जटिल असमानताओं का समाधान ऑनलाइन। असमानताओं को कैसे हल किया जाता है, इसके बारे में कुछ बिंदु

सबसे पहले, कुछ गीत उस समस्या के लिए महसूस करने के लिए जो अंतराल विधि हल करती है। मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित असमानता को हल करने की आवश्यकता है:

(एक्स - 5)(एक्स + 3) > 0

विकल्प क्या हैं? अधिकांश छात्रों के दिमाग में पहली बात यह आती है कि नियम "प्लस टाइम्स प्लस प्लस मेक प्लस" और "माइनस टाइम्स माइनस प्लस प्लस।" इसलिए, उस स्थिति पर विचार करना पर्याप्त है जब दोनों कोष्ठक धनात्मक हों: x − 5 > 0 और x + 3 > 0। तब हम उस स्थिति पर भी विचार करते हैं जब दोनों कोष्ठक ऋणात्मक हों: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

अधिक उन्नत छात्रों को याद होगा (शायद) कि बाईं ओर एक द्विघात फलन है जिसका ग्राफ एक परवलय है। इसके अलावा, यह परवलय OX अक्ष को x = 5 और x = −3 बिंदुओं पर काटता है। आगे के काम के लिए, आपको कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। हमारे पास है:

x 2 − 2x − 15 > 0

अब यह स्पष्ट है कि परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, क्योंकि गुणांक a = 1 > 0. आइए इस परवलय का आरेख बनाने का प्रयास करें:

फ़ंक्शन शून्य से बड़ा है जहां यह ओएक्स अक्ष के ऊपर से गुजरता है। हमारे मामले में, ये अंतराल (−∞ −3) और (5; +∞) हैं - यही उत्तर है।

कृपया ध्यान दें कि चित्र बिल्कुल दिखाता है फ़ंक्शन आरेख, उसका कार्यक्रम नहीं। क्योंकि एक वास्तविक ग्राफ के लिए, आपको निर्देशांक की गणना करने, ऑफसेट और अन्य बकवास की गणना करने की आवश्यकता होती है, जिसकी हमें अभी आवश्यकता नहीं है।

ये तरीके अप्रभावी क्यों हैं?

इसलिए, हमने समान असमानता के दो समाधानों पर विचार किया है। यह दोनों ही बहुत बोझिल निकले। पहला निर्णय उठता है - बस इसके बारे में सोचो! असमानताओं की प्रणालियों का एक समूह है। दूसरा समाधान भी बहुत आसान नहीं है: आपको परवलय ग्राफ और अन्य छोटे तथ्यों का एक समूह याद रखना होगा।

यह एक बहुत ही साधारण असमानता थी। इसमें केवल 2 गुणक हैं। अब कल्पना कीजिए कि इसमें 2 गुणक नहीं होंगे, लेकिन कम से कम 4 होंगे। उदाहरण के लिए:

(x - 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

ऐसी असमानता को कैसे दूर करें? पेशेवरों और विपक्षों के सभी संभावित संयोजनों से गुजरें? हां, हम समाधान खोजने से ज्यादा तेजी से सो जाएंगे। एक ग्राफ खींचना भी एक विकल्प नहीं है, क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि इस तरह का फ़ंक्शन समन्वय विमान पर कैसे व्यवहार करता है।

ऐसी असमानताओं के लिए, एक विशेष समाधान एल्गोरिथ्म की आवश्यकता होती है, जिस पर हम आज विचार करेंगे।

अंतराल विधि क्या है

अंतराल विधि एक विशेष एल्गोरिथ्म है जिसे f (x)> 0 और f (x) के रूप की जटिल असमानताओं को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. समीकरण f (x) \u003d 0 को हल करें। इस प्रकार, असमानता के बजाय, हमें एक समीकरण मिलता है जिसे हल करना बहुत आसान होता है;
2. सभी प्राप्त जड़ों को निर्देशांक रेखा पर चिह्नित करें। इस प्रकार, सीधी रेखा को कई अंतरालों में विभाजित किया जाएगा;
3. सबसे दाहिने अंतराल पर फलन f (x) का चिह्न (धन या ऋण) ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, किसी भी संख्या को f (x) में प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है जो सभी चिह्नित जड़ों के दाईं ओर होगा;
4. अन्य अंतरालों पर निशान लगाएं। ऐसा करने के लिए, यह याद रखना पर्याप्त है कि प्रत्येक जड़ से गुजरते समय, संकेत बदल जाता है।

बस इतना ही! उसके बाद, यह केवल उन अंतरालों को लिखने के लिए रहता है जो हमारी रुचि रखते हैं। यदि असमानता f (x)> 0 के रूप की थी, या यदि असमानता f (x) के रूप की थी, तो उन्हें "+" चिह्न से चिह्नित किया जाता है।< 0.

पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि अंतराल विधि किसी प्रकार का टिन है। लेकिन व्यवहार में, सब कुछ बहुत सरल होगा। यह थोड़ा अभ्यास लेता है - और सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और अपने लिए देखें:

एक कार्य। असमानता को हल करें:

(एक्स - 2)(एक्स + 7)< 0

हम अंतराल की विधि पर काम करते हैं। चरण 1: असमानता को एक समीकरण से बदलें और इसे हल करें:

(एक्स - 2)(एक्स + 7) = 0

उत्पाद शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है:

एक्स -2 = 0 एक्स = 2;
एक्स + 7 = 0 एक्स = −7।

दो जड़ें मिलीं। चरण 2 पर जाएँ: इन जड़ों को निर्देशांक रेखा पर चिह्नित करें। हमारे पास है:

अब चरण 3: हम सबसे दाहिने अंतराल पर (चिह्नित बिंदु x = 2 के दाईं ओर) फ़ंक्शन का चिह्न पाते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको कोई भी संख्या लेनी होगी जो संख्या x = 2 से बड़ी हो। उदाहरण के लिए, आइए x = 3 लें (लेकिन कोई भी x = 4, x = 10 और यहां तक ​​कि x = 10,000 लेने से मना नहीं करता)। हमें मिला:

f(x) = (x - 2)(x + 7);
एक्स = 3;
च (3) = (3 - 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

हमें वह f (3) = 10 > 0 प्राप्त होता है, इसलिए हम सबसे दाहिने अंतराल में एक धन चिह्न लगाते हैं।

हम अंतिम बिंदु पर जाते हैं - शेष अंतराल पर संकेतों को नोट करना आवश्यक है। याद रखें कि प्रत्येक जड़ से गुजरते समय चिन्ह अवश्य बदलना चाहिए। उदाहरण के लिए, रूट x = 2 के दाईं ओर एक प्लस है (हमने इसे पिछले चरण में सुनिश्चित किया था), इसलिए बाईं ओर एक माइनस होना चाहिए।

यह माइनस पूरे अंतराल (−7; 2) तक फैला हुआ है, इसलिए रूट x = −7 के दाईं ओर एक माइनस है। इसलिए, मूल x = −7 के बाईं ओर एक जोड़ है। समन्वय अक्ष पर इन संकेतों को चिह्नित करना बाकी है। हमारे पास है:

आइए मूल असमानता पर लौटते हैं, जो इस तरह दिखती थी:

(एक्स - 2)(एक्स + 7)< 0

तो फ़ंक्शन शून्य से कम होना चाहिए। इसका मतलब है कि हम ऋण चिह्न में रुचि रखते हैं, जो केवल एक अंतराल पर होता है: (−7; 2)। यही उत्तर होगा।

एक कार्य। असमानता को हल करें:

(x + 9)(x - 3)(1 - x )< 0

चरण 1: बाईं ओर को शून्य के बराबर करें:

(x + 9)(x - 3)(1 - x ) = 0;
एक्स + 9 = 0 ⇒ एक्स = -9;
एक्स - 3 = 0 एक्स = 3;
1 - एक्स = 0 एक्स = 1।

याद रखें: उत्पाद शून्य होता है जब कम से कम एक कारक शून्य होता है। यही कारण है कि हमें प्रत्येक व्यक्तिगत ब्रैकेट को शून्य के बराबर करने का अधिकार है।

चरण 2: निर्देशांक रेखा पर सभी मूलों को चिह्नित करें:

चरण 3: सबसे दाहिने अंतर का चिन्ह ज्ञात कीजिए। हम कोई भी संख्या लेते हैं जो x = 1 से बड़ी है। उदाहरण के लिए, हम x = 10 ले सकते हैं। हमारे पास है:

एफ (एक्स) \u003d (एक्स + 9) (एक्स - 3) (1 - एक्स);
एक्स = 10;
एफ (10) = (10 + 9)(10 - 3)(1 - 10) = 19 7 (-9) = - 1197;
च(10) = -1197< 0.

चरण 4: शेष चिह्नों को रखें। याद रखें कि प्रत्येक जड़ से गुजरने पर चिन्ह बदल जाता है। नतीजतन, हमारी तस्वीर इस तरह दिखेगी:

बस इतना ही। केवल उत्तर लिखना बाकी है। मूल असमानता पर एक और नज़र डालें:

(x + 9)(x - 3)(1 - x )< 0

यह फॉर्म f (x) की असमानता है< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

एक्स ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

यही उत्तर है।

फ़ंक्शन संकेतों के बारे में एक नोट

अभ्यास से पता चलता है कि अंतराल विधि में सबसे बड़ी कठिनाइयाँ अंतिम दो चरणों में उत्पन्न होती हैं, अर्थात। संकेत देते समय। बहुत से विद्यार्थी भ्रमित होने लगते हैं: कौन-सी संख्याएँ लेनी हैं और कहाँ चिन्ह लगाना है।

अंत में अंतराल विधि को समझने के लिए, दो टिप्पणियों पर विचार करें जिन पर इसे बनाया गया है:

1. एक सतत फलन केवल बिंदुओं पर संकेत बदलता है जहां यह शून्य के बराबर है. ऐसे बिंदु निर्देशांक अक्ष को टुकड़ों में तोड़ देते हैं, जिसके भीतर फ़ंक्शन का चिह्न कभी नहीं बदलता है। इसलिए हम समीकरण f (x) \u003d 0 को हल करते हैं और पाए गए जड़ों को एक सीधी रेखा पर चिह्नित करते हैं। पाए गए नंबर "सीमा" बिंदु हैं जो प्लसस को माइनस से अलग करते हैं।
2. किसी भी अंतराल पर किसी फलन के चिन्ह का पता लगाने के लिए, इस अंतराल से किसी भी संख्या को फलन में स्थानापन्न करना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, अंतराल (−5; 6) के लिए हम चाहें तो x = −4, x = 0, x = 4 और यहां तक ​​कि x = 1.29374 ले सकते हैं। यह महत्वपूर्ण क्यों है? हाँ, क्योंकि बहुत से विद्यार्थी शंकाओं को कुतरने लगते हैं। जैसे, क्या होगा यदि x = −4 के लिए हमें एक जोड़ मिलता है, और x = 0 के लिए हमें एक ऋण मिलता है? ऐसा कभी कुछ नहीं होगा। एक ही अंतराल में सभी बिंदु समान संकेत देते हैं। यह याद रखना।

अंतराल विधि के बारे में आपको बस इतना ही पता होना चाहिए। बेशक, हमने इसे इसके सरलतम रूप में नष्ट कर दिया है। अधिक जटिल असमानताएँ हैं - गैर-सख्त, भिन्नात्मक और दोहराई गई जड़ों के साथ। उनके लिए, आप अंतराल विधि भी लागू कर सकते हैं, लेकिन यह एक अलग बड़े पाठ का विषय है।

अब मैं एक उन्नत तरकीब का विश्लेषण करना चाहूंगा जो अंतराल विधि को काफी सरल बनाती है। अधिक सटीक रूप से, सरलीकरण केवल तीसरे चरण को प्रभावित करता है - रेखा के सबसे दाहिने हिस्से पर चिन्ह की गणना। किसी कारण से, यह तकनीक स्कूलों में नहीं होती है (कम से कम किसी ने मुझे यह नहीं समझाया)। लेकिन व्यर्थ में - वास्तव में, यह एल्गोरिथ्म बहुत सरल है।

तो, फ़ंक्शन का चिह्न संख्यात्मक अक्ष के दाहिने हिस्से पर है। इस टुकड़े का रूप (a; +∞) है, जहां a समीकरण f (x) = 0 की सबसे बड़ी जड़ है। हमारे दिमाग को उड़ाने के लिए, एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें:

(x − 1)(2 + x )(7 - x )< 0;
एफ (एक्स) \u003d (एक्स - 1) (2 + एक्स) (7 - एक्स);
(x − 1)(2 + x )(7 - x ) = 0;
एक्स - 1 = 0 एक्स = 1;
2 + x = 0 x = -2;
7 - x = 0 x = 7;

हमें 3 जड़ें मिलीं। हम उन्हें आरोही क्रम में सूचीबद्ध करते हैं: x = −2, x = 1 और x = 7. स्पष्ट रूप से, सबसे बड़ा मूल x = 7 है।

उन लोगों के लिए जो आलेखीय रूप से तर्क करना आसान समझते हैं, मैं इन जड़ों को निर्देशांक रेखा पर चिह्नित करूंगा। चलिए देखते हैं क्या होता है:

फ़ंक्शन f (x) का चिह्न सबसे दाहिने अंतराल पर ज्ञात करना आवश्यक है, अर्थात। पर (7; +∞)। लेकिन जैसा कि हमने पहले ही नोट कर लिया है, चिन्ह को निर्धारित करने के लिए, आप इस अंतराल से कोई भी संख्या ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप x = 8, x = 150, आदि ले सकते हैं। और अब - वही तकनीक जो स्कूलों में नहीं सिखाई जाती है: आइए अनंत को एक संख्या के रूप में लें। ज्यादा ठीक, प्लस इन्फिनिटी, अर्थात। +∞.

"क्या तुम शराबी हो? आप अनंत को किसी फ़ंक्शन में कैसे प्रतिस्थापित कर सकते हैं? शायद, तुम पूछो। लेकिन इसके बारे में सोचें: हमें फ़ंक्शन के मूल्य की आवश्यकता नहीं है, हमें केवल संकेत की आवश्यकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, मान f (x) = -1 और f (x) = −938 740 576 215 का मतलब एक ही है: इस अंतराल पर फ़ंक्शन नकारात्मक है। इसलिए, आप सभी के लिए आवश्यक है कि वह संकेत खोजें जो अनंत पर होता है, न कि फ़ंक्शन का मान।

वास्तव में, अनंत को प्रतिस्थापित करना बहुत सरल है। आइए अपने फ़ंक्शन पर वापस जाएं:

f(x) = (x - 1)(2 + x)(7 - x)

कल्पना कीजिए कि x एक बहुत बड़ी संख्या है। एक अरब या एक ट्रिलियन भी। अब देखते हैं कि प्रत्येक कोष्ठक में क्या होता है।

पहला कोष्ठक: (x - 1)। यदि आप एक अरब में से एक घटा दें तो क्या होगा? परिणाम एक संख्या होगी जो एक अरब से बहुत अलग नहीं होगी, और यह संख्या सकारात्मक होगी। इसी तरह दूसरे ब्रैकेट के साथ: (2 + x)। यदि हम दो में एक अरब जोड़ते हैं, तो हमें कोपेक के साथ एक अरब मिलता है - यह एक सकारात्मक संख्या है। अंत में, तीसरा कोष्ठक: (7 - x )। यहां माइनस एक बिलियन होगा, जिसमें से सात के रूप में एक दयनीय टुकड़ा "कुतर दिया गया" है। वे। परिणामी संख्या शून्य से एक अरब से अधिक भिन्न नहीं होगी - यह ऋणात्मक होगी।

यह पूरे काम का संकेत खोजने के लिए बनी हुई है। चूंकि हमारे पास पहले ब्रैकेट में प्लस था, और आखिरी ब्रैकेट में माइनस था, इसलिए हमें निम्नलिखित निर्माण मिलता है:

(+) · (+) · (−) = (−)

अंतिम चिन्ह माइनस है! इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि फ़ंक्शन का मूल्य क्या है। मुख्य बात यह है कि यह मान ऋणात्मक है, अर्थात। सबसे दाहिने अंतराल पर एक ऋण चिह्न है। अंतराल विधि के चौथे चरण को पूरा करना बाकी है: सभी संकेतों को व्यवस्थित करें। हमारे पास है:

मूल असमानता इस तरह दिखती थी:

(x − 1)(2 + x )(7 - x )< 0

इसलिए, हम एक ऋण चिह्न के साथ चिह्नित अंतराल में रुचि रखते हैं। हम उत्तर लिखते हैं:

x ∈ (−2; 1) (7; +∞)

यही वह पूरी तरकीब है जो मैं बताना चाहता था। अंत में, एक और असमानता है, जिसे अनंत का उपयोग करके अंतराल विधि द्वारा हल किया जाता है। समाधान को नेत्रहीन रूप से छोटा करने के लिए, मैं चरण संख्या और विस्तृत टिप्पणियां नहीं लिखूंगा। मैं केवल वही लिखूंगा जो वास्तविक समस्याओं को हल करते समय वास्तव में लिखा जाना चाहिए:

एक कार्य। असमानता को हल करें:

x (2x + 8)(x - 3) > 0

हम असमानता को एक समीकरण से बदलते हैं और इसे हल करते हैं:

एक्स (2x + 8)(x - 3) = 0;
एक्स = 0;
2x + 8 = 0 x = −4;
एक्स - 3 = 0 एक्स = 3।

हम सभी तीन जड़ों को समन्वय रेखा पर चिह्नित करते हैं (तुरंत संकेतों के साथ):

निर्देशांक अक्ष के दाईं ओर एक धन होता है, क्योंकि समारोह की तरह दिखता है:

f(x) = x(2x + 8)(x - 3)

और अगर हम अनंत को प्रतिस्थापित करते हैं (उदाहरण के लिए, एक अरब), तो हमें तीन सकारात्मक कोष्ठक मिलते हैं। चूंकि मूल व्यंजक शून्य से बड़ा होना चाहिए, इसलिए हम केवल प्लसस में रुचि रखते हैं। उत्तर लिखना बाकी है:

एक्स ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

और आज हर कोई तर्कसंगत असमानताओं को हल नहीं कर सकता। अधिक सटीक रूप से, न केवल हर कोई निर्णय ले सकता है। कम ही लोग कर पाते हैं।
क्लिट्स्को

यह सबक कठिन होने वाला है। इतना कठिन कि इसके अंत तक केवल चुने हुए ही पहुंचेंगे। इसलिए, पढ़ने से पहले, मैं महिलाओं, बिल्लियों, गर्भवती बच्चों और ...

ठीक है, यह वास्तव में काफी सरल है। मान लीजिए कि आपने अंतराल विधि में महारत हासिल कर ली है (यदि आपने इसमें महारत हासिल नहीं की है, तो मैं आपको वापस जाने और इसे पढ़ने की सलाह देता हूं) और $P\left(x \right) \gt 0$ फॉर्म की असमानताओं को हल करना सीखा, जहां $P \left(x \right)$ कुछ बहुपद या बहुपदों का गुणनफल है।

मेरा मानना ​​​​है कि आपके लिए इसे हल करना मुश्किल नहीं होगा, उदाहरण के लिए, ऐसा खेल (वैसे, इसे वार्म-अप के लिए आज़माएं):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ और x\बाएं(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ और \बाएं(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

अब आइए कार्य को थोड़ा जटिल करें और न केवल बहुपदों पर विचार करें, बल्कि रूप के तथाकथित परिमेय अंशों पर भी विचार करें:

जहां $P\left(x \right)$ और $Q\left(x \right)$ फॉर्म के समान बहुपद हैं $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, या ऐसे बहुपदों का गुणनफल।

यह एक तर्कसंगत असमानता होगी। मूलभूत बिंदु हर में चर $x$ की उपस्थिति है। उदाहरण के लिए, यहाँ तर्कसंगत असमानताएँ हैं:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ और \frac(\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(11x+2 \दाएं))(13x-4)\ge 0; \\ और \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \दाएं))\ge 0. \\ \end(align)\]

और यह एक तर्कसंगत नहीं है, बल्कि सबसे आम असमानता है, जिसे अंतराल विधि द्वारा हल किया जाता है:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

आगे देखते हुए, मैं तुरंत कहूंगा: तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के कम से कम दो तरीके हैं, लेकिन वे सभी एक तरह से या किसी अन्य को पहले से ज्ञात अंतराल की विधि में कम कर देते हैं। इसलिए इन विधियों का विश्लेषण करने से पहले पुराने तथ्यों को याद कर लें, नहीं तो नई सामग्री से कोई अर्थ नहीं निकलेगा।

आपको पहले से क्या जानना चाहिए

कई महत्वपूर्ण तथ्य नहीं हैं। हमें वास्तव में केवल चार की जरूरत है।

संक्षिप्त गुणन सूत्र

हाँ, हाँ: वे हमें पूरे स्कूली गणित पाठ्यक्रम में परेशान करेंगे। और विश्वविद्यालय में भी। इनमें से कुछ सूत्र हैं, लेकिन हमें केवल निम्नलिखित की आवश्यकता है:

\[\begin (संरेखण) और ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ और ((ए)^(2))-((बी)^(2))=\बाएं(ए-बी \दाएं)\बाएं(ए+बी \दाएं); \\ और ((ए)^(3))+((बी)^(3))=\बाएं(ए+बी \दाएं)\बाएं(((ए)^(2))-एबी+((बी) ^(2))\दाएं); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\दाएं)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अंतिम दो सूत्रों पर ध्यान दें - यह घनों का योग और अंतर है (और योग या अंतर का घन नहीं!) उन्हें याद रखना आसान है यदि आप ध्यान दें कि पहले ब्रैकेट में चिन्ह मूल अभिव्यक्ति में चिह्न के समान है, और दूसरे ब्रैकेट में यह मूल अभिव्यक्ति में चिह्न के विपरीत है।

रेखीय समीकरण

ये $ax+b=0$ फॉर्म के सबसे सरल समीकरण हैं, जहां $a$ और $b$ साधारण संख्याएं हैं, और $a\ne 0$ हैं। इस समीकरण को हल करना आसान है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और कुल्हाड़ी+बी=0; \\ और कुल्हाड़ी=-बी; \\ और x=-\frac(बी)(ए)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

मैं ध्यान देता हूं कि हमें गुणांक $a$ से विभाजित करने का अधिकार है, क्योंकि $a\ne 0$। यह आवश्यकता काफी तार्किक है, क्योंकि $a=0$ के साथ हमें यह मिलता है:

सबसे पहले, इस समीकरण में कोई $x$ चर नहीं है। यह, आम तौर पर बोलना, हमें भ्रमित नहीं करना चाहिए (ऐसा होता है, कहते हैं, ज्यामिति में, और अक्सर), लेकिन फिर भी हम अब एक रैखिक समीकरण नहीं हैं।

दूसरे, इस समीकरण का हल पूरी तरह से गुणांक $b$ पर निर्भर करता है। यदि $b$ भी शून्य है, तो हमारा समीकरण $0=0$ है। यह समानता हमेशा सत्य है; इसलिए $x$ कोई भी संख्या है (आमतौर पर \mathbb(R)$ में $x\ के रूप में लिखा जाता है)। यदि गुणांक $b$ शून्य के बराबर नहीं है, तो समानता $b=0$ कभी संतुष्ट नहीं होती है, अर्थात। कोई जवाब नहीं ($x\in \varnothing $ लिखा है और "समाधान सेट खाली है" पढ़ें)।

इन सभी जटिलताओं से बचने के लिए, हम केवल $a\ne 0$ मान लेते हैं, जो किसी भी तरह से हमें आगे के प्रतिबिंबों से प्रतिबंधित नहीं करता है।

द्विघातीय समीकरण

मैं आपको याद दिला दूं कि इसे द्विघात समीकरण कहा जाता है:

यहाँ बाईं ओर दूसरी डिग्री का एक बहुपद है, और फिर से $a\ne 0$ (अन्यथा, द्विघात समीकरण के बजाय, हमें एक रैखिक मिलता है)। निम्नलिखित समीकरणों को विवेचक के माध्यम से हल किया जाता है:

1. यदि $D \gt 0$, तो हमें दो भिन्न मूल प्राप्त होते हैं;
2. यदि $D=0$, तो मूल एक होगा, लेकिन दूसरी बहुलता का (यह किस प्रकार की बहुलता है और इसे कैसे ध्यान में रखा जाए - उस पर और बाद में)। या हम कह सकते हैं कि समीकरण के दो समान मूल हैं;
3. $D \lt 0$ के लिए कोई मूल नहीं हैं, और किसी भी $x$ के लिए बहुपद $a((x)^(2))+bx+c$ का चिह्न गुणांक $a के चिह्न के साथ मेल खाता है $. वैसे, यह एक बहुत ही उपयोगी तथ्य है, जिसे किसी कारण से बीजगणित की कक्षाओं में बताया जाना भूल जाता है।

जड़ों की गणना स्वयं प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार की जाती है:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

इसलिए, वैसे, भेदभाव करने वाले पर प्रतिबंध। आखिरकार, ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल मौजूद नहीं होता है। जड़ों के लिए, कई छात्रों के सिर में एक भयानक गड़बड़ी है, इसलिए मैंने विशेष रूप से एक पूरा पाठ रिकॉर्ड किया: बीजगणित में जड़ क्या है और इसकी गणना कैसे करें - मैं इसे पढ़ने की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं। :)

तर्कसंगत अंशों के साथ संचालन

सब कुछ जो ऊपर लिखा गया था, आप पहले से ही जानते हैं कि क्या आपने अंतराल की विधि का अध्ययन किया है। लेकिन अब हम जो विश्लेषण करेंगे उसका अतीत में कोई एनालॉग नहीं है - यह एक बिल्कुल नया तथ्य है।

परिभाषा। एक परिमेय भिन्न रूप का व्यंजक है

\[\frac(पी\बाएं(एक्स \दाएं))(क्यू\बाएं(एक्स \दाएं))\]

जहां $P\left(x \right)$ और $Q\left(x \right)$ बहुपद हैं।

यह स्पष्ट है कि इस तरह के अंश से असमानता प्राप्त करना आसान है - यह केवल "अधिक से अधिक" या "से कम" चिह्न को दाईं ओर रखने के लिए पर्याप्त है। और थोड़ा आगे हम पाएंगे कि ऐसी समस्याओं को हल करना एक खुशी है, वहां सब कुछ बहुत आसान है।

समस्याएँ तब शुरू होती हैं जब एक व्यंजक में ऐसे कई भिन्न होते हैं। उन्हें एक सामान्य भाजक के रूप में कम करना होगा - और यह इस समय है कि बड़ी संख्या में आपत्तिजनक गलतियाँ की जाती हैं।

इसलिए, तर्कसंगत समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, दो कौशलों में दृढ़ता से महारत हासिल करना आवश्यक है:

1. बहुपद $P\बाएं(x \दाएं)$ का गुणनखंडन;
2. दरअसल, भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना।

बहुपद का गुणनखंड कैसे करें? बहुत आसान। मान लीजिए कि हमारे पास फॉर्म का बहुपद है

आइए इसे शून्य के बराबर करें। हमें $n$-th डिग्री समीकरण मिलता है:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

मान लें कि हमने इस समीकरण को हल कर लिया है और मूल प्राप्त कर लिया है $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (चिंता न करें: ज्यादातर मामलों में कोई नहीं होगा इनमें से दो से अधिक जड़ें)। इस मामले में, हमारे मूल बहुपद को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( एन)) \दाएं) \अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! कृपया ध्यान दें: अग्रणी गुणांक $((a)_(n))$ कहीं भी गायब नहीं हुआ है - यह कोष्ठक के सामने एक अलग कारक होगा, और यदि आवश्यक हो, तो इसे इनमें से किसी भी कोष्ठक में डाला जा सकता है (अभ्यास शो कि $((a)_ (n))\ne \pm 1$ के साथ जड़ों के बीच लगभग हमेशा भिन्न होते हैं)।

एक कार्य। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ फ़्रैक(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

समाधान। सबसे पहले, आइए हर को देखें: वे सभी रैखिक द्विपद हैं, और यहां गुणनखंड करने के लिए कुछ भी नहीं है। तो आइए अंशों का गुणनखंड करें:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\दाएं)\बाएं(x-1\दाएं); \\ और 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \ दाएँ) \ बाएँ (2-5x \ दाएँ)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

कृपया ध्यान दें: दूसरे बहुपद में, वरिष्ठ गुणांक "2", हमारी योजना के अनुसार पूर्ण रूप से, पहले ब्रैकेट के सामने दिखाई दिया, और फिर पहले ब्रैकेट में शामिल किया गया, क्योंकि एक अंश वहां से निकला था।

तीसरे बहुपद में भी यही हुआ, केवल वहाँ पदों का क्रम भी भ्रमित है। हालांकि, गुणांक "−5" को दूसरे ब्रैकेट में शामिल किया गया (याद रखें: आप एक और केवल एक ब्रैकेट में एक कारक दर्ज कर सकते हैं!), जिसने हमें भिन्नात्मक जड़ों से जुड़ी असुविधा से बचाया।

पहले बहुपद के लिए, वहाँ सब कुछ सरल है: इसकी जड़ें या तो मानक तरीके से विवेचक के माध्यम से मांगी जाती हैं, या विएटा प्रमेय का उपयोग करके।

आइए मूल अभिव्यक्ति पर वापस जाएं और इसे कारकों में विघटित अंशों के साथ फिर से लिखें:

\[\प्रारंभ (मैट्रिक्स) \frac(\बाएं(x+5 \दाएं)\बाएं(x-4 \दाएं))(x-4)-\frac(\बाएं(2x-3 \दाएं)\बाएं( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \दाएं)-\बाएं(x-1 \दाएं)-\बाएं(2-5x \दाएं)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

उत्तर: $5x+4$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है। थोड़ा सा 7वीं-8वीं कक्षा का गणित और बस। सभी परिवर्तनों का उद्देश्य एक जटिल और डरावनी अभिव्यक्ति को कुछ सरल और आसान काम में बदलना है।

हालांकि, ऐसा हमेशा नहीं होगा। तो अब हम एक और गंभीर समस्या पर विचार करेंगे।

लेकिन पहले, आइए जानें कि दो भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे लाया जाए। एल्गोरिथ्म बेहद सरल है:

1. दोनों हरों को गुणनखंडित करें;
2. पहले हर पर विचार करें और इसमें दूसरे हर में मौजूद कारकों को जोड़ें, लेकिन पहले में नहीं। परिणामी उत्पाद सामान्य हर होगा;
3. पता लगाएँ कि प्रत्येक मूल भिन्न में किन कारकों का अभाव है ताकि हर आम के बराबर हो जाए।

शायद यह एल्गोरिथ्म आपको सिर्फ एक पाठ की तरह लगेगा जिसमें "बहुत सारे अक्षर" हैं। तो आइए एक विशिष्ट उदाहरण देखें।

एक कार्य। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

\[\बाएं(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

समाधान। इस तरह के स्वैच्छिक कार्यों को भागों में सबसे अच्छा हल किया जाता है। आइए लिखते हैं कि पहले ब्रैकेट में क्या है:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

पिछली समस्या के विपरीत, यहाँ भाजक इतने सरल नहीं हैं। आइए उनमें से प्रत्येक का गुणनखंड करें।

वर्ग त्रिपद $((x)^(2))+2x+4$ को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता क्योंकि समीकरण $((x)^(2))+2x+4=0$ का कोई मूल नहीं है (विभेदक ऋणात्मक है) . हम इसे अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।

दूसरा हर, घन बहुपद $((x)^(3))-8$, घनों का अंतर है और संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके आसानी से विघटित किया जा सकता है:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \दाएं)\]

और कुछ भी फैक्टर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि पहले ब्रैकेट में एक रैखिक द्विपद होता है, और दूसरा एक ऐसा निर्माण होता है जिसे हम पहले से ही जानते हैं, जिसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

अंत में, तीसरा हर एक रैखिक द्विपद है जिसे विघटित नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार, हमारा समीकरण रूप लेगा:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ सामान्य हर होगा, और सभी भिन्नों को कम करने के लिए, आप पहले अंश को $\left(x-2 \right)$ से गुणा करना होगा, और अंतिम अंश को $\बाएं (((x)^(2))+2x+4 \right)$ से गुणा करना होगा। तब यह केवल निम्नलिखित लाने के लिए रहता है:

\[\begin(मैट्रिक्स) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ दाएं))+\frac(((x)^(2))+8)(\बाएं(x-2 \दाएं)\बाएं(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ लेफ्ट (((x)^(2))+2x+4 \right))। \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

दूसरी पंक्ति पर ध्यान दें: जब हर पहले से ही सामान्य है, अर्थात। तीन अलग-अलग अंशों के बजाय, हमने एक बड़ा लिखा, आपको तुरंत कोष्ठक से छुटकारा नहीं मिलना चाहिए। एक अतिरिक्त पंक्ति लिखना बेहतर है और ध्यान दें कि, कहते हैं, तीसरे अंश से पहले एक माइनस था - और यह कहीं नहीं जाएगा, लेकिन ब्रैकेट के सामने अंश में "लटका" जाएगा। यह आपको बहुत सी गलतियों से बचाएगा।

खैर, अंतिम पंक्ति में अंश का गुणनखंड करना उपयोगी है। इसके अलावा, यह एक सटीक वर्ग है, और संक्षिप्त गुणन सूत्र फिर से हमारी सहायता के लिए आते हैं। हमारे पास है:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \ frac (((\ बाएँ (x-2 \ दाएँ)) ^ (2))) (\ बाएँ (x-2 \ दाएँ) \ बाएँ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ दाएँ) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

अब इसी तरह से दूसरे ब्रैकेट से निपटते हैं। यहाँ मैं केवल समानता की एक श्रृंखला लिखूंगा:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((((()) x)^(2)))(\बाएं(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\बाएं(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2))) (\ बाएँ (x-2 \ दाएँ) \ बाएँ (x + 2 \ दाएँ)) + \ frac (2 \ cdot \ बाएँ (x + 2 \ दाएँ)) (\ बाएँ (x-2 \ दाएँ) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \दाएं)\बाएं(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ) \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

हम मूल समस्या पर लौटते हैं और उत्पाद को देखते हैं:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \दाएं)\बाएं(x+2 \दाएं))=\frac(1)(x+2)\]

उत्तर: \[\frac(1)(x+2)\].

इस समस्या का अर्थ पिछले एक जैसा ही है: यह दिखाने के लिए कि यदि आप उनके परिवर्तन को बुद्धिमानी से करते हैं तो तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को कितना सरल बनाया जा सकता है।

और अब, जब आप यह सब जानते हैं, तो चलिए आज के पाठ के मुख्य विषय पर चलते हैं - भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानताओं को हल करना। इसके अलावा, इस तरह की तैयारी के बाद, असमानताएं स्वयं पागल की तरह क्लिक करेंगी। :)

तर्कसंगत असमानताओं को हल करने का मुख्य तरीका

तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के लिए कम से कम दो दृष्टिकोण हैं। अब हम उनमें से एक पर विचार करेंगे - वह जिसे आमतौर पर स्कूल गणित पाठ्यक्रम में स्वीकार किया जाता है।

लेकिन पहले, आइए एक महत्वपूर्ण विवरण पर ध्यान दें। सभी असमानताओं को दो प्रकारों में विभाजित किया गया है:

1. सख्त: $f\left(x \right) \gt 0$ या $f\left(x \right) \lt 0$;
2. नॉनस्ट्रिक्ट: $f\left(x \right)\ge 0$ या $f\left(x \right)\le 0$।

दूसरे प्रकार की असमानताओं को आसानी से पहले और साथ ही समीकरण तक कम कर दिया जाता है:

यह छोटा "जोड़" $f\left(x \right)=0$ भरे हुए बिंदुओं के रूप में ऐसी अप्रिय चीज की ओर जाता है - हम उन्हें अंतराल विधि में वापस मिले। अन्यथा, सख्त और गैर-सख्त असमानताओं के बीच कोई अंतर नहीं है, तो आइए सार्वभौमिक एल्गोरिदम का विश्लेषण करें:

1. असमानता चिह्न के एक तरफ सभी गैर-शून्य तत्वों को इकट्ठा करें। उदाहरण के लिए, बाईं ओर;
2. सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ (यदि ऐसी कई भिन्न हैं), तो समान अंश लाएँ। फिर, यदि संभव हो, अंश और हर में गुणनखंड करें। एक तरह से या किसी अन्य, हमें $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ फॉर्म की असमानता मिलती है, जहां टिक असमानता का संकेत है।
3. अंश को शून्य के बराबर करें: $P\left(x \right)=0$। हम इस समीकरण को हल करते हैं और मूल प्राप्त करते हैं $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... कि हर शून्य के बराबर नहीं था: $Q\left(x \right)\ne 0$। बेशक, संक्षेप में, हमें समीकरण $Q\left(x \right)=0$ को हल करना होगा, और हमें जड़ें $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) मिलती हैं $, $x_(3 )^(*)$, ... (वास्तविक समस्याओं में शायद ही ऐसी तीन से अधिक जड़ें होंगी)।
4. हम इन सभी जड़ों (तारांकन के साथ और बिना दोनों) को एक ही संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, और तारों के बिना जड़ों को चित्रित किया जाता है, और सितारों वाले लोगों को छिद्रित किया जाता है।
5. हम प्लस और माइनस चिह्न लगाते हैं, उन अंतरालों का चयन करें जिनकी हमें आवश्यकता है। यदि असमानता का रूप $f\left(x \right) \gt 0$ है, तो उत्तर "प्लस" के साथ चिह्नित अंतराल होगा। यदि $f\left(x \right) \lt 0$, तो हम "minuses" के साथ अंतराल को देखते हैं।

अभ्यास से पता चलता है कि अंक 2 और 4 सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनते हैं - सक्षम परिवर्तन और आरोही क्रम में संख्याओं की सही व्यवस्था। खैर, आखिरी कदम पर, बेहद सावधान रहें: हम हमेशा संकेतों के आधार पर संकेत देते हैं समीकरणों पर आगे बढ़ने से पहले लिखी गई अंतिम असमानता. यह अंतराल विधि से विरासत में मिला एक सार्वभौमिक नियम है।

तो, एक योजना है। का अभ्यास करते हैं।

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

समाधान। हमारे पास $f\left(x \right) \lt 0$ फॉर्म की सख्त असमानता है। जाहिर है, हमारी योजना के बिंदु 1 और 2 पहले ही पूरे हो चुके हैं: असमानता के सभी तत्वों को बाईं ओर एकत्र किया जाता है, कुछ भी कम करने की आवश्यकता नहीं है। तो चलिए तीसरे बिंदु पर चलते हैं।

अंश को शून्य पर सेट करें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x-3=0; \\ &x=3. \end(संरेखित)\]

और भाजक:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+7=0; \\ और ((x)^(*))=-7. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इस स्थान पर, बहुत से लोग फंस जाते हैं, क्योंकि सैद्धांतिक रूप से आपको $x+7\ne 0$ लिखने की आवश्यकता होती है, जैसा कि ODZ द्वारा आवश्यक है (आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, बस इतना ही)। लेकिन आखिरकार, भविष्य में हम हर से आने वाले बिंदुओं को बाहर निकालेंगे, इसलिए आपको अपनी गणना को एक बार फिर से जटिल नहीं करना चाहिए - हर जगह एक समान चिन्ह लिखें और चिंता न करें। इसके लिए कोई अंक नहीं काटेगा। :)

चौथा बिंदु। हम प्राप्त जड़ों को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं:

सभी बिंदु पंचर हैं क्योंकि असमानता सख्त है

ध्यान दें: सभी बिंदु पंचर हैं क्योंकि मूल असमानता सख्त है. और यहाँ अब कोई फर्क नहीं पड़ता: ये अंक अंश से या हर से आए हैं।

खैर, संकेतों को देखें। कोई भी संख्या $((x)_(0)) \gt 3$ लें। उदाहरण के लिए, $((x)_(0))=100$ (लेकिन आप $((x)_(0))=3.1$ या $((x)_(0)) = 1\000\000$)। हमें मिला:

तो, सभी जड़ों के दाईं ओर हमारे पास एक सकारात्मक क्षेत्र है। और जब प्रत्येक जड़ से गुजरते हैं, तो संकेत बदल जाता है (यह हमेशा ऐसा नहीं होगा, लेकिन उस पर और बाद में)। इसलिए, हम पांचवें बिंदु पर आगे बढ़ते हैं: हम संकेत देते हैं और सही चुनते हैं:

हम अंतिम असमानता पर लौटते हैं, जो समीकरणों को हल करने से पहले थी। दरअसल, यह मूल के साथ मेल खाता है, क्योंकि हमने इस कार्य में कोई परिवर्तन नहीं किया है।

चूंकि $f\left(x \right) \lt 0$ फॉर्म की असमानता को हल करना आवश्यक है, इसलिए मैंने अंतराल $x\in \left(-7;3 \right)$ को छायांकित किया - यह केवल एक ही है एक ऋण चिह्न के साथ चिह्नित। यही उत्तर है।

उत्तर: $x\में \बाएं(-7;3 \दाएं)$

बस इतना ही! क्या यह मुश्किल है? नहीं, यह मुश्किल नहीं है। वाकई, यह एक आसान काम था। अब आइए मिशन को थोड़ा जटिल करें और अधिक "फैंसी" असमानता पर विचार करें। इसे हल करते समय, मैं अब ऐसी विस्तृत गणना नहीं दूंगा - मैं केवल मुख्य बिंदुओं की रूपरेखा तैयार करूंगा। सामान्य तौर पर, हम इसे उसी तरह व्यवस्थित करेंगे जैसे हमने इसे एक स्वतंत्र कार्य या परीक्षा में किया होगा। :)

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\frac(\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(11x+2 \दाएं))(13x-4)\ge 0\]

समाधान। यह $f\left(x \right)\ge 0$ फॉर्म की गैर-सख्त असमानता है। सभी गैर-शून्य तत्व बाईं ओर एकत्र किए जाते हैं, कोई भिन्न हर नहीं होते हैं। आइए समीकरणों पर चलते हैं।

अंश:

\[\begin(align) & \ left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ फ़्रेक(1)(7); \\ और 11x+2=0\दायां तीर ((x)_(2))=-\frac(2)(11)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

हर:

\[\शुरू (संरेखित करें) और 13x-4=0; \\ और 13x=4; \\ और ((x)^(*))=\frac(4)(13)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

मुझे नहीं पता कि किस तरह के विकृतियों ने यह समस्या पैदा की, लेकिन जड़ें बहुत अच्छी तरह से नहीं निकलीं: उन्हें एक संख्या रेखा पर व्यवस्थित करना मुश्किल होगा। और अगर रूट $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ के साथ सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है (यह एकमात्र सकारात्मक संख्या है - यह दाईं ओर होगी), फिर $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ और $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ को आगे के अध्ययन की आवश्यकता है: कौन सा बड़ा है?

आप इसका पता लगा सकते हैं, उदाहरण के लिए:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

मुझे आशा है कि यह समझाने की कोई आवश्यकता नहीं है कि संख्यात्मक अंश $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? यदि आवश्यक हो, तो मैं यह याद रखने की सलाह देता हूं कि भिन्नों के साथ क्रियाएं कैसे करें।

और हम तीनों जड़ों को संख्या रेखा पर अंकित करते हैं:

अंश से अंक छायांकित होते हैं, हर से उन्हें काट दिया जाता है

हम संकेत लगाते हैं। उदाहरण के लिए, आप $((x)_(0))=1$ ले सकते हैं और इस बिंदु पर चिह्न का पता लगा सकते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और f\बाएं(x \दाएं)=\frac(\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(11x+2 \दाएं))(13x-4); \\ और f\बाएं(1 \दाएं)=\frac(\बाएं(7\cdot 1+1 \दाएं)\बाएं(11\cdot 1+2 \दाएं))(13\cdot 1-4)=\ फ़्रैक(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

समीकरणों से पहले अंतिम असमानता $f\left(x \right)\ge 0$ थी, इसलिए हम धन चिह्न में रुचि रखते हैं।

हमें दो समुच्चय प्राप्त हुए: एक साधारण खंड है, और दूसरा संख्या रेखा पर एक खुली किरण है।

उत्तर: $x\in \left[-\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right) )$

संख्याओं के बारे में एक महत्वपूर्ण नोट जिसे हम सबसे दाहिने अंतराल पर चिह्न का पता लगाने के लिए प्रतिस्थापित करते हैं। किसी संख्या को सबसे दाहिने मूल के निकट स्थानापन्न करना आवश्यक नहीं है। आप अरबों या "प्लस-इनफिनिटी" भी ले सकते हैं - इस मामले में, ब्रैकेट, अंश या हर में बहुपद का चिन्ह केवल प्रमुख गुणांक के संकेत से निर्धारित होता है।

आइए अंतिम असमानता से $f\left(x \right)$ फ़ंक्शन पर एक और नज़र डालें:

इसमें तीन बहुपद शामिल हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((पी)_(1))\बाएं(x \दाएं)=7x+1; \\ और ((पी)_(2))\बाएं(x \दाएं)=11x+2; \\ और क्यू\बाएं(x\दाएं)=13x-4. \end(संरेखित)\]

वे सभी रैखिक द्विपद हैं, और उन सभी में धनात्मक गुणांक (संख्या 7, 11 और 13) हैं। इसलिए, बहुत बड़ी संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, बहुपद स्वयं भी धनात्मक होंगे। :)

यह नियम अत्यधिक जटिल लग सकता है, लेकिन केवल पहली बार में, जब हम बहुत आसान कार्यों का विश्लेषण करते हैं। गंभीर असमानताओं में, "प्लस-इनफिनिटी" प्रतिस्थापन हमें मानक $((x)_(0))=100$ की तुलना में बहुत तेजी से संकेतों का पता लगाने की अनुमति देगा।

हम जल्द ही ऐसी चुनौतियों का सामना करेंगे। लेकिन पहले, आइए भिन्नात्मक परिमेय असमानताओं को हल करने के वैकल्पिक तरीके को देखें।

वैकल्पिक तरीका

यह तकनीक मुझे मेरे एक छात्र ने सुझाई थी। मैंने स्वयं कभी इसका उपयोग नहीं किया है, लेकिन अभ्यास से पता चला है कि कई छात्रों के लिए इस तरह से असमानताओं को हल करना वास्तव में अधिक सुविधाजनक है।

तो, मूल डेटा वही है। हमें एक भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानता को हल करने की आवश्यकता है:

\[\frac(पी\बाएं(एक्स \दाएं))(क्यू\बाएं(एक्स \दाएं)) \gt 0\]

आइए सोचें: बहुपद $Q\left(x \right)$ बहुपद $P\left(x \right)$ से "बदतर" क्यों है? हमें जड़ों के अलग-अलग समूहों (तारांकन के साथ और बिना) पर विचार करने की आवश्यकता क्यों है, छिद्रित बिंदुओं आदि के बारे में सोचें? यह आसान है: एक भिन्न की परिभाषा का एक डोमेन होता है, जिसके अनुसार भिन्न तभी समझ में आता है जब उसका हर शून्य से भिन्न हो।

अन्यथा, अंश और हर के बीच कोई अंतर नहीं है: हम इसे शून्य के बराबर करते हैं, जड़ों की तलाश करते हैं, फिर उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं। तो क्यों न भिन्नात्मक बार (वास्तव में, विभाजन चिह्न) को सामान्य गुणन से बदलें, और डीएचएस की सभी आवश्यकताओं को एक अलग असमानता के रूप में लिखें? उदाहरण के लिए, इस तरह:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \बाएं(x \दाएं) \gt 0, \\ और Q\बाएं(x \दाएं)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

कृपया ध्यान दें: यह दृष्टिकोण आपको समस्या को अंतराल की विधि तक कम करने की अनुमति देगा, लेकिन यह समाधान को बिल्कुल भी जटिल नहीं करेगा। आखिरकार, वैसे भी, हम बहुपद $Q\left(x \right)$ को शून्य के बराबर करेंगे।

आइए देखें कि यह वास्तविक कार्यों पर कैसे काम करता है।

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

समाधान। तो, चलिए अंतराल विधि पर चलते हैं:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ और x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

पहली असमानता को प्राथमिक रूप से हल किया जाता है। बस प्रत्येक कोष्ठक को शून्य पर सेट करें:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ और x-11=0\दायां तीर ((x)_(2))=11. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

दूसरी असमानता के साथ, सब कुछ सरल भी है:

हम वास्तविक रेखा पर $((x)_(1))$ और $((x)_(2))$ अंक अंकित करते हैं। वे सभी पंचर हैं क्योंकि असमानता सख्त है:

सही बिंदु दो बार पंचर निकला। यह ठीक है।

बिंदु $x=11$ पर ध्यान दें। यह पता चला है कि यह "दो बार पंचर" है: एक तरफ, हम इसे असमानता की गंभीरता के कारण पंचर करते हैं, दूसरी ओर, ओडीजेड की अतिरिक्त आवश्यकता के कारण।

किसी भी मामले में, यह सिर्फ एक पंचर बिंदु होगा। इसलिए, हम असमानता के लिए चिह्न लगाते हैं $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - समीकरणों को हल करने से पहले हमने जो आखिरी देखा था:

हम सकारात्मक क्षेत्रों में रुचि रखते हैं, क्योंकि हम $f\left(x \right) \gt 0$ फॉर्म की असमानता को हल कर रहे हैं, और हम उन्हें रंग देंगे। यह केवल उत्तर लिखने के लिए रह गया है।

उत्तर। $x\में \बाएं(-\infty;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

एक उदाहरण के रूप में इस समाधान का उपयोग करते हुए, मैं आपको नौसिखिए छात्रों के बीच एक सामान्य गलती के खिलाफ चेतावनी देना चाहता हूं। अर्थात्: असमानताओं में कभी भी कोष्ठक न खोलें! इसके विपरीत, सब कुछ कारक करने का प्रयास करें - यह समाधान को सरल करेगा और आपको बहुत सारी समस्याओं से बचाएगा।

आइए अब कुछ और कठिन प्रयास करें।

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\frac(\बाएं(2x-13 \दाएं)\बाएं(12x-9 \दाएं))(15x+33)\le 0\]

समाधान। यह $f\left(x \right)\le 0$ फॉर्म की एक गैर-सख्त असमानता है, इसलिए यहां आपको भरे हुए बिंदुओं की सावधानीपूर्वक निगरानी करने की आवश्यकता है।

आइए अंतराल विधि पर चलते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और \बाएं(2x-13 \दाएं)\बाएं(12x-9 \दाएं)\बाएं(15x+33 \दाएं)\le 0, \\ और 15x+33\ ने 0. \\ \end(align) \right.\]

आइए समीकरण पर चलते हैं:

\[\प्रारंभ (संरेखण) और \बाएं(2x-13 \दाएं)\बाएं(12x-9 \दाएं)\बाएं(15x+33 \दाएं)=0 \\ और 2x-13=0\दायां तीर ((x )_(1))=6.5; \\ और 12x-9=0\दायां तीर ((x)_(2))=0.75; \\ और 15x+33=0\दायां तीर ((x)_(3))=-2,2। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

हम अतिरिक्त आवश्यकता को ध्यान में रखते हैं:

हम सभी प्राप्त जड़ों को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं:

यदि एक बिंदु को एक ही समय में मुक्का मारा और भरा जाता है, तो इसे पंच आउट माना जाता है।

फिर से, दो बिंदु एक दूसरे को "ओवरलैप" करते हैं - यह सामान्य है, यह हमेशा ऐसा ही रहेगा। केवल यह समझना महत्वपूर्ण है कि एक बिंदु जिसे पंच आउट और भरा हुआ दोनों के रूप में चिह्नित किया गया है, वास्तव में एक पंच आउट बिंदु है। वे। "गौगिंग" "पेंटिंग ओवर" की तुलना में एक मजबूत क्रिया है।

यह बिल्कुल तार्किक है, क्योंकि पंचर करके हम उन बिंदुओं को चिह्नित करते हैं जो फ़ंक्शन के संकेत को प्रभावित करते हैं, लेकिन स्वयं उत्तर में भाग नहीं लेते हैं। और अगर किसी बिंदु पर संख्या हमें सूट नहीं करती है (उदाहरण के लिए, यह ओडीजेड में नहीं आती है), तो हम इसे कार्य के अंत तक विचार से हटा देते हैं।

सामान्य तौर पर, दार्शनिकता बंद करो। हम संकेतों को व्यवस्थित करते हैं और उन अंतरालों पर पेंट करते हैं जो ऋण चिह्न से चिह्नित होते हैं:

उत्तर। $x\में \बाएं(-\infty;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

और फिर से मैं आपका ध्यान इस समीकरण की ओर आकर्षित करना चाहता हूं:

\[\बाएं(2x-13 \दाएं)\बाएं(12x-9 \दाएं)\बाएं(15x+33 \दाएं)=0\]

एक बार फिर: ऐसे समीकरणों में कभी भी कोष्ठक न खोलें! आप इसे केवल अपने लिए कठिन बना रहे हैं। याद रखें: उत्पाद शून्य होता है जब कम से कम एक कारक शून्य होता है। नतीजतन, यह समीकरण बस कई छोटे लोगों में "अलग हो जाता है", जिसे हमने पिछली समस्या में हल किया था।

जड़ों की बहुलता को ध्यान में रखते हुए

पिछली समस्याओं से, यह देखना आसान है कि यह गैर-सख्त असमानताएं हैं जो सबसे कठिन हैं, क्योंकि उनमें आपको भरे हुए बिंदुओं का ट्रैक रखना है।

लेकिन दुनिया में इससे भी बड़ी बुराई है - ये असमानताओं में कई जड़ें हैं। यहां पहले से ही कुछ भरे हुए बिंदुओं का पालन करना आवश्यक है - यहां इन समान बिंदुओं से गुजरते समय असमानता का संकेत अचानक नहीं बदल सकता है।

हमने इस पाठ में अभी तक ऐसा कुछ नहीं माना है (हालाँकि अंतराल विधि में अक्सर इसी तरह की समस्या का सामना करना पड़ता था)। तो चलिए एक नई परिभाषा पेश करते हैं:

परिभाषा। समीकरण $((\left(x-a \right))^(n))=0$ का मूल $x=a$ के बराबर है और इसे $n$वें गुणन का मूल कहा जाता है।

दरअसल, हम बहुलता के सटीक मूल्य में विशेष रुचि नहीं रखते हैं। केवल महत्वपूर्ण बात यह है कि क्या यह संख्या $n$ सम है या विषम। इसलिये:

1. यदि $x=a$ सम बहुलता का मूल है, तो इससे गुजरते समय फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है;
2. और इसके विपरीत, यदि $x=a$ विषम बहुलता का मूल है, तो फलन का चिह्न बदल जाएगा।

विषम गुणन के मूल का एक विशेष मामला इस पाठ में पिछली सभी समस्याओं पर विचार किया गया है: वहाँ बहुलता हर जगह एक के बराबर है।

और आगे। इससे पहले कि हम समस्याओं को हल करना शुरू करें, मैं आपका ध्यान एक ऐसी सूक्ष्मता की ओर आकर्षित करना चाहूंगा जो एक अनुभवी छात्र को स्पष्ट लगती है, लेकिन कई शुरुआती लोगों को स्तब्ध कर देती है। अर्थात्:

बहुलता मूल $n$ तभी उत्पन्न होता है जब संपूर्ण व्यंजक इस घात तक बढ़ा दिया जाता है: $((\left(xa \right))^(n))$, न कि $\left(((x)^( n) )-ए\दाएं)$.

एक बार फिर: ब्रैकेट $((\left(xa \right))^(n))$ हमें रूट $x=a$ की बहुलता $n$ देता है, लेकिन ब्रैकेट $\left(((x)^( n)) -a \right)$ या, जैसा कि अक्सर होता है, $(a-((x)^(n)))$ हमें पहली बहुलता का एक मूल (या दो मूल, यदि $n$ सम है) देता है , कोई फर्क नहीं पड़ता कि $n$ के बराबर क्या है।

तुलना करना:

\[((\बाएं(x-3 \दाएं))^(5))=0\दायां x=3\बाएं(5k \दाएं)\]

यहां सब कुछ स्पष्ट है: पूरे ब्रैकेट को पांचवीं शक्ति तक उठाया गया था, इसलिए आउटपुट पर हमें पांचवीं डिग्री की जड़ मिली। और अब:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

हमें दो जड़ें मिलीं, लेकिन दोनों में पहली बहुलता है। या यहाँ एक और है:

\[\बाएं(((x)^(10))-1024 \दाएं)=0\दायां तीर ((x)^(10))=1024\दायां x=\pm 2\]

और दसवीं डिग्री से भ्रमित न हों। मुख्य बात यह है कि 10 एक सम संख्या है, इसलिए हमारे पास आउटपुट पर दो जड़ें हैं, और दोनों में फिर से पहली बहुलता है।

सामान्य तौर पर, सावधान रहें: बहुलता तभी होती है जब डिग्री पूरे ब्रैकेट पर लागू होती है, न कि केवल चर पर.

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\बाएं(x+7) \दाएं))^(5)))\ge 0\]

समाधान। आइए इसे वैकल्पिक तरीके से हल करने का प्रयास करें - विशेष से उत्पाद में संक्रमण के माध्यम से:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और ((x)^(2))((\बाएं(6-x \दाएं))^(3))\बाएं(x+4 \दाएं)\cdot ( (\बाएं(x+7 \दाएं))^(5))\ge 0, \\ और ((\बाएं(x+7 \दाएं))^(5))\ne 0. \\ \end(संरेखित करें )\सही।\]

हम अंतराल विधि का उपयोग करके पहली असमानता से निपटते हैं:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ और ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\बाएं(2k \दाएं); \\ और ((\ बाएँ (6-x \ दाएँ)) ^ (3)) = 0 \ दायाँ x = 6 \ बाएँ (3k \ दाएँ); \\ & x+4=0\दायां तीर x=-4; \\ और ((\बाएं(x+7 \दाएं))^(5))=0\दायां x=-7\बाएं(5k \दाएं)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इसके अतिरिक्त, हम दूसरी असमानता को हल करते हैं। वास्तव में, हमने इसे पहले ही हल कर लिया है, लेकिन समीक्षकों को समाधान में दोष नहीं मिले, इसलिए इसे फिर से हल करना बेहतर है:

\[((\बाएं(x+7 \दाएं))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

ध्यान दें कि अंतिम असमानता में कोई बहुलता नहीं है। वास्तव में: संख्या रेखा पर बिंदु $x=-7$ को कितनी बार पार करने से क्या फर्क पड़ता है? कम से कम एक बार, कम से कम पांच बार - परिणाम समान होगा: एक पंचर बिंदु।

संख्या रेखा पर हमें जो कुछ प्राप्त होता है, उस पर ध्यान दें:

जैसा कि मैंने कहा, $x=-7$ बिंदु को अंततः समाप्त कर दिया जाएगा। अंतराल विधि द्वारा असमानता के समाधान के आधार पर गुणाओं को व्यवस्थित किया जाता है।

यह संकेत रखना बाकी है:

चूँकि बिंदु $x=0$ सम बहुलता का मूल है, इससे गुजरने पर चिह्न नहीं बदलता है। शेष बिंदुओं में एक विषम बहुलता है, और उनके साथ सब कुछ सरल है।

उत्तर। $x\में \बाएं(-\infty;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

फिर से $x=0$ पर ध्यान दें। सम बहुलता के कारण, एक दिलचस्प प्रभाव उत्पन्न होता है: इसके बाईं ओर सब कुछ चित्रित होता है, दाईं ओर भी, और बिंदु स्वयं पूरी तरह से चित्रित होता है।

परिणामस्वरूप, प्रतिक्रिया रिकॉर्ड करते समय इसे अलग-थलग करने की आवश्यकता नहीं है। वे। आपको $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ जैसा कुछ लिखने की जरूरत नहीं है (हालांकि औपचारिक रूप से ऐसा उत्तर भी सही होगा)। इसके बजाय, हम तुरंत $x\in \left[ -4;6 \right]$ लिखते हैं।

इस तरह के प्रभाव केवल सम बहुलता की जड़ों के लिए ही संभव हैं। और अगले कार्य में, हम इस प्रभाव के विपरीत "अभिव्यक्ति" का सामना करेंगे। तैयार?

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\frac(((\बाएं(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \बाएं(7x-10-((x)^(2)) \दाएं))\ge 0\]

समाधान। इस बार हम मानक योजना का पालन करेंगे। अंश को शून्य पर सेट करें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\ बाएँ (x-3 \ दाएँ)) ^ (4)) \ बाएँ (x-4 \ दाएँ) = 0; \\ और ((\बाएं(x-3 \दाएं))^(4))=0\दायां तीर ((x)_(1))=3\बाएं(4k \दाएं); \\ और x-4=0\दायां तीर ((x)_(2))=4. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

और भाजक:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ और ((\बाएं(x-1 \दाएं))^(2))=0\दायां x_(1)^(*)=1\बाएं(2k \दाएं); \\ और 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

चूंकि हम $f\left(x \right)\ge 0$ फॉर्म की एक गैर-सख्त असमानता को हल कर रहे हैं, इसलिए हर (जिसमें तारक हैं) से जड़ों को काट दिया जाएगा, और अंश से उन पर पेंट किया जाएगा। .

हम संकेतों को व्यवस्थित करते हैं और "प्लस" के साथ चिह्नित क्षेत्रों को स्ट्रोक करते हैं:

बिंदु $x=3$ पृथक है। यह उत्तर का हिस्सा है

अंतिम उत्तर लिखने से पहले, चित्र पर एक नज़र डालें:

1. बिंदु $x=1$ में एक समान बहुलता है, लेकिन यह स्वयं पंचर है। इसलिए, इसे उत्तर में अलग करना होगा: आपको $x\in \left(-\infty;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ लिखना होगा, न कि $x\in \बाएं(-\ infty;2\right)$.
2. बिंदु $x=3$ में भी एक बहुलता है और छायांकित है। संकेतों की व्यवस्था इंगित करती है कि बिंदु स्वयं हमें सूट करता है, लेकिन बाएं और दाएं एक कदम - और हम खुद को ऐसे क्षेत्र में पाते हैं जो निश्चित रूप से हमारे अनुरूप नहीं है। ऐसे बिंदुओं को पृथक कहा जाता है और $x\in \left\( 3 \right\)$ के रूप में लिखा जाता है।

हम सभी प्राप्त टुकड़ों को एक सामान्य सेट में जोड़ते हैं और उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: $x\in \ left(-\infty;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\(3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

परिभाषा। असमानता को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधानों का सेट खोजें, या साबित करें कि यह सेट खाली है।

ऐसा प्रतीत होगा: यहाँ क्या समझ से बाहर हो सकता है? हां, तथ्य यह है कि सेट को अलग-अलग तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। आइए अंतिम समस्या का उत्तर फिर से लिखें:

जो लिखा है उसे हम अक्षरशः पढ़ते हैं। चर "x" एक निश्चित सेट से संबंधित है, जो चार अलग-अलग सेटों के संघ (प्रतीक "यू") द्वारा प्राप्त किया जाता है:

• अंतराल $\left(-\infty ;1 \right)$, जिसका शाब्दिक अर्थ है "सभी संख्याएं एक से कम, लेकिन एक स्वयं नहीं";
• अंतराल $\बाएं(1;2 \दाएं)$ है, अर्थात। "1 और 2 के बीच की सभी संख्याएँ, लेकिन संख्याएँ 1 और 2 स्वयं नहीं";
• सेट $\बाएं\( 3 \दाएं\)$, एक संख्या से मिलकर - तीन;
• अंतराल $\बाएं[ 4;5 \दाएं)$ जिसमें 4 और 5 के बीच सभी संख्याएं शामिल हैं, प्लस 4 स्वयं, लेकिन 5 नहीं।

तीसरा बिंदु यहां रुचि का है। अंतराल के विपरीत, जो संख्याओं के अनंत सेट को परिभाषित करता है और केवल इन सेटों की सीमाओं को दर्शाता है, सेट $\left\( 3 \right\)$ गणना द्वारा ठीक एक संख्या को परिभाषित करता है।

यह समझने के लिए कि हम सेट में शामिल विशिष्ट संख्याओं को सूचीबद्ध कर रहे हैं (और सीमाएं या कुछ भी निर्धारित नहीं कर रहे हैं), घुंघराले ब्रेसिज़ का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, संकेतन $\left\( 1;2 \right\)$ का अर्थ बिल्कुल "दो संख्याओं वाला एक सेट: 1 और 2" है, लेकिन 1 से 2 तक का खंड नहीं है। किसी भी स्थिति में इन अवधारणाओं को भ्रमित न करें। .

गुणन जोड़ नियम

खैर, आज के पाठ के अंत में, पावेल बर्डोव से एक छोटा सा टिन। :)

चौकस छात्रों ने शायद पहले से ही खुद से सवाल पूछा है: क्या होगा यदि अंश और हर में समान जड़ें पाई जाती हैं? तो निम्नलिखित नियम काम करता है:

समान जड़ों के गुणन जोड़े जाते हैं। हमेशा से रहा है। भले ही यह जड़ अंश और हर दोनों में हो।

कभी-कभी बात करने से फैसला करना बेहतर होता है। इसलिए, हम निम्नलिखित समस्या का समाधान करते हैं:

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \दाएं))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अब तक, कुछ खास नहीं। हर को शून्य पर सेट करें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(((x)^(2))-16 \दाएं)\बाएं(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

दो समान मूल पाए जाते हैं: $((x)_(1))=-2$ और $x_(4)^(*)=-2$। दोनों की पहली बहुलता है। इसलिए, हम उन्हें एक मूल $x_(4)^(*)=-2$ से प्रतिस्थापित करते हैं, लेकिन 1+1=2 की बहुलता के साथ।

इसके अलावा, समान जड़ें भी हैं: $((x)_(2))=-4$ और $x_(2)^(*)=-4$। वे भी पहली बहुलता के हैं, इसलिए केवल $x_(2)^(*)=-4$ बहुलता 1+1=2 शेष है।

कृपया ध्यान दें: दोनों ही मामलों में, हमने बिल्कुल "कट आउट" रूट को छोड़ दिया, और "पेंटेड ओवर" को विचार से बाहर कर दिया। क्योंकि पाठ की शुरुआत में भी, हम सहमत थे: यदि एक बिंदु को एक ही समय में मुक्का मारा और चित्रित किया जाता है, तो भी हम इसे पंच आउट मानते हैं।

नतीजतन, हमारे पास चार जड़ें हैं, और वे सभी बाहर निकल गए हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x_(1)^(*)=4; \\ और x_(2)^(*)=-4\बाएं(2k \दाएं); \\ और x_(3)^(*)=-7; \\ और x_(4)^(*)=-2\बाएं(2k \दाएं)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

बहुलता को ध्यान में रखते हुए, हम उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं:

हम अपनी रुचि के क्षेत्रों पर संकेत और पेंट लगाते हैं:

हर चीज़। कोई पृथक बिंदु और अन्य विकृतियां नहीं। आप उत्तर लिख सकते हैं।

उत्तर। $x\in \बाएं(-\infty;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$।

गुणन नियम

कभी-कभी इससे भी अधिक अप्रिय स्थिति उत्पन्न होती है: एक समीकरण जिसमें कई जड़ें होती हैं, स्वयं एक निश्चित शक्ति तक बढ़ जाती है। यह सभी मूल जड़ों की बहुलता को बदल देता है।

यह दुर्लभ है, इसलिए अधिकांश छात्रों के पास ऐसी समस्याओं को हल करने का अनुभव नहीं है। और यहाँ नियम है:

जब किसी समीकरण को घात $n$ तक बढ़ा दिया जाता है, तो उसके सभी मूलों की बहुलता भी $n$ के गुणनखंड से बढ़ जाती है।

दूसरे शब्दों में, एक शक्ति को बढ़ाने से गुणन को उसी शक्ति से गुणा किया जाता है। आइए इस नियम को एक उदाहरण के रूप में लें:

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\बाएं(2-x \दाएं))^(3))((\बाएं(x-1 \दाएं))^(2)))\le 0\]

समाधान। अंश को शून्य पर सेट करें:

उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। पहले गुणक के साथ सब कुछ स्पष्ट है: $x=0$। और यहीं से समस्याएं शुरू होती हैं:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ और ((x)^(2))-6x+9=0\बाएं(2k \दाएं); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\बाएं(4k \दाएं) \\ \end(align)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, समीकरण $((x)^(2))-6x+9=0$ में दूसरी बहुलता की एक अनूठी जड़ है: $x=3$। फिर पूरे समीकरण को चुकता कर दिया जाता है। इसलिए, जड़ की बहुलता $2\cdot 2=4$ होगी, जिसे हमने अंत में लिख लिया।

\[((\बाएं(x-4 \दाएं))^(5))=0\दायां x=4\बाएं(5k \दाएं)\]

भाजक के साथ भी कोई समस्या नहीं:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ और ((\बाएं(2-x \दाएं))^(3))=0\दायां x_(1)^(*)=2\बाएं(3k \दाएं); \\ और ((\बाएं(x-1 \दाएं))^(2))=0\दायां x_(2)^(*)=1\बाएं(2k \दाएं)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

कुल मिलाकर, हमें पाँच अंक मिले: दो पंच आउट हुए और तीन भरे गए। अंश और हर में कोई मेल खाने वाली जड़ें नहीं होती हैं, इसलिए हम उन्हें केवल संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं:

हम संकेतों को बहुलताओं को ध्यान में रखते हुए व्यवस्थित करते हैं और हमारे लिए ब्याज के अंतराल पर पेंट करते हैं:

फिर से एक पृथक बिंदु और एक पंचर हो गया

सम बहुलता की जड़ों के कारण, हमें फिर से कुछ "गैर-मानक" तत्व प्राप्त हुए। यह $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ है, न कि $x\in \ left[ 0;2 \right)$, और एक पृथक बिंदु $ भी x\में \बाएं\( 3 \दाएं\)$.

उत्तर। $x\में \बाएं[0;1\दाएं)\बिगकप \बाएं(1;2

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ इतना मुश्किल नहीं है। मुख्य बात सावधानी है। इस पाठ का अंतिम खंड परिवर्तनों के लिए समर्पित है - वही जिनकी हमने शुरुआत में चर्चा की थी।

पूर्वरूपांतरण

इस भाग में हम जिन असमानताओं की चर्चा करेंगे, वे जटिल नहीं हैं। हालांकि, पिछले कार्यों के विपरीत, यहां आपको तर्कसंगत अंशों के सिद्धांत से कौशल को लागू करना होगा - एक सामान्य भाजक के लिए गुणन और कमी।

हमने आज के पाठ की शुरुआत में ही इस मुद्दे पर विस्तार से चर्चा की। यदि आप सुनिश्चित नहीं हैं कि आप समझते हैं कि यह किस बारे में है, तो मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप वापस जाएं और दोहराएं। क्योंकि यदि आप भिन्नों के रूपांतरण में "तैरते" हैं तो असमानताओं को हल करने के तरीकों को समेटने का कोई मतलब नहीं है।

वैसे होमवर्क में भी इसी तरह के कई काम होंगे। उन्हें एक अलग उपखंड में रखा गया है। और वहां आपको बहुत ही गैर-तुच्छ उदाहरण मिलेंगे। लेकिन यह होमवर्क में होगा, लेकिन अब आइए कुछ ऐसी असमानताओं का विश्लेषण करें।

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

समाधान। सब कुछ बाईं ओर ले जाना:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

हम एक आम भाजक को कम करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं, अंश में समान शब्द देते हैं:

\[\प्रारंभ (संरेखण) और \frac(x\cdot x)(\बाएं(x-1 \दाएं)\cdot x)-\frac(\बाएं(x-2 \दाएं)\बाएं(x-1 \ दाएँ))(x\cdot \बाएं(x-1 \right))\le 0; \\ और \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ और \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ और \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

अब हमारे पास एक शास्त्रीय भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानता है, जिसका समाधान अब कठिन नहीं है। मैं इसे एक वैकल्पिक विधि द्वारा हल करने का प्रस्ताव करता हूं - अंतराल की विधि के माध्यम से:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(3x-2 \दाएं)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

हर से आने वाली बाधा को न भूलें:

हम संख्या रेखा पर सभी संख्याओं और प्रतिबंधों को चिह्नित करते हैं:

सभी जड़ों में पहली बहुलता होती है। कोई दिक्कत नहीं है। हम केवल उन क्षेत्रों पर संकेत और पेंट लगाते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है:

बस इतना ही। आप उत्तर लिख सकते हैं।

उत्तर। $x\in \बाएं(-\infty;0 \right)\bigcup \left[(2)/(3)\;;1 \right)$।

बेशक, यह एक बहुत ही सरल उदाहरण था। तो चलिए अब समस्या पर करीब से नज़र डालते हैं। और वैसे, इस कार्य का स्तर 8 वीं कक्षा में इस विषय पर स्वतंत्र और नियंत्रण कार्य के साथ काफी सुसंगत है।

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

समाधान। सब कुछ बाईं ओर ले जाना:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

दोनों भिन्नों को एक समान हर में लाने से पहले, हम इन हरों को गुणनखंडों में विघटित करते हैं। अचानक वही ब्रैकेट निकल आएंगे? पहले हर के साथ यह आसान है:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

दूसरा थोड़ा और कठिन है। उस ब्रैकेट में एक निरंतर गुणक जोड़ने के लिए स्वतंत्र महसूस करें जहां अंश पाया गया था। याद रखें: मूल बहुपद में पूर्णांक गुणांक थे, इसलिए यह अत्यधिक संभावना है कि गुणन में पूर्णांक गुणांक भी होंगे (वास्तव में, यह हमेशा होगा, सिवाय जब विवेचक अपरिमेय है)।

\[\प्रारंभ (संरेखण) और 3((x)^(2)) -5x+2=3\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x-\frac(2)(3) \right)= \\ और =\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(3x-2 \दाएं) \अंत (संरेखण)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक सामान्य ब्रैकेट है: $\left(x-1 \right)$। हम असमानता पर लौटते हैं और दोनों भिन्नों को एक समान भाजक में लाते हैं:

\[\प्रारंभ (संरेखित करें) और \frac(1)(\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x+9 \दाएं))-\frac(1)(\बाएं(x-1 \दाएं)\ बाएँ(3x-2\दाएं))\ge 0; \\ और \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\बाएं(3x-2 \दाएं))\ge 0; \\ और \frac(3x-2-x-9)(\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x+9 \दाएं)\बाएं(3x-2 \दाएं))\ge 0; \\ और \frac(2x-11)(\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x+9 \दाएं)\बाएं(3x-2 \दाएं))\ge 0; \\ \अंत (संरेखित करें)\]

हर को शून्य पर सेट करें:

\[\प्रारंभ (संरेखित करें) और \बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x+9 \दाएं)\बाएं(3x-2 \दाएं)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( संरेखित करें)\]

कोई बहुलता और कोई मेल खाने वाली जड़ें नहीं। हम चार संख्याओं को एक सीधी रेखा पर अंकित करते हैं:

हम संकेत डालते हैं:

हम उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ दाएं) $।

हर चीज़! इस तरह, मैंने इस लाइन तक पढ़ा। :)

लेख में हम विचार करेंगे असमानताओं का समाधान. चलिए खुलकर बात करते हैं असमानताओं के समाधान का निर्माण कैसे करेंस्पष्ट उदाहरणों के साथ!

उदाहरणों के साथ असमानताओं के समाधान पर विचार करने से पहले, आइए बुनियादी अवधारणाओं से निपटें।

असमानताओं का परिचय

असमानतावह व्यंजक कहलाता है जिसमें फलन संबंध चिह्नों से जुड़े होते हैं >, । असमानताएँ संख्यात्मक और वर्णानुक्रम दोनों हो सकती हैं।
दो संबंध चिह्नों के साथ असमानताओं को दोहरा कहा जाता है, तीन के साथ - तिगुना, आदि। उदाहरण के लिए:
ए (एक्स)> बी (एक्स),
ए (एक्स) ए (एक्स) बी (एक्स),
ए (एक्स) बी (एक्स)।
a(x) असमानताएँ जिनमें चिह्न > या या सख्त नहीं हैं।
असमानता समाधानचर का कोई भी मान है जिसके लिए यह असमानता सत्य है।
"असमानता को हल करें" का अर्थ है कि आपको इसके सभी समाधानों का समुच्चय खोजने की आवश्यकता है। विभिन्न हैं असमानताओं को हल करने के तरीके. के लिये असमानता समाधानएक संख्या रेखा का प्रयोग करें जो अनंत हो। उदाहरण के लिए, असमानता का समाधान x > 3, 3 से + तक का अंतराल है, और संख्या 3 इस अंतराल में शामिल नहीं है, इसलिए रेखा पर बिंदु को एक खाली वृत्त द्वारा दर्शाया जाता है, क्योंकि असमानता सख्त है।
+
उत्तर होगा: x (3; +)।
मान x=3 समाधान के सेट में शामिल नहीं है, इसलिए कोष्ठक गोल है। अनंत चिह्न हमेशा कोष्ठक में संलग्न होता है। चिन्ह का अर्थ है "संबंधित"।
एक अन्य उदाहरण का उपयोग करके असमानताओं को हल करने के तरीके पर विचार करें:
x2
-+
मान x=2 समाधान के सेट में शामिल है, इसलिए वर्ग ब्रैकेट और रेखा पर बिंदु एक भरे हुए सर्कल द्वारा दर्शाया गया है।
उत्तर होगा: x

सरल शब्दों में, मापांक "शून्य के बिना एक संख्या" है। और यह इस द्वंद्व में है (कहीं आपको मूल संख्या के साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन कहीं न कहीं आपको वहां कुछ माइनस निकालना है) और नौसिखिए छात्रों के लिए सारी कठिनाई निहित है।

एक ज्यामितीय परिभाषा भी है। इसे जानना भी उपयोगी है, लेकिन हम इसका उल्लेख केवल जटिल और कुछ विशेष मामलों में करेंगे, जहां ज्यामितीय दृष्टिकोण बीजगणितीय की तुलना में अधिक सुविधाजनक है (स्पॉइलर: आज नहीं)।

परिभाषा। मान लीजिए कि बिंदु $a$ वास्तविक रेखा पर अंकित है। फिर मॉड्यूल $\बाएं| x-a \right|$ इस रेखा पर बिंदु $x$ से बिंदु $a$ तक की दूरी है।

यदि आप चित्र बनाते हैं, तो आपको कुछ इस तरह मिलता है:

ग्राफिकल मॉड्यूल परिभाषा

एक तरह से या किसी अन्य, इसकी प्रमुख संपत्ति तुरंत मॉड्यूल की परिभाषा से अनुसरण करती है: किसी संख्या का मापांक हमेशा एक गैर-ऋणात्मक मान होता है. यह तथ्य आज हमारी पूरी कहानी के माध्यम से चलने वाला एक लाल धागा होगा।

असमानताओं का समाधान। रिक्ति विधि

अब आइए असमानताओं से निपटें। उनमें से बहुत सारे हैं, लेकिन हमारा काम अब उनमें से कम से कम सबसे सरल को हल करने में सक्षम होना है। वे जो रैखिक असमानताओं के साथ-साथ अंतराल की विधि तक कम हो जाते हैं।

मेरे पास इस विषय पर दो बड़े ट्यूटोरियल हैं (वैसे, बहुत, बहुत उपयोगी - मैं अध्ययन करने की सलाह देता हूं):

1. असमानताओं के लिए अंतराल विधि (विशेषकर वीडियो देखें);
2. भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानताएँ एक बहुत बड़ा पाठ है, लेकिन इसके बाद आपके पास कोई प्रश्न नहीं बचेगा।

यदि आप यह सब जानते हैं, यदि वाक्यांश "आइए असमानता से समीकरण की ओर बढ़ते हैं" आपको अस्पष्ट रूप से दीवार के खिलाफ खुद को मारना नहीं चाहता है, तो आप तैयार हैं: पाठ के मुख्य विषय में नरक में आपका स्वागत है। :)

1. "फंक्शन से कम मॉड्यूल" फॉर्म की असमानताएं

यह मॉड्यूल के साथ सबसे अधिक बार सामना किए जाने वाले कार्यों में से एक है। फॉर्म की असमानता को हल करना आवश्यक है:

\[\बाएं| च\दाएं| \ltg\]

कुछ भी $f$ और $g$ फ़ंक्शन के रूप में कार्य कर सकता है, लेकिन आमतौर पर वे बहुपद होते हैं। ऐसी असमानताओं के उदाहरण:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| 2x+3\दाएं| \ltx+7; \\ और \बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ और \बाएं| ((x)^(2))-2\बाएं| एक्स \दाएं|-3 \दाएं| \lt 2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

उन सभी को योजना के अनुसार एक पंक्ति में शाब्दिक रूप से हल किया जाता है:

\[\बाएं| च\दाएं| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \ left\( \ start(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \ठीक ठीक)\]

यह देखना आसान है कि हम मॉड्यूल से छुटकारा पा लेते हैं, लेकिन इसके बजाय हमें दोहरी असमानता (या, जो एक ही बात है, दो असमानताओं की एक प्रणाली) मिलती है। लेकिन यह संक्रमण पूरी तरह से सभी संभावित समस्याओं को ध्यान में रखता है: यदि मॉड्यूल के तहत संख्या सकारात्मक है, तो विधि काम करती है; यदि नकारात्मक है, तो यह अभी भी काम करता है; और यहां तक ​​कि $f$ या $g$ के स्थान पर सबसे अपर्याप्त फ़ंक्शन के साथ, विधि अभी भी काम करेगी।

स्वाभाविक रूप से, सवाल उठता है: क्या यह आसान नहीं है? दुर्भाग्य से, आप नहीं कर सकते। यह मॉड्यूल का पूरा बिंदु है।

लेकिन दार्शनिक के लिए पर्याप्त है। आइए कुछ समस्याओं का समाधान करें:

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| 2x+3\दाएं| \ltx+7\]

समाधान। तो, हमारे पास "मॉड्यूल से कम है" के रूप में एक शास्त्रीय असमानता है - यहां तक ​​​​कि बदलने के लिए कुछ भी नहीं है। हम एल्गोरिथ्म के अनुसार काम करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| च\दाएं| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ और \बाएं| 2x+3\दाएं| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

"माइनस" से पहले वाले कोष्ठक खोलने में जल्दबाजी न करें: यह बहुत संभव है कि जल्दबाजी के कारण आप एक आक्रामक गलती करेंगे।

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और -x-7 \lt 2x+3 \\ और 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और -3x \lt 10 \\ और x \lt 4 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

समस्या को दो प्राथमिक असमानताओं तक कम कर दिया गया है। हम उनके समाधान समानांतर वास्तविक रेखाओं पर नोट करते हैं:

कई का चौराहा

इन सेटों का प्रतिच्छेदन उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

समाधान। यह कार्य थोड़ा अधिक कठिन है। आरंभ करने के लिए, हम दूसरे पद को दाईं ओर ले जाकर मॉड्यूल को अलग करते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\बाएं(x+1 \दाएं)\]

जाहिर है, हमारे पास फिर से "मॉड्यूल कम है" फॉर्म की असमानता है, इसलिए हम पहले से ज्ञात एल्गोरिदम के अनुसार मॉड्यूल से छुटकारा पाते हैं:

\[-\बाएं(-3\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

अब ध्यान दें: कोई कहेगा कि मैं इन सभी कोष्ठकों के साथ थोड़ा विकृत हूं। लेकिन एक बार फिर मैं आपको याद दिलाता हूं कि हमारा मुख्य लक्ष्य है असमानता को सही ढंग से हल करें और उत्तर प्राप्त करें. बाद में, जब आपने इस पाठ में वर्णित हर चीज में पूरी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो आप अपनी इच्छानुसार खुद को विकृत कर सकते हैं: कोष्ठक खोलें, माइनस जोड़ें, आदि।

और शुरुआत के लिए, हम बाईं ओर डबल माइनस से छुटकारा पाते हैं:

\[-\बाएं(-3\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं)=\बाएं(-1 \दाएं)\cdot \बाएं(-3 \दाएं)\cdot \बाएं(x+1 \दाएं) =3\बाएं(x+1\दाएं)\]

आइए अब सभी कोष्ठकों को दोहरी असमानता में खोलें:

आइए दोहरी असमानता की ओर बढ़ते हैं। इस बार गणना अधिक गंभीर होगी:

\[\बाएं\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( सही संरेखित।\]

दोनों असमानताएं वर्गाकार हैं और अंतराल विधि द्वारा हल की जाती हैं (इसलिए मैं कहता हूं: यदि आप नहीं जानते कि यह क्या है, तो बेहतर है कि अभी तक मॉड्यूल को न लें)। हम पहली असमानता में समीकरण को पास करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))+5x=0; \\ और x\बाएं(x+5 \दाएं)=0; \\ और ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\अंत (संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, आउटपुट एक अधूरा द्विघात समीकरण निकला, जिसे प्राथमिक रूप से हल किया गया है। अब आइए व्यवस्था की दूसरी असमानता से निपटें। वहां आपको Vieta का प्रमेय लागू करना है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))-x-6=0; \\ और \बाएं(x-3 \दाएं)\बाएं(x+2 \दाएं)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

हम प्राप्त संख्याओं को दो समानांतर रेखाओं पर चिह्नित करते हैं (पहली असमानता के लिए अलग और दूसरी के लिए अलग):

फिर से, चूंकि हम असमानताओं की एक प्रणाली को हल कर रहे हैं, हम छायांकित सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं: $x\in \left(-5;-2 \right)$। यही उत्तर है।

उत्तर: $x\में \बाएं(-5;-2 \दाएं)$

मुझे लगता है कि इन उदाहरणों के बाद समाधान योजना बहुत स्पष्ट है:

1. अन्य सभी पदों को असमानता के विपरीत दिशा में ले जाकर मॉड्यूल को अलग करें। इस प्रकार हमें $\left| . रूप की असमानता प्राप्त होती है च\दाएं| \ltg$.
2. ऊपर बताए अनुसार मॉड्यूल से छुटकारा पाकर इस असमानता को हल करें। किसी बिंदु पर, दोहरी असमानता से दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों की प्रणाली में जाना आवश्यक होगा, जिनमें से प्रत्येक को पहले से ही अलग से हल किया जा सकता है।
3. अंत में, यह केवल इन दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों के समाधानों को पार करने के लिए रहता है - और यही है, हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

एक समान एल्गोरिथ्म निम्न प्रकार की असमानताओं के लिए मौजूद है, जब मापांक फ़ंक्शन से बड़ा होता है। हालांकि, कुछ गंभीर "लेकिन" हैं। हम अब इन "लेकिन" के बारे में बात करेंगे।

2. "मॉड्यूल फ़ंक्शन से बड़ा है" फॉर्म की असमानताएं

वे इस तरह दिखते हैं:

\[\बाएं| च\दाएं| \gt जी\]

पिछले के समान? जैसा दिखता है। फिर भी, ऐसे कार्यों को पूरी तरह से अलग तरीके से हल किया जाता है। औपचारिक रूप से, योजना इस प्रकार है:

\[\बाएं| च\दाएं| \gt g\Rightarrow \ left [ \ start(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

दूसरे शब्दों में, हम दो मामलों पर विचार करते हैं:

1. सबसे पहले, हम केवल मॉड्यूल को अनदेखा करते हैं - हम सामान्य असमानता को हल करते हैं;
2. फिर, वास्तव में, हम मॉड्यूल को ऋण चिह्न के साथ खोलते हैं, और फिर हम असमानता के दोनों हिस्सों को -1 से गुणा करते हैं, एक संकेत के साथ।

इस मामले में, विकल्प एक वर्ग ब्रैकेट के साथ संयुक्त होते हैं, अर्थात। हमारे पास दो आवश्यकताओं का संयोजन है।

फिर से ध्यान दें: हमारे सामने एक प्रणाली नहीं है, बल्कि एक समुच्चय है, इसलिए उत्तर में, सेट संयुक्त होते हैं, प्रतिच्छेद नहीं करते. यह पिछले पैराग्राफ से एक मूलभूत अंतर है!

सामान्य तौर पर, कई छात्रों को यूनियनों और चौराहों के साथ बहुत भ्रम होता है, तो आइए इस मुद्दे को एक बार और सभी के लिए देखें:

• "∪" एक संयोजन चिन्ह है। वास्तव में, यह एक शैलीबद्ध अक्षर "U" है, जो अंग्रेजी भाषा से हमारे पास आया है और "Union" का संक्षिप्त रूप है, अर्थात। "एसोसिएशन"।
• "∩" प्रतिच्छेदन चिन्ह है। यह बकवास कहीं से नहीं आया, बल्कि "∪" के विरोध के रूप में सामने आया।

इसे याद रखना और भी आसान बनाने के लिए, चश्मा बनाने के लिए बस इन संकेतों में पैर जोड़ें (अब मुझ पर मादक पदार्थों की लत और शराब को बढ़ावा देने का आरोप न लगाएं: यदि आप इस पाठ का गंभीरता से अध्ययन कर रहे हैं, तो आप पहले से ही एक ड्रग एडिक्ट हैं):

प्रतिच्छेदन और समुच्चयों के मिलन में अंतर

रूसी में अनुवादित, इसका अर्थ निम्नलिखित है: संघ (संग्रह) में दोनों सेटों के तत्व शामिल हैं, इसलिए, उनमें से प्रत्येक से कम नहीं; लेकिन प्रतिच्छेदन (सिस्टम) में केवल वे तत्व शामिल हैं जो पहले सेट में और दूसरे में दोनों हैं। इसलिए, सेट का प्रतिच्छेदन कभी भी स्रोत सेट से बड़ा नहीं होता है।

तो यह स्पष्ट हो गया? यह बहुत बढ़िया बात है। आइए अभ्यास के लिए आगे बढ़ें।

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\]

समाधान। हम योजना के अनुसार कार्य करते हैं:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\Rightarrow \ left [ \ start(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ सही।\]

हम प्रत्येक जनसंख्या असमानता को हल करते हैं:

\[\बाएं[ \शुरू (संरेखित करें) और 3x+4x \gt 5-1 \\ और 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं[ \शुरू (संरेखित करें) और 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं[ \शुरू (संरेखित करें) और x \gt 4/7\ \\ और x \gt 6 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

हम प्रत्येक परिणामी समुच्चय को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, और फिर उन्हें जोड़ते हैं:

सेटों का संघ

जाहिर है जवाब है $x\in \left(\frac(4)(7));+\infty \right)$

उत्तर: $x\in \left(\frac(4)(7));+\infty \right)$

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

समाधान। कुंआ? नहीं, यह सब वही है। हम एक असमानता से दो असमानताओं के एक सेट के लिए एक मापांक के साथ गुजरते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\अंत (संरेखित करें) \दाएं।\]

हम प्रत्येक असमानता को हल करते हैं। दुर्भाग्य से, वहां जड़ें बहुत अच्छी नहीं होंगी:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ और ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ और x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\अंत (संरेखित करें)\]

दूसरी असमानता में, थोड़ा खेल भी है:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ और ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ और x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\अंत (संरेखित करें)\]

अब हमें इन संख्याओं को दो अक्षों पर अंकित करने की आवश्यकता है - प्रत्येक असमानता के लिए एक अक्ष। हालाँकि, आपको बिंदुओं को सही क्रम में चिह्नित करने की आवश्यकता है: संख्या जितनी बड़ी होगी, बिंदु उतना ही दाईं ओर शिफ्ट होगा।

और यहां हम एक सेटअप की प्रतीक्षा कर रहे हैं। यदि संख्याओं के साथ सब कुछ स्पष्ट है $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (पहले के अंश में पद भिन्न दूसरे के अंश में पदों से कम हैं, इसलिए योग भी छोटा है), संख्याओं के साथ $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ भी कोई कठिनाई नहीं होगी (एक सकारात्मक संख्या स्पष्ट रूप से अधिक नकारात्मक), लेकिन अंतिम जोड़े के साथ, सब कुछ इतना सरल नहीं है। कौन सा बड़ा है: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ या $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? संख्या रेखाओं पर बिंदुओं की व्यवस्था और वास्तव में, उत्तर इस प्रश्न के उत्तर पर निर्भर करेगा।

तो चलिए तुलना करते हैं:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ वी -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

हमने जड़ को अलग किया, असमानता के दोनों किनारों पर गैर-ऋणात्मक संख्याएँ प्राप्त कीं, इसलिए हमें दोनों पक्षों को वर्ग करने का अधिकार है:

\[\begin(matrix) ((\बाएं(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\बाएं(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

मुझे लगता है कि यह कोई ब्रेनर नहीं है कि $4\sqrt(13) \gt 3$, इसलिए $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, अंत में कुल्हाड़ियों पर अंक इस तरह व्यवस्थित किए जाएंगे:

बदसूरत जड़ों का मामला

मैं आपको याद दिला दूं कि हम एक समुच्चय को हल कर रहे हैं, इसलिए उत्तर संघ होगा, न कि छायांकित समुच्चयों का प्रतिच्छेदन।

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारी योजना सरल कार्यों और बहुत कठिन कार्यों दोनों के लिए बहुत अच्छा काम करती है। इस दृष्टिकोण में एकमात्र "कमजोर स्थान" यह है कि आपको अपरिमेय संख्याओं की सही तुलना करने की आवश्यकता है (और मेरा विश्वास करें: ये केवल जड़ें नहीं हैं)। लेकिन तुलना के सवालों के लिए एक अलग (और बहुत गंभीर पाठ) समर्पित होगा। और हम आगे बढ़ते हैं।

3. गैर-ऋणात्मक "पूंछ" के साथ असमानताएं

तो हम सबसे दिलचस्प हो गए। ये फॉर्म की असमानताएं हैं:

\[\बाएं| च\दाएं| \gt\बाएं| जी\दाएं|\]

सामान्यतया, जिस एल्गोरिथम के बारे में हम अभी बात करने जा रहे हैं वह केवल मॉड्यूल के लिए सही है। यह उन सभी असमानताओं में काम करता है जहां बाएं और दाएं गैर-नकारात्मक अभिव्यक्ति की गारंटी है:

इन कार्यों का क्या करें? बस याद रखना:

गैर-नकारात्मक पूंछ के साथ असमानताओं में, दोनों पक्षों को किसी भी प्राकृतिक शक्ति तक उठाया जा सकता है। कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं होगा।

सबसे पहले, हम चुकता करने में रुचि लेंगे - यह मॉड्यूल और जड़ों को जलाता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\ बाएँ (\ बाएँ | f \ दाएँ | \ दाएँ)) ^ (2)) = ((f) ^ (2)); \\ और ((\बाएं(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\अंत (संरेखित करें)\]

वर्ग की जड़ लेने के साथ इसे भ्रमित न करें:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\बाएं| f \right|\ne f\]

जब एक छात्र मॉड्यूल स्थापित करना भूल गया तो अनगिनत गलतियाँ हुईं! लेकिन यह एक पूरी तरह से अलग कहानी है (ये हैं, जैसा कि यह थे, अपरिमेय समीकरण), इसलिए अब हम इसमें नहीं जाएंगे। आइए कुछ समस्याओं को बेहतर ढंग से हल करें:

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| एक्स+2 \दाएं|\जीई \बाएं| 1-2x \दाएं|\]

समाधान। हम तुरंत दो चीजें नोटिस करते हैं:

1. यह एक गैर-सख्त असमानता है। संख्या रेखा पर अंक पंच किए जाएंगे।
2. असमानता के दोनों पक्ष स्पष्ट रूप से गैर-नकारात्मक हैं (यह मॉड्यूल की एक संपत्ति है: $\बाएं| f\बाएं(x \दाएं) \दाएं|\ge 0$)।

इसलिए, हम मापांक से छुटकारा पाने के लिए असमानता के दोनों पक्षों को वर्ग कर सकते हैं और सामान्य अंतराल विधि का उपयोग करके समस्या को हल कर सकते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\ बाएँ (\ बाएँ | x+2 \ दाएँ | \ दाएँ)) ^ (2)) \ ge ((\ बाएँ (\ बाएँ | 1-2x \ दाएँ | \ दाएँ) )^(2)); \\ और ((\बाएं(x+2 \दाएं))^(2))\ge ((\बाएं(2x-1 \दाएं))^(2))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

अंतिम चरण में, मैंने थोड़ा धोखा दिया: मैंने मापांक की समता का उपयोग करके शब्दों के अनुक्रम को बदल दिया (वास्तव में, मैंने $ 1-2x$ को -1 से गुणा किया)।

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ और \ बाएँ (\ बाएँ (2x-1 \ दाएँ) - \ बाएँ (x + 2 \ दाएँ) \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (\ बाएँ (2x-1 \ दाएँ) + \ बाएँ (x + 2 \ दाएं)\दाएं)\ले 0; \\ और \बाएं(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ और \बाएं(x-3 \दाएं)\cdot \बाएं(3x+1 \दाएं)\le 0. \\\end(align)\]

हम अंतराल विधि द्वारा हल करते हैं। आइए असमानता से समीकरण की ओर बढ़ते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(x-3 \दाएं)\बाएं(3x+1 \दाएं)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

हम पाए गए जड़ों को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं। एक बार फिर: सभी बिंदु छायांकित हैं क्योंकि मूल असमानता सख्त नहीं है!

मॉड्यूल साइन से छुटकारा

मैं आपको विशेष रूप से जिद्दी के लिए याद दिलाता हूं: हम पिछली असमानता से संकेत लेते हैं, जो समीकरण पर जाने से पहले लिखा गया था। और हम समान असमानता के लिए आवश्यक क्षेत्रों पर पेंट करते हैं। हमारे मामले में, यह $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ है।

खैर वह सब है। समस्या हल हो गई।

उत्तर: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$।

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

समाधान। हम सब कुछ ऐसा ही करते हैं। मैं कोई टिप्पणी नहीं करूंगा - बस क्रियाओं के क्रम को देखें।

आइए इसे चौकोर करें:

\[\प्रारंभ (संरेखित करें) और ((\बाएं(\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\बाएं(\बाएं) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\बाएं(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\बाएं((x)^(2))+3x+4 \दाएं))^(2)); \\ & ((\बाएं(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\बाएं(((x)^(2))+3x+4 \ दाएं))^(2))\le 0; \\ और \बाएं(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ और \बाएं(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

रिक्ति विधि:

\[\begin(align) & \ left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ दायां तीर x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing । \\\अंत (संरेखित करें)\]

संख्या रेखा पर केवल एक ही मूल होता है:

उत्तर एक पूरी श्रृंखला है

उत्तर: $x\in \left[-1.5;+\infty \right)$।

अंतिम कार्य के बारे में एक छोटा नोट। जैसा कि मेरे एक छात्र ने सटीक रूप से उल्लेख किया है, इस असमानता में दोनों सबमॉड्यूल अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से सकारात्मक हैं, इसलिए स्वास्थ्य को नुकसान पहुंचाए बिना मापांक चिह्न को छोड़ा जा सकता है।

लेकिन यह पहले से ही पूरी तरह से अलग स्तर की सोच और एक अलग दृष्टिकोण है - इसे सशर्त रूप से परिणामों की विधि कहा जा सकता है। उसके बारे में - एक अलग पाठ में। और अब चलिए आज के पाठ के अंतिम भाग पर चलते हैं और एक सार्वभौमिक एल्गोरिथम पर विचार करते हैं जो हमेशा काम करता है। तब भी जब पिछले सभी दृष्टिकोण शक्तिहीन थे। :)

4. विकल्पों की गणना की विधि

क्या होगा अगर ये सभी तरकीबें काम न करें? यदि असमानता को गैर-नकारात्मक पूंछ तक कम नहीं किया जा सकता है, यदि मॉड्यूल को अलग करना असंभव है, यदि बिल्कुल दर्द-उदासी-लालसा है?

फिर सभी गणित के "भारी तोपखाने" दृश्य में प्रवेश करते हैं - गणना विधि। मापांक के साथ असमानताओं के संबंध में, यह इस तरह दिखता है:

1. सभी सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन लिखें और उन्हें शून्य के बराबर करें;
2. परिणामी समीकरणों को हल करें और प्राप्त मूलों को एक संख्या रेखा पर अंकित करें;
3. सीधी रेखा को कई खंडों में विभाजित किया जाएगा, जिसके भीतर प्रत्येक मॉड्यूल का एक निश्चित संकेत होता है और इसलिए स्पष्ट रूप से फैलता है;
4. ऐसे प्रत्येक खंड पर असमानता को हल करें (विश्वसनीयता के लिए आप पैराग्राफ 2 में प्राप्त सीमामूलों पर अलग से विचार कर सकते हैं)। परिणामों को मिलाएं - यह उत्तर होगा। :)

कितनी अच्छी तरह से? कमज़ोर? सरलता! केवल लंबे समय के लिए। आइए व्यवहार में देखें:

एक कार्य। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| एक्स+2 \दाएं| \lt\बाएं| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

समाधान। यह बकवास $\बाएं| . जैसी असमानताओं के लिए उबाल नहीं है च\दाएं| \lt g$, $\बाएं| च\दाएं| \gt g$ या $\बाएं| च\दाएं| \lt\बाएं| g \right|$, तो चलिए आगे बढ़ते हैं।

हम सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन लिखते हैं, उन्हें शून्य के बराबर करते हैं और जड़ों को ढूंढते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+2=0\दायां तीर x=-2; \\ और x-1=0\दायां तीर x=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

कुल मिलाकर, हमारे पास दो जड़ें हैं जो संख्या रेखा को तीन खंडों में विभाजित करती हैं, जिसके अंदर प्रत्येक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से प्रकट होता है:

सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के शून्य से संख्या रेखा को विभाजित करना

आइए प्रत्येक खंड पर अलग से विचार करें।

1. मान लीजिए $x \lt -2$। फिर दोनों सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन नकारात्मक हैं, और मूल असमानता को निम्नानुसार फिर से लिखा गया है:

\[\प्रारंभ (संरेखित करें) और -\बाएं(x+2 \दाएं) \lt -\बाएं(x-1 \दाएं)+x-1,5 \\ और -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ और x \gt 1.5 \\\end(align)\]

हमें काफी सरल बाधा मिली। आइए इसे मूल धारणा के साथ प्रतिच्छेद करें कि $x \lt -2$:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और x \lt -2 \\ और x \gt 1,5 \\\अंत (संरेखण) \दाएं।

जाहिर है, चर $x$ एक साथ −2 से कम लेकिन 1.5 से अधिक नहीं हो सकता। इस क्षेत्र में कोई समाधान नहीं हैं।

1.1. आइए अलग से सीमा मामले पर विचार करें: $x=-2$। आइए इस संख्या को मूल असमानता में बदलें और जांचें: क्या यह सही है?

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\बाएं। ) \\ और 0 \lt \बाएं| -3 \दाएं|-2-1.5; \\ और 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing। \\\अंत (संरेखित करें)\]

जाहिर है, गणनाओं की श्रृंखला ने हमें गलत असमानता की ओर ले जाया है। इसलिए, मूल असमानता भी झूठी है, और उत्तर में $x=-2$ शामिल नहीं है।

2. अब $-2 \lt x \lt 1$ दें। बायां मॉड्यूल पहले से ही "प्लस" के साथ खुलेगा, लेकिन दायां मॉड्यूल अभी भी "माइनस" के साथ है। हमारे पास है:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\ अंत (संरेखित करें)\]

फिर से हम मूल आवश्यकता के साथ प्रतिच्छेद करते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(संरेखित करें) \दाएं।

और फिर, समाधानों का खाली सेट, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो −2.5 से कम और −2 से अधिक दोनों हों।

2.1. और फिर एक विशेष मामला: $x=1$। हम मूल असमानता में स्थानापन्न करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\बाएं। \\ और \बाएं| 3\दाएं| \lt\बाएं| 0 \दाएं|+1-1.5; \\ और 3 \lt -0.5; \\ और 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing। \\\अंत (संरेखित करें)\]

इसी तरह पिछले "विशेष मामले" के लिए, संख्या $x=1$ स्पष्ट रूप से उत्तर में शामिल नहीं है।

3. पंक्ति का अंतिम भाग: $x \gt 1$। यहां सभी मॉड्यूल को प्लस चिह्न के साथ विस्तारित किया गया है:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

और फिर से हम पाए गए सेट को मूल बाधा के साथ काटते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और x \gt 4,5 \\ और x \gt 1 \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\दायां x\में \बाएं(4,5;+\infty \सही)\]

आखिरकार! हमें अंतराल मिल गया है, जिसका उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \ left(4,5;+\infty \right)$

अंत में, एक नोट जो वास्तविक समस्याओं को हल करते समय आपको मूर्खतापूर्ण गलतियों से बचा सकता है:

मॉड्यूल के साथ असमानताओं के समाधान आमतौर पर संख्या रेखा पर निरंतर सेट होते हैं - अंतराल और खंड। पृथक बिंदु बहुत दुर्लभ हैं। और शायद ही कभी, ऐसा होता है कि समाधान की सीमाएं (खंड का अंत) विचाराधीन सीमा की सीमा के साथ मेल खाती हैं।

इसलिए, यदि उत्तर में सीमाएं (वे बहुत ही "विशेष मामले") शामिल नहीं हैं, तो इन सीमाओं के बाएं-दाएं क्षेत्रों को लगभग निश्चित रूप से उत्तर में शामिल नहीं किया जाएगा। और इसके विपरीत: सीमा ने प्रतिक्रिया में प्रवेश किया, जिसका अर्थ है कि इसके आसपास के कुछ क्षेत्रों में भी प्रतिक्रियाएँ होंगी।

अपने समाधानों की जांच करते समय इसे ध्यान में रखें।

चरों के साथ असमानताओं के बारे में प्रारंभिक जानकारी प्राप्त करने के बाद, हम उनके समाधान के प्रश्न की ओर मुड़ते हैं। आइए एक चर के साथ रैखिक असमानताओं के समाधान का विश्लेषण करें और एल्गोरिदम और उदाहरणों के साथ उनके समाधान के सभी तरीकों का विश्लेषण करें। केवल एक चर वाले रैखिक समीकरणों पर विचार किया जाएगा।

एक रैखिक असमानता क्या है?

सबसे पहले आपको एक रैखिक समीकरण को परिभाषित करने और इसके मानक रूप का पता लगाने की आवश्यकता है और यह दूसरों से कैसे भिन्न होगा। स्कूल के पाठ्यक्रम से हमारे पास यह है कि असमानताओं में कोई मौलिक अंतर नहीं है, इसलिए कई परिभाषाओं का उपयोग किया जाना चाहिए।

परिभाषा 1

एक चर के साथ रैखिक असमानता x, x + b > 0 के रूप की एक असमानता है, जब > . के स्थान पर किसी असमानता चिह्न का प्रयोग किया जाता है< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

परिभाषा 2

असमानताएं x< c или a · x >c , जिसमें x एक चर है और a और c कुछ संख्याएँ हैं, को कहा जाता है एक चर के साथ रैखिक असमानताएं.

चूँकि इस बारे में कुछ नहीं कहा गया है कि क्या गुणांक 0 के बराबर हो सकता है, तो 0 x > c और 0 x के रूप की एक सख्त असमानता< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

उनके मतभेद हैं:

• नोटेशन a · x + b > 0 पहले में, और a · x > c - दूसरे में;
• शून्य गुणांक की स्वीकार्यता a , a 0 - पहले में, और a = 0 - दूसरे में।

यह माना जाता है कि असमानताएँ a x + b > 0 और a x > c समतुल्य हैं, क्योंकि वे पद को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करके प्राप्त की जाती हैं। असमानता को हल करना 0 · x + 5 > 0 इस तथ्य की ओर ले जाएगा कि इसे हल करने की आवश्यकता होगी, और मामला a = 0 काम नहीं करेगा।

परिभाषा 3

यह माना जाता है कि एक चर x में रैखिक असमानताएँ रूप की असमानताएँ हैं एक एक्स + बी< 0 , a · x + b >0, ए एक्स + बी ≤ 0और ए एक्स + बी ≥ 0, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं। x के स्थान पर एक साधारण संख्या हो सकती है।

नियम के आधार पर, हमारे पास 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2 है।< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y - 1, 2 रैखिक कहलाते हैं।

रैखिक असमानता को कैसे हल करें

ऐसी असमानताओं को हल करने का मुख्य तरीका प्राथमिक असमानताओं को खोजने के लिए समकक्ष परिवर्तनों का उपयोग करना है x< p (≤ , >, ≥) , p कुछ संख्या है, a 0 के लिए, और रूप a . के लिए< p (≤ , >, ) a = 0 के लिए।

एक चर के साथ असमानता को हल करने के लिए, आप अंतराल विधि लागू कर सकते हैं या इसे ग्राफिक रूप से प्रस्तुत कर सकते हैं। उनमें से कोई भी अलगाव में इस्तेमाल किया जा सकता है।

समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करना

a x + b . के रूप की रैखिक असमानता को हल करने के लिए< 0 (≤ , >, ), असमानता के समतुल्य परिवर्तनों को लागू करना आवश्यक है। गुणांक शून्य हो भी सकता है और नहीं भी। आइए दोनों मामलों पर विचार करें। स्पष्ट करने के लिए, 3 बिंदुओं वाली एक योजना का पालन करना आवश्यक है: प्रक्रिया का सार, एल्गोरिथ्म, समाधान ही।

परिभाषा 4

एक रैखिक असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम एक एक्स + बी< 0 (≤ , >, ) एक 0 . के लिए

• संख्या b को विपरीत चिह्न के साथ असमानता के दाईं ओर स्थानांतरित किया जाएगा, जो हमें x के बराबर आने की अनुमति देगा।< − b (≤ , > , ≥) ;
• असमानता के दोनों भागों को 0 के बराबर न होने वाली संख्या से विभाजित किया जाएगा। इसके अलावा, जब a धनात्मक होता है, तो चिन्ह बना रहता है, जब a ऋणात्मक होता है, तो यह विपरीत में बदल जाता है।

उदाहरणों को हल करने के लिए इस एल्गोरिथम के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण 1

फॉर्म 3 · x + 12 ≤ 0 की असमानता को हल करें।

समाधान

इस रैखिक असमानता में a = 3 और b = 12 है। इसलिए, x का गुणांक a शून्य के बराबर नहीं है। आइए उपरोक्त एल्गोरिदम लागू करें और हल करें।

इसके सामने एक संकेत परिवर्तन के साथ शब्द 12 को असमानता के दूसरे भाग में स्थानांतरित करना आवश्यक है। तब हम 3 · x ≤ -12 के रूप की असमानता प्राप्त करते हैं। दोनों भागों को 3 से विभाजित करना आवश्यक है। चिन्ह नहीं बदलेगा क्योंकि 3 एक धनात्मक संख्या है। हमें वह (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 प्राप्त होता है, जो x ≤ - 4 का परिणाम देगा।

x - 4 के रूप की एक असमानता समतुल्य है। अर्थात्, 3 x + 12 ≤ 0 का हल कोई वास्तविक संख्या है जो 4 से कम या उसके बराबर है। उत्तर एक असमानता x ≤ - 4 , या प्रपत्र के एक संख्यात्मक अंतराल (- ∞ , - 4 ] के रूप में लिखा जाता है।

ऊपर वर्णित संपूर्ण एल्गोरिथम इस प्रकार लिखा गया है:

3 एक्स + 12 ≤ 0; 3 x -12 ; एक्स - 4।

उत्तर: x − 4 या (− ∞ , − 4 ] ।

उदाहरण 2

असमानता के सभी उपलब्ध समाधानों को इंगित करें - 2 , 7 · z > 0 ।

समाधान

इस स्थिति से हम देखते हैं कि z पर गुणांक - 2, 7 के बराबर है, और b स्पष्ट रूप से अनुपस्थित या शून्य के बराबर है। आप एल्गोरिथ्म के पहले चरण का उपयोग नहीं कर सकते हैं, लेकिन तुरंत दूसरे पर जाएं।

हम समीकरण के दोनों भागों को संख्या - 2, 7 से विभाजित करते हैं। चूंकि संख्या ऋणात्मक है, इसलिए असमानता चिह्न को विपरीत में बदलना आवश्यक है। अर्थात्, हम पाते हैं कि (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

हम संपूर्ण एल्गोरिथम को संक्षिप्त रूप में लिखते हैं:

− 2 , 7 z > 0 ; जेड< 0 .

उत्तर:जेड< 0 или (− ∞ , 0) .

उदाहरण 3

असमानता को हल करें - 5 · x - 15 22 ≤ 0।

समाधान

शर्त के अनुसार, हम देखते हैं कि चर x के लिए गुणांक a के साथ असमानता को हल करना आवश्यक है, जो कि - 5 के बराबर है, गुणांक b के साथ, जो अंश से मेल खाता है - 15 22 । एल्गोरिथ्म के बाद असमानता को हल करना आवश्यक है, अर्थात्: चाल - 15 22 विपरीत चिह्न के साथ दूसरे भाग में, दोनों भागों को -5 से विभाजित करें, असमानता चिह्न को बदलें:

5 x 15 22; - 5 x: - 5 15 22: - 5 x - 3 22

अंतिम संक्रमण में, दाईं ओर एक संख्या को विभिन्न संकेतों से विभाजित करने के नियम का उपयोग किया जाता है 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, जिसके बाद हम साधारण अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करते हैं - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 ।

उत्तर: x - 3 22 और [- 3 22 + ) ।

उस स्थिति पर विचार करें जब a = 0. a x + b . के रूप का रैखिक व्यंजक< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

सब कुछ असमानता के समाधान की परिभाषा पर आधारित है। x के किसी भी मान के लिए, हम b . के रूप की एक संख्यात्मक असमानता प्राप्त करते हैं< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

हम रैखिक असमानताओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म के रूप में सभी निर्णयों पर विचार करते हैं 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

परिभाषा 5

प्रपत्र b . की संख्यात्मक असमानता< 0 (≤ , >, ≥) सत्य है, तो मूल असमानता में किसी भी मूल्य का समाधान होता है, और जब मूल असमानता का कोई समाधान नहीं होता है तो असत्य होता है।

उदाहरण 4

असमानता को हल करें 0 · x + 7 > 0 ।

समाधान

यह रैखिक असमानता 0 · x + 7 > 0 कोई भी मान x ले सकती है। तब हमें 7 > 0 के रूप की असमानता प्राप्त होती है। अंतिम असमानता को सत्य माना जाता है, इसलिए कोई भी संख्या इसका समाधान हो सकती है।

उत्तर: अंतराल (- , + ∞) ।

उदाहरण 5

असमानता का हल खोजें 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 ।

समाधान

किसी भी संख्या के लिए चर x को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि असमानता − 12 , 7 ≥ 0 का रूप ले लेगी। यह गलत है। अर्थात्, 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 का कोई हल नहीं है।

उत्तर:कोई समाधान नहीं हैं।

रैखिक असमानताओं के समाधान पर विचार करें, जहां दोनों गुणांक शून्य के बराबर हैं।

उदाहरण 6

0 · x + 0 > 0 और 0 · x + 0 ≥ 0 से एक अघुलनशील असमानता का निर्धारण करें।

समाधान

x के स्थान पर किसी संख्या को प्रतिस्थापित करने पर हमें 0 > 0 और 0 0 के रूप की दो असमानताएँ प्राप्त होती हैं। पहला गलत है। इसका अर्थ है कि 0 x + 0 > 0 का कोई हल नहीं है, और 0 x + 0 0 के अनंत हल हैं, अर्थात् कोई भी संख्या।

उत्तर: असमानता 0 x + 0 > 0 का कोई हल नहीं है, और 0 x + 0 ≥ 0 के हल हैं।

इस पद्धति को गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में माना जाता है। अंतराल विधि रैखिक सहित विभिन्न प्रकार की असमानताओं को हल करने में सक्षम है।

अंतराल विधि का उपयोग रैखिक असमानताओं के लिए किया जाता है जब गुणांक x का मान 0 के बराबर नहीं होता है। अन्यथा, आपको दूसरी विधि का उपयोग करके गणना करनी होगी।

परिभाषा 6

रिक्ति विधि है:

• फलन का परिचय y = a x + b ;
• परिभाषा के क्षेत्र को अंतराल में विभाजित करने के लिए शून्य की खोज करें;
• अंतराल पर उनकी अवधारणा के लिए संकेतों का निर्धारण।

आइए रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम को इकट्ठा करें a x + b< 0 (≤ , >, ) अंतराल विधि का उपयोग करके 0 के लिए:

• a · x + b = 0 के रूप के समीकरण को हल करने के लिए फ़ंक्शन y = a · x + b का शून्य ज्ञात करना। यदि a 0 है, तो समाधान ही एकमात्र मूल होगा जो पदनाम x 0 लेगा;
• एक निर्देशांक x 0 के साथ एक बिंदु की छवि के साथ एक समन्वय रेखा का निर्माण, एक सख्त असमानता के साथ, बिंदु को एक छिद्रित द्वारा इंगित किया जाता है, एक गैर-सख्त असमानता के साथ, यह छायांकित होता है;
• अंतराल पर फ़ंक्शन y = a x + b के संकेतों का निर्धारण, इसके लिए अंतराल पर बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों को खोजना आवश्यक है;
• समन्वय रेखा पर > या चिह्नों के साथ असमानता का समाधान, हैचिंग को सकारात्मक अंतराल के ऊपर जोड़ा जाता है,< или ≤ над отрицательным промежутком.

अंतराल विधि का उपयोग करके रैखिक असमानता को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 6

असमानता को हल करें - 3 · x + 12 > 0 ।

समाधान

एल्गोरिथम से यह पता चलता है कि सबसे पहले आपको समीकरण − 3 · x + 12 = 0 का मूल ज्ञात करना होगा। हम पाते हैं कि − 3 · x = − 12 , x = 4 । समन्वय रेखा को चित्रित करना आवश्यक है, जहां हम बिंदु 4 को चिह्नित करते हैं। असमानता सख्त होने के कारण इसे पंचर किया जाएगा। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

अंतराल पर संकेतों को निर्धारित करना आवश्यक है। इसे अंतराल (− ∞ , 4) पर निर्धारित करने के लिए x = 3 के लिए फलन y = − 3 · x + 12 की गणना करना आवश्यक है। यहाँ से हम पाते हैं कि − 3 3 + 12 = 3 > 0 । अंतराल पर संकेत सकारात्मक है।

हम अंतराल (4, + ) से संकेत निर्धारित करते हैं, फिर हम मान x \u003d 5 को प्रतिस्थापित करते हैं। हमारे पास − 3 5 + 12 = − 3 . है< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

हम असमानता के समाधान को साइन > के साथ करते हैं, और हैचिंग को सकारात्मक अंतराल पर किया जाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि वांछित समाधान का रूप (- , 4) या x . है< 4 .

उत्तर: (- , 4) या x< 4 .

आलेखीय रूप से निरूपित करने के तरीके को समझने के लिए, उदाहरण के रूप में 4 रैखिक असमानताओं पर विचार करना आवश्यक है: 0, 5 x - 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 और 0 , 5 x - 1 ≥ 0 । उनका हल x . होगा< 2 , x ≤ 2 , x >2 और एक्स 2। ऐसा करने के लिए, नीचे रैखिक फलन y = 0 , 5 · x - 1 का आलेख खींचिए।

यह स्पष्ट है कि

परिभाषा 7

• असमानता का हल 0 , 5 x - 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• हल 0 , 5 x − 1 ≤ 0 वह अंतराल है जहां फलन y = 0 , 5 x − 1 0 x से नीचे है या संपाती है;
• समाधान 0 , 5 x − 1 > 0 को अंतराल माना जाता है, जहां फलन O x के ऊपर स्थित होता है;
• हल 0 , 5 x − 1 ≥ 0 वह अंतराल है जहां ग्राफ O x से अधिक है या संपाती है।

असमानताओं के चित्रमय समाधान का अर्थ अंतराल को खोजना है, जिसे ग्राफ पर दर्शाया जाना चाहिए। इस मामले में, हम पाते हैं कि बाईं ओर y \u003d a x + b है, और दाईं ओर y \u003d 0 है, और यह लगभग x से मेल खाता है।

परिभाषा 8

फलन y = a x + b का आलेखन किया जाता है:

• असमानता को हल करते समय a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• असमानता a x + b ≤ 0 को हल करते समय, अंतराल निर्धारित किया जाता है जहां ग्राफ़ O x अक्ष के नीचे प्रदर्शित होता है या मेल खाता है;
• असमानता को हल करते समय a x + b > 0, अंतराल निर्धारित किया जाता है, जहां ग्राफ़ O x के ऊपर प्रदर्शित होता है;
• असमानता a x + b ≥ 0 को हल करते समय, अंतराल निर्धारित किया जाता है जहां ग्राफ O x से ऊपर है या मेल खाता है।

उदाहरण 7

ग्राफ़ का उपयोग करके असमानता - 5 · x - 3> 0 हल करें।

समाधान

एक रैखिक फलन - 5 · x - 3 > 0 का आलेख बनाना आवश्यक है। यह रेखा घट रही है क्योंकि x का गुणांक ऋणात्मक है। O x - 5 · x - 3 > 0 के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, हम मान - 3 5 प्राप्त करते हैं। आइए इसे ग्राफ करें।

असमानता का समाधान > चिह्न के साथ, तो आपको O x के ऊपर के अंतराल पर ध्यान देने की आवश्यकता है। हम विमान के आवश्यक भाग को लाल रंग में हाइलाइट करते हैं और उसे प्राप्त करते हैं

आवश्यक अंतराल लाल रंग का O x भाग है। अत: खुली संख्या किरण - , - 3 5 असमिका का हल होगी। यदि, शर्त के अनुसार, उनके पास एक गैर-सख्त असमानता थी, तो बिंदु - 3 5 का मान भी असमानता का समाधान होगा। और O x के साथ संपाती होगा।

उत्तर: - , - 3 5 या x< - 3 5 .

ग्राफिकल सॉल्यूशन का उपयोग तब किया जाता है जब बाईं ओर फ़ंक्शन y = 0 x + b, यानी y = b के अनुरूप होगा। तब रेखा O x के समानांतर या b \u003d 0 पर मेल खाने वाली होगी। इन मामलों से पता चलता है कि असमानता का कोई समाधान नहीं हो सकता है, या कोई भी संख्या समाधान हो सकती है।

उदाहरण 8

असमानताओं से निर्धारित करें 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

समाधान

निरूपण y = 0 x + 7 y = 7 है, तो O x के समानांतर एक सीधी रेखा और O x के ऊपर एक निर्देशांक तल दिया जाएगा। तो 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

फ़ंक्शन y \u003d 0 x + 0 का ग्राफ y \u003d 0 माना जाता है, अर्थात रेखा O x के साथ मेल खाती है। अत: असमिका 0 · x + 0 0 के अनेक हल हैं।

उत्तर: दूसरी असमानता में x के किसी भी मान का हल होता है।

रैखिक असमानताएं

असमानताओं के समाधान को एक रैखिक समीकरण के हल में घटाया जा सकता है, जिसे रैखिक असमानताएँ कहा जाता है।

स्कूल के पाठ्यक्रम में इन असमानताओं पर विचार किया गया था, क्योंकि वे असमानताओं को हल करने का एक विशेष मामला था, जिसके कारण कोष्ठक खुल गए और समान शब्दों में कमी आई। उदाहरण के लिए, मान लें कि 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x ।

ऊपर दी गई असमानताओं को हमेशा एक रैखिक समीकरण के रूप में घटाया जाता है। उसके बाद, कोष्ठक खोले जाते हैं और समान शब्द दिए जाते हैं, विभिन्न भागों से स्थानांतरित किए जाते हैं, संकेत को विपरीत में बदलते हैं।

जब असमानता 5 - 2 x > 0 को एक रैखिक में घटाते हैं, तो हम इसे इस तरह से निरूपित करते हैं कि इसका रूप - 2 x + 5 > 0 हो, और दूसरे को कम करने के लिए, हमें वह 7 (x - 1 मिलता है) ) + 3 ≤ 4 x - 2 + x । कोष्ठकों को खोलना, समान पद लाना, सभी पदों को बाईं ओर ले जाना और समान पदों को लाना आवश्यक है। यह इस तरह दिख रहा है:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 0 2 x − 2 0

यह एक रैखिक असमानता का समाधान लाता है।

इन असमानताओं को रैखिक माना जाता है, क्योंकि उनके पास समाधान का एक ही सिद्धांत है, जिसके बाद उन्हें प्राथमिक असमानताओं में कम करना संभव है।

इस तरह की असमानता को हल करने के लिए, इसे एक रैखिक तक कम करना आवश्यक है। इसे इस तरह किया जाना चाहिए:

परिभाषा 9

• खुले कोष्ठक;
• बाईं ओर चर, और दाईं ओर संख्याएँ एकत्र करें;
• समान शर्तें लाओ;
• दोनों भागों को x के गुणांक से विभाजित करें।

उदाहरण 9

असमानता को हल करें 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x - 3) + 1 ।

समाधान

हम कोष्ठक का विस्तार करते हैं, तब हमें 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 के रूप की असमानता प्राप्त होती है। समान पदों को कम करने के बाद, हमारे पास वह 6 · x + 15 ≤ 6 · x - 17 है। पदों को बाएँ से दाएँ ले जाने पर, हम पाते हैं कि 6 x + 15 - 6 x + 17 ≤ 0 । इसलिए, इसमें 0 · x + 32 ≤ 0 की गणना में प्राप्त परिणाम से फॉर्म 32 ≤ 0 की असमानता है। यह देखा जा सकता है कि असमानता झूठी है, जिसका अर्थ है कि स्थिति द्वारा दी गई असमानता का कोई समाधान नहीं है।

उत्तर: कोई समाधान नहीं।

यह ध्यान देने योग्य है कि एक अन्य प्रकार की कई असमानताएँ हैं, जिन्हें एक रैखिक या ऊपर दिखाए गए प्रकार की असमानता को कम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 5 2 x - 1 ≥ 1 एक घातांकीय समीकरण है जो एक रैखिक समाधान 2 · x − 1 ≥ 0 को घटाता है। इस प्रकार की असमानताओं को हल करते समय इन मामलों पर विचार किया जाएगा।

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