पाई रवैया। विज्ञान में शुरू करें

दुनिया भर के गणितज्ञ हर साल 14 मार्च को केक का एक टुकड़ा खाते हैं - आखिरकार, यह सबसे प्रसिद्ध अपरिमेय संख्या पाई का दिन है। इस तिथि का सीधा संबंध उस संख्या से है जिसके प्रथम अंक 3.14 हैं। पाई एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है। चूंकि यह अपरिमेय है, इसलिए इसे भिन्न के रूप में लिखना असंभव है। यह एक असीम रूप से लंबी संख्या है। यह हजारों साल पहले खोजा गया था और तब से लगातार इसका अध्ययन किया जा रहा है, लेकिन क्या पाई के पास कोई रहस्य बचा है? प्राचीन उत्पत्ति से लेकर अनिश्चित भविष्य तक, यहाँ पाई के बारे में कुछ सबसे दिलचस्प तथ्य दिए गए हैं।

पिया याद रखना

दशमलव बिंदु के बाद अंकों को याद रखने का रिकॉर्ड भारत के राजवीर मीणा का है, जो 70,000 अंक याद करने में कामयाब रहे - उन्होंने 21 मार्च 2015 को रिकॉर्ड बनाया। इससे पहले, रिकॉर्ड धारक चीन के चाओ लू थे, जो 67,890 अंक याद करने में कामयाब रहे - यह रिकॉर्ड 2005 में स्थापित किया गया था। अनौपचारिक रिकॉर्ड धारक अकीरा हारागुची है, जिसने वीडियो पर 2005 में 100,000 अंकों की पुनरावृत्ति दर्ज की और हाल ही में एक वीडियो प्रकाशित किया जहां वह 117,000 अंकों को याद रखने का प्रबंधन करता है। एक आधिकारिक रिकॉर्ड तभी बनेगा जब यह वीडियो गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स के एक प्रतिनिधि की उपस्थिति में रिकॉर्ड किया गया था, और पुष्टि के बिना यह केवल एक प्रभावशाली तथ्य बना रहता है, लेकिन इसे उपलब्धि नहीं माना जाता है। गणित के प्रति उत्साही लोग पाई संख्या को याद रखना पसंद करते हैं। बहुत से लोग विभिन्न स्मरणीय तकनीकों का उपयोग करते हैं, जैसे कि कविता, जहाँ प्रत्येक शब्द में अक्षरों की संख्या पाई के समान होती है। प्रत्येक भाषा में ऐसे वाक्यांशों के अपने रूप होते हैं, जो पहले कुछ अंकों और पूरे सौ दोनों को याद रखने में मदद करते हैं।

एक पाई भाषा है

साहित्य से मोहित, गणितज्ञों ने एक ऐसी बोली का आविष्कार किया जिसमें सभी शब्दों में अक्षरों की संख्या सटीक क्रम में पाई के अंकों से मेल खाती है। लेखक माइक कीथ ने एक किताब भी लिखी, नॉट ए वेक, जो पूरी तरह से पाई भाषा में लिखी गई है। ऐसी रचनात्मकता के उत्साही लोग अपने कार्यों को अक्षरों की संख्या और संख्याओं के अर्थ के अनुसार पूर्ण रूप से लिखते हैं। इसका कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं है, लेकिन उत्साही वैज्ञानिकों के हलकों में यह काफी सामान्य और प्रसिद्ध घटना है।

घातांकी बढ़त

पाई एक अनंत संख्या है, इसलिए परिभाषा के अनुसार लोग कभी भी इस संख्या की सटीक संख्या का पता नहीं लगा पाएंगे। हालाँकि, दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या पाई के पहले उपयोग के बाद से बहुत बढ़ गई है। यहाँ तक कि बेबीलोन के लोग भी इसका इस्तेमाल करते थे, लेकिन उनके लिए तीन और एक आठवें का अंश काफी था। चीनी और पुराने नियम के निर्माता पूरी तरह से तीनों तक ही सीमित थे। 1665 तक, सर आइजैक न्यूटन ने पाई के 16 अंकों की गणना की थी। 1719 तक, फ्रांसीसी गणितज्ञ टॉम फैंटे डी लैग्नी ने 127 अंकों की गणना की थी। कंप्यूटर के आगमन ने मनुष्य के पाई के ज्ञान में मौलिक सुधार किया है। 1949 से 1967 तक, मनुष्य को ज्ञात अंकों की संख्या 2037 से 500,000 तक बढ़ गई। अभी कुछ समय पहले, स्विट्जरलैंड के एक वैज्ञानिक पीटर ट्रूब, पाई के 2.24 ट्रिलियन अंकों की गणना करने में सक्षम थे! इसमें 105 दिन लगे। बेशक, यह सीमा नहीं है। यह संभावना है कि प्रौद्योगिकी के विकास के साथ और भी सटीक आंकड़ा स्थापित करना संभव होगा - चूंकि पाई अनंत है, सटीकता की कोई सीमा नहीं है, और केवल कंप्यूटर प्रौद्योगिकी की तकनीकी विशेषताएं इसे सीमित कर सकती हैं।

हाथ से पाई की गणना

यदि आप स्वयं संख्या ज्ञात करना चाहते हैं, तो आप पुराने जमाने की तकनीक का उपयोग कर सकते हैं - आपको एक शासक, एक जार और स्ट्रिंग की आवश्यकता होगी, आप एक प्रोट्रैक्टर और एक पेंसिल का भी उपयोग कर सकते हैं। जार का उपयोग करने का नकारात्मक पक्ष यह है कि इसे गोल होना चाहिए, और सटीकता इस बात से निर्धारित होगी कि व्यक्ति इसके चारों ओर रस्सी को कितनी अच्छी तरह लपेट सकता है। एक प्रोट्रैक्टर के साथ एक सर्कल बनाना संभव है, लेकिन इसके लिए कौशल और सटीकता की भी आवश्यकता होती है, क्योंकि एक असमान सर्कल आपके माप को गंभीर रूप से विकृत कर सकता है। एक अधिक सटीक विधि में ज्यामिति का उपयोग शामिल है। सर्कल को कई खंडों में विभाजित करें, जैसे पिज्जा स्लाइस, और फिर एक सीधी रेखा की लंबाई की गणना करें जो प्रत्येक खंड को एक समद्विबाहु त्रिभुज में बदल देगी। भुजाओं का योग लगभग पाई की संख्या देगा। आप जितने अधिक खंडों का उपयोग करेंगे, संख्या उतनी ही सटीक होगी। बेशक, आपकी गणना में आप कंप्यूटर के परिणामों के करीब नहीं आ पाएंगे, फिर भी, ये सरल प्रयोग आपको अधिक विस्तार से समझने की अनुमति देते हैं कि सामान्य रूप से पाई क्या है और इसका उपयोग गणित में कैसे किया जाता है।

पाई की खोज

प्राचीन बेबीलोनियों को चार हजार साल पहले से ही पाई संख्या के अस्तित्व के बारे में पता था। बेबीलोन की गोलियों में पाई की गणना 3.125 होती है, और मिस्र के गणितीय पेपिरस में 3.1605 की संख्या होती है। बाइबिल में, संख्या पाई एक अप्रचलित लंबाई में दी गई है - हाथ में, और ग्रीक गणितज्ञ आर्किमिडीज ने पाई का वर्णन करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया, एक त्रिकोण के पक्षों की लंबाई का ज्यामितीय अनुपात और के क्षेत्र \u200b\u200bमंडलों के अंदर और बाहर के आंकड़े। इस प्रकार, यह कहना सुरक्षित है कि पाई सबसे प्राचीन गणितीय अवधारणाओं में से एक है, हालांकि इस संख्या का सटीक नाम अपेक्षाकृत हाल ही में सामने आया है।

Pi . पर एक नया टेक

इससे पहले कि पीआई मंडलियों से संबंधित था, गणितज्ञों के पास पहले से ही इस संख्या को नाम देने के कई तरीके थे। उदाहरण के लिए, प्राचीन गणित की पाठ्यपुस्तकों में लैटिन में एक वाक्यांश पाया जा सकता है, जिसका मोटे तौर पर अनुवाद किया जा सकता है "वह मात्रा जो लंबाई को दर्शाती है जब व्यास को इससे गुणा किया जाता है।" यह अपरिमेय संख्या तब प्रसिद्ध हुई जब स्विस वैज्ञानिक लियोनहार्ड यूलर ने 1737 में त्रिकोणमिति पर अपने काम में इसका इस्तेमाल किया। हालांकि, पाई के लिए ग्रीक प्रतीक का अभी भी उपयोग नहीं किया गया था - यह केवल कम-ज्ञात गणितज्ञ विलियम जोन्स की एक पुस्तक में हुआ था। उन्होंने 1706 की शुरुआत में इसका इस्तेमाल किया, लेकिन यह लंबे समय से उपेक्षित था। समय के साथ, वैज्ञानिकों ने इस नाम को अपनाया, और अब यह नाम का सबसे प्रसिद्ध संस्करण है, हालांकि पहले इसे लुडोल्फ नंबर भी कहा जाता था।

क्या पाई सामान्य है?

संख्या pi निश्चित रूप से अजीब है, लेकिन यह सामान्य गणितीय नियमों का पालन कैसे करती है? इस अपरिमेय संख्या से जुड़े कई सवालों को वैज्ञानिक पहले ही सुलझा चुके हैं, लेकिन कुछ रहस्य बने हुए हैं। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात नहीं है कि सभी अंकों का कितनी बार उपयोग किया जाता है - 0 से 9 तक की संख्याओं का समान अनुपात में उपयोग किया जाना चाहिए। हालाँकि, पहले ट्रिलियन अंकों के लिए आँकड़ों का पता लगाया जा सकता है, लेकिन इस तथ्य के कारण कि संख्या अनंत है, निश्चित रूप से कुछ भी साबित करना असंभव है। ऐसी अन्य समस्याएं हैं जो अभी भी वैज्ञानिकों से दूर हैं। यह संभव है कि विज्ञान के आगे के विकास से उन पर प्रकाश डालने में मदद मिलेगी, लेकिन फिलहाल यह मानव बुद्धि की सीमा से परे है।

पाई दिव्य लगता है

पाई संख्या के बारे में वैज्ञानिक कुछ सवालों के जवाब नहीं दे सकते हैं, हालांकि, हर साल वे इसके सार को बेहतर ढंग से समझते हैं। पहले से ही अठारहवीं शताब्दी में, इस संख्या की तर्कहीनता साबित हुई थी। इसके अलावा, यह साबित हो गया है कि संख्या पारलौकिक है। इसका मतलब यह है कि कोई निश्चित सूत्र नहीं है जो आपको परिमेय संख्याओं का उपयोग करके पाई की गणना करने की अनुमति देगा।

Pi . से असंतुष्टि

कई गणितज्ञ केवल पाई से प्यार करते हैं, लेकिन कुछ ऐसे भी हैं जो मानते हैं कि इन नंबरों का कोई विशेष महत्व नहीं है। इसके अलावा, उनका दावा है कि ताऊ की संख्या, जो पाई के आकार से दोगुनी है, एक अपरिमेय के रूप में उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। ताऊ परिधि और त्रिज्या के बीच के संबंध को दर्शाता है, जो कुछ के अनुसार, गणना की अधिक तार्किक पद्धति का प्रतिनिधित्व करता है। हालांकि, इस मामले में कुछ भी स्पष्ट रूप से निर्धारित करना असंभव है, और एक और दूसरे नंबर के हमेशा समर्थक होंगे, दोनों तरीकों को जीवन का अधिकार है, इसलिए यह सिर्फ एक दिलचस्प तथ्य है, और यह सोचने का कारण नहीं है कि आपको नहीं करना चाहिए पाई संख्या का प्रयोग करें।

पीआई नंबर क्या हैहम स्कूल से जानते और याद करते हैं। यह 3.1415926 के बराबर है और इसी तरह... एक सामान्य व्यक्ति के लिए यह जानना काफी है कि यह संख्या एक वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करके प्राप्त की जाती है। लेकिन बहुत से लोग जानते हैं कि संख्या पाई अप्रत्याशित क्षेत्रों में न केवल गणित और ज्यामिति में, बल्कि भौतिकी में भी दिखाई देती है। ठीक है, यदि आप इस संख्या की प्रकृति के विवरण में तल्लीन करते हैं, तो आप संख्याओं की अंतहीन श्रृंखला के बीच बहुत सारे आश्चर्य देख सकते हैं। क्या यह संभव है कि पाई ब्रह्मांड के सबसे गहरे रहस्यों को छुपाए?

असीमित संख्या

संख्या पाई हमारी दुनिया में एक वृत्त की लंबाई के रूप में उत्पन्न होती है, जिसका व्यास एक के बराबर होता है। लेकिन, इस तथ्य के बावजूद कि पाई के बराबर खंड काफी परिमित है, संख्या पाई 3.1415926 की तरह शुरू होती है और संख्याओं की पंक्तियों में अनंत तक जाती है जो कभी नहीं दोहराती हैं। पहला आश्चर्यजनक तथ्य यह है कि ज्यामिति में प्रयुक्त इस संख्या को पूर्ण संख्याओं के अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, आप इसे दो संख्याओं a/b के अनुपात के रूप में नहीं लिख सकते। इसके अलावा, पाई संख्या पारलौकिक है। इसका अर्थ है कि पूर्णांक गुणांकों वाला ऐसा कोई समीकरण (बहुपद) नहीं है, जिसका हल पाई होगा।

तथ्य यह है कि संख्या पाई पारलौकिक है, 1882 में जर्मन गणितज्ञ वॉन लिंडमैन द्वारा सिद्ध की गई थी। यह वह प्रमाण था जिसने इस प्रश्न का उत्तर दिया कि क्या एक कम्पास और एक सीधी रेखा के साथ एक वर्ग खींचना संभव है, जिसका क्षेत्रफल किसी दिए गए वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर है। इस समस्या को एक वृत्त के वर्ग के रूप में जाना जाता है, जिसने प्राचीन काल से मानव जाति को परेशान किया है। ऐसा लग रहा था कि इस समस्या का एक सरल समाधान है और यह सामने आने वाली है। लेकिन यह पाई का एक अतुलनीय गुण था जिसने दिखाया कि एक वृत्त का वर्ग करने की समस्या का कोई समाधान नहीं है।

कम से कम साढ़े चार सहस्राब्दियों से, मानव जाति पाई का अधिक से अधिक सटीक मान प्राप्त करने का प्रयास कर रही है। उदाहरण के लिए, बाइबिल में राजाओं की पहली पुस्तक (7:23) में पीआई की संख्या 3 के बराबर ली गई है।

सटीकता में उल्लेखनीय, गीज़ा के पिरामिडों में पाई का मान पाया जा सकता है: पिरामिड की परिधि और ऊंचाई का अनुपात 22/7 है। यह अंश 3.142 के बराबर पाई का अनुमानित मान देता है ... जब तक, निश्चित रूप से, मिस्र के लोग दुर्घटना से ऐसा अनुपात निर्धारित नहीं करते हैं। पाई की गणना के संबंध में पहले से ही समान मूल्य महान आर्किमिडीज द्वारा तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में प्राप्त किया गया था।

1650 ईसा पूर्व की मिस्र की एक प्राचीन गणित की पाठ्यपुस्तक अहम्स पेपिरस में, पाई की गणना 3.160493827 के रूप में की जाती है।

9वीं शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास के प्राचीन भारतीय ग्रंथों में, सबसे सटीक मूल्य संख्या 339/108 द्वारा व्यक्त किया गया था, जो 3.1388 के बराबर था ...

आर्किमिडीज के बाद लगभग दो हजार वर्षों से, लोग पाई की गणना करने के तरीके खोजने की कोशिश कर रहे हैं। इनमें प्रसिद्ध और अज्ञात दोनों गणितज्ञ थे। उदाहरण के लिए, रोमन वास्तुकार मार्क विट्रुवियस पोलियो, मिस्र के खगोलशास्त्री क्लॉडियस टॉलेमी, चीनी गणितज्ञ लियू हुई, भारतीय ऋषि अरियाभट्ट, पीसा के मध्ययुगीन गणितज्ञ लियोनार्डो, जिन्हें फिबोनाची के नाम से जाना जाता है, अरब वैज्ञानिक अल-ख्वारिज्मी, जिनके नाम से यह शब्द आया है। "एल्गोरिदम" दिखाई दिया। वे सभी और कई अन्य लोग पाई की गणना के लिए सबसे सटीक तरीकों की तलाश में थे, लेकिन 15 वीं शताब्दी तक उन्हें गणना की जटिलता के कारण दशमलव बिंदु के बाद कभी भी 10 से अधिक अंक प्राप्त नहीं हुए।

अंत में, 1400 में, संगमग्राम के भारतीय गणितज्ञ माधव ने 13 अंकों तक की सटीकता के साथ पाई की गणना की (हालाँकि उसने अभी भी अंतिम दो में गलती की थी)।

संकेतों की संख्या

17वीं शताब्दी में, लाइबनिज और न्यूटन ने इनफिनिटसिमल मात्राओं के विश्लेषण की खोज की, जिससे पीआई की अधिक उत्तरोत्तर गणना करना संभव हो गया - शक्ति श्रृंखला और इंटीग्रल के माध्यम से। न्यूटन ने स्वयं 16 दशमलव स्थानों की गणना की, लेकिन अपनी पुस्तकों में इसका उल्लेख नहीं किया - यह उनकी मृत्यु के बाद ज्ञात हुआ। न्यूटन ने दावा किया कि उन्होंने केवल बोरियत से पाई की गणना की।

लगभग उसी समय, अन्य कम-ज्ञात गणितज्ञों ने भी खुद को ऊपर खींच लिया, त्रिकोणमितीय कार्यों के माध्यम से संख्या पाई की गणना के लिए नए सूत्र प्रस्तावित किए।

उदाहरण के लिए, 1706 में खगोल विज्ञान के शिक्षक जॉन माचिन द्वारा पाई की गणना करने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला सूत्र यहां दिया गया है: PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239)। विश्लेषण के तरीकों का उपयोग करते हुए, मशीन ने इस सूत्र से सौ दशमलव स्थानों के साथ संख्या पाई प्राप्त की।

वैसे, उसी 1706 में, पाई को ग्रीक अक्षर के रूप में एक आधिकारिक पदनाम मिला: इसका उपयोग विलियम जोन्स ने गणित पर अपने काम में किया था, ग्रीक शब्द "परिधि" का पहला अक्षर लिया, जिसका अर्थ है "वृत्त"। 1707 में जन्मे, महान लियोनहार्ड यूलर ने इस पदनाम को लोकप्रिय बनाया, जो अब किसी भी स्कूली बच्चे के लिए जाना जाता है।

कंप्यूटर के युग से पहले, गणितज्ञ जितना संभव हो उतने संकेतों की गणना करने के लिए चिंतित थे। इस संबंध में, कभी-कभी जिज्ञासा होती थी। शौकिया गणितज्ञ डब्ल्यू. शैंक्स ने 1875 में पाई के 707 अंकों की गणना की। इन सात सौ चिन्हों को 1937 में पेरिस में पैलेस डेस डिस्कवरी की दीवार पर अमर कर दिया गया था। हालांकि, नौ साल बाद, पर्यवेक्षक गणितज्ञों ने पाया कि केवल पहले 527 वर्णों की सही गणना की गई थी। गलती को सुधारने के लिए संग्रहालय को अच्छा खर्च करना पड़ा - अब सभी संख्याएं सही हैं।

जब कंप्यूटर दिखाई दिए, तो पूरी तरह से अकल्पनीय क्रम में पाई के अंकों की संख्या की गणना की जाने लगी।

1946 में बनाए गए पहले इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों में से एक, ENIAC, जो बहुत बड़ा था और इतनी गर्मी उत्पन्न करता था कि कमरा 50 डिग्री सेल्सियस तक गर्म हो जाता था, Pi के पहले 2037 अंकों की गणना करता था। इस गणना में कार को 70 घंटे लगे।

जैसे-जैसे कंप्यूटर में सुधार हुआ, पीआई का हमारा ज्ञान अनंत में और आगे बढ़ता गया। 1958 में, संख्या के 10 हजार अंकों की गणना की गई थी। 1987 में, जापानियों ने 10,013,395 वर्णों की गणना की। 2011 में, जापानी शोधकर्ता शिगेरू होंडो ने 10 ट्रिलियन का आंकड़ा पार किया।

आप और कहां पाई पा सकते हैं?

इसलिए, अक्सर पाई की संख्या के बारे में हमारा ज्ञान स्कूल स्तर पर बना रहता है, और हम निश्चित रूप से जानते हैं कि यह संख्या ज्यामिति में सबसे पहले अपरिहार्य है।

एक वृत्त की लंबाई और क्षेत्रफल के सूत्रों के अलावा, संख्या पाई का उपयोग दीर्घवृत्त, गोले, शंकु, सिलेंडर, दीर्घवृत्त, और इसी तरह के सूत्रों में किया जाता है: कहीं-कहीं सूत्र सरल और याद रखने में आसान होते हैं, और कहीं न कहीं उनमें बहुत जटिल समाकलन होते हैं।

तब हम गणितीय सूत्रों में संख्या पाई प्राप्त कर सकते हैं, जहाँ, पहली नज़र में, ज्यामिति दिखाई नहीं देती है। उदाहरण के लिए, 1/(1-x^2) का अनिश्चित समाकलन पाई है।

पाई का उपयोग अक्सर श्रृंखला विश्लेषण में किया जाता है। उदाहरण के लिए, यहां एक सरल श्रृंखला है जो पीआई में परिवर्तित होती है:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = पीआई / 4

श्रृंखला के बीच, पाई सबसे अप्रत्याशित रूप से प्रसिद्ध रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन में प्रकट होता है। इसके बारे में संक्षेप में बताना संभव नहीं होगा, हम केवल इतना ही कहेंगे कि किसी दिन पाई संख्या अभाज्य संख्याओं की गणना के लिए एक सूत्र खोजने में मदद करेगी।

और यह बिल्कुल आश्चर्यजनक है: पाई गणित के दो सबसे सुंदर "शाही" सूत्रों में प्रकट होता है - स्टर्लिंग फॉर्मूला (जो फैक्टोरियल और गामा फ़ंक्शन के अनुमानित मूल्य को खोजने में मदद करता है) और यूलर फॉर्मूला (जो कई से संबंधित है) पांच गणितीय स्थिरांक)।

हालांकि, सबसे अप्रत्याशित खोज ने संभाव्यता सिद्धांत में गणितज्ञों की प्रतीक्षा की। पाई भी है।

उदाहरण के लिए, दो संख्याओं के अपेक्षाकृत अभाज्य होने की प्रायिकता 6/PI^2 है।

बफन की 18वीं सदी की सुई-फेंकने की समस्या में पाई प्रकट होती है: क्या संभावना है कि एक पैटर्न के साथ कागज की शीट पर फेंकी गई सुई किसी एक रेखा को पार कर जाएगी। यदि सुई की लंबाई L है, और रेखाओं के बीच की दूरी L है, और r > L है, तो हम लगभग प्रायिकता सूत्र 2L/rPI का उपयोग करके पाई के मान की गणना कर सकते हैं। जरा सोचिए - हम यादृच्छिक घटनाओं से पाई प्राप्त कर सकते हैं। और वैसे पाई सामान्य संभाव्यता वितरण में मौजूद है, प्रसिद्ध गाऊसी वक्र के समीकरण में प्रकट होता है। क्या इसका मतलब यह है कि पाई एक वृत्त की परिधि के उसके व्यास के अनुपात से भी अधिक मौलिक है?

हम पाई से फिजिक्स में भी मिल सकते हैं। पाई कूलम्ब के नियम में प्रकट होता है, जो केप्लर के तीसरे नियम में दो आवेशों के बीच परस्पर क्रिया के बल का वर्णन करता है, जो सूर्य के चारों ओर एक ग्रह की क्रांति की अवधि को दर्शाता है, और यहां तक ​​कि हाइड्रोजन परमाणु के इलेक्ट्रॉन ऑर्बिटल्स की व्यवस्था में भी होता है। और, फिर से, सबसे अविश्वसनीय बात यह है कि पाई संख्या हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत, क्वांटम भौतिकी के मौलिक नियम के सूत्र में छिपी हुई है।

पाई का राज

कार्ल सागन के उपन्यास "कॉन्टैक्ट" में, जो इसी नाम की फिल्म पर आधारित है, एलियंस ने नायिका को सूचित किया कि पाई के संकेतों में भगवान का एक गुप्त संदेश है। एक निश्चित स्थिति से, संख्या में संख्या यादृच्छिक होना बंद हो जाती है और एक कोड का प्रतिनिधित्व करती है जिसमें ब्रह्मांड के सभी रहस्य दर्ज किए जाते हैं।

यह उपन्यास वास्तव में उस पहेली को प्रतिबिंबित करता है जो पूरे ग्रह पर गणितज्ञों के दिमाग में व्याप्त है: संख्या पाई एक सामान्य संख्या है जिसमें अंक समान आवृत्ति के साथ बिखरे हुए हैं, या इस संख्या में कुछ गड़बड़ है। और यद्यपि वैज्ञानिक पहले विकल्प की ओर रुख करते हैं (लेकिन इसे साबित नहीं कर सकते), पाई बहुत रहस्यमयी दिखती है। एक जापानी व्यक्ति ने एक बार गणना की थी कि pi के पहले ट्रिलियन अंकों में 0 से 9 तक की संख्या कितनी बार आती है। और मैंने देखा कि संख्या 2, 4 और 8 बाकी की तुलना में अधिक सामान्य हैं। यह एक संकेत हो सकता है कि पीआई बिल्कुल सामान्य नहीं है, और इसमें संख्याएं वास्तव में यादृच्छिक नहीं हैं।

आइए वह सब कुछ याद रखें जो हमने ऊपर पढ़ा है और खुद से पूछें कि वास्तविक दुनिया में और कौन सी अपरिमेय और पारलौकिक संख्या इतनी आम है?

और स्टोर में अन्य विषमताएं हैं। उदाहरण के लिए, पाई के पहले बीस अंकों का योग 20 है, और पहले 144 अंकों का योग "जानवर की संख्या" 666 के बराबर है।

अमेरिकी टीवी श्रृंखला द सस्पेक्ट के नायक, प्रोफेसर फिंच ने छात्रों को बताया कि, पाई की अनंतता के कारण, इसमें संख्याओं का कोई भी संयोजन हो सकता है, आपकी जन्मतिथि की संख्या से लेकर अधिक जटिल संख्या तक। उदाहरण के लिए, 762वें स्थान पर छह नौ का क्रम है। इस दिलचस्प संयोजन को देखने वाले प्रसिद्ध भौतिक विज्ञानी के बाद इस स्थिति को फेनमैन बिंदु कहा जाता है।

हम यह भी जानते हैं कि पाई संख्या में अनुक्रम 0123456789 है, लेकिन यह 17,387,594,880वें अंक पर स्थित है।

इसका मतलब यह है कि पाई की अनंतता में आप न केवल संख्याओं के दिलचस्प संयोजन पा सकते हैं, बल्कि "युद्ध और शांति", बाइबिल और यहां तक ​​​​कि ब्रह्मांड के मुख्य रहस्य का एन्कोडेड पाठ भी पा सकते हैं, यदि यह मौजूद है।

वैसे, बाइबिल के बारे में। 1966 में गणित के प्रसिद्ध लोकप्रिय मार्टिन गार्डनर ने कहा कि संख्या पीआई (उस समय अभी भी अज्ञात) का मिलियनवाँ चिन्ह 5 होगा। उन्होंने अपनी गणना को इस तथ्य से समझाया कि बाइबिल के अंग्रेजी संस्करण में, तीसरी पुस्तक, 14वाँ अध्याय, 16-मी पद्य (3-14-16) सातवें शब्द में पाँच अक्षर हैं। आठ साल बाद मिलियन का आंकड़ा मिला। यह पांचवां नंबर था।

क्या इसके बाद यह कहना उचित है कि संख्या पीआई यादृच्छिक है?

मैंने कभी पाई की उत्पत्ति की कहानी के बारे में नहीं सोचा। मैंने लाइबनिज और न्यूटन के बारे में काफी रोचक तथ्य पढ़े। न्यूटन ने 16 दशमलव स्थानों की गणना की लेकिन अपनी पुस्तक में नहीं बताया। अच्छे लेख के लिए धन्यवाद।

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एक बार मैंने जादू के बारे में एक मंच पर पढ़ा कि पीआई नंबर का न केवल जादुई अर्थ है, बल्कि एक अनुष्ठान भी है। इस संख्या के साथ कई अनुष्ठान जुड़े हुए हैं और इस संख्या की खोज के प्राचीन काल से ही जादूगरों द्वारा इसका उपयोग किया जाता रहा है।

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पाई के पहले बीस अंकों का योग 20 है... क्या यह गंभीर है? एक बाइनरी सिस्टम में, है ना?

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1. जवाब देने के लिए

   1. 100 पहले 20 अंकों का योग नहीं है, बल्कि 20 दशमलव स्थानों का योग है।

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1. व्यास = 1 के साथ, परिधि = पाई, और इसलिए, वृत्त कभी बंद नहीं होगा!

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संख्या पी - किसी वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात, - मान स्थिर है और वृत्त के आकार पर निर्भर नहीं करता है। इस संबंध को व्यक्त करने वाली संख्या को आमतौर पर ग्रीक अक्षर 241 ("पेरिजेरिया" से - सर्कल, परिधि) द्वारा दर्शाया जाता है। 1736 का जिक्र करते हुए लियोनहार्ड यूलर के काम के बाद यह पद आम हो गया, लेकिन इसका इस्तेमाल पहली बार विलियम जोन्स (1675-1749) द्वारा 1706 में किया गया था। किसी भी अपरिमेय संख्या की तरह, इसे अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश द्वारा दर्शाया जाता है:

पी= 3.141592653589793238462643… वृत्तों और गोल निकायों से संबंधित व्यावहारिक गणनाओं की ज़रूरतों ने हमें प्राचीन काल में पहले से ही परिमेय संख्याओं का उपयोग करते हुए 241 सन्निकटन खोजने के लिए मजबूर किया। प्राचीन मेसोपोटामिया की क्यूनिफॉर्म गोलियों में यह जानकारी मिलती है कि परिधि व्यास से ठीक तीन गुना लंबी है। समान संख्या मान पीबाइबल के पाठ में यह भी है: "और उसने ढले हुए तांबे का एक समुद्र बनाया, वह अंत से अंत तक दस हाथ का था, पूरी तरह से गोल, पाँच हाथ ऊँचा, और तीस हाथ की एक डोरी उसके चारों ओर लगी हुई थी" (1 किंग्स 7.23)। तो प्राचीन चीनी किया। लेकिन पहले से ही 2 हजार ईसा पूर्व में। प्राचीन मिस्रवासियों ने संख्या 241 के लिए अधिक सटीक मान का उपयोग किया था, जो व्यास के एक वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र से प्राप्त होता है। डी:

यह नियम रिहिंड पेपिरस की 50वीं समस्या का मान 4(8/9) 2 »3.1605 से मेल खाता है। 1858 में पाया गया Rhinda Papyrus, इसके पहले मालिक के नाम पर रखा गया है, इसे 1650 ईसा पूर्व के लेखक अहम्स द्वारा कॉपी किया गया था, मूल के लेखक अज्ञात हैं, यह केवल यह स्थापित है कि पाठ 19 वीं के उत्तरार्ध में बनाया गया था। सदी। ई.पू. हालाँकि मिस्रवासियों को सूत्र कैसे मिला, यह संदर्भ से स्पष्ट नहीं है। तथाकथित मॉस्को पेपिरस में, जिसे एक निश्चित छात्र द्वारा 1800 और 1600 ईसा पूर्व के बीच कॉपी किया गया था। एक पुराने पाठ से, लगभग 1 9 00 ईसा पूर्व, एक टोकरी की सतह की गणना के बारे में एक और दिलचस्प समस्या है "4½ के उद्घाटन के साथ"। यह ज्ञात नहीं है कि टोकरी किस आकार की थी, लेकिन सभी शोधकर्ता इस बात से सहमत हैं कि यहाँ संख्या के लिए पीवही अनुमानित मान 4(8/9) 2 लिया जाता है।

यह समझने के लिए कि प्राचीन वैज्ञानिकों ने यह या वह परिणाम कैसे प्राप्त किया, किसी को केवल उस समय के ज्ञान और गणना के तरीकों का उपयोग करके समस्या को हल करने का प्रयास करना चाहिए। प्राचीन ग्रंथों के शोधकर्ता ठीक यही करते हैं, लेकिन वे जो समाधान ढूंढते हैं, वे जरूरी नहीं कि "समान" हों। बहुत बार, एक कार्य के लिए कई समाधान पेश किए जाते हैं, हर कोई अपने स्वाद के अनुसार चुन सकता है, लेकिन कोई यह नहीं कह सकता कि इसका उपयोग पुरातनता में किया गया था। एक वृत्त के क्षेत्रफल के संबंध में, गणित के इतिहास पर अनेक पुस्तकों के लेखक ए.ई. रायक की परिकल्पना प्रशंसनीय प्रतीत होती है: व्यास के एक वृत्त का क्षेत्रफल डीइसकी तुलना इसके चारों ओर वर्णित वर्ग के क्षेत्र से की जाती है, जिसमें से पक्षों के साथ छोटे वर्ग और बदले में हटा दिए जाते हैं (चित्र 1)। हमारे अंकन में, गणना इस तरह दिखेगी: पहले सन्निकटन में, वृत्त का क्षेत्रफल एसएक भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल के बीच के अंतर के बराबर डीऔर चार छोटे वर्गों का कुल क्षेत्रफल लेकिनएक पार्टी के साथ डी:

यह परिकल्पना मॉस्को पेपिरस की समस्याओं में से एक में समान गणनाओं द्वारा समर्थित है, जहां यह गणना करने का प्रस्ताव है

छठी सी से। ई.पू. प्राचीन ग्रीस में गणित का तेजी से विकास हुआ। यह प्राचीन यूनानी ज्यामिति थे जिन्होंने कड़ाई से साबित किया कि एक वृत्त की परिधि उसके व्यास के समानुपाती होती है ( मैं = 2पी आर; आरवृत्त की त्रिज्या है, मैं -इसकी लंबाई), और एक वृत्त का क्षेत्रफल परिधि और त्रिज्या का आधा गुणनफल है:

एस = ½ मैं आर = पी आर 2 .

इस सबूत का श्रेय सिनिडस और आर्किमिडीज के यूडोक्सस को दिया जाता है।

तीसरी शताब्दी में ई.पू. लिखित में आर्किमिडीज वृत्त मापने के बारे मेंएक सर्कल में अंकित नियमित बहुभुजों की परिधि की गणना की और इसके चारों ओर वर्णित (चित्र 2) - 6- से 96-गॉन तक। इस प्रकार उन्होंने स्थापित किया कि संख्या पी 3 10/71 और 3 1/7 के बीच है, अर्थात। 3.14084< पी < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (पी»3.14166 प्रसिद्ध खगोलशास्त्री, त्रिकोणमिति के निर्माता, क्लॉडियस टॉलेमी (दूसरी शताब्दी) द्वारा खोजा गया था, लेकिन यह उपयोग में नहीं आया।

भारतीयों और अरबों का मानना ​​था कि पी=। यह मान भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (598 - ca. 660) द्वारा भी दिया गया है। चीन में, तीसरी शताब्दी में वैज्ञानिक। मान 3 7/50 का इस्तेमाल किया, जो आर्किमिडीज के सन्निकटन से भी बदतर है, लेकिन 5वीं सदी के उत्तरार्ध में। ज़ू चुन ज़ी (सी। 430 - सी। 501) के लिए प्राप्त हुआ पीसन्निकटन 355/113 ( पी»3.1415927)। यह यूरोपीय लोगों के लिए अज्ञात रहा और फिर से डच गणितज्ञ एड्रियन एंटोनिस द्वारा 1585 में पाया गया। यह अनुमान केवल सातवें दशमलव स्थान में एक त्रुटि देता है।

अधिक सटीक सन्निकटन की खोज पीआगे जारी रखा। उदाहरण के लिए, अल-काशी (15वीं शताब्दी की पहली छमाही) में सर्कल पर ग्रंथ(1427) ने 17 दशमलव स्थानों की गणना की पी. यूरोप में भी यही अर्थ 1597 में पाया गया था। ऐसा करने के लिए, उसे एक नियमित 800 335 168-गॉन के पक्ष की गणना करनी थी। डच वैज्ञानिक लुडोल्फ वैन ज़िलेन (1540-1610) ने इसके लिए 32 सही दशमलव स्थान पाए (1615 में मरणोपरांत प्रकाशित), इस सन्निकटन को लुडोल्फ संख्या कहा जाता है।

संख्या पीन केवल ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में प्रकट होता है। एफ. विएटा (1540-1603) के समय से, सरल नियमों के अनुसार संकलित कुछ अंकगणितीय अनुक्रमों की सीमाओं की खोज ने समान संख्या को जन्म दिया है। पी. इस कारण से, संख्या निर्धारित करने में पीलगभग सभी प्रसिद्ध गणितज्ञों ने भाग लिया: एफ। वियत, एच। ह्यूजेंस, जे। वालिस, जी। वी। लाइबनिज़, एल। यूलर। उन्हें अनंत गुणनफल, श्रेणी के योग, अनंत भिन्न के रूप में 241 के लिए विभिन्न व्यंजक प्राप्त हुए।

उदाहरण के लिए, 1593 में एफ. वियत (1540-1603) ने सूत्र व्युत्पन्न किया

1658 में अंग्रेज विलियम ब्रोंकर (1620-1684) ने संख्या का प्रतिनिधित्व पाया पीअनंत निरंतर भिन्न के रूप में

हालांकि, यह ज्ञात नहीं है कि वह इस परिणाम पर कैसे पहुंचे।

1665 में जॉन वालिस (1616-1703) ने साबित किया कि

यह सूत्र उसका नाम रखता है। संख्या 241 के व्यावहारिक निर्धारण के लिए यह बहुत कम उपयोगी है, लेकिन विभिन्न सैद्धांतिक तर्कों में उपयोगी है। इसने विज्ञान के इतिहास में अनंत कार्यों के पहले उदाहरणों में से एक के रूप में प्रवेश किया।

गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज (1646-1716) ने 1673 में निम्नलिखित सूत्र स्थापित किया:

व्यक्त संख्या पी/4 श्रृंखला के योग के रूप में। हालाँकि, यह श्रृंखला बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होती है। हिसाब करना पीदस अंकों के लिए सटीक, यह आवश्यक होगा, जैसा कि आइजैक न्यूटन ने दिखाया, 5 बिलियन संख्याओं का योग ज्ञात करना और इस पर लगभग एक हजार वर्ष निरंतर कार्य करना।

1706 में लंदन के गणितज्ञ जॉन माचिन (1680-1751), सूत्र लागू करते हुए

अभिव्यक्ति मिली

जो अभी भी अनुमानित गणना के लिए सर्वश्रेष्ठ में से एक माना जाता है पी. वही दस सटीक दशमलव स्थानों को खोजने में केवल कुछ घंटों की मैन्युअल गिनती होती है। जॉन माचिन ने खुद गणना की पी 100 सही संकेतों के साथ।

Arctg . के लिए समान पंक्ति का उपयोग करना एक्सऔर सूत्र

संख्या मूल्य पीएक लाख दशमलव स्थानों की सटीकता के साथ कंप्यूटर पर प्राप्त हुआ। इस तरह की गणना यादृच्छिक और छद्म यादृच्छिक संख्याओं की अवधारणा के संबंध में रुचि रखती है। वर्णों की एक निर्दिष्ट संख्या के आदेशित सेट का सांख्यिकीय प्रसंस्करण पीदिखाता है कि इसमें एक यादृच्छिक अनुक्रम की कई विशेषताएं हैं।

किसी नंबर को याद रखने के कुछ मजेदार तरीके हैं पीसिर्फ 3.14 से ज्यादा सटीक। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित क्वाट्रेन सीखकर, आप आसानी से सात दशमलव स्थानों को नाम दे सकते हैं पी:

आपको बस कोशिश करने की जरूरत है

और सब कुछ वैसा ही याद रखें जैसा वह है:

तीन, चौदह, पंद्रह

नब्बे दो और छह.

(एस.बोब्रोव मैजिक बाइकॉर्न)

निम्नलिखित वाक्यांशों के प्रत्येक शब्द में अक्षरों की संख्या गिनने से भी संख्या का मान प्राप्त होता है पी:

"मैं मंडलियों के बारे में क्या जानता हूँ?" ( पी» 3.1416)। यह कहावत Ya.I. Perelman द्वारा सुझाई गई थी।

"तो मुझे पाई नाम का नंबर पता है। - बहुत बढ़िया!" ( पी»3.1415927)।

"जानें और संख्या के पीछे ज्ञात संख्या में जानें, सौभाग्य कैसे नोटिस करें" ( पी»3.14159265359)।

मॉस्को के स्कूलों में से एक के शिक्षक लाइन के साथ आए: "मैं यह जानता हूं और इसे पूरी तरह से याद करता हूं," और उनके छात्र ने एक अजीब निरंतरता की रचना की: "कई संकेत मेरे लिए व्यर्थ हैं।" यह दोहा आपको 12 अंकों को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

और एक संख्या के 101 अंक इस तरह दिखते हैं पीबिना गोलाई के

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

आजकल कंप्यूटर की सहायता से किसी संख्या का मान पीलाखों सही अंकों के साथ गणना की जाती है, लेकिन किसी भी गणना में ऐसी सटीकता की आवश्यकता नहीं होती है। लेकिन संख्या के विश्लेषणात्मक निर्धारण की संभावना ,

अंतिम सूत्र में, अंश में सभी अभाज्य संख्याएँ होती हैं, और हर उनमें से एक से भिन्न होता है, और भाजक अंश से बड़ा होता है यदि उसका रूप 4 है एन+ 1, और कम अन्यथा।

यद्यपि 16वीं शताब्दी के अंत से, अर्थात्। जब से परिमेय और अपरिमेय संख्याओं की अवधारणाएँ बनी हैं, कई वैज्ञानिक आश्वस्त हो चुके हैं कि पी- संख्या अपरिमेय है, लेकिन केवल 1766 में जर्मन गणितज्ञ जोहान हेनरिक लैम्बर्ट (1728-1777) ने यूलर द्वारा खोजे गए घातांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंधों के आधार पर इसे सख्ती से साबित किया। संख्या पीअंश और हर कितने बड़े हों, इसे एक साधारण भिन्न के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है।

1882 में, म्यूनिख विश्वविद्यालय में प्रोफेसर, कार्ल लुई फर्डिनेंड लिंडमैन (1852-1939) ने फ्रांसीसी गणितज्ञ सी. हर्मिट द्वारा प्राप्त परिणामों का उपयोग करके साबित किया कि पी- एक अनुवांशिक संख्या, यानी। यह किसी बीजीय समीकरण का मूल नहीं है ए एन एक्स एन + ए एन- 1 एक्स एन- 1 + … + ए 1 एक्स + ए 0 = 0 पूर्णांक गुणांक के साथ। इस प्रमाण ने एक वृत्त का वर्ग करने की सबसे पुरानी गणितीय समस्या के इतिहास को समाप्त कर दिया। हजारों वर्षों से, यह समस्या गणितज्ञों के प्रयासों के सामने नहीं आई है, अभिव्यक्ति "सर्कल का वर्ग" एक अनसुलझी समस्या का पर्याय बन गई है। और पूरी बात संख्या की पारलौकिक प्रकृति में निकली पी.

इस खोज की याद में, म्यूनिख विश्वविद्यालय के गणितीय सभागार के सामने हॉल में लिंडमैन की एक प्रतिमा लगाई गई थी। उनके नाम के नीचे की चौकी पर समान क्षेत्रफल के एक वर्ग द्वारा पार किया गया एक वृत्त है, जिसके अंदर अक्षर खुदा हुआ है पी.

मरीना फेडोसोवा

परिचय

लेख में गणितीय सूत्र हैं, इसलिए पढ़ने के लिए उनके सही प्रदर्शन के लिए साइट पर जाएं।संख्या \(\pi \) का एक समृद्ध इतिहास है। यह स्थिरांक एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात को दर्शाता है।

विज्ञान में, संख्या \(\pi \) का उपयोग किसी भी गणना में किया जाता है जहां मंडल होते हैं। सोडा के कैन के आयतन से लेकर उपग्रहों की कक्षाओं तक। और सिर्फ मंडलियां नहीं। दरअसल, घुमावदार रेखाओं के अध्ययन में, संख्या \(\pi \) आवधिक और ऑसिलेटरी सिस्टम को समझने में मदद करती है। उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय तरंगें और यहां तक ​​कि संगीत भी।

1706 में, ब्रिटिश वैज्ञानिक विलियम जोन्स (1675-1749) की पुस्तक "ए न्यू इंट्रोडक्शन टू मैथमेटिक्स" में ग्रीक वर्णमाला के अक्षर \(\pi\) का पहली बार संख्या 3.141592 को दर्शाने के लिए इस्तेमाल किया गया था। .. यह पदनाम ग्रीक शब्द περιϕερεια - सर्कल, परिधि और περιμετρoς - परिधि के प्रारंभिक अक्षर से आता है। आम तौर पर स्वीकृत पद 1737 में लियोनहार्ड यूलर के काम के बाद बन गया।

ज्यामितीय अवधि

किसी भी वृत्त की लंबाई और उसके व्यास के अनुपात की स्थिरता लंबे समय से देखी गई है। मेसोपोटामिया के निवासियों ने संख्या \(\pi \) के अपेक्षाकृत मोटे अनुमान का उपयोग किया। प्राचीन समस्याओं से निम्नानुसार, वे अपनी गणना में \(\pi 3 \) मान का उपयोग करते हैं।

प्राचीन मिस्रवासियों द्वारा \(\pi \) के लिए अधिक सटीक मान का उपयोग किया जाता था। लंदन और न्यूयॉर्क में एक प्राचीन मिस्र के पपीरस के दो हिस्से रखे जाते हैं, जिन्हें रिंडा पेपिरस कहा जाता है। पेपिरस को लगभग 2000-1700 ईसा पूर्व के बीच मुंशी आर्म्स द्वारा संकलित किया गया था। BC. आर्म्स ने अपने पेपिरस में लिखा है कि एक त्रिज्या \(r\) वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल \(\frac(8)(9) \) के बराबर भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है। वृत्त के व्यास से \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), यानी \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \)। इसलिए \(\pi = 3,16\)।

प्राचीन यूनानी गणितज्ञ आर्किमिडीज (287-212 ईसा पूर्व) ने सबसे पहले वैज्ञानिक आधार पर एक वृत्त को मापने का कार्य निर्धारित किया था। उसे स्कोर मिला \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

विधि काफी सरल है, लेकिन त्रिकोणमितीय कार्यों की तैयार तालिकाओं के अभाव में, जड़ निष्कर्षण की आवश्यकता होगी। इसके अलावा, \(\pi \) का सन्निकटन बहुत धीरे-धीरे होता है: प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ, त्रुटि केवल चार के कारक से घटती है।

विश्लेषणात्मक अवधि

इसके बावजूद, 17वीं शताब्दी के मध्य तक, यूरोपीय वैज्ञानिकों द्वारा संख्या \(\pi \) की गणना करने के सभी प्रयासों को बहुभुज के किनारों को बढ़ाने के लिए कम कर दिया गया था। उदाहरण के लिए, डच गणितज्ञ लुडोल्फ वैन ज़िलेन (1540-1610) ने 20 दशमलव अंकों की सटीकता के साथ संख्या \(\pi \) के अनुमानित मूल्य की गणना की।

इसे समझने में उन्हें 10 साल लगे। आर्किमिडीज की विधि के अनुसार खुदे हुए और परिबद्ध बहुभुजों की भुजाओं की संख्या को दोगुना करके, उन्होंने \(60 \cdot 2^(29) \) - 20 के साथ \(\pi \) की गणना करने के लिए एक वर्ग का आविष्कार किया। दशमलव स्थानों।

उनकी मृत्यु के बाद, उनकी पांडुलिपियों में संख्या \(\pi \) के 15 और सटीक अंक पाए गए। लुडोल्फ ने वसीयत की कि उसके द्वारा पाए गए चिन्ह उसकी समाधि के पत्थर पर खुदे हुए थे। उनके सम्मान में, संख्या \(\pi \) को कभी-कभी "लुडोल्फ संख्या" या "लुडोल्फ स्थिरांक" कहा जाता था।

आर्किमिडीज से अलग एक विधि पेश करने वाले पहले लोगों में से एक फ्रांकोइस वियत (1540-1603) था। वह इस नतीजे पर पहुंचा कि जिस वृत्त का व्यास एक के बराबर है उसका क्षेत्रफल है:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) ) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

दूसरी ओर, क्षेत्रफल \(\frac(\pi)(4) \) है। व्यंजक को प्रतिस्थापित और सरल करते हुए, हम अनुमानित मान \(\frac(\pi)(2) \) की गणना के लिए निम्नलिखित अनंत उत्पाद सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

परिणामी सूत्र संख्या \(\pi \) के लिए पहला सटीक विश्लेषणात्मक व्यंजक है। इस सूत्र के अलावा, वियतनाम ने आर्किमिडीज की विधि का उपयोग करते हुए, उत्कीर्ण और परिबद्ध बहुभुजों की सहायता से दिया, जो 6-गॉन से शुरू होता है और \(2^(16) \cdot 6 \) पक्षों के साथ बहुभुज के साथ समाप्त होता है, 9 सही चिह्नों के साथ संख्या \(\pi \) का एक सन्निकटन।

अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम ब्रौंकर (1620-1684) ने \(\frac(\pi)(4)\) की गणना के लिए निरंतर भिन्न का उपयोग किया:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots ))))) \]

संख्या \(\frac(4)(\pi) \) के सन्निकटन की गणना करने की इस पद्धति में कम से कम एक छोटा सन्निकटन प्राप्त करने के लिए काफी गणनाओं की आवश्यकता होती है।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप प्राप्त मूल्य या तो संख्या \(\pi \) से अधिक या कम होते हैं, और हर बार वास्तविक मूल्य के करीब होते हैं, लेकिन मूल्य 3.141592 प्राप्त करने के लिए काफी बड़ी गणना की आवश्यकता होगी।

1706 में एक अन्य अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन माचिन (1686-1751) ने 1673 में लीबनिज़ द्वारा व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग 100 दशमलव स्थानों के साथ संख्या \(\pi \) की गणना के लिए किया, और इसे निम्नानुसार लागू किया:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

श्रृंखला तेजी से अभिसरण करती है और इसका उपयोग बड़ी सटीकता के साथ संख्या \(\pi \) की गणना के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार के सूत्रों का उपयोग कंप्यूटर युग में कई कीर्तिमान स्थापित करने के लिए किया जाता था।

17वीं शताब्दी में चर परिमाण के गणित के काल की शुरुआत के साथ, \(\pi \) की गणना में एक नया चरण शुरू हुआ। 1673 में जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज (1646-1716) ने संख्या \(\pi \) का विस्तार पाया, सामान्य रूप में इसे निम्नलिखित अनंत श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

श्रृंखला x = 1 को \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + में प्रतिस्थापित करके प्राप्त की जाती है। \frac (x^9)(9) - \cdots\)

संख्या \(\pi \) की गणना करते समय लियोहार्ड यूलर ने आर्कट एक्स के लिए श्रृंखला के उपयोग पर अपने काम में लाइबनिज के विचार को विकसित किया। सन् 1738 में लिखा गया ग्रंथ "डे वेरिस मोडिस सर्कुली क्वाड्राटुरम न्यूमेरिस प्रॉक्सिम एक्सप्रिमेंडी" (अनुमानित संख्याओं द्वारा एक वृत्त के वर्ग को व्यक्त करने के विभिन्न तरीकों पर), लाइबनिज़ सूत्र का उपयोग करके गणना में सुधार के तरीकों पर चर्चा करता है।

यूलर लिखते हैं कि यदि तर्क शून्य हो जाता है तो चाप स्पर्शरेखा श्रृंखला तेजी से अभिसरण करेगी। \(x = 1\) के लिए श्रृंखला का अभिसरण बहुत धीमा है: 100 अंकों तक की सटीकता के साथ गणना करने के लिए, श्रृंखला के \(10^(50)\) शब्दों को जोड़ना आवश्यक है। आप तर्क के मूल्य को कम करके गणना को गति दे सकते हैं। यदि हम \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\) लेते हैं, तो हमें श्रृंखला मिलती है

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 - \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots \]

यूलर के अनुसार, यदि हम इस श्रृंखला के 210 पद लें, तो हमें संख्या के 100 सही अंक प्राप्त होते हैं। परिणामी श्रृंखला असुविधाजनक है, क्योंकि अपरिमेय संख्या \(\sqrt(3)\) का पर्याप्त सटीक मान जानना आवश्यक है। इसके अलावा, अपनी गणना में, यूलर ने चाप स्पर्शरेखाओं के विस्तार का उपयोग छोटे तर्कों के चाप स्पर्शरेखाओं के योग में किया:

\[जहाँ x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

यूलर ने अपनी नोटबुक्स में जिन \(\pi \) का उपयोग किया है, उनकी गणना के लिए सभी सूत्रों को प्रकाशित नहीं किया गया है। प्रकाशित कार्यों और नोटबुक में, उन्होंने चाप स्पर्शरेखा की गणना के लिए 3 अलग-अलग श्रृंखलाओं पर विचार किया, और एक निश्चित सटीकता के साथ अनुमानित मूल्य \(\pi \) प्राप्त करने के लिए आवश्यक योग योग्य शब्दों की संख्या के बारे में कई बयान भी दिए।

बाद के वर्षों में, संख्या \(\pi \) के मूल्य का शोधन तेजी से और तेजी से हुआ। इसलिए, उदाहरण के लिए, 1794 में, जॉर्ज वेगा (1754-1802) ने पहले से ही 140 संकेतों की पहचान की, जिनमें से केवल 136 ही सही निकले।

कंप्यूटिंग अवधि

20वीं शताब्दी को संख्या \(\pi \) की गणना में एक पूरी तरह से नए चरण द्वारा चिह्नित किया गया था। भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन (1887-1920) ने \(\pi\) के लिए कई नए सूत्र खोजे। 1910 में, उन्होंने टेलर श्रृंखला में चाप स्पर्शरेखा के विस्तार के माध्यम से \(\pi \) की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त किया:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

k=100 के साथ, संख्या \(\pi \) के 600 सही अंकों की सटीकता प्राप्त की जाती है।

कंप्यूटर के आगमन ने कम समय में प्राप्त मूल्यों की सटीकता में उल्लेखनीय वृद्धि करना संभव बना दिया। 1949 में, ENIAC का उपयोग करते हुए, जॉन वॉन न्यूमैन (1903-1957) के नेतृत्व में वैज्ञानिकों के एक समूह ने केवल 70 घंटों में \(\pi \) के 2037 दशमलव स्थान प्राप्त किए। डेविड और ग्रेगरी चुडनोव्स्की ने 1987 में एक सूत्र प्राप्त किया जिसके साथ वे गणना में कई रिकॉर्ड स्थापित करने में सक्षम थे \(\pi\):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k) ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

श्रृंखला का प्रत्येक सदस्य 14 अंक देता है। 1989 में 1,011,196,691 दशमलव स्थान प्राप्त हुए। यह सूत्र व्यक्तिगत कंप्यूटरों पर \(\pi \) की गणना के लिए उपयुक्त है। फिलहाल भाई न्यूयॉर्क यूनिवर्सिटी के पॉलिटेक्निक इंस्टीट्यूट में प्रोफेसर हैं।

एक महत्वपूर्ण हालिया विकास 1997 में साइमन प्लफ द्वारा सूत्र की खोज थी। यह आपको पिछले वाले की गणना किए बिना संख्या \(\pi \) के किसी भी हेक्साडेसिमल अंक को निकालने की अनुमति देता है। लेख के लेखकों के सम्मान में सूत्र को "बेली-बोरवेन-प्लफ फॉर्मूला" कहा जाता है जहां सूत्र पहली बार प्रकाशित हुआ था। यह इस तरह दिख रहा है:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) - \frac(2)(8k+4 ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

2006 में, साइमन, PSLQ का उपयोग करते हुए, कंप्यूटिंग के लिए कुछ अच्छे फ़ार्मुलों के साथ आया \(\pi \)। उदाहरण के लिए,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) - 1) - \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

जहां \(q = e^(\pi)\)। 2009 में, जापानी वैज्ञानिकों ने T2K त्सुकुबा सिस्टम सुपरकंप्यूटर का उपयोग करते हुए, 2,576,980,377,524 दशमलव स्थानों के साथ संख्या \(\pi \) प्राप्त की। गणना में 73 घंटे 36 मिनट लगे। कंप्यूटर 640 चार-कोर AMD Opteron प्रोसेसर से लैस था, जो प्रति सेकंड 95 ट्रिलियन ऑपरेशन का प्रदर्शन प्रदान करता था।

\(\pi \) की गणना में अगली उपलब्धि फ्रांसीसी प्रोग्रामर फैब्रिस बेलार्ड की है, जिन्होंने 2009 के अंत में फेडोरा 10 चलाने वाले अपने पर्सनल कंप्यूटर पर संख्या \(\pi \) के 2,699,999,990,000 दशमलव स्थानों की गणना करके एक रिकॉर्ड बनाया। पिछले 14 वर्षों में, यह सुपर कंप्यूटर के उपयोग के बिना बनाया गया पहला विश्व रिकॉर्ड है। उच्च प्रदर्शन के लिए, फैब्रिस ने चुडनोव्स्की भाइयों के फार्मूले का इस्तेमाल किया। कुल मिलाकर, गणना में 131 दिन (गणना के 103 दिन और सत्यापन के 13 दिन) लगे। बेल्लार की उपलब्धि से पता चला कि इस तरह की गणना के लिए सुपर कंप्यूटर होना जरूरी नहीं है।

ठीक छह महीने बाद, फ्रांकोइस का रिकॉर्ड इंजीनियरों अलेक्जेंडर यी और सिंगर कोंडो ने तोड़ा। 5 ट्रिलियन दशमलव स्थानों \(\pi \) का रिकॉर्ड स्थापित करने के लिए, एक पर्सनल कंप्यूटर का भी उपयोग किया गया था, लेकिन अधिक प्रभावशाली विशेषताओं के साथ: 3.33 GHz पर दो Intel Xeon X5680 प्रोसेसर, 96 GB RAM, 38 TB डिस्क मेमोरी और ऑपरेटिंग सिस्टम विंडोज सर्वर 2008 R2 एंटरप्राइज x64। गणना के लिए, अलेक्जेंडर और सिंगर ने चुडनोव्स्की भाइयों के सूत्र का उपयोग किया। गणना प्रक्रिया में 90 दिन और 22 टीबी डिस्क स्थान लगे। 2011 में, उन्होंने संख्या \(\pi \) के लिए 10 ट्रिलियन दशमलव स्थानों की गणना करके एक और रिकॉर्ड बनाया। गणना उसी कंप्यूटर पर हुई जिसने अपना पिछला रिकॉर्ड बनाया था और कुल 371 दिन लगे थे। 2013 के अंत में, सिकंदर और सिंगरू ने संख्या \(\pi \) के 12.1 ट्रिलियन अंकों के रिकॉर्ड में सुधार किया, जिसकी गणना करने में उन्हें केवल 94 दिन लगे। प्रदर्शन में यह सुधार सॉफ्टवेयर प्रदर्शन को अनुकूलित करके, प्रोसेसर कोर की संख्या में वृद्धि, और सॉफ्टवेयर दोष सहिष्णुता में उल्लेखनीय रूप से सुधार करके प्राप्त किया जाता है।

वर्तमान रिकॉर्ड अलेक्जेंडर यी और सिंगरू कोंडो का है, जो कि \(\pi \) के 12.1 ट्रिलियन दशमलव स्थान हैं।

इस प्रकार, हमने प्राचीन काल में प्रयुक्त संख्या \(\pi \) की गणना के तरीकों, विश्लेषणात्मक तरीकों की जांच की, और कंप्यूटर पर संख्या \(\pi \) की गणना के लिए आधुनिक तरीकों और रिकॉर्ड की भी जांच की।

सूत्रों की सूची

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जनवरी 13, 2017

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लाडा प्रियोरा के एक पहिये, शादी की अंगूठी और आपकी बिल्ली के तश्तरी के बीच क्या आम है? बेशक, आप सुंदरता और शैली कहेंगे, लेकिन मैं आपसे बहस करने की हिम्मत करता हूं। पाई!यह एक संख्या है जो सभी मंडलियों, मंडलियों और गोलाई को एकजुट करती है, जिसमें विशेष रूप से, मेरी मां की अंगूठी, और मेरे पिता की पसंदीदा कार का पहिया, और यहां तक ​​​​कि मेरी प्यारी बिल्ली मुर्ज़िक का तश्तरी भी शामिल है। मैं शर्त लगाने के लिए तैयार हूं कि सबसे लोकप्रिय भौतिक और गणितीय स्थिरांक की रैंकिंग में, संख्या Pi निस्संदेह पहली पंक्ति लेगी। लेकिन इसके पीछे क्या है? शायद गणितज्ञों के कुछ भयानक श्राप? आइए इस मुद्दे को समझने की कोशिश करते हैं।

"पाई" नंबर क्या है और यह कहां से आया है?

आधुनिक संख्या पदनाम π (पाई) 1706 में अंग्रेजी गणितज्ञ जॉनसन के लिए धन्यवाद प्रकट हुआ। यह ग्रीक शब्द का पहला अक्षर है περιφέρεια (परिधि, या परिधि). उन लोगों के लिए जो लंबे समय तक गणित से गुजरे हैं, और अतीत के अलावा, हम याद करते हैं कि संख्या पाई एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है। मान एक स्थिरांक है, अर्थात यह किसी भी वृत्त के लिए स्थिर है, चाहे उसकी त्रिज्या कुछ भी हो। इसके बारे में लोग प्राचीन काल से जानते हैं। तो प्राचीन मिस्र में, पाई को 256/81 के अनुपात के बराबर लिया गया था, और वैदिक ग्रंथों में 339/108 का मान दिया गया है, जबकि आर्किमिडीज ने 22/7 के अनुपात का सुझाव दिया था। लेकिन न तो इन और न ही संख्या पाई को व्यक्त करने के कई अन्य तरीकों ने सटीक परिणाम दिया।

यह पता चला कि पाई संख्या क्रमशः पारलौकिक और अपरिमेय है। इसका मतलब है कि इसे एक साधारण अंश के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है। यदि इसे दशमलव के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो दशमलव बिंदु के बाद अंकों का क्रम समय-समय पर दोहराए बिना, अनंत तक पहुंच जाएगा। इन सभी का क्या अर्थ है? बहुत आसान। क्या आप अपनी पसंद की लड़की का फ़ोन नंबर जानना चाहते हैं? यह निश्चित रूप से पाई के दशमलव बिंदु के बाद अंकों के क्रम में पाया जा सकता है।

फोन यहां देखा जा सकता है

पीआई संख्या 10000 वर्णों तक।

= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

नहीं मिला? फिर देखो।

सामान्य तौर पर, यह न केवल एक फोन नंबर हो सकता है, बल्कि संख्याओं का उपयोग करके एन्कोड की गई कोई भी जानकारी हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम डिजिटल रूप में अलेक्जेंडर सर्गेइविच पुश्किन के सभी कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो उन्हें उनके द्वारा लिखे जाने से पहले ही, उनके जन्म से पहले ही, संख्या पाई में संग्रहीत किया गया था। सिद्धांत रूप में, वे अभी भी वहां संग्रहीत हैं। वैसे, गणितज्ञों के श्राप में π भी मौजूद हैं, और केवल गणितज्ञ ही नहीं। एक शब्द में, पाई के पास सब कुछ है, यहां तक ​​​​कि विचार भी हैं जो कल, परसों, एक साल में, या शायद दो में आपके उज्ज्वल सिर पर आएंगे। इस पर विश्वास करना बहुत कठिन है, लेकिन यदि हम इस पर विश्वास करने का दिखावा भी करते हैं, तो वहां से जानकारी प्राप्त करना और उसे समझना और भी कठिन होगा। तो इन नंबरों में जाने के बजाय, अपनी पसंद की लड़की से संपर्क करना और उससे नंबर मांगना आसान हो सकता है? .. लेकिन उन लोगों के लिए जो आसान तरीकों की तलाश नहीं कर रहे हैं, ठीक है, या बस दिलचस्पी है कि पीआई नंबर क्या है, मैं गणना के कई तरीके प्रदान करता हूं। स्वास्थ्य पर भरोसा करें।

पाई का मूल्य क्या है? इसकी गणना के लिए तरीके:

1. प्रायोगिक विधि।यदि पाई किसी वृत्त की परिधि का उसके व्यास का अनुपात है, तो शायद हमारे रहस्यमय स्थिरांक को खोजने का पहला और सबसे स्पष्ट तरीका यह होगा कि सभी मापों को मैन्युअल रूप से लिया जाए और सूत्र π=l/d का उपयोग करके pi की गणना की जाए। जहाँ l वृत्त की परिधि है और d इसका व्यास है। सब कुछ बहुत सरल है, आपको केवल परिधि निर्धारित करने के लिए एक धागे के साथ खुद को बांटने की जरूरत है, व्यास को खोजने के लिए एक शासक, और वास्तव में, धागे की लंबाई, और एक कैलकुलेटर अगर आपको कॉलम में विभाजन के साथ समस्या है . एक सॉस पैन या खीरे का जार एक मापा नमूने के रूप में कार्य कर सकता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, मुख्य बात? ताकि आधार एक वृत्त हो।

माना गणना पद्धति सबसे सरल है, लेकिन, दुर्भाग्य से, इसमें दो महत्वपूर्ण कमियां हैं जो परिणामी पाई संख्या की सटीकता को प्रभावित करती हैं। सबसे पहले, माप उपकरणों की त्रुटि (हमारे मामले में, यह एक धागे के साथ एक शासक है), और दूसरी बात, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि जिस सर्कल को हम मापते हैं उसका सही आकार होगा। इसलिए, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि गणित ने हमें की गणना के लिए कई अन्य तरीके दिए हैं, जहां सटीक माप करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

2. लाइबनिज श्रृंखला।कई अनंत श्रृंखलाएं हैं जो आपको बड़ी संख्या में दशमलव स्थानों पर पाई की संख्या की सटीक गणना करने की अनुमति देती हैं। सबसे सरल श्रृंखला में से एक लाइबनिज श्रृंखला है। = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) । ..
यह सरल है: हम अंश में 4 के साथ अंश लेते हैं (यह शीर्ष पर एक है) और हर में विषम संख्याओं के अनुक्रम से एक संख्या (यह नीचे की तरफ है), क्रमिक रूप से उन्हें एक दूसरे के साथ जोड़ते और घटाते हैं और पाई नंबर प्राप्त करें। हमारे सरल कार्यों की जितनी अधिक पुनरावृत्तियाँ या दोहराव होंगे, परिणाम उतना ही सटीक होगा। सरल, लेकिन प्रभावी नहीं, वैसे, दस दशमलव स्थानों पर पाई का सटीक मान प्राप्त करने में 500,000 पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है। यानी हमें दुर्भाग्यपूर्ण चार को 500,000 बार विभाजित करना होगा, और इसके अलावा, हमें प्राप्त परिणामों को 500,000 बार घटाना और जोड़ना होगा। आजमाना चाहोगे?

3. नीलकंठ श्रृंखला।आगे लाइबनिज के साथ खिलवाड़ करने का समय नहीं है? एक विकल्प है। नीलकंठ श्रृंखला, हालांकि यह थोड़ी अधिक जटिल है, हमें वांछित परिणाम तेजी से प्राप्त करने की अनुमति देती है। = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14)...मुझे लगता है कि यदि आप श्रृंखला के उपरोक्त प्रारंभिक अंश को ध्यान से देखें, तो सब कुछ स्पष्ट हो जाता है, और टिप्पणियाँ अतिश्योक्तिपूर्ण हैं। इस पर हम और आगे बढ़ते हैं।

4. मोंटे कार्लो विधिपाई की गणना के लिए एक दिलचस्प तरीका मोंटे कार्लो विधि है। ऐसा असाधारण नाम उन्हें मोनाको राज्य में इसी नाम के शहर के सम्मान में मिला। और इसका कारण यादृच्छिक है। नहीं, इसे संयोग से नाम नहीं दिया गया था, यह सिर्फ इतना है कि यह विधि यादृच्छिक संख्याओं पर आधारित है, और मोंटे कार्लो कैसीनो रूले पर आने वाली संख्याओं से अधिक यादृच्छिक क्या हो सकता है? पाई की गणना इस पद्धति का एकमात्र अनुप्रयोग नहीं है, क्योंकि अर्द्धशतक में इसका उपयोग हाइड्रोजन बम की गणना में किया जाता था। लेकिन चलो पीछे नहीं हटते।

आइए एक वर्ग लें जिसकी भुजा बराबर है 2r, और इसमें एक त्रिज्या के साथ एक वृत्त अंकित करें आर. अब यदि आप एक वर्ग में यादृच्छिक रूप से बिंदु डालते हैं, तो प्रायिकता पीकि एक बिंदु एक वृत्त में फिट बैठता है, वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफलों का अनुपात है। पी \u003d एस सीआर / एस क्यू \u003d 2πr 2 / (2r) 2 \u003d π / 4.

अब यहाँ से हम संख्या Pi . को व्यक्त करते हैं =4पी. यह केवल प्रयोगात्मक डेटा प्राप्त करने और सर्कल में हिट के अनुपात के रूप में संभावना पी खोजने के लिए बनी हुई है एन क्रेचौक हिट करने के लिए एन वर्ग. सामान्य तौर पर, गणना सूत्र इस तरह दिखेगा: =4एन करोड़ / एन वर्ग।

मैं यह नोट करना चाहूंगा कि इस पद्धति को लागू करने के लिए, कैसीनो में जाने की आवश्यकता नहीं है, यह किसी भी कम या ज्यादा सभ्य प्रोग्रामिंग भाषा का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है। खैर, परिणामों की सटीकता क्रमशः निर्धारित अंकों की संख्या पर निर्भर करेगी, जितना अधिक, उतना ही सटीक। मैं आपको शुभकामनाएं देता हूं

ताऊ नंबर (निष्कर्ष के बजाय)।

जो लोग गणित से दूर हैं, उन्हें शायद ही पता हो, लेकिन ऐसा हुआ कि पाई का एक भाई है जो उससे दोगुना बड़ा है। यह संख्या ताऊ (τ) है, और यदि पाई परिधि और व्यास का अनुपात है, तो ताऊ उस लंबाई का त्रिज्या से अनुपात है। और आज कुछ गणितज्ञों द्वारा संख्या पाई को छोड़ने और इसे ताऊ से बदलने के प्रस्ताव हैं, क्योंकि यह कई मायनों में अधिक सुविधाजनक है। लेकिन अभी तक ये केवल प्रस्ताव हैं, और जैसा कि लेव डेविडोविच लैंडौ ने कहा: "जब पुराने के समर्थक मर जाते हैं तो एक नया सिद्धांत हावी होने लगता है।"