परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं। एक रेखा और एक परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं

बिंदु ढूँढना कार्य चौराहोंकोई भी आंकड़ा वैचारिक रूप से आदिम है। उनमें कठिनाइयाँ केवल अंकगणित के कारण होती हैं, क्योंकि इसमें विभिन्न टाइपो और त्रुटियाँ होती हैं।

अनुदेश

1. यह समस्या विश्लेषणात्मक रूप से हल हो गई है, इसलिए इसे ग्राफिक्स को बिल्कुल भी नहीं खींचने की अनुमति है सीधाऔर परवलय। अक्सर यह एक उदाहरण को हल करने में एक बड़ा प्लस देता है, क्योंकि समस्या में ऐसे कार्य दिए जा सकते हैं कि उन्हें खींचना आसान और तेज़ नहीं है।

2. बीजगणित पाठ्यपुस्तकों के अनुसार, एक परवलय f(x)=ax^2+bx+c रूप के एक फलन द्वारा दिया जाता है, जहां a,b,c वास्तविक संख्याएं हैं, और घातांक a शून्य पर अच्छा है। समारोह g(x)=kx+h, जहां k,h वास्तविक संख्याएं हैं, विमान में एक रेखा को परिभाषित करता है।

3. दूरसंचार विभाग चौराहों सीधाऔर परवलय दोनों वक्रों के सार्वभौमिक बिंदु हैं, इसलिए इसमें कार्य समान मान लेंगे, अर्थात f(x)=g(x)। यह कथन आपको समीकरण लिखने की अनुमति देता है: ax^2+bx+c=kx+h, जो बहुत सारे अंक खोजने की संभावना देगा चौराहों .

4. समीकरण में ax^2+bx+c=kx+h, आपको सभी शब्दों को बाईं ओर ले जाना होगा और समान शब्दों को लाना होगा: ax^2+(b-k)x+c-h=0. अब परिणामी द्विघात समीकरण को हल करना बाकी है।

5. सभी खोजे गए "xes" अभी तक कार्य का परिणाम नहीं हैं, क्योंकि विमान पर एक बिंदु दो वास्तविक संख्याओं (x, y) की विशेषता है। समाधान के पूर्ण निष्कर्ष के लिए, संबंधित "गेम" की गणना करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, "xes" को या तो फ़ंक्शन f (x) में या फ़ंक्शन g (x), बिंदु के लिए चाय में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। चौराहोंसही: y=f(x)=g(x). बाद में आप परवलय के सभी सार्वभौमिक बिंदु पाएंगे और सीधा .

6. सामग्री को समेकित करने के लिए, समाधान को एक उदाहरण के साथ देखना बहुत महत्वपूर्ण है। परवलय को फ़ंक्शन f(x)=x^2-3x+3, और सीधी रेखा - g(x)=2x-3 द्वारा दिया जाता है। समीकरण f(x)=g(x), यानी x^2-3x+3=2x-3 लिखें। सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करने और समान शब्दों को लाने पर, आपको मिलता है: x^2-5x+6=0. इस द्विघात समीकरण की जड़ें: x1=2, x2=3. अब संबंधित "खिलाड़ी" खोजें: y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3। इस प्रकार, सभी बिंदु पाए जाते हैं चौराहों: (2,1) और (3,3)।

बिंदु चौराहोंसीधी रेखाओं को ग्राफ से लगभग निर्धारित किया जा सकता है। हालांकि, इस बिंदु के सटीक निर्देशांक की अक्सर आवश्यकता होती है, या ग्राफ बनाना आवश्यक नहीं है, तो बिंदु को खोजना संभव है चौराहोंकेवल रेखाओं के समीकरणों को जानना।

अनुदेश

1. रेखा के सामान्य समीकरणों द्वारा दो रेखाएँ दी गई हैं: A1*x + B1*y + C1 = 0 और A2*x + B2*y + C2 = 0. बिंदु चौराहोंएक सीधी रेखा के अंतर्गत आता है और दूसरा। हम रेखा x के पहले समीकरण से व्यक्त करते हैं, हमें मिलता है: x = -(B1*y + C1)/A1। परिणामी मान को दूसरे समीकरण में रखें: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0 A1C2)/(A1B2 - A2B1)। पहली सीधी रेखा के समीकरण में ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करें: A1*x + B1(A2C1 - A1C2)/(A1B2 - A2B1) + C1 = 0.A1(A1B2 - A2B1)*x + A2B1C1 - A1B1C2 + A1B2C1 - A2B1C1 = 0(A1B2 - A2B1)*x - B1C2 + B2C1 = 0 फिर x = (B1C2 - B2C1)/(A1B2 - A2B1)।

2. एक स्कूली गणित पाठ्यक्रम में, सीधी रेखाएं अक्सर एक कोणीय घातांक वाले समीकरण द्वारा दी जाती हैं, आइए इस मामले पर विचार करें। दो पंक्तियाँ इस प्रकार दें: y1 = k1*x + b1 और y2 = k2*x + b2। जाहिर है, बिंदु पर चौराहों y1 = y2, फिर k1*x + b1 = k2*x + b2। हम पाते हैं कि बिंदु की कोटि चौराहोंएक्स = (बी2-बी1)/(के1-के2)। एक सीधी रेखा के किसी भी समीकरण में x रखें और y = k1(b2 - b1)/(k1 - k2) + b1 = (k1b2 - b1k2)/(k1 - k2) प्राप्त करें।

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समीकरण परवलयद्विघात फलन है। इस समीकरण को संकलित करने के लिए कई विकल्प हैं। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि समस्या की स्थिति में कौन से पैरामीटर प्रस्तुत किए जाते हैं।

अनुदेश

1. एक परवलय एक वक्र है जो आकार में एक चाप जैसा दिखता है और एक शक्ति समारोह का एक ग्राफ है। परवलय में चाहे जो भी संयोजन हों, यह फलन सम है। सम फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है, जो परिभाषा के डोमेन से तर्क के सभी मूल्यों के लिए, जब तर्क का संकेत बदलता है, तो मान नहीं बदलता है: f (-x) \u003d f (x) से प्रारंभ करें सबसे आदिम कार्य: y \u003d x ^ 2। इसकी उपस्थिति से, यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि यह तर्क x के सही और नकारात्मक दोनों मूल्यों के लिए बढ़ता है। वह बिंदु जिस पर x = 0, और साथ ही, y = 0 को फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु माना जाता है।

2. इस फलन और उसके समीकरण की रचना के लिए सभी मुख्य विकल्प नीचे दिए गए हैं। पहले उदाहरण के रूप में, नीचे फॉर्म का एक फ़ंक्शन है: f(x)=x^2+a, जहां a एक पूर्णांक है इस फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, आपको फ़ंक्शन f(x) के ग्राफ़ को इसके द्वारा स्थानांतरित करने की आवश्यकता है एक इकाई। एक उदाहरण फ़ंक्शन y=x^2+3 है, जहां y-अक्ष फ़ंक्शन को दो इकाइयों द्वारा ऊपर ले जाता है। y=x^2-3 विपरीत चिन्ह वाले एक फलन को देखते हुए, इसका ग्राफ y-अक्ष से नीचे खिसक जाता है।

3. एक अन्य प्रकार का फलन जिसे परवलय दिया जा सकता है वह है f(x)=(x + a)^2। ऐसे मामलों में, इसके विपरीत, ग्राफ को एक इकाई द्वारा भुज (x-अक्ष) के अनुदिश स्थानांतरित कर दिया जाता है। उदाहरण के लिए, इसे फ़ंक्शन देखने की अनुमति है: y=(x +4)^2 और y=(x-4)^2। पहले मामले में, जहां एक प्लस चिह्न के साथ एक फ़ंक्शन होता है, ग्राफ को एक्स-अक्ष के साथ बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, और दूसरे मामले में, दाईं ओर। इन सभी मामलों को चित्र में दिखाया गया है।

4. y=x^4 के रूप की परवलयिक निर्भरताएं भी हैं। ऐसे मामलों में, x=const, और y तेजी से बढ़ता है। हालाँकि, यह केवल सम कार्यों पर लागू होता है परवलयअक्सर शारीरिक समस्याओं में मौजूद होते हैं, उदाहरण के लिए, शरीर की उड़ान एक परवलय के समान एक रेखा का वर्णन करती है। यह भी देखें परवलयहेडलाइट परावर्तक, दीपक का एक अनुदैर्ध्य खंड है। साइन वेव के विपरीत, यह ग्राफ गैर-आवधिक और प्रगतिशील है।

टिप 4: समतल के साथ एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण कैसे करें

यह कार्य एक बिंदु बनाना है चौराहों सीधाएक विमान के साथ इंजीनियरिंग ग्राफिक्स के पाठ्यक्रम में एक क्लासिक है और वर्णनात्मक ज्यामिति के तरीकों और ड्राइंग में उनके ग्राफिक समाधान का उपयोग करके किया जाता है।

अनुदेश

1. एक बिंदु की परिभाषा पर विचार करें चौराहों सीधाएक निजी स्थान विमान के साथ (चित्र 1)। सीधी रेखा l ललाट प्रक्षेपण विमान को काटती है?। उन्हें इंगित करें चौराहों K का संबंध है और सीधाऔर समतल, इसलिए K2 का उभयनिष्ठ प्रक्षेपण?2 और l2 पर स्थित है। यानी K2=l2??2, और इसका क्षैतिज प्रक्षेपण K1 प्रक्षेपण कनेक्शन लाइन का उपयोग करके l1 पर निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु चौराहों K(K2K1) को सहायक विमानों के उपयोग के बिना स्वतंत्र रूप से बनाया गया है। बिंदुओं को समान रूप से परिभाषित किया गया है चौराहों सीधासभी प्रकार के निजी विमानों के साथ।

2. एक बिंदु की परिभाषा पर विचार करें चौराहों सीधासामान्य विमान के साथ। चित्र 2 में, अंतरिक्ष में एक मनमाने ढंग से स्थित विमान दिया गया है? और सीधी रेखा एल। एक बिंदु को परिभाषित करने के लिए चौराहों सीधाएक सामान्य स्थान विमान के साथ, सहायक काटने वाले विमानों की विधि का उपयोग निम्नलिखित क्रम में किया जाता है:

3. सीधी रेखा l? के माध्यम से एक सहायक कटिंग प्लेन खींचा जाता है। निर्माण की सुविधा के लिए, यह प्रोजेक्टिंग प्लेन होगा।

5. बिंदु K अंकित है चौराहों सीधाएल और निर्मित लाइन चौराहोंएमएन वह वांछित बिंदु है चौराहों सीधाऔर विमान।

6. आइए इस नियम को एक जटिल ड्राइंग में एक विशिष्ट समस्या को हल करने के लिए लागू करें। उदाहरण। बिंदु को परिभाषित करें चौराहों सीधा l त्रिभुज ABC द्वारा दिए गए सामान्य स्थान के तल के साथ (चित्र 3)।

7. एक सहायक छेदक विमान? प्रक्षेपण विमान के लंबवत सीधी रेखा l के माध्यम से खींचा जाता है? 2। इसका प्रक्षेपण?2 प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है सीधाएल 2.

8. एमएन लाइन निर्माणाधीन है। विमान? AB को बिंदु M पर प्रतिच्छेद करता है। इसका उभयनिष्ठ प्रक्षेपण M2=?2?A2B2 और क्षैतिज M1 A1B1 पर प्रक्षेपण कनेक्शन की रेखा के साथ चिह्नित हैं। समतल? बिंदु N पर AC को पार करता है। इसका सामान्य प्रक्षेपण N2=?2?A2C2, A1C1 पर N1 का क्षैतिज प्रक्षेपण है। रेखा MN एक ही समय में दोनों विमानों से संबंधित है, और इसलिए, उनकी रेखा है चौराहों .

9. बिंदु K1 निर्धारित है चौराहों l1 और M1N1, उस बिंदु के बाद K2 संचार लाइन के समर्थन से बनाया गया है। यह पता चला है कि K1 और K2 वांछित बिंदु के अनुमान हैं चौराहोंक सीधाएल और विमान? एबीसी: के (के 1 के 2) = एल (एल 1 एल 2)? ? ABC(A1B1C1, A2B2C2)। प्रतिस्पर्धी बिंदुओं M,1 और 2,3 का उपयोग करके, दृश्यता निर्धारित की जाती है सीधाएल किसी दिए गए विमान के बारे में? एबीसी.

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ध्यान दें!
किसी समस्या को हल करते समय एक सहायक विमान का प्रयोग करें।

उपयोगी सलाह
समस्या की आवश्यकताओं से मेल खाने वाले विस्तृत चित्रों का उपयोग करके गणना करें। यह आपको समाधान को जल्दी से नेविगेट करने में मदद करेगा।

दो रेखाएँ, यदि वे समानांतर नहीं हैं और संपाती नहीं हैं, तो एक बिंदु पर सख्ती से प्रतिच्छेद करें। इस स्थान के निर्देशांक खोजने का अर्थ है गणना करना अंक चौराहोंसीधे। दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ हमेशा एक ही तल में होती हैं, इसलिए उन्हें कार्तीय तल में देखना पर्याप्त है। आइए एक उदाहरण देखें कि रेखाओं का सार्वत्रिक बिंदु कैसे ज्ञात किया जाए।

अनुदेश

1. 2 पंक्तियों के समीकरण लें, यह याद रखते हुए कि कार्तीय समन्वय प्रणाली में एक रेखा का समीकरण, एक रेखा का समीकरण कुल्हाड़ी + y + c \u003d 0 जैसा दिखता है, और a, b, c सामान्य संख्याएँ हैं, और x और y बिंदुओं के निर्देशांक हैं। उदाहरण के लिए, खोजें अंक चौराहोंसीधी रेखाएं 4x+3y-6=0 और 2x+y-4=0. ऐसा करने के लिए, इन 2 समीकरणों की प्रणाली का हल खोजें।

2. समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, किसी भी समीकरण को बदलें ताकि y एक समान घातांक से पहले हो। क्योंकि एक समीकरण में, y के सामने का घातांक 1 है, तो इस समीकरण को मूल रूप से संख्या 3 (दूसरे समीकरण में y के सामने घातांक) से गुणा करें। ऐसा करने के लिए, समीकरण के प्रत्येक तत्व को 3: (2x * 3) + (y * 3) - (4 * 3) \u003d (0 * 3) से गुणा करें और एक साधारण समीकरण प्राप्त करें 6x + 3y-12 \u003d 0 . यदि y के सामने के घातांक दोनों समीकरणों में एकता से अद्भुत थे, तो दोनों समानताओं को गुणा करना होगा।

3. एक समीकरण से दूसरे को घटाएं। ऐसा करने के लिए, एक के बाईं ओर से दूसरे के बाईं ओर घटाएं और दाईं ओर भी ऐसा ही करें। यह व्यंजक प्राप्त करें: (4x + 3y-6) - (6x + 3y-12) \u003d 0-0। चूंकि ब्रैकेट के सामने "-" चिन्ह है, इसलिए कोष्ठक में सभी संकेतों को विपरीत में बदलें। यह व्यंजक प्राप्त करें: 4x + 3y-6 - 6x-3y + 12 = 0। व्यंजक को सरल कीजिए और आप देखेंगे कि चर y गायब हो गया है। नया समीकरण इस तरह दिखता है: -2x+6=0. संख्या 6 को समीकरण के दूसरे भाग में स्थानांतरित करें, और परिणामी समानता -2x \u003d -6 से, x: x \u003d (-6) / (-2) व्यक्त करें। तो आपको x=3 मिला।

4. x=3 के मान को किसी भी समीकरण में, मान लीजिए, दूसरे में रखिए और निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त कीजिए: (2 * 3) + y-4 = 0. y को सरल और व्यक्त कीजिए: y=4-6=-2.

5. परिणामी x और y मानों को निर्देशांक के रूप में लिखें अंक(3; -2)। ये होंगे समस्या का समाधान। दोनों समीकरणों में प्रतिस्थापित करके प्राप्त मान की जाँच करें।

6. यदि रेखाएं समीकरण के रूप में नहीं दी गई हैं, लेकिन विमान पर प्राथमिक रूप से दी गई हैं, तो निर्देशांक खोजें अंक चौराहोंग्राफिक रूप से। ऐसा करने के लिए, लाइनों का विस्तार करें ताकि वे प्रतिच्छेद करें, फिर x और y अक्षों पर लंबवत कम करें। x और y अक्षों के साथ लंबों का प्रतिच्छेदन इसके निर्देशांक होंगे अंक, आकृति को देखें और आप देखेंगे कि निर्देशांक अंक चौराहों x \u003d 3 और y \u003d -2, यानी बिंदु (3; -2) समस्या का समाधान है।

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एक परवलय एक दूसरे क्रम का समतल वक्र है जिसका कार्तीय समन्वय प्रणाली में विहित समीकरण y?=2px है। जहाँ p परवलय का फोकल पैरामीटर है, जो एक निश्चित बिंदु F से दूरी के बराबर है, जिसे फोकस कहा जाता है, उसी तल में एक निश्चित रेखा D तक, जिसे डायरेक्ट्रीक्स कहा जाता है। इस तरह के एक परवलय का शीर्ष निर्देशांक की प्रस्तावना से होकर गुजरता है, और वक्र स्वयं एब्सिसा अक्ष ऑक्स के बारे में सममित है। बीजगणित के स्कूल पाठ्यक्रम में, एक परवलय पर विचार करने की प्रथा है, जिसकी समरूपता अक्ष कोटि अक्ष के साथ मेल खाती है Oy: x?=2py। और समीकरण कुछ विपरीत लिखा गया है: y=ax?+bx+c, a=1/(2p)। सशर्त रूप से कई तरीकों से एक परवलय खींचना संभव है, जिसे बीजीय और ज्यामितीय कहा जा सकता है।

अनुदेश

1. परवलय की बीजीय रचना। परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। सूत्र का उपयोग करके ऑक्स अक्ष के साथ निर्देशांक की गणना करें: x0=-b/(2a), और Oy अक्ष के साथ: y0=-(b?-4ac)/4a या परिणामी x0 मान को परवलय y0 के समीकरण में प्रतिस्थापित करें। =ax0?+bx0+c और मान की गणना करें।

2. निर्देशांक तल पर परवलय की सममिति अक्ष की रचना कीजिए। इसका सूत्र परवलय शीर्ष के x0 निर्देशांक के सूत्र के साथ मेल खाता है: x=-b/(2a)। निर्धारित करें कि परवलय की शाखाएँ कहाँ इंगित करती हैं। यदि a>0, तो कुल्हाड़ियों को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, यदि a

3. पैरामीटर x के लिए मनमाने ढंग से 2-3 मान लें ताकि: x0

4. बिंदुओं 1', 2' और 3' को इस प्रकार रखें कि वे सममिति के अक्ष के परितः बिंदु 1, 2, 3 के सममित हों।

5. एक चिकनी तिरछी रेखा के साथ अंक 1', 2', 3', 0, 1, 2, 3 को मिलाएं। परवलय की दिशा के आधार पर लाइन को ऊपर या नीचे जारी रखें। परवलय बना हुआ है।

6. एक परवलय का ज्यामितीय निर्माण। यह विधि एक परवलय की परिभाषा पर आधारित है, जो फोकस F और डायरेक्ट्रिक्स D दोनों से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के समुदाय के रूप में है। इसलिए, पहले दिए गए परवलय p=1/(2a) के फोकल पैरामीटर का पता लगाएं।

7. चरण 2 में वर्णित परवलय की समरूपता की धुरी का निर्माण करें। उस पर, एक बिंदु F को एक निर्देशांक के साथ Oy अक्ष के साथ y \u003d p / 2 के बराबर और एक बिंदु D को एक निर्देशांक y \u003d -p / 2 के साथ रखें।

8. एक वर्ग का उपयोग करते हुए, बिंदु D से होकर परवलय की सममिति के अक्ष के लंबवत एक रेखा का निर्माण करें। यह रेखा परवलय की नियता है।

9. धागे को वर्ग के पैरों में से एक के बराबर लंबाई के साथ लें। धागे के एक छोर को उस वर्ग के शीर्ष पर एक बटन के साथ जकड़ें जिससे यह पैर जुड़ा हुआ है, और दूसरा छोर बिंदु F पर परवलय के फोकस पर है। शासक को इस तरह रखें कि इसका ऊपरी किनारा डायरेक्ट्रिक्स डी के साथ मेल खाता हो। शासक पर वर्ग, पैर के साथ बटन से मुक्त।

10. पेंसिल को सेट करें ताकि इसकी नोक से यह धागे को वर्ग के पैर में दबाए। शासक के साथ वर्ग ले जाएँ। पेंसिल आपके लिए आवश्यक परवलय खींचेगी।

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ध्यान दें!
परवलय के शीर्ष को कोण के रूप में न बनाएं। इसकी शाखाएं एक दूसरे के साथ आसानी से गोल होती हैं।

उपयोगी सलाह
ज्यामितीय विधि से परवलय का निर्माण करते समय, सुनिश्चित करें कि धागा हमेशा तना हुआ हो।

किसी फ़ंक्शन के व्यवहार की खोज के लिए आगे बढ़ने से पहले, विचाराधीन मात्राओं के कायापलट के क्षेत्र को निर्धारित करना आवश्यक है। आइए मान लें कि चर वास्तविक संख्याओं के समूह को संदर्भित करते हैं।

अनुदेश

1. एक फ़ंक्शन एक चर है जो तर्क के मूल्य पर निर्भर करता है। तर्क एक स्वतंत्र चर है। किसी तर्क में परिवर्तन की सीमा को संभावित मानों का डोमेन (ROV) कहा जाता है। फ़ंक्शन के व्यवहार को ODZ के ढांचे के भीतर माना जाता है, क्योंकि इन सीमाओं के भीतर, दो चर के बीच संबंध अराजक नहीं है, लेकिन कुछ नियमों का पालन करता है और इसे गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जा सकता है।

2. आइए मनमाने ढंग से कार्यात्मक कनेक्टिविटी पर विचार करें F=?(x), कहा पे? एक गणितीय अभिव्यक्ति है। फ़ंक्शन में समन्वय अक्षों या अन्य कार्यों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हो सकते हैं।

3. x-अक्ष के साथ फलन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर, फलन शून्य के बराबर हो जाता है: F(x)=0. इस समीकरण को हल करें. आपको दिए गए फ़ंक्शन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक OX अक्ष के साथ मिलेंगे। तर्क के कायापलट के किसी दिए गए खंड में ऐसे कई बिंदु होंगे जैसे समीकरण की जड़ें हैं।

4. y-अक्ष के साथ फ़ंक्शन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर, तर्क मान शून्य है। नतीजतन, समस्या x = 0 पर फ़ंक्शन के मान को खोजने में बदल जाती है। ओए अक्ष के साथ फ़ंक्शन के प्रतिच्छेदन के जितने बिंदु होंगे उतने ही शून्य तर्क के साथ दिए गए फ़ंक्शन के मान होंगे।

5. किसी दिए गए फ़ंक्शन के दूसरे फ़ंक्शन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है: F=?(x)W=?(x). , चौराहे के बिंदु जिसके साथ दिए गए फ़ंक्शन का पता लगाने की आवश्यकता है। जाहिर है, चौराहे के बिंदुओं पर, दोनों कार्य तर्कों के समान मूल्यों के लिए समान मान लेते हैं। तर्क परिवर्तन के किसी दिए गए क्षेत्र में समीकरणों की प्रणाली के लिए समाधान के रूप में 2 कार्यों के लिए कई सार्वभौमिक बिंदु होंगे।

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प्रतिच्छेदन के बिंदुओं पर, तर्क के समान मान के लिए फ़ंक्शन के समान मान होते हैं। कार्यों के प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को खोजने का मतलब उन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करना है जो प्रतिच्छेदन कार्यों के लिए सार्वभौमिक हैं।

अनुदेश

1. सामान्य तौर पर, XOY तल पर एक तर्क Y=F(x) और Y?=F?(x) के कार्यों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने की समस्या को समीकरण Y= Y? को हल करने के लिए कम किया जाता है, इस तथ्य से कि एक पर सार्वभौमिक बिंदु कार्यों के समान मूल्य हैं। x मान समानता F(x)=F?(x) को संतुष्ट करते हैं, (यदि वे मौजूद हैं) दिए गए कार्यों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज हैं।

2. यदि फलन एक सरल गणितीय व्यंजक द्वारा दिए गए हैं और एक तर्क x पर निर्भर हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने की समस्या को आलेखीय रूप से हल किया जा सकता है। प्लॉट फ़ंक्शन ग्राफ़। निर्देशांक अक्षों (x=0, y=0) के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु निर्धारित करें। कुछ और तर्क मान सेट करें, संबंधित फ़ंक्शन मान खोजें, प्राप्त बिंदुओं को ग्राफ़ में जोड़ें। प्लॉट करने के लिए जितने अधिक बिंदुओं का उपयोग किया जाएगा, ग्राफ़ उतना ही सटीक होगा।

3. यदि फ़ंक्शन के ग्राफ़ प्रतिच्छेद करते हैं, तो आरेखण से प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें। जाँच करने के लिए, इन निर्देशांकों को उन सूत्रों में बदलें जो फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं। यदि गणितीय व्यंजक वस्तुनिष्ठ हो जाते हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु सकारात्मक रूप से पाए जाते हैं। यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो पुन: स्केल करने का प्रयास करें। निर्माण बिंदुओं के बीच एक बड़ा कदम उठाएं ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि संख्यात्मक विमान के किस हिस्से में ग्राफ़ की रेखाएं मिलती हैं। उसके बाद, चौराहे के पहचाने गए खंड पर, चौराहे के बिंदुओं के निर्देशांक को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए एक महीन चरण के साथ अधिक विस्तृत ग्राफ़ बनाएं।

4. यदि किसी विमान पर नहीं, बल्कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में कार्यों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजना आवश्यक है, तो 2 चर के कार्यों को देखना संभव है: Z=F(x,y) और Z?=F?(x , वाई)। कार्यों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, Z= Z पर दो अज्ञात x और y के साथ समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है।

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तो, एक द्विघात फ़ंक्शन के ग्राफ़ के मुख्य पैरामीटर चित्र में दिखाए गए हैं:

विचार करना द्विघात परवलय बनाने के कई तरीके।द्विघात फलन कैसे दिया जाता है, इस पर निर्भर करते हुए, आप सबसे सुविधाजनक चुन सकते हैं।

1 . फ़ंक्शन सूत्र द्वारा दिया गया है .