Hogyan találjuk meg a trapéz magasságát, ha minden oldala ismert. Téglalap és egyenlő szárú trapéz: tulajdonságai és jellemzői Hogyan találjuk meg a magasságot egy téglalap alakú trapézban

Az egyszerű kérdésre: „Hogyan találjuk meg a trapéz magasságát?” Többféle válasz is létezik, mert különböző kezdőértékek adhatók meg. Ezért a képletek eltérőek lesznek.

Ezeket a képleteket meg lehet jegyezni, de nem nehéz levezetni őket. Csak alkalmaznia kell a korábban tanult tételeket.

A képletekben használt jelölések

Az alábbi matematikai jelölésekben a betűk ezen leolvasása helyes.

A forrásadatokban: minden oldal

A trapéz magasságának meghatározásához általános esetben a következő képletet kell használnia:

n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). 1. szám.

Nem a legrövidebb, de elég ritkán találkozhatunk problémákkal is. Általában más adatokat is használhat.

Sokkal rövidebb a képlet, amely megmondja, hogyan találja meg az egyenlő szárú trapéz magasságát ugyanabban a helyzetben:

n = √(c 2 - (a - c) 2 /4). 2. számú.

A probléma a következőket adja: oldalsó oldalak és szögek az alsó alapnál

Feltételezzük, hogy az α szög szomszédos a „c” jelzésű oldallal, a β szög pedig a d oldallal. Ekkor a trapéz magasságának meghatározására szolgáló képlet általános formában lesz:

n = c * sin α = d * sin β. 3. szám.

Ha az ábra egyenlő szárú, akkor ezt a lehetőséget használhatja:

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. 4. szám.

Ismert: átlók és a köztük lévő szögek

Ezeket az adatokat jellemzően más ismert mennyiségek kísérik. Például az alapok vagy a középső vonal. Ha az okokat megadják, akkor a trapéz magasságának meghatározására vonatkozó kérdés megválaszolásához a következő képlet hasznos lesz:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​+ b) vagy n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​+ b). 5. szám.

Ez a figura általános megjelenését szolgálja. Ha egyenlő szárú, akkor a jelölés a következőképpen változik:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a ​​​​+ b) vagy n = (d 1 2 * sin δ) / (a ​​​​+ b). 6. szám.

Ha a feladat egy trapéz középvonalával foglalkozik, akkor a magasságának meghatározására szolgáló képletek a következők:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m vagy n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. 5a szám.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m vagy n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. 6a szám.

Az ismert mennyiségek közül: alapokkal vagy középvonallal ellátott terület

Talán ezek a legrövidebb és legegyszerűbb képletek a trapéz magasságának meghatározására. Egy tetszőleges szám esetében ez így lesz:

n = 2S/(a+b). 7. szám.

Ugyanaz, de ismert középvonallal:

n = S/m. 7a szám.

Furcsa módon, de egyenlő szárú trapéz esetén a képletek ugyanúgy fognak kinézni.

Feladatok

1. sz. A szögek meghatározása a trapéz alsó bázisánál.

Feltétel. Adott egy egyenlő szárú trapéz, melynek oldala 5 cm. Alapjai 6 és 12 cm. Meg kell találni egy hegyesszög szinuszát.

Megoldás. A kényelem érdekében adjon meg egy jelölést. Legyen a bal alsó csúcs A, a többi az óramutató járásával megegyező irányban: B, C, D. Így az alsó bázist AD, a felsőt BC-vel jelöljük.

A B és C csúcsokból magasságokat kell húzni. A magasságok végét jelző pontokat H 1, illetve H 2 -vel jelöljük. Mivel a BCH 1 H 2 ábrán látható összes szög derékszög, ez egy téglalap. Ez azt jelenti, hogy a H 1 H 2 szakasz 6 cm.

Most két háromszöget kell figyelembe vennünk. Egyenlőek, mert téglalap alakúak, ugyanazokkal a hipotenusokkal és függőleges lábakkal. Ebből következik, hogy kisebb lábaik egyenlőek. Ezért a különbség hányadosaként definiálhatók. Ez utóbbit úgy kapjuk meg, hogy kivonjuk a felsőt az alsó alapból. Osztva lesz 2-vel. Vagyis 12-6-ot el kell osztani 2-vel. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).

Most a Pitagorasz-tételből meg kell találni a trapéz magasságát. Meg kell találni egy szög szinuszát. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).

Felhasználva annak ismeretét, hogy egy derékszögű háromszögben hogyan található a hegyesszög szinusza, felírhatjuk a következő kifejezést: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.

Válasz. A szükséges szinusz 0,8.

2. sz. A trapéz magasságának meghatározása ismert érintő segítségével.

Feltétel. Egy egyenlő szárú trapéz esetében ki kell számítani a magasságot. Ismeretes, hogy alapjai 15 és 28 cm A hegyesszög érintője adott: 11/13.

Megoldás. A csúcsok kijelölése ugyanaz, mint az előző feladatban. Ismét két magasságot kell rajzolnia a felső sarkokból. Az első probléma megoldásához hasonlóan meg kell találni az AN 1 = N 2 D értéket, amelyet 28 és 15 különbségeként kell meghatározni, osztva kettővel. Számítások után kiderül: 6,5 cm.

Mivel az érintő két láb aránya, a következő egyenlőséget írhatjuk fel: tan α = AH 1 / VN 1 . Ráadásul ez az arány 11/13 (a feltételtől függően). Mivel az AN 1 ismert, így a magasság kiszámítható: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Az egyszerű számítások 5,5 cm-es eredményt adnak.

Válasz. A szükséges magasság 5,5 cm.

3. sz. A magasság kiszámítása ismert átlókkal.

Feltétel. A trapézról ismert, hogy az átlói 13 és 3 cm. A magasságát akkor kell megtudni, ha az alapok összege 14 cm.

Megoldás. Legyen az ábra jelölése ugyanaz, mint korábban. Tegyük fel, hogy az AC a kisebb átló. A C csúcsból meg kell rajzolni a kívánt magasságot, és ki kell jelölni CH-val.

Most további építkezést kell végeznie. A C sarokból egy egyenest kell húzni a nagyobb átlóval párhuzamosan, és meg kell találni a metszéspontját az AD oldal folytatásával. Ez a D1 lesz. Az eredmény egy új trapéz, amelybe egy ASD 1 háromszög rajzolódik ki. Ez kell a probléma további megoldásához.

A kívánt magasság is a háromszögben lesz. Ezért használhatja a másik témakörben tanulmányozott képleteket. A háromszög magasságát úgy határozzuk meg, hogy a 2-es szám és annak az oldalnak a szorzata, amelyre húzzuk. És az oldal egyenlőnek bizonyul az eredeti trapéz alapjainak összegével. Ez abból a szabályból származik, amely alapján a kiegészítő konstrukció készült.

A vizsgált háromszögben minden oldal ismert. A kényelem kedvéért bevezetjük az x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm jelölést.

Most kiszámolhatja a területet a Heron-tétel segítségével. A fél kerület p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm) lesz. Ekkor a terület képlete az értékek helyettesítése után így fog kinézni: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).

Válasz. Magassága 6√10 / 7 cm.

4. sz. Hogy megtalálja a magasságot az oldalakon.

Feltétel. Adott egy trapéz, melynek három oldala 10 cm, a negyedik pedig 24 cm. Meg kell találni a magasságát.

Megoldás. Mivel az ábra egyenlő szárú, szüksége lesz a 2-es képletre. Csak be kell cserélnie az összes értéket, és meg kell számolnia. Így fog kinézni:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).

Válasz. n = √51 cm.

Életünk során nagyon gyakran találkozunk a geometria gyakorlati használatával, például az építőiparban. A leggyakoribb geometriai formák közé tartozik a trapéz. És ahhoz, hogy a projekt sikeres és szép legyen, az ilyen figurák elemeinek helyes és pontos kiszámítására van szükség.

Mi az a konvex négyszög, amelynek van egy pár párhuzamos oldala, az úgynevezett trapéz alapja. De van két másik oldal, amely összeköti ezeket az alapokat. Ezeket laterálisnak nevezik. Az egyik kérdés ezzel az ábrával kapcsolatban: „Hogyan találjuk meg a trapéz magasságát?” Azonnal meg kell jegyezni, hogy a magasság egy olyan szegmens, amely meghatározza az egyik alap és a másik közötti távolságot. Ezt a távolságot többféleképpen is meghatározhatjuk, az ismert mennyiségektől függően.

1. Mindkét bázis értéke ismert, jelöljük őket b-vel és k-vel, valamint ennek a trapéznek a területét. Ismert értékek felhasználásával ebben az esetben nagyon könnyű megtalálni a trapéz magasságát. A geometriából ismeretes, hogy az alapok összegének és a magasság felének a szorzataként kerül kiszámításra. Ebből a képletből könnyen származtathatja a kívánt értéket. Ehhez el kell osztani a területet az alapok összegének felével. Képletek formájában így fog kinézni:

S=((b+k)/2)*h, tehát h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. A középvonal hossza ismert, jelöljük d-vel, és a terület. Azok számára, akik nem ismerik, a középvonal az oldalak közepe közötti távolság. Hogyan találjuk meg ebben az esetben a trapéz magasságát? A trapéz tulajdonság szerint a középvonal az alapok összegének felének felel meg, azaz d=(b+k)/2. Ismét a területképlethez folyamodunk. Az alapok összegének felét a középvonal értékével helyettesítve a következőket kapjuk:

Amint látjuk, a kapott képletből nagyon könnyű levezetni a magasságot. A területet elosztva a középvonal értékével, megkapjuk a kívánt értéket. Ezt írjuk fel a képlettel:

3. Ismert az egyik oldal hossza (b), valamint az oldal és a legnagyobb alap között bezárt szög. A válasz arra a kérdésre, hogy hogyan lehet megtalálni a trapéz magasságát, ebben az esetben is létezik. Tekintsük az ABCD trapézt, ahol AB és CD az oldalak, és AB=b. A legnagyobb bázis az AD. Jelöljük az AB és AD által alkotott szöget α-val. A B pontból engedje le a h magasságot az AD alapra. Tekintsük most az eredményül kapott ABF háromszöget, amely derékszögű háromszög. Az AB oldal a hipotenusz, a BF oldal pedig az oldal. A derékszögű háromszög tulajdonságából a szár értékének és a hipotenusz értékének aránya a szárral szemközti szög szinuszának (BF) felel meg. Ezért a fentiek alapján a trapéz magasságának kiszámításához megszorozzuk az ismert oldal értékét és az α szög szinuszát. Képlet formájában így néz ki:

4. Hasonlóan értelmezzük az esetet, ha ismert az oldaloldal mérete és a szög, jelöljük β-ként, amely ezen oldal és a kisebb alap között alakul ki. Egy ilyen probléma megoldása során az ismert oldal és a húzott magasság közötti szög 90° - β lesz. A háromszögek tulajdonságaiból - a láb és a hipotenusz hosszának aránya megfelel a köztük lévő szög koszinuszának. Ebből a képletből könnyen származtatható a magasság érték:

h = b *cos(β-90°)

5. Hogyan találjuk meg a trapéz magasságát, ha csak a beírt kör sugara ismert? A kör definíciójából kiindulva minden alaphoz egy pontot érint. Ráadásul ezek a pontok egy vonalban vannak a kör középpontjával. Ebből következik, hogy a köztük lévő távolság a trapéz átmérője és egyben magassága. így néz ki:

6. Gyakran vannak olyan problémák, amelyekben meg kell találni egy egyenlő szárú trapéz magasságát. Emlékezzünk vissza, hogy az egyenlő oldalú trapézt egyenlő szárúnak nevezzük. Hogyan találjuk meg az egyenlő szárú trapéz magasságát? A merőleges átlókkal a magasság egyenlő az alapok összegének felével.

De mi van akkor, ha az átlók nem merőlegesek? Tekintsük az egyenlő szárú ABCD trapézt. Tulajdonságai szerint az alapok párhuzamosak. Ebből következik, hogy az alapoknál a szögek is egyenlőek lesznek. Rajzoljunk két magasságot BF és CM. A fentiek alapján elmondhatjuk, hogy az ABF és a DCM háromszögek egyenlőek, azaz AF = DM = (AD - BC)/2 = (b-k)/ 2. Most a feladat feltételei alapján döntsük el, hogy az ismert értékeket, és csak ezután találja meg a magasságot, figyelembe véve az egyenlő szárú trapéz összes tulajdonságát.

A geometria egyike azon tudományoknak, amellyel az emberek szinte minden nap találkoznak a gyakorlatban. A geometriai formák sokfélesége közül a trapéz külön figyelmet érdemel. Ez egy domború alak, amelynek négy oldala van, amelyek közül kettő párhuzamos egymással. Az utóbbiakat alapoknak, a maradék kettőt oldalnak nevezzük. Az alapokra merőleges és a köztük lévő rés nagyságát meghatározó szakasz lesz a trapéz magassága. Hogyan lehet kiszámítani a hosszát?

Keresse meg egy tetszőleges trapéz magasságát

A kezdeti adatok alapján egy figura magasságának meghatározása többféleképpen lehetséges.

Ismert terület

Ha ismert a párhuzamos oldalak hossza, és az ábra területe is fel van tüntetve, akkor a kívánt merőleges meghatározásához a következő összefüggést használhatja:

S=h*(a+b)/2,
h – a kívánt érték (magasság),
S – az ábra területe,
a és b egymással párhuzamos oldalak.
A fenti képletből az következik, hogy h=2S/(a+b).

A középvonal értéke ismert

Ha a kezdeti adatok között a trapéz (S) területén kívül a középvonalának hossza (l) is ismert, akkor egy másik képlet hasznos a számításokhoz. Először is érdemes tisztázni, hogy mi a középvonal az ilyen típusú négyszögeknél. A kifejezés az egyenesnek azt a részét határozza meg, amely az ábra oldalsó oldalainak felezőpontjait összeköti.

Az l=(a+b)/2 trapéz tulajdonság alapján,
l – középvonal,
a, b – a négyszög alapoldalai.
Ezért h=2S/(a+b)=S/l.

Az ábra 4 oldala ismert

Ebben az esetben a Pitagorasz-tétel segít. Miután leengedte a merőlegeseket a nagyobb alapoldalra, használja a kapott két derékszögű háromszöghez. A végső kifejezés így fog kinézni:

h=√c 2-(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2,

c és d – 2 másik oldal.

Szögek az alapnál

Ha vannak adatok az alapszögekről, használjon trigonometrikus függvényeket.

h = c*sinα = d*sinβ,

α és β a négyszög alapjában lévő szögek,
c és d az oldalai.

Egy ábra átlói és az őket metsző szögek

Az átló hossza az ábra szemközti csúcsait összekötő szakasz hossza. Jelöljük ezeket a mennyiségeket d1 és d2 szimbólumokkal, a köztük lévő szögeket pedig γ-val és φ-vel. Akkor:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a és b az ábra alapoldalai,
d1 és d2 a trapéz átlói,
γ és φ az átlók közötti szögek.

Az ábra magassága és a beleírt kör sugara

Az ilyen kör definíciójából következik, hogy minden alapot 1 pontban érint, amelyek egy egyenes részei. Ezért a köztük lévő távolság az átmérő – az ábra kívánt magassága. És mivel az átmérő kétszerese a sugárnak, akkor:

h = 2 * r,
r annak a körnek a sugara, amely ebbe a trapézbe van írva.

Keresse meg az egyenlő szárú trapéz magasságát

• Amint a megfogalmazásból következik, az egyenlő szárú trapéz megkülönböztető jellemzője az oldalsó oldalak egyenlősége. Ezért egy ábra magasságának meghatározásához használja az érték meghatározására szolgáló képletet abban az esetben, ha a trapéz oldalai ismertek.

Tehát, ha c = d, akkor h = √c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2-(a-b) 2 /4,
a, b – a négyszög alapoldalai,
c = d – oldalai.

• Ha két oldal (alap és oldal) alkot szögeket, akkor a trapéz magasságát a következő összefüggés határozza meg:

h = c* sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,

α – szög az ábra alapján,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d – oldalai.

• Ha az ábra átlóinak értékei adottak, akkor az ábra magasságának meghatározására szolgáló kifejezés megváltozik, mert d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.

Az életben gyakran találkozunk trapéz alakzattal. Például minden betontömbből készült híd kiváló példa erre. Vizuálisabb lehetőség az egyes járművek kormányzása stb. A figura tulajdonságait már az ókori Görögországban ismerték, amelyet Arisztotelész az „Elemek” című tudományos munkájában részletesebben leírt. Az évezredekkel ezelőtt kifejlesztett tudás pedig ma is aktuális. Ezért nézzük meg őket közelebbről.

Kapcsolatban áll

Alapfogalmak

1. ábra Klasszikus trapézforma.

A trapéz lényegében egy négyszög, amely két párhuzamos szakaszból és két másik, nem párhuzamos szakaszból áll. Amikor erről az ábráról beszélünk, mindig emlékezni kell az olyan fogalmakra, mint: alapok, magasság és középvonal. Egy négyszög két szakasza, amelyeket bázisoknak nevezünk egymáshoz (AD és BC szakaszok). A magasság az egyes alapokra merőleges szakasz (EH), azaz. 90°-os szögben metszik egymást (az 1. ábra szerint).

Ha az összes belső fokmérőt összeadjuk, akkor a trapéz szögeinek összege 2π (360°) lesz, mint bármely négyszögé. Olyan szakasz, amelynek végei az oldalak felezőpontjai (IF) középvonalnak hívják. Ennek a szakasznak a hossza a BC és AD bázisok összege osztva 2-vel.

Háromféle geometriai alak létezik: egyenes, szabályos és egyenlő szárú. Ha az alap csúcsainál legalább egy szög egyenes (például ha ABD = 90°), akkor egy ilyen négyszöget derékszögű trapéznek nevezünk. Ha az oldalszegmensek egyenlőek (AB és CD), akkor egyenlő szárúnak nevezzük (ennek megfelelően az alapokon lévő szögek egyenlőek).

Hogyan lehet megtalálni a területet

Azért, hogy megkeressük egy négyszög területét Az ABCD a következő képletet használja:

2. ábra Területkeresési feladat megoldása

Egy világosabb példa érdekében oldjunk meg egy egyszerű problémát. Például legyen a felső és az alsó alap 16 és 44 cm, az oldalak pedig 17 és 25 cm. Szerkesszünk merőleges szakaszt a D csúcsból úgy, hogy DE II BC (ahogy a 2. ábrán látható). Innentől azt kapjuk

Legyen DF. A ΔADE-ből (amely egyenlő szárú lesz) a következőket kapjuk:

Vagyis leegyszerűsítve először megtaláltuk a ΔADE magasságot, ami egyben a trapéz magassága is. Innen a már ismert képlet segítségével kiszámítjuk az ABCD négyszög területét a DF magasság már ismert értékével.

Ezért a szükséges ABCD terület 450 cm³. Vagyis bátran kijelenthetjük, hogy sorrendben A trapéz területének kiszámításához csak az alapok összegére és a magasság hosszára van szüksége.

Fontos! A feladat megoldása során nem szükséges külön keresni a hosszúságok értékét, teljesen elfogadható, ha az ábra egyéb paramétereit használjuk, amelyek megfelelő bizonyítással megegyeznek az alapok összegével.

A trapézok típusai

Attól függően, hogy az ábrának milyen oldalai vannak, és milyen szögek alakulnak ki az alapoknál, háromféle négyszög létezik: téglalap alakú, egyenetlen és egyenlő oldalú.

Sokoldalú

Két forma létezik: akut és tompa. Az ABCD csak akkor hegyes, ha az alapszögek (AD) hegyesek, és az oldalak hossza eltérő. Ha egy szög értéke nagyobb, mint Pi/2 (a fokmérték nagyobb, mint 90°), akkor tompaszöget kapunk.

Ha az oldalak egyenlő hosszúak

3. ábra Egyenlőszárú trapéz nézete

Ha a nem párhuzamos oldalak hossza egyenlő, akkor az ABCD-t egyenlő szárúnak (szabályosnak) nevezzük. Ráadásul egy ilyen négyszögben a szögek fokmértéke az alapnál azonos, szögük mindig kisebb lesz, mint derékszög. Ez az oka annak, hogy az egyenlő szárú vonalat soha nem osztják hegyesszögűre és tompaszögűre. Az ilyen alakú négyszögnek megvannak a maga sajátos különbségei, amelyek a következők:

1. Az ellentétes csúcsokat összekötő szakaszok egyenlőek.
2. A hegyesszögek nagyobb alappal 45°-osak (szemléltető példa a 3. ábrán).
3. Ha összeadja az ellentétes szögek fokait, akkor 180°-ot adnak össze.
4. Bármilyen szabályos trapéz köré építhetsz.
5. Ha összeadja a szemközti szögek mértékét, akkor az egyenlő π-vel.

Sőt, a pontok geometriai elrendezése miatt vannak egyenlő szárú trapéz alapvető tulajdonságai:

Szögérték az alapnál 90°

Az alap oldalának merőlegessége a „téglalap alakú trapéz” fogalmának tágas jellemzője. Nem lehet két oldal sarkokkal az alapnál, mert különben már téglalap lesz. Az ilyen típusú négyszögeknél a második oldal mindig hegyesszöget zár be a nagyobb alappal, és tompaszöget a kisebbel. Ebben az esetben a merőleges oldal lesz a magasság is.

Az oldalfalak közepe közötti szegmens

Ha az oldalak felezőpontjait összekötjük, és a kapott szakasz párhuzamos az alapokkal és hossza egyenlő az összegük felével, akkor a kapott egyenes lesz a középső vonal. Ennek a távolságnak az értékét a következő képlet számítja ki:

Egy világosabb példa érdekében vegye figyelembe a középvonal használatával kapcsolatos problémát.

Feladat. A trapéz középvonala 7 cm, ismert, hogy az egyik oldal 4 cm-rel nagyobb, mint a másik (4. ábra). Keresse meg az alapok hosszát!

4. ábra Az alapok hosszainak megtalálásának feladatának megoldása

Megoldás. Legyen a kisebb alap DC egyenlő x cm-rel, majd a nagyobb bázis egyenlő (x+4) cm-rel. Innen a trapéz középvonalának képletével kapjuk:

Kiderült, hogy a kisebb alap DC 5 cm, a nagyobb pedig 9 cm.

Fontos! A középvonal fogalma kulcsfontosságú számos geometriai probléma megoldásában. Definíciója alapján számos bizonyítást szerkesztenek más ábrákra. A koncepciót a gyakorlatban használva racionálisabb megoldás és a kívánt érték keresése lehetséges.

A magasság meghatározása és megtalálásának módjai

Mint korábban említettük, a magasság egy olyan szegmens, amely 2Pi/4-es szögben metszi az alapokat, és a legrövidebb távolság közöttük. Mielőtt megtalálná a trapéz magasságát, meg kell határozni, hogy milyen bemeneti értékeket adunk meg. A jobb megértés érdekében nézzük meg a problémát. Határozzuk meg a trapéz magasságát, feltéve, hogy az alapok 8 és 28 cm, az oldalak 12, illetve 16 cm.

5. ábra A trapéz magasságának megállapításának feladatának megoldása

Rajzoljunk az AD alapra merőlegesen DF és CH szakaszokat, amelyek a definíció szerint mindegyik az adott trapéz magassága lesz (5. ábra). Ebben az esetben az egyes oldalfalak hosszának ismeretében a Pitagorasz-tétel segítségével megtudjuk, hogy mennyivel egyenlő az AFD és BHC háromszög magassága.

Az AF és HB szegmensek összege megegyezik az alapok különbségével, azaz:

Legyen az AF hossza x cm, majd a HB szakasz hossza = (20 – x) cm. Mint megállapították, DF=CH, innen.

Ekkor a következő egyenletet kapjuk:

Kiderül, hogy az AFD háromszög AF szakasza 7,2 cm, innen számítjuk ki a DF trapéz magasságát ugyanazzal a Pitagorasz-tétellel:

Azok. az ADCB trapéz magassága 9,6 cm lesz, hogyan lehet biztos abban, hogy a magasság kiszámítása mechanikusabb folyamat, és a háromszögek oldalainak és szögeinek kiszámításán alapul? De számos geometriai feladatnál csak a szögek foka ismert, ebben az esetben a számításokat a belső háromszögek oldalainak arányán keresztül végezzük.

Fontos! Lényegében a trapézt gyakran két háromszögnek, vagy egy téglalap és egy háromszög kombinációjának tekintik. Az iskolai tankönyvekben található összes probléma 90% -ának megoldásához ezeknek az ábráknak a tulajdonságait és jellemzőit. A legtöbb képlet ehhez a GMT-hez a feltüntetett két típusú ábra „mechanizmusaira” támaszkodik.

Hogyan lehet gyorsan kiszámítani az alap hosszát

A trapéz alapjának megtalálása előtt meg kell határozni, hogy milyen paraméterek vannak már megadva, és hogyan kell azokat racionálisan használni. Egy gyakorlati megközelítés az ismeretlen alap hosszának kinyerése a középvonali képletből. A kép tisztább megértéséhez használjunk egy példafeladatot annak bemutatására, hogyan lehet ezt megtenni. Tudjuk, hogy a trapéz középvonala 7 cm, az egyik alap pedig 10 cm. Határozza meg a második alap hosszát!

Megoldás: Tudva, hogy a középvonal egyenlő az alapok összegének felével, azt mondhatjuk, hogy az összegük 14 cm.

(14 cm = 7 cm × 2). A feladat feltételeiből tudjuk, hogy az egyik egyenlő 10 cm-rel, így a trapéz kisebbik oldala 4 cm lesz (4 cm = 14 – 10).

Ezenkívül az ilyen jellegű problémák kényelmesebb megoldása érdekében Javasoljuk, hogy alaposan tanuljon meg olyan képleteket a trapézterületről, mint:

• középvonal;
• négyzet;
• magasság;
• Diagonal vonalok.

E számítások lényegének (pontosan a lényegének) ismeretében könnyen megtudhatja a kívánt értéket.

Videó: trapéz és tulajdonságai

Videó: a trapéz jellemzői

Következtetés

A vizsgált feladatpéldákból egyszerű következtetést vonhatunk le, hogy a trapéz a feladatszámítás szempontjából a geometria egyik legegyszerűbb alakja. A problémák sikeres megoldásához mindenekelőtt nem szabad eldöntenie, hogy milyen információk ismeretesek a leírt objektumról, milyen képletekben alkalmazhatók, és mit kell találnia. Ennek az egyszerű algoritmusnak a követésével a geometriai alakzat használatával egyetlen feladat sem lesz könnyed.

Szerintem a trapéz magasságát könnyebb megtalálni, ehhez elég egy derékszögű háromszög oldalát megtalálni. Nos, ezt a titkot nem árulom el; Pitagorasz elvtárs elég pontosan leírta annak idején)))

A trapéz magasságának meghatározásához a h = 2S/(a+b) matematikai képletet kell használni, itt S a trapéz területe, de a és b a trapéz alapjai. Szorozzuk meg a területet kettővel, és osszuk el az alapok összegével.

A trapéz magasságának képlete a feltételhez rendelkezésre álló adatok alapján többféleképpen is megtalálható.

Az egyik út a téren keresztül vezet.



ahol S természetesen a trapéz területe,

a. b - alapok,

h a trapéz magassága,

m - középvonal.

Számos képlet létezik a trapéz magasságának kiszámítására:











Itt van feltüntetve:

h maga a magasság;

a, b, c, d - a trapéz oldalai;

d1, d2 - a trapéz két átlója

m - középvonal.

Az alábbi ábrán is nézze meg, hol van a szög és:



Az egyenlő szárú trapéz egy olyan trapéz, amelynek alsó bázisán egyenlő csípői és szögei, magassága az oldaloldal és az alsó szög szinuszának szorzataként, vagy a felének szorzataként található meg. -az alapok különbsége és a szög érintője az alsó alapnál.

Trapéz magasság megtalálható az eredeti adatok felhasználásával. Ha ismert a trapéz területe és alapja, akkor a trapéz magassága az h = 2S/(a+b), ahol S a terület, a és b a bázisok.

Tud keresse meg a trapéz magasságát a Pitagorasz-tétel szerint, ha a trapéz minden oldala ismert, és maga a trapéz egyenlő szárú. Ebben az esetben először keressük meg a háromszög alapját, amely egyenlő lesz az alapok különbségének felével, majd alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt.

Ha ismert a trapéz területe és a középvonal, akkor trapéz magasságának meghatározásához Elegendő elosztani a trapéz területét a középvonal hosszával.

A trapéz magassága egy derékszögű háromszögből állapítható meg, amelyet az AB trapéz oldala - a derékszögű háromszög befogója, a BH trapéz magassága - a trapéz egyik lába és egy része alkotja. trapéz, amely egyenlő a trapéz két alapja közötti különbség felével AH = (AD-BC) / 2 - ez a második láb. Nos, egy derékszögű háromszögben egy szár egyenlő a hipotenusz négyzete és a második láb négyzete közötti különbség négyzetgyökével.



Ez a probléma többféleképpen megoldható, attól függően, hogy mit tudunk a trapézról: oldalak vagy szögek. Nos, ez valójában egy iskolai matematika kurzus.)))

A trapéz olyan négyszög, amelyben két szemközti oldal párhuzamos, de a maradék kettő nem. Azokat az oldalakat, amelyek egymással párhuzamosak, alapoknak nevezzük.

Bármely trapéz területe megegyezik az alapjai és a magassága összegének felével. Ha ezt képlet formájában fejezzük ki, akkor a következőket kapjuk:

S=1/2h x(a+b)

h a trapéz magassága,

a és b az alapjai.

Geometria- egzakt és szórakoztató tudomány.

És a geometria szerelmeseinek nem lesz nehéz megtalálni a trapéz magasságát.

Mi az a trapéz?

Trapéz alakú- ez egy olyan téglalap, amelyben két szemközti oldal párhuzamos egymással, de a másik két oldal nem párhuzamos egymással.

Itt van egy trapéz rajza: