राज्य समीकरण। राज्य का समीकरण एक समीकरण है जो थर्मल मापदंडों के बीच संबंध स्थापित करता है। राज्य का समीकरण राज्य के समीकरण के प्रकार है।

राज्य के समीकरण, उर-टियन, थर्मोडायनामिक पर एक शारीरिक रूप से सजातीय प्रणाली की स्थिति के मापदंडों के बीच संबंध को व्यक्त करते हुए। संतुलन । राज्य का थर्मल समीकरण दबाव पी को वॉल्यूम वी और तापमान टी से संबंधित करता है, और मल्टीकंपोनेंट सिस्टम के लिए, संरचना (घटकों के दाढ़ अंश) के लिए भी। राज्य का कैलोरी समीकरण आंतरिक व्यक्त करता है। वी, टी और संरचना के एक समारोह के रूप में प्रणाली की ऊर्जा। आमतौर पर, राज्य के समीकरण के तहत, जब तक कि अन्यथा निर्दिष्ट न हो, उनका मतलब थर्मल है। स्थिति के समीकरण। इससे आप सीधे गुणांक प्राप्त कर सकते हैं। थर्मल एक्सटेंशन, गुणांक इज़ोटेर्माल संपीड़न, थर्मल गुणक दबाव (लोच)। राज्य का समीकरण थर्मोडायनामिक के लिए एक आवश्यक अतिरिक्त है। कानून। राज्य के समीकरणों का उपयोग करके, आप थर्मोडायनामिक की निर्भरता को प्रकट कर सकते हैं। वी और पी से एफ-आयन, अंतर को एकीकृत करें। thermodynamic अनुपात, सिस्टम के घटकों की अस्थिरता (फुगसिटी) की गणना करें, जिसके माध्यम से चरण संतुलन की शर्तों को आमतौर पर लिखा जाता है। थर्मोडायनामिक्स राज्य के समीकरणों और सिस्टम की किसी भी थर्मोडायनामिक क्षमता के बीच एक संबंध स्थापित करता है, जिसे इसके प्राकृतिक चर के एक समारोह के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हेल्महोल्ट्ज़ ऊर्जा (मुक्त ऊर्जा) F को T और V के फलन के रूप में जाना जाता है, तोकेवल उष्मागतिकी के नियमों का उपयोग करके राज्य का समीकरण प्राप्त नहीं किया जा सकता है, यह अनुभव से निर्धारित होता है या सांख्यिकीय विधियों द्वारा प्राप्त किया जाता है। भौतिक विज्ञान। अंतिम कार्य बहुत कठिन और शक्तिशाली है। केवल सिस्टम के सरलीकृत मॉडल के लिए हल किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक आदर्श गैस के लिए। वास्तविक प्रणालियों के लिए उपयोग किए जाने वाले राज्य के समीकरणों का एक अनुभवजन्य है या अर्ध-अनुभवजन्य। चरित्र। राज्य के कुछ सबसे प्रसिद्ध और आशाजनक समीकरण नीचे दिए गए हैं।

पर एक आदर्श गैस की अवस्था का समीकरण pV=RT है, जहाँ V मोलर आयतन है, R सार्वत्रिक गैस स्थिरांक है। यह समीकरण उच्च विरलन पर वास्तविक गैसों के अधीन है (देखें क्लैपेरॉन - मेंडेलीव समीकरण)।

निम्न और मध्यम दबाव पर वास्तविक गैसों के गुण वायरल समीकरण द्वारा अच्छी तरह से वर्णित हैं: पीवी / आरटी \u003d 1 + बी 2 / वी + बी 3 / वी 2 + ..., जहां बी 2, बी 3 - दूसरा, तीसरा, आदि। वायरल गुणांक। किसी दिए गए इन-वा के लिए वे केवल t-ry पर निर्भर करते हैं। राज्य का वायरल समीकरण सैद्धांतिक रूप से उचित है; यह दिखाया गया है कि गुणांक बी 2 बातचीत से निर्धारित होता है। अणुओं के जोड़े, बी 3 - अंतःक्रिया। तीन कण, आदि। द्वीपों में उच्च घनत्व पर, व्युत्क्रम मात्रा की शक्तियों में उपरोक्त विस्तार विचलन करता है, इसलिए वायरल समीकरण तरल पदार्थ का वर्णन करने के लिए अनुपयुक्त है। यह केवल के लिए कार्य करता हैगैसीय घटकों बी-बी की अस्थिरता की गणना। आमतौर पर बी 2 / वी (शायद ही कभी बी 3 / वी 2) तक सीमित। रोशनी में। लीड प्रयोग। वायरल गुणांक के मूल्य।, विकसित और सैद्धांतिक। उनके निर्धारण के तरीके। दूसरे वायरल गुणांक के साथ राज्य का समीकरण। बी 2 व्यापक रूप से उच्च दबाव (10 एटीएम तक) के मामले में चरण संतुलन की गणना में गैस चरण को मॉडल करने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग सेंट को तनु पी-डिच हाई मोल में वर्णित करने के लिए भी किया जाता है। इन-इन (पॉलिमर के समाधान देखें)।

व्यावहारिक के लिए टीआर और दबावों की एक विस्तृत श्रृंखला में चरण संतुलन की गणना, राज्य के समीकरण महत्वपूर्ण हैं, एक साथ तरल और गैस चरणों के गुणों का वर्णन करने में सक्षम हैं। पहली बार, इस तरह के समीकरण को 1873 में आई। वैन डेर वाल्स द्वारा प्रस्तावित किया गया था:

पी \u003d आरटी (वी-बी) -ए / वी 2,

जहां ए और बी वैन डेर वाल्स स्थिरांक हैं जो किसी दिए गए इन-वा की विशेषता है (वैन डेर वाल्स समीकरण देखें)। राज्य के इस समीकरण में वॉल्यूम V के संबंध में तीसरा क्रम है, राज्य के मापदंडों के साथ कोई भी इज़ोटेर्म महत्वपूर्ण से कम है। मान (उप-राजनीतिक क्षेत्र में), तीन मान्य हैं। डाल, जड़ पर स्थिर। दबाव । नायब, समीकरण की जड़ों से गैस चरण से मेल खाता है, सबसे छोटा - तरल के लिए; उर-निया नट की औसत जड़। कोई मतलब नहीं है। सुपरक्रिटिकल में इज़ोटेर्म राज्य मापदंडों के क्षेत्रों में केवल एक मान्य है। जड़।

कुबिच। एमएच में आयतन पर दबाव की निर्भरता संरक्षित है। प्रयोगसिद्ध वैन डेर वाल्स समीकरण के संशोधन। दूसरों की तुलना में अधिक बार, दो-पैरामीटर का उपयोग किया जाता है। उर-टियन पेंग - रॉबिन्सन (1976) और रेडलिच - क्वांग - सोवे (1949, 1972)। प्रयोगसिद्ध राज्य के इन समीकरणों के स्थिरांक महत्वपूर्ण से निर्धारित किए जा सकते हैं। पैरामीटर इन-वीए (देखें। गंभीर स्थिति)। सिस्टम की स्थिति के वर्णित समीकरणों के चक्र का विस्तार करने के लिए, माना सीबी-बी का सेट, टीपी और दबाव की सीमा, विकसित घन। तीन या अधिक अनुभवजन्य वाले राज्य समीकरण। स्थायी। घन का एक महत्वपूर्ण लाभ। राज्य के समीकरण - उनकी सरलता, जिसके कारण कंप्यूटर की सहायता से गणना करने के लिए बहुत अधिक कंप्यूटर समय की आवश्यकता नहीं होती है। कई के लिए गैर-ध्रुवीय या कमजोर ध्रुवीय इन-यू द्वारा गठित सिस्टम, राज्य के ये समीकरण व्यावहारिक के लिए आवश्यक प्रदान करते हैं। लक्ष्य सटीकता।

यदि विस्तृत प्रयोग ज्ञात हैं। पी-वी-टी-निर्भरता पर डेटा, उनके सामान्यीकरण के लिए, मल्टीपैरामीटर शामिल हैं। राज्य के अनुभवजन्य समीकरण। इस प्रकार के राज्य के सबसे सामान्य समीकरणों में से एक बेनेडिक्ट-वेब रुबिन समीकरण (बीवीआर समीकरण) है, जिसे 1940 में राज्य के वायरल समीकरण के आधार पर विकसित किया गया था। इस समीकरण में, दबाव p को t-ry के आधार पर गुणांक वाले द्वीपों में घनत्व बहुपद के रूप में दर्शाया जाता है। उच्च आदेशों की एक श्रृंखला की शर्तों की उपेक्षा की जाती है, और मुआवजे के लिए, समीकरण में एक घातीय शब्द शामिल किया जाता है। यह एस-आकार के इज़ोटेर्म की उपस्थिति की ओर जाता है और तरल चरण और तरल-गैस संतुलन का वर्णन करना संभव बनाता है।

गैर-ध्रुवीय और कमजोर ध्रुवीय वी-वी के लिए, बीवीआर समीकरण बहुत सटीक परिणाम देता है। एक व्यक्तिगत पदार्थ के लिए, इसमें आठ समायोज्य पैरामीटर होते हैं; मिश्रण के लिए, मिश्रित ("बाइनरी") इंटरैक्शन के पैरामीटर अतिरिक्त रूप से पेश किए जाते हैं। बड़ी संख्या में फिटिंग मापदंडों का अनुमान लगाना एक बहुत ही जटिल कार्य है, जिसमें कई और विविध प्रयोगों की आवश्यकता होती है। आंकड़े। बीवीआर समीकरण के पैरामीटर कुछ ही लोगों के लिए जाने जाते हैं। दसियों इन-इन, ch। गिरफ्तार हाइड्रोकार्बन और inorg. गैसें विशिष्ट पदार्थों में सेंट के विवरण की सटीकता में सुधार करने के उद्देश्य से, विशेष रूप से, समीकरण के संशोधनों में समायोज्य मापदंडों की संख्या भी अधिक होती है। इसके बावजूद, ध्रुवीय क्षेत्रों के लिए संतोषजनक परिणाम प्राप्त करना हमेशा संभव नहीं होता है। फॉर्म की जटिलता आसवन प्रक्रियाओं की गणना में इस प्रकार की स्थिति के समीकरणों का उपयोग करना मुश्किल बनाती है, जब घटकों की अस्थिरता, सिस्टम की मात्रा और उत्साह का बार-बार मूल्यांकन करना आवश्यक होता है।

मिश्रण में अनुभवजन्य का वर्णन करते समय। राज्य के स्थिर समीकरणों को संघटन पर निर्भर माना जाता है। घन के लिए। वैन डेर वाल्स प्रकार की स्थिति के समीकरण, द्विघात मिश्रण नियम आम तौर पर स्वीकार किए जाते हैं, जिसके अनुसार मिश्रण के लिए स्थिरांक ए और बी संबंधों से निर्धारित होते हैं:

जहां x i , x j घटकों के दाढ़ अंश हैं, मान a ij और b ij व्यक्तिगत इन-इन a ii , a jj और b ii , b jj के लिए संयोजन नियमों के अनुसार स्थिरांक से जुड़े हैं:

a ij = (a ii a jj) 1/2 (1-k ij); 6 ij = (b ii +b jj)/2,

जहाँ k ij - मिश्रित इंटरैक्शन के समायोज्य पैरामीटर।, प्रयोग द्वारा निर्धारित। आंकड़े। हालांकि, द्विघात मिश्रण नियम तथाकथित के लिए संतोषजनक परिणाम प्राप्त करने की अनुमति नहीं देते हैं। असममित प्रणाली, जिसके घटक ध्रुवीयता और घाट में बहुत भिन्न होते हैं। आकार, जैसे पानी के साथ हाइड्रोकार्बन के मिश्रण के लिए।

1979 में एम. ह्यूरन और जे. विडाल ने स्थानीय संरचना मॉडल के आधार पर एक नए प्रकार के मिश्रण नियम तैयार किए, जो सफलतापूर्वक सांद्रता की विषमता को व्यक्त करते हैं। तरल मिश्रण के लिए अतिरिक्त गिब्स संभावित जी ई की निर्भरता और चरण संतुलन के विवरण में काफी सुधार कर सकता है। दृष्टिकोण का सार यह है कि तरल समाधान के जीई मूल्यों को समान किया जाता है, राज्य के समीकरणों से प्राप्त किया जाता है और चयनित स्थानीय संरचना मॉडल के अनुसार गणना की जाती है [विल्सन समीकरण, एनआरटीएल (गैर-यादृच्छिक दो तरल समीकरण), यूएनआईक्यूएसी ( यूनिवर्सल क्वासी-केमिकल इक्वेशन), यूनिफैक (यूनिक फंक्शनल ग्रुप एक्टिविटी गुणांक मॉडल); सेमी। गैर-इलेक्ट्रोलाइट्स के समाधान]। यह दिशा तेजी से विकसित हो रही है।

कई दो-पैरामीटर राज्य के समीकरण (वैन डेर वाल्स, तीसरे वायरल गुणांक के साथ वायरल, आदि) को राज्य के कम समीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है:

एफ (पी पीआर, टी पीआर, वी पीआर) = 0,

जहां पी पीआर \u003d पी / पी क्रिट, टी पीआर \u003d टी / टी क्रिट, वी पीआर \u003d वी / वी क्रिट - कम राज्य पैरामीटर। वी-वीए पी सीआर और टी सीआर के समान मूल्यों के साथ एक ही कम मात्रा में वी एनपी है; संपीड्यता कारक Z = pV/RT भी संयोग, गुणांक। अस्थिरता और कुछ अन्य थर्मोडायनामिक। f-tions (देखें। संबंधित राज्य कानून)। एक अधिक सामान्य दृष्टिकोण, जो माना पदार्थों के चक्र का विस्तार करना संभव बनाता है, राज्य के उपरोक्त समीकरण में अतिरिक्त मापदंडों की शुरूआत के साथ जुड़ा हुआ है। नायब, उनमें से सरल - महत्वपूर्ण कारक। कंप्रेसिबिलिटी जेड क्रिट = पी क्रिट वी क्रिट / आरटी क्रिट। और एकेंट्रिक। कारक डब्ल्यू = -आईजी पी पीआर -1 (टी पीआर = 0.7 पर)। एसेंट्रिक कारक इंटरमोल क्षेत्र की गैर-गोलाकारता का सूचक है। किसी दिए गए द्वीप की ताकतें (उत्कृष्ट गैसों के लिए यह शून्य के करीब है)।

के. पित्जर ने संपीड़न कारक की गणना के लिए रैखिक विस्तार का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा

जेड(टी क्रिट, पी क्रिट) \u003d जेड 0 (टी क्रिट, पी क्रिट) + डब्ल्यू जेड "(टी क्रिट, पी क्रिट),

जहां Z 0 का अर्थ "सरल" तरल का संपीडन कारक है, उदाहरण के लिए, आर्गन, और Z "एक साधारण तरल के मॉडल से विचलन को दर्शाता है (तरल देखें)। सहसंबंध संबंध प्रस्तावित हैं जो निर्भरता Z ° (T crit,) निर्धारित करते हैं। पीआर क्रिट)

और जेड "(टी क्रिट, पी क्रिट। नायब, ली और केसलर के सहसंबंध ज्ञात हैं, जिसमें टी क्रिट और पी क्रिट पर जेड 0 की निर्भरता आर्गन के लिए बीवीआर समीकरण का उपयोग करके प्रसारित की जाती है। जेड की निर्भरता" पर टी क्रिट और पी क्रेतेसेट करें जब एन-ऑक्टेन को "संदर्भ" द्रव के रूप में चुना जाता है। यह माना जाता है कि जेड "(टी क्रिट, पी क्रिट) \u003d / डब्ल्यू *, जहां डब्ल्यू * एन-ऑक्टेन का एसेंट्रिकिटी कारक है, जेड * बीवीआर समीकरण के अनुसार इसका संपीड़न कारक है। आवेदन करने के लिए एक तकनीक विकसित की गई है ली-केसलर समीकरण और तरल मिश्रण के लिए... अवस्था का यह समीकरण सबसे सटीक रूप से गैर-ध्रुवीय पदार्थों और मिश्रणों के लिए थर्मोडायनामिक गुणों और चरण संतुलन का वर्णन करता है।

उपरोक्त अनुभवजन्य के साथ राज्य के समीकरण महत्वपूर्ण समीकरण बन गए हैं जो अणुओं और इंटरमोल्स की संरचना की विशेषताओं को ध्यान में रखते हैं। परस्पर क्रिया वे सांख्यिकी के प्रावधानों पर भरोसा करते हैं। मॉडल सिस्टम के लिए संख्यात्मक प्रयोगों के सिद्धांत और परिणाम। mol.-सांख्यिकी के अनुसार। व्याख्या, वैन डेर वाल्स समीकरण माध्य क्षेत्र सन्निकटन में माने जाने वाले ठोस आकर्षित करने वाले क्षेत्रों के द्रव का वर्णन करता है। नए समीकरणों में, सबसे पहले, वैन डेर वाल्स समीकरण का शब्द, जो कि इंटरपार्टिकल प्रतिकर्षण की ताकतों द्वारा निर्धारित किया जाता है, निर्दिष्ट किया गया है। घनत्व की एक विस्तृत श्रृंखला में कठोर क्षेत्र तरल पदार्थ के संख्यात्मक मॉडलिंग के परिणामों के आधार पर करियाहन-स्टार्लिंग सन्निकटन बहुत अधिक सटीक है। यह राज्य के कई समीकरणों में प्रयोग किया जाता है, लेकिन ठोस कणों के मॉडल सिस्टम की स्थिति के समीकरणों में बड़ी क्षमता होती है, जिसमें घाट की विषमता को ध्यान में रखा जाता है। रूप। उदाहरण के लिए, बैक (बौब्लिक-एल्डर-चेन-क्रे-ग्लेव्स्की) समीकरण में, डंबल के आकार के ठोस कणों के द्रव के लिए राज्य के समीकरण का उपयोग करके प्रतिकारक बलों के योगदान का अनुमान लगाया जाता है। आकर्षक बलों के योगदान को ध्यान में रखने के लिए, एक अभिव्यक्ति का उपयोग किया जाता है जो मोल द्वारा प्राप्त परिणामों का अनुमान लगाता है। आयताकार कुएं के प्रकार के इंटरपार्टिकल क्षमता वाले तरल पदार्थ के लिए गतिशीलता (आणविक गतिशीलता देखें)। बैक समीकरण और इसके अनुरूप पर्याप्त सटीकता वाले मिश्रणों का वर्णन करना संभव बनाते हैं जिनमें उच्च-उबलते घटक नहीं होते हैं।

उच्च उबलते org के मिश्रण के विवरण की एक विशेषता। बी-बी - अतिरिक्त घूर्णी कंपन को ध्यान में रखने की आवश्यकता। श्रृंखला अणुओं के खंडों के विस्थापन से जुड़ी स्वतंत्रता की डिग्री (उदाहरण के लिए सी 8 एल्केन्स)। इन प्रणालियों के लिए, नायब, 1978 में जे. प्रुस्निट्ज और एम. डोनह्यू द्वारा प्रस्तावित PHCT (पर्टर्बड हार्ड चेन थ्योरी) समीकरण व्यापक हो गया है। PHCT समीकरण में पैरामीटर। मिश्रण के लिए संयोजन नियमों में एक मिश्रण इंटरैक्शन पैरामीटर होता है। पीएचसीटी समीकरण में और सुधार आयताकार कुएं की क्षमता को बदलने पर आधारित है, जो अणुओं के आकर्षण का वर्णन करता है, जिसमें लेनार्ड-जोन्स क्षमता [पीएससीटी (पर्टर्बड सॉफ्ट चेन थ्योरी) समीकरण] और इंटरमोल्स की अनिसोट्रॉपी को ध्यान में रखते हुए। बलों [समीकरण PACT (परेशान अनिसोट्रोपिक चेन थ्योरी)]। अंतिम समीकरण समायोज्य जोड़ी इंटरैक्शन मापदंडों का उपयोग किए बिना भी ध्रुवीय घटकों वाले सिस्टम में चरण संतुलन का अच्छी तरह से वर्णन करता है।
घटक अणु।

राज्य के समीकरणों में लगातार बढ़ती दिलचस्पी मुख्य रूप से व्यावहारिकता के कारण है। विकास की जरूरत। आधुनिक पदार्थों के अवशोषण पृथक्करण, तेल और गैस क्षेत्रों के शोषण आदि से संबंधित प्रौद्योगिकियां, क्योंकि इन मामलों में मात्रा, विवरण और चरण संतुलन की भविष्यवाणी t-r और दबावों की एक विस्तृत श्रृंखला में आवश्यक है। हालांकि, अभी तक पर्याप्त सार्वभौमिकता नहीं है। राज्य समीकरण। राज्य के सभी उल्लिखित समीकरण महत्वपूर्ण राज्यों का वर्णन करते समय गलत हो जाते हैं। अंक और महत्वपूर्ण घटनाओं से निपटने के लिए डिज़ाइन नहीं किए गए हैं। इन उद्देश्यों के लिए, राज्य के विशेष समीकरण विकसित किए जा रहे हैं, लेकिन वे अभी भी विशिष्ट व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए खराब रूप से अनुकूलित हैं। अनुप्रयोग।
घने प्लाज्मा सहित।

लिट।: आर। रीड, जे। प्रुस्निट्ज, टी। शेरवुड, गैसों और तरल पदार्थों के गुण, ट्रांस। अंग्रेजी से, एल।, 1982; एलेस एस।, केमिकल इंजीनियरिंग में हेड इक्विलिब्रिया, ट्रांस। अंग्रेजी से, भाग 1, एम।, 1989; विक्टरोव ए.आई. (और अन्य), "जर्नल ऑफ एप्लाइड केमिस्ट्री", 1991, वॉल्यूम 64, नंबर 5, पी। 961-78. जी एल कुरानोव।

अभी तक

एक संतुलन थर्मोडायनामिक प्रणाली के लिए, राज्य के मापदंडों के बीच एक कार्यात्मक संबंध होता है, जिसे कहा जाता है समीकरण सीओखड़ा है. अनुभव से पता चलता है कि सरलतम प्रणालियों के विशिष्ट आयतन, तापमान और दबाव, जो गैस, वाष्प या तरल पदार्थ हैं, संबंधित हैं तेरामाइक समीकरणराज्यों को देखें।

राज्य के समीकरण को दूसरा रूप दिया जा सकता है:

इन समीकरणों से पता चलता है कि सिस्टम की स्थिति को निर्धारित करने वाले तीन मुख्य मापदंडों में से कोई भी दो स्वतंत्र हैं।

थर्मोडायनामिक विधियों द्वारा समस्याओं को हल करने के लिए, राज्य के समीकरण को जानना नितांत आवश्यक है। हालाँकि, इसे थर्मोडायनामिक्स के ढांचे के भीतर प्राप्त नहीं किया जा सकता है और इसे प्रयोगात्मक रूप से या सांख्यिकीय भौतिकी के तरीकों से पाया जाना चाहिए। राज्य के समीकरण का विशिष्ट रूप पदार्थ के व्यक्तिगत गुणों पर निर्भर करता है।

आदर्श हा की अवस्था का समीकरणबुलाना

समीकरण (1.1) और (1.2) का अर्थ है कि
.

1 किलो गैस पर विचार करें। यह देखते हुए कि इसमें शामिल है एनअणु और इसलिए
, हमें मिला:
.

नियत मान एनके, 1 किलो गैस को पत्र द्वारा निरूपित किया जाता है आर और बुलाओ गैस निरंतरनूह. इसीलिए

, या
. (1.3)

परिणामी संबंध क्लैपेरॉन समीकरण है।

(1.3) को से गुणा करना एम,हम गैस के मनमाने द्रव्यमान के लिए राज्य का समीकरण प्राप्त करते हैं एम:

. (1.4)

क्लैपेरॉन समीकरण को एक सार्वभौमिक रूप दिया जा सकता है यदि हम गैस के स्थिरांक को 1 किमी गैस के रूप में संदर्भित करते हैं, अर्थात गैस की मात्रा जिसका किलोग्राम में द्रव्यमान संख्यात्मक रूप से आणविक द्रव्यमान μ के बराबर होता है। में डालना (1.4) एम =μ और वी= वी μ , हम एक तिल के लिए क्लैपेरॉन - मेंडेलीव समीकरण प्राप्त करते हैं:

.

यहां
एक किलोमोल गैस का आयतन है, और
सार्वत्रिक गैस नियतांक है।

अवोगाद्रो के नियम (1811) के अनुसार, 1 kmole का आयतन, जो समान परिस्थितियों में सभी आदर्श गैसों के लिए समान है, सामान्य भौतिक परिस्थितियों में 22.4136 m3 है, इसलिए

1 किलो गैस का गैस स्थिरांक है
.

वास्तविक हा की स्थिति का समीकरणबुलाना

वास्तविक गैसों में मेंआदर्श से अंतर अंतर-आणविक अंतःक्रियाओं की महत्वपूर्ण ताकतें हैं (आकर्षण बल जब अणु काफी दूरी पर होते हैं, और प्रतिकारक बल जब वे पर्याप्त रूप से एक दूसरे के करीब होते हैं) और अणुओं की आंतरिक मात्रा की उपेक्षा नहीं की जा सकती है।

अंतर-आणविक प्रतिकारक बलों की उपस्थिति इस तथ्य की ओर ले जाती है कि अणु एक दूसरे के पास केवल एक निश्चित न्यूनतम दूरी तक ही पहुंच सकते हैं। इसलिए, हम यह मान सकते हैं कि अणुओं की गति के लिए मुक्त आयतन बराबर होगा
, कहाँ पे बी सबसे छोटा आयतन जिससे किसी गैस को संपीडित किया जा सकता है। इसके अनुसार, अणुओं का माध्य मुक्त पथ कम हो जाता है और प्रति इकाई समय में दीवार पर प्रभावों की संख्या कम हो जाती है, और परिणामस्वरूप, एक आदर्श गैस की तुलना में दबाव बढ़ जाता है
, अर्थात।

.

आकर्षक बल बाहरी दबाव के समान दिशा में कार्य करते हैं और आणविक (या आंतरिक) दबाव को जन्म देते हैं। गैस के किन्हीं दो छोटे भागों का आणविक आकर्षण बल इनमें से प्रत्येक भाग में अणुओं की संख्या के गुणनफल के समानुपाती होता है, अर्थात घनत्व के वर्ग के लिए, इसलिए आणविक दबाव के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है गैस की विशिष्ट मात्रा: आरकहते हैं= ए/ वी 2, जहां लेकिन - गैस की प्रकृति के आधार पर आनुपातिकता का गुणांक।

इससे हम वैन डेर वाल्स समीकरण (1873) प्राप्त करते हैं:

,

बड़े विशिष्ट मात्रा में और वास्तविक गैस के अपेक्षाकृत कम दबाव पर, वैन डेर वाल्स समीकरण व्यावहारिक रूप से एक आदर्श गैस के लिए राज्य के क्लैपेरॉन समीकरण में खराब हो जाता है, क्योंकि मात्रा ए/वी 2

(के साथ तुलना पी) और बी (के साथ तुलना वी) नगण्य हो जाना।

गुणात्मक रूप से, वैन डेर वाल्स समीकरण एक वास्तविक गैस के गुणों का काफी अच्छी तरह से वर्णन करता है, लेकिन संख्यात्मक गणना के परिणाम हमेशा प्रयोगात्मक डेटा से सहमत नहीं होते हैं। कई मामलों में, इन विचलनों को वास्तविक गैस अणुओं की दो, तीन या अधिक अणुओं वाले अलग-अलग समूहों में संबद्ध करने की प्रवृत्ति द्वारा समझाया गया है। अणुओं के बाहरी विद्युत क्षेत्र की विषमता के कारण संघ होता है। परिणामी संकुल स्वतंत्र अस्थिर कणों की तरह व्यवहार करते हैं। टकराव के दौरान, वे टूट जाते हैं, फिर अन्य अणुओं के साथ पुनर्संयोजन करते हैं, और इसी तरह। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, बड़ी संख्या में अणुओं के साथ परिसरों की एकाग्रता तेजी से घटती है, और एकल अणुओं का अनुपात बढ़ता है। ध्रुवीय जल वाष्प अणु संघ के लिए अधिक प्रवृत्ति प्रदर्शित करते हैं।

राज्य का समीकरण - एक समीकरण जो दबाव से संबंधित है आर, आयतन वीऔर पेट। अस्थायी-रु टीथर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में शारीरिक रूप से सजातीय प्रणाली: एफ(पी, वी, टी) = 0. इस समीकरण को कहा जाता है। थर्मल यू.एस., कैलोरी यू.एस. के विपरीत, जो आंतरिक को निर्धारित करता है। ऊर्जा यूसिस्टम f-tion to-l के रूप में। तीन में से दो पैरामीटर पी, वी, टी. थर्मल डब्ल्यू. एस. आपको आयतन और तापमान के संदर्भ में दबाव व्यक्त करने की अनुमति देता है, पी = पी (वी, टी), और प्रणाली के अतिसूक्ष्म विस्तार के लिए प्रारंभिक कार्य का निर्धारण करें। डब्ल्यू. एस. थर्मोडायनामिक के लिए एक आवश्यक अतिरिक्त है। कानून जो उन्हें वास्तविक पदार्थों पर लागू करना संभव बनाता है। इसे केवल कानूनों का उपयोग करके प्राप्त नहीं किया जा सकता है, लेकिन अनुभव से निर्धारित किया जाता है या सांख्यिकीय विधियों द्वारा पदार्थ की संरचना के बारे में विचारों के आधार पर सैद्धांतिक रूप से गणना की जाती है। भौतिक विज्ञान। से ऊष्मप्रवैगिकी का पहला नियमकेवल कैलोरी के अस्तित्व का अनुसरण करता है। यू.एस., और से ऊष्मप्रवैगिकी का दूसरा नियम- कैलोरी और थर्मल यू के बीच संबंध .:

कहाँ पे लेकिनऔर बी- गैस की प्रकृति के आधार पर स्थिरांक और अंतर-आणविक आकर्षण की ताकतों के प्रभाव और अणुओं की मात्रा की परिमितता को ध्यान में रखते हुए; वायरल यू.एस. एक गैर-आदर्श गैस के लिए:

कहाँ पे बी (टी), सी (टी), ...- दूसरा, तीसरा, आदि वायरल गुणांक, इंटरमॉलिक्युलर इंटरैक्शन की ताकतों पर निर्भर करता है। वायरल यू.एस. बहुतों को समझाना संभव बनाता है प्रयोगात्मक सरल मॉडल पर आधारित परिणाम इंटरमॉलिक्युलर इंटरेक्शनगैसों में। अलग-अलग ऑफर भी हैं। प्रयोगसिद्ध पर। पृष्ठ, eksperim पर आधारित। गर्मी क्षमता और गैसों की संपीड़ितता पर डेटा। डब्ल्यू. एस. गैर-आदर्श गैसें क्रांतिक के अस्तित्व का संकेत देती हैं। अंक (पैरामीटर के साथ पीप्रति, वीक , टीजे), जिसमें गैसीय और तरल चरण समान हो जाते हैं। यदि यू.एस. एक कम यू.एस. के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं, जो कि आयाम रहित चर में है आर / आर के, वी/वीक , टी/टी से, तो बहुत कम अस्थायी-पैक्स पर यह समीकरण डीकंप के लिए थोड़ा बदलता है। पदार्थ (संबंधित राज्यों के कानून),

तरल पदार्थों के लिए, इंटरमॉलिक्युलर इंटरैक्शन की सभी विशेषताओं को ध्यान में रखने में कठिनाई के कारण, एक सामान्य सैद्धांतिक अल्ट्रासोनिक गुणांक प्राप्त करना अभी तक संभव नहीं हुआ है। वैन डेर वाल्स समीकरण और इसके संशोधन, हालांकि वे गुणों के लिए उपयोग किए जाते हैं, तरल पदार्थ के व्यवहार का आकलन करते हैं, लेकिन संक्षेप में यह महत्वपूर्ण से नीचे लागू नहीं होता है। ऐसे बिंदु जहां तरल और गैसीय चरणों का सह-अस्तित्व संभव है। अल्ट्रासोनिक घनत्व, जो कई सरल तरल पदार्थों के गुणों का अच्छी तरह से वर्णन करता है, तरल पदार्थों के अनुमानित सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है। अणुओं की पारस्परिक व्यवस्था के संभाव्यता वितरण को जानना (जोड़ी सहसंबंध कार्य; देखें। तरल), सिद्धांत रूप में W. s की गणना करना संभव है। तरल पदार्थ, लेकिन यह समस्या जटिल है और कंप्यूटर की मदद से भी पूरी तरह से हल नहीं हुई है।

यू पेज प्राप्त करने के लिए। ठोस सिद्धांत का उपयोग करते हैं क्रिस्टल जाली के कंपन, लेकिन यूनिवर्सल यू.एस. ठोस प्राप्त नहीं होने के लिए।

के लिए (फोटॉन गैस) डब्ल्यू के साथ। निर्धारित

तापमान सहित सभी पैरामीटर एक दूसरे पर निर्भर करते हैं। यह निर्भरता प्रकार के समीकरणों द्वारा व्यक्त की जाती है

एफ (एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स 1, एक्स 2, ..., टी) = 0,

जहाँ X 1, X 2,... सामान्यीकृत बल हैं, x 1, x 2,... सामान्यीकृत निर्देशांक हैं, और T तापमान है। मापदंडों के बीच संबंध स्थापित करने वाले समीकरण कहलाते हैं राज्य के समीकरण.

राज्य के समीकरण सरल प्रणालियों के लिए दिए गए हैं, मुख्यतः गैसों के लिए। तरल और ठोस के लिए, जो एक नियम के रूप में, असम्पीडित माना जाता है, राज्य के समीकरण व्यावहारिक रूप से प्रस्तावित नहीं किए गए हैं।

बीसवीं सदी के मध्य तक। गैसों के लिए राज्य के समीकरणों की एक महत्वपूर्ण संख्या ज्ञात थी। हालाँकि, विज्ञान का विकास इस तरह से हुआ है कि उनमें से लगभग सभी को आवेदन नहीं मिला है। राज्य का एकमात्र समीकरण जो ऊष्मप्रवैगिकी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, वह राज्य का आदर्श गैस समीकरण है।

आदर्श गैसएक गैस को एक गैस कहा जाता है जो बहुत कम दबाव और अपेक्षाकृत उच्च तापमान (संघनन तापमान से काफी दूर) पर कम आणविक भार पदार्थ की गैस के गुणों में पहुंचती है।

एक आदर्श गैस के लिए:

बॉयल का नियम - मैरियट(एक स्थिर तापमान पर, गैस के दबाव का गुणनफल और उसका आयतन एक निश्चित मात्रा में पदार्थ के लिए स्थिर रहता है)

गे-लुसाक का नियम(निरंतर दबाव पर, गैस के आयतन का तापमान से अनुपात स्थिर रहता है)

चार्ल्स का नियम(स्थिर आयतन पर, गैस के दबाव का तापमान से अनुपात स्थिर रहता है)

.

एस। कार्नोट ने उपरोक्त संबंधों को एक प्रकार के समीकरण में जोड़ दिया

.

बी। क्लैपेरॉन ने इस समीकरण को आधुनिक के करीब एक रूप दिया:

एक आदर्श गैस की अवस्था के समीकरण में शामिल आयतन V पदार्थ के एक मोल को दर्शाता है। इसे भी कहा जाता है दाढ़ की मात्रा.

निरंतर आर के लिए आम तौर पर स्वीकृत नाम सार्वभौमिक गैस स्थिरांक है (यह नाम "क्लैपेरॉन स्थिरांक" खोजने के लिए बहुत दुर्लभ है ) इसका मूल्य है

आर=8.31431जे/मोल प्रति।

एक वास्तविक गैस को एक आदर्श गैस के सन्निकटन का अर्थ है अणुओं के बीच इतनी बड़ी दूरी प्राप्त करना, जिस पर कोई अपने स्वयं के आयतन और अंतःक्रिया की संभावना की पूरी तरह से उपेक्षा कर सकता है, अर्थात। उनके बीच आकर्षण या प्रतिकर्षण की शक्तियों का अस्तित्व।

वैन डेर वाल्स ने एक समीकरण प्रस्तावित किया जो इन कारकों को निम्नलिखित रूप में ध्यान में रखता है:

,

जहां ए और बी प्रत्येक गैस के लिए अलग-अलग निर्धारित स्थिरांक हैं। वैन डेर वाल्स समीकरण में शामिल शेष राशियों का वही अर्थ है जो क्लैपेरॉन समीकरण में है।

राज्य के एक समीकरण के अस्तित्व की संभावना का मतलब है कि सिस्टम की स्थिति का वर्णन करने के लिए, सभी मापदंडों को इंगित नहीं किया जा सकता है, लेकिन उनकी संख्या, एक से कम, क्योंकि उनमें से एक को समीकरण से (कम से कम काल्पनिक रूप से) निर्धारित किया जा सकता है। राज्य का। उदाहरण के लिए, एक आदर्श गैस की स्थिति का वर्णन करने के लिए, निम्नलिखित युग्मों में से केवल एक को इंगित करना पर्याप्त है: दबाव और तापमान, दबाव और आयतन, आयतन और तापमान।

आयतन, दबाव और तापमान को कभी-कभी सिस्टम के बाहरी पैरामीटर कहा जाता है।

यदि आयतन, दबाव और तापमान में एक साथ परिवर्तन की अनुमति है, तो सिस्टम में दो स्वतंत्र बाहरी पैरामीटर हैं।

थर्मोस्टैट में स्थित एक प्रणाली (एक उपकरण जो एक स्थिर तापमान सुनिश्चित करता है) या एक मैनोस्टेट (एक उपकरण जो एक निरंतर दबाव सुनिश्चित करता है) में एक स्वतंत्र बाहरी पैरामीटर होता है।

राज्य विकल्प .

1. - काफी दबाव

2. - विशिष्ट आयतन

3. तापमान
4. घनत्व

एफ (पी, वी, टी) = 0.

प्रक्रिया .

संतुलन प्रक्रिया

प्रतिवर्ती प्रक्रिया -

थर्मोडायनामिक प्रक्रिया

पी-वी, पी-टी प्रक्रिया वक्र
- फॉर्म का समीकरण .

राज्य समीकरणएक साधारण शरीर के लिए - .
आदर्श गैस
पीवी = एनआरटी
असली गैस

प्रश्न 3. थर्मोडायनामिक कार्य, पी-वी निर्देशांक।

थर्मोडायनामिक कार्य: , जहां सामान्यीकृत बल है, समन्वय है।
विशिष्ट कार्य: , , द्रव्यमान कहाँ है।

अगर और , तो विस्तार की प्रक्रिया होती है, कार्य सकारात्मक होता है।
- अगर और , तो संपीड़न प्रक्रिया नकारात्मक है।
- मात्रा में एक छोटे से बदलाव के साथ, दबाव व्यावहारिक रूप से नहीं बदलता है।

पूर्ण थर्मोडायनामिक कार्य: .

1. मामले में , फिर ।

, तो कार्य को दो भागों में विभाजित किया जाता है: , कहाँ - प्रभावी कार्य, - अपरिवर्तनीय हानियाँ, जबकि - आंतरिक गर्मी हस्तांतरण की गर्मी, यानी अपरिवर्तनीय नुकसान गर्मी में परिवर्तित हो जाते हैं।

________________________________________________________________

प्रश्न 4. संभावित कार्य, P-V निर्देशांक, कार्य वितरण।

संभावित नौकरीदबाव में परिवर्तन के कारण होने वाला कार्य है।


- अगर और
- अगर और , तो संपीड़न प्रक्रिया प्रगति पर है।
- दबाव में एक छोटे से बदलाव के साथ, वॉल्यूम लगभग नहीं बदलता है।

कुल संभावित कार्य सूत्र द्वारा पाया जा सकता है: .

1. मामले में , फिर ।

2. यदि प्रक्रिया समीकरण दिया गया हो - , फिर .

काम कहाँ है
बाहरी प्रणालियों में स्थानांतरित।

, ई के साथ शरीर की गति है, dz गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की ऊंचाई में परिवर्तन है।
________________________________________________________

प्रश्न 16. एक साधारण शरीर की अवस्था को बदलने की समदाब रेखीय प्रक्रिया। प्रक्रिया समीकरण, पी-वी प्रतिनिधित्व, मापदंडों के बीच संबंध, कार्य और गर्मी हस्तांतरण, राज्य कार्यों में परिवर्तन।

अगर , तो विस्तार प्रक्रिया प्रगति पर है।

समदाब रेखीय प्रक्रिया।

इसलिये , फिर .

एक आदर्श गैस के लिए:

ऊष्मप्रवैगिकी का पहला नियम:।

एक आदर्श गैस के लिए: और

प्रश्न 63. थ्रॉटलिंग। जूल-थॉमसन प्रभाव। मूल अवधारणा

थ्रॉटलिंग- पदार्थ के अचानक संकुचन से गति करने की प्रक्रिया। चैनलों के माध्यम से काम कर रहे तरल पदार्थ के प्रवाह की गति के दौरान स्थानीय प्रतिरोधों की घटना के कारण उपकरणों को लॉक करना, विनियमित करना और मापना हो सकता है; मोड़, संकीर्णता, चैनलों का प्रदूषण, आदि।
जूल-थॉमसन प्रभाव- रुद्धोष्म थ्रॉटलिंग के दौरान पदार्थ के तापमान में परिवर्तन।

चावल। 1.7. एच-एस आरेख में थ्रॉटलिंग प्रक्रिया

अंतर करना अंतरऔर इंटीग्रल चोक - प्रभाव. डिफरेंशियल चोक का मान – प्रभावरिश्ते से तय होता है

, कहाँ पे – जूल-थॉमसन गुणांक, [के/पा]।

इंटीग्रल चोक इफेक्ट: .
जूल-थॉमसन गुणांक ऊष्मप्रवैगिकी के पहले नियम और ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम के गणितीय व्यंजकों से लिया गया है।

1. यदि गला घोंटना-प्रभाव सकारात्मक है ( डी एच> 0), तब कार्यशील द्रव का तापमान कम हो जाता है ( डीटी<0 );

2. यदि चोक-प्रभाव नकारात्मक है ( डी एच< 0 ), तब कार्यशील द्रव का तापमान बढ़ जाता है ( डीटी> 0);

3. यदि चोक-प्रभाव शून्य है ( डी एच = 0), तो काम कर रहे तरल पदार्थ का तापमान नहीं बदलता है। गैस या तरल की वह अवस्था जो स्थिति से मेल खाती है डी एच = 0, कहा जाता है उलटा बिंदु.
___________________________________________________________________

दो स्ट्रोक डीजल

वर्कफ़्लो इन दो स्ट्रोक डीजलमूल रूप से दो-स्ट्रोक कार्बोरेटर इंजन की तरह ही आगे बढ़ता है, और केवल इसमें अंतर होता है कि सिलेंडर को स्वच्छ हवा से शुद्ध किया जाता है। इसके अंत में, सिलेंडर में बची हुई हवा को संपीड़ित किया जाता है। संपीड़न के अंत में, ईंधन को नोजल के माध्यम से दहन कक्ष में इंजेक्ट किया जाता है और प्रज्वलित किया जाता है।
टू-स्ट्रोक डीजल इंजन में काम करने की प्रक्रिया इस प्रकार है।
पहली मार।जब पिस्टन n से ऊपर की ओर गति करता है। एम. टी. से वी. एमटी, पहले, पर्ज समाप्त होता है, और फिर रिलीज का अंत। संकेतक आरेख पर, शुद्ध को लाइन बी "- ए" और आउटलेट - ए "- ए द्वारा दिखाया गया है।
पिस्टन द्वारा एग्जॉस्ट पोर्ट को बंद करने के बाद, सिलेंडर में हवा को संपीड़ित किया जाता है। संकेतक आरेख पर संपीड़न रेखा को वक्र a-c द्वारा दिखाया गया है। इस समय, क्रैंक कक्ष में पिस्टन के नीचे एक वैक्यूम बनाया जाता है, जिसके तहत स्वचालित वाल्व खुलता है, और क्रैंक कक्ष में स्वच्छ हवा को चूसा जाता है। जैसे ही पिस्टन नीचे की ओर बढ़ना शुरू करता है, पिस्टन के नीचे आयतन में कमी के कारण क्रैंक कक्ष में हवा का दबाव बढ़ जाता है और वाल्व बंद हो जाता है।
दूसरा हरा।पिस्टन से चलता है एम. टी. से एन. एम. टी. ईंधन इंजेक्शन और दहन संपीड़न के अंत से पहले शुरू होता है और पिस्टन के गुजरने के बाद समाप्त होता है। एम. टी. दहन के अंत में, विस्तार होता है। संकेतक आरेख पर विस्तार प्रक्रिया का प्रवाह वक्र r-b द्वारा दिखाया गया है।
शेष प्रक्रियाएं, निकास और शुद्धिकरण उसी तरह से आगे बढ़ते हैं जैसे कार्बोरेटेड टू-स्ट्रोक इंजन में।

प्रश्न 2. राज्य के पैरामीटर और राज्य के समीकरण।

राज्य विकल्प- थर्मोडायनामिक प्रणाली की आंतरिक स्थिति की विशेषता वाली भौतिक मात्रा। थर्मोडायनामिक प्रणाली के राज्य मापदंडों को दो वर्गों में बांटा गया है: गहन (प्रणाली के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं) और व्यापक (द्रव्यमान के अनुपात में).

थर्मोडायनामिक राज्य पैरामीटरसिस्टम की स्थिति को दर्शाने वाले गहन पैरामीटर कहलाते हैं। सबसे सरल पैरामीटर:

1. - काफी दबाव - संख्यात्मक रूप से बल F के बराबर है जो शरीर की सतह के प्रति इकाई क्षेत्र f से अंतिम तक कार्य करता है, [Pa \u003d N / m 2]

2. - विशिष्ट आयतन किसी पदार्थ का आयतन प्रति इकाई द्रव्यमान है।

3. तापमान थर्मोडायनामिक प्रणाली का एकमात्र राज्य कार्य है जो निकायों के बीच सहज गर्मी हस्तांतरण की दिशा निर्धारित करता है।
4. घनत्वपदार्थ को किसी पिंड के द्रव्यमान का उसके आयतन का अनुपात कहा जाता है

एक साधारण शरीर की स्थिति को दर्शाने वाले मापदंडों के बीच संबंध को राज्य का समीकरण कहा जाता है एफ (पी, वी, टी) = 0.

प्रणाली की स्थिति में परिवर्तन को कहा जाता है प्रक्रिया .

संतुलन प्रक्रिया प्रणाली के संतुलन राज्यों का एक सतत अनुक्रम है।

प्रतिवर्ती प्रक्रिया - एक संतुलन प्रक्रिया जो इस प्रणाली को अंतिम स्थिति से प्रारंभिक अवस्था में रिवर्स प्रक्रिया द्वारा वापस करने की अनुमति देती है।

थर्मोडायनामिक प्रक्रिया एक प्रतिवर्ती संतुलन प्रक्रिया माना जाता है।

संतुलन प्रक्रियाओं को राज्य आरेखों पर ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है पी-वी, पी-टीआदि। प्रक्रिया में मापदंडों में परिवर्तन को दर्शाने वाली रेखा कहलाती है प्रक्रिया वक्र. प्रक्रिया वक्र का प्रत्येक बिंदु प्रणाली के संतुलन की स्थिति को दर्शाता है।
थर्मोडायनामिक प्रक्रिया समीकरण - फॉर्म का समीकरण .

राज्य समीकरणएक साधारण शरीर के लिए - .
आदर्श गैस- भौतिक बिंदुओं (अणुओं या परमाणुओं) का एक समूह जो अराजक गति में हैं। इन बिंदुओं को बिल्कुल लोचदार निकाय माना जाता है, जिनमें कोई मात्रा नहीं होती है और एक दूसरे के साथ बातचीत नहीं करते हैं। एक आदर्श गैस के लिए अवस्था का समीकरणमेंडेलीव-क्लैपेरॉन समीकरण है:
पीवी = एनआरटी, जहां पी - दबाव, [पा]; वी प्रणाली का आयतन है [एम 3]; n पदार्थ की मात्रा है, [mol]; टी - थर्मोडायनामिक तापमान, [के]; R सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
असली गैस- एक गैस जिसके अणु आपस में परस्पर क्रिया करते हैं और एक निश्चित आयतन पर कब्जा कर लेते हैं। एक वास्तविक गैस की अवस्था का समीकरणसामान्यीकृत मेंडेलीव-क्लैपेरॉन समीकरण है:
, जहां Z r = Z r (p,T) गैस संपीड्यता कारक है; मी द्रव्यमान है; एम दाढ़ द्रव्यमान है।
_____________________________________________________________