Zadatak. Izgradite dijagrame Q i M za statički neodređenu gredu. Izračunavamo grede prema formuli:

n= Σ R- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Beam jednom je statički neodređen, što znači jedan reakcija je "ekstra" nepoznato. Za "ekstra" nepoznanicu uzet ćemo reakciju podrške NA — R B.

Statički određen snop, koji se iz zadane dobiva uklanjanjem "dodatne" veze, naziva se glavnim sustavom. (b).

Sada treba predstaviti ovaj sustav ekvivalent dano. Da biste to učinili, učitajte glavni sustav dano opterećenje, a u točki NA primijeniti "ekstra" reakcija R B(riža. u).

Međutim, za ekvivalencija ovaj nedovoljno, budući da je u takvoj gredi točka NA može biti kretati okomito, i u danoj gredi (sl. a ) to se ne može dogoditi. Stoga, dodajemo stanje, što otklon t. NA u glavnom sustavu mora biti jednak 0. Otklon t. NA sastoji se od otklon od djelujućeg opterećenja Δ F i od otklon od "ekstra" reakcije Δ R.

Zatim sastavljamo uvjet kompatibilnosti pomaka:

Δ F + Δ R=0 (1)

Sada ostaje izračunati ove pokreti (progibi).

Učitavam Osnovni, temeljni sustav dano opterećenje(riža .G) i graditi dijagram teretaM F (riža. d ).

NA t. NA primijeniti i izgraditi ep. (riža. jež ).

Simpsonovom formulom definiramo otklon opterećenja.

Sada definirajmo otklon od djelovanja "ekstra" reakcije R B , za to učitavamo glavni sustav R B (riža. h ) i nacrtajte trenutke iz njegove radnje M R (riža. i ).

Sastavite i odlučite jednadžba (1):

Hajdemo graditi ep. P i M (riža. do, l ).

Izgradnja dijagrama P.

Izgradimo parcelu M metoda karakteristične točke. Raspoređujemo točke na gredi - to su točke početka i kraja grede ( D,A ), koncentrirani trenutak ( B ), a također zabilježite kao karakterističnu točku sredinu jednoliko raspoređenog opterećenja ( K ) je dodatna točka za konstruiranje paraboličke krivulje.

Odredite momente savijanja u točkama. Pravilo znakova cm - .

Trenutak u NA definirat će se na sljedeći način. Prvo definirajmo:

Točka Do primimo se sredina područje s ravnomjerno raspoređenim opterećenjem.

Izgradnja dijagrama M . Zemljište AB – parabolična krivulja(pravilo "kišobrana"), zaplet BD – ravna kosa linija.

Za gredu odredite reakcije potpore i nacrtajte dijagrame momenta savijanja ( M) i posmične sile ( P).

1. Određujemo podupire slova ALI i NA i usmjeravaju reakcije podrške R A i R B .

Sastavljanje jednadžbe ravnoteže.

Ispitivanje

Zapišite vrijednosti R A i R B na shema proračuna.

2. Ucrtavanje poprečne sile metoda sekcije. Postavljamo sekcije na karakteristična područja(između promjena). Prema dimenzijskoj niti - 4 sekcije, 4 sekcije.

sec. 1-1 potez lijevo.

Dionica prolazi kroz dionicu sa jednoliko raspoređeno opterećenje, obratite pažnju na veličinu z 1 lijevo od odjeljka prije početka sekcije. Dužina parcele 2 m. Pravilo znakova za P - cm.

Gradimo na pronađenoj vrijednosti dijagramP.

sec. 2-2 potez desno.

Dionica opet prolazi kroz područje s jednoliko raspoređenim opterećenjem, obratite pažnju na veličinu z 2 desno od odjeljka do početka odjeljka. Dužina parcele 6 m.

Izgradnja dijagrama P.

sec. 3-3 potez desno.

sec. 4-4 pomaknite se udesno.

Mi gradimo dijagramP.

3. Izgradnja dijagrami M metoda karakteristične točke.

karakteristična točka- točka, bilo koja vidljiva na gredi. Ovo su točkice ALI, NA, S, D , kao i točka Do , pri čemu P=0 i moment savijanja ima ekstrem. također u sredina konzola stavlja dodatnu točku E, budući da je u ovom području pod jednoliko raspoređenim opterećenjem dijagram M opisano krivo liniji, a izgrađena je, barem, prema 3 bodova.

Dakle, točke su postavljene, nastavljamo s određivanjem vrijednosti ​​u njima momenti savijanja. Pravilo znakova - vidi..

Parcele NA, AD – parabolična krivulja(pravilo “kišobran” za strojarske specijalitete ili “pravilo jedra” za konstrukciju), odjeljci DC, SW – ravne kose linije.

Trenutak u točki D treba utvrditi i lijevo i desno iz točke D . Sam trenutak u ovim izrazima Isključen. U točki D dobivamo dva vrijednosti iz razlika po iznosu m – skok na njegovu veličinu.

Sada trebamo odrediti trenutak u točki Do (P=0). Međutim, prvo ćemo definirati položaj točke Do , označavajući udaljenost od njega do početka presjeka nepoznatom x .

T. Do pripada drugi karakteristično područje, jednadžba posmične sile(vidi gore)

Ali poprečna sila u t. Do jednako je 0 , a z 2 jednako nepoznato x .

Dobivamo jednadžbu:

Sada znajući x, odrediti trenutak u točki Do na desnoj strani.

Izgradnja dijagrama M . Gradnja je izvediva za mehanički specijalnosti, odgađajući pozitivne vrijednosti gore od nulte linije i korištenjem pravila "kišobrana".

Za zadanu shemu konzolne grede potrebno je nacrtati dijagrame poprečne sile Q i momenta savijanja M, izvršiti proračunski proračun odabirom kružnog presjeka.

Materijal - drvo, projektna otpornost materijala R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Postoje dva načina za izradu dijagrama u konzolnoj gredi s krutim završetkom - uobičajeni, nakon što su prethodno određene reakcije oslonca, i bez određivanja reakcija potpore, ako uzmemo u obzir presjeke, koji idu od slobodnog kraja grede i odbacuju lijeva strana sa završetkom. Napravimo dijagrame obični put.

1. Definirajte reakcije podrške.

Ravnomjerno raspoređeno opterećenje q zamijeniti uvjetnu silu Q= q 0,84=6,72 kN

U krutom ugradnji postoje tri reakcije potpore - vertikalna, horizontalna i momentna, u našem slučaju horizontalna reakcija je 0.

Nađimo okomito reakcija podrške R A i referentni trenutak M A iz jednadžbi ravnoteže.

U prva dva dijela s desne strane nema poprečne sile. Na početku dionice s ravnomjerno raspoređenim opterećenjem (desno) Q=0, straga - veličina reakcije R.A.
3. Za izgradnju ćemo sastaviti izraze za njihovu definiciju na sekcijama. Dijagram momenta ucrtavamo na vlakna, t.j. dolje.

(radnja pojedinačnih trenutaka već je izgrađena ranije)

Rješavamo jednadžbu (1) koju smanjujemo za EI

Otkrivena statička neodređenost, pronađena je vrijednost "ekstra" reakcije. Možete početi crtati Q i M dijagrame za statički neodređenu gredu... Skiciramo zadanu shemu grede i naznačimo vrijednost reakcije Rb. U ovom snopu, reakcije u prekidu ne mogu se odrediti ako idete udesno.

Zgrada parcele Q za statički neodređenu gredu

Zaplet Q.

Zacrtavanje M

M definiramo u točki ekstrema – u točki Do. Prvo, definirajmo njegov položaj. Označavamo udaljenost do njega kao nepoznatu " x". Zatim

Planiramo M.

Određivanje posmičnih naprezanja u I-presjeku. Razmotrite odjeljak I-zraka. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Za određivanje posmičnog naprezanja koristi se formula, gdje je Q poprečna sila u presjeku, S x 0 je statički moment dijela poprečnog presjeka koji se nalazi na jednoj strani sloja u kojem se određuju posmična naprezanja, I x je moment tromosti cijelog križa presjek, b je širina presjeka na mjestu gdje se određuje posmično naprezanje

Izračunaj maksimum posmično naprezanje:

Izračunajmo statički moment za najgornja polica:

Sada izračunajmo posmična naprezanja:

Mi gradimo dijagram posmičnog naprezanja:

Projektiranje i verifikacijski proračuni. Za gredu s konstruiranim dijagramima unutarnjih sila odaberite presjek u obliku dva kanala iz uvjeta čvrstoće za normalna naprezanja. Provjerite čvrstoću grede pomoću uvjeta posmične čvrstoće i kriterija energetske čvrstoće. dano:

Pokažimo gredu s konstruiranim parcele Q i M

Prema dijagramu momenata savijanja, opasno je odjeljak C, pri čemu M C \u003d M max \u003d 48,3 kNm.

Stanje čvrstoće za normalna naprezanja jer ova greda ima oblik σ max \u003d M C / W X ≤σ adm. Potrebno je odabrati dio sa dva kanala.

Odredite potrebnu izračunatu vrijednost modul aksijalnog presjeka:

Za dio u obliku dva kanala, prema prihvatiti dva kanala №20a, moment inercije svakog kanala I x = 1670 cm 4, onda aksijalni moment otpora cijelog presjeka:

Prenapon (podnapon) na opasnim točkama računamo prema formuli: Tada dobivamo podnapon:

Sada provjerimo snagu snopa, na temelju uvjeti čvrstoće za posmična naprezanja. Prema dijagram posmičnih sila opasno su sekcije u odjeljku BC i odjeljku D. Kao što se može vidjeti iz dijagrama, Q max \u003d 48,9 kN.

Uvjet čvrstoće za posmična naprezanja izgleda kao:

Za kanal br. 20 a: statički moment površine S x 1 = 95,9 cm 3, moment tromosti presjeka I x 1 = 1670 cm 4, debljina stijenke d 1 = 5,2 mm, prosječna debljina police t 1 \u003d 9,7 mm , visina kanala h 1 = 20 cm, širina police b 1 = 8 cm.

Za poprečno sekcije dva kanala:

S x = 2S x 1 = 2 95,9 = 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 \u003d 1,04 cm.

Određivanje vrijednosti maksimalno posmično naprezanje:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 = 27 MPa.

kao što se vidi, τmax<τ adm (27 MPa<75МПа).

Stoga, uvjet čvrstoće je ispunjen.

Čvrstoću snopa provjeravamo prema energetskom kriteriju.

Iz obzira dijagrami Q i M slijedi to odjeljak C je opasan, u kojem M C =M max =48,3 kNm i Q C =Q max =48,9 kN.

Hajdemo potrošiti analiza stanja naprezanja u točkama presjeka C

Hajdemo definirati normalna i posmična naprezanja na nekoliko razina (označeno na dijagramu presjeka)

Razina 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normalno i tangentno napon:

Glavni napon:

Razina 2-2: y 2-2 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Glavni naponi:

Razina 3-3: y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Normalna i posmična naprezanja:

Glavni naponi:

Ekstremna posmična naprezanja:

Razina 4-4: y 4-4 =0.

(u sredini su normalna naprezanja jednaka nuli, tangencijalna naprezanja su maksimalna, pronađena su u ispitivanju čvrstoće za tangencijalna naprezanja)

Glavni naponi:

Ekstremna posmična naprezanja:

Razina 5-5:

Normalna i posmična naprezanja:

Glavni naponi:

Ekstremna posmična naprezanja:

Razina 6-6:

Normalna i posmična naprezanja:

Glavni naponi:

Ekstremna posmična naprezanja:

Razina 7-7:

Normalna i posmična naprezanja:

Glavni naponi:

Ekstremna posmična naprezanja:

Prema izvršenim proračunima dijagrami naprezanja σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max i τ min prikazani su na sl.

Analiza ove dijagram pokazuje, koji je u presjeku grede opasne točke su na razini 3-3 (ili 5-5), u kojem:

Korištenje energetski kriterij snage, dobivamo

Iz usporedbe ekvivalentnih i dopuštenih naprezanja proizlazi da je uvjet čvrstoće također zadovoljen

(135,3 MPa<150 МПа).

Kontinuirana greda je opterećena u svim rasponima. Izradite dijagrame Q i M za kontinuiranu gredu.

1. Definirajte stupanj statičke nesigurnosti grede prema formuli:

n= Sop -3= 5-3 =2, gdje Sop - broj nepoznatih reakcija, 3 - broj jednadžbi statike. Za rješavanje ove grede potrebno je dvije dodatne jednadžbe.

2. Označiti brojevima podupire s nulom u redu ( 0,1,2,3 )

3. Označiti rasponske brojeve od prve u redu ( v 1, v 2, v 3)

4. Svaki raspon se smatra kao jednostavna greda i izgraditi dijagrame za svaku jednostavnu gredu Q i M.Što se odnosi na jednostavna greda, označit ćemo s indeksom "0“, koji se odnosi na stalan greda, označit ćemo bez ovog indeksa. Dakle, poprečna sila i moment savijanja za jednostavnu gredu.

Prilikom gradnje dijagrami momenta savijanjaM na graditelji prihvaćeno: ordinate koje se izražavaju u određenom mjerilu pozitivan vrijednosti momenata savijanja, ostaviti na stranu rastegnut vlakna, t.j. - dolje, a negativan - gore od osi grede. Stoga kažu da graditelji grade dijagrame na rastegnutim vlaknima. Mehanika Nacrtane su pozitivne vrijednosti posmične sile i momenta savijanja gore. Mehanika gradi dijagrame komprimiran vlakna.

Glavni naglasci pri savijanju. Ekvivalentni naponi.

U općem slučaju izravnog savijanja u poprečnim presjecima grede, normalan i tangentenapon. Ovi naponi razlikuju se po dužini i visini grede.

Dakle, u slučaju savijanja, ravninsko naponsko stanje.

Razmotrimo shemu u kojoj je greda opterećena silom P

Najveća normala naprezanja se javljaju u ekstremno, točke najudaljenije od neutralne linije, i u njima nema posmičnih naprezanja. Dakle za ekstremno vlakna glavna naprezanja različita od nule su normalna naprezanja u presjeku.

Na razini neutralne linije u poprečnom presjeku grede nastaju najveća posmična naprezanja, a normalna naprezanja su nula. znači u vlaknima neutralan sloj glavna naprezanja određena su vrijednostima posmičnih naprezanja.

U ovom dizajnerskom modelu gornja vlakna grede će biti rastegnuta, a donja će biti komprimirana. Za određivanje glavnih naprezanja koristimo dobro poznati izraz:

Pun analiza stanja naprezanja prisutna na slici.

Analiza stanja naprezanja pri savijanju

Najveći glavni napon σ 1 nalazi se na vrh ekstremna vlakna i jednaka je nuli na donjim ekstremnim vlaknima. Glavno naprezanje σ 3 Ima najveća apsolutna vrijednost na donjim vlaknima.

Glavna putanja naprezanja ovisi o vrsta opterećenja i način popravljanja grede.

Prilikom rješavanja problema dovoljno je odvojenoček normalan i odvojena posmična naprezanja. Međutim, ponekad najstresniji isključiti srednji vlakna koja imaju i normalna i posmična naprezanja. To se događa u odjeljcima gdje istovremeno i moment savijanja i poprečna sila postižu velike vrijednosti- to može biti u ugradnji konzolne grede, na nosaču grede s konzolom, u presjecima pod koncentriranom silom ili u presjecima s oštro promjenjivom širinom. Na primjer, u I-odjeljku, najopasniji spoj zida na policu- tamo su značajna i normalna i posmična naprezanja.

Materijal je u stanju ravnih naprezanja i zahtijeva ispitivanje ekvivalentnog napona.

Uvjeti čvrstoće za grede od duktilnih materijala na treći(teorije najvećih tangencijalnih naprezanja) i Četvrta(teorija energije promjene oblika) teorije snage.

U pravilu, kod valjanih greda, ekvivalentna naprezanja ne prelaze normalna naprezanja u krajnjim vanjskim vlaknima i nije potrebna posebna provjera. Druga stvar - kompozitne metalne grede, koji tanji zid nego kod valjanih profila na istoj visini. Češće se koriste zavarene kompozitne grede od čeličnih limova. Proračun takvih greda za čvrstoću: a) izbor presjeka - visina, debljina, širina i debljina tetiva greda; b) ispitivanje čvrstoće na normalna i posmična naprezanja; c) provjera čvrstoće ekvivalentnim naprezanjima.

Određivanje posmičnih naprezanja u I-presjeku. Razmotrite odjeljak I-zraka. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Za određivanje posmičnog naprezanja koristi se formula, gdje je Q poprečna sila u presjeku, S x 0 je statički moment dijela poprečnog presjeka koji se nalazi na jednoj strani sloja u kojem se određuju posmična naprezanja, I x je moment tromosti cijelog križa presjek, b je širina presjeka na mjestu gdje se određuje posmično naprezanje

Izračunaj maksimum posmično naprezanje:

Izračunajmo statički moment za najgornja polica:

Sada izračunajmo posmična naprezanja:

Mi gradimo dijagram posmičnog naprezanja:

Razmotrite dio standardnog profila u obrascu I-zraka i definirati posmična naprezanja djeluje paralelno s poprečnom silom:

Izračunati statične trenutke jednostavne brojke:

Ova vrijednost se također može izračunati inače, koristeći činjenicu da se za I-gredu i presjek korita istovremeno daje statički moment polovice presjeka. Da biste to učinili, potrebno je od poznate vrijednosti statičkog momenta oduzeti vrijednost statičkog momenta na liniju A 1 B 1:

Mijenjaju se posmična naprezanja na spoju prirubnice i zida grčevito, kao oštar debljina stijenke se mijenja od t sv prije b.

Pločice posmičnih naprezanja u stijenkama korita, šupljih pravokutnih i drugih presjeka imaju isti oblik kao i kod I-presjeka. Formula uključuje statički moment zasjenjenog dijela presjeka u odnosu na os X, a nazivnik je širina presjeka (neto) u sloju gdje se određuje posmično naprezanje.

Odredimo posmična naprezanja za kružni presjek.

Budući da tangencijalna naprezanja na konturi presjeka moraju biti usmjerena tangenta na konturu, zatim na točkama ALI i NA na krajevima bilo koje tetive paralelne s promjerom AB, posmična naprezanja su usmjerena okomito na polumjere OA i OV. Stoga, smjerovima posmična naprezanja u točkama ALI, VK konvergirati u nekom trenutku H na osi Y.

Statički moment odsječnog dijela:

Odnosno, posmična naprezanja se mijenjaju prema parabolični zakona i bit će maksimalni na razini neutralne linije kada y 0 =0

Formula za određivanje posmičnog naprezanja (formula)

Razmislite o pravokutnom presjeku

Na daljinu u 0 crtati iz središnje osi odjeljak 1-1 te odrediti posmična naprezanja. Statički trenutak područje odrezani dio:

Treba imati na umu da temeljno ravnodušan, uzeti statički moment područja u hladu ili odmoru presjek. Oba statična momenta jednaki i suprotni po predznaku, pa su iznos, koji predstavlja statički moment površine cijelog presjeka u odnosu na neutralnu liniju, odnosno središnju os x, bit će jednaka nula.

Moment inercije pravokutnog presjeka:

Zatim posmična naprezanja prema formuli

Varijabla y 0 uključena je u formulu tijekom drugi stupnjeva, tj. posmična naprezanja u pravokutnom presjeku variraju s zakon kvadratne parabole.

Dosegnuto smično naprezanje maksimum na razini neutralne linije, t.j. kada y 0 = 0:

, gdje A je površina cijelog presjeka.

Uvjet čvrstoće za posmična naprezanja izgleda kao:

, gdje S x 0 je statički moment dijela poprečnog presjeka koji se nalazi na jednoj strani sloja u kojem se određuju posmična naprezanja, ja x je moment tromosti cijelog poprečnog presjeka, b- širina presjeka na mjestu gdje se određuje posmično naprezanje, P- poprečna sila, τ - posmično naprezanje, [τ] — dopušteno posmično naprezanje.

Ovo stanje čvrstoće omogućuje proizvodnju tri vrsta proračuna (tri vrste problema u analizi čvrstoće):

1. Proračun provjere ili ispitivanje čvrstoće za posmična naprezanja:

2. Odabir širine presjeka (za pravokutni presjek):

3. Određivanje dopuštene poprečne sile (za pravokutni presjek):

Za utvrđivanje tangente naprezanja, razmotrimo gredu opterećenu silama.

Zadatak određivanja naprezanja je uvijek statički neodređeno i zahtijeva uključivanje geometrijski i fizički jednadžbe. Međutim, može se uzeti hipoteze o prirodi raspodjele stresa da će zadatak postati statički određen.

Dva beskonačno bliska presjeka 1-1 i 2-2 odabir dz element, nacrtajte ga u velikom mjerilu, a zatim nacrtajte uzdužni presjek 3-3.

U odjeljcima 1–1 i 2–2, normalna σ 1 , σ 2 naprezanja, koji su određeni poznatim formulama:

gdje M - moment savijanja u presjeku dM - prirast moment savijanja na duljini dz

Smična sila u odjeljcima 1–1 i 2–2 usmjerena je duž glavne središnje osi Y i očito predstavlja zbroj vertikalnih komponenti unutarnjih posmičnih naprezanja raspoređenih po presjeku. U čvrstoći materijala, obično se uzima pretpostavka njihove jednolike raspodjele po širini presjeka.

Za određivanje veličine posmičnih naprezanja u bilo kojoj točki poprečnog presjeka, koja se nalazi na udaljenosti u 0 od neutralne osi X kroz ovu točku povucite ravninu paralelnu s neutralnim slojem (3-3) i izvadite odsječni element. Odredit ćemo napon koji djeluje na ABSD mjesto.

Projicirajmo sve sile na os Z

Rezultanta unutarnjih uzdužnih sila duž desne strane bit će jednaka:

gdje A 0 je površina lica fasade, S x 0 je statički moment odsječenog dijela u odnosu na os X. Slično na lijevoj strani:

Obje rezultante usmjerene jedna prema drugoj jer je element u komprimiran zona snopa. Njihova razlika je uravnotežena tangencijalnim silama na donjem dijelu 3-3.

Pretvarajmo se to posmična naprezanja τ raspoređena po širini poprečnog presjeka grede b ravnomjerno. Ova pretpostavka je vjerojatnija što je širina manja u usporedbi s visinom presjeka. Zatim rezultanta tangencijalnih sila dT jednaka je vrijednosti naprezanja pomnoženoj s površinom lica:

Sastavite sada jednadžba ravnoteže Σz=0:

ili odakle

prisjetimo se diferencijalne ovisnosti, prema kojemu Tada dobivamo formulu:

Ova formula se zove formule. Ova formula je dobivena 1855. Ovdje S x 0 - statički moment dijela poprečnog presjeka, nalazi se na jednoj strani sloja u kojem se određuju posmični naprezanja, I x - moment inercije cijeli poprečni presjek b - širina presjeka gdje je određen posmični napon, Q - poprečna sila u odjeljku.

je uvjet čvrstoće na savijanje, gdje

- maksimalni moment (modulo) iz dijagrama momenata savijanja; - modul aksijalnog presjeka, geometrijski karakteristika; - dopušteno naprezanje (σadm)

- maksimalni normalni stres.

Ako se izračun temelji na metoda graničnog stanja, tada se u proračun umjesto dopuštenog naprezanja uvodi konstrukcijski otpor materijala R.

Vrste proračuna čvrstoće na savijanje

1. Provjeravam proračun ili provjera normalne čvrstoće na naprezanje

2. Projekt izračun ili odabir odjeljka

3. Definicija dopušteno opterećenja (definicija kapacitet dizanja i ili operativni prijevoznik sposobnosti)

Prilikom izvođenja formule za izračun normalnih naprezanja, razmotrite takav slučaj savijanja, kada se unutarnje sile u presjecima grede svode samo na moment savijanja, a poprečna sila je nula. Ovaj slučaj savijanja naziva se čisto savijanje. Razmotrimo srednji dio grede koji prolazi kroz čisto savijanje.

Kada se optereti, greda se savija tako da se donja vlakna se produžuju, a gornja skraćuju.

Budući da se neka vlakna grede rastežu, a neka stisnu, dolazi do prijelaza iz napetosti u kompresiju glatko, bez skokova, u sredina dio grede je sloj čija se vlakna samo savijaju, ali ne doživljavaju ni napetost ni kompresiju. Takav sloj se zove neutralan sloj. Crta duž koje se neutralni sloj siječe s poprečnim presjekom grede naziva se neutralna linija ili neutralna os sekcije. Na os grede su nanizane neutralne linije. neutralna linija je linija u kojoj normalna naprezanja su nula.

Linije povučene na bočnoj površini grede okomito na os ostaju ravan pri savijanju. Ovi eksperimentalni podaci omogućuju zasnivanje izvođenja formula hipoteza ravnih presjeka (hipoteza). Prema ovoj hipotezi, presjeci grede su ravni i okomiti na svoju os prije savijanja, ostaju ravni i postaju okomiti na savijenu os grede kada je savijena.

Pretpostavke za izvođenje formula normalnog naprezanja: 1) Ispunjena je hipoteza o ravnim presjecima. 2) Uzdužna vlakna ne pritišću jedno na drugo (hipoteza bez pritiska) i stoga je svako od vlakana u stanju jednoosne napetosti ili kompresije. 3) Deformacije vlakana ne ovise o njihovom položaju duž širine presjeka. Posljedično, normalna naprezanja, mijenjajući se po visini presjeka, ostaju ista po širini. 4) Greda ima barem jednu ravninu simetrije i sve vanjske sile leže u toj ravnini. 5) Materijal grede pokorava se Hookeovom zakonu, a modul elastičnosti pri napetosti i pritisku je isti. 6) Omjeri između dimenzija grede su takvi da radi u uvjetima ravnog savijanja bez savijanja ili uvijanja.

Razmotrimo gredu proizvoljnog presjeka, ali ima os simetrije. Moment savijanja predstavlja rezultantni moment unutarnjih normalnih sila koji nastaju na beskonačno malim površinama i mogu se izraziti u terminima sastavni oblik: (1), gdje je y krak elementarne sile u odnosu na os x

Formula (1) izražava statički stranu problema savijanja ravne šipke, ali duž nje prema poznatom momentu savijanja nemoguće je odrediti normalna naprezanja dok se ne uspostavi zakon njihove raspodjele.

Odaberite grede u srednjem dijelu i razmotrite presjek duljine dz, podložan savijanju. Uvećajmo ga.

Presjeci koji omeđuju presjek dz, paralelno jedna s drugom prije deformacije, a nakon primjene opterećenja okrenuti oko svojih neutralnih linija pod kutom . Duljina segmenta vlakana neutralnog sloja neće se promijeniti. i bit će jednak: , gdje je polumjer zakrivljenosti zakrivljena os grede. Ali bilo koje drugo vlakno laže ispod ili iznad neutralni sloj, promijenit će svoju dužinu. Izračunaj relativno produljenje vlakana smještenih na udaljenosti y od neutralnog sloja. Relativno istezanje je omjer apsolutne deformacije prema izvornoj duljini, tada:

Smanjujemo za i smanjujemo slične pojmove, tada dobivamo: (2) Ova formula izražava geometrijski strana problema čistog savijanja: deformacije vlakana izravno su proporcionalne njihovoj udaljenosti od neutralnog sloja.

Sada idemo na naprezanja, tj. razmotrit ćemo fizički stranu zadatka. u skladu s pretpostavka bez pritiska vlakna se koriste u aksijalnoj napetosti-kompresiji: tada, uzimajući u obzir formulu (2) imamo (3), oni. normalna naprezanja pri savijanju po visini presjeka raspoređeni su prema linearnom zakonu. Na ekstremnim vlaknima normalna naprezanja dostižu svoju maksimalnu vrijednost, a u težištu poprečni presjeci su jednaki nuli. Zamjena (3) u jednadžbu (1) i uzmemo razlomak iz predznaka integrala kao konstantnu vrijednost, onda imamo . Ali izraz je aksijalni moment tromosti presjeka oko x-ose - ja x. Njegova dimenzija cm 4, m 4

Zatim ,gdje (4) , gdje je zakrivljenost savijene osi grede, a je krutost presjeka grede tijekom savijanja.

Zamijenite rezultirajući izraz zakrivljenost (4) u izraz (3) i dobiti formula za izračun normalnih naprezanja u bilo kojoj točki poprečnog presjeka: (5)

Da. maksimum nastaju naprezanja u točkama najudaljenijim od neutralne linije. Stav (6) pozvao modul aksijalnog presjeka. Njegova dimenzija cm 3, m 3. Moment otpora karakterizira utjecaj oblika i dimenzija poprečnog presjeka na veličinu naprezanja.

Zatim maksimalni naponi: (7)

Uvjet čvrstoće na savijanje: (8)

Tijekom poprečnog savijanja ne samo normalna, nego i posmična naprezanja, jer dostupno posmična sila. Smična naprezanja kompliciraju sliku deformacije, dovode do zakrivljenost poprečni presjeci grede, kao rezultat toga narušena je hipoteza ravnih presjeka. Međutim, studije pokazuju da su izobličenja uzrokovana posmičnim naprezanjima malo utječu na normalna naprezanja izračunata formulom (5) . Dakle, pri određivanju normalnih naprezanja u slučaju poprečnog savijanja teorija čistog savijanja je sasvim primjenjiva.

Neutralna linija. Pitanje o položaju neutralne linije.

Kod savijanja ne postoji uzdužna sila pa možemo pisati Ovdje zamijenite formulu za normalna naprezanja (3) i dobiti Budući da je modul elastičnosti materijala grede različit od nule, a savijena os grede ima konačni polumjer zakrivljenosti, ostaje pretpostaviti da je ovaj integral statički moment površine presjek grede u odnosu na neutralnu linijsku os x , i od jednaka je nuli, tada neutralna linija prolazi kroz težište presjeka.

Uvjet (odsutnost momenta unutarnjih sila u odnosu na liniju polja) će dati ili uzimajući u obzir (3) . Iz istih razloga (vidi gore) . U integrandu - centrifugalni moment tromosti presjeka oko osi x i y jednak je nuli, pa su ove sjekire glavni i središnji i šminkati ravno injekcija. Stoga, strujni i neutralni vodovi u ravnom zavoju međusobno su okomiti.

Postavljanjem položaj neutralne linije, jednostavan za izgradnju dijagram normalnog naprezanja po visini presjeka. Nju linearni karakter je određen jednadžba prvog stupnja.

Priroda dijagrama σ za simetrične presjeke u odnosu na neutralnu liniju, M<0

Hipoteza ravnih presjeka kod savijanja može se objasniti na primjeru: nanesimo mrežu na bočnu površinu nedeformirane grede, koja se sastoji od uzdužnih i poprečnih (okomitih na os) ravnih linija. Kao rezultat savijanja grede, uzdužne linije će poprimiti krivolinijski oblik, dok će poprečne linije praktički ostati ravne i okomite na savijenu os grede.

Formulacija hipoteze planarnog presjeka: poprečni presjeci koji su ravni i okomiti na os grede prije , ostaju ravni i okomiti na zakrivljenu os nakon što je deformirana.

Ova okolnost ukazuje da kada hipoteza ravnog presjeka, kao i kod i

Uz hipotezu o ravnim presjecima, postavlja se pretpostavka: uzdužna vlakna grede ne pritišću jedno drugo kada je savijena.

Zovu se hipoteza ravnih presjeka i pretpostavka Bernoullijevo nagađanje.

Razmislite o gredi pravokutnog presjeka koja doživljava čisto savijanje (). Odaberimo element grede s duljinom (slika 7.8. a). Kao rezultat savijanja, poprečni presjeci grede će se rotirati, tvoreći kut. Gornja vlakna su u kompresiji, a donja su u napetosti. Polumjer zakrivljenosti neutralnog vlakna označava se sa .

Uvjetno smatramo da vlakna mijenjaju svoju duljinu, a ostaju ravna (slika 7.8. b). Zatim apsolutno i relativno istezanje vlakna, razmaknuto na udaljenosti y od neutralnog vlakna:

Pokažimo da uzdužna vlakna, koja ne doživljavaju ni napetost ni kompresiju tijekom savijanja grede, prolaze kroz glavnu središnju os x.

Budući da se duljina grede ne mijenja tijekom savijanja, uzdužna sila (N) koja nastaje u poprečnom presjeku mora biti nula. Elementarna uzdužna sila.

S obzirom na izraz :

Množitelj se može izvaditi iz predznaka integrala (ne ovisi o integracijskoj varijabli).

Izraz predstavlja presjek grede u odnosu na neutralnu x-os. Ona je nula kada neutralna os prolazi kroz težište presjeka. Posljedično, neutralna os (nulta linija) kada je greda savijena prolazi kroz težište poprečnog presjeka.

Očito: moment savijanja povezan je s normalnim naprezanjima koja se javljaju u točkama poprečnog presjeka šipke. Elementarni moment savijanja stvoren elementarnom silom:

,

gdje je aksijalni moment tromosti presjeka oko neutralne osi x, a omjer je zakrivljenost osi grede.

Krutost grede u savijanju(što je veći, manji je polumjer zakrivljenosti).

Rezultirajuća formula predstavlja Hookeov zakon u savijanju za štap: moment savijanja koji se javlja u poprečnom presjeku proporcionalan je zakrivljenosti osi grede.

Izražavanje iz formule Hookeovog zakona za štap pri savijanju polumjera zakrivljenosti () i zamjena njegove vrijednosti u formuli , dobivamo formulu za normalna naprezanja () u proizvoljnoj točki poprečnog presjeka grede, udaljenoj na udaljenosti y od neutralne osi x: .

U formuli za normalna naprezanja () u proizvoljnoj točki poprečnog presjeka grede treba zamijeniti apsolutne vrijednosti momenta savijanja () i udaljenosti od točke do neutralne osi (y koordinate) . Hoće li naprezanje u danoj točki biti vlačno ili tlačno lako je utvrditi po prirodi deformacije grede ili po dijagramu momenata savijanja čije su ordinate ucrtane sa strane komprimiranih vlakana grede.

Može se vidjeti iz formule: normalna naprezanja () se mijenjaju po visini poprečnog presjeka grede prema linearnom zakonu. Na sl. 7.8, prikazan je zaplet. Najveća naprezanja tijekom savijanja grede javljaju se u točkama koje su najudaljenije od neutralne osi. Ako se u presjeku grede povuče pravac paralelan s neutralnom osi x, tada u svim njezinim točkama nastaju ista normalna naprezanja.

Jednostavna analiza dijagrami normalnog naprezanja pokazuje da kada je greda savijena, materijal koji se nalazi u blizini neutralne osi praktički ne radi. Stoga se radi smanjenja težine grede preporučuje odabir oblika presjeka kod kojih je većina materijala uklonjena s neutralne osi, kao što je npr. I-profil.

savijati se naziva se vrsta opterećenja šipke, u kojoj se na nju primjenjuje moment, koji leži u ravnini koja prolazi kroz uzdužnu os. U poprečnim presjecima grede javljaju se momenti savijanja. Prilikom savijanja dolazi do deformacije u kojoj je os ravne grede savijena ili se zakrivljenost zakrivljene grede mijenja.

Greda koja radi pri savijanju naziva se greda . Zove se konstrukcija koja se sastoji od nekoliko šipki za savijanje međusobno povezanih najčešće pod kutom od 90 ° okvir .

Zavoj se zove ravna ili ravna , ako ravnina djelovanja tereta prolazi kroz glavnu središnju os inercije presjeka (slika 6.1).

Slika 6.1

S ravnim poprečnim savijanjem u gredi nastaju dvije vrste unutarnjih sila: poprečna sila P i moment savijanja M. U okviru s ravnim poprečnim savijanjem nastaju tri sile: uzdužna N, poprečno P sile i moment savijanja M.

Ako je moment savijanja jedini unutarnji faktor sile, tada se takav zavoj naziva čist (sl.6.2). U prisutnosti poprečne sile, zavoj se zove poprečno . Strogo govoreći, samo čisto savijanje spada u jednostavne vrste otpora; poprečno savijanje uvjetno se naziva jednostavnim vrstama otpora, budući da se u većini slučajeva (za dovoljno dugačke grede) djelovanje poprečne sile može zanemariti u proračunima čvrstoće.

22.Ravni poprečni zavoj. Diferencijalne ovisnosti između unutarnjih sila i vanjskog opterećenja. Između momenta savijanja, poprečne sile i intenziteta raspoređenog opterećenja postoje diferencijalne ovisnosti temeljene na teoremu Žuravskog, nazvanom po ruskom inženjeru mostova D. I. Žuravskom (1821-1891).

Ovaj teorem je formuliran na sljedeći način:

Poprečna sila jednaka je prvoj derivaciji momenta savijanja duž apscise presjeka grede.

23. Ravni poprečni zavoj. Konstrukcija dijagrama poprečnih sila i momenata savijanja. Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 1

Desnu stranu grede odbacujemo i njezino djelovanje na lijevoj strani zamjenjujemo poprečnom silom i momentom savijanja. Radi praktičnosti izračuna, odbačeni desni dio grede zatvaramo listom papira, poravnavajući lijevi rub lista s razmatranim odjeljkom 1.

Poprečna sila u dijelu 1 grede jednaka je algebarskom zbroju svih vanjskih sila koje su vidljive nakon zatvaranja

Vidimo samo silaznu reakciju podrške. Dakle, poprečna sila je:

kN.

Znak minus smo uzeli jer sila rotira vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (ili zato što je jednako usmjerena sa smjerom poprečne sile prema pravilu znakova)

Moment savijanja u presjeku 1 grede jednak je algebarskom zbroju momenata svih napora koje vidimo nakon zatvaranja odbačenog dijela grede, u odnosu na razmatrani presjek 1.

Vidimo dva napora: reakciju oslonca i trenutak M. Međutim, krak sile je gotovo nula. Dakle, moment savijanja je:

kN m

Ovdje uzimamo znak plus jer vanjski moment M savija vidljivi dio grede konveksnošću prema dolje. (ili zato što je suprotan smjeru momenta savijanja prema pravilu znakova)

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 2

Za razliku od prvog dijela, sila reakcije ima rame jednako a.

poprečna sila:

kN;

moment savijanja:

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 3

poprečna sila:

moment savijanja:

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 4

Sada udobnije lijevu stranu grede prekrijte listom.

poprečna sila:

moment savijanja:

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - odjeljak 5

poprečna sila:

moment savijanja:

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja - dio 1

poprečna sila i moment savijanja:

.

Na temelju pronađenih vrijednosti konstruiramo dijagram poprečnih sila (slika 7.7, b) i momenata savijanja (sl. 7.7, c).

KONTROLA ISPRAVNE KONSTRUKCIJE FIZIKA

Ispravnost konstrukcije dijagrama prema vanjskim obilježjima provjerit ćemo korištenjem pravila za konstruiranje dijagrama.

Provjera grafikona posmične sile

Uvjereni smo: pod neopterećenim presjecima dijagram poprečnih sila ide paralelno s osi grede, a pod raspoređenim opterećenjem q, duž ravne linije nagnute prema dolje. Na dijagramu uzdužne sile postoje tri skoka: ispod reakcije - dolje za 15 kN, pod silom P - dolje za 20 kN i ispod reakcije - gore za 75 kN.

Provjera grafikona momenta savijanja

Na dijagramu momenata savijanja vidimo lomove pod koncentriranom silom P i pod reakcijama oslonca. Kutovi loma usmjereni su prema tim silama. Pod raspoređenim opterećenjem q dijagram momenata savijanja mijenja se duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. U odjeljku 6, na dijagramu momenta savijanja, nalazi se ekstrem, budući da dijagram poprečne sile na ovom mjestu prolazi kroz nulu.

10.1. Opći pojmovi i definicije

savijati se- ovo je vrsta opterećenja u kojoj je štap opterećen momentima u ravninama koje prolaze kroz uzdužnu os štapa.

Šipka koja radi u savijanju naziva se greda (ili šipka). U budućnosti ćemo razmotriti ravne grede, čiji poprečni presjek ima barem jednu os simetrije.

U otpornosti materijala, savijanje je ravno, koso i složeno.

ravni zavoj- savijanje, u kojem sve sile koje savijaju gredu leže u jednoj od ravnina simetrije grede (u jednoj od glavnih ravnina).

Glavne ravnine inercije grede su ravnine koje prolaze kroz glavne osi poprečnih presjeka i geometrijsku os grede (os x).

kosi zavoj- savijanje, pri kojem opterećenja djeluju u jednoj ravnini koja se ne podudara s glavnim ravninama inercije.

Složeni zavoj- savijanje, pri kojem opterećenja djeluju u različitim (proizvoljnim) ravninama.

10.2. Određivanje unutarnjih sila savijanja

Razmotrimo dva karakteristična slučaja savijanja: u prvom slučaju, konzolna greda je savijena koncentriranim momentom Mo; u drugom, koncentriranom silom F.

Metodom mentalnih presjeka i sastavljanjem jednadžbi ravnoteže za odsječene dijelove grede određujemo unutarnje sile u oba slučaja:

Ostale jednadžbe ravnoteže očito su identično jednake nuli.

Dakle, u općem slučaju ravnog savijanja u presjeku grede, od šest unutarnjih sila nastaju dvije - moment savijanja Mz i posmična sila Qy (ili pri savijanju oko druge glavne osi - moment savijanja My i poprečna sila Qz).

U ovom slučaju, u skladu s dva razmatrana slučaja opterećenja, ravno savijanje se može podijeliti na čisto i poprečno.

Čisti zavoj- ravno savijanje, kod kojeg samo jedna od šest unutarnjih sila nastaje u presjecima šipke - moment savijanja (vidi prvi slučaj).

poprečni zavoj- savijanje, pri kojem se, osim unutarnjeg momenta savijanja, javlja i poprečna sila u presjecima šipke (vidi drugi slučaj).

Strogo govoreći, samo čisto savijanje spada u jednostavne vrste otpora; poprečno savijanje uvjetno se odnosi na jednostavne vrste otpora, budući da se u većini slučajeva (za dovoljno dugačke grede) djelovanje poprečne sile može zanemariti u proračunima čvrstoće.

Prilikom određivanja unutarnjih sila pridržavat ćemo se sljedećeg pravila znakova:

1) poprečna sila Qy smatra se pozitivnom ako teži rotaciji elementa grede koji se razmatra u smjeru kazaljke na satu;

2) moment savijanja Mz smatra se pozitivnim ako se pri savijanju elementa grede gornja vlakna elementa stisnu, a donja rastegnu (kišobransko pravilo).

Dakle, rješenje problema određivanja unutarnjih sila tijekom savijanja gradit će se prema sljedećem planu: 1) u prvoj fazi, s obzirom na ravnotežne uvjete konstrukcije u cjelini, određujemo, ako je potrebno, nepoznate reakcije oslonaca (imajte na umu da se za konzolnu gredu reakcije u ugradnji mogu i ne naći ako uzmemo u obzir gredu sa slobodnog kraja); 2) u drugoj fazi odabiremo karakteristične presjeke grede, uzimajući kao granice presjeka točke primjene sila, točke promjene oblika ili dimenzija grede, točke pričvršćivanja grede; 3) u trećoj fazi određujemo unutarnje sile u presjecima grede, uzimajući u obzir uvjete ravnoteže za elemente grede u svakom od presjeka.

10.3. Diferencijalne ovisnosti u savijanju

Uspostavimo neke odnose između unutarnjih sila i vanjskih opterećenja na savijanje, kao i karakteristične značajke Q i M dijagrama, čije će poznavanje olakšati konstrukciju dijagrama i omogućiti vam kontrolu njihove ispravnosti. Radi lakšeg označavanja označit ćemo: M≡Mz, Q≡Qy.

Dodijelimo mali element dx u presjeku grede s proizvoljnim opterećenjem na mjestu gdje nema koncentriranih sila i momenata. Budući da je cijela greda u ravnoteži, element dx će također biti u ravnoteži pod djelovanjem poprečnih sila koje se na njega primjenjuju, momenata savijanja i vanjskog opterećenja. Budući da Q i M općenito variraju

osi grede, tada će u presjecima elementa dx postojati poprečne sile Q i Q + dQ, kao i momenti savijanja M i M + dM. Iz uvjeta ravnoteže odabranog elementa dobivamo

Prva od dvije napisane jednadžbe daje uvjet

Iz druge jednadžbe, zanemarujući pojam q dx (dx/2) kao beskonačno malu količinu drugog reda, nalazimo

Uzimajući u obzir izraze (10.1) i (10.2) zajedno možemo dobiti

Relacije (10.1), (10.2) i (10.3) nazivaju se diferencijalnim ovisnosti D. I. Žuravskog u savijanju.

Analiza navedenih diferencijalnih ovisnosti u savijanju omogućuje nam da uspostavimo neke značajke (pravila) za konstruiranje dijagrama momenata savijanja i posmičnih sila: a - u područjima gdje nema raspoređenog opterećenja q, dijagrami Q su ograničeni na ravne linije paralelne s baza, a dijagrami M su nagnute ravne linije; b - u presjecima gdje se na gredu primjenjuje raspoređeno opterećenje q, Q dijagrami su ograničeni nagnutim ravnim linijama, a M dijagrami su ograničeni kvadratnim parabolama.

U ovom slučaju, ako gradimo dijagram M "na rastegnutom vlaknu", tada će konveksnost parabole biti usmjerena u smjeru djelovanja q, a ekstrem će se nalaziti u dijelu gdje dijagram Q siječe bazu crta; c - u dijelovima gdje je koncentrirana sila primijenjena na gredu, na Q dijagramu će biti skokova za vrijednost i u smjeru ove sile, a na M dijagramu ima pregiba, vrh usmjeren u smjeru ove sile sila; d - u dijelovima gdje se koncentrirani moment primjenjuje na gredu, neće biti promjena na Q dijagramu, a na M dijagramu će biti skokova za vrijednost ovog momenta; e - u presjecima gdje Q>0, moment M raste, i u presjecima gdje Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normalna naprezanja kod čistog savijanja ravne grede

Razmotrimo slučaj čistog ravninskog savijanja grede i izvedimo formulu za određivanje normalnih naprezanja za taj slučaj.

Napominjemo da je u teoriji elastičnosti moguće dobiti točnu ovisnost za normalna naprezanja pri čistom savijanju, ali ako se ovaj problem riješi metodama otpornosti materijala, potrebno je uvesti neke pretpostavke.

Postoje tri takve hipoteze za savijanje:

a - hipoteza ravnih presjeka (Bernoullijeva hipoteza) - presjeci su ravni prije deformacije i ostaju ravni nakon deformacije, ali se samo rotiraju oko određene linije, koja se naziva neutralna os presjeka grede. U tom slučaju, vlakna grede, koja leže s jedne strane neutralne osi, bit će rastegnuta, a s druge strane, stisnuta; vlakna koja leže na neutralnoj osi ne mijenjaju svoju duljinu;

b - hipoteza o postojanosti normalnih naprezanja - naprezanja koja djeluju na istoj udaljenosti y od neutralne osi konstantna su po širini grede;

c – hipoteza o odsustvu bočnih pritisaka – susjedna uzdužna vlakna ne pritišću jedno na drugo.

Statička strana problema

Za određivanje naprezanja u poprečnim presjecima grede uzimamo u obzir, prije svega, statičke strane problema. Primjenom metode mentalnih presjeka i sastavljanjem jednadžbi ravnoteže za odsječeni dio grede, nalazimo unutarnje sile pri savijanju. Kao što je ranije pokazano, jedina unutarnja sila koja djeluje u presjeku šipke s čistim savijanjem je unutarnji moment savijanja, što znači da će ovdje nastati normalna naprezanja povezana s njim.

Odnos između unutarnjih sila i normalnih naprezanja u presjeku grede nalazimo uzimajući u obzir naprezanja na elementarnom području dA, odabranom u poprečnom presjeku A grede u točki s koordinatama y i z (os y je usmjerena prema dolje radi lakšeg kretanja analize):

Kao što vidimo, problem je interno statički neodređen, budući da je priroda raspodjele normalnih naprezanja po presjeku nepoznata. Da biste riješili problem, razmotrite geometrijski uzorak deformacija.

Geometrijska strana problema

Razmotrimo deformaciju elementa grede duljine dx odabranog od savijene šipke u proizvoljnoj točki s koordinatom x. Uzimajući u obzir prethodno prihvaćenu hipotezu o ravnim presjecima, nakon savijanja presjeka grede zarotirati se u odnosu na neutralnu os (n.r.) za kut dϕ, dok će se vlakno ab, koje je na udaljenosti y od neutralne osi, pretvoriti u kružni luk a1b1, a njegova će se duljina promijeniti za neku veličinu. Ovdje se podsjećamo da se duljina vlakana koja leže na neutralnoj osi ne mijenja, pa stoga luk a0b0 (čiji polumjer zakrivljenosti označavamo s ρ) ima istu duljinu kao segment a0b0 prije deformacije a0b0=dx.

Nađimo relativnu linearnu deformaciju εx vlakna ab zakrivljene grede.