Folyamatosan rájuk hajolva. Tipikus anyagok szilárdsági problémák megoldása

A hajlítás olyan alakváltozás, amelyben a gerenda hossztengelye meg van hajlítva. A hajlításon dolgozó egyenes gerendákat gerendáknak nevezzük. Az egyenes hajlítás olyan kanyar, amelyben a gerendára ható külső erők a gerenda hossztengelyén és a keresztmetszet fő központi tehetetlenségi tengelyén átmenő ugyanabban a síkban (erősíkban) fekszenek.

A hajlítást tisztanak nevezik, ha a gerenda bármely keresztmetszetében csak egy hajlítónyomaték lép fel.

A hajlítást, amelyben egy hajlítónyomaték és egy keresztirányú erő egyszerre hat a gerenda keresztmetszetében, keresztirányúnak nevezzük. Az erősík és a keresztmetszeti sík metszésvonalát erővonalnak nevezzük.

Belső erőtényezők a gerenda hajlításában.

Lapos keresztirányú hajlításnál a gerendaszakaszokban két belső erőtényező keletkezik: a Q keresztirányú erő és az M hajlítónyomaték. Ezek meghatározására a metszetmódszert alkalmazzuk (lásd 1. előadás). A Q keresztirányú erő a gerenda metszetében megegyezik a vizsgált szakasz egyik oldalán ható összes külső erő metszetsíkra való vetületeinek algebrai összegével.

Q nyíróerők előírása:

Az M hajlítónyomaték a gerenda szakaszban egyenlő a vizsgált szakasz egyik oldalán ható összes külső erő e szakasz súlypontja körüli nyomatékok algebrai összegével.

Előírási szabály az M hajlítónyomatékokhoz:

Zsuravszkij differenciális függőségei.

Az elosztott terhelés q intenzitása, a Q keresztirányú erő és az M hajlítónyomaték kifejezései között differenciális függőségeket állapítunk meg:

Ezen függőségek alapján a Q keresztirányú erők és az M hajlítónyomatékok diagramjainak alábbi általános mintái különböztethetők meg:

A belső erőtényezők diagramjainak sajátosságai hajlításban.

1. A gerenda azon szakaszán, ahol nincs megosztott terhelés, a Q diagramot mutatjuk be egyenes , párhuzamos a diagram alapjával, és az M diagram egy ferde egyenes (a ábra).

2. Abban a szakaszban, ahol a koncentrált erő érvényesül, a Q diagramon ott kell lennie ugrás , egyenlő ennek az erőnek az értékével, és a diagramon M - töréspontot (a ábra).

3. Abban a szakaszban, ahol koncentrált nyomatékot alkalmazunk, Q értéke nem változik, és az M diagramnak igen ugrás , egyenlő ennek a nyomatéknak az értékével, (26. ábra, b).

4. A gerenda q intenzitású megosztott terhelésű szakaszában a Q diagram lineáris, az M diagram pedig parabola szerint változik, ill. a parabola konvexitása az elosztott terhelés iránya felé irányul (c, d ábra).

5. Ha a diagram karakterisztikus szakaszán Q metszi a diagram alapját, akkor abban a szakaszban, ahol Q = 0, a hajlítónyomaték szélsőértéke M max vagy M min (d. ábra).

Normál hajlítófeszültségek.

A képlet határozza meg:

A szakasz hajlítással szembeni ellenállása a következő érték:

Veszélyes szakasz hajlításkor a gerenda keresztmetszetét nevezzük, amelyben a maximális normálfeszültség lép fel.

Tangenciális feszültségek közvetlen hajlításban.

Határozza meg Zsuravszkij képlete nyírófeszültségek esetén közvetlen gerendahajlításnál:

ahol S ots - a hosszirányú szálak levágási rétegének keresztirányú területének statikus nyomatéka a semleges vonalhoz képest.

Hajlítószilárdsági számítások.

1. Nál nél ellenőrző számítás meghatározzák a maximális tervezési feszültséget, amelyet összehasonlítanak a megengedett feszültséggel:

2. Nál nél tervezési számítás a gerenda szakasz kiválasztása a következő feltételek alapján történik:

3. A megengedett terhelés meghatározásakor a megengedett hajlítónyomatékot a következő feltételből határozzuk meg:

Hajlító mozgások.

Hajlító terhelés hatására a gerenda tengelye meghajlik. Ebben az esetben a szálak nyújtása a domború és a tömörítés - a gerenda homorú részein történik. Ezenkívül a keresztmetszetek súlypontjainak függőleges elmozdulása és a semleges tengelyhez viszonyított forgása van. A hajlítás során bekövetkező deformáció jellemzésére a következő fogalmakat használjuk:

A nyaláb eltérítése Y- a gerenda keresztmetszetének súlypontjának elmozdulása a tengelyére merőleges irányban.

Az elhajlás akkor tekinthető pozitívnak, ha a súlypont felfelé mozog. Az elhajlás mértéke a gerenda hossza mentén változik, azaz. y=y(z)

Metszet elforgatási szöge- az a θ szög, amellyel az egyes szakaszok el vannak forgatva az eredeti helyzetükhöz képest. A forgásszöget akkor tekintjük pozitívnak, ha a szakaszt az óramutató járásával ellentétes irányba forgatjuk. A forgásszög értéke a nyaláb hossza mentén változik, θ = θ (z) függvénye.

Az elmozdulások meghatározásának legáltalánosabb módja a módszer moraés Verescsagin szabálya.

Mohr módszer.

Az elmozdulások meghatározásának eljárása a Mohr-módszer szerint:

1. Egy "segédrendszert" építenek és egyetlen teherrel terhelnek azon a ponton, ahol az elmozdulást meg kell határozni. Ha lineáris elmozdulást határozunk meg, akkor annak irányában egységnyi erőt, a szögelmozdulások meghatározásakor egységnyi nyomatékot alkalmazunk.

2. A rendszer minden szakaszára rögzítik az alkalmazott terhelésből származó M f és egyetlen terhelés M 1 - hajlítónyomatékának kifejezését.

3. A Mohr-integrálok kiszámítása és összegzése a rendszer minden szakaszán történik, ami a kívánt elmozdulást eredményezi:

4. Ha a számított elmozdulás pozitív előjelű, ez azt jelenti, hogy iránya egybeesik az egységnyi erő irányával. A negatív előjel azt jelzi, hogy a tényleges elmozdulás ellentétes az egységnyi erő irányával.

Verescsagin szabálya.

Abban az esetben, ha egy adott terhelés hajlítási nyomatékainak diagramja tetszőleges, egyetlen terhelésből pedig egyenes vonalú körvonalú, célszerű a grafikus-analitikai módszert vagy a Vereschagin-szabályt használni.

ahol A f az adott terhelésből származó M f hajlítónyomaték diagramjának területe; y c a diagram ordinátája egyetlen terhelésből az M f diagram súlypontja alatt; EI x - a gerenda szakasz szelvénymerevsége. Az e képlet szerinti számításokat szakaszokban végezzük, amelyek mindegyikén az egyenes diagramnak törésmentesnek kell lennie. Az (A f *y c) értéket pozitívnak tekintjük, ha mindkét diagram a gerenda ugyanazon oldalán helyezkedik el, negatívnak, ha ellentétes oldalon található. A diagramok szorzásának pozitív eredménye azt jelenti, hogy a mozgás iránya egybeesik egy egységnyi erő (vagy nyomaték) irányával. Egy összetett M f diagramot egyszerű ábrákra kell osztani (az úgynevezett "epure rétegezést" használják), amelyek mindegyikéhez könnyen meghatározható a súlypont ordinátája. Ebben az esetben az egyes alakzatok területét megszorozzuk a súlypontja alatti ordinátával.

hajlít a rúd deformációjának nevezik, amelyet tengelye görbületének megváltozása kísér. Az elhajló rudat ún gerenda.

A terhelés alkalmazásának és a rúd rögzítésének módjaitól függően különféle hajlítások fordulhatnak elő.

Ha a rúd keresztmetszetében terhelés hatására csak hajlítónyomaték keletkezik, akkor a hajlítást ún. tiszta.

Ha a keresztmetszetekben a hajlítónyomatékokkal együtt keresztirányú erők is fellépnek, akkor a hajlítást ún. átlós.

Ha a külső erők a rúd keresztmetszetének egyik központi központi tengelyén átmenő síkban fekszenek, akkor a hajlítást ún. egyszerű vagy lakás. Ebben az esetben a terhelés és a deformálható tengely egy síkban van (1. ábra).

Rizs. egy

Ahhoz, hogy a gerenda síkban felvegye a terhelést, támasztékok segítségével kell rögzíteni: csuklósan mozgatható, csuklósan rögzíthető, beágyazható.

A gerendának geometriailag változatlannak kell lennie, míg a legkevesebb csatlakozási szám 3. Egy geometriailag változó rendszer példája a 2a. ábrán látható. A geometriailag változatlan rendszerek példája az 1. ábra. 2b, c.

a B C)

A hordozókban reakciók lépnek fel, amelyeket a statika egyensúlyi feltételei határoznak meg. A tartókban a reakciók külső terhelések.

Belső hajlító erők

A gerenda hossztengelyére merőleges erőkkel terhelt rúd lapos elhajlást szenved (3. ábra). A keresztmetszetekben két belső erő hat: a nyíróerő Q yés hajlítónyomaték Mz.

A belső erőket szakaszos módszerrel határozzuk meg. Távolról x pontból DE az X tengelyre merőleges síkkal a rudat két részre vágjuk. A gerenda egyik részét eldobják. A gerendarészek kölcsönhatását belső erők váltják fel: hajlítónyomaték Mzés keresztirányú erő Q y(4. ábra).

Hazai erőfeszítések Mzés Q y keresztmetszetébe az egyensúlyi feltételek alapján határozzuk meg.

Az alkatrészre egyensúlyi egyenletet készítünk TÓL TŐL:

∑y = RA - P 1 - Q y \u003d 0.

Akkor Q y = R A – P1.

Következtetés. A keresztirányú erő a gerenda bármely szakaszában egyenlő a megrajzolt szakasz egyik oldalán fellépő összes külső erő algebrai összegével. A keresztirányú erő akkor tekinthető pozitívnak, ha az óramutató járásával megegyező irányba forgatja a rudat a metszéspont körül.

∑M 0 = R A ∙ x – P 1 ∙ (x - a) – Mz = 0

Akkor Mz = R A ∙ x – P 1 ∙ (x – a)

1. A reakciók meghatározása R A , R B ;

∑M A = P ∙ a – R B ∙ l = 0

R B =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Ábrázolás az első szakaszon 0 ≤ x 1 ≤ a

Q y = R A =; M z \u003d R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Ábrázolás a második szakaszon 0 ≤ x 2 ≤ b

Q y = - R B = - ; Mz = R B ∙ x 2 ; x 2 = 0 Mz(0) = 0 x 2 = bMz(b) =

Építéskor Mz pozitív koordináták lesznek ábrázolva a kifeszített szálak felé.

Telek ellenőrzése

1. A telken Q y folytonossági zavarok csak olyan helyeken lehetnek, ahol külső erők fejtik ki hatásukat, és az ugrás nagyságának meg kell egyeznie a nagyságukkal.

+ = = P

2. A telken Mz a koncentrált momentumok alkalmazási pontjain szakadások keletkeznek, és az ugrás nagysága megegyezik azok nagyságával.

közötti különbségekM, Késq

A hajlítónyomaték, a keresztirányú erő és az elosztott terhelés intenzitása között a következő függőségek állapíthatók meg:

q = , Q y =

ahol q az elosztott terhelés intenzitása,

A gerendák szilárdságának ellenőrzése hajlításkor

A rúd hajlítási szilárdságának felméréséhez és a gerenda szakasz kiválasztásához a normál feszültségekre vonatkozó szilárdsági feltételeket használják.

A hajlítónyomaték a szakaszon eloszló normál belső erők eredő nyomatéka.

s = × y,

ahol s a normál feszültség a keresztmetszet bármely pontjában,

y a szakasz súlypontja és a pont közötti távolság,

Mz- a szakaszon ható hajlítónyomaték,

Jz a rúd tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka.

A szilárdság biztosítása érdekében a maximális feszültségek kiszámítása a metszet azon pontjain történik, amelyek a legtávolabb vannak a súlyponttól y = ymax

s max = × ymax,

= Wzés s max = .

Ekkor a normál feszültségek szilárdsági feltétele a következő:

s max = ≤ [s],

ahol [s] a megengedett húzófeszültség.

egyenes kanyar- ez egy olyan alakváltozás, amelyben két belső erőtényező lép fel a rúd keresztmetszetein: egy hajlítónyomaték és egy keresztirányú erő.

Tiszta kanyar- ez a direkt hajlítás speciális esete, amikor a rúd keresztmetszetein csak hajlítónyomaték lép fel, a keresztirányú erő pedig nulla.

Pure Bend Példa – Telek CD a rúdon AB. Hajlító nyomaték az érték Pa hajlítást okozó külső erőpár. A rúdnak a keresztmetszettől balra eső részének egyensúlyából mn ebből következik, hogy az ezen a szakaszon elosztott belső erők statikailag egyenértékűek a nyomatékkal M, egyenlő és ellentétes a hajlítónyomatékkal Pa.

Ezeknek a belső erőknek a keresztmetszetben való eloszlásának meghatározásához figyelembe kell venni a rúd deformációját.

A legegyszerűbb esetben a rúdnak van egy hosszirányú szimmetriasíkja, és az ebben a síkban elhelyezkedő külső hajlító erőpárok hatásának van kitéve. Ekkor a hajlítás ugyanabban a síkban történik.

rúd tengelye nn 1 keresztmetszeteinek súlypontjain áthaladó egyenes.

Legyen a rúd keresztmetszete téglalap. Rajzoljon két függőleges vonalat az arcára mmés pp. Hajlításkor ezek a vonalak egyenesek maradnak és úgy forognak, hogy merőlegesek maradjanak a rúd hosszirányú rostjaira.

A hajlítás egy további elmélete azon a feltételezésen alapul, hogy nem csak vonalak mmés pp, de a rúd teljes lapos keresztmetszete hajlítás után lapos marad és merőleges a rúd hosszirányú rostjaira. Ezért hajlításkor a keresztmetszetek mmés pp egymáshoz képest elforgatni a hajlítási síkra merőleges tengelyek körül (rajzsík). Ebben az esetben a domború oldalon lévő hosszanti szálak feszültséget, a homorú oldalon lévő rostok összenyomódást tapasztalnak.

semleges felület olyan felület, amely hajlítás közben nem deformálódik. (Most a rajzra merőlegesen helyezkedik el, a rúd deformált tengelye nn 1 ehhez a felülethez tartozik).

Semleges metszeti tengely- ez egy semleges felület metszéspontja tetszőleges keresztmetszetűvel (most a rajzra is merőlegesen helyezkedik el).

Legyen egy tetszőleges szál távolságban y semleges felületről. ρ az ívelt tengely görbületi sugara. Pont O a görbület középpontja. Húzzunk egy vonalat n 1 s 1 párhuzamos mm.ss 1 a szál abszolút nyúlása.

Relatív kiterjesztése ε x rostok

Ebből következik, hogy a hosszanti szálak deformációja távolsággal arányos y a semleges felülettől és fordítottan arányos a görbületi sugárral ρ .

A rúd domború oldalának rostjainak hosszanti megnyúlása kíséri oldalirányú szűkület, és a homorú oldal hosszirányú lerövidítése - oldalirányú kiterjesztése, mint az egyszerű nyújtás és összehúzás esetén. Emiatt az összes keresztmetszet megjelenése megváltozik, a téglalap függőleges oldalai ferdékké válnak. Oldalirányú deformáció z:

μ - Poisson-arány.

Ennek a torzításnak köszönhetően minden egyenes keresztmetszeti vonal párhuzamos a tengellyel z, úgy vannak meghajlítva, hogy a szakasz oldalaihoz képest normálisak maradjanak. Ennek a görbének a görbületi sugara R több lesz mint ρ ugyanúgy, mint ε x abszolút értékben nagyobb, mint ε z , és megkapjuk

A hosszanti szálak ezen alakváltozásai feszültségeknek felelnek meg

Bármely szál feszültsége arányos a semleges tengelytől való távolságával. n 1 n 2. A semleges tengely helyzete és a görbületi sugár ρ két ismeretlen a for egyenletében σ x - abból a feltételből határozható meg, hogy a tetszőleges keresztmetszetben eloszló erők olyan erőpárt alkotnak, amely kiegyenlíti a külső nyomatékot M.

A fentiek mindegyike igaz akkor is, ha a rúdnak nincs hosszirányú szimmetriasíkja, amelyben a hajlítónyomaték hat, mindaddig, amíg a hajlítónyomaték az axiális síkban hat, amely a kettő közül az egyiket tartalmazza. főtengelyek keresztmetszet. Ezeket a síkokat ún fő hajlítási síkok.

Ha van szimmetriasík, és a hajlítónyomaték ebben a síkban hat, akkor az elhajlás abban következik be. A tengely körüli belső erők momentumai z egyensúlyba hozza a külső momentumot M. Az erőfeszítés pillanatai a tengelyhez képest y kölcsönösen megsemmisülnek.

Egyenes keresztirányú hajlítás akkor fordul elő, ha az összes terhelést a rúd tengelyére merőlegesen fejtik ki, ugyanabban a síkban helyezkednek el, és emellett hatásuk síkja egybeesik a szakasz egyik fő központi tehetetlenségi tengelyével. A közvetlen keresztirányú hajlítás az ellenállás egyszerű formájára utal, és az síkfeszültségi állapot, azaz a két főfeszültség nullától eltérő. Az ilyen típusú deformációnál belső erők lépnek fel: keresztirányú erő és hajlítónyomaték. A közvetlen keresztirányú hajlítás speciális esete az tiszta kanyar, ilyen ellenállás mellett vannak rakományszakaszok, amelyeken belül a keresztirányú erő eltűnik, és a hajlítónyomaték nem nulla. A közvetlen keresztirányú hajlítású rudak keresztmetszetein normál és nyírófeszültségek lépnek fel. A feszültségek a belső erő függvényei, ebben az esetben a normál feszültségek a hajlítónyomaték, a tangenciális feszültségek pedig a keresztirányú erő függvényei. A közvetlen keresztirányú hajlításhoz több hipotézist vezetnek be:

1) A gerenda keresztmetszete, amely az alakváltozás előtt lapos, az alakváltozás után lapos és merőleges a semleges rétegre (a lapos szakaszok hipotézise vagy J. Bernoulli hipotézise). Ez a hipotézis tiszta hajlításra vonatkozik, és megsérül, ha nyíróerő, nyírófeszültségek és szögdeformáció lép fel.

2) A hosszanti rétegek között nincs kölcsönös nyomás (hipotézis a szálak nyomásmentességéről). Ebből a hipotézisből az következik, hogy a hosszanti szálak egytengelyű feszültséget vagy összenyomódást szenvednek, ezért tiszta hajlítás esetén a Hooke-törvény érvényes.

A hajlítás alatt álló rudat ún gerenda. Hajlításkor a szálak egyik része megfeszül, másik része összenyomódik. A feszített és összenyomott szálak közötti szálréteget ún semleges réteg, áthalad a szakaszok súlypontján. A gerenda keresztmetszetével való metszésvonalát ún semleges tengely. A bevezetett tiszta hajlítási hipotézisek alapján a normál feszültségek meghatározására képletet kapunk, amelyet a közvetlen keresztirányú hajlításnál is alkalmazunk. A normálfeszültség az (1) lineáris összefüggés segítségével határozható meg, amelyben a hajlítónyomaték és az axiális tehetetlenségi nyomaték aránya (
) egy adott szakaszban egy állandó érték, és a távolság ( y) az ordináta tengely mentén a metszet súlypontjától a feszültség meghatározásának pontjáig 0-tól
.

. (1)

Hajlítás közbeni nyírófeszültség meghatározására 1856-ban. Orosz hídépítő mérnök D.I. Zsuravszkij megszerezte a függőséget

. (2)

A nyírófeszültség egy adott szakaszon nem függ a keresztirányú erő és az axiális tehetetlenségi nyomaték arányától (
), mert ez az érték nem változik egy szakaszon belül, hanem a levágott rész területének statikus nyomatékának és a metszet szélességének arányától függ a levágott rész szintjén (
).

Közvetlen keresztirányú hajlításnál vannak mozgások: elhajlás (v ) és elforgatási szögek (Θ ) . Meghatározásukhoz a kezdeti paraméterek módszerének (3) egyenleteit használjuk, amelyeket a gerenda hajlított tengelyének differenciálegyenletének integrálásával kapunk (
).

Itt v 0 , Θ 0 ,M 0 , K 0 - kezdeti paraméterek, x – távolság a koordináták origójától ahhoz a szakaszhoz, amelyben az elmozdulást meghatározták , a a távolság a koordináták origójától az alkalmazás helyéig vagy a terhelés kezdetéig.

A szilárdság és a merevség számítását a szilárdság és a merevség feltételei alapján végezzük. Ezen feltételek segítségével meg lehet oldani az ellenőrzési feladatokat (a feltétel teljesülésének ellenőrzését), meghatározni a keresztmetszet nagyságát, vagy kiválasztani a terhelési paraméter megengedett értékét. Számos szilárdsági feltétel létezik, ezek közül néhányat az alábbiakban mutatunk be. Erősségi feltétel normál igénybevételekhezúgy néz ki, mint a:

, (4)

itt
– szakasz modulusa a z tengelyhez képest, R a normál feszültségek tervezési ellenállása.

Szilárdsági feltétel nyírófeszültségekhezúgy néz ki, mint a:

, (5)

itt a jelölés ugyanaz, mint a Zhuravsky-képletben, és R s - tervezési nyírási ellenállást vagy tervezési nyírófeszültség-ellenállást.

Szilárdsági állapot a harmadik szilárdsági hipotézis szerint vagy a legnagyobb nyírófeszültségek hipotézise a következő formában írható fel:

. (6)

Merevségi feltételek számára írható elhajlások (v ) és elforgatási szögek (Θ ) :

ahol a szögletes zárójelben lévő eltolási értékek érvényesek.

Példa egyéni feladat elvégzésére 4. sz (2-8 hét)

Közvetlen tiszta hajlításnál a rúd keresztmetszetében csak egy erőtényező van - a hajlítónyomaték M x(1. ábra). Mert Q y \u003d dM x / dz \u003d 0, akkor M x=const és tiszta közvetlen hajlítás valósítható meg, ha a rudat a rúd végszakaszaiban kifejtett erőpárokkal terheljük. A hajlítási nyomaték óta M x definíció szerint egyenlő a tengely körüli belső erők nyomatékainak összegével Ó a normálfeszültségekkel az ebből a definícióból következő statikaegyenlet köti össze

Fogalmazzuk meg a prizmatikus rúd tiszta közvetlen hajlításának elméletének premisszáit. Ehhez egy kis modulusú anyagból készült rúdmodell deformációit elemezzük, melynek oldalfelületén hossz- és keresztirányú karcolások rácsát helyezzük el (2. ábra). Mivel a keresztirányú kockázatok, amikor a rudat a végszakaszokban kifejtett erőpárok meghajlítják, egyenesek és merőlegesek maradnak az ívelt hosszirányú kockázatokra, ez arra enged következtetni, hogy síkmetszet hipotézisek, amely, mint ennek a problémának a rugalmasságelmélet módszereivel való megoldása mutatja, megszűnik hipotézisnek lenni, egzakt ténnyé válik - a síkmetszetek törvénye. A longitudinális kockázatok közötti távolságok változását mérve arra a következtetésre jutunk, hogy a longitudinális szálak nyomásmentességére vonatkozó hipotézis érvényes.

A hosszirányú és keresztirányú karcolások ortogonalitása a deformáció előtt és után (a lapos szakaszok törvényének visszatükröződéseként) azt is jelzi, hogy a rúd keresztirányú és hosszanti szakaszában nincs elmozdulás, nyírófeszültség.

1. ábra. A belső erőfeszítés és a stressz kapcsolata

2. ábra. Tiszta hajlító modell

Így a prizmatikus rúd tiszta közvetlen hajlítása egytengelyű feszültségre vagy a hosszanti szálak feszültségek általi összenyomására redukálódik (index G később kimaradt). Ebben az esetben a szálak egy része a feszítőzónában (2. ábrán ezek az alsó szálak), a másik része a kompressziós zónában (felső szálak) található. Ezeket a zónákat semleges réteg választja el (p-p), hosszát nem változtatva, amelyben a feszültségek nullával egyenlőek. Figyelembe véve a fent megfogalmazott előfeltételeket, és feltételezve, hogy a rúd anyaga lineárisan rugalmas, azaz a Hooke-törvény ebben az esetben a következőképpen alakul: , képleteket vezetünk le a semleges réteg görbületére (-görbületi sugár) és a normál feszültségekre . Először is megjegyezzük, hogy a prizmás rúd keresztmetszete és a hajlítónyomaték állandósága (M x = állandó), biztosítja a semleges réteg görbületi sugarának állandóságát a rúd hosszában (3. ábra, a), semleges réteg (n-n) körív írja le.

Tekintsünk egy prizmás rudat közvetlen tiszta hajlítás körülményei között (3. ábra, a), amelynek keresztmetszete a függőleges tengelyre szimmetrikus OU. Ez a feltétel nem befolyásolja a végeredményt (hogy az egyenes kanyar legyen lehetséges, a tengely egybeesése Ó vele keresztmetszet fő tehetetlenségi tengelye, amely a szimmetriatengely). Tengely Ökör tedd fel a semleges réteget, helyezd el kit nem ismert előre.

a) számítási séma, b) feszültségek és igénybevételek

3. ábra. Egy gerenda tiszta hajlításának töredéke

Tekintsünk egy hosszúságú rúdból kivágott elemet dzábrán, amely az áttekinthetőség érdekében torzított arányú skálán látható. 3, b. Mivel az elem deformációi, amelyeket pontjainak relatív elmozdulása határoz meg, érdekesek, ezért az elem egyik végszakaszát rögzítettnek tekinthetjük. A kicsinységre tekintettel feltételezzük, hogy a keresztmetszet pontjai ezen a szögön átforgatva nem ívek, hanem a megfelelő érintők mentén mozognak.

Számítsuk ki a hosszanti szál relatív alakváltozását! AB, választja el a semleges rétegtől nál nél:

A háromszögek hasonlóságából C00 1és 0 1 BB 1 ezt követi

A hosszirányú deformáció a semleges rétegtől való távolság lineáris függvénye, ami egyenes következménye a síkmetszetek törvényének

Ez a képlet gyakorlati használatra nem alkalmas, mivel két ismeretlent tartalmaz: a semleges réteg görbületét és a semleges tengely helyzetét Ó, amelyből a koordináta számít y. Ezen ismeretlenek meghatározásához a statika egyensúlyi egyenleteit használjuk. Az első azt a követelményt fejezi ki, hogy a hosszanti erő nullával egyenlő

A (2) kifejezés behelyettesítése ebben az egyenletben

és ezt figyelembe véve azt kapjuk

Az egyenlet bal oldalán lévő integrál a rúd keresztmetszetének statikus nyomatéka a semleges tengely körül Ó, amely csak a központi tengelyhez képest lehet egyenlő nullával. Ezért a semleges tengely Óáthalad a keresztmetszet súlypontján.

A második statikus egyensúlyi egyenlet a normál feszültségek hajlítónyomatékhoz való viszonyítása (ami könnyen kifejezhető külső erőkkel, ezért adott értéknek tekinthető). A for kifejezés behelyettesítése a kötegegyenletbe. feszültséget kapunk:

és tekintettel arra ahol J x a fő központi tehetetlenségi nyomaték a tengely körül Ó, a semleges réteg görbületére a képletet kapjuk

4. ábra. Normál feszültségeloszlás

amelyet először S. Coulomb kapott 1773-ban. A hajlítási nyomaték jeleihez igazodva M xés normál feszültségek esetén a mínuszjel az (5) képlet jobb oldalára kerül, mivel at M x >0 normál stresszek at y>0 összehúzódónak bizonyul. A gyakorlati számításoknál azonban kényelmesebb az előjelek formai szabályának betartása nélkül a modulo feszültségeket meghatározni, és a jelet a jelentés szerint rakni. A prizmatikus rúd tiszta hajlításánál fellépő normál feszültségek a koordináta lineáris függvényei nál nélés a semleges tengelytől legtávolabbi szálakban éri el a legmagasabb értéket (4. ábra), pl.

Itt egy geometriai karakterisztikát vezetünk be, amelynek mérete m 3 és ún ellenállási nyomaték hajlításkor. Mivel adottnak M x feszültség max? minél kevesebb, annál több Sz x , az ellenállás pillanata a keresztmetszeti hajlítószilárdság geometriai jellemzője. Adjunk példákat az ellenállási nyomatékok kiszámítására a legegyszerűbb keresztmetszeti formákra. Téglalap keresztmetszethez (5. ábra, a) nekünk van J x \u003d bh 3/12, y max = h/2és W x = J x /y max = bh 2 /6. Hasonlóan egy körhöz (5. ábra ,a J x =d4 /64, ymax=d/2) kapunk W x =d3/32, kör alakú gyűrű alakú metszethez (5. ábra, ban ben), melyik