Geometriai séma a valószínűség meghatározásához. Egy esemény valószínűségének geometriai meghatározása
Amint az a valószínűség klasszikus meghatározása című részben látható, véletlenszerű kísérletekben, véges számú egyformán lehetséges elemi eredménnyel alkalmazott a valószínűség klasszikus meghatározása.
Bevezetni az események valószínűségét véletlenszerű kísérletekben, amelyeknek lehetséges kimenetele (elemi kimenetele) is ugyanúgy lehetségesés teljesen kitöltse a hiányt egyenes, ábra a repülőn ill vidék térben, alkalmazva a valószínűség geometriai meghatározása. Az ilyen kísérletekben az elemi eredmények száma nem végleges, ezért a valószínűség klasszikus definíciója nem alkalmazható rájuk.
Illusztráljuk példákkal a valószínűség geometriai definíciójának bevezetését!
1. példa. Egy pont véletlenszerűen kerül egy számegyenes szakaszára. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a pont a szakaszra esett (1. ábra).
Válasz:
2. példa. A KLMN négyzet KM és LN átlói az E és F pontokban metszik a négyzetbe írt kört, az O pont a kör középpontja (2. ábra).
Egy pont véletlenszerűen kerül egy KLMN négyzetbe. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a pont a 2. ábrán rózsaszínnel jelölt EOF szektorba esik.
Válasz:
3. példa. Egy pontot véletlenszerűen dobunk egy S csúcsú és O alapközéppontú kúpba. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a pont beleesik a csonka kúpba, amelyet úgy kapunk, hogy a kúpot olyan síkkal vágjuk, amely átmegy a kúp magasságának O "felezőpontján és párhuzamos a kúp alapjával (3. ábra).
Megoldás . Egy pont dobásán végzett véletlenszerű kísérlet Ω elemi végeredményeinek halmaza az S csúcsú és O alapközéppontú kúp összes pontjának halmaza.
A csonkakúp pontjának eltalálása a véletlenszerű események egyike, amit A betűvel fogunk jelölni.
Nál nél geometriai meghatározás esemény valószínűsége A képlet alapján számítjuk ki
Legyen R az S csúcsú és O alapközéppontú kúp alapjának sugara, H pedig ennek a kúpnak a magassága. Ekkor az alap sugara és az S csúcsú kúp magassága és az O" alap középpontja egyenlő lesz
illetőleg.
Az S csúcsú és O alapközéppontú kúp térfogata a
A valószínűség klasszikus definíciójának van egy korlátja az alkalmazásában. Feltételezzük, hogy az Ω elemi események halmaza véges vagy megszámlálható, azaz Ω = ( ω 1 , ω 2 , … , ω n , …), és minden ω i – ugyanúgy lehetséges elemi események. A gyakorlatban azonban vannak olyan tesztek, amelyeknél az elemi eredmények halmaza végtelen. Például, amikor egy bizonyos alkatrészt gépen gyártanak, meg kell tartani egy bizonyos méretet. Itt az alkatrész gyártási pontossága függ a dolgozó képzettségétől, a vágószerszám minőségétől, a gép tökéletességétől stb. Ha a tesztet egy alkatrész gyártásaként értjük, akkor egy ilyen teszt eredményeként végtelen számú eredmény lehetséges, ebben az esetben a kívánt méretű alkatrészek beszerzése.
A valószínűség klasszikus definíciójának hiányosságainak kiküszöbölésére néha a geometria egyes fogalmait alkalmazzák (ha természetesen a vizsgálat körülményei ezt megengedik). Minden ilyen esetben feltételezzük (legalábbis elméletileg) tetszőleges számú teszt elvégzésének lehetőségét, és a koncepció esélyegyenlőség is nagy szerepet játszanak.
Tekintsünk egy tesztet eseményterrel, melynek elemi végeredményeit a háromdimenziós térben valamilyen Ω területet kitöltő pontokként ábrázoljuk R 3). Legyen az esemény DE abban áll, hogy eltalál egy véletlenszerűen kidobott pontot az aldomainben D tartomány Ω. esemény DE előnyben részesítik azokat az elemi eseményeket, amelyekben a pont valamilyen altartományba esik D. Akkor valószínűség alatt fejlesztéseket DE meg fogjuk érteni az aldomain térfogatának arányát D(az 1.11. ábrán kiemelt terület) az Ω terület térfogatára, R(DE) = V(D) / V(Ω).
|
Rizs.1. 11 |
Itt a kedvező kimenetel fogalmával analógiával a terület D az esemény megjelenése szempontjából kedvezőnek fogják nevezni DE. Egy esemény valószínűségét hasonlóképpen határozzuk meg DE, amikor az Ω halmaz egy sík bizonyos területe vagy egy egyenes szakasza. Ezekben az esetekben a régiók térfogatát az ábrák területei, illetve a szegmensek hossza helyettesíti.
Így egy új definícióhoz jutottunk - geometriai valószínűség végtelen megszámlálhatatlan elemi események halmazával végzett tesztekhez, amely a következőképpen van megfogalmazva.
Az A esemény geometriai valószínűsége az esemény bekövetkezését előnyben részesítő aldomain mértékének a teljes terület mértékéhez viszonyított aránya, azaz.
p(A) =mesD / mesΩ,
ahol mes– a területek mértéke Dés Ω , D Ì Ω.
Egy esemény geometriai valószínűsége rendelkezik a valószínűség klasszikus definíciójában rejlő összes tulajdonsággal. Például a 4. tulajdonság a következő lenne: R(DE+ NÁL NÉL) = R(DE) + R(NÁL NÉL).
A valószínűség klasszikus meghatározása
A valószínűségszámítás alapfogalma a véletlen esemény fogalma. A véletlenszerű eseményt általában eseménynek nevezik, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ, bizonyos feltételek mellett előfordulhat, vagy nem. Például egy tárgy eltalálása vagy hiánya, amikor egy adott fegyverrel erre a tárgyra lő, véletlenszerű esemény.
Egy eseményt általában megbízhatónak neveznek, ha a teszt eredményeként szükségszerűen bekövetkezik. Egy eseményt lehetetlennek szokás nevezni, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ nem történhet meg próba eredményeként.
A véletlenszerű események inkonzisztensnek mondhatók egy adott próbában, ha ezek közül kettő nem jelenhet meg együtt.
A véletlenszerű események akkor alkotnak egy teljes csoportot, ha bármelyik próbában megjelenhet, és nem jelenhet meg más, azokkal ellentétes esemény.
Tekintsük az egyformán lehetséges inkompatibilis véletlenszerű események teljes csoportját. Az ilyen eseményeket eredményeknek nevezzük. Egy kimenetelről akkor beszélünk, ha az A esemény bekövetkezte szempontjából kedvező, ha ennek az eseménynek az bekövetkezése magával vonja az A esemény bekövetkezését.
A valószínűség geometriai meghatározása
Tekintsük a véletlenszerű tesztet úgy, hogy véletlenszerűen dobunk egy pontot valamilyen G geometriai tartományba (egyenesen, síkon vagy téren). Az elemi eredmények ϶ᴛᴏ G különálló pontjai, bármely esemény ennek a területnek a ϶ᴛᴏ részhalmaza, a G elemi kimenetelek tere. Feltételezhetjük, hogy G minden pontja ʼʼegyenlőʼʼ, majd annak a valószínűsége, hogy egy pont valamelyik pontba esik. A ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ részhalmaz arányos a méretével (hossz, terület, térfogat), és nem függ a helyétől és alakjától.
geometriai valószínűség Az A eseményt a következő összefüggés határozza meg: , ahol m(G), m(A) az elemi eredmények és az A esemény teljes terének geometriai mértékei (hosszúságai, területei vagy térfogatai).
Példa. Egy r () sugarú kört véletlenszerűen egy 2d szélességű párhuzamos csíkokkal határolt síkra dobunk, amelynek tengelyvonalai közötti távolság 2D. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a kör valamilyen csíkot metsz.
Megoldás. Ennek a tesztnek az elemi eredményeként a távolságot vesszük figyelembe x a kör közepétől a körhöz legközelebb eső csík középvonaláig. Ezután az elemi eredmények teljes tere - ϶ᴛᴏ szegmens. A kör és a csík metszéspontja akkor következik be, ha a középpontja a sávba esik, ᴛ.ᴇ. , vagy a csík szélétől a sugárnál kisebb távolságra lesz elhelyezve, ᴛ.ᴇ. .
A kívánt valószínűséghez kapjuk: .
5. Egy esemény relatív gyakorisága azon kísérletek számának aránya, amelyekben az esemény bekövetkezett, és a gyakorlatilag végrehajtott kísérletek számának aránya. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, az A relatív gyakoriság a következőképpen adódik:
(2)ahol m az esemény előfordulásának száma, n a kísérletek száma. Összehasonlítva a valószínűség és a relatív gyakoriság definícióját, arra a következtetésre jutunk, hogy a valószínűség definíciója nem követeli meg, hogy a teszteket a valóságban végezzék el; a relatív gyakoriság meghatározása feltételezi, hogy a teszteket valóban elvégezték. Más szóval, a valószínűséget a tapasztalat előtt számítják ki, a relatív gyakoriságot pedig az élmény után.
2. példa 80 véletlenszerűen kiválasztott alkalmazott közül 3 embernek súlyos szívbetegsége van. Szívbetegségben szenvedők relatív gyakorisága
A relatív gyakoriságot vagy egy ahhoz közeli számot statikus valószínűségnek vesszük.
DEFINÍCIÓ (a valószínűség statisztikai definíciója). Azt a számot, amelyre a stabil relatív gyakoriság hajlik, általában az esemény statisztikai valószínűségének nevezik.
6. összeg A+B két esemény A és B megnevez egy eseményt, amely az A vagy a B esemény, vagy mindkét esemény bekövetkezéséből áll. Például, ha két lövést adtak le a fegyverből, és A - találat az első lövésnél, B - találat a második lövésnél, majd A + B - találat az első lövésnél, vagy a másodiknál, vagy mindkét lövésnél.
Különösen, ha két A és B esemény nem kompatibilis, akkor A + B olyan esemény, amely ezen események egyikének megjelenéséből áll, függetlenül attól, hogy melyik. Több esemény összege eseménynek nevezzük, a ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ ezen események legalább egyikének bekövetkezésében áll. Például az A + B + C esemény a következő események egyikének előfordulásából áll: A, B, C, A és B, A és C, B és C, A és B és C. Legyen az A és a C esemény. B összeférhetetlen, és ezeknek az eseményeknek a valószínűsége ismert. Hogyan állapítható meg annak a valószínűsége, hogy az A vagy a B esemény bekövetkezik? Erre a kérdésre az összeadástétel adja meg a választ. Tétel. Két összeférhetetlen esemény egyikének bekövetkezésének valószínűsége, függetlenül attól, hogy melyik, egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével:
P (A + B) = P (A) + P (B). Bizonyítás
Következmény. A több páronként összeférhetetlen esemény egyikének bekövetkezésének valószínűsége, függetlenül attól, hogy melyik, egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével:
P (A 1 + A 2 + ... + A n) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).
A valószínűség geometriai meghatározása - fogalma és típusai. A "valószínűség geometriai meghatározása" kategória osztályozása és jellemzői 2017, 2018.
A gyakorlatban nagyon gyakran találkozunk ilyen kísérletekkel, amelyeknek a lehetséges kimeneteleinek száma végtelen. Ilyen esetekben előfordulhat a valószínűségszámítás módszere is, amelyben továbbra is bizonyos események kiegyenlítődésének fogalma játssza a főszerepet.... .
Egy adott négyzetben véletlenszerűen kiválasztunk egy pontot, mekkora a valószínűsége, hogy ez a pont a D régión belül lesz, ahol SD a D régió területe, S a teljes terület területe négyzet. A klasszikus alatt egy bizonyos nulla valószínűséggel ... .
A valószínűség klasszikus definíciójának hátrányának kiküszöbölésére, miszerint nem alkalmazható végtelen számú kimenetelű kísérletekre, geometriai valószínűségeket vezetünk be - egy pont egy területre esésének valószínűségét. Legyen g lapos alak (szakasz vagy test)... .
A valószínűség klasszikus meghatározása ELŐADÁS 1. VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLET. SZÁRMAZÁS TÖRTÉNETE. A VALÓSZÍNŰSÉG KLASSIKUS MEGHATÁROZÁSA A.A. Khalafyan BIBLIOGRÁFIAI IRODALOM 1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Elmélet ... .[tovább] .
Ezt a definíciót akkor használjuk, ha egy élmény megszámlálhatatlanul sok lehetséges kimenettel rendelkezik. Ebben az esetben az elemi események tere egy bizonyos G régióként ábrázolható. Ennek a régiónak minden pontja egy elemi eseménynek felel meg. Ütés... .
A valószínűség geometriai meghatározása a klasszikus valószínűség fogalmának kiterjesztése elemi események megszámlálhatatlan halmazának esetére. Abban az esetben, ha egy megszámlálhatatlan halmaz, a valószínűséget nem elemi eseményeken, hanem azok halmazain határozzuk meg.... .
A valószínűség klasszikus definíciója EGY VÉLETLENSZERŰ ESEMÉNY VALÓSZÍNŰSÉGE Az eseményekre vonatkozó műveletek halmazelméleti értelmezése Végezzünk el néhány kísérletet véletlen kimenetelű. Sok &... .
A P(A)=m/n képlet értelmét veszti, ha az egyformán lehetséges inkompatibilis esetek száma korlátlan (végtelen halmazt alkot). Néha azonban lehetőség van bizonyos hossz-, terület-, térfogat-, idő- stb. mértékekben megadni egy S mennyiségi jellemzőt a végtelen, egyformán lehetséges inkompatibilis esetek teljes halmazára, és megadni ennek a halmaznak azt a részét, amely előnyben részesíti a A szóban forgó A esemény kezdete, hogy ugyanazokban a mértékekben S b karakterisztikát adjunk. Ekkor az A esemény bekövetkezésének valószínűségét a következő összefüggés határozza meg:
1. példa. Két x és y számot véletlenszerűen választunk ki az intervallumból. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy ezek a számok kielégítik az x 2 ≤ 4y ≤ 4x egyenlőtlenségeket.
Megoldás. A teszt egy x és y számpár véletlenszerű kiválasztásából áll az intervallumból. Ezt úgy fogjuk értelmezni, mint egy M(x;y) pont véletlenszerű kiválasztását egy olyan négyzet összes pontjának halmazából, amelynek oldala kettővel egyenlő. Tekintsük a Ф ábrát, amely a négyzet azon pontjainak halmaza, amelyek koordinátái kielégítik az x 2 ≤ 4y ≤ 4x egyenlőtlenségrendszert. Az érdekes esemény akkor és csak akkor következik be, ha a kiválasztott M(x;y) pont az Ф ábrához tartozik. 
A (8) képlet szerint a kívánt valószínűség megegyezik a Ф ábra területének és a négyzet területének arányával: 
2. példa. Megállapodtak, hogy egy bizonyos helyen találkoznak. Mindegyikük egymástól függetlenül, egy véletlenszerű pillanatban érkezik meg a kijelölt helyre, és nem vár tovább, mint az idő. Milyen valószínűséggel találkozunk ilyen feltételek mellett? 
Megoldás. Jelöljük x-szel az első személy érkezési idejét a megbeszélt helyre, y-vel pedig a második személy odaérkezésének idejét. Abból a feltételből következik, hogy x és y egymástól függetlenül fut át az időintervallumon. A teszt abból áll, hogy rögzítik a megjelölt személyek találkozóhelyre érkezési idejét. Ekkor ennek a kísérletnek az elemi eredményeinek terét az Ω=((x;y) : 0 ≤ x ≤ T, 0 ≤ y ≤ T négyzet M(x;y) pontjainak halmazaként értelmezzük. A számunkra érdekes A esemény - „a találkozás megtörtént” akkor és csak akkor következik be, ha a kiválasztott M(x; y) pont a Ф ábrán belül van, amely a négyzet azon pontjainak halmaza, amelyek koordinátái kielégítik az |x egyenlőtlenséget. – y| ≤ t. A (8) képlet szerint a kívánt valószínűség
a Ф ábra területének és az Ω négyzet területének aránya:
A feladatban kapott eredményt elemezve azt látjuk, hogy a találkozás valószínűsége a növekedéssel nő. Legyen például T = 1 óra, t = 20 perc, akkor
, vagyis az esetek felében gyakrabban kerül sor találkozókra, ha a fenti feltételek mellett ismételten egyeztetnek. 3. példa. Két pontot véletlenszerűen választunk ki az l szakaszon.
P(0 
4. példa. Egy pont véletlenszerűen kerül bele egy r sugarú körbe oly módon, hogy a kör bármely pontja egyformán lehetséges. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy olyan négyzeten belül lesz, amelynek a oldala egy körben helyezkedik el.
Megoldás. Annak a valószínűsége, hogy egy pont egy oldalú körben fekvő négyzet belsejében lesz a egyenlő a négyzet területének és a kör területének arányával.
Négyzetterület: Skv \u003d a 2.
A kör területe: S = πr 2
Ekkor a valószínűség a következő lesz: p \u003d Skv / S \u003d a 2 / πr 2
5. számú példa. Két valós számot véletlenszerűen választunk ki az intervallumból. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy összegük nagyobb, mint 4, és szorzatuk kisebb, mint 4.
Megoldás.
Összesen 5 szám van: 0,1,2,3,4. Előfordulásuk valószínűsége p=1/5 = 0,2
a) annak a valószínűsége, hogy összegük nagyobb lesz 4-nél
Az ilyen eredmények összesen 8:
1+4, 2+3, 2+4, 3+4 és 4+1, 3+2, 4+2, 4+3
P = 0,2*0,2*8 = 0,32
b) a szorzat kisebb, mint 4.
Az ilyen eredmények összesen 13:
0*1, 0*2, 0*3, 0*4, 1*1, 1*2,1*3 és 1*0, 2*0, 3*0, 4*0, 2*1, 3* egy
P = 0,2*0,2*13 = 0,52
Önálló megoldási feladatok
4.3. A vihar után vezetékszakadás történt a telefonvonal 40. és 70. kilométer közötti szakaszán. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a vonal 45. és 50. kilométere között történt a törés? (A vezetékszakadás valószínűségét bármely helyen azonosnak tételezzük fel).
Válasz: 1/6.
4.4. Egy pont véletlenszerűen bekerül egy r sugarú körbe. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy ez a pont az adott körbe írt szabályos háromszögben van.
Válasz:
4.5. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a [-1 intervallumból véletlenszerűen kiválasztott számok összege; 1] nagyobb, mint nulla, és a szorzatuk negatív.
Válasz: 0;25.
4.6. A harci kiképzés során az n-edik bombázószázad azt a feladatot kapta, hogy támadja meg az „ellenséges” olajtárat. A 30 és 50 m oldalú téglalap alakú olajraktár területén négy kerek, egyenként 10 m átmérőjű olajtartály található. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az olajraktár területét eltaláló bomba közvetlenül találja el az olajtartályokat, ha a bomba a bázis bármely pontját azonos valószínűséggel találja el.
Válasz: π/15.
4.7. Véletlenszerűen választunk ki két x és y valós számot úgy, hogy négyzetösszege kisebb 100-nál. Mennyi a valószínűsége, hogy ezeknek a számoknak a négyzetösszege nagyobb 64-nél?
Válasz: 0;36.
4.8. A két barát megegyezett, hogy 13:00 és 14:00 között találkoznak. Az elsőként érkező személy 20 percig várja a másodikat, majd távozik. Határozza meg a barátokkal való találkozás valószínűségét, ha az érkezésük pillanatai a megadott időintervallumban egyformán valószínűek!
Válasz: 5/9.
4.9. Két gőzhajónak kell ugyanahhoz a mólóhoz érkeznie. Mindkét hajó érkezési ideje egyformán lehetséges az adott napon. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az egyik gőzhajónak várnia kell a kikötőhely felszabadítására, ha az első gőzös egy órát, a második pedig két órát marad.
Válasz: ≈ 0;121.
4.10. Véletlenszerűen két pozitív x és y számot veszünk fel, amelyek nem haladják meg a kettőt. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az x y szorzat legfeljebb egy, az y/x hányados pedig legfeljebb kettő.
Válasz: ≈ 0;38.
4.11. Az ellipszoid által határolt G régióban 
, egy pont véletlenszerűen van rögzítve. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ennek a pontnak a koordinátái (x; y; z) kielégítik az x 2 + y 2 + z 2 ≤4 egyenlőtlenséget?
Válasz: 1/3.
4.12. Egy pontot dobunk egy R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0) csúcsú téglalapba. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a koordinátái kielégítik a 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8 egyenlőtlenségeket.
Válasz: 2/3.
4.13. A G tartományt az x 2 + y 2 = 25 kör, a g régiót pedig ez a kör és a 16x - 3y 2 > 0 parabola határolja. Határozza meg a g tartományba való esés valószínűségét!
Válasz: ≈ 0;346.
4.14. Véletlenszerűen két pozitív számot veszünk fel x és y, amelyek nem haladják meg az egyet. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az x + y összeg nem haladja meg az 1-et, és az x · y szorzat nem kisebb, mint 0,09.
Válasz: ≈ 0;198.
Azt is ajánljuk
Az emberiség történetének leghosszabb háborúja: történelem, érdekességek A háborúk keletkezésének elméletei
Rágócukorkák ROSHEN Őrült méhecske
Picodi: Minden kedvezmény egy helyen!
Mit fontos tudni a könyvelőnek a munkakörök speciális értékeléséről?
P \ 'ötéves tervek a Szovjetunióban A Szovjetunió összes ötéves terve
Ijesztő statisztikák az ostromlott Leningrádból
Betöltés...