjai.

Legyen y=sinx.

Osztjuk ∆x-el, megkapjuk

A határértékhez ∆x→0 átlépve megvan

Legyen y=cosx .

A határértékhez ∆x→0-ként lépve megkapjuk

;
. (2)

3. §. A megkülönböztetés alapszabályai.

Vegye figyelembe a megkülönböztetés szabályait.

Tétel1 . Ha az u=u(x) és v=v(x) függvények egy adott x pontban differenciálhatók, akkor összegük is differenciálható ebben a pontban, és az összeg deriváltja egyenlő a származtatott tagok összegével: (u+v)"=u"+v".(3)

Bizonyítás: tekintsük az y=f(x)=u(x)+v(x) függvényt.

Az x argumentum ∆x növekménye megfelel az u és v függvények ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) növekményeinek. Ekkor az y függvény növekszik

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Következésképpen,

Tehát (u+v)"=u"+v.

Tétel2. Ha az u=u(x) és v=v(x) függvények egy adott x pontban differenciálhatók, akkor a szorzatuk is differenciálható ugyanabban a pontban, ebben az esetben a szorzat deriváltját a következő képlettel találjuk meg : (uv) "=u" v + uv ". ( négy)

Bizonyítás: Legyen y=uv, ahol u és v x néhány differenciálható függvénye. Legyen x-et ∆x-el, akkor u-t ∆u-val, v-t ∆v-vel, y-t pedig ∆y-vel.

Van y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), vagy

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Ezért ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Innen

Ha átlépünk a határértékre ∆x→0-ként, és figyelembe véve, hogy u és v nem függ ∆x-től, azt kapjuk

3. tétel. Két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek nevezője egyenlő az osztó négyzetével, a számláló pedig az osztó deriváltjának az osztó szorzata és az osztó szorzata közötti különbség. osztalék az osztó deriváltjával, azaz.

Ha egy
akkor
(5)