9वीं कक्षा में स्कूलों में बीजगणित के सामान्य पाठ्यक्रम में "अंकगणितीय प्रगति" विषय का अध्ययन किया जाता है। संख्या श्रृंखला के गणित के आगे गहन अध्ययन के लिए यह विषय महत्वपूर्ण है। इस लेख में, हम अंकगणितीय प्रगति, इसके अंतर के साथ-साथ स्कूली बच्चों के सामने आने वाले विशिष्ट कार्यों से परिचित होंगे।

बीजगणितीय प्रगति की अवधारणा

एक संख्यात्मक प्रगति संख्याओं का एक क्रम है जिसमें प्रत्येक बाद के तत्व को पिछले एक से प्राप्त किया जा सकता है यदि कुछ गणितीय कानून लागू किया जाता है। प्रगति के दो सरल प्रकार हैं: ज्यामितीय और अंकगणित, जिसे बीजगणितीय भी कहा जाता है। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

कुछ परिमेय संख्या की कल्पना करें, इसे प्रतीक a 1 द्वारा निरूपित करें, जहां सूचकांक विचाराधीन श्रृंखला में इसकी क्रमिक संख्या को इंगित करता है। आइए 1 में कोई अन्य संख्या जोड़ें, आइए इसे d से निरूपित करें। तब श्रृंखला का दूसरा तत्व निम्नानुसार परिलक्षित हो सकता है: a 2 = a 1 + d। अब d को फिर से जोड़ें, हमें प्राप्त होता है: a 3 = a 2 + d। इस गणितीय संक्रिया को जारी रखते हुए, आप संख्याओं की एक पूरी श्रृंखला प्राप्त कर सकते हैं, जिसे अंकगणितीय प्रगति कहा जाएगा।

जैसा कि ऊपर से समझा जा सकता है, इस क्रम के n-वें तत्व को खोजने के लिए, आपको सूत्र का उपयोग करना चाहिए: a n \u003d a 1 + (n-1) * d। वास्तव में, व्यंजक में n=1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 = a 1 प्राप्त होता है, यदि n = 2, तो सूत्र का अर्थ है: a 2 = a 1 + 1*d, और इसी तरह।

उदाहरण के लिए, यदि समांतर श्रेणी का अंतर 5 है, और 1 = 1 है, तो इसका मतलब है कि प्रश्न में प्रकार की संख्या श्रृंखला का रूप है: 1, 6, 11, 16, 21, ... जैसा कि आप देख सकते हैं, इसका प्रत्येक सदस्य पिछले वाले से 5 अधिक है।

अंकगणितीय प्रगति अंतर सूत्र

विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला की उपरोक्त परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि इसे निर्धारित करने के लिए, आपको दो संख्याओं को जानने की आवश्यकता है: ए 1 और डी। उत्तरार्द्ध को इस प्रगति का अंतर कहा जाता है। यह पूरी श्रृंखला के व्यवहार को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। वास्तव में, यदि d धनात्मक है, तो संख्या श्रृंखला लगातार बढ़ेगी, इसके विपरीत, ऋणात्मक d के मामले में, श्रृंखला में संख्या केवल मॉड्यूलो में वृद्धि करेगी, जबकि उनका निरपेक्ष मान बढ़ती संख्या n के साथ घट जाएगा।

अंकगणितीय प्रगति के बीच अंतर क्या है? इस मान की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले दो मुख्य सूत्रों पर विचार करें:

1. d = a n+1 -a n , यह सूत्र संख्याओं की मानी गई श्रृंखला की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है।
2. डी \u003d (-ए 1 + ए एन) / (एन -1), यह अभिव्यक्ति लेख के पिछले पैराग्राफ में दिए गए सूत्र से डी व्यक्त करके प्राप्त की जाती है। ध्यान दें कि यदि n=1 है तो यह व्यंजक अनिश्चित (0/0) हो जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि इसके अंतर को निर्धारित करने के लिए श्रृंखला के कम से कम 2 तत्वों को जानना आवश्यक है।

इन दो बुनियादी सूत्रों का उपयोग प्रगति अंतर को खोजने की किसी भी समस्या को हल करने के लिए किया जाता है। हालाँकि, एक और सूत्र है जिसके बारे में आपको भी जानना आवश्यक है।

पहले तत्वों का योग

ऐतिहासिक साक्ष्यों के अनुसार, सूत्र, जिसका उपयोग बीजगणितीय प्रगति के सदस्यों की किसी भी संख्या के योग को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, पहली बार 18 वीं शताब्दी के गणित के "राजकुमार" कार्ल गॉस द्वारा प्राप्त किया गया था। एक जर्मन वैज्ञानिक, जबकि अभी भी एक गांव के स्कूल के प्राथमिक ग्रेड में एक लड़का है, ने देखा कि श्रृंखला में प्राकृतिक संख्याओं को 1 से 100 तक जोड़ने के लिए, आपको पहले पहले तत्व और अंतिम को जोड़ना होगा (परिणामस्वरूप मान बराबर होगा अंतिम और दूसरे, अंतिम और तीसरे तत्वों के योग के लिए, और इसी तरह), और फिर इस संख्या को इन राशियों की संख्या से गुणा किया जाना चाहिए, अर्थात 50।

किसी विशेष उदाहरण पर बताए गए परिणाम को दर्शाने वाले सूत्र को एक मनमाना मामले के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह इस तरह दिखेगा: एस एन = एन/2*(ए एन + ए 1)। ध्यान दें कि निर्दिष्ट मान को खोजने के लिए, अंतर d के ज्ञान की आवश्यकता नहीं है यदि प्रगति के दो सदस्य (ए एन और ए 1) ज्ञात हैं।

उदाहरण 1। श्रृंखला a1 और an . के दो पदों को जानकर, अंतर निर्धारित करें

हम बताएंगे कि लेख में ऊपर बताए गए सूत्रों को कैसे लागू किया जाए। आइए एक सरल उदाहरण दें: अंकगणितीय प्रगति का अंतर अज्ञात है, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि यह 13 \u003d -5.6 और 1 \u003d -12.1 के बराबर क्या होगा।

चूंकि हम संख्यात्मक अनुक्रम के दो तत्वों के मूल्यों को जानते हैं, और उनमें से एक पहली संख्या है, हम अंतर d को निर्धारित करने के लिए सूत्र संख्या 2 का उपयोग कर सकते हैं। हमारे पास है: d \u003d (-1 * (-12.1) + (-5.6)) / 12 \u003d 0.54167। व्यंजक में, हमने n=13 मान का उपयोग किया, क्योंकि इस क्रमांक वाले सदस्य को जाना जाता है।

परिणामी अंतर इंगित करता है कि प्रगति बढ़ रही है, इस तथ्य के बावजूद कि समस्या की स्थिति में दिए गए तत्वों का नकारात्मक मूल्य है। यह देखा जा सकता है कि a 13 >a 1 , हालांकि |a 13 |<|a 1 |.

उदाहरण # 2। उदाहरण #1 . में सकारात्मक प्रगति की शर्तें

आइए एक नई समस्या को हल करने के लिए पिछले उदाहरण में प्राप्त परिणाम का उपयोग करें। इसे निम्नानुसार तैयार किया गया है: उदाहरण संख्या 1 में प्रगति के तत्व किस क्रम संख्या से सकारात्मक मूल्य लेना शुरू करते हैं?

जैसा कि दिखाया गया था, जिस प्रगति में 1 = -12.1 और डी = 0.54167 बढ़ रहा है, इसलिए एक निश्चित संख्या से संख्याएं केवल सकारात्मक मान लेती हैं। इस संख्या n को निर्धारित करने के लिए, एक साधारण असमानता को हल करना आवश्यक है, जिसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा गया है: a n>0 या, उपयुक्त सूत्र का उपयोग करके, हम असमानता को फिर से लिखते हैं: a 1 + (n-1)*d>0। अज्ञात n को खोजना आवश्यक है, आइए इसे व्यक्त करें: n>-1*a 1 /d + 1. अब यह अंतर के ज्ञात मूल्यों और अनुक्रम के पहले सदस्य को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है। हमें मिलता है: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 या n>23.338। चूँकि n केवल पूर्णांक मान ले सकता है, इसलिए प्राप्त असमानता से यह पता चलता है कि श्रृंखला के कोई भी पद जिनकी संख्या 23 से अधिक है, धनात्मक होंगे।

आइए इस अंकगणितीय प्रगति के 23वें और 24वें तत्वों की गणना के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके अपने उत्तर की जाँच करें। हमारे पास है: एक 23 \u003d -12.1 + 22 * ​​0.54167 \u003d -0.18326 (ऋणात्मक संख्या); ए 24 \u003d -12.1 + 23 * 0.54167 \u003d 0.3584 (सकारात्मक मूल्य)। इस प्रकार, प्राप्त परिणाम सही है: n=24 से शुरू होकर, संख्या श्रृंखला के सभी सदस्य शून्य से बड़े होंगे।

उदाहरण #3। कितने लॉग फिट होंगे?

यहाँ एक दिलचस्प समस्या है: लॉगिंग के दौरान, आरा लॉग को एक दूसरे के ऊपर ढेर करने का निर्णय लिया गया था जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। इस तरह से कितने लॉग ढेर किए जा सकते हैं, यह जानते हुए कि कुल 10 पंक्तियाँ फिट होंगी?

लॉग को फोल्ड करने के इस तरीके में, एक दिलचस्प बात देखी जा सकती है: प्रत्येक बाद की पंक्ति में पिछले एक की तुलना में एक लॉग कम होगा, यानी एक बीजगणितीय प्रगति है, जिसका अंतर डी = 1 है। यह मानते हुए कि प्रत्येक पंक्ति में लॉग की संख्या इस प्रगति का सदस्य है, और यह भी ध्यान में रखते हुए कि 1 = 1 (केवल एक लॉग सबसे ऊपर फिट होगा), हम संख्या को 10 पाते हैं। हमारे पास है: एक 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10। यानी 10 वीं पंक्ति में, जो जमीन पर स्थित है, 10 लॉग होंगे।

इस "पिरामिडल" निर्माण की कुल राशि गॉस सूत्र का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती है। हमें मिलता है: एस 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 लॉग।

9वीं कक्षा में स्कूलों में बीजगणित के सामान्य पाठ्यक्रम में "अंकगणितीय प्रगति" विषय का अध्ययन किया जाता है। संख्या श्रृंखला के गणित के आगे गहन अध्ययन के लिए यह विषय महत्वपूर्ण है। इस लेख में, हम अंकगणितीय प्रगति, इसके अंतर के साथ-साथ स्कूली बच्चों के सामने आने वाले विशिष्ट कार्यों से परिचित होंगे।

बीजगणितीय प्रगति की अवधारणा

एक संख्यात्मक प्रगति संख्याओं का एक क्रम है जिसमें प्रत्येक बाद के तत्व को पिछले एक से प्राप्त किया जा सकता है यदि कुछ गणितीय कानून लागू किया जाता है। प्रगति के दो सरल प्रकार हैं: ज्यामितीय और अंकगणित, जिसे बीजगणितीय भी कहा जाता है। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

कुछ परिमेय संख्या की कल्पना करें, इसे प्रतीक a1 द्वारा निरूपित करें, जहां सूचकांक विचाराधीन श्रृंखला में इसकी क्रमिक संख्या को इंगित करता है। आइए a1 में कुछ और संख्या जोड़ते हैं, आइए इसे d दर्शाते हैं। तब श्रृंखला का दूसरा तत्व निम्नानुसार परिलक्षित हो सकता है: a2 = a1+d। अब d को फिर से जोड़ें, हमें प्राप्त होता है: a3 = a2+d। इस गणितीय संक्रिया को जारी रखते हुए, आप संख्याओं की एक पूरी श्रृंखला प्राप्त कर सकते हैं, जिसे अंकगणितीय प्रगति कहा जाएगा।

जैसा कि ऊपर से समझा जा सकता है, इस क्रम के n-वें तत्व को खोजने के लिए, आपको सूत्र का उपयोग करना चाहिए: a = a1 + (n-1) * d। वास्तव में, व्यंजक में n=1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें a1 = a1, यदि n = 2 प्राप्त होता है, तो सूत्र का अर्थ है: a2 = a1 + 1*d, इत्यादि।

उदाहरण के लिए, यदि समांतर श्रेणी का अंतर 5 है, और a1 = 1 है, तो इसका मतलब है कि विचाराधीन प्रकार की संख्या श्रृंखला इस तरह दिखती है: 1, 6, 11, 16, 21, ... जैसा कि आप देख सकते हैं , इसका प्रत्येक सदस्य पिछले वाले से 5 अधिक है।

अंकगणितीय प्रगति अंतर सूत्र

विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला की उपरोक्त परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि इसे निर्धारित करने के लिए, दो संख्याओं को जानना आवश्यक है: a1 और d। उत्तरार्द्ध को इस प्रगति का अंतर कहा जाता है। यह पूरी श्रृंखला के व्यवहार को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। वास्तव में, यदि d धनात्मक है, तो संख्या श्रृंखला लगातार बढ़ेगी, इसके विपरीत, ऋणात्मक d के मामले में, श्रृंखला में संख्या केवल मॉड्यूलो में वृद्धि करेगी, जबकि उनका निरपेक्ष मान बढ़ती संख्या n के साथ घट जाएगा।

अंकगणितीय प्रगति के बीच अंतर क्या है? इस मान की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले दो मुख्य सूत्रों पर विचार करें:

d = an+1-an, यह सूत्र संख्याओं की मानी गई श्रृंखला की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है।

d = (-a1+an)/(n-1), यह व्यंजक लेख के पिछले पैराग्राफ में दिए गए सूत्र से d को व्यक्त करके प्राप्त किया जाता है। ध्यान दें कि यदि n=1 है तो यह व्यंजक अनिश्चित (0/0) हो जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि इसके अंतर को निर्धारित करने के लिए श्रृंखला के कम से कम 2 तत्वों को जानना आवश्यक है।

इन दो बुनियादी सूत्रों का उपयोग प्रगति अंतर को खोजने की किसी भी समस्या को हल करने के लिए किया जाता है। हालाँकि, एक और सूत्र है जिसके बारे में आपको भी जानना आवश्यक है।

पहले तत्वों का योग

ऐतिहासिक साक्ष्यों के अनुसार, सूत्र, जिसका उपयोग बीजगणितीय प्रगति के सदस्यों की किसी भी संख्या के योग को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, पहली बार 18 वीं शताब्दी के गणित के "राजकुमार" कार्ल गॉस द्वारा प्राप्त किया गया था। एक जर्मन वैज्ञानिक, जबकि अभी भी एक गांव के स्कूल के प्राथमिक ग्रेड में एक लड़का है, ने देखा कि श्रृंखला में प्राकृतिक संख्याओं को 1 से 100 तक जोड़ने के लिए, आपको पहले पहले तत्व और अंतिम को जोड़ना होगा (परिणामस्वरूप मान बराबर होगा अंतिम और दूसरे, अंतिम और तीसरे तत्वों के योग के लिए, और इसी तरह), और फिर इस संख्या को इन राशियों की संख्या से गुणा किया जाना चाहिए, अर्थात 50।

किसी विशेष उदाहरण पर बताए गए परिणाम को दर्शाने वाले सूत्र को एक मनमाना मामले के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह इस तरह दिखेगा: Sn = n/2*(an+a1)। ध्यान दें कि निर्दिष्ट मान को खोजने के लिए, अंतर d के ज्ञान की आवश्यकता नहीं है यदि प्रगति के दो सदस्य (ए और ए 1) ज्ञात हैं।

उदाहरण 1। श्रृंखला a1 और an . के दो पदों को जानकर, अंतर निर्धारित करें

हम बताएंगे कि लेख में ऊपर बताए गए सूत्रों को कैसे लागू किया जाए। आइए एक सरल उदाहरण दें: अंकगणितीय प्रगति का अंतर अज्ञात है, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि यह a13 = -5.6 और a1 = -12.1 के बराबर क्या होगा।

चूंकि हम संख्यात्मक अनुक्रम के दो तत्वों के मूल्यों को जानते हैं, और उनमें से एक पहली संख्या है, हम अंतर d को निर्धारित करने के लिए सूत्र संख्या 2 का उपयोग कर सकते हैं। हमारे पास है: d \u003d (-1 * (-12.1) + (-5.6)) / 12 \u003d 0.54167। व्यंजक में, हमने n=13 मान का उपयोग किया, क्योंकि इस क्रमांक वाले सदस्य को जाना जाता है।

परिणामी अंतर इंगित करता है कि प्रगति बढ़ रही है, इस तथ्य के बावजूद कि समस्या की स्थिति में दिए गए तत्वों का नकारात्मक मूल्य है। यह देखा जा सकता है कि a13>a1, हालांकि |a13|<|a1|.

उदाहरण # 2। उदाहरण #1 . में सकारात्मक प्रगति की शर्तें

आइए एक नई समस्या को हल करने के लिए पिछले उदाहरण में प्राप्त परिणाम का उपयोग करें। इसे निम्नानुसार तैयार किया गया है: उदाहरण संख्या 1 में प्रगति के तत्व किस क्रम संख्या से सकारात्मक मूल्य लेना शुरू करते हैं?

जैसा कि दिखाया गया था, जिस प्रगति में a1 = -12.1 और d = 0.54167 बढ़ रहा है, इसलिए कुछ संख्या से संख्याएँ केवल सकारात्मक मान लेने लगेंगी। इस संख्या n को निर्धारित करने के लिए, एक साधारण असमानता को हल करना आवश्यक है, जिसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा गया है: a>0 या, उपयुक्त सूत्र का उपयोग करके, हम असमानता को फिर से लिखते हैं: a1 + (n-1)*d>0। अज्ञात n को खोजना आवश्यक है, आइए इसे व्यक्त करें: n>-1*a1/d + 1. अब यह अंतर के ज्ञात मूल्यों और अनुक्रम के पहले सदस्य को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है। हमें मिलता है: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 या n>23.338। चूँकि n केवल पूर्णांक मान ले सकता है, इसलिए प्राप्त असमानता से यह पता चलता है कि श्रृंखला के कोई भी पद जिनकी संख्या 23 से अधिक है, धनात्मक होंगे।

आइए इस अंकगणितीय प्रगति के 23वें और 24वें तत्वों की गणना के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके अपने उत्तर की जाँच करें। हमारे पास है: a23=-12.1 + 22*0.54167 = -0.18326 (ऋणात्मक संख्या); a24=-12.1 + 23*0.54167 =0.3584 (सकारात्मक मान)। इस प्रकार, प्राप्त परिणाम सही है: n=24 से शुरू होकर, संख्या श्रृंखला के सभी सदस्य शून्य से बड़े होंगे।

उदाहरण #3। कितने लॉग फिट होंगे?

यहाँ एक दिलचस्प समस्या है: लॉगिंग के दौरान, आरा लॉग को एक दूसरे के ऊपर ढेर करने का निर्णय लिया गया था जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। इस तरह से कितने लॉग ढेर किए जा सकते हैं, यह जानते हुए कि कुल 10 पंक्तियाँ फिट होंगी?

लॉग को फोल्ड करने के इस तरीके में, एक दिलचस्प बात देखी जा सकती है: प्रत्येक बाद की पंक्ति में पिछले एक की तुलना में एक लॉग कम होगा, यानी एक बीजगणितीय प्रगति है, जिसका अंतर डी = 1 है। यह मानते हुए कि प्रत्येक पंक्ति में लॉग की संख्या इस प्रगति का सदस्य है, और यह भी ध्यान में रखते हुए कि a1 = 1 (केवल एक लॉग सबसे ऊपर फिट होगा), हम संख्या a10 पाते हैं। हमारे पास है: a10 = 1 + 1*(10-1) = 10. यानी 10वीं पंक्ति में, जो जमीन पर है, 10 लॉग होंगे।

इस "पिरामिडल" निर्माण की कुल राशि गॉस सूत्र का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती है। हमें मिलता है: S10 = 10/2*(10+1) = 55 लॉग।

प्रथम स्तर

अंकगणितीय प्रगति। उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत (2019)

संख्यात्मक अनुक्रम

तो चलिए बैठ जाते हैं और कुछ नंबर लिखना शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। हम चाहे कितनी भी संख्याएँ लिख लें, हम हमेशा कह सकते हैं कि उनमें से कौन पहली है, कौन सी दूसरी है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें संख्या दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्यात्मक अनुक्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या केवल एक अनुक्रम संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन सेकंड की संख्या नहीं है। दूसरी संख्या (जैसे -th संख्या) हमेशा समान होती है।
संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर एक सूचकांक के साथ एक ही अक्षर:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर है।
उदाहरण के लिए:

आदि।
इस तरह के संख्यात्मक अनुक्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
शब्द "प्रगति" रोमन लेखक बोथियस द्वारा 6 वीं शताब्दी की शुरुआत में पेश किया गया था और इसे व्यापक अर्थों में एक अंतहीन संख्यात्मक अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम को निरंतर अनुपात के सिद्धांत से स्थानांतरित किया गया था, जिसमें प्राचीन यूनानी लगे हुए थे।

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम एक अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं हैं:

ए)
बी)
सी)
डी)

समझ लिया? हमारे उत्तरों की तुलना करें:
है एकअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
क्या नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई प्रगति () पर लौटते हैं और इसके वें सदस्य का मान ज्ञात करने का प्रयास करते हैं। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका।

1. विधि

हम प्रगति संख्या के पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक हम प्रगति के वें पद तक नहीं पहुंच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास संक्षेप में बताने के लिए बहुत कुछ नहीं है - केवल तीन मान:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य के बराबर है।

2. विधि

क्या होगा यदि हमें प्रगति के वें पद का मूल्य ज्ञात करना है? योग करने में हमें एक घंटे से अधिक का समय लगता, और यह एक तथ्य नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हमने गलतियाँ नहीं की होंगी।
बेशक, गणितज्ञ एक ऐसा तरीका लेकर आए हैं जिसमें आपको अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मान से जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। खींचे गए चित्र को ध्यान से देखें ... निश्चित रूप से आपने पहले से ही एक निश्चित पैटर्न पर ध्यान दिया है, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य का मूल्य क्या है:


दूसरे शब्दों में:

इस तरह से स्वतंत्र रूप से इस अंकगणितीय प्रगति के एक सदस्य के मूल्य को खोजने का प्रयास करें।

परिकलित? उत्तर के साथ अपनी प्रविष्टियों की तुलना करें:

ध्यान दें कि आपको पिछली विधि के समान ही संख्या मिली है, जब हमने अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को पिछले मान में क्रमिक रूप से जोड़ा था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपित" करने का प्रयास करें - हम इसे एक सामान्य रूप में लाते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंकगणितीय प्रगति समीकरण।

अंकगणितीय प्रगति या तो बढ़ रही है या घट रही है।

की बढ़ती- प्रगति जिसमें शर्तों के प्रत्येक बाद के मूल्य पिछले एक से अधिक है।
उदाहरण के लिए:

अवरोही- प्रगति जिसमें शर्तों के प्रत्येक बाद के मूल्य पिछले एक से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में देखें।
हमें निम्नलिखित संख्याओं से मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

तब से:

इस प्रकार, हम आश्वस्त थे कि यह सूत्र अंकगणितीय प्रगति को घटाने और बढ़ाने दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति के -वें और -वें सदस्यों को स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए कार्य को जटिल करें - हम एक अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति प्राप्त करते हैं।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात कीजिए।
यह आसान है, आप कहते हैं, और उस सूत्र के अनुसार गिनना शुरू करें जिसे आप पहले से जानते हैं:

चलो, ए, फिर:

बिल्कुल सही। यह पता चला है कि हम पहले पाते हैं, फिर इसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और हम जो खोज रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मूल्यों द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन क्या होगा यदि हमें इस स्थिति में संख्याएं दी जाएं? सहमत हूं, गणना में गलती होने की संभावना है।
अब सोचो, क्या किसी सूत्र का प्रयोग करके इस समस्या को एक चरण में हल करना संभव है? बेशक, हाँ, और हम इसे अभी बाहर लाने का प्रयास करेंगे।

आइए अंकगणितीय प्रगति के वांछित शब्द को निरूपित करें, जैसा कि हम इसे खोजने के लिए सूत्र जानते हैं - यह वही सूत्र है जिसे हमने शुरुआत में प्राप्त किया था:
, फिर:

• प्रगति का पिछला सदस्य है:
• प्रगति का अगला पद है:

आइए प्रगति के पिछले और अगले सदस्यों का योग करें:

यह पता चला है कि प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों का योग उनके बीच स्थित प्रगति के सदस्य के मूल्य से दोगुना है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और लगातार मूल्यों के साथ प्रगति सदस्य के मूल्य को खोजने के लिए, उन्हें जोड़ना और विभाजित करना आवश्यक है।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। आइए सामग्री को ठीक करें। प्रगति के लिए मूल्य की गणना स्वयं करें, क्योंकि यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है।

बहुत बढ़िया! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! यह केवल एक सूत्र का पता लगाना बाकी है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों के राजा" - कार्ल गॉस, आसानी से खुद के लिए निकाले गए ...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष का था, शिक्षक, अन्य कक्षाओं के छात्रों के काम की जाँच में व्यस्त, ने पाठ में निम्नलिखित कार्य पूछा: "सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें (अन्य स्रोतों के अनुसार) समावेशी। " शिक्षक को क्या आश्चर्य हुआ जब उसके एक छात्र (वह कार्ल गॉस थे) ने एक मिनट के बाद कार्य का सही उत्तर दिया, जबकि डेयरडेविल के अधिकांश सहपाठियों ने लंबी गणना के बाद गलत परिणाम प्राप्त किया ...

यंग कार्ल गॉस ने एक पैटर्न देखा जिसे आप आसानी से देख सकते हैं।
मान लीजिए कि हमारे पास एक अंकगणितीय प्रगति है जिसमें -ti सदस्य शामिल हैं: हमें अंकगणितीय प्रगति के दिए गए सदस्यों का योग ज्ञात करना है। बेशक, हम मैन्युअल रूप से सभी मानों को जोड़ सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि हमें गॉस की तलाश में कार्य में इसकी शर्तों का योग खोजने की आवश्यकता है?

आइए हमें दी गई प्रगति को दर्शाते हैं। हाइलाइट की गई संख्याओं को ध्यान से देखें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाओं को करने का प्रयास करें।


कोशिश की? आपने क्या नोटिस किया? सही! उनकी राशि बराबर है

अब उत्तर दीजिए, हमें दी गई प्रगति में ऐसे कितने जोड़े होंगे? बेशक, सभी संख्याओं का ठीक आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि एक समांतर श्रेणी के दो सदस्यों का योग बराबर है, और समान समान जोड़े हैं, हम पाते हैं कि कुल योग बराबर है:
.
इस प्रकार, किसी समांतर श्रेणी के प्रथम पदों के योग का सूत्र होगा:

कुछ समस्याओं में, हम वें पद को नहीं जानते हैं, लेकिन हम प्रगति के अंतर को जानते हैं। योग सूत्र, वें सदस्य के सूत्र में स्थानापन्न करने का प्रयास करें।
तुम्हें क्या मिला?

बहुत बढ़िया! अब आइए उस समस्या पर लौटते हैं जो कार्ल गॉस को दी गई थी: अपने लिए गणना करें कि -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है, और -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि पदों का योग समान है, और पदों का योग है। क्या आपने ऐसा फैसला किया है?

वास्तव में, अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा तीसरी शताब्दी में सिद्ध किया गया था, और इस पूरे समय में, मजाकिया लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के गुणों का उपयोग शक्ति और मुख्य के साथ किया।
उदाहरण के लिए, प्राचीन मिस्र और उस समय के सबसे बड़े निर्माण स्थल की कल्पना करें - एक पिरामिड का निर्माण ... आकृति इसका एक पक्ष दिखाती है।

आप कहते हैं कि यहां प्रगति कहां है? ध्यान से देखें और पिरामिड की दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत के ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न खोजें।


एक अंकगणितीय प्रगति क्यों नहीं? गिनें कि एक दीवार के निर्माण के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता है यदि ब्लॉक ईंटों को आधार में रखा जाए। मुझे आशा है कि आप मॉनिटर पर अपनी उंगली घुमाकर गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको अंतिम सूत्र और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ कहा है वह सब कुछ याद है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:
अंकगणितीय प्रगति अंतर।
एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या।
आइए अपने डेटा को अंतिम फ़ार्मुलों में बदलें (हम 2 तरीकों से ब्लॉक की संख्या गिनते हैं)।

विधि 1।

विधि 2।

और अब आप मॉनिटर पर भी गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। क्या यह सहमत था? अच्छा किया, आपने अंकगणितीय प्रगति के वें पदों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर ब्लॉक से पिरामिड नहीं बना सकते हैं, लेकिन कहां से? इस स्थिति के साथ दीवार बनाने के लिए कितनी रेत ईंटों की आवश्यकता है, इसकी गणना करने का प्रयास करें।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्तर ब्लॉक है:

व्यायाम

कार्य:

1. माशा गर्मियों के लिए आकार में हो रही है। वह हर दिन स्क्वैट्स की संख्या में वृद्धि करती है। माशा हफ्तों में कितनी बार स्क्वाट करेगी अगर उसने पहली कसरत में स्क्वाट किया था।
2. में निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है?
3. लॉग को स्टोर करते समय, लंबरजैक उन्हें इस तरह से स्टैक करते हैं कि प्रत्येक शीर्ष परत में पिछले वाले की तुलना में एक कम लॉग होता है। एक चिनाई में कितने लॉग होते हैं, यदि चिनाई का आधार लॉग है।

उत्तर:

1. आइए हम अंकगणितीय प्रगति के मापदंडों को परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन)।

   उत्तर:दो सप्ताह में, माशा को दिन में एक बार बैठना चाहिए।

2. पहली विषम संख्या, अंतिम संख्या।
   अंकगणितीय प्रगति अंतर।
   - आधे में विषम संख्याओं की संख्या, हालांकि, अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जांच करें:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   हम उपलब्ध डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

   उत्तर:इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग बराबर होता है।

3. पिरामिड के बारे में समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, केवल परतों का एक गुच्छा होता है, अर्थात।
   डेटा को सूत्र में बदलें:

   उत्तर:चिनाई में लॉग हैं।

उपसंहार

1. - एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है। यह बढ़ रहा है और घट रहा है।
2. सूत्र ढूँढनाअंकगणितीय प्रगति का वां सदस्य सूत्र द्वारा लिखा जाता है - , प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।
3. एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति- - कहाँ - प्रगति में संख्याओं की संख्या।
4. एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योगदो तरह से पाया जा सकता है:
   
   , जहां मूल्यों की संख्या है।

अंकगणितीय प्रगति। मध्य स्तर

संख्यात्मक अनुक्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं। लेकिन आप हमेशा बता सकते हैं कि उनमें से कौन पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह, हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है।

संख्यात्मक अनुक्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या को एक निश्चित प्राकृतिक संख्या से जोड़ा जा सकता है, और केवल एक। और हम इस नंबर को इस सेट से किसी अन्य नंबर को असाइन नहीं करेंगे।

संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर एक सूचकांक के साथ एक ही अक्षर:।

यह बहुत सुविधाजनक है यदि अनुक्रम का -वाँ सदस्य किसी सूत्र द्वारा दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र

अनुक्रम सेट करता है:

और सूत्र निम्नलिखित अनुक्रम है:

उदाहरण के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहां पहला शब्द बराबर है, और अंतर)। या (, अंतर)।

nth टर्म फॉर्मूला

हम एक आवर्तक सूत्र को ऐसा सूत्र कहते हैं, जिसमें वें पद का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले वाले को जानना होगा:

उदाहरण के लिए, इस तरह के एक सूत्र का उपयोग करके प्रगति का वां पद खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, चलो। फिर:

खैर, अब यह स्पष्ट है कि सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में, हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। किसलिए? बहुत आसान: यह वर्तमान सदस्य माइनस की संख्या है:

अब और अधिक आरामदायक, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

एक समान्तर श्रेणी में, nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

फेसला:

पहला सदस्य बराबर है। और क्या अंतर है? और यहाँ क्या है:

(आखिरकार, इसे अंतर कहा जाता है क्योंकि यह प्रगति के क्रमिक सदस्यों के अंतर के बराबर है)।

तो सूत्र है:

तो सौवाँ पद है:

से सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल का लड़का होने के कारण कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की। उन्होंने देखा कि पहली और अंतिम संख्या का योग समान है, दूसरी और अंतिम संख्या का योग समान है, अंत से तीसरे और तीसरे का योग समान है, और इसी तरह आगे भी। ऐसे कितने जोड़े हैं? यह सही है, सभी संख्याओं की आधी संख्या, यानी। इसलिए,

किसी भी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी दो अंकों के गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला:

ऐसा पहला नंबर है। प्रत्येक अगला पिछले एक में एक संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, हमारे लिए ब्याज की संख्या पहले पद और अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती है।

इस प्रगति के लिए वें पद का सूत्र है:

प्रगति में कितने पद हैं यदि वे सभी दो अंकों के होने चाहिए?

बहुत आसान: ।

प्रगति की अंतिम अवधि बराबर होगी। फिर योग:

जवाब: ।

अब आप स्वयं निर्णय लें:

1. हर दिन एथलीट पिछले दिन की तुलना में 1 मी अधिक दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मीटर दौड़ता है तो वह सप्ताहों में कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक पिछले दिन की तुलना में प्रत्येक दिन अधिक मील की सवारी करता है। पहले दिन उन्होंने किमी की यात्रा की। एक किलोमीटर की दूरी तय करने के लिए उसे कितने दिन ड्राइव करना होगा? यात्रा के अंतिम दिन वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. स्टोर में एक रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल उतनी ही कम हो जाती है। निर्धारित करें कि प्रत्येक वर्ष रेफ्रिजरेटर की कीमत कितनी कम हो जाती है, यदि रूबल के लिए बिक्री के लिए रखा जाता है, छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेचा गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और उसके मापदंडों को निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति की पहली शर्तों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   उत्तर:
2. यहाँ यह दिया गया है: इसे खोजना आवश्यक है।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मानों को प्रतिस्थापित करें:

   जड़ स्पष्ट रूप से फिट नहीं है, तो जवाब।
   आइए -वें पद के सूत्र का उपयोग करके अंतिम दिन में तय की गई दूरी की गणना करें:
   (किमी)।
   उत्तर:

3. दिया गया: । ढूँढ़ने के लिए: ।
   यह आसान नहीं होता है:
   (रगड़ना)।
   उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य के बारे में

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति बढ़ रही है () और घट रही है ()।

उदाहरण के लिए:

अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य को खोजने का सूत्र

एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है, जहाँ क्रम में संख्याओं की संख्या होती है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति

यह प्रगति के सदस्य को ढूंढना आसान बनाता है यदि उसके पड़ोसी सदस्य ज्ञात हों - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योग

राशि ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

मूल्यों की संख्या कहां है।

मूल्यों की संख्या कहां है।

अनुदेश

एक अंकगणितीय प्रगति a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d के रूप का अनुक्रम है। संख्या डी चरण प्रगतिजाहिर है, अंकगणित के एक मनमाना nवें पद का योग प्रगतिका रूप है: An = A1+(n-1)d। फिर सदस्यों में से एक को जानना प्रगति, सदस्य प्रगतिऔर कदम प्रगति, हो सकता है , अर्थात्, प्रगति अवधि की संख्या। जाहिर है, यह सूत्र n = (An-A1+d)/d द्वारा निर्धारित किया जाएगा।

अब mth पद ज्ञात करें प्रगतिऔर कुछ अन्य सदस्य प्रगति- n-वें, लेकिन n , जैसा कि पिछले मामले में है, लेकिन यह ज्ञात है कि n और m मेल नहीं खाते। चरण प्रगतिसूत्र द्वारा गणना की जा सकती है: d = (An-Am)/(n-m)। तब n = (An-Am+md)/d.

यदि एक अंकगणित के कई तत्वों का योग प्रगति, साथ ही इसके पहले और अंतिम, तो इन तत्वों की संख्या भी निर्धारित की जा सकती है प्रगतिके बराबर होगा: S = ((A1+An)/2)n। फिर n = 2S/(A1+An) chdenov . हैं प्रगति. इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि An = A1+(n-1)d, इस सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है: n = 2S/(2A1+(n-1)d)। इससे कोई द्विघात समीकरण को हल करके n को व्यक्त कर सकता है।

एक अंकगणितीय अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा क्रमबद्ध सेट है, जिसमें से प्रत्येक सदस्य, पहले को छोड़कर, पिछले एक से समान मात्रा में भिन्न होता है। इस स्थिरांक को प्रगति या उसके चरण का अंतर कहा जाता है और इसकी गणना अंकगणितीय प्रगति के ज्ञात सदस्यों से की जा सकती है।

अनुदेश

यदि समस्या की स्थितियों से पहले और दूसरे या पड़ोसी शब्दों के किसी अन्य जोड़े के मूल्यों को जाना जाता है, तो अंतर (डी) की गणना करने के लिए, बस पिछले पद को अगले पद से घटाएं। परिणामी मूल्य या तो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है - यह इस बात पर निर्भर करता है कि प्रगति बढ़ रही है या नहीं। सामान्य रूप में, प्रगति के पड़ोसी सदस्यों की एक मनमानी जोड़ी (aᵢ और aᵢ₊₁) के लिए समाधान इस प्रकार लिखें: d = aᵢ₊₁ - aᵢ।

ऐसी प्रगति के सदस्यों की एक जोड़ी के लिए, जिनमें से एक पहला (ए₁) है, और दूसरा कोई अन्य मनमाने ढंग से चुना गया है, कोई भी अंतर (डी) खोजने के लिए एक सूत्र भी बना सकता है। हालांकि, इस मामले में, अनुक्रम के मनमाने ढंग से चुने गए सदस्य की क्रम संख्या (i) ज्ञात होनी चाहिए। अंतर की गणना करने के लिए, दोनों संख्याओं को जोड़ें, और परिणाम को एक से कम किए गए एक मनमाना शब्द की क्रमिक संख्या से विभाजित करें। सामान्य तौर पर, इस सूत्र को इस प्रकार लिखें: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1)।

यदि, क्रमिक संख्या i के साथ अंकगणितीय प्रगति के एक मनमाना सदस्य के अलावा, क्रमांक संख्या u वाला कोई अन्य सदस्य ज्ञात है, तो पिछले चरण से सूत्र को तदनुसार बदलें। इस मामले में, प्रगति का अंतर (डी) इन दो शब्दों के योग को उनकी क्रमिक संख्याओं में अंतर से विभाजित किया जाएगा: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v)।

अंतर (डी) की गणना के लिए सूत्र कुछ अधिक जटिल हो जाता है, यदि समस्या की स्थितियों में, इसके पहले सदस्य (ए₁) का मूल्य और दी गई संख्या (आई) के पहले सदस्यों का योग (एसᵢ) अंकगणितीय क्रम दिया गया है। वांछित मूल्य प्राप्त करने के लिए, योग को उन पदों की संख्या से विभाजित करें जो इसे बनाते हैं, अनुक्रम में पहली संख्या के मूल्य को घटाते हैं, और परिणाम को दोगुना करते हैं। परिणामी मान को उन पदों की संख्या से विभाजित करें, जो योग को एक से घटाकर बनाते हैं। सामान्य तौर पर, विवेचक की गणना के लिए सूत्र इस प्रकार लिखें: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1)।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम \(2\); \(पंज\); \(8\); \(ग्यारह\); \(14\)… एक अंकगणितीय प्रगति है, क्योंकि प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से तीन से भिन्न होता है (पिछले एक से तीन जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है):

इस प्रगति में, अंतर \(d\) धनात्मक (\(3\) के बराबर) है, और इसलिए प्रत्येक अगला पद पिछले एक से बड़ा है। ऐसी प्रगति कहलाती है की बढ़ती.

हालाँकि, \(d\) एक ऋणात्मक संख्या भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति में \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… प्रगति अंतर \(d\) शून्य से छह के बराबर है।

और इस मामले में, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से छोटा होगा। इन प्रगतियों को कहा जाता है घटते.

अंकगणित प्रगति संकेतन

प्रगति को एक छोटे लैटिन अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

वे संख्याएँ जो एक प्रगति का निर्माण करती हैं, कहलाती हैं I सदस्यों(या तत्व)।

उन्हें अंकगणितीय प्रगति के समान अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है, लेकिन क्रम में तत्व संख्या के बराबर संख्यात्मक सूचकांक के साथ।

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) में तत्व होते हैं \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) इत्यादि।

दूसरे शब्दों में, प्रगति के लिए \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

अंकगणितीय प्रगति पर समस्याओं को हल करना

सिद्धांत रूप में, उपरोक्त जानकारी पहले से ही एक अंकगणितीय प्रगति पर लगभग किसी भी समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त है (ओजीई में प्रस्तावित सहित)।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(b_1=7; d=4\) द्वारा दी गई है। \(b_5\) खोजें।
फेसला:

उत्तर: \(b_5=23\)

उदाहरण (ओजीई)। एक समांतर श्रेणी के पहले तीन पद दिए गए हैं: \(62; 49; 36…\) इस प्रगति के पहले ऋणात्मक पद का मान ज्ञात कीजिए।
फेसला:

	हमें अनुक्रम के पहले तत्व दिए गए हैं और जानते हैं कि यह एक अंकगणितीय प्रगति है। अर्थात्, प्रत्येक तत्व पड़ोसी से समान संख्या में भिन्न होता है। अगले तत्व से पिछले वाले को घटाकर पता लगाएं: \(d=49-62=-13\)।
	अब हम अपनी प्रगति को वांछित (पहले नकारात्मक) तत्व में पुनर्स्थापित कर सकते हैं।
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं।

उत्तर: \(-3\)

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति के कई क्रमिक तत्व दिए गए हैं: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) अक्षर द्वारा निरूपित तत्व का मान ज्ञात कीजिए।
फेसला:

	\(x\) को खोजने के लिए, हमें यह जानना होगा कि अगला तत्व पिछले एक से कितना भिन्न है, दूसरे शब्दों में, प्रगति अंतर। आइए इसे दो ज्ञात पड़ोसी तत्वों से खोजें: \(d=12.5-10=2.5\)।
	और अब हम बिना किसी समस्या के वह पाते हैं जो हम खोज रहे हैं: \(x=5+2.5=7.5\)।
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं।

उत्तर: \(7,5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति निम्नलिखित शर्तों द्वारा दी गई है: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) इस प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला:

	हमें प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात करना होगा। लेकिन हम उनका अर्थ नहीं जानते हैं, हमें केवल पहला तत्व दिया गया है। इसलिए, हम पहले हमें दिए गए मानों का उपयोग करके बदले में मूल्यों की गणना करते हैं: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) और हमें आवश्यक छह तत्वों की गणना करने के बाद, हम उनका योग पाते हैं।
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	मांगी गई राशि मिल गई है।

उत्तर: \(S_6=9\)।

उदाहरण (ओजीई)। समांतर श्रेणी में \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\)। इस प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए।
फेसला:

उत्तर: \(डी=7\)।

महत्वपूर्ण अंकगणितीय प्रगति सूत्र

जैसा कि आप देख सकते हैं, कई अंकगणितीय प्रगति समस्याओं को केवल मुख्य बात को समझकर हल किया जा सकता है - कि एक अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है, और इस श्रृंखला में प्रत्येक अगला तत्व समान संख्या को पिछले एक में जोड़कर प्राप्त किया जाता है (अंतर प्रगति के)।

हालांकि, कभी-कभी ऐसी स्थितियां होती हैं जब "माथे पर" हल करना बहुत असुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि पहले उदाहरण में, हमें पाँचवाँ तत्व \(b_5\) नहीं, बल्कि तीन सौ छियासी \(b_(386)\) खोजने की आवश्यकता है। यह क्या है, हम \ (385 \) बार चार जोड़ने के लिए? या कल्पना कीजिए कि अंतिम उदाहरण में, आपको पहले सत्तर-तीन तत्वों का योग ज्ञात करना होगा। काउंटिंग उलझी हुई है...

इसलिए, ऐसे मामलों में, वे "माथे पर" हल नहीं करते हैं, लेकिन अंकगणितीय प्रगति के लिए प्राप्त विशेष सूत्रों का उपयोग करते हैं। और मुख्य हैं प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र और पहले पदों के योग \(n\) के लिए सूत्र।

\(n\)वें सदस्य के लिए सूत्र: \(a_n=a_1+(n-1)d\), जहां \(a_1\) प्रगति का पहला सदस्य है;
\(n\) - आवश्यक तत्व की संख्या;
\(a_n\) संख्या \(n\) के साथ प्रगति का सदस्य है।

यह सूत्र हमें केवल पहले और प्रगति अंतर को जानकर, कम से कम तीन सौवां, यहां तक ​​​​कि दसवां तत्व भी जल्दी से खोजने की अनुमति देता है।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है: \(b_1=-159\); \(डी=8,2\)। \(b_(246)\) खोजें।
फेसला:

उत्तर: \(b_(246)=1850\)।

पहले n पदों के योग का सूत्र है: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), जहां

\(a_n\) अंतिम योग शब्द है;

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(a_n=3.4n-0.6\) द्वारा दी गई है। इस प्रगति के पहले \(25\) पदों का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		पहले पच्चीस तत्वों के योग की गणना करने के लिए, हमें पहले और पच्चीसवें पद का मान जानना होगा। हमारी प्रगति इसकी संख्या के आधार पर nवें पद के सूत्र द्वारा दी गई है (विवरण देखें)। आइए \(n\) को एक के साथ बदलकर पहले तत्व की गणना करें।
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		अब \(n\) के स्थान पर पच्चीस को प्रतिस्थापित करके पच्चीसवाँ पद ज्ञात करते हैं।
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		खैर, अब हम बिना किसी समस्या के आवश्यक राशि की गणना करते हैं।
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		जवाब तैयार है।

उत्तर: \(एस_(25)=1090\)।

पहली शर्तों के योग \(n\) के लिए, आप एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: आपको बस \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ की आवश्यकता है। (\cdot 25\ ) के बजाय \(a_n\) इसके लिए सूत्र को प्रतिस्थापित करें \(a_n=a_1+(n-1)d\)। हम पाते हैं:

पहले n पदों के योग का सूत्र है: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), जहां

\(S_n\) - पहले तत्वों का आवश्यक योग \(n\);
\(a_1\) पहला पद है जिसका योग किया जाना है;
\(डी\) - प्रगति अंतर;
\(n\) - योग में तत्वों की संख्या।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति के पहले \(33\)-पूर्व पदों का योग ज्ञात कीजिए: \(17\); \(15,5\); \(चौदह\)…
फेसला:

उत्तर: \(एस_(33)=-231\)।

अधिक जटिल अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं

अब आपके पास लगभग किसी भी अंकगणितीय प्रगति समस्या को हल करने के लिए आवश्यक सभी जानकारी है। आइए उन समस्याओं पर विचार करके विषय को समाप्त करें जिनमें आपको न केवल सूत्र लागू करने की आवश्यकता है, बल्कि थोड़ा सोचना भी है (गणित में, यह उपयोगी हो सकता है ☺)

उदाहरण (ओजीई)। प्रगति के सभी ऋणात्मक पदों का योग ज्ञात कीजिए: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
फेसला:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		कार्य पिछले एक के समान ही है। हम उसी तरह हल करना शुरू करते हैं: पहले हम \(d\) पाते हैं।
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		अब हम योग के सूत्र में \(d\) को प्रतिस्थापित करेंगे ... और यहां एक छोटी सी बारीकियां सामने आती हैं - हम नहीं जानते \(n\)। दूसरे शब्दों में, हम नहीं जानते कि कितने शब्दों को जोड़ने की आवश्यकता होगी। कैसे पता करें? हमें सोचना चाहिए। जब हम पहले सकारात्मक तत्व पर पहुंचेंगे तो हम तत्वों को जोड़ना बंद कर देंगे। यही है, आपको इस तत्व की संख्या का पता लगाना होगा। कैसे? आइए अंकगणितीय प्रगति के किसी भी तत्व की गणना के लिए सूत्र लिखें: \(a_n=a_1+(n-1)d\) हमारे मामले के लिए।
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		शून्य से बड़ा होने के लिए हमें \(a_n\) की आवश्यकता है। आइए जानें कि यह किस लिए \(n\) होगा।
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		हम असमानता के दोनों पक्षों को \(0,3\) से विभाजित करते हैं।
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		हम माइनस वन ट्रांसफर करते हैं, संकेत बदलना नहीं भूलते
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		कम्प्यूटिंग...
\(n>65,333…\)		...और यह पता चला है कि पहले सकारात्मक तत्व की संख्या \(66\) होगी। तदनुसार, अंतिम ऋणात्मक में \(n=65\) है। बस मामले में, आइए इसे देखें।
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		इस प्रकार, हमें पहले \(65\) तत्वों को जोड़ने की जरूरत है।
\(एस_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		जवाब तैयार है।

उत्तर: \(एस_(65)=-630.5\)।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\)। \(26\)वें से \(42\) तक के योग का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	इस समस्या में, आपको तत्वों का योग भी खोजना होगा, लेकिन पहले से नहीं, बल्कि \(26\)वें से शुरू करना होगा। हमारे पास इसका कोई फॉर्मूला नहीं है। कैसे तय करें? आसान - \(26\)th से \(42\)th तक का योग प्राप्त करने के लिए, आपको पहले \(1\)th से \(42\)th तक का योग निकालना होगा, और फिर उसमें से योग को घटाना होगा पहले से \ (25 \) वें (चित्र देखें)।
	हमारी प्रगति \(a_1=-33\), और अंतर \(d=4\) के लिए (आखिरकार, हम अगले तत्व को खोजने के लिए पिछले तत्व में चार जोड़ते हैं)। यह जानने के बाद, हम पहले \(42\)-उह तत्वों का योग पाते हैं।
\(एस_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	अब पहले \(25\)-वें तत्वों का योग।
\(एस_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	और अंत में, हम उत्तर की गणना करते हैं।
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

उत्तर: \(एस=1683\)।

अंकगणितीय प्रगति के लिए, कई और सूत्र हैं जिन पर हमने उनकी कम व्यावहारिक उपयोगिता के कारण इस लेख में विचार नहीं किया है। हालाँकि, आप उन्हें आसानी से पा सकते हैं।