itthon > Mezőgazdaság

A nyitott zárójel egy szám. Bővülő zárójelek – Tudáshipermarket

A zárójelek jelzik a műveletek végrehajtásának sorrendjét a numerikus és alfabetikus kifejezésekben, valamint a változókat tartalmazó kifejezésekben. Kényelmes áttérni a zárójeles kifejezésről az azonosra egyenlő kifejezés zárójelek nélkül. Ezt a technikát zárójel-nyitónak nevezik.

A zárójelek kiterjesztése azt jelenti, hogy megszabadulunk a zárójelek kifejezésétől.

Külön figyelmet érdemel egy másik pont, amely a zárójelek nyitásakor alkalmazott írási megoldások sajátosságait érinti. A kezdeti kifejezést zárójelekkel írhatjuk, a zárójelek kinyitása után kapott eredményt pedig egyenlőségnek. Például a zárójelek megnyitása után a kifejezés helyett
3−(5−7) a 3−5+7 kifejezést kapjuk. Mindkét kifejezést felírhatjuk a 3−(5−7)=3−5+7 egyenlőségként.

És még egy fontos pont. A matematikában a bejegyzések csökkentésére általában nem írunk pluszjelet, ha egy kifejezésben vagy zárójelben az első. Például, ha összeadunk két pozitív számot, például hetet és hármat, akkor nem +7 + 3-at írunk, hanem egyszerűen 7 + 3-at, annak ellenére, hogy a hét is pozitív szám. Hasonlóképpen, ha látja például az (5 + x) - kifejezést, tudd, hogy a zárójel előtt van egy plusz, ami nincs írva, és van egy plusz + (+5 + x) a zárójel előtt. öt.

A zárójel bővítési szabálya a kiegészítéshez

A zárójelek nyitásakor, ha a zárójelek előtt van egy plusz, akkor ez a plusz a zárójelekkel együtt kimarad.

Példa. Nyissa ki a zárójeleket a 2 + (7 + 3) kifejezésben. A zárójelek előtt plusz, majd a zárójelben lévő számok előtti karakterek nem változnak.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

A szabály a zárójelek kiterjesztésére kivonáskor

Ha mínusz van a zárójelek előtt, akkor ez a mínusz a zárójelekkel együtt kimarad, de a zárójelben lévő kifejezések az ellenkező előjelét váltják. A zárójelben lévő első tag előtti jel hiánya + jelet jelent.

Példa. Nyitott zárójelek a 2 − (7 + 3) kifejezésben

A zárójelek előtt mínusz van, ezért a zárójelben lévő számok előtt meg kell változtatni a jeleket. A 7-es szám előtt nincs zárójelben jel, ami azt jelenti, hogy a hetes pozitív, akkor a + jel előtte van.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

A zárójelek kinyitásakor eltávolítjuk a példából a mínuszt, amely a zárójelek előtt volt, és magukat a zárójeleket 2 − (+ 7 + 3), és a zárójelben lévő jeleket az ellenkezőjére cseréljük.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Zárójelek bővítése szorzáskor

Ha a zárójelek előtt szorzójel van, akkor a zárójelben lévő minden számot megszorozunk a zárójelek előtti tényezővel. Ugyanakkor a mínusz és a mínusz szorzása pluszt ad, és a mínusz plusz szorzása, mint a plusz mínusz szorzása, mínuszt ad.

Így a szorzatokban a zárójelek a szorzás eloszlási tulajdonságának megfelelően bővülnek.

Példa. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Ha a zárójelet zárójellel szorozza, az első zárójel minden tagja megszorozódik a második zárójel minden tagjával.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Valójában nem kell minden szabályt megjegyezni, elég csak egyet megjegyezni, ezt: c(a−b)=ca−cb. Miért? Mert ha c helyett egyet helyettesítünk, akkor az (a−b)=a−b szabályt kapjuk. Ha pedig mínusz egyet helyettesítünk, akkor a −(a−b)=−a+b szabályt kapjuk. Nos, ha a c helyett egy másik zárójelet helyettesít, megkaphatja az utolsó szabályt.

Felosztáskor bontsa ki a zárójelet

Ha a zárójelek után osztásjel van, akkor a zárójelben lévő minden szám osztható a zárójelek utáni osztóval, és fordítva.

Példa. (9 + 6) : 3=9:3 + 6:3

A beágyazott zárójelek kibontása

Ha a kifejezés beágyazott zárójeleket tartalmaz, akkor azok sorrendben ki lesznek bontva, kezdve a külsővel vagy a belsővel.

Ugyanakkor az egyik zárójel kinyitásakor fontos, hogy ne érintse meg a többi zárójelet, csak írja át őket úgy, ahogy vannak.

Példa. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

a zárójelek nyitásának képességét kialakítani, figyelembe véve a zárójelek előtti jelet;

  • fejlesztés:
    • fejleszteni logikus gondolkodás, figyelem, matematikai beszéd, elemzési, összehasonlítási, általánosítási, következtetési képesség;
  • pedagógusok:
    •  a felelősség formálása, a tantárgy iránti kognitív érdeklődés

    Az órák alatt

    I. Szervezési mozzanat.

    Nézd meg haver
    Készen állsz a leckére?
    Minden a helyén van? Minden jó?
    Toll, könyv és jegyzetfüzet.
    Mindenki rendesen ül?
    Mindenki nagyon figyel?

    Egy kérdéssel szeretném kezdeni a leckét:

    Szerinted mi a legértékesebb dolog a földön? (Gyermekek válaszai.)

    Ez a kérdés évezredek óta foglalkoztatja az emberiséget. Íme a híres tudós, Al-Biruni válasza: „A tudás a legkiválóbb birtok. Mindenki erre törekszik, de nem jön magától.”

    Legyenek ezek a szavak az óránk mottója.

    II. Korábbi ismeretek, készségek, készségek aktualizálása:

    Szóbeli számolás:

    1.1. Mi a mai dátum?

    2. Mit tudsz a 20-as számról?

    3. És hol található ez a szám a koordinátaegyenesen?

    4. Nevezd meg a hátlapjának számát!

    5. Nevezze meg a vele szemben lévő számot!

    6. Mi a neve a számnak - 20?

    7. Milyen számokat nevezünk ellentéteknek?

    8. Milyen számokat nevezünk negatívnak?

    9. Mekkora a 20-as szám modulusa? - 20?

    10. Mennyi az ellentétes számok összege?

    2. Magyarázza meg a következő bejegyzéseket:

    a) A zseniális Arkhimédész ókori matematikusa ie 0 287-ben született.

    b) 1792-ben született N. I. Lobacsevszkij zseniális orosz matematikus.

    először olimpiai játékok 776-ban Görögországban történt.

    d) Az első Nemzetközi Olimpiai Játékokra 1896-ban került sor.

    e) 2014-ben került sor a XXII. Téli Olimpiai Játékokra.

    3. Nézze meg, milyen számok forognak a „matematikai körhinta”-on (minden művelet szóban történik).

    II. Új ismeretek, készségek, képességek formálása.

    Megtanulta, hogyan kell különféle műveleteket végrehajtani egész számokkal. Mit fogunk csinálni ezután? Hogyan fogunk példákat és egyenleteket megoldani?

    Keressük meg ezeknek a kifejezéseknek a jelentését

    7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
    -7 + 3 + 4 = 0

    Mi az eljárás az 1 példában? Mennyi van zárójelben? A műveletek sorrendje a második példában? Az első akció eredménye? Mit lehet mondani ezekről a kifejezésekről?

    Természetesen az első és a második kifejezés eredménye megegyezik, ezért lehet egyenlőségjelet tenni közéjük: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

    Mit csináltunk a zárójelekkel? (Elveszett.)

    Mit gondolsz, mit fogunk csinálni ma az órán? (A gyerekek megfogalmazzák az óra témáját.) Példánkban milyen jel van a zárójelek előtt. (Plusz.)

    És így elérkeztünk a következő szabályhoz:

    Ha a zárójelek előtt + jel van, akkor a zárójeleket és ezt a + jelet elhagyhatja, megőrizve a zárójelben lévő kifejezések jeleit. Ha a zárójelben lévő első kifejezést előjel nélkül írjuk, akkor azt + jellel kell írni.

    De mi van akkor, ha mínusz jel van a zárójelek előtt?

    Ebben az esetben ugyanúgy kell érvelni, mint a kivonásnál: hozzá kell adni a kivonással ellentétes számot:

    7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

    - Szóval, kinyitottuk a zárójeleket, amikor mínusz jel volt előttük.

    A szabály a zárójelek bővítésére, ha a zárójelek előtt „-” jel van.

    A - jel előtti zárójelek megnyitásához cserélje ki ezt a jelet + jelre, módosítsa a zárójelben lévő összes kifejezés előjelét az ellenkezőjére, majd nyissa ki a zárójeleket.

    Hallgassuk meg a versekben a zárójelek nyitásának szabályait:

    A zárójel előtt van egy plusz.
    Arról beszél
    Mit ejtesz a zárójelben
    Engedje ki az összes jelet!
    A zárójel előtt mínusz szigorú
    Elállja az utunkat
    A zárójelek eltávolításához
    Változtatnunk kell a jeleken!

    Igen, srácok, a mínusz jel nagyon alattomos, „őr” a kapuban (zárójelben), csak akkor ad ki számokat, változókat, ha cserélik az „útlevelüket”, vagyis a jeleiket.

    Miért kell egyáltalán zárójelet nyitni? (Amikor zárójelek vannak, akkor egy pillanatnyi befejezetlenség, valamiféle titokzatosság. zárt ajtó, ami mögött valami érdekes.) Ma megtudtuk ezt a titkot.

    Egy kis kitérő a történelembe:

    A göndör zárójelek Vieta (1593) írásaiban jelennek meg. A zárójeleket Leibniznek és még inkább Eulernek köszönhetően csak a 18. század első felében használták széles körben.

    Fizkultminutka.

    III. Új ismeretek, készségek és képességek megszilárdítása.

    Tankönyvi munka:

    1234. sz. (nyitott zárójelben) - szóban.

    1236. sz. (nyitott zárójelben) - szóban.

    1235. szám (keresse meg a kifejezés jelentését) - írásban.

    No. 1238 (egyszerűsítse a kifejezéseket) - párban dolgozzon.

    IV. Összegezve a tanulságot.

    1. Pontszámot hirdetnek.

    2. Ház. gyakorlat. 39 No. 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.

    3. Mit tanultunk ma?

    Mit tanultál?

    És szeretném befejezni a leckét mindannyiótoknak szóló kívánságokkal:

    „Mutasd meg a matematikai képességedet,
    Ne légy lusta, hanem fejlődj naponta.
    Szorozz, oszd, dolgozz, gondolkodj,
    Ne felejtsd el barátkozni a matematikával.

    A zárójelek fő funkciója a műveletek sorrendjének megváltoztatása az értékek kiszámításakor. például, a \(5 3+7\) numerikus kifejezésben először a szorzás kerül kiszámításra, majd az összeadás: \(5 3+7 =15+7=22\). De az \(5·(3+7)\ kifejezésben először a zárójelben lévő összeadás kerül kiszámításra, és csak azután a szorzás: \(5·(3+7)=5·10=50\).


    Példa. Bontsa ki a zárójelet: \(-(4m+3)\).
    Döntés : \(-(4m+3)=-4m-3\).

    Példa. Bontsa ki a zárójelet, és adjon hozzá hasonló kifejezéseket \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
    Döntés : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).


    Példa. Bontsa ki a zárójeleket \(5(3-x)\).
    Döntés : \(3\) és \(-x\) van a zárójelben, és öt a zárójelben. Ez azt jelenti, hogy a zárójel minden tagja megszorozva \ (5 \) -el – emlékeztetem Önt, hogy a szám és a zárójel közötti szorzójelet a matematikában nem azért írják, hogy csökkentsék a rekordok méretét.


    Példa. Bontsa ki a zárójeleket \(-2(-3x+5)\).
    Döntés : Az előző példához hasonlóan a zárójelben szereplő \(-3x\) és \(5\) \(-2\) szorzata megtörténik.

    Példa. Egyszerűsítse a kifejezést: \(5(x+y)-2(x-y)\).
    Döntés : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).


    Már csak az utolsó helyzetet kell figyelembe venni.

    Ha a zárójelet zárójellel szorozzuk, az első zárójel minden tagját megszorozzuk a második minden tagjával:

    \((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

    Példa. Bontsa ki a zárójeleket \((2-x)(3x-1)\).
    Döntés : Van egy zárójeles termékünk, amely a fenti képlet segítségével azonnal kinyitható. De hogy ne keveredjünk össze, tegyünk mindent lépésről lépésre.
    1. lépés: Távolítsa el az első tartót – minden egyes tagját megszorozzuk a második konzollal:

    2. lépés: Bontsa ki a zárójel szorzatait a fent leírt tényezővel:
    - az elsőt először...

    Aztán a második.

    3. lépés. Most megszorozzuk, és hasonló kifejezéseket adunk:

    Nem szükséges az összes transzformációt részletesen lefesteni, azonnal szaporodhat. De ha csak a zárójelek megnyitását tanulja - írjon részletesen, kisebb lesz a hiba esélye.

    Megjegyzés a teljes szakaszhoz. Valójában nem kell emlékeznie mind a négy szabályra, csak egyet kell megjegyeznie, ezt: \(c(a-b)=ca-cb\) . Miért? Mert ha c helyett egyet helyettesítünk, akkor a \((a-b)=a-b\) szabályt kapjuk. Ha pedig mínusz egyet helyettesítünk, akkor a \(-(a-b)=-a+b\) szabályt kapjuk. Nos, ha a c helyett egy másik zárójelet helyettesít, megkaphatja az utolsó szabályt.

    zárójel a zárójelben

    A gyakorlatban néha problémák adódnak a más zárójelekbe ágyazott zárójelekkel. Íme egy példa egy ilyen feladatra: a \(7x+2(5-(3x+y))\ kifejezés egyszerűsítése.

    Ahhoz, hogy sikeres legyen ezekben a feladatokban, a következőkre van szüksége:
    - alaposan megértse a zárójelek egymásba ágyazását - melyik melyikben van;
    - Nyissa ki a zárójeleket egymás után, kezdve például a legbelsővel.

    Ez fontos az egyik tartó kinyitásakor ne érintse meg a kifejezés többi részét, csak úgy átírva, ahogy van.
    Vegyük példának a fenti feladatot.

    Példa. Nyissa ki a zárójeleket, és adja meg a hasonló kifejezéseket \(7x+2(5-(3x+y))\).
    Döntés:


    Példa. Bontsa ki a zárójeleket, és adjon hozzá hasonló kifejezéseket \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
    Döntés :

    \(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)

    Ez a zárójelek háromszoros egymásba ágyazása. Kezdjük a legbelsővel (zölddel kiemelve). A zárójel előtt van egy plusz, ezért egyszerűen eltávolítják.

    \(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)

    Most meg kell nyitnia a második, köztes zárójelet. De előtte leegyszerűsítjük a kifejezést úgy, hogy ebbe a második zárójelbe helyezzük a hasonló kifejezéseket.

    \(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)

    Most kinyitjuk a második zárójelet (kék színnel kiemelve). A zárójel előtt van egy szorzó - így minden zárójelben lévő tag megszorozódik vele.

    \(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)

    És nyissa ki az utolsó zárójelet. A zárójel előtt mínusz - tehát minden előjel megfordul.

    A zárójel megnyitása alapvető készség a matematikában. E készség nélkül lehetetlen három feletti osztályzatot elérni a 8. és a 9. évfolyamon. Ezért javaslom a téma alapos megértését.

    Ebben a cikkben részletesen megvizsgáljuk a matematika tanfolyam olyan fontos témájának alapvető szabályait, mint a nyitó zárójelek. Ismernie kell a zárójelek megnyitásának szabályait, hogy helyesen megoldhassa azokat az egyenleteket, amelyekben ezeket használják.

    Hogyan kell megfelelően kinyitni a zárójeleket hozzáadáskor

    Bontsa ki a „+” jel előtti zárójeleket

    Ez a legegyszerűbb eset, mert ha a zárójelek előtt van egy kiegészítés, akkor a zárójelek kinyitásakor a bennük lévő jelek nem változnak. Példa:

    (9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

    A „-” jel előtti zárójelek megnyitása

    Ebben az esetben át kell írnia az összes kifejezést zárójelek nélkül, ugyanakkor módosítania kell a bennük lévő összes jelet az ellenkezőjére. A jelek csak azon zárójelben szereplő kifejezéseknél változnak, amelyeket a „-” jel előzött meg. Példa:

    (9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

    Hogyan lehet a zárójeleket kinyitni szorzáskor

    A zárójelek előtt egy szorzó szerepel

    Ebben az esetben minden tagot meg kell szorozni egy tényezővel, és meg kell nyitnia a zárójeleket az előjelek megváltoztatása nélkül. Ha a szorzó "-" jelű, akkor szorzáskor a tagok előjelei felcserélődnek. Példa:

    3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

    Hogyan lehet megnyitni két zárójelet, amelyek között szorzójel van

    Ebben az esetben minden egyes tagot meg kell szoroznia az első zárójelből a második zárójelben lévő minden taggal, majd össze kell adnia az eredményeket. Példa:

    (9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

    Hogyan lehet zárójeleket nyitni egy négyzetben

    Ha két tag összege vagy különbsége négyzetes, akkor a zárójeleket a következő képlet szerint kell bővíteni:

    (x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

    A zárójelben lévő mínusz esetén a képlet nem változik. Példa:

    (9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

    Hogyan lehet a zárójeleket más mértékben nyitni

    Ha a tagok összegét vagy különbségét például a 3. vagy 4. hatványra emeljük, akkor csak a zárójel fokát kell „négyzetekre” bontani. Ugyanezen tényezők hatványait összeadjuk, és osztásakor az osztó mértékét kivonjuk az osztó mértékéből. Példa:

    (9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

    Hogyan lehet kinyitni 3 zárójelet

    Vannak olyan egyenletek, amelyekben 3 zárójelet egyszerre megszoroznak. Ebben az esetben először meg kell szoroznia az első két zárójel tagjait egymás között, majd a szorzás összegét meg kell szoroznia a harmadik zárójelben szereplő tagokkal. Példa:

    (1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

    Ezek a zárójel-nyitó szabályok egyformán vonatkoznak a lineáris és a trigonometrikus egyenletekre is.

    A zárójel-kiterjesztés a kifejezéstranszformáció egy fajtája. Ebben a részben leírjuk a zárójelek bővítésének szabályait, valamint megfontoljuk a feladatok leggyakoribb példáit.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Mi a zárójel kiterjesztése?

    A zárójelek jelzik a műveletek végrehajtásának sorrendjét a numerikus és alfabetikus kifejezésekben, valamint a változókat tartalmazó kifejezésekben. Kényelmes áttérni a zárójeles kifejezésről egy azonos, zárójel nélküli kifejezésre. Például cserélje ki a 2 (3 + 4) kifejezést egy hasonló kifejezésre 2 3 + 2 4 zárójelek nélkül. Ezt a technikát zárójel-nyitónak nevezik.

    1. definíció

    A zárójelek megnyitása alatt a zárójelektől való megszabadulás módszereit értjük, és általában olyan kifejezésekkel kapcsolatban vesszük figyelembe, amelyek tartalmazhatnak:

    • "+" vagy "-" jelek a zárójelek előtt, amelyek összegeket vagy különbségeket tartalmaznak;
    • egy szám, betű vagy több betű és az összeg vagy különbség szorzata, amely zárójelben van.

    Így szoktuk felfogni a zárójelek bővítésének folyamatát a kurzusban iskolai tananyag. Azt azonban senki sem akadályozza meg, hogy ezt az akciót tágabban nézzük. Zárójel-kiterjesztésnek nevezhetjük azt az átmenetet, amikor a negatív számokat zárójelben tartalmazó kifejezésről egy olyan kifejezésre, amely nem tartalmaz zárójelet, átmenetet jelent. Például 5 + (− 3) − (− 7) értékről 5 − 3 + 7-re léphetünk. Valójában ez is zárójel-kiterjesztés.

    Ugyanígy helyettesíthetjük az (a + b) · (c + d) alakú kifejezések zárójelben lévő szorzatát a · c + a · d + b · c + b · d összeggel. Ez a technika sem mond ellent a zárójelek kiterjesztésének.

    Íme egy másik példa. Feltételezhetjük, hogy a kifejezésekben számok és változók helyett bármilyen kifejezés használható. Például az x 2 1 a - x + sin (b) kifejezés egy x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) alakú zárójelek nélküli kifejezésnek felel meg.

    Külön figyelmet érdemel még egy pont, amely a zárójelek nyitásakor alkalmazott írási megoldások sajátosságait érinti. A kezdeti kifejezést zárójelekkel írhatjuk, a zárójelek kinyitása után kapott eredményt pedig egyenlőségnek. Például a zárójelek megnyitása után a kifejezés helyett 3 − (5 − 7) megkapjuk a kifejezést 3 − 5 + 7 . Mindkét kifejezést felírhatjuk a 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 egyenlőségként.

    A nehézkes kifejezésekkel végzett műveletek közbenső eredmények rögzítését igényelhetik. Ekkor a megoldás egyenlőségek lánca lesz. Például, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 vagy 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

    A zárójelek nyitásának szabályai, példák

    Kezdjük a zárójelek nyitásának szabályaival.

    Egyes számok zárójelben

    A zárójelben lévő negatív számok gyakran megjelennek a kifejezésekben. Például (− 4) és 3 + (− 4) . A zárójelben lévő pozitív számok is előfordulnak.

    Fogalmazzuk meg az egyetlen pozitív számot tartalmazó zárójelek nyitásának szabályát. Tegyük fel, hogy a bármely pozitív szám. Ekkor helyettesíthetjük (a)-t a-val, + (a)-t + a-val, - (a)-t - a-val. Ha a helyett egy adott számot veszünk, akkor a szabály szerint: az (5) számot így írjuk 5 , a zárójelek nélküli 3 + (5) kifejezés a következő alakot veszi fel 3 + 5 , mivel a + (5) helyett a + 5 , és a 3 + (− 5) kifejezés ekvivalens a kifejezéssel 3 − 5 , mint + (− 5) helyettesíti − 5 .

    A pozitív számokat általában zárójelek használata nélkül írjuk, mivel a zárójelek ebben az esetben feleslegesek.

    Most nézzük meg az egyetlen negatív számot tartalmazó zárójelek nyitásának szabályát. + (-a)-re cseréljük − a, − (− a) helyébe + a . Ha a kifejezés negatív számmal kezdődik (-a), ami zárójelben van írva, akkor a zárójelek kimaradnak és helyette (-a) maradványok − a.

    Íme néhány példa: (− 5) felírható így: − 5 , (− 3) + 0 , 5-ből − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) lesz 4 − 3 , és − (− 4) − (− 3) a zárójelek a 4 + 3 alakot veszik fel, mivel − (− 4) és − (− 3) helyébe + 4 és + 3 lép.

    Meg kell érteni, hogy a 3 · (− 5) kifejezés nem írható fel 3 · − 5-ként. Erről a következő bekezdésekben lesz szó.

    Lássuk, mire épülnek a zárójel-bővítési szabályok.

    A szabály szerint az a − b különbség egyenlő a + (− b) -vel. A számokkal végzett cselekvések tulajdonságai alapján egyenlőségláncot készíthetünk (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a ami igazságos lesz. Ez az egyenlőséglánc a kivonás jelentése alapján bizonyítja, hogy az a + (− b) kifejezés a különbség a-b.

    Az ellentétes számok tulajdonságai és a negatív számok kivonási szabályai alapján kijelenthetjük, hogy − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

    Vannak olyan kifejezések, amelyek számokból, mínuszjelekből és több zárójelpárból állnak. A fenti szabályok használatával szekvenciálisan megszabadulhat a zárójelektől, a belső zárójelekről a külsőkre vagy fordítva. Ilyen kifejezés például a − (− ((− (5)))) . Nyissuk ki a zárójeleket, belülről kifelé haladva: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Ez a példa fordítva is értelmezhető: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

    Alatt a a b pedig nem csak számként érthető, hanem tetszőleges numerikus ill szó szerinti kifejezések"+" jellel előtte, amelyek nem összegek vagy különbségek. Ezekben az esetekben ugyanúgy alkalmazhatja a szabályokat, mint a zárójelben lévő egyes számok esetében.

    Például a zárójelek kinyitása után a kifejezés − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z formát veszi fel. Hogyan csináltuk? Tudjuk, hogy − (− 2 x) + 2 x , és mivel ez a kifejezés az első, akkor a + 2 x felírható 2 x-ként, - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x és − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

    Két szám szorzatában

    Kezdjük a zárójelek kiterjesztésének szabályával két szám szorzatában.

    Tegyünk úgy, mintha aés b két pozitív szám. Ebben az esetben két negatív szám szorzata − aés − a (− a) (− b) alakú b) helyettesíthető (a b) , két ellentétes előjelű szám szorzata pedig (− a) b és a (− b) alakkal helyettesíthető (- a b). A mínusz és a mínusz szorzása pluszt ad, a mínusz plusz szorzása pedig, mint a plusz mínuszos szorzata, mínuszt ad.

    Az írott szabály első részének helyességét a negatív számok szorzásának szabálya igazolja. A szabály második részének megerősítésére használhatjuk a számok -val való szorzásának szabályait különböző jelek.

    Nézzünk néhány példát.

    1. példa

    Tekintsük a zárójelek nyitásának algoritmusát két negatív szám - 4 3 5 és - 2 szorzatában, amelyek (- 2) · - 4 3 5 alakúak. Ehhez az eredeti kifejezést 2 · 4 3 5-re cseréljük. Bontsuk ki a zárójeleket, és kapjuk meg a 2 · 4 3 5 értéket.

    És ha a negatív számok (− 4) hányadosát vesszük: (− 2) , akkor a rekord a zárójelek kinyitása után 4: 2

    Negatív számok helyett − aés − b tetszőleges olyan mínuszjellel rendelkező kifejezés lehet, amely nem összeg vagy különbség. Ezek lehetnek például szorzatok, részlegesek, törtek, fokok, gyökök, logaritmusok, trigonometrikus függvények stb.

    Nyissuk meg a zárójeleket a - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) kifejezésben. A szabály szerint a következő transzformációkat hajthatjuk végre: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

    Kifejezés (– 3) 2átváltható a (− 3 2) kifejezésre. Ezt követően kinyithatja a zárójeleket: − 3 2.

    2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

    A különböző előjelű számok felosztása a zárójelek előzetes bővítését is igényelheti: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 és 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

    A szabály segítségével különböző előjelű kifejezések szorzása és osztása hajtható végre. Mondjunk két példát.

    1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

    sin (x) (- x 2) \u003d (- sin (x) x 2) \u003d - sin (x) x 2

    Három vagy több szám szorzatában

    Térjünk át a szorzatra és a hányadosokra, amelyek tartalmazzák nagy mennyiség számok. A zárójelek bővítéséhez itt fog működni következő szabály. Nál nél páros szám negatív számok esetén elhagyhatja a zárójeleket, és a számokat az ellentétekkel helyettesítheti. Ezt követően az eredményül kapott kifejezést új zárójelek közé kell tenni. Páratlan számú negatív szám esetén a zárójeleket kihagyva cserélje ki a számokat ellentétére. Ezután az eredményül kapott kifejezést új zárójelbe kell venni, és mínusz jelet kell tenni elé.

    2. példa

    Vegyük például az 5 · (− 3) · (− 2) kifejezést, amely három szám szorzata. Két negatív szám van, így a kifejezést így írhatjuk fel (5 3 2), majd végül nyissa ki a zárójeleket, így megkapja az 5 3 2 kifejezést.

    A (− 2 , 5) (− 3) szorzatban: (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) öt szám negatív. tehát (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1, 25: 1) . Végül kinyitjuk a zárójeleket, megkapjuk −2,5 3:2 4:1,25:1.

    A fenti szabály a következőképpen igazolható. Először is átírhatjuk az ilyen kifejezéseket szorzatként, az osztást a reciprok szorzásával helyettesítve. Minden negatív számot egy szorzó szorzataként ábrázolunk, és az -1-et vagy -1-et helyettesítjük ezzel (− 1) a.

    A szorzás kommutatív tulajdonságát felhasználva felcseréljük a tényezőket, és minden faktorral egyenlő faktort átadunk − 1 , a kifejezés elejére. A páros szám mínusz egyesek szorzata 1, a páratlan szám pedig egyenlő − 1 , amely lehetővé teszi a mínuszjel használatát.

    Ha nem használnánk a szabályt, akkor a - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 kifejezésben a zárójelek nyitására szolgáló műveletek lánca így nézne ki:

    2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

    A fenti szabály akkor használható, ha kibontja a zárójeleket olyan kifejezésekben, amelyek olyan szorzatok és mínuszjelű hányadosok, amelyek nem összegek vagy különbségek. Vegyük például a kifejezést

    x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .

    Leredukálható zárójel nélküli kifejezésre x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

    Nyitó zárójelek előtt + jel

    Tekintsünk egy szabályt, amely alkalmazható olyan zárójelek kibontására, amelyeket pluszjel előz meg, és ezeknek a zárójeleknek a "tartalmát" nem szorozzák vagy osztják semmilyen számmal vagy kifejezéssel.

    A szabály szerint a zárójelek az előttük lévő jellel együtt kimaradnak, míg a zárójelben lévő összes kifejezés előjele megmarad. Ha nincs jel az első kifejezés előtt zárójelben, akkor pluszjelet kell tenni.

    3. példa

    Például megadjuk a kifejezést (12 − 3 , 5) − 7 . A zárójelek elhagyásával a kifejezések jeleit a zárójelben tartjuk, és az első tag elé pluszjelet teszünk. A bejegyzés így fog kinézni: (12 - 3 , 5) - 7 = + 12 - 3 , 5 - 7 . A fenti példában nem szükséges jelet tenni az első tag elé, mivel + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

    4. példa

    Nézzünk még egy példát. Vegyük az x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x kifejezést, és hajtsanak végre műveleteket vele x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

    Íme egy másik példa a zárójelek kiterjesztésére:

    5. példa

    2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

    A mínuszjel előtti zárójelek kiterjesztése

    Tekintsük azokat az eseteket, amikor a mínusz jel van a zárójelek előtt, és amelyeket nem szorozunk (vagy osztunk) semmilyen számmal vagy kifejezéssel. A „-” jel előtti zárójelek nyitására vonatkozó szabály szerint a „-” jelű zárójelek kimaradnak, míg a zárójelben lévő összes kifejezés előjele megfordul.

    6. példa

    Például:

    1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

    A változókifejezések ugyanazzal a szabállyal konvertálhatók:

    X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

    x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 -t kapunk.

    Zárójelek nyitása szám zárójellel, kifejezések zárójellel való szorzásakor

    Itt megvizsgáljuk azokat az eseteket, amikor szükség van bármilyen számmal vagy kifejezéssel szorzott vagy elosztott zárójelek megnyitására. Itt az (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) formájú képletek ill. b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), ahol a 1 , a 2 , … , a nés b néhány szám vagy kifejezés.

    7. példa

    Például bontsa ki a zárójeleket a kifejezésben (3–7) 2. A szabály szerint a következő transzformációkat hajthatjuk végre: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . 3 · 2 − 7 · 2-t kapunk.

    A 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 kifejezésben a zárójeleket kibontva 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2-t kapunk.

    Szorozza meg a zárójelet egy zárójellel

    Tekintsük az (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) alakú két zárójel szorzatát. Ez segít abban, hogy szabályt kapjunk a zárójelek kiterjesztésére, amikor a zárójelet zárójellel szorozzuk.

    A fenti példa megoldásához a kifejezést jelöljük (b 1 + b 2) mint b. Ez lehetővé teszi számunkra a zárójel-kifejezés szorzási szabály használatát. Azt kapjuk, hogy (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b. Fordított helyettesítéssel b(b 1 + b 2) ismét alkalmazza a kifejezés zárójellel való szorzásának szabályát: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

    Számos egyszerű trükknek köszönhetően eljuthatunk az első zárójelből származó egyes kifejezések és a második zárójelből származó kifejezések szorzatainak összegéhez. A szabály tetszőleges számú zárójelben lévő kifejezésre kiterjeszthető.

    Fogalmazzuk meg a zárójelek zárójeles szorzásának szabályait: ahhoz, hogy két összeget megszorozhassunk egymás között, az első összeg minden tagját meg kell szorozni a második összeg minden tagjával, és össze kell adni az eredményeket.

    A képlet így fog kinézni:

    (a 1 + a 2 + . . . . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

    Bontsuk ki a zárójeleket az (1 + x) · (x 2 + x + 6) kifejezésben. Két összeg szorzata. Írjuk fel a megoldást: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

    Külön érdemes foglalkozni azokkal az esetekkel, amikor a pluszjelek mellett mínusz jel is van zárójelben. Vegyük például az (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) kifejezést.

    Először a zárójelben lévő kifejezéseket összegként ábrázoljuk: (1 + (- x)) (3 x y + (- 2 x y 3)). Most alkalmazhatjuk a szabályt: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

    Bontsuk ki a zárójeleket: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

    A zárójelek kiterjesztése több zárójelben és kifejezésben

    Ha három vagy több kifejezés van zárójelben a kifejezésben, akkor a zárójeleket egymás után ki kell bontani. Az átalakítást azzal kell kezdeni, hogy az első két tényezőt zárójelben vesszük. Ezeken a zárójeleken belül transzformációkat hajthatunk végre a fent tárgyalt szabályok szerint. Például a (2 + 4) 3 (5 + 7 8) kifejezés zárójelei.

    A kifejezés három tényezőt tartalmaz egyszerre (2 + 4) , 3 és (5 + 7 8) . A zárójeleket egymás után bővítjük. Az első két tényezőt még egy zárójelben tesszük, amit pirosra teszünk az érthetőség kedvéért: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

    A zárójelek számmal való szorzásának szabálya szerint a következő műveleteket hajthatjuk végre: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

    Zárójeles zárójeles szorzás: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8.

    Zárójel természetbeni

    A fokok, amelyek alapja néhány zárójelben lévő kifejezés, természetes kitevővel több zárójel szorzatának tekinthető. Ráadásul az előző két bekezdés szabályai szerint ezek a zárójelek nélkül is írhatók.

    Tekintsük a kifejezés átalakításának folyamatát (a + b + c) 2. Két zárójel szorzataként írható fel (a + b + c) (a + b + c). A zárójelet zárójelenként megszorozzuk, és a a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c -t kapjuk.

    Vegyünk egy másik példát:

    8. példa

    1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

    Zárójel elosztása számmal és zárójel zárójellel

    Ha egy zárójelet elosztunk egy számmal, akkor az összes zárójelben lévő kifejezést el kell osztani a számmal. Például (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

    Az osztás korábban helyettesíthető szorzással, amely után használhatja megfelelő szabály nyitó zárójelek egy műben. Ugyanez a szabály érvényes a zárójel zárójellel való osztásakor is.

    Például meg kell nyitnunk a zárójeleket az (x + 2) kifejezésben: 2 3 . Ehhez először cserélje ki az osztást úgy, hogy megszorozza az (x + 2) reciprokával: 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Szorozd meg a zárójelet a számmal (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

    Íme egy másik példa a zárójeles felosztásra:

    9. példa

    1 x + x + 1: (x + 2) .

    Helyettesítsük az osztást szorzással: 1 x + x + 1 1 x + 2 .

    Végezzük el a szorzást: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

    Konzol bővítési rendelés

    Most vegyük figyelembe a fentebb tárgyalt szabályok alkalmazási sorrendjét a kifejezésekben Általános nézet, azaz olyan kifejezésekben, amelyek különbözõ összegeket, hányadosokat tartalmazó szorzatokat, természetbeni zárójelet tartalmaznak.

    A műveletek sorrendje:

    • az első lépés a zárójel természetes hatványra emelése;
    • a második szakaszban zárójeleket nyitnak a munkákban és a magánéletben;
    • az utolsó lépés a zárójelek megnyitása az összegekben és a különbségekben.

    Tekintsük a műveletek sorrendjét a (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) kifejezés példáján keresztül. Alakítsuk át a 3 (− 2) : (− 4) és 6 (− 7) kifejezésekből, amelyeknek a következő alakot kell felvenniük (3 2:4)és (− 6 7) . A kapott eredményeket behelyettesítve az eredeti kifejezésbe, a következőket kapjuk: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7) ). Bontsa ki a zárójeleket: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .

    Amikor olyan kifejezésekkel foglalkozunk, amelyek zárójelben zárójelet tartalmaznak, kényelmes a belülről kifelé történő átalakítások végrehajtása.

    Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

    Azt is ajánljuk

    Betöltés...Betöltés...